Mthodes Numriques Indites pour lExtraction des ParamtresPhysiques dune Jonction p-n partir de la Caractristique

Courant-Tension

Safae Aazou , El Mahdi Assaid

RsumDans cette tude, nous prsentons deux mthodes numriques indites pour lextraction des

trois paramtres physiques dune jonction p-n non-idale partir de sa caractristique courant-tension. La jonction p-n est modlise par un circuit lectronique contenant une diode de courantde saturation Is et de facteur didalit n monte en srie avec une rsistance Rs. Dans la premiremthode, nous exprimons laire sous la courbe I = f(V ) sous la forme dun polynme deuxvariables I et V de degr deux, dont les coefficients dpendent des trois paramtres physiques.Puis, nous calculons numriquement cette aire et dterminons les trois paramtres par un lissagebidimensionnel. Dans la deuxime mthode, nous tablissons une expression algbrique du courantI en fonction de la conductance dynamique dIdV et du courant I dont les coefficients dpendent destrois paramtres physiques. Ensuite, nous calculons numriquement la conductance dynamique etdterminons Is, n et Rs par un fit bidimensionnel.

Mots-cls : Jonction p-n, courant de saturation, facteur didalit, rsistance srie, diode, fonction de LambertW,PSpice, Mathematica.

1 Introduction

En microlectronique, le travail avec un composant lectronique exige la connaissance prise deces paramtres physiques. Dans ce travail, nous allons dterminer les trois paramtres physiques dela jonction p-n partir de la caractristique courant-tension moyennant deux nouvelles mthodesnumriques. La jonction p-n est modlise par un circuit lectronique comprenant une diode de courantde saturation Is et de facteur didalit n monte en srie avec une rsistance Rs. Dans un premiertemps, nous modlisons ce circuit lectronique laide du logiciel de simulation lectronique PSpice [1]et gnrons la caractristique I = f(V ) correspondante. Dans la premire mthode, nous exprimonslaire sous la courbe I = f(V ) sous la forme cvV + ciI+ ci2I2 o les coefficients cv, ci, et ci2 dpendentdes trois paramtres physiques Is, n et Rs. Ensuite, nous calculons numriquement laide du logicielMathematica [2] laire sous la courbe I = f(V ) pour chaque valeur de la tension V . Enfin, nouseffectuons un lissage bidimensionnel du rsultat numrique obtenu par lquation polynomiale citeci-dessus et dterminons les trois paramtres physiques partir des coefficients cv, ci, et ci2. Dans ladeuxime mthode, nous tablissons une quation transcendante donnant le courant I en fonction dela conductance dynamique dIdV et du courant I : I = cidiI

dIdV + cdi

dIdV + c2 o les coefficients cidi, cdi,

et c2 dpendent des trois paramtres physiques de la jonction. Puis, nous calculons numriquement laide du logiciel Mathematica la valeur de la conductance dynamique pour chaque valeur de la tensionV . Ensuite, nous procdons un lissage bidimensionnel du rsultat numrique obtenu par lquationtranscendante exprimant le courant et dterminons Is, n et Rs partir des coefficients cidi, cdi, et c2.

Univ. Chouaib Doukkali , EOES, Dpartement de Physique B.P. 20, El Jadida-Maroc. aazou.safae@yahoo.fr Univ. Chouaib Doukkali , EOES, Dpartement de Physique B.P. 20, El Jadida-Maroc. eassaid@yahoo.fr

1

22 Equations de Base

Considrons le circuit lectronique form par la diode D1N4002 monte en srie avec une rsistanceRs, lensemble est aliment par un gnrateur de tension continue V (voir figure 1). Le courant Itraversant le circuit est rgi par la loi des mailles et lquation de la diode :

Vd = V RsI (1)

I = Is

[exp

(VdnVth

) 1]

(2)

o Vth = kBTq . kB est la constante de Boltzmann. T est la temprature absolue. q est la charge dellectron. En injectant lexpression de Vd dans la deuxime quation, nous obtenons :

I = Is

[exp

(V RsInVth

) 1]

(3)

La solution analytique exacte de lquation gnralise (3) sexprime en fonction de la fonction deLambertW [3, 4] :

I = Is + nVthRs

LambertW

[IsRsnVth

exp(V + IsRsnVth

)](4)

3 Prsentation des Mthodes

La premire mthode : La premire mthode sinspire de celle utilise par Ortiz-Conde [5] pourdterminer les paramtres physiques dune cellule solaire. Le point de dpart de la mthode est lasolution de lquation gnralise de la jonction p-n ( voir quation (4)). Pour simplifier lcriture delquation (4) nous posons : a = IsRsnVth , b = IsRs, c = nVth, d =

nVthRs

et x = V . Lquation (4) devientalors :

I = Is + dLambert[a exp

(x+ bc

)](5)

Pour calculer laire sous la courbe I = f(V ), nous utilisons lquation suivante : V0

LambertW

[a exp

(x+ bc

)]dx =

[c

2LambertW 2

[a exp

(x+ bc

)]

+ cLambertW[a exp

(x+ bc

)]]V0

(6)

Et nous tenons compte du fait que :

LambertW

[a exp

(x+ bc

)]=

I + Isd

(7)

Et que pour V = 0, I = 0 et LambertW [a exp( bc)] =Isd . La fonction Co-Content CC(I, V ) [5] qui

dsigne laire sous la courbe I = f(V ) est alors exprime par :

CC(I, V ) = V0

IdV = IsV + d[c

2

(I + Isd

)2(c

2

(Isd

)2)+ c

(I + Isd

) c

(Isd

)](8)

Aprs quelques manipulations algbriques, lquation (8) devient :

CC(I, V ) = cvV + ciI + ci2I2 (9)

3o :cv = Is, ci = nVth

(IsRsnVth

+ 1)

et ci2 =Rs2

(10)

Dans notre programme crit en langage Mathematica, nous calculons numriquement CC(I, V ) pourchaque valeur de la tension V partir des donnes gnres par le logiciel PSpice. Ensuite, nous effec-tuons un lissage bidimensionnel des rsultats numriques par lquation (9). Les paramtres physiquesde la jonction Is, n et Rs sont alors dtermins partir des coefficients cv, ci, et ci2 :

Is = cv, Rs = 2ci2 et n = 2cvci2 + ciVth

(11)

La deuxime mthode : Cette mthode consiste tout dabord chercher lexpression de la conduc-tance dynamique dIdV partir de lquation (3) :

dI

dV=

IsnVth

(1Rs dI

dV

)exp

(V RsInVth

)(12)

A partir de lquation (3), nous pouvons aussi crire :

Is exp(V RsInVth

)= I + Is (13)

En injectant (13) dans (12) et en effectuant le calcul nous conduisons une quation transcendantedonnant le courant I en fonction de la conductance dynamique dIdV et du courant I lui mme :

I = cidiIdI

dV+ cdi

dI

dV+ c2 (14)

o :cidi = Rs, c2 = Is et cdi = RsIs + nVth (15)

Dans notre programme Mathematica, nous calculons numriquement la conductance dynamique dIdVpour chaque valeur de la tension V partir des donnes gnres par le logiciel PSpice. Puis, nousprocdons un lissage bidimensionnel du rsultat numrique obtenu par lquation (14). Finalement,nous dduisons les paramtres physiques de la jonction Is, n et Rs partir des coefficients cidi, cdi, etc2 :

Rs = cidi, Is = c2 et n = cdi + cidic2Vth

(16)

4 Rsultas et Discussion

Nous considrons le circuit lectronique form par la diode D1N4002 dont le courant de saturationIs = 1.14 108A, le facteur didalit n = 1.984 et la rsistance srie rs = 0.03 , monte en srieavec une rsistance qui vaut 20 , la rsistance srie totale Rs = 20.03 . Le circuit lectronique estaliment par un gnrateur de tension continue V (voir figure 1).Dans la figure 2, nous reprsentons la caractristique courant-tension I = f(V ) de la jonction p-n,obtenue en effectuant une simulation du circuit lectronique laide du logiciel PSpice.Dans la figure 3-a, nous reportons la courbe optimise obtenue laide de la premire mthode ainsi quela caractristique I = f(V ) gnre par PSpice. Nous remarquons que lcart entre la courbe optimiseet les donnes initiales est trs faible (voir figure 3-b).Dans la figure 4-a, nous traons la caractristique optimise obtenue laide de la deuxime mthodeainsi que la caractristique I = f(V ) gnre par PSpice. Dans la figure 4-b, nous reprsentons lcartrelatif entre ces deux caractristiques. Nous pouvons remarquer que cet cart ne dpasse gure les 2 %.Dans le tableau ci-dessous nous comparons les valeurs numriques des paramtres physiques de lajonction p-n obtenues par les deux mthodes aux valeurs donnes par PSpice.

4Paramtres PSpice Premire Mthode Deuxime MthodeIs(A) 1.4 108 1.44 108 1.41 108

Rs() 20.03 20.078 16.708n 1.984 1.985 1.990

Tab. 1 Rsultats numriques des trois paramtres physiques obtenus par les mthodes proposes.

5 Conclusion

Dans cet article, nous prsentons deux nouvelles mthodes dextraction des trois paramtres phy-siques dune jonction p-n non-idale partir de sa caractristique courant-tension I = f(V ). Lesdeux mthodes ne ncessitent aucune introduction de valeurs initiales contrairement aux programmesdextraction directe qui sont bass sur la mthode de Newton. La premire mthode est base sur lecalcul numrique et analytique de laire sous la courbe I = f(V ). La deuxime mthode est basesur le calcul numrique et analytique de la conductance dynamique dIdV . Les valeurs extraites, par lesdeux mthodes, des paramtres physiques sont en trs bon accord avec les valeurs exprimentales. Enplus, les caractristiques optimises concident avec la courbe I = f(V ) exprimentale. Lapplicationdes deux mthodes peut tre tendue des composants ayant mme cinq paramtres tels les cellulessolaires.

Rfrences

[1] Pspice 9.1. Copyright 1998, OrCAD Inc.

[2] Mathematica 4.0 . Copyright 1988-1999, Wolfram Research Inc.

[3] R. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey et D. E. Knuth, On Lamberts W function. Adv. Comput. Math., 5, 329-359, 1996.

[4] T. C. Banwell, Exact analytical solution for current flow through diode with series resistance.Electronics Letters, 36, 291-292, 2000.

[5] A. Ortiz-conde, F. J. Garcia Sanchez, J. Muci, New method to extract the model parameters ofsolar cells from the explicit analytic solutions of their illuminated characteristics. Solar EnergyMaterials & Solar Cells, 90, 352361, 2006.

5Fig. 1 Jonction p-n non-idale 3 para-mtres physiques.

Fig. 2 Caractristique courant-tension de lajonction p-n.

Fig. 3 Caractristiques exprimentale (points) et numrique (ligne continue) de la jonction non-idalobtenue via la premire mthode (a). Lcart relatif entre la caractristique optimise laide de lapremire mthode et la caractristique exprimentale.

Fig. 4 Caractristique exprimentale (points) et numrique (ligne continue) de la jonction non-idalobtenue via la deuxime mthode (a). Lcart relatif entre caractristiques exprimentale et optimise laide de la deuxime mthode (b).