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FONCTIONS DE LYAPUNOV : APPLICATION
A L’ETUDE DE DIFFUSIONS
par
Philippe Carmona
Resume. — Cette note fait la synthese de plusieurs papiers de LucRey-Bellet, et Lawrence Thomas [2, 4, 3, 7, 6, 5, 1]. Elle montrecomment utiliser une fonction de Lyapunov pour:
– Montrer qu’une diffusion n’explose pas (est definie pour tout temps)– Montrer l’existence d’une mesure de probabilite invariante– Montrer l’unicite d’une mesure de probabilite invariante– Montrer la convergence exponentielle du semi groupe vers la mesure
invariante.Nous utilisons les criteres obtenus pour montrer l’existence, l’unicite dela mesure de probabilite invariante pour une chaıne d’oscillateurs encommunication avec deux reservoirs de temperature. Nous obtenonsegalement la convergence exponentielle du semi-groupe vers la mesureinvariante.
1. Critere de non explosion d’une equation differentiellestochastique
Etant donnee l’equation differentielle stochastique
(1) dXt = b(Xt) dt + σ(Xt) dBt
avec Xt ∈ Rn, Bt un mouvement Brownien m dimensionnel. On suppose
les coefficients b : Rn → R
n, σ : Rn → Mn×m localement Lipschitziens.
Alors on sait que pour tout point de depart x0, il y a existence (locale)sur un intervalle aleatoire [0, ζ [, avec ζ > 0 presque surement.
Classification mathematique par sujets (2000). — .
2 PHILIPPE CARMONA
Il y a existence globale, i.e. ζ = +∞ presque surement, si b et σ ont unecroissance sous lineaire
Exemple 1. — On considere une particule dans un potentiel V , ie dontla dynamique est determinee par le Hamiltonien H(p, q) = 1
2p2 + V (q).
Celle ci est placee dans un bain de chaleur a la temperature T > 0, i.e.aux equations q = ∂pH, p = −∂qH, on rajoute un bruit de type Ornstein-Uhlenbeck (ou Langevin):
dqt = dpt dt(2)
dpt = (−γp −∇V (qt)) dt +√
2γT dBt .(3)
γ > 0 est un parametre de scaling et V est suppose C2. En consequence
(4) |V (q)| ≤ C(1 + |q|) ⇒ existence globale
Que faire si V (q) = q4 ?
Definition .1. — Une fonction de Lyapunov est une fonction continueW : R
n → R+ telle que W (x) ≥ 1 et limW (x)|x|to∞ = +∞. En partic-ulier les ensembles de niveau x : W (x) ≤ a sont compacts.
Theoreme .2. — Si les coefficients b, σ sont localement lipschitziens,s’il existe une constante c et une fonction de Lyapunov W telles que
LW ≤ cW
Alors il y a existence globale des solutions, pour tout point de depart, etEx [W (Xt)] ≤ ectW (x).
Application a l’exemple 1. — Ici L = A + L0 + L1, avec Af =
∂pH∂qf − ∂qH∂pf le generateur du hamiltonien H = p2
2+ V (q),
L0f = −γp∂pf , L1f = γT∂2p2f
On a
AH = 0, L1H = γT , L0H = −γp2
Donc
LH = γ(T − p2) ≤ γT
Comme H est minore, par exemple si V ≥ 0, il existe C telle que W =H + C ≥ 1 et LW ≤ γT ≤ γTW .
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 3
Preuve du theoreme .2. — Etant donne x0, soit X(t) la solution issue dex0 de l’equation differentielle stochastique, definie sur [0, ζ [. Soit
τn = inf t > 0 : W (Xt) > nle temps de sortie du compact W ≤ n. Si n > W (x0), alors l’equationdifferentielle stochastique avec coefficients b(x) = b(x) 1(W (x)≤n) et σ(x) =σ(x) 1(W (x)≤n) globalement lipschitziens admet une unique solution Xt
issu de x0 : donc ζ > τn et Xt = Xt sur t ≤ τn. On peut appliquer laformule d’Ito a Mt = W (Xt)e
−ct sur l’intervalle [0, t ∧ τn]:(5)
Mt∧τn= M0 +
∫ t∧τn
0
e−cs∇W (Xs) dBs +
∫ t∧τn
0
e−cs(LW − cW )(Xs) ds .
Le terme Nt∧τn= M0 +
∫ t∧τn
0e−cs∇W (Xs) dBs est une martingale lo-
cale continue positive car Mt ≥ 0 et LW ≤ cW , c’est donc une vraiesurmartingale et Ex0
[Mt∧τn] ≤ Ex0
[M0] c’est a dire:
W (x0) ≥ Ex0
[
W (Xt∧τn)e−ct∧τn
]
≥ Ex0
[
W (Xτn) 1(τn≤t)
]
= nPx0(τn ≤ t) .
Donc pour tout t > 0, Px0(τn ≤ t) → 0 donc τn → +∞ Px0
presquesurement, et ζ ≥ lim sup τn = +∞ presque surement.Maintenant, en faisant n → +∞, il vient , par Fatou,
W (x0) ≥ Ex0
[
lim inf W (Xt∧τn)e−ct∧τn
]
= Ex0
[
W (Xt)e−ct
]
.
2. Existence d’une mesure invariante
On introduit le semi groupe de la diffusion
Ptf(x) = Ex [f(Xt)]
Une mesure de probabilite π est dite invariante si
∀t, f
∫
Ptf(x) dxπ(dx) =
∫
f(x)π(dx)
ou de facon equivalente (en derivant l’equation precedente)
∀f ∈ D(L) ,
∫
π(dx)Lf(x) = 0
Dans le cadre de notre exemple 1, il est facile de verifier que π(dx) =
e−βH(p,q)dpdq est une mesure invariante, avec β = 1T. Si V (q) ∼ (const)|q|k
4 PHILIPPE CARMONA
avec k ≥ 1 ,alors il est facile de normaliser π pour en faire une proba-bilite. Les resultats de la section suivante pourront meme s’appliqueret dire que π est l’unique mesure de probabilite invariante : nous au-rons donc ainsi construit un modele de reservoir a temperature T , car lebruit a permi de choisir parmi une infinite de mesures invariantes de ladynamique Hamiltonienne la mesure de Gibbs π = πβ .Comme on ne peut pas toujours exhiber une solution proba a L∗π = 0,avec L∗ l’adjoint au sens des distributions de L, on va utiliser la com-pacite. Rappelons le
Theoreme de Prokhorov. — Une famille de probabilites (µi)i∈I definiesur un espace metrique separable complet (E, d) est relativement compactepour la convergence faible ssi elle est tendue, i.e.
∀ǫ > 0, ∃ K compact , supi
µi(KC) ≤ ǫ.
Lemme .3. — La famille (µi)i∈I est tendue s’il existe une fonction pos-itive W tendant vers +∞ a l’infini telle que
supi
µi(W ) < +∞ .
Demonstration. — En effet, par l’inegalite de Markov,
µi(W > a) ≤ 1
Aµi(W ) ≤ 1
Asup
iµi(W ) ≤ ǫ
si A = A0 assez grand. Soit K un compact tel que W (x) > A sur KC ,alors supi µi(K
C) ≤ ǫ.
La reciproque est vraie si E est en outre localement compact, car ilexiste une suite croissante de compacts Kp telle que supi µi(K
Cp ) ≤ 2−2p,
et on peut , quitte a les grossir, imposer E = ∪Kp : alors W (x) =∑
p 2p 1(Kp\Kp−1)(x) convient.
Lemme .4. — Si le semi groupe est Fellerien et s’il existe une fonctionde Lyapunov W et x0 ∈ E tels que supt PtW (x0) < +∞, alors il existeune probabilite invariante.
Demonstration. — Considerons la famille de probabilites
µt(f) =1
t
∫ ∞
0
Psf(x0) ds
ALors supt µt(W ) ≤ supt PtW (x0) < +∞, donc d’apres le Lemme deProkhorov, la suite µt est tendue et admet une sous suite µtn tn ↑ +∞
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 5
convergeant faiblement vers une probabilite ν : si f continue bornee,µtn(f) → ν(f).Donc si r > 0 et f est continue bornee, alors le semi groupe etantFellerien, Prf est continue bornee et µtn(Prf) → ν(Prf). Or,
µtn(Prf) =1
tn
∫ r+tn
r
Psf(x0) ds =1
tn((r + tn)µr+tn(f) − rµr(f)) → ν(f)
Donc ν(Prf) = ν(f), d’ou l’invariance de ν.
Voici une condition suffisante sur la fonction de Lyapunov pour obtenirl’existence d’une proba invariante.
Theoreme .5. — S’il existe des constantes c > 0, b < +∞, 0 < κ <1, t0 > 0 et une fonction de Lyapunov W telles que:
1. LW ≤ cW2. Pt0W (x) ≤ κW (x) + b1K(x)
Alors il existe une probabilite invariante.
Remarque .6. — Les conditions 1 et 2 sont entraınees par l’uniqueinegalite LW (x) ≤ −αW (x) + β pour deux constantes α > 0 et 0 ≤β < +∞, car alors LW ≤ β ≤ βW et
d
dtPtW (x) = PtLW (x) ≤ −αPtW (x) + β
donc en integrant cette inegalite
PtW (x) ≤ e−αt(W (x)+
∫ t
0
βeαs ds) = e−αtW (x)+β1 − e−αt
α≤ e−αtW (x)+β/α
Donc, a t > 0 fixe, si l’on considere le compact K = W (x) ≤ A avecA grand, pour que κ = e−αt + β
αA< 1, alors si x ∈ KC , W (x) > A donc
PtW (x) ≤ e−αtW (x) + β/α ≤ (e−αt +β
αA)W (x)
donc,
PtW (x) ≤ κW (x) + β/α.
Observons que l’exemple 1 ne s’applique pas directement ici, en util-isant la caracterisation avec le generateur, meme en utilisant la fonc-tion de Lyapunov W = eθH . En effet, en utilisant le fait que si X est
6 PHILIPPE CARMONA
un operateur differentiel du premier ordre, alors X(ef ) = efX(f) etX2(ef ) = ef((Xf)2 + X2f), on obtient
AW = θWA(H) = 0 , L0W = −θγp2W L1W = γTθW (1 + θp2)
et donc
LW = γθW (T − p2(1 − Tθ))
ce qui ne convient pas, meme si 0 < θT < 1, car p2 ≤ A n’est pas uncompact !
Demonstration. — On a
P2t0W (x) ≤ κPt0W (x) + bPt01K(x) ≤ κ2W (x) + b + κb1K(x)
et par une recurrence immediate:
Pnt0W (x) ≤ κnW (x) + b + κb + · · ·+ κn−2b + κn−1b1K(x)
donc
Pnt0W (x ≤ κnW (x) +b
1 − κ
N’oublions pas que comme LW ≤ cW on a PsW (x) ≤ ecsW (x), donc, sint0 ≤ t < (n + 1)t0, alors
PtW (x) = Pnt0(Pt−nt0W )(x) ≤ ec(t−nt0)Pnt0W (x)
≤ ect0(κnW (x) +b
1 − κ) → ect0
b
1 − κ
C’est une suite convergente, donc une suite bornee, et on peut appliquerle critere precedent (Lemme .4).
On peut sous les memes hypotheses etablir une propriete de recurrence:
Proposition .7. — Sous les hypotheses precedentes, si
τK = inf t > 0 : Xt ∈ Kdesigne le premier temps de passage en K, alors il existe δ > 0 tel que
∀x, Ex
[
eδτK]
< +∞En particulier, pour tout point de depart x, on atteint le compact K enun temps fini presque surement.
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 7
Demonstration. — Quitte a grossir K, on peut supposer que K = W ≤ A.Montrons par recurrence que τ = τK satisfait:
∀x 6∈ K , Px(τ > nt0) ≤κn
AW (x)
Alors, par Markov, comme sur τ > t0, on a Xt0 6∈ K,
Px(τ > (n + 1)t0) = Px(τ > t0, (τ > nt0) θt0)
= Ex
[
1(τ>t0)PXt0(τ > nt0)
]
≤ Ex
[
1(τ>t0)κn
AW (Xt0)
]
≤ κn
AEx
[
κn
AW (Xt0)
]
≤ κn
APt0W (x) ≤ κn+1
AW (x) .
On en deduit aisement l’existence d’un moment exponentiel pour la vari-able aleatoire τK , en encadrant nt0 ≤ t ≤ (n + 1)t0 et obtenir la majora-tion avec γ > 0,
Px(τ > t) ≤ e−γt
.
3. Unicite de la mesure invariante
La premiere hypothese supplementaire que nous devrons faire est unehypothese de regularite. Rappelons qu’un semi groupe (Pt)t≥0 est ditFellerien s’il envoie l’espace des fonctions continues bornees sur lui meme; on peut le demontrer en utilisant la continuite de la solution d’uneequation differentielle stochastique par rapport aux parametres. Il estdit fortement Fellerien si pour t > 0, Pt envoie les fonctions essentielle-ment bornees (de L∞) dans les fonctions continues bornees. Il est ditregularisant (smooth) si pour t > 0, il admet une densite C∞ et s’ilenvoie les fonctions essentiellement bornees dans les fonctions de classeC∞. On etablit cette propriete en utilisant le critere de Hormander.
La seconde hypothese que nous ferons est l’hypothese d’irreductibilite :il existe t0 > 0, tel que pour tous x ∈ R
n et tout 0 ouvert, Pt0(x, 0) > 0.Grace aux equations de Chapman Kolmogorov, alors cette propriete estverifiee pour tout t ≥ t0.
8 PHILIPPE CARMONA
Cette seconde hypothese peut etre etablie en utilisant le theoreme de sup-port de Stroock et Varadhan : si Xt est solution de l’equation differentiellestochastique au sens de Stratonovitch
dXt = b(Xt) ∂t + σ(Xt)∂Bt ,
alors
suppPt0(x, .) = At0(x)
Le support de la mesure Pt0(x, .) est la fermeture de l’ensemble des pointsy atteignables en t0, c’est a dire des points y tels qu’il existe un controle uconstant par morceaux (ou C1 ) tel que l’equation differentielle ordinaire
x(t) = b(x(t)) + σ(x(t))u(t) , x(0) = x, x(t0) = y
admette une solution.Pour l’exemple 1, etant donne x0 = (p0, q0) et x1 = (p1, q1), soit φ(s)chemin de classe C2 tel que φ(0) = q0, φ
′(0) = p0, et φ(t0) = q1, φ′(t0) =
p1. Alors le controle suivant convient :
u(t) =1√2γT
(
˙φ + ∇V (φ) + γφ)
Theoreme .8. — On se place sous les hypotheses du Theoreme .2. Onsuppose en outre que le semi-groupe est irreductible et fortement Felle-rien. Alors, il existe une unique mesure de probabilite invariante.
La preuve de ce theoreme, i.e. la preuve de l’unicite de la mesure invari-ante, va utiliser essentiellement les notions de recurrence et d’ergodicite.Rappelons tout d’abord le
Theoreme ergodique de Birkhoff. — Soit (X,F , µ) un espace de prob-abilite. SOit (φt)t≥0 un semigroupe de transformations de X qui preservela mesure µ, c’est a dire φt : X → X est mesurable, φt φs = φt+s etµ(φ−1
t (A)) = µ(A). Alors, pour toute fonction f ∈ L1(µ),
lim1
t
∫ t
0
f(φs(x)) ds = E [f | I] dµ(x)pp
ou E [f | I] designe l’esperance conditionnelle, par rapport a µ et a latribu des invariants : I = A ∈ F : φ1
t (A) = A.
La probabilite µ, ou le semigroupe (φt)t≥0 sont dits ergodiques si I estpresque surement triviale, c’est a dire que pour tout A ∈ I, µ(A) = 0ou 1, ou encore que les fonctions I mesurables sont µ presque partout
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 9
constantes. Dans ce cas, si f ∈ L1(µ), alors E [f | I] =∫
fdµ, µ presquepartout.Etant donnee une mesure invariante π pour le semigroupe (Pt)t≥0 on con-sidere Pπ la loi du processus de loi initiale π. C’est a dire que l’on se placesur l’espace canonique (Ω = ER+ , E⊗R+, Px, x ∈ E) avec les applicationscoordonnees Xt(ω) = ω(t) et le semigroupe du shift θt(ω)(s) = ω(t + s); alors,
Pπ(A) =
∫
Px(A) π(dx) = Pπ(X. ∈ A)
Le shift preserve la mesure Pπ car sous Pπ, X0 a pour loi π, donc Xt apour loi πPt = π et par la propriete de Markov,
Eπ [f(θt(ω))] = Eπ [EXt[f(ω)]] =
∫
Pπ(Xt ∈ dx)Ex [f ] = Eπ [f ]
Lemme .9. — Si le semi-groupe (Pt)t≥0 admet deux probabilites invari-antes distinctes π1 6= π2, alors pour tout α ∈ (0, 1), si π = aπ1+(1−a)π2,la probabilite Pπ n’est pas ergodique et il existe une fonction h positivebornee, invariante pour le semi groupe, non constante.
Demonstration. — Raisonnons par l’absurde et supposons Pπ ergodique.Soit A ∈ I, alors Pπ(A) = 0, 1, donc si Pπ(A) = 0 , alors Pπ1
(A) =Pπ2
(A) = 0 et si Pπ(A) = 1, alors Pπ1(A) = Pπ2
(A) = 1. Soit f mesurablebornee. Par le theoreme ergodique de Birkhoff, applique a la fonctionF (ω) = f(X0(ω)), il existe A tel que Pπ(A) = 1, et
∀ω ∈ A ,1
t
∫ t
0
f(ω(s)) ds → m =
∫
fdπ
On a Pπ1(A) = Pπ2
(A) = 1, donc par convergence dominee,
m = lim1
t
∫ t
0
Eπi[f(ω(s))] ds =
∫
fdπi
et on a donc∫
f dπ1 =∫
f dπ2 pour toute fonction f mesurable bornee,d’ou π1 = π2, ce qui est contradictoire.
Il existe donc A ∈ I tel que 0 < Pπ(A) < 1. Soit h(x) = Px(A), alorspar propriete de Markov,
h(x) = Px(θ−1t (A)) = Ex [PXt
(A)] = Ex [h(Xt)] = Pth(x)
Donc (h(Xt)t≥0 est une martingale positive, qui converge presque surement:
h(Xt) = PXt(A) = E [1A θt | Ft] = E [1A | Ft] → 1A(ω) ∈ 0, 1 p.s.
10 PHILIPPE CARMONA
Si la fonction h etait constante, alors cette constante ne pourrait etre que0 ou 1 et cela entraınerait que Pπ(A) ∈ 0, 1, ce qui est contradictoire.
Nous allons voir maintenant que l’hypothese d’irreductibilite entraıne larecurrence des ouverts.
Lemme .10. — Sous les hypotheses du theoreme, tout ouvert non videest recurrent pour la chaıne de Markov (Xnt0)n≥0. En consequence, toutefonction f mesurable bornee ou positive, qui est invariante pour la chaıne,Pt0f = f , est constante presque partout.
Demonstration. — Soit A un ouvert non vide. La fonction 1A est bornee,donc la fonction x → Pt01A(x) est continue, et on a par irreductibiliteδ = infx∈K Pt01A(x) > 0, car K est compact. On considere la chaıne deMarkov Yn = Xnt0 de matrice de transition Q = Pt0 , et le schema desucces echec suivant τ0 = 0,
τp =∈ n > 1 + τp−1 : Yn ∈ K , ξp = 1(Y1+τp∈A)
Alors, d’apres la Proposition .7, pour tout p, τp est fin presque surement,
Px(ξ1 = 0) = Px(Y1+τK 6∈A) = Ex
[
PYτK(Y1 6∈ A)
]
≤ 1 − c
et donc, par recurrence et la propriete de Markov,
Px(ξ1 = 0, . . . , ξp = 0) = Ex
[
1(Y1+τK6∈A)PY1+τK
(ξ1 = 0, . . . , ξp−1 = 0)]
≤ (1−c)p
ce qui entraıne que P (∀p, ξp = 0) = 0, et A est recurrent.Soit alors f mesurable, bornee ou positive, invariante pour la chaıne.Le semi-groupe est fortement Fellerien donc f = Pt0f est continue.Si f est non constante alors il existe α < β tels que les ensemblesA = x : f(x) < α et B = x : f(x) > β soient ouverts non vides doncrecurrents. Comme Pt0f = f , Mn = f(Yn) = f(Xnet0) est une mar-tingale, positive ou bornee, donc convergeant vers une variable aleatoireintegrable Z. Comme A et B sont recurrents on obtient que presquesurement, Z ≤ α et Z ≥ β ce qui est absurde.
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 11
4. Convergence exponentielle vers la mesure invariante
Pour une chaıne de Markov sur un espace d’etats fini, l’irreductibilite desa matrice de transition assure la convergence exponentielle vers l’uniquemesure de probabilite invariante, par le
Theoreme de Perron-Frobenius. — Soit P une matrice stochastiquesur un espace d’etats fini telle que il existe k, tel que pour tout n ≥ k lamatrice P n soit a coefficients strictement positifs:
∀n ≥ k , ∀i, j , P ni,j > 0
Alors P admet une unique mesure invariante π et il existe γ, c > 0 telsque
supx,y
∣
∣P nx,y − π(y)
∣
∣ ≤ Ce−γn .
L’analogue en theorie des semigroupes existe, si l’on considere des semi-groupes compacts. L’espace de Banach considere depend de la fonctionde Lyapunov W :
HW = f : E → Rborelienne : ‖f‖W < +∞ , avec ‖f‖W = supx∈E
|f(x)|W (x)
Theoreme .11. — On suppose que le semi-groupe est irreductible etregularisant sur E = R
n, que pour une constante c > 0, LW ≤ cWet qu’il existe une suite de compacts Kn, des constantes bn ∈ (0, +∞),o < κn < 1, telles que κn → 0 et pour un t0 > 0,
Pt0W (x) ≤ κnW (x) + bn1Kn(x)
Alors, (Pt)t≥0 definit un semigroupe d’operateurs sur HW , compacts pourt ≥ t0. Le processus admet une unique mesure invariante π et pour desconstantes γ, C > 0 on a
‖Pt − π‖W ≤ Ce−γt
c’est a dire que pour toute f ∈ HW ,∣
∣
∣
∣
Ptf(x) −∫
f dπ
∣
∣
∣
∣
≤ Ce−γtW (x) .
Demonstration. — Comme LW ≤ cW on a PtW (x) ≤ ectW (x) et doncPt est un operateur lineaire sur HW de norme ‖Pt‖ ≤ ect.
Etape 1 Montrons que P2t0 est compact.
12 PHILIPPE CARMONA
Observons que pour toute f ∈ HW ,∣
∣1Kcn(x)Pt0f(x)
∣
∣&le1Kcn(x)Pt0 |f |(x)
≤ 1Kcn(x)‖f‖W Pt0W (x)
≤ 1Kcn(x)‖f‖W κnW (x)
et donc∥
∥1KcnPt0
∥
∥
W≤ κn → 0 .
Montrons que Λ = 1KnPt01Kn
est compact. On va montrer que de toutefamille (fi)i∈I de HW telle que ‖fi‖W ≤ 1, on peut extraire une soussuite fp telle que Λfp converge dans HW . Remarquons tout d’abordque comme e semi groupe est fortement Fellerien, et 1Kn
fi est bornee, lafonction Pt01Kn
fi est continue, et (Λfi)i∈I est une familles de fonctions deCKn
, fonctions continues sur le compact Kn. Cet ensemble est equibornecar pour tout x ∈ Kn,
|Λfi(x)| ≤ ‖fi‖W Pt0W (x) ≤ κnW (x) ≤ κn supy∈Kn
W (y)
Cet ensemble est egalement equicontinue, car le semi-groupe etant regularisant,pour tous x, y ∈ Kn,
|Λfi(x) − Λfi(y)| ≤∫
z∈Kn
|pt0(y, z) − pt0(x, z)||fi(z)| dz
≤ |y − z| supu,v∈Kn
|∂upt0(u, v)|‖fi‖W
∫
Kn
W (z) dz ≤ Cn|y − x| .
Par le theoreme d’Arzela-Ascoli, il contient une sous suite (fp)p≥0 telleque Λfp converge dans C(Kn) vers f , ce qui entraıne comme W ≥ 1, queΛfp converge dans HW vers f1Kn
.Maintenant il suffit d’ecrire
P2t0 = 1KcnPt0 Pt0 + 1Kn
Pt0 1KcnPt0 + 1Kn
Pt01Kn
Les deux premiers operateurs convergent vers 0 dans HW , et le dernieroperateur est compact, donc P2t0 est compact. Quitte a remplacer Pt0
Etape 2 Pt0 n’admet que 1 comme valeur propre de module 1, et 1 estvaleur propre simple.Supposons que 1 n’est pas valeur propre simple. Alors il existe f ∈ HW ,non constante, telle que Pt0f = f . Quitte a diviser f par sa norme,
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 13
on suppose ‖f‖W ≤ 1. Alors, g = |f | est sous harmonique: g ≥ 0 etg = |Pt0f | ≤ Pt0 |f | = Pt0g. On en deduit que
g(x) ≤ Pnt0g(x) ≤ Pnt0W (x) ≤ κnW (x) +b
1 − κ
et donc que g(x) ≤ b1−κ
est bornee. Donc f est Pt0-invariante bornee,donc constante d’apres le Lemme .10.Maintenant supposons que f ∈ HW soit un vecteur propre de Pt0 associea la valeur propre λ de module 1. Si on note χ = Eλ(Pt0) l’espace propre,de dimension finie car Pt0 est compact, associe a la valeur propre λ, alorspour tout t ≥ 0, PtPt0 = Pt0Pt entraıne que χ est stable par Pt, et donc,sur ce sev de dimension finie, Pt = etL; En consequence, si λ = eit0α
sur χ on a Ptf = eitαf et donc, pour t = 2φkα > t0, Ptf = f . Ceciest contradictoire avec l’hypothese d’irreductibilite (appliquee ici en t aulieu de t0) et le Lemme .10.
Etape 3 Etablissons la convergence exponentielle.Comme Pt0 est un operateur compact, son spectre σ(Pt0) est au plusdenombrable, avec 0 comme seul point d’accumulation possible : en outretoute valeur non nulle du spectre est une valeur propre avec une multi-plicite finie. En consequence on peut decomposer l’espace HW en sommedirecte HW = H1⊕H2, avec H1 sous espace propre associe a la valeur pro-pre 1, de module maximal, constitue des fonctions constantes, et H2 surlequel le rayon spectral de Pt0 est strictement inferieur a 1 : Rad(Pt0) < 1sur H2.Comme Pt = Pt−t0Pt0 est compact pour t ≥ t0, il est clair( voir parexemple Davies Theorem 3.19) que σ(Pt) = 0∪ etσ(L) et donc pour desconstantes γ, C > 0,
‖Pt‖H2≤ Ce−γt
ce qui est exactement la convergence desiree, car f →∫
fdπ est la pro-jection sur H1, ie f −
∫
f dπ ∈ H2.
5. Etude d’une particule en communication avec un reservoir
La dynamique de la particule a la position q de moment p est determineepar le Hamiltonien
H(p, q) =p2
2+ V (q) (p, q ∈ R)
14 PHILIPPE CARMONA
avec V : R → R potentiel de classe C2 tel que pour des constantesa > 0, k ≥ 2:
V (λq) ∼ aλk|q|k (λ → +∞)
Cette particule est en contact avec un reservoir de chaleur a la temperatureT , modelise par un processus d’Ornstein-Uhlenbeck agissant comme unbruit sur le moment p, c’est a dire que pour une constante γ > 0,
dqt = pt dt(6)
dpt = (−γp −∇V (qt)) dt +√
2γT dBt .(7)
Le but de cette section est d’utiliser les resultats generaux sur les fonc-tions de Lyapunov pour montrer qu’il existe une unique mesure de prob-abilite invariante vers laquelle le semi groupe converge exponentiellementvite.Nous avons deja traite le probleme d’irreductibilite, via le theoreme desupport, et il est aise d’appliquer ici le theoreme de Hormander qui prouveque le semi-groupe est regularisant. En effet, le generateur s’ecrit
L = X0 + X21 , X1 =
√
γT∂p , X0 = (−γp − V ′(q))∂p + p∂q
En consequence, [X1, X0] = −γ√
γT∂p +√
γT∂q et X1, [X1, X0] est derang maximal 2 en tout point (p, q).Nous avons vu que LH = γ(T − p2) ≤ γT et si W = eθH ,
LW = γθW (T − p2(1 − Tθ)) ≤ γθTW .
La solution de l’eds existe pour tout temps, mais on n’a pas LW ≤−αW +β. Il nous reste a montrer qu’il existe une suite de compacts Kn,des constantes bn < +∞ et 0 < κn < 1, κn → 0 telle que pour un t0 > 0,
Pt0W (x) ≤ κnW (x) + bn1Kn(x)
En prenant Kn = x : W (x) ≤ an avec an → +∞, il nous suffit demontrer que
lima→+∞
supx:W (x)>a
Pt0W (x)
W (x)= 0
.Supposons que cela n’est pas le cas, alors il existe ǫ > 0, an ↑ +∞ et xn
tel que W (xn) = an, verifiant
Pt0W (xn)
W (xn)≥ ǫ.
Nous aurons besoin du
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 15
Lemme .12. — Il existe des constantes C > 0, β > 1 ne dependant quede γ, T, θ telle que C > 0 si 0 < θ < 1
T, et
PtW (x)
W (x)≤ eγTθt
Ex
[
e−CR t
0p(s)2 ds
]1/β
Demonstration. — Il suffit d’appliquer la formule d’ito au Hamiltonien
H(Xt) − H(x) =√
2γT
∫ t
0
ps dBs +
∫ t
0
γ(T − p(s)2) ds .
Etant donne deux exposants conjugues, 1α
+ 1β
= 1, on a
PtW (x)
W (x)= Ex
[
eθ(H(Xt)−H(x))]
= eθTγtEx
[
exp
(
θ√
2γT
∫ t
0
ps dBs − γθ
∫ t
0
γp(s)2 ds
)]
= eθTγtEx [UV ]
≤ eθTγtEx [Uα]1/α
Ex
[
V β]1/β
avec
U = exp(θ√
2γT
∫ t
0
ps dBs − αγTθ2
∫ t
0
p2s ds)(8)
V = exp(−γθ(1 − Tθα)
∫ t
0
p2s ds)(9)
Nous avons Ex [Uα] = 1 puisque c’est la martingale exponentielle, d’ou leresultat si α est choisi suffisamment proche de 1 pour que 1 − Tθα > 0.
5.1. Le scaling. — Nous allons utiliser la forme du potentiel V (q) enobservant que lorsque l’energie W (x) est forte, alors le bruit gaussienn’a pratiquement plus d’influence, et la particule cherche a redescendreau plus vite la montagne potentielle, elle accumule donc pendant unintervalle de temps constant, une vitesse p minimum.Etant donne E > 0, on pose
pE(t) = E− 1
2 p(E1
k− 1
2 t), qE(t) = E− 1
k q(E1
k− 1
2 t) .
16 PHILIPPE CARMONA
Alors XE = (pE , qE) est solution de l’equation differentielle stochastique(SE)
dqE(t) = pE(t) dt
dpE(t) = (−E1
2− 1
k γpE(t) −∇VE(qE(t))) dt +√
2γTE1
2k−3/4dBE(t)
avec BE(t) = E− 1
2k+ 1
4 B(E1
k− 1
2 t) un mouvement Brownien standard, VE(q) =1EV (E
1
k q). C’est une dynamique Hamiltonienne, perturbee par un petitbruit (quand E est grand) et associee au hamiltonien
HE(pE , qE) = p2E/2 + VE(qE) =
1
EH(p, q)
En d’autres termes, si Xt est solution du systeme initial (S) avec X0 = xet energie initiale H(x) = E, alors XE(t) est solution du systeme (SE)
avec, XE(0) = xE = (E− 1
2 p, E− 1
k q) et HE(xE) = 1. Pour E = +∞ on ala disparition du bruit stochastique
(S∞)
dq∞(t) = p∞(t) dt
dp∞(t) = (−ǫγp∞(t) −∇V∞(q∞(t))) dt
avec ǫ = 1(k=2), et le potentiel est V∞(q) = a|q|k.
5.2. L’etude de la dynamique a l’infini. — En haut de la montagneon n’entend pas de bruit, et donc on ne cherche qu’une chose, c’est deredescendre la pente de potentiel : en consequence il y a acquisition devitesse.
Lemme .13. — Etant donne τ > 0, il existe cτ > 0 telle que
infx:H∞(x)=1
∫ τ
0
p∞(s)2 ds ≥ cτ .
Demonstration. — Soit en effet x(t) une solution de S∞, issue de x 6=(0, 0) et supposons que
∫ τ
0
p(s)2 ds = 0
Alors, p(s) = 0, donc q(s) = C est constante sur [0, τ ], et donc sur cetintervalle
0 = p = −ǫγp −∇V∞(C) = −∇V∞(C)
Vu la forme de V∞(q) = a|q|k cela impose C = 0 et donc x = (0, 0) cequi est contradictoire.
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 17
Par continuite par rapport aux conditions initiales, l’application x →∫ τ
0p(s)2 ds est continue sur le compact K = x : H∞(x) = 1. Elle est
strictement positive sur K car il ne contient pas 0, donc elle y atteintson minimum cτ , qui est donc strictement positif.
5.3. Preuve de l’existence et l’unicite de la mesure invariante.— Rappelons que nous raisonnons par l’absurde et donc qu’ il existeǫ > 0 et xn tel que H(xn) = En ↑ +∞, verifiant
Pt0W (xn)
W (xn)≥ ǫ.
A la solution (Xt)t≥0 issue de xn, on associe le processus change d’echelle(XEn
(t))t≥0, issu de xn tel que
HEn(xn) = 1 =
p2n
2+
1
EnV (E
1
kn qn)
Vu les proprietes de croissance a l’infini du potentiel V , la suite xn restedans un compact et admet donc une sous suite convergente, que nousnoterons encore xn → x∞. Par continuite H∞(x∞) = 1 et par continuitede la solution d’une equation differentielle stochastique par rapport auxconditions initiales, et aux parametres, ceux ci restant dans un compact,on en deduit que, si on realise ces solutions par rapport au meme mou-vement Brownien,
E
[
supt≤τ
(XEn(t) − X∞(t))2
]
−−−−→n→+∞
0 .
Supposons k = 2. Alors, on prend τ = t0, et comme
∫ t0
0
p(s)2 ds = En
∫ τ
0
pEn(s)2 ds
on a, en vertu du Lemme .12,
Pt0W (xn)
W (xn)≤ eγθT t0Exn
[
exp(−CEn
∫ τ
0
pEn(s)2 ds)
]1/β
Or, pour tout α > 0, par le Lemme .13,
Exn
[
exp(−α
∫ τ
0
pEn(s)2 ds)
]
→ Ex∞
[
exp(−α
∫ τ
0
p∞(s)2 ds)
]
≤ e−αcτ
18 PHILIPPE CARMONA
et donc, comme En → +∞,
Exn
[
exp(−CEn
∫ τ
0
pEn(s)2 ds)
]
→ 0 .
Supposons maintenant k > 2. On prend n ≥ n0 suffisamment grand pour
que t0E1
2− 1
kn ≥ τ . Alors,
∫ t0
0
p(s)2 ds = E1
k+ 1
2n
∫ t0E12−
1k
n
0
pEn(s)2 ds ≥
∫ τ
0
pEn(s)2 ds .
En consequence, on a de meme,
Pt0W (xn)
W (xn)≤ eγθT t0Exn
[
exp(−CE1
k+ 1
2n
∫ τ
0
pEn(s)2 ds)
]1/β
→ 0.
5.4. Conclusion. — Nous avons obtenu dans les deux cas une con-tradiction, donc nous pouvons conclure a la convergence exponentiellevers une unique mesure de probabilite invariante. Comme nous connais-sons une mesure invariante, la mesure de Gibbs µβ(dx) = 1
ZeβH dx a la
temperature T = 1β, nous avons donc un bon modele de reservoir, c’est a
dire un systeme Markovien compose d’un systeme Hamiltonien perturbepar un bruit qui choisit, parmi l’infinite de mesures de probabilite invari-antes, la mesure µβ, et dont le semigroupe converge exponentiellementvite vers la mesure µβ.
6. Etude d’une chaıne d’oscillateurs en communication avecdeux reservoirs a des temperatures differentes
La dynamique de la particule a la position q ∈ Rn de moment p est
determinee par le Hamiltonien
H(p, q) =∑
1≤i≤n
p2i
2+ V (q) (p, q ∈ R)
avec V : R → R potentiel de la forme
(10)∑
1≤i≤n
U (1)(qi) +∑
1≤i≤n−1
U (2)(qi − qi+1) ,
qui satisfait les deux hypotheses suivantes
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 19
(H1) : Hypothese de croissance a l’infini. Les deux fonctions U (i)
sont de classe C∞, et pour des constantes a(i) > 0 on a:
(11) limλto+∞
λ−kiU (i)(λx) = a(i)|x|ki (i = 1, 2)
et
(12) k2 ≥ k1 ≥ 2 .
(H2) : Hypothese de non degenerescence.
– la fonction q → ∂qU(2) est inversible sur R
∗
– L’equation ∇V∞(q) = 0 admet pour unique solution dans Rn, q = 0,
avec
(13) V∞(q) = 1(k=2)a(1)
∑
|qi|k1 + a(2)∑
|qi − qi+1|k2 .
– Pour tut q ∈ R il existe un entier m = m(q) ≥ 2 tel que ∂mU (2)(q) 6=0.
Les reservoirs de chaleurs de temperatures T1 et Tn agissent sur les mo-ments des particules 1 et n comme des processus d’Ornstein-Uhlenbeck,c’est a dire que pour une constante γ > 0,
dqj(t) = pj(t) dt (1 ≤ j ≤ n)(14)
dp1(t) = (−γp1(t) − ∂q1V (qt)) dt +
√
2γT1 dB1(t)(15)
dpj(t) = (−∂qjV (qt)) dt (2 ≤ j ≤ n)(16)
dpn(t) = (−γpn(t) − ∂qnV (qt)) dt +
√
2γTn dBn(t)(17)
On ecrit ce systeme d’equation differentielle stochastique sous la formecondensee
(S)
dq(t) = p(t) dt
dp(t) = (−γΛp(t) −∇qV (q(t))) dt +√
2γTdB(t)
avec Λ : Rn → R2 la projection λ(x1, . . . , xn) = (x1, xn) et T : (x1, xn) →
(T1x1, Tnxn), et B(t) = (B1(t), B2(t)) un mouvement Brownien de R2.
Le but de cette section est d’utiliser les resultats generaux sur les fonc-tions de Lyapunov pour montrer qu’il existe une unique mesure de prob-abilite invariante vers laquelle le semi groupe converge exponentiellementvite.
20 PHILIPPE CARMONA
6.1. Existence, Irreductibilite et Regularite du semi groupe. —Nous supposons deja traite le probleme d’irreductibilite, via le theoremede support, et il est aise d’appliquer ici le theoreme de Hormander quiprouve que le semi-groupe est regularisant. En effet, le generateur s’ecrit
L = X0 + X21 + X2
n, X1 =√
γT1∂p1, Xn =
√
γT1∂pn
X0 = A− γ(p1∂p1+ pn∂pn
) A =∑
i
pi∂qi− ∂qi
V (q) ∂pi
En consequence, [X1, X0] =√
γT1(−γ∂p1+∂q1
) et [Xn, X0] =√
γTn(−γ∂pn+
∂qn). L’algebre de lie des crochets iteres contient donc deja ∂p1
, ∂pn, ∂q1
,∂qn
et
[∂q1, X0] = (∂2U (1)(q1) + ∂2U (2)(q1 − q2))∂p1
− ∂2U (2)(q1 − q2)∂p2
On considere le crochet de Lie[
∂q1, . . . ,
[
∂q1, ∂2U (2)(q1 − q2)
]]
= ∂mU (2)(q1−q2) 6= 0 pour m = m(q1−q2)
Il s’ensuit que l’algebre contient ∂p2et on arrive de proche en proche a
une algebre de rang maximum.La fonction de Lyapunov choisie est W = eθH . Compte tenu de AH = 0,XiH =
√γTipi, X2
i H = γTi, on a
LW = θWX0H + W ((θX1H)2 + θX21H) + W ((θXnH)2 + θX2
nH)
= γθW ((T1 + Tn) − (p21 + p2
n) + θ(T1p21 + Tnp
2n)) ≤ cW
La solution de l’eds existe pour tout temps, mais on n’a pas LW ≤−αW + β.Il nous reste a montrer qu’il existe une suite de compacts Kn, des con-stantes bn < +∞ et 0 < κn < 1, κn → 0 telle que pour un t0 > 0,
Pt0W (x) ≤ κnW (x) + bn1Kn(x)
En prenant Kn = x : W (x) ≤ an avec an → +∞, il nous suffit demontrer que
lima→+∞
supx:W (x)>a
Pt0W (x)
W (x)= 0
.
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 21
Supposons que cela n’est pas le cas, alors il existe ǫ > 0, an ↑ +∞ et xn
tel que W (xn) = an, verifiant
Pt0W (xn)
W (xn)≥ ǫ.
Nous aurons besoin du
Lemme .14. — Il existe des constantes C > 0, β > 1 ne dependant quede γ, T, θ telle que C > 0 si 0 < θ < 1
Tmax, et
PtW (x)
W (x)≤ eγ(T1+Tn)θt
Ex
[
e−CR t
0‖Λp(s)‖2 ds
]1/β
Demonstration. — Identique a celle du Lemme .12.
6.2. Le scaling. — Nous allons utiliser la forme du potentiel V (q) enobservant que lorsque l’energie W (x) est forte, alors le bruit gaussienn’a pratiquement plus d’influence, et la particule cherche a redescendreau plus vite la montagne potentielle, elle accumule donc pendant unintervalle de temps constant, une vitesse p minimum.Etant donne E > 0, on pose
pE(t) = E− 1
2 p(E1
k2− 1
2 t), qE(t) = E− 1
k2 q(E1
k2− 1
2 t) .
Alors XE = (pE , qE) est solution de l’equation differentielle stochastique
(SE)
dq(t) = p(t) dt
dp(t) = (−E1
2− 1
k γΛp(t) −∇qVE(q(t))) dt + E1
2k2− 3
4
√
2γTdB(t)
avec BE(t) = E− 1
2k+ 1
4 B(E1
k− 1
2 t) un mouvement Brownien standard de
R2, VE(q) = 1
EV (E
1
k2 q). C’est une dynamique Hamiltonienne, perturbeepar un petit bruit (quand E est grand) et associee au hamiltonien
HE(pE , qE) = p2E/2 + VE(qE) =
1
EH(p, q)
En d’autres termes, si Xt est solution du systeme initial (S) avec X0 = xet energie initiale H(x) = E, alors XE(t) est solution du systeme (SE)
avec, XE(0) = xE = (E− 1
2 p, E− 1
k q) et HE(xE) = 1. Pour E = +∞ on ala disparition du bruit stochastique
22 PHILIPPE CARMONA
(S∞)
dq(t) = p(t) dt
dp(t) = (−1(k2=2)γΛp(t) −∇qV∞(q(t))) dt
6.3. L’etude de la dynamique a l’infini. — En haut de la montagneon n’entend pas de bruit, et donc on ne cherche qu’une chose, c’est deredescendre la pente de potentiel : en consequence il y a acquisition devitesse.
Lemme .15. — Etant donne τ > 0, il existe cτ > 0 telle que
infx:H∞(x)=1
∫ τ
0
‖Λp∞(s)‖2 ds ≥ cτ .
Demonstration. — Soit en effet x(t) une solution de S∞, issue de x 6=(0, 0) et supposons que
∫ τ
0
∥
∥Λp(s)2∥
∥ ds = 0
Alors, pour i = 1, 2, pi(s) = 0, donc qi(s) = Ci est constante sur [0, τ ],et donc sur cet intervalle
0 = pi = −ǫγpi − ∂qiV∞(q) = −∂qi
V∞(q)
c’est a dire, pour i = 1,
∂U (2)∞ (C1 − q(t)) = −∂U (1)
∞ (C1) .
En vertu de l’hypothese de non degenerescence cela entraıne que soitq2(t) = C1 soit on peut inverser et obtenir q2(t) = C2 sur cet intervalle.Donc p2 = 0 et de proche en proche on montre que les qi sont constantessur cet intervalle. Toujours en vertu de l’hypothese de non degerescence,ce la entraıne que sur [0, τ ], q(t) = C ∈ R
n et ∇V∞(C) = 0 donc C = 0ce qui est contradictoire.Par continuite par rapport aux conditions initiales, l’application x →∫ τ
0‖Λp(s)‖2 ds est continue et strictement positive sur le compact K =
x : H∞(x) = 1, puisque K ne contient pas 0. Elle y atteint donc sonminimum cτ , qui est donc strictement positif.
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 23
6.4. Preuve de l’existence et l’unicite de la mesure invariante.— Celle ci est mutatis mutandis identique a la preuve dans le cas d’uneparticule et d’un reservoir.Rappelons que nous raisonnons par l’absurde et donc qu’ il existe ǫ > 0et xn tel que H(xn) = En ↑ +∞, verifiant
Pt0W (xn)
W (xn)≥ ǫ.
A la solution (Xt)t≥0 issue de xn, on associe le processus change d’echelle(XEn
(t))t≥0, issu de xn tel que
HEn(xn) = 1 =
p2n
2+
1
En
V (E1
kn qn)
Vu les proprietes de croissance a l’infini du potentiel V , la suite xn restedans un compact et admet donc une sous suite convergente, que nousnoterons encore xn → x∞. Par continuite H∞(x∞) = 1 et par continuitede la solution d’une equation differentielle stochastique par rapport auxconditions initiales, et aux parametres, ceux ci restant dans un compact,on en deduit que, si on realise ces solutions par rapport au meme mou-vement Brownien,
E
[
supt≤τ
(XEn(t) − X∞(t))2
]
−−−−→n→+∞
0 .
6.5. Conclusion. — Nous avons obtenu dans les deux cas une contra-diction, donc nous pouvons conclure a la convergence exponentielle versune unique mesure de probabilite invariante.
6.6. Analyse des hypotheses H1 et H2. —
Interaction sans “pinning”. — Si par exemple U(1)∞ = 0 et U
(2)∞ (q) =
12q2. Alors on ne peut pas appliquer les techniques precedentes car la
dynamique est degeneree et l’equation ∇V∞(C) = 0 admet des solutionsnon nulles qi = C, ∀i.
6.7. Interactions quadratiques. — On suppose que U (1)(q) = q2 etU (2)(q) = αq2 pour un α > 0. C’est le potentiel le plus petit que l’onpeut considerer. Alors, k1 = k2 = 2 et
VE(t) = V∞(t) = V (t) =∑
i
q2i + α
∑
i
(qi − qi+1)2 .
24 PHILIPPE CARMONA
La fonction q → ∂U (2)(q) = 2αq est bien inversible, et ∂2U (2) = 2α > 0.Il nous reste a verifier que l’equation ∇V (q) = 0 admet comme uniquesolution q = 0. On obtient,
(18)
0 = ∂q1V = 2q1 + 2α(q1 − q2)
0 = ∂qjV = 2qj + 2α(2qj − qj+1 − qj−1) (2 ≤ j ≤ n − 1)
0 = ∂qnV = 2qn + 2α(qn − qn−1)
C’est une equation recurrente lineaire dont la solution generale est qj =
arj1 + brj
2, avec r1 et r2 les deux solutions, distinctes, de l’equation car-acteristique :
(19) x2 − (2 +1
α)x + 1 = 0 ,
(le discriminant est strictement positif).Les deux equations extremes nous donnent alors un systeme lineaire dedeux equations a deux inconnues a, b:
a(r21 − 2r1) + b(r2
2 − 2r2) = 0
a(rn1 − 1
2rn−11 ) + b(rn
2 − 1
2rn−12 ) = 0
dont le determinant est
∆ = (r21 − 2r1)(r
n2 − 1
2rn−12 ) − (r2
2 − 2r2)(rn1 − 1
2rn−11 )
En utilisant l’equation caracteristique (19), l’equation ∆ = 0 est equivalentea
r1 − 1
ur1 + v=
r2 − 1
ur2 + v
Donc l’equation r−1ur+v
= cte a deux solutions distinctes r1, r2 ce qui estabsurde. Don ∆ 6= 0 et l’unique solution du systeme est a = b = 0 ce quiimpose qj = 0 pour tout j.
References
[1] J.-P. Eckmann, C.-A. Pillet, and L. Rey-Bellet, Non-equilibrium
statistical mechanics of anharmonic chains coupled to two heat baths at
different temperatures, Comm. Math. Phys., 201 (1999), pp. 657–697.
[2] L. Rey-Bellet, Statistical mechanics of anharmonic lattices,arXiv:math-ph/0303021.
FONCTIONS DE LYAPUNOV ET DIFFUSIONS 25
[3] L. Rey-Bellet, Statistical mechanics of anharmonic lattices, in Ad-vances in differential equations and mathematical physics (Birmingham,AL, 2002), vol. 327 of Contemp. Math., Amer. Math. Soc., Providence,RI, 2003, pp. 283–298.
[4] L. Rey-Bellet and L. E. Thomas, Exponential Convergence to
Non-Equilibrium Stationary States in Classical Statistical Mechanics,arXiv:math-ph/0110024.
[5] L. Rey-Bellet and L. E. Thomas, Asymptotic behavior of thermal
nonequilibrium steady states for a driven chain of anharmonic oscillators,Comm. Math. Phys., 215 (2000), pp. 1–24.
[6] , Exponential convergence to non-equilibrium stationary states in clas-
sical statistical mechanics, Comm. Math. Phys., 225 (2002), pp. 305–329.
[7] L. Rey-Bellet and L. E. Thomas, Fluctuations of the entropy produc-
tion in anharmonic chains, Ann. Henri Poincare, 3 (2002), pp. 483–502.
January 6, 2006
Philippe Carmona, Philippe Carmona, Laboratoire Jean Leray, UMR6629, Universite de Nantes, BP 92208, F-44322 Nantes Cedex 03 BPE-mail : [email protected]
