507d99887ed42 Cours Circuit

Enseignement pour public ayant dj eu la remise niveau

Sur chaque thme, ou chapitre : rapides rappels, applications dans le domaine e.e.a.

Balayage rapide, (4 sances d1 heure 30)en cohrence avec le contenu des T.D. et T.P.

Objectifs : remettre niveau pour une exploitation immdiate (TD, TP) et ultrieure (ERII3, ERII4),- identifier ce qui fondamental et qui doit tre connu sans aucune lacune ni ambigutCIRCUITou dbut dautomatique, appliqu des circuits lectriques

CIRCUITAvis aux utilisateurs de ce document power point :- Lancer le diaporama (touche F5) Lire attentivement les pages progressivement, par action de la touche -> (ou de la touche flche vers le bas)- A chaque point dinterrogation tournant :une question, ou une application numrique, est demande.Alors, marquer un temps darrt pour rpondre Et continuer aprs la rflexion

Transformes de Laplace

Analyse harmonique

QuadriplesCIRCUIT

Dfinition, proprits

Application llectroniqueTRANSFORMEES DE LAPLACE

La transforme de Laplace consiste tudier le comportement des systmes par une reprsentation symbolique. La variable n'est plus le temps t mais p.A une fonction f(t) dans le monde rel correspond une fonction F(p) dans le monde symbolique. Cette fonction est appele : image de f(t). Inversement f(t) est appele : originale de F(p).Ce passage du monde rel au monde symbolique est dfini par la transforme de Laplace suivante:Sous rserve de convergenceRemarque : il existe des conditions dexistence de F(p). Toutes les fonctions f(t) nont pas une transforme de Laplace. Et rciproquement, toutes les fonctions F(p) ne sont pas des transformes de Laplace de f(t).

Transformes de Laplace des principaux signauxFonction de Heavyside= 1 si t > 0= 0 si t < 0appele chelon unit,qui scrit usuellement u(t) ou (t)Dfinition :

Rampe unitaire= t si t > 0= 0 si t < 0u = tdv = exp (-pt) dtdu = dtv = -(1/p) exp (-pt)Par u dv = [ u v ] v duIntgration par parties :[0 0][0 1]1p2=Par dfinition

Fonction Exponentielle= exp (at) si t > 0= 0 si t < 0 1 [0 1]1p-a=Par dfinition=Il faut que (a-p) soit < 0 pour que lim exp(a-p)t converget->Dans ces conditions, F(p) = (a-p)

Fonction sinus= sin (t) si t > 0= 0 si t < 0Par dfinitionPar u dv = [ u v ] v duIntgration par parties :u = sin (t) dv = exp (-pt) dtdu = cos (t) dtv = -(1/p) exp (-pt)[0 0]

Fonction sinus, suitePar u dv = [ u v ] v duIntgration par parties :u = cos (t) dv = exp (-pt) dtdu = - sin (t) dtv = -(1/p) exp (-pt)[0 1]-p= 1pF(p) = 1pF(p) =On arrive :1p-ppF(p)-()=p2-2p2F(p)Do : F(p) = p2 + 2= F(p)

Autre calcul, bien plus rapide :On a vu que :1p+a=L { exp at }Reprenons cette criture en remplaant a par j, avec constante :1p+j=L { exp -jt }p-jp2+2=Or : exp -jt = cos t j sin tEt, par linarit : L {exp -jt} ) = L{cos t} j L{sin t}pp2+2=jp2+2-L { exp -jt }L { cos t - j sin t }=Par identification : L{cos t} =L{sin t} = pp2+2p2+2dj vu

Il existe des formulaires de transformes de Laplace.

Principales Proprits des Transformes de LaplaceLinarit :Par dveloppement et lintgrale dune somme est la somme des intgrales.Trs utilise lors des calculs des transformesIl suffit de se rappeler de la dfinition

Principales Proprits des Transformes de LaplaceTransformes de Laplace dune driveu = exp (-pt)dv = f(t) dtdu = (-p) exp (-pt) dtv = f(t)Par u dv = [ u v ] v duIntgration par parties :L {f(t)} = p F(p) f(0+)Appliquons notre calcul= F(p)

Principales Proprits des Transformes de LaplaceTransformes de Laplace dune drive, suite {f(t)} = F(p) {f(t)} = p F(p) f(0+) {f(t)} = p [ p F(p) f(0+) ] f(0+) {f(t)} = p {p [p F(p) f(0+) ] f(0+)} f(0+)

Principales Proprits des Transformes de LaplaceTransformes de Laplace dune intgrationu variable dintgrationF(p)Posons :soit :Par la page prcdente :or :Do :=0pL {f(t)} =

Principales Proprits des Transformes de LaplaceThorme du retardf(t) u(t)f(t-) u(t-)La transforme de Laplace de la fonction retarde est :Posons x = t-t = x +Quand t parcours linfini, x parcours de 0 linfiniLa transforme scrit :==x : variable dintgrationChangement de variabledx = dt

Principales Proprits des Transformes de LaplaceThorme de lamortissement, ou multiplication par lexponentielle Ecriture de F(p) dans laquelle on a remplac p par p+k

Principales Proprits des Transformes de LaplaceThorme de la valeur initiale Thorme de la valeur finale Si elle existe,

Principales Proprits des Transformes de LaplaceTransforme de Laplace dune fonction priodique G(p) est la transforme de Laplace de g(t), alors F(p) la transforme de f(t) scrit :une fonction f(t) priodique de priode T, faite de motifs g(t)

Principales Proprits des Transformes de LaplaceThorme de convolution La convolution de deux fonctions f(t) et g(t), est la fonction h(t) dfinie parque lon note h(t) = f * g .Cette opration est commutative, cest--dire queOn a :Rappel : la transforme de Laplace dun produit nest pas le produit des transformes de Laplace !

Rappel :A une fonction f(t) dans le monde rel correspond une fonction F(p) dans le monde symbolique. Cette fonction est appele : image de f(t). Inversement f(t) est appele : originale de F(p).Comment retrouver f(t) partir de F(p) ?Transformes inverses de Laplace1) Par lecture des tables de transformes2) et/ou par exploitation des proprits3) et/ou par dcomposition en lments simples (dans le cas de F(p) en fractions rationnelles)4) par la mthode des rsidus (vue plus tard)

Dfinition, proprits

Application llectroniqueTRANSFORMEES DE LAPLACE

Application 1 : Circuit LR attaqu par un chelon de tension

On pose :Ecrire les quations qui rgissent le circuit, sous forme temporelle, et sous forme de Laplace. On applique en e(t), un chelon de tension, damplitude Eo. Condition initiale nulle. Dterminer lexpression de I(p). En dduire i(t).e(t) = uL(t) + uR(t)uL(t) = L di/dt uR = R i(t)E(p) = UL(p) + UR(p) UL(p) = L p I(p) UR(p) = R I(p) E(p) = (R + L p) I(p)E(p) = L{e(t)}S(p) = L{s(t)} I(p) = L{i(t)}E(p) = Eo/pi(t) = ?

i(t) = ?Il nous faut trouver loriginal de I(p)1) Par lecture des tables de transformesOn connat : loriginal de 1/p : u(t)loriginal de 1/(p+a) : u(t) exp (-at)Mais on na pas loriginal de 1/[p(p+a)] ou du moins on suppose que lon ne la pas2) et/ou par exploitation des proprits3) et/ou par dcomposition en lments simples (dans le cas de F(p) en fractions rationnelles)Eo Eoi(t) = Eo/R [ 1-exp (t/) ] u(t) = L/Rs(t) = Eo [ 1-exp (t/) ] u(t) S(p) = R I(p)s(t) = R i(t)On prend loriginalR -R/LA =B =

e(t) = uL(t) + uR(t)uL(t) = L di/dt uR = R i(t) E(p) = (R + L p) I(p)EopE(p) =Tension s(t) = R i(t) : Rcapitulation :

Equations temporelles,

Transformation en Laplace

Rsolution sous Laplace

Retour en temporels(t) = Eo [ 1-exp (t/) ] u(t)Eots(t) t -> infini, courant continu, di/dt = 0 et s = e = Eo

1- On intgre dabord lESSM :L i + R i = e(t)i(t) = Io exp [-t/] avec = L/RuL(t) = L di/dt uR = R i(t)L i + R i = 02- On recherche une solution particulire :On recherche i(t) qui satisfasse : L i + R i = constante = Eoi(t) de la forme = constant rpond cette quationi(t) = Eo/R3- La solution complte est : la solution de lESSM + solution particulirei(t) = Io exp [-t/] + Eo/R 0 = Io exp [-t/] + Eo/R4- La constante dintgration Io est alors calculable par la condition initiale t = 0, i(t) = 0, soit : => Io =- Eo/RIl vient : i(t) = Eo/R (1-exp [-t/])Par s(t) = R i(t) :s(t) = Eo (1-exp [-t/])pour t > 0Rappel :Rsolution en temporel

Application 2 : Circuit LR attaqu par une rampe de tensionOn applique en e(t), une rampe de tension, dexpression kt.Condition initiale nulle. Dterminer lexpression de I(p). En dduire i(t).

Rappel : transforme de Laplace de la rampe unitaire :1p2Lentre e(t),qui est une rampe kt,a comme transforme de Laplace : kp2E(p) =Les quations de maille sont inchanges, et on conserve :Il nous faut trouver loriginal de cette expression pour avoir i(t)Dcomposition en lments simplesABCp2pR+Lp++=ABC/Lp2pp+R/L++=i(t) = [At + B + C/L exp (-t/)] u(t)Supposons A, B, C calculsou pour t > 0Original terme terme

ABCp2pR+Lp++=Parmi les diffrentes mthodes, lidentification aprs rduction au mme dnominateurA(R+Lp) + Bp (R+Lp) + C p2p2 (R + Lp)= Dop2(BL+C) + p (AL + BR) + AR= k=0=0= kC = - B LB = - A L / RA = k/RB = - k L / R2C = k L2/R2Dcomposition en lments simples

A = k/RB = - k L / R2C = k L2/R2i(t) = [At + B + C/L exp (-t/)] u(t)i(t) = k/R { t - [1- exp (-t/)] } u(t)Do le traci(t) = [ (k/R) t - k L / R2 + k L/R2 exp (-t/)] u(t)i(t) = (k/R) {t - L / R + L/R exp (-t/) } u(t) = L/R

i(t) = k/R { t - [1- exp (-t/)] } u(t) t tendant vers 0 : t tendant vers linfini :ti(t) = 0i(t) se comporte comme :R i(t) = k { t - [1- exp (-t/)] } u(t)R i(t)Rk {t - } u(t)Pour t grand, la tension Ri(t) se comporte comme : k {t - } u(t)R i(t)e(t)Tension R i(t) :k { t - [ 1- exp (-t/) ] } pour t > 0droites parallles : pente k

e(t) = uL(t) + uR(t)uL(t) = L di/dt uR = R i(t) E(p) = (R + L p) I(p)kp2E(p) =Tension s(t) = R i(t) :k { t - [ 1- exp (-t/) ] } pour t > 0 Rcapitulation :




Retour en temporel

Application 3 : Circuit RC attaqu par une impulsion de courant Io de dure TForme du courant i(t)montage

Forme du courant i(t)montageUtiliser le formalisme de Laplace pour exprimer I(p), transforme de Laplace de i(t).i(t) =Io u(t)-Io u(t) retard de TIo u(t-T)IopIopexp (-Tp)IopIopexp (-Tp)-I(p) =soitThorme du retardTransformes de Laplace terme terme

Remarque intressante :I(p) peut aussi se dterminer par la dfinition :Pour cet exemple simple,

IopIopexp (-Tp)-I(p) =Par loi dOhm aux bornes dun condensateurUc(p) = 1CpI(p)Sans C.I.IoCp2IoCp2exp (-Tp)-Uc(p) =Nous avons calculIl nous faut maintenant uc(t)

IoCp2IoCp2exp (-Tp)-Uc(p) =Do terme terme :IoCCuc(t) =-t u(t)Io(t-T) u(t-T) IoCtIoC(t-T)Ce qui signifie :pour t > 0, nul ailleursPour t > T, nul ailleursOn finit en recherchant loriginal de UC(p)

IoCtIoC(t-T)pour t > 0, nul ailleurspour t > T, nul ailleursIoCCuc(t) =-t u(t)Io(t-T) u(t-T) IoCTConstruction de uc(t) :Courant nul,le condensateur reste chargCharge courant constant

IopIopexp (-Tp)-I(p) =IoCp2IoCp2exp (-Tp)-Uc(p) =i(t) = Io u(t) - Io u(t-T)IoCCuc(t) =-t u(t)Io(t-T) u(t-T) Rcapitulation :




Retour en temporel

Dcomposition en lments simplesN(p)D(p)degr de D(p) > degr de N(p)Cas 1 : toutes les racines de D(p) sont relles et diffrentes (ples simples)D(p) peut scrire sous une forme comme (p+a) (p+b) (p+c)N(p)D(p)= ABCp+ap+bp+c++a, b, c, rels[il y a autant de termes que le degr de D(p)]Cas 2 : des racines de D(p) sont relles et gales (ples multiples, de mutiplicit n)N(p)D(p)= A1BCp+ap+bp+c++D(p) peut scrire sous une forme comme (p+a)n (p+b) (p+c)A2(p+a)2A3(p+a)3++ + An(p+a)n+Cas 3 : des racines de D(p) sont complexes (ples complexes)D(p) peut scrire sous une forme comme (p2+ap+b) (p+c)Alors :Alors :Tel que le discriminant est < 0Alors :N(p)D(p)= Ap+Bp2+ap+bp+c+CCas 4 : des racines de D(p) sont complexes et multiplesD(p) peut scrire sous une forme comme (p2+ap+b)n (p+c)Alors :N(p)D(p)= p2+ap+bp+c+A1p+B1C(p2+ap+b)2+..+ A2p+B2(p2+ap+b)nAnp+Bn+a, b, c, rels

Application 4 : Circuit dordre 21) Interrupteurs dans cette position, donner courants, tensions dquilibre (rgime permanent)2) On commute les 2 interrupteurs simultanment. Calculer i(t) circulant dans L1.iL1 = iL2 = 0 (branches ouvertes)uC = 1 VCela permet de placer des conditions initiales pour la question suivante ;+)

veuR2uR1uCuL1uL2ve = uR1 + uL1 + ucuL1 = L1 di/dtuR1 = R1 i

uc = 1/C (i-i2) dt

uC = uR2 + uL2uR2 = R2 i2uL2 = L2 di2/dti(t)i2i-i2Flchons courants, tensions :Etablissons les lois des mailles, lois des noeudsve = R1 i + L1 di/dt + uCduC/dt = (1/C) (i-i2)uC = R2 i2 + L2 di2/dt(1)(2)(3)

ve = R1 i + L1 di/dt + uCduC/dt = (1/C) (i-i2)uC = R2 i2 + L2 di2/dt(1)(2)(3)Transformes de Laplace Rappel :L {f(t)} = p F(p) f(0+)Ve(p) = R1 I(p) + L1 [ p I(p) i(0) ] + UC(p)p UC(p) uC(0) = (1/C) [I(p) I2(p)]UC(p) = R2 I2(p) + L2 [ p I2(p) i2(0) ]Avec, daprs la question prcdente : i(0) = 0 A , i2(0) = 0 A , uC(0) = 1 Vliminons I2 :Par (3) : I2 = UC(p)R2+L2pMis dans (2) : p UC(p) 1 = (1/C) [ I(p) - ]UC(p)R2+L2pOn trouve alors une expression de UC(p) :UC(p) = ( I(p)/C + 1)p2 L2 C + R2 C p + 1( R2+L2p )CQue lon place dans (1), pour aboutir : I(p) = Ve(p)[ p2 L2 C + R2 C p + 1 ]- ( R2+L2p )C[p2 L2 C + R2 C p + 1]( R1 + L1p ) +R2 + L2pConsquence de la C.I.Transforme de Laplace de i(L1)

Application numriqueVe(p) = 1/p (linterrupteur cre un chelon de 1 V)I(p) = (1/p)[ p2/2 + 2p + 1 ] (4 + p) (1/2)(4+p) [ p2/2 + 2p + 1 ] + 4 + pSoit, aprs simplification :I(p) = 1p [ p3/2 + 4p2 + 10 p + 8 ]On remarque que :[ p3/2 + 4p2 + 10 p + 8 ](p+a) (p+b) (p+c)1=2Soit, aprs identification : a = 2, b = 2, c = 4do I(p) = 2p (p+2)2 (p+4)qui se dcompose en lments simples :ABCDp(p+4)(p+2)2(p+2)+++I(p) =Avec :A = 1/8, B = 0 , C = -1/2 , D = -1/8 1118 p8(p+4)2(p+2)2--I(p) = Do, loriginal, terme terme : 1 1 t exp (-2t) 1 exp (-4t)882i(t) = pour t > 0i(t)

Script :Exploitons Matlab pour tracer cette quation 1 1 t exp (-2t) 1 exp (-4t) 882i(t) = pour t > 0exp(-2t) 1 - 2t + 2t2 +

do t exp(-2t) t - 2t2 + 2t3 +

exp(-4t) 1 - 4t + 8t2 - (64/6) t3 +...

i(t) t3/3t = (0 : 1e-3 : 5) ;i = 0.125 0.5*t.*exp(-2*t)- 0.125*exp(-4*t);figure(1) ;plot(t,i) ;title('courant')xlabel('temps')Rem : pour t , i(t) 0,125 AAu voisinage de 0

Exploitons Pspice pour vrifier le comportement de ce circuitevolution du courant dans circuit R1L1CL2R2* fichier ordre2.cirVe 1 0 DC=1R1 1 2 4L1 2 3 1 IC=0C 3 0 0.5 IC=1L2 3 4 1 IC=0R2 4 0 4 .tran 1m 5 0 1m UIC.probe.endValeur finale : 0,125 AValeur du courant t = 0 : 0 AOn retrouve la condition initialei(t)En DC, la source 1 V est connecte 4 + 4 = 8 ,do i = 1/8 = 0,125 A

Thorme de la valeur initiale Thorme de la valeur finale Si elle existe, Soit lim p 1118 p8(p+4)2(p+2)2--( )p= 0Soit lim p 1118 p8(p+4)2(p+2)2--( )p0= 1/8 = 0,125On a donc i(0) et i() avant davoir lexpression de i(t)lim i(t) = lim p I(p)pt0lim i(t) = lim p I(p)p0t

Pour info : exploitons Pspice pour visualiser les autres grandeurs(1)(2)(3)(4)Condensateur chargV(2) = V(3) = V(4) = 0,5 VuC(0) = 1 ViC < 0 signifie courant sortant (dcharge)


Analyse harmonique

QuadriplesCIRCUIT

Principe, notion de transmittance

Application llectroniqueANALYSE HARMONIQUE

notion de transmittance S(p) = R I(p) E(p) = (R + L p) I(p) La transmittance en p est la fonction de transfert :grandeur de sortie en pgrandeur dentre en pUtilise dans le formalisme des schmas blocs.Rem : Transmittance ou fonction de transfert.

Rappel : Pour les systmes linaires, l'analyse frquentielle permet de connatre la rponse du systme une excitation sinusodale, diffrentes frquences.de la transmittance en p la rponse harmoniqueLtude de la rponse harmonique d'un systme consiste simplement tudier le nombre complexe T(j) qu'on appelle transmittance harmonique (ou transmittance complexe).Le nombre complexe T(j) s'obtient simplement en remplaant p par j dans l'expression de la fonction de transfert T(p).

Il existe plusieurs reprsentations d'un nombre complexe (module et phase) en fonction de la frquence (ou pulsation) Les lieux de Bode sont constitus : d'une courbe de gain (en dB) rappel : Gain = 20 log I A I et d'une courbe de phase (en , ou en rad).On utilise une chelle semi logarithmique :

Pulsation (ou frquence) sur une chelle log

G sur une chelle linaire en dB (cest--dire A sur une chelle log).BodeNyquistBlackBode

Il existe plusieurs reprsentations d'un nombre complexe (module et phase) en fonction de la frquence (ou pulsation) : C'est la reprsentation du nombre complexe T(j) dans le plan complexe, en coordonnes polaires, en faisant varier le paramtre de 0 l'infini.BodeNyquistBlackNyquistLe lieu de Nyquist est gradu en valeurs de (ou f).

Il existe plusieurs reprsentations d'un nombre complexe (module et phase) en fonction de la frquence (ou pulsation) :BodeNyquistBlackBlack varie de 0 + en abscisse, la phase (en degr, sur une chelle linaire) et en ordonne, le gain G (=20 log |A|)Le lieu de Black est gradu en valeurs de (ou f).

Rponses harmoniques du drivateurhttp://www.iutenligne.net/ressources/automatique/verbeken/CoursAU_MV/BodeNyquistFonction jModule : Phase : artg = /220 log 20 log module

Rponses harmoniques de lintgrateurBodeNyquistFonction 1/jModule : 1/Phase : artg - = -/220 log 1/= - 20 log 20 log modulehttp://www.iutenligne.net/ressources/automatique/verbeken/CoursAU_MV/

Intrt des Tracs de Bode :Les tracs de 20 log {module} et de la phase se font par tapes lmentaires20 logN(j)D(j)20 logD(j)20 logN(j)-= { }N(j)D(j)arg{ }N(j)D(j)arg { }N(j)-arg { }D(j)ou== 2 tracsPar log (A B) = log A + log B, on a := 2 tracs permettent davoir le produit20 logN1(j) N2(j)20 logN2(j)20 logN1(j)+=Par log (A / B) = log A - log B, on a := 2 tracs permettent davoir le rapportPar log (A B / C D)T(j) = N1(j) N2(j)T(j) = N(j) / D(j)(1 + j ) (1 + j )12(1 + j ) (1 + j )34T(j) = Par arg (A / B) = arg A - arg B, on a :etcCas dune fonction produitCas dune fonction rapport= log A + log B log C log DetcCas gnralDe mme, pour la phase :

Exemple de base : transmittance vue prcdemmentTransmittance que lon pose T(p) rapport des tensionsDo T(j) Remarque : cest galement la transmittance dun circuit RC1/CpR + 1/Cp=11 + RCpremplaons p par j :=

logN(j)D(j)trac de 20 logN(j)trac de 20 logD(j)logD(j)logN(j)-=20 logN(j)Dj()20 logD(j)20 logN(j)-=permettent davoir le trac de 20 logN(j)Dj() { }N(j)D(j)arg{ }N(j)D(j)arg { }N(j)-arg { }D(j)ou=trac detrac depermettent davoir le trac de arg{ }N(j)arg{ }D(j){ }N(j)D(j)Rappel :Le trac de Bode se fait par tapes

20 log20 logD(j)20 log 1 - = 0 infiniD(j)1D(j) infini20 log0 dB20 log- infini= - 20 logD(j){ }= - 20 logarg { } -arg{ }D(j)1== - arg{ } 0 infiniarg D(j) artg 0 = 0arg D(j) artg { } = 1/D(j) = 220 log= - 3 dB = 1/ /2- artg 1 = - artg infini - /2 - /4 = - 45- artg 0 0arg T(j) arg T(j) arg T(j)

20 log 0 infini0 dB- infini{ }= - 20 logarg{ } 0 infini = 1/= - 3 dB = 1/ - /2 = - 450

Bode3 dBf infini : Asymptote : -20 dB/dcadef 0 : Asymptote horizontale-45Intgrateur en hautes frquencesI I 0G - -/2f, I I 1G 0 0f, 0

NyquistComportement quandf 0f infiniRepre orthonorm : lieu en demi cercle10 Hz (exemple)20 Hz (exemple)

50 Hz (exemple)

1IncompletIntgrateur en hautes frquences -/2I I 0f, 0I I 1f, 0

Pourquoi est-ce un cercle ?Dans le plan complexe, laffixe de T(j) est :x =y = - Combinons (1) et (2)(1)(2)y = - xSoit y2 = x2 ( )2(12)(1) :( )2 = 1/x - 1Soit, (12):y2 = x2 (1/x -1 ) = x - x2 = - [x2 - x + - ] = - [(x-1/2)2 - ]Do : y2 + (x-1/2)2 = 1/401/211quation dun cercleRayon 1/2Centre y = 0 et x = 1/2(y-y0)2 + (x-x0)2 = R2x + x( )2 = 1x( )2 = 1- x

Intrt des Tracs de Bode :Les tracs de 20 log {module} et de la phase se font par tapes lmentaires(1+ jf/f1) (1+jf/f2) jf/fNvs(jf)ve(jf)=fN 1 kHz ; f1 1 kHz ; f2 100 kHzAutre exemple1k10k100k1M1000 dB0- /2+20 dB/dec-20 dB/dec-20 dB/decvs(jf)ve(jf)20 log+ /2Tracsasymptotiquesf

propos de lchelle log11024852,51,25En toute rigueur log 2 = 0,30102999log 2 0,3Arrondir 0,3 reprsente une erreur de 0,34 % environce qui est acceptable pour un trac.Or 0,3 = 310Prenons un axe, et marquons 10 intervalles rgulirement espacsPlaons 1Plaons 10+ 1 octave+ 1 octave+ 1 octaveMultiplier par 2 ajouter une octaveMultiplier par 10 ajouter une dcade+ 1 dcade- 1 octave- 1 octave- 1 octaveDiviser par 2 retirer une octaveCOMMENT FAIRE SI ON NA PAS DE PAPIER LOGARITHMIQUE ?2 sur une chelle log est au 3/10

11024852,51,25- 1 dcade+ 1 octave161,63,26,4Continuons graduer une chelle log :Ces valeurs sont donc places sur une chelle logRemarque :12,8+ 1 octave????Pourquoi ny a-t-il pas un rapport 10 ? chaque octave, on a fait une erreur de 0,34 %On a fait : 2; 4; 8; 16 : 4 fois lerreur,Retour 1,6 : pas derreur puis 3,2; 6,4; 12,8 : 3 fois lerreur.Soit au total un cumul de 7 erreurs dans le mme sens(1,0034)7 = 1,0241,25 x 10 x 1,024 = 12,8On ajoute 2 intervalles

Autre truc savoir :abchelle logMilieu du segment [a b] sur une chelle logMilieu gomtriquea b1103,16etc

101002040801k200400800Exprimentalement, pour tracer une courbe, quelques points judicieusement placs apportent toute linformation utile.2k4k8k10kJudicieusement placs : par exemple : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 10ou : 1 ; 2,5 ; 5 ; 10 ou : un mix des 2 (1 ; 2 ; 5 ; 10 ) etc10100204080log

0010 010+ 1 dcade- 1 dcadeDernier truc savoir,sur lartg :Lasymptote oblique est proche de la fonction artg :Asymptote obliqueLcart entre ces 2 courbes est infrieur 6logCela forme donc un trac rapide et reprsentatif, de la phase dun systme du premier ordrePente 45 par dcade

Rappel : ces tracs (Bode, Nyquist, Black) prsents ont pour fonction de transfert :Obtenues, par exemple, avec les montages suivants :Sont avec des montages sans courant dbiti = 0T1(j)T2(j)T(j) = s(j)/e(j) T1(j) T2(j)Consquence :i = 0

Lien entre rponse harmonique et comportement temporel (rponse lchelon)Cas du passe bas1/2Rponse indicielle rapide = bande passante leve faible1/ levBP-3dBComportement statiquet f 0

Systme du deuxime ordreANALYSE HARMONIQUE

11 + 2 z j 0- 0221 + 2 z j 0- 0222 z 0p+ 02p2 + 1 12 z 0p+ 02p2 + 1 Expressions gnrales : LaplacepjEtude harmoniquez : 0 : Pulsation propreCoefficient damortissementPasse hautPasse bas

1 + 2 z j 0- 022Phase+0 1 - 0222 z 022Ces fonctions sont paramtres en z = artg{ } 1 - 0222 z 0Variable rduiteModule3 cas : z > 1 ; z = 1 ; z < 1

1 + 2 z j 0- 022Si z > 1, le trinme : 2 z 0p+ 02p2 + 1peut scrire :(1 + 1p) (1 + 2p) 02=Tel que :1= 1 == 2 == f1 == f2 =f02= f1 f2 0 1 2 f0= f1 f2 1 12 121 122 (1 + j/1) (1 + j/2) peut scrire :chelle log11 12 =1120f1f2f0fz > 1f1 f2

z > 1BodeNyquistz = 1z < 1Passe bas 0,01 100 >> T=tf([1],[1,100,1]);>> bode (T)>> T=tf([1],[1,10,1]);>> bode (T)0= 1z = 500= 1z = 5 0,1 10 = 0 = -0 dBpj(1 + j/1) (1 + j/2) 11z > 1 : quivalent :1 2 Il faut monter haut en frquence pour vrifier ordre 2

z > 1BodeNyquistz = 1z < 1>> T=tf([1],[1,100,1]);>> nyquist (T)>> T=tf([1],[1,10,1]);>> nyquist (T)0= 1z = 500= 1z = 5 = 0 = + > 0zoom- = Mme lieuMais coordonnes des frquences diffrentesIl faut monter haut en frquence pour vrifier ordre 2 -/2 ??? < 0 = -

1 + 2 z j 0- 022z > 1BodeNyquistz = 1z < 1>> T=tf([1],[1,2,1]);>> bode (T)Cas particulierPle double- 6 dB0= 1z = 1(1 + j/0) 1z = 1 : quivalent 21

1 + 2 z j 0- 022z > 1BodeNyquistz = 1z < 1>> T=tf([1],[1,2,1]);>> nyquist (T) = 0 = > 0Ce passe-bas est clairement un ordre 2 : 2 quadrants traverss1

1 + 2 z j 0- 022z < 12 z 0p+ 02p2 + 1+ 1 - 0222 z 022Le moduleLe module passe par un maximum R appele pulsation de rsonanceR = 0 1 - 2 z 2la rsonance nexiste que si z

1 + 2 z j 0- 022z > 1BodeNyquistz = 1z < 1>> T=tf([1],[1,0.2,1]);>> bode (T)0= 1z = 0,1R = 0 1 - 2 z 2= 1 0,02= 0,98 1 = 0I I = 2 z 1 - z 21 0 , = - 90I I =2 z1 1

1 + 2 z j 0- 022z > 1BodeNyquistz = 1z < 1>> T=tf([1],[1,0.2,1]);>> nyquist (T)Rsonance :Augmentation du moduleGrande variation angulaire sur une faible variation de frquence = 0 = > 00= 1z = 0,1-45-1351

Lien entre rponse harmonique et comportement temporel (rponse lchelon)z00,707z01rsonancePeu marqueTrs marque1quivalent 2 premiers ordresconfondusTrs sparsRponse oscillatoireCas du passe bas>> T=tf([1],[1,0.2,1]);>> step (T)>> T=tf([1],[1,2,1]);>> step (T)>>T=tf([1],[1,10,1]);>> step (T)Il faut zoomer au voisinage de t = 0 pour vrifier ordre 2 :Tangente horizontale et point dinflexionz = 0,1z = 1z = 5Faiblement amortie

Systmes dordre suprieur 2ANALYSE HARMONIQUELe trac de Bode se fait par tapes successives, en partant de tracs lmentaires connus(1 + j )1j1(1 + j ) (1 + j )121 + 2 z j 0- 022(1 + j )1j1(1 + j ) (1 + j )121 + 2 z j 0- 0221111

>> TA=tf([1],[1,0.2,1]);>> bode (TA)>> T3=tf([0, 1],[1/100, 1]);>> bode (T3)>> T=TA*T3;>> bode (T)1 + 2 z j 0- 0221(1 + j )110= 1z = 0,11 = 100 - 40 dB/dcPasse bas Ordre 2, avec rsonance- 20 dB/dcPasse bas, Ordre 11 rad/s100 rad/s- 40 dB/dc- 60 dB/dcSur la courbe de phase, les 2 cassures (spares par 2 dcades) ne sinfluencent pratiquement pasAsymptote obliqueEx. 1

>> T=tf([1,0.2,1],[0,1]);>> bode (T)>> T3=tf([0, 1],[1/100, 1]);>> bode (T3)>> Tt =T*T3;>> bode (Tt)1 + 2 z j 0- 022(1 + j )110= 1z = 0,11 = 100 Passe haut Ordre 2, avec rsonance1 rad/s- 20 dB/dcPasse bas, Ordre 1100 rad/s1100+ 40 dB/dc+ 20 dB/dcDans ce cas (z=0,1), les 2 cassures (spares par 2 dcades) ne sinfluencent pratiquement pas+ 40 dB/dcEx. 2

1 + 2 z j 0- 022(1 + j )110= 1z = 51 = 100 >> T2=tf([1,10,1],[0,1]);>> bode (T2)>> T1=tf([0, 1],[1/100, 1]);>> bode (T1)>> T =T2*T1;>> bode (T) 0,1 10 + 40 dB/dc- 20 dB/dcPasse bas, Ordre 13 cassures : 0,1 et 10 100 0,1 10 La courbe relle de phase na pas le temps datteindre les asymptotes40 dB0 dB80 dB120 dBEx. 3

Principe, notion de transmittance


Principe , notion de transmittance


Application n1 : montages passifs, (tudis en TD n 6)montages passifs, (tudis en TD n 5)

vs(j)ve(j)Rponse harmonique de :Application n2 : Ordre 2, passif

H(j) =vs(j)ve(j)vs(j)ve(j)ZTH =j R1 LR1 + j Lvs(j)ETH =R1R1 + j Lve(j)Par pont diviseur de tension :vs(j) = ETH R2R2 + (1/jC) + ZTHSoit : vs(j) = R1R1 + j Lve(j)R2R2 + (1/jC) + ZTHj/n1 + 2 z j 0- 022=vs(j)ve(j)Ordre 2, passif

Soit : vs(j)ve(j)j R2 C1 + j [R2 C + (L/R1)] LC2 (1+R2/R1)=n = LC (1+R2/R1)10 =1R2 Cj/n1 + 2 z j 0- 022vs(j)ve(j)=n = 6250 rad/s 0 = 63,38 krad/sfn 1 kHz f0 10 kHzDo z = 5,1A.N. : R1 = 1,8 k ; R2 = 1 k ; L = 1 mH ; C = 160 nF.2 z 0= R2 C + (L/R1)Rem : z > 1 (2 racines relles) signifie que le polynme dordre 2 scrit :(1+ j/1) (1+j/2)Par identification :ou (1+ jf/f1) (1+jf/f2)avec :f1 =f2 =A.N. : f1 1 kHz ; f2 100 kHz

vs(j)ve(j)(1+ jf/f1) (1+jf/f2) jf/fN=fN 1 kHz ; f1 1 kHz ; f2 100 kHz

(1+ jf/f1) (1+jf/f2) jf/fNvs(j)ve(j)=fN 1 kHz ; f1 1 kHz ; f2 100 kHz1k10k100k1M1000 dB0- /2+20 dB/dec-20 dB/dec-20 dB/decvs(j)ve(j)20 log+ /2Tracsasymptotiquestude dj vue

(1+ jf/f1) (1+jf/f2) jf/fNvs(j)ve(j)=fN 1 kHz ; f1 1 kHz ; f2 100 kHz

(1+ jf/f1) (1+jf/f2) jf/fNvs(j)ve(j)=fN 1 kHz ; f1 1 kHz ; f2 100 kHz>> T1=tf([1/(2*pi*1e3), 0],[0, 1]);>> bode (T1,{2*pi*1e2,2*pi*1e6})>> T2=tf([0, 1],[1/(2*pi*1e3), 1]);>> bode (T2,{2*pi*1e2,2*pi*1e6})>> T3=tf([0, 1],[1/(2*pi*100e3), 1]);>> bode (T3,{2*pi*1e2,2*pi*1e6})>> T=T1*T2*T3;>> bode (T,{2*pi*1e2,2*pi*1e6})100 Hz100 MHz

Comportement en BFComportement en HFInterprtationL

Nyquist>> nyquist (T);Comportement en BFComportement en HFI I 0 /2f, 0I I 0 -/2f, En milieu de bandeI I 1 = 0f = 10 kHzI I = 0,707 = /4f = 1 kHzI I = 0,707 = -/4f = 100 kHzRem : presque 2 demi-cerclesf, 0f,

Application n3 :

montage propos en examen de TP circuit 2007Il sagissait dtablir la rponse harmonique thorique et exprimentaleOrdre 2, passif

aprs remplacement des expressions de ETH et ZTH, Premire tape : tude pralable du circuit R1C1R2C2De ce schma rduit,on dduit, par pont diviseur, VsAppliquons le thorme de Thvenin

Deuxime tape : schma de dpart, et Thvenin aux bornes de C1On aboutit :

dun filtre passe-bas, dordre 2 : - pour f tendant vers 0, une attnuation (consquence du pont diviseur 0,45, visible sur le schma quand on retire les condensateurs) - une frquence propre 1,9 kHz,- au-del, une asymptote de 40 dB / dcadehttp://membres.lycos.fr/cepls/http://membres.lycos.fr/cepls/circuit/circuit.pdfCorrig complet sous une rubrique du site En remplaant p par j, on dispose de T(j), puis trac de la rponse harmoniqueDaprs les valeurs numriquesdes composants :Au final,

NyquistT=tf([0, 0.45] , [1/(11917)^2, 2*1.9/11917, 1]) Transfer function: 7.042e-009 s^2 + 0.0003189 s + 1 --------------------------------0.45 >> bode (T)>> nyquist (T) > 0 0

Application n4CalculerVS1(p) = Ve(p) 11 + R C pVS2(p) = Ve(p) VS1 VS2 R C p1 + R C pVS(p) =VS1(p) VS2(p) VS(p) = Ve(p)1 + R C p1 - R C p1 + R C p1 - R C pVe(p)Vs(p)Ve(p)Vs(p)=1 + j R C1 j R Cve(j)vs(j)=Rponse harmonique

Nouveau !Une fonction complexe comme1 j /nprsente :1 + j /nMme module que Phase oppose :artg (/n)= - artg (/n)Phase inverseMme module, mme gain1 + j /n1 - j /n1 j R C0900-9020 log20 logCe nest pas un circuit phase minimale

1 - j /n0-9020 log1 + j R C1 j R Cve(j)vs(j)=0-900-1801 + j /n20 log1numrateurdnominateur10 dB0 dB0 dBCe circuit est un dphaseur

Application n5:

montage base dune source lieCalculer vs(jw) / ve(jw)

Tracer sa rponse harmoniqueBode, Nyquist,Rem : on peut utiliser le formalisme p, puis remplacer p par jou travailler directement en jOrdre 1, actif

Posons ic, le courant circulant dans le condensateur(1)(2)(3)Remarque : par simplicit dcriture, on omet (j) pour les grandeurs variables : ve(j) scrira ve (12)soit :(21) : soit :

(3)Remarque : par simplicit dcriture, on omet (j) pour les grandeurs variables : ve(j) scrira ve Expressions (12) de ve et (21) ic que lon reporte dans (3)Do :On aboutit :(12)(21)

Application numrique.= Av = - 221 k . 1 u= 2 krad/s soit fn = 318 Hz= 11 u (100 + 1000 + 200)= 769rad/s soit fd = 122,5 Hz

Rappel :1 j /nprsente :1 + j /nMme module que Phase := - artg (/n)T1=tf([-1/2000, 1],[1]);= 2 krad/s 1 - j /n

Trac de Bodefn = 318 Hzfd = 122,5 Hz6 dB0 dB-2,28 dB180 0 f10 Hz100 Hz1 Hz1 kHz10 kHz100 kHzf0 Avf - Avfd/fn 0,77= - 2Av = - 2122,5 Hz-6 dB / oct318 Hz

Lieu de Nyquist1 Hz100 kHz11- 1- 2210 kHz10 Hz100 Hz1 kHzfn = 318 Hzfd = 122,5 HzAv = - 2 0,77

Application n6 :

montage base dampli Op (parfait) (vu en cours SEA1)Calculer us(jw) / ue(jw)

Tracer sa rponse harmoniqueBode, Nyquist.Ordre 2, actif

RETARD PUR

Rponse harmonique dun retard purexp (Tp)p jexp (-jT)Module =Phase = R = 1- TretardSystmeconnu20 log {Module} = 0 dBR = - T 20 log {Module} : connuS : connue20 log {Module} : inchang Rponse harmonique de lassociation retard + systme :retard pur + systme linaire = - T + S

Trac deS :01T-1radDo le trac de = - T + SExemple de base : retard + passe basTrac deR :1- artg - T(log)(lin)chellesnon comparables !!!-/41T(log)Courbe en exponentielle0 repouss linfini

Construction graphique :Cas 1 : 1T1

Exemple numrique1T1

Construction graphique :Cas 2 : 1T1

1T1 , la phase du retard est trs importante alors que la phase du premier ordre na pas encore voluT = 100 =1Premier ordre seulRetard pur seulPremier ordre + retard 0,1 rad/s -qq= - 10 rad = - 570Exemple numrique :

Les retards purs sont trs prsents dans des domaines de la physique :thermiqueacoustiqueOndes radioTransmission par des lignes, rseaux, en longues distancesDans les asservissements, les retards purs sont nfastes.


Analyse harmonique

QuadriplesCIRCUIT

Les diffrents quadriples

ApplicationsQUADRIPOLES

On appelle entre l'accs 11' sortie l'accs 22' Tout quadriple est compltement caractris par les 4 lments dune de ses matrices reprsentatives. Il existe plusieurs matrices reprsentatives.Matrice reprsentative de quadriple : Matrice 2 x 2Triple Un quadriple contenant au moins une source (de courant ou de tension) est un quadriple actif.Un quadriple passif ne contient aucune source.

On mesure la valeur des lments en imposant une source un accs et laissant lautre en circuit ouvert. impdance d'entre circuit ouvert impdance de sortie circuit ouvert impdances de transfert circuit ouvert Matrice dimpdanceCircuit quivalentI2=0I1=0U1 = Z11I1 + Z12I2U2 = Z21I1 + Z22I2

La matrice Y est linverse de la matrice Z. Elle nexiste donc pas toujours (il faut que Z, si elle existe, soit inversible)admittance d'entre en court-circuit admittance de sortie en court-circuit admittances de transfert en court-circuit. Matrice dadmittanceCircuit quivalentI1 = Y11U1 + Y12U2I2 = Y21U1 + Y22U2

Rem : les lments des matrices hybrides sont de diffrentes dimensions (V/A, A/V, sans dimension). Matrices hybrides HMatrices de transmission tMatrices de chane TRem : le coef A reprsente U1/U2 I2 nul Rem : confusion possible avec matrice de chane Matrices autres

Pourquoi autant de matrices ?Il existe des relations de passage pour dterminer une matrice partir dune autre.

1) Lors de connexion entre quadriples, on choisit une matrice ou une autre pour calculer plus facilement la matrice rsultante.srie : [Z] = [Z] + [Z]parallle : [Y] = [Y] + [Y]Connexion cascadeMatrice de chane [ T ] = [ T ] . [ T ]

2) Selon le montage lectronique, on choisit une matrice qui existe et qui est facile ( identifier). Exemple sur un quadriple passif (exemple 1):impdance d'entre circuit ouvert : impdance de sortie circuit ouvert : U1U2I1I2Il vient :ZZ

2) Selon le montage lectronique, on choisit une matrice qui existe et qui est facile ( identifier). Exemple sur un quadriple passif (exemple 1):impdances de transfert circuit ouvert. U1U2I1I2= Z= Z

2) Selon le montage lectronique, on choisit une matrice qui existe et qui est facile ( identifier). Exemple sur un quadriple passif (exemple 1):Pour info :doU1U2I1I2

2) Selon le montage lectronique, on choisit une matrice qui existe et qui est facile ( identifier). Autre exemple sur un quadriple passif (exemple 2): impdance d'entre circuit ouvert. impdance de sortie circuit ouvert. impdances de transfert circuit ouvert. Il vient :

2) Selon le montage lectronique, on choisit une matrice qui existe et qui est facile ( identifier). Autre exemple sur un quadriple passif (exemple 3):Rem 1 : si on fait Zb 0, on retrouve la matrice Z du quadriple prcdentRem 2 : si on fait Za 0, on dtermine la matrice Z(p) du quadriple suivant :Il vient :Il vient :utilis en T.P. circuit : quadriple passif sans pertes

2) Selon le montage lectronique, on choisit une matrice qui existe et qui est facile ( identifier). Autre exemple sur un quadriple passif (exemple 4):impdance d'entre circuit ouvert. impdance de sortie circuit ouvert. impdances de transfert circuit ouvert. Il vient :

Quadriples en cascade : la matrice de chane T rsultante est le produit des matrices T de chaque quadriples (ordre des matrices = ordre des Quadriples, avec cette criture des matrices)Produit des matricesPour info, matrice hybride :Il vient :

Intressant : quadriples en Z du transformateurTransformateur seulassociation de 2 quadriplesTransformateur chargOn montre que :adapt si Zs = Ze = Zu n2 soit :avecM2 = L1 L2M : mutuelle inductance

Les diffrents quadriples

ApplicationsQUADRIPOLES

On reconnat des quadriples en cascade : la matrice de chane T rsultante est le produit des matrices T de chaque quadriple.le coef A reprsente U1/U2 I2 nul Do une faon de calculer la fonction de transfert U2/U1 = 1/AU2(p) 1U1(p) 1+RCp=1) Fonction de transfert dun rseau passif : par quadripoleCalculer U2(p)/U1(p)Produit des matricesIl vient :

2) Continuons le rseau(que lon pouvait crire directement)=V2(p) V1(p)1==>Rappel :dj vu !

3) Continuons le rseauLimitons-nous au calcul du seul coefficient utile :Il suffit dajouter une matrice dans le produit :V2(p) V1(p)Do, aprs dveloppement :Et ce, avec R1=R2=R3=R et C1=C2=C3=C noter quelque part !

4) Modle du transistor bipolaire en rgime dynamique linaire petits signaux : quadripleSon fonctionnement peut tre dcrit par un quadriple hybride. Chaque paramtre (h11, h12, h21, h22) reprsente un phnomne distinct au sein du transistor. (Par exemple le coefficient est h21).Rem : il existe dautres modles pour reprsenter le fonctionnement du transistor bipolaire en rgime dynamique linaire petits signaux.BCE

5) adapter une charge une source, de faon maximiser le transfert de puissance moyenne Cas basique : on dispose dune source, dune charge, mais non adapte P est fonction de RLP passe par un maximum pour RL = Rth

5) adapter une charge une source, de faon maximiser le transfert de puissance moyenne Cas basique : on dispose dune source, dune charge, mais non adapte On intercale unquadriple :De (2) on dduit I2 que lon place dans (1), pour en sortir U1/I1 = Zin: (2)(1)Un calcul similaire donne U2/I2 ( Eg = 0) ) Zout : Rem : relationutilise tout lheure

5) adapter une charge une source, de faon maximiser le transfert de puissance moyenne (suite) Le quadriple doit tre rgl pour avoir :(condition de transfert maximal de puissance)Et Q ayant le moins de pertes possibleQUADRIPOLE ADAPTATEUR DIMPEDANCESSans rsistanceou selon un cahier des charges donnant lattnuation sortie/entre.maxmax

Exemples de montage adaptateur dimpdance : cas de figure frquent (en HF) : quadriple passifPour un quadriple passif, nous avons Z21 = Z12Les quadriples passifs (sans source interne), sont dfinis par 3 paramtres.Si ce quadriple passif est symtrique, nous avons Z11 = Z22(symtrique : permutation entre/sortie sans consquence)donne :

Exemple concret (purement rsistif) :600 Ohm50 OhmAdapt 600 OhmAdapt 50 Ohm612,2134,99134,99151,01Vue du point (1), limpdance est : 577,13 + 34,991 // (16,019+50) =Vue du point (2), limpdance est : 16,019 + 34,991 // (577,13+600) = Logiciel : RFSIM99(disponible sur le Web)50600

Peut se calculer par :

Association de matrices de chanes T

- Passage toile/triangle (Kennelly), si quadriple en T connuIl existe aussi le quadriple en PI :

Source WikipediaEt rciproquementKENNELLY

Mme exemple concret :600 Ohm50 OhmAdapt 600 OhmAdapt 50 OhmVue du point (1), limpdance est : 1,873 k // 857,365 + (51,981 // 50) = 600Vue du point (2), limpdance est : 51,981 // (857,365 + (1,873 k // 600) = 50

Exemples de montage adaptateur dimpdance en PI :Extrait de schma analys en ERII4 (sujet dexamen)

Exemples de montage adaptateur dimpdance en PI :Extrait de schma analys en ERII4 (sujet dexamen)On attnue puis on amplifieMais cest mieux que dtre dsadaptEt plus robuste en cas de fluctuation dimpdance

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Documents

507d99887ed42 Cours Circuit