Génie Mécanique et Productique - IUT B - Université Lyon 1

Science des matériaux

Examen du module F315 - 2008-2009 - Durée : 1h30.

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1 Choix de matériau pour la coque d’un ballastVous êtes chargés de concevoir la coque d’un ballast pour un sous-marin de grande profondeur

capable de descendre dans les fosses du Pacifique. La pression externe dans ces fonds océaniquesest de 1000 atmosphères, soit 100 MPa, et on conçoit le sous-marin pour résister à une pressionPm = 200 MPa. Ce ballast est une sphère de rayon r = 1 m imposé à paroi mince d’épaisseurt. Sous la pression externe, la sphère peut céder par flambage à une pression Pf donnée par :Pf = 0,3E(t/r)2, E étant le module d’Young du matériau constituant le ballast. On suppose enfinque le volume V de l’enveloppe de la sphère est V = 4πr2t.

1. Par une démarche rigoureuse de choix de matériau, déduisez un indice de performance pourle matériau constitutif de la coque permettant de minimiser la masse M de celle-ci. (4 pts)fonction : supporter la pression externe Pm

objectif : minimiser la masse Mcontrainte : ne pas flamber : Pm = Pf

paramètres fixes : Pm, rajustable : tmatériau : E, ρ

équations : m = ρV = ρ× 4πr2tPm = Pf = 0,3E(t/r)2

fonction objectif : t = r(

Pm

0,3E

)1/2

⇒M = 4πr2 × r(

Pm

0,3E

)1/2

× ρ

M =(

ρE1/2

)×(4πr3

√Pm

0,3

)indice de performance : I = E1/2/ρ

2. Afin d’assurer une certaine résistance du ballast aux chocs, les matériaux sélectionnés devrontposséder une résilience supérieure à 1 kJ/m2 (la résilience GIc est reliée à la ténacité KIc et aumodule d’Young E par la relation GIc = K 2

Ic/E) ; ce critère permet de filtrer les matériaux,indépendamment de l’étape de classement.A l’aide des diagrammes d’Asbhy joint, classez cinq matériaux répondant au cahier des chargesen fonction de leur performance. (3 pts)résilience : logKIc >

12logE + 1

2logG∗

Ic, avec G∗Ic = 1 kJ/m2

→ diagramme KIc − E, pente 1/2, matériaux au dessus de la droite⇒ élimine céramiques et bois

lecture graphique : logE = 2 log ρ+ 2 log I→ diagramme E − ρ, pente 2, droite la plus haute⇒ Be, CFRP, KFRP, GFRP, Mg, Al, Ti

2 Choix de matériau pour une bielle de moteurLes bielles sont des pièces mécaniques extrêmement sollicitées dans les moteurs. Leur conception

est limitée par la résistance à la fatigue et au flambage élastique. La masse d’une bielle est uneperformance de conception car elle représente une partie non négligeable de celle du moteur.

Examinons le cas d’une conception à masse minimale. La bielle est assimilée à un cylindre derayon r. La longueur L de la bielle et la force de traction/compression F qu’elle doit transmettresont imposées. Nous nous limiterons pour cette étude aux matériaux métalliques, plus faciles àmettre en oeuvre.

1. Pour assurer la tenue en fatigue de la bielle, on impose à la contrainte de ne pas excéder lalimite d’endurance du matériau, notée σD, avec un coefficient de sécurité s. Déterminer lafonction objectif, et en déduire une liste classée des six meilleurs matériaux. On notera I1l’indice de performance associé à cette première astreinte. (5 pts)fonction : supporter une force de traction/compression Fobjectif : minimiser la masse mcontrainte : ne pas rompre par fatigue : σmax = σD/s

paramètres fixes : L, F , sajustable : rmatériau : σD, ρ

équations : m = ρ× πr2 × Lσmax = F/(πr2) = σD/s

fonction objectif : πr2 = Fs/σD ⇒ m = ρLFs/σD

m1 =(

ρσD

)× (FLs)

indice de performance : I1 = σD/ρ

lecture graphique : log σD = log ρ+ log I1→ diagramme σD − ρ, pente 1, droite la plus haute⇒ [Ti, Mg], acier, [Al, Ni], fonte ([*] → très proches)

2. On souhaite aussi éviter le flambage élastique de la bielle. Pour cette nouvelle astreinte,déterminer la fonction objectif, et en déduire une liste classée des six meilleurs matériaux. Laforce provoquant le flambage d’un cylindre de longueur L et de rayon r est donnée par :

Ff =π3Er4

4L2, (1)

où E est le module de Young du matériau. On notera I2 l’indice de performance associé àcette deuxième astreinte. (5 pts)fonction : supporter une force de traction/compression Fobjectif : minimiser la masse mcontrainte : ne pas flamber : F = Ff

paramètres fixes : L, F , sajustable : rmatériau : E, ρ

équations : m = ρ× πr2 × LFf = π3Er4

4L2

fonction objectif : πr2 = 2L√

FπE⇒ m2 =

(ρ

E1/2

)×(2L2√

Fπ

)indice de performance : I2 = E1/2/ρ

lecture graphique : logE = 2 log ρ+ 2 log I2→ diagramme E − ρ, pente 2, droite la plus haute⇒ Mg, Al, Ti, acier, Zn, [fonte, Ni] ([*] → très proches)

3. On s’intéresse au cas particulier d’une bielle de longueur L = 130 mm, devant supporter uneforce de traction/compression F = 8500 N. On s’impose un coefficient de sécurité s = 1,5.Pour chacun des matériaux listés dans les questions 1 et 2 : calculer la masse de la bielleimposée par la résistance à la fatigue, notée m1, ainsi que celle imposée par la résistance auflambage, notée m2 ; résumer ces résultats dans un tableau. Pour chaque matériau, laquelledes deux astreintes limite la conception ? En déduire une liste classée des meilleurs matériauxpour concevoir une bielle la plus légère possible, résistant à la fatigue et au flambage. (3 pts)

matériau m1 (g) (fatigue) m2 (g) (flambage) ρ (103 kg/m3) σD (MPa) E (GPa)Mg 14

�� ��15 1,75 210 45Al

�� ��30 17 2,70 150 80Ti 12

�� ��23 4,50 600 120acier 19

�� ��31 7,85 700 200Zn

�� ��53 34 5,8 180 90fonte

�� ��36 32 7 320 150Ni 30

�� ��33 8,90 500 220�� ��astreinte limitante⇒ Mg, Ti, Al, acier, Ni, fonte, Zn