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Atelier Mathenjeans: collègesPaul Esquinance de La réole (Gironde)
et de Mana (Guyane)
Calcul de la distance Terre-Lune par des méthodes géométriques
1. Calcul du rayon de la Terre: méthode d'Eratosthène.
2. Calculs de la proportion entre la Terre et la Lune:
a) Méthode d'Aristarque (observation d'une éclipse de Lune)
b) Utilisation d'une photographie d'éclipse de Lune
c) Utilisation d'un appareil de visée de la Lune (diaphragme)
3. Calcul de la distance Terre-Lune:
a)Grâce à l'angle sous lequel on voit la Lune depuis la Terre
b) Méthode des parallaxes (simplifiée)
Calcul du rayonde la Terreà la façon
d'ERATOSTHENE(Alexandrie,
III° siècle av JC)
! Pour les besoins de sa démonstration, Eratosthène utilisa deux choses :
! 1) que la Terre était ronde
! 2 ) que les rayons du Soleil qui nous parviennent sont parallèles car il est très éloigné de la Terre
Les Hypothèses :
Eratosthène a utilisé les villes d'Alexandrie et de Syène (Assouan).
Nous avons travaillé entre les villes de La Réole (Gironde) et Mana (Guyane). Ces deux villes ne se trouvent pas sur le même méridien: nous créons donc une ville fictive M' (c'est en fait quasiment Accra au Ghana), située sur le même méridien que La Réole mais à la latitude de Mana.
M'
Nous avons mesuré l'ombre d'un gnomon au midi solaire (l'ombre la plus courte de la journée), le jour de l'équinoxe de printemps, à La Réole et à Mana (environ 4 h plus tard à cause du décalage):
Gnomon
ombre
Angle x (à La R) ou y (à Mana)
A La Réole:
tan x = ombre / gnomon
tan x = 44,5 / 46,1
donc : x ! 44°
A Mana:
tan y = ombre / gnomon
tan y = 2,7 / 39,5
donc : y ! 3,9°
LR
M'
x
y
Rayons du soleil parallèles
Donc:
Angle au centre de la Terre:
z = x - y
La Réole
M'
L'angle au centre de la Terre entre La Réole et M' est donc égal à: z = x – y ! 44° - 3,9° = 40,1°.
C'est aussi en fait la différence de latitude entre La Réole
et Mana qui est: 44,6° - 5,6° = 39°.
D'où le tableau de proportionnalité:
Angle au centre de la Terre
Longueur de l'arc de cercle
z = x – y = 40°
360°
Nous avons mesuré la distance La Réole – M' sur un planisphère puis nous avons appliqué l'échelle (et vérifié ...)
4300 kmcirconférence
de la Terre
D'où le calcul de la circonférence de la Terre:
4300 " 360 / 40 = 38700
Avec nos calculs, la Terre a une circonférence de 38700 km, et en divisant par 2" , le rayon !
de la Terre devrait mesurer environ:
6160 km !
La valeur réelle est environ 6378 km, ce qui nous fait 3,4 % d'erreur ...
Eratosthène, avec Alexandrie et Syène, et un angle y de 0° (fond du puits éclairé), avait trouvé environ:
6551 km
soit 2,7% d'erreur (résultat remarquable pour l'époque).
Mais nos villes n'étaient pas sur le même méridien...
Exposé présenté par :
Paul et
Baptiste
Proportion des rayons
de la Terre
et de la Lune
(méthode d' Aristarque de Samos, III° siècle av JC )
Lors d'une éclipse de lune, la lune entre dans l'ombre de la terre et se déplace de son diamètre en une heure. On peut alors constater :
Symboles: significations:
RT = rayon de la Terre
RL = rayon de la Lune
Y = distance parcourue par la Lune dans l'ombre de la Terre.
ts = temps que met la Lune à parcourir et à sortir de l'ombre de la Terre.
te = temps que met la Lune à rentrer dans l'ombre de la Terre.
Proportions entre les
rayons de la Terre et
de la Lune
La photo d'une éclipse de Lune
Tout d'abord, nous avons fait des statistiques par rapport à des photographies de Lune
pour savoir combien de fois la Lune pourrait rentrer
dans la Terre
résultats des statistiques
.� -� .� � .. -� .� � .� -� .� � .. -� .� � .� -� .� � .� -� .� � -� .� � .� -� .� � .� -� .� � .. -� .� � .� -� .� � .� -� .� � .� -� .� � .� -� .� �
Série �
Zone d'ombre
Zone de pénombre
Zone de penombre
L
TerreSoleil
Une éclipse partielle de lune se forme quand la Terre,le Soleil et le Lune sont pratiquement alignés. La Terre forme derrière elle un zone de d'ombre. La Lune chevauche alors la zone d'ombre. L'autre partie reste visible depuis la Terre.
Pourquoi l'ombre de la Terre est elle plus petite que celle-ci ?
Par contre si le résultat des statistiques et la réalité diffèrent, c'est par ce que le cône d'ombre que forme la terre a un diamètre plus petit qu'elle même mais la lune ne change pas de diamètre pour autant.
Diamètre de la Terre :6371 kilomètres
Diamètre de la Lune : 1734,4 kilomètre
Proportion entre les résultats : = 3,6
CALCUL DE LA DISTANCE TERRE-LUNE PAR PROPORTIONNALITE
Nous avons calculé la distance de la Terre à la Lune, à partir d'un appareil composé d'une boîte cubique sur laquelle on a fixé un diaphragme.Cet appareil nous a permis de voir la Lune à travers le diaphragme (après réglage) et d'effectuer les différentes mesures.
LE CALCUL :
Voici la figure représentant le rapport Terre-Lune :
O
D L
U'
A'
Rayon du diaphragme Rayon de la lune
En utilisant le theorème de Thalès pour calculer la distance Terre-Lune (OU sur le dessin) nous trouvons ces deux quotients.
OA'
OU'=
DA'
LU'
Distance recherchée
Nous remplaçons les lettres par les mesures que nous avons trouvé :
0,000275
OU'=
0,0000035
1737,4
Nous utilisons le produit en croix :
OU'= 0,000278x1737,4
0,0000035
OU'= 0,4829972
0,0000035
OU'= 137999,2
Donc, la distance entre la Terre et la Lune devrait mesurer :
! 137999,2 km
Cette valeur n'est pas très proche de la réalité, ce qui vous prouve la difficulté d'utilisation de notre appareil : il est très sensible aux variations de mesure.
Angle
sous le
quel on voit la Lune
Angle
sous le
quel on voit la Lune
La terre est une sphère donc on fait son tour en 360°
Terre
La Lune tourne autour de la Terre en 29 jours, 8 heures
29j 12h 44 min29j,8h
Nous savons maintenant que la lune tourne autour d'une sphère de 360°en 29j,8h
360°29j,8h
Il faut maintenant convertir en heures .
Le calcul est le suivant :
29j 8h = 29 X 24 +8 = 704 h
Donc la lune tourne autour de la Terre en 704h.
On doit donc diviser les 360° en 704 parties égales.
On obtient ceci :
L'angle en rouge est celui que nous voulons calculer.Nous l'appelerons #
Angle à calculer
Pour calculer # il faut diviser 360 (degrés de
la Terre) par 704 (nombres d'heures que met
la Lune pour faire le tour de la Terre)
Calcul:
360 : 704 ! 0,511
Donc # ! 0,511°
Lorsque nous regardons la Lune c'est sous un angle
d'environ 0,511°
On divise l'angle par moitié :
Donc x est environ égal à 0,255°.
Donc la distance Terre Lune =
!
! 388700 (km)
RL
tan x
1730
tan 0,255
La méthode des parallaxes simplifiée:
calcul de la distance Terre-Lune
LR
M
Rayon de la Terre: R
T
Rappelons sur la Terre:
T
Z Z
LR
MT
90°-Z/2
90°-Z/2
donc:
LR
M zénith
zénith
T
P90°-Z/2
90°-Z/2
Z/2
Z/2
Nous avons visé la lune en même temps à La Réole et à Mana, et mesuré l'angle entre la verticale (zénith) et la lune:
LR
MT
Lune
Terre
60°
57°
zénith
zénith
Et nos mesures donnaient:
LR
M
PZ/2+60°
Z/2+57°
D'où:
Et pour Z = 62°:
LR
M
88°
91°
LR
M
Lu
H
91°
88°
On appelle LR-Lu la distance entre La Réole et la Lune, M-Lu celle entre Mana et la lune, LR-M la distance entre La Réole et Mana en ligne droite. On vérifie (en utilisant la hauteur et les calculs trigonométriques dans les triangles rectangles obtenus)...
...d'après la loi des sinus ....
LR-M I LR-LU I M-LUsin1° I sin 88° I sin 91°
soit ( avec LR-M = 6400 km):
LR-Lu = 6400sin88° ! 360 000 km sin 1°
Exposé préparé par Alice Elbaz, Lucile Marchal, et Cyprien Perinotto
1°
Exposé préparé par l'atelier Mathenjeans du collège de La Réole, en 2005-2006, composé de:
Elodie Seguès 5°D, Lisa Rouby 5°D, Maëlle Pradeau 5°D, Adeline Lajugie 5°D, Laureen Galissaire 5°D, Baptiste Devaux 5°D, Alice Elbaz 5°B, Marion Haramburu 5°B, Olivier Dufaure 5°B, Paul Simon 5°B, Amandine Lafagne 5°C, Thomas Mouhica 5°C,
Chloé Goulié 4°E, Suzie Humbert 4°E, Aurore Prats 4°E, Lucile Marchal 4°D, Mylène Pellet 4°D, Julien Latapie 4°D, Cyprien Perinotto 4°D, Gaël Philbert 4°A, Sébastien Danty 4°A
sous la direction de Mme Quitterie Marty, M. Bruno Martyet l'aide de Mlle Carine Reydy, maître de conférences
Nous remercions l'association Mathenjeans, pour son accueil et son aide, et particulièrement Mme Eugénie Cohen.
