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§5.4 Injectivité, surjectivité, bijectivitéDéfinition. On dit qu’une application linéaire f : Rn → Rm est
injective si deux vecteurs différents ont des images différents
surjective Si Im(f ) atteint tout l’espace d’arrivée Rm.
bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f estinversible.
Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :
1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent
2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent
3. Ker(f ) = ~0.
4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :
1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de f est m.3. Im(f ) = Rm.4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent
2. Le rang de f est m.3. Im(f ) = Rm.4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de f est m.
3. Im(f ) = Rm.4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de f est m.3. Im(f ) = Rm.
4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de f est m.3. Im(f ) = Rm.4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de f est m.3. Im(f ) = Rm.4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) =
a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm =
(~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
=
V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.
f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient
:
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) =
V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .
Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u1) = a11~v1+a21~v2+· · ·+am1~vm = (~v1 · · ·~vm)
a11...
am1
= V
a11...
am1
.f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
Exemples et exercicesLa matrice d’une application linéaire f qu’on avait calculé avant esttout simplement la matrice de f dans la base canonique.
(1) f(
xy
)=
(x
x + y
). Notons E la base canonique de R2. Alors
ME,E(f ) =??.
(2) Soit f : R2 → R2 linéaire telle que f (~e1) = −~e2 et
f (~e2) = ~e1 + 2~e2. Déterminer la matrice de f ainsi que f(11
).
(3) Soit f : R2 → R2 la projection orthogonale vers la droitex − y = 0. Représenter graphiquement l’application. Déterminer
f (~e1) puis f (~e2). Déterminer la matrice de f puis f(−31
).
(4) Même exercice avec f la réflexion orthogonale par rapport à ladroite x − y = 0.
(5) Même exercice pour la rotation d’angle π/4.
§5.6. CompositionLorsqu’on compose des applications linéaires
E f−→ Fg−→ G
de base BE BF BG
Quelle est la matrice de la composition g ◦ f ?
Théorème de composition. La matrice de g ◦ f est le produitmatricielle de la matrice de g avec celle de f .
Preuve. Nous cherchons une matrice M telle que g ◦ f (BE ) = BGM.
g ◦ f (BE ) = g(f (BE )) = g(BFM(f )) = g(BF )M(f )(BGM(g)
)M(f ) = BG
(M(g) · M(f )
).
Donc M =M(g) · M(f ).
Exemple. Soient f(
xy
)=
(x + y
y
), g(
xy
)=
(yx
). Calculer
g ◦ f et f ◦ g .
§5.6. CompositionLorsqu’on compose des applications linéaires
E f−→ Fg−→ G
de base BE BF BG
Quelle est la matrice de la composition g ◦ f ?
Théorème de composition. La matrice de g ◦ f est le produitmatricielle de la matrice de g avec celle de f .
Preuve. Nous cherchons une matrice M telle que g ◦ f (BE ) = BGM.
g ◦ f (BE ) = g(f (BE )) = g(BFM(f )) = g(BF )M(f )(BGM(g)
)M(f ) = BG
(M(g) · M(f )
).
Donc M =M(g) · M(f ).
Exemple. Soient f(
xy
)=
(x + y
y
), g(
xy
)=
(yx
). Calculer
g ◦ f et f ◦ g .
§5.6. CompositionLorsqu’on compose des applications linéaires
E f−→ Fg−→ G
de base BE BF BG
Quelle est la matrice de la composition g ◦ f ?
Théorème de composition. La matrice de g ◦ f est le produitmatricielle de la matrice de g avec celle de f .
Preuve. Nous cherchons une matrice M telle que g ◦ f (BE ) = BGM.
g ◦ f (BE ) = g(f (BE )) = g(BFM(f )) = g(BF )M(f )(BGM(g)
)M(f ) = BG
(M(g) · M(f )
).
Donc M =M(g) · M(f ).
Exemple. Soient f(
xy
)=
(x + y
y
), g(
xy
)=
(yx
). Calculer
g ◦ f et f ◦ g .
§6. Déterminant d’une matrice carrée§6.1. Cas d’une matrice 2× 2.
Définition. det(
a bc d
)2èmeécriture
=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ définition= ad − bc .
Exemples.∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =??,∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣ =??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.(2 11 3
)(xy
)=
(4−1
)a comme solution
x =
∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =135, y =
∣∣∣∣ 2 41 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = −65
§6. Déterminant d’une matrice carrée§6.1. Cas d’une matrice 2× 2.
Définition. det(
a bc d
)2èmeécriture
=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ définition=
ad − bc .
Exemples.∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =??,∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣ =??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.(2 11 3
)(xy
)=
(4−1
)a comme solution
x =
∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =135, y =
∣∣∣∣ 2 41 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = −65
§6. Déterminant d’une matrice carrée§6.1. Cas d’une matrice 2× 2.
Définition. det(
a bc d
)2èmeécriture
=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ définition= ad − bc .
Exemples.∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =??,∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣ =??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.(2 11 3
)(xy
)=
(4−1
)a comme solution
x =
∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =135, y =
∣∣∣∣ 2 41 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = −65
§6. Déterminant d’une matrice carrée§6.1. Cas d’une matrice 2× 2.
Définition. det(
a bc d
)2èmeécriture
=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ définition= ad − bc .
Exemples.∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =??,∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣ =??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.(2 11 3
)(xy
)=
(4−1
)a comme solution
x =
∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =135, y =
∣∣∣∣ 2 41 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = −65
§6. Déterminant d’une matrice carrée§6.1. Cas d’une matrice 2× 2.
Définition. det(
a bc d
)2èmeécriture
=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ définition= ad − bc .
Exemples.∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =??,∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣ =??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.(2 11 3
)(xy
)=
(4−1
)a comme solution
x =
∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =135, y =
∣∣∣∣ 2 41 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = −65
§6. Déterminant d’une matrice carrée§6.1. Cas d’une matrice 2× 2.
Définition. det(
a bc d
)2èmeécriture
=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ définition= ad − bc .
Exemples.∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =??,∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣ =??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.(2 11 3
)(xy
)=
(4−1
)a comme solution
x =
∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =135, y =
∣∣∣∣ 2 41 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = −65
§6. Déterminant d’une matrice carrée§6.1. Cas d’une matrice 2× 2.
Définition. det(
a bc d
)2èmeécriture
=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ définition= ad − bc .
Exemples.∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =??,∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣ =??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.(2 11 3
)(xy
)=
(4−1
)a comme solution
x =
∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =
135, y =
∣∣∣∣ 2 41 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = −65
§6. Déterminant d’une matrice carrée§6.1. Cas d’une matrice 2× 2.
Définition. det(
a bc d
)2èmeécriture
=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ définition= ad − bc .
Exemples.∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =??,∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣ =??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.(2 11 3
)(xy
)=
(4−1
)a comme solution
x =
∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =135, y =
∣∣∣∣ 2 41 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = −65
§6. Déterminant d’une matrice carrée§6.1. Cas d’une matrice 2× 2.
Définition. det(
a bc d
)2èmeécriture
=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ définition= ad − bc .
Exemples.∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =??,∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣ =??
A quoi ça sert ?
Ca sert, entre autres, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste) et résoudre un système sans faire des échelonnements...
Exemple.(2 11 3
)(xy
)=
(4−1
)a comme solution
x =
∣∣∣∣ 4 1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ =135, y =
∣∣∣∣ 2 41 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 11 3
∣∣∣∣ = −65
Résoudre(2 11 1
)(xy
)=
(4−1
), puis
(a bc d
)(xy
)=
(st
)
Théorème de matrice inverse.(a bc d
)−1=
1∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣(
d −b−c a
).
Preuve. Il suffit de multiplier... .
Exemple.(2 01 3
)−1=
(2 −11 1
)−1=
(2 14 2
)−1=
Résoudre(2 11 1
)(xy
)=
(4−1
), puis
(a bc d
)(xy
)=
(st
)
Théorème de matrice inverse.(a bc d
)−1=
1∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣(
d −b−c a
).
Preuve. Il suffit de multiplier... .
Exemple.(2 01 3
)−1=
(2 −11 1
)−1=
(2 14 2
)−1=
Résoudre(2 11 1
)(xy
)=
(4−1
), puis
(a bc d
)(xy
)=
(st
)
Théorème de matrice inverse.(a bc d
)−1=
1∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣(
d −b−c a
).
Preuve. Il suffit de multiplier... .
Exemple.(2 01 3
)−1=
(2 −11 1
)−1=
(2 14 2
)−1=
Résoudre(2 11 1
)(xy
)=
(4−1
), puis
(a bc d
)(xy
)=
(st
)
Théorème de matrice inverse.(a bc d
)−1=
1∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣(
d −b−c a
).
Preuve. Il suffit de multiplier... .
Exemple.(2 01 3
)−1=
(2 −11 1
)−1=
(2 14 2
)−1=
