ACHAB_2005_Application_d_une_loi_constitutive_dans_l_etude_numerique_de_l_ecoulement_sanguin

Achab et Benhadid, Rhéologie, Vol. 7, 28-34 (2005) 28

Application d’une loi constitutive dans l’étude numériquede l’écoulement sanguin à travers une artère sténosée

L. Achab, S. BenhadidUniversité des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne,

Laboratoire de Rhéologie, 16123 Bab-Ezzouar, Alger, AlgérieEmail : [email protected]

Reçu le 4 mars 2004 - Version finale acceptée le 30 août 2004

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Résumé : L’objectif de ce travail est double : modélisation du comportement rhéologique du sang par deux loisconstitutives donnant la variation de la contrainte de cisaillement en fonction de la vitesse de cisaillement, afind’approcher la courbe expérimentale et de comparer les deux modèles; simulation numérique par la méthode deséléments finis de l’écoulement non-newtonien du sang à travers une artère sténosée. On montre que la prise en comptedu comportement non-newtonien du sang entraîne des changements non négligeables dans la structure de l’écoulement.

Mots clés : modélisation rhéologique, sténose artérielle, écoulement sanguin, simulation numérique.

[Abridged english version on last page]

1. Introduction

La sténose artérielle est une maladie fréquente, quise rapporte à un rétrécissement d’une artère, dû audépôt de plaques d’athéroscléroses sur les paroisinternes du vaisseau, et qui peut entraverpartiellement ou totalement l’écoulement dans leréseau artériel. Pour mener une étude numériquepermettant de comprendre et définir les facteursessentiels influençant l’écoulement sanguin dans uneartère présentant une sténose, il faut tenir compte ducaractère non-newtonien du sang, qui estessentiellement rhéofluidifiant.

De nombreuses études ont été effectuées surl’écoulement sanguin dans le système artériel, avecdes données physiologiques et pathologiques, dansle but de trouver des réponses à des maladies etcomplications cardiovasculaires. Divers travauxconsacrés à l’analyse du sang, liés à la recherched’un modèle rhéologique, montrent que lasuspension sanguine obéit à des lois non-newtoniennes [1-3] et peut présenter une contrainteseuil. Les modèles théoriques les plus utilisés pourcaractériser cet aspect complexe du sang, lors d’unécoulement à travers une artère sténosée, sont celuide Casson à deux paramètres [4-6] et les modèlesstructurels de Quemada, Carreau… [7-9].

La connaissance des propriétés rhéologiques du sanget l’élaboration de modèles décrivant lecomportement de cette substance demeurent une

étape nécessaire pour résumer et prédire lescaractéristiques de l’écoulement, par étudesanalytiques ou numériques. Dans la première partiede ce travail, et en se basant sur les résultatsexpérimentaux qui donnent la courbe rhéologique dusang, nous avons modélisé le comportement non-newtonien du sang par deux lois à quatreparamètres: la première est celle de Cassongénéralisée, dont les paramètres sont des constantesempiriques; la seconde est la loi de Cross, qui tientcompte des propriétés liées à la structure de lasubstance. Dans la deuxième partie, nous avonsévalué le rôle du comportement rhéologiqueparticulier du sang en hémodynamique artérielle,dans le cas de l’écoulement en présence d’unesténose. Pour cela, nous avons résolu les équationsqui gouvernent cet écoulement dans un régimestationnaire et laminaire, par la méthode deséléments finis, dans une géométrie de coordonnéescylindriques. Les résultats sont présentés sous formede vitesse, lignes de courant et contrainte pariétale.

2. Modélisation rhéologique du sang

2.1 Choix des modèles rhéologiquesIl est bien évident que le comportement rhéologiquedu sang présente, sous certaines conditionsd’écoulement, un aspect non-newtonien [10]. C’estun fluide complexe, dit à "seuil" et "rhéofluidifiant",c'est-à-dire qu’il se comporte comme un solide aux

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faibles contraintes de cisaillement, et qu’ensuite il secomporte comme un fluide visqueux dont laviscosité diminue au fur et à mesure que lacontrainte de cisaillement augmente. La variation dela viscosité sanguine dépend de plusieursparamètres, tels que la température et ladéformabilité des globules rouges, mais elle estétroitement liée à la variation du pourcentaged’hématocrites (pourcentage occupé dans le sang parles globules rouges). Dans cette partie de l’étude,nous avons modélisé le comportement rhéologiquedu sang par deux lois de comportement, donnant lavariation de la contrainte de cisaillement avec lavitesse de cisaillement. Nous avons choisi le modèlede Casson généralisé [2] qui met en évidencel’existence d’une contrainte seuil. On peut expliquerschématiquement le modèle à contrainte seuil ensupposant que le fluide présente au repos unestructure tridimensionnelle rigide, susceptible derésister à des contraintes inférieures à la contrainteseuil. Dès que l’on dépasse cette contrainte, lastructure se détruit totalement et le fluide commenceà s’écouler. Le modèle de Casson généralisé estdéfini par :

nc kγγµττ �� ++= ∞ (1)

où τ est la contrainte de cisaillement, γ� le taux(vitesse) de cisaillement, cτ le seuil d’écoulement,µ∞ la viscosité à cisaillement infini, k la consistancedu fluide et n l'indice de structure d’écoulement.

Pour le sang, comme pour les milieux dispersés, laviscosité apparente dépend non seulement despropriétés du fluide, mais aussi des conditionsd’écoulement. Ceci nous a amené à utiliser unmodèle phénoménologique structurel pourcaractériser le comportement de la suspensionsanguine, qui fait intervenir des paramètres liés à lastructure de celle-ci. Nous avons adopté le modèlede Cross [11], défini par :

γγβµµ

µτ �

�

��

��

�

+−

+= ∞∞ p)(1

0 (2)

où µ0 caractérise le comportement de la suspension àcisaillement nul, µ∞ celui à cisaillement infini, c’estun paramètre lié à la déformation des globulesrouges. β est une grandeur caractéristiquedépendant des temps d’orientation, d’alignement etd’agrégation de la particule (globule rouge) et p unexposant qui dépend des propriétés des particules ensuspension et de leurs interactions.

En utilisant les résultats expérimentaux de Wang etal. [12], donnant la variation de la contrainte de

cisaillement en fonction du taux de cisaillement pourdeux valeurs d’hématocrites, 30 et 50 %, nous avonsmodélisé les courbes d’écoulement du sang par desmodèles théoriques. L’identification des paramètresdu modèle est effectuée, dans notre étude, par laméthode de Vigne [13], qui consiste à utiliser lespropriétés locales de variations de la fonctiond’erreur au voisinage d’un point :

[ ]�=

−=N

iimesipre tte

1

2)(),()( γτγτ �� (3)

où e(t) est l’erreur commise en prédisant τmes par τpre,τpre est la valeur de la contrainte pariétale prédite parle modèle théorique, τmes la valeur de la contraintepariétale mesurée, N le nombre de pointsexpérimentaux et t les paramètres du modèlethéorique.

La précision obtenue sur l’ajustement des pointsexpérimentaux avec les courbes théoriques estdonnée par le calcul de la dispersion par rapport auxvaleurs expérimentales de la manière suivante :

100.)(1

2/1

1

2

��

�

�

��

�

� −= �

=

N

iimes

imes

ipré

NDisp

τττ

(4)

2.2 Résultats et discussion

Les valeurs des paramètres identifiés pour les deuxmodèles sont données dans le Tableau 1 :

Modèles Casson généralisé Cross

t He cτ ∞µ k n λ ∞µ 0µ p

30% 6.98 2.48 1.60 0.81 3.15 3.32 39.58 1.18

50% 44.2 4.81 2.31 0.53 1.15 5.64 103.1 1.21

Tableau 1 : paramètres des modèles

Les résultats sont présentés sous forme de viscositéapparente (qui est le rapport de la contrainte decisaillement à la vitesse de cisaillement) en fonctionde la vitesse de cisaillement, à deux valeursd’hématocrites (30 et 50%) pour les deux modèles :Casson généralisé et Cross. Les Figures 1 à 4révèlent un ajustement de ces modèles sur les pointsexpérimentaux. On constate qu’ils décrivent demanière assez satisfaisante la courbe d’écoulementdans la gamme de vitesse étudiée : la courbethéorique passe pratiquement par tous les pointsexpérimentaux.

Pour comparer les deux modèles, nous avonsprésenté leur dispersion par rapport aux valeursexpérimentales sur le Tableau 2. On remarque que,


pour les deux modèles étudiés, l’ajustement est trèsbon puisque la dispersion des points expérimentauxpar rapport aux points théoriques ne dépasse pas 0.6%.

-20 0 20 40 60 80 100 120 140

4

6

8

10

12 He=30%

Experimental Modèle de Cassongénéralisé

Vis

cosi

té a

ppar

ente

(m P

a s)

Vitesse de cisaillement (s-1)

Figure 1. Ajustement théorie-expérience; modèle deCasson généralisé, He = 30 %

-20 0 20 40 60 80 100 120 1400

10

20

30

40

50 He = 50%

Experimental Modèle de Cassongénéralisé

Visc

osité

app

aren

te(m

Pa

s)


Figure 2. Ajustement théorie-expérience; modèle deCasson généralisé, He = 50 %

-20 0 20 40 60 80 100 120 140

4

6

8

10

12

He = 30%

Experimental Modèle de Cross

Vis

cosi

té a

ppar

ente

(m P

a s)


Figure 3. Ajustement théorie-expérience; modèle deCross, He = 30 %

-20 0 20 40 60 80 100 120 1400

10

20

30

40

50 He = 50%

Experimental Modèle de Cross

Vis

cosi

té a

ppar

ente

(m P

a s)

Vitesse de cisaillement (s-1)F

Figure 4. Ajustement théorie-expérience; modèle deCross, He = 50 %

Néanmoins, les valeurs de dispersion du modèle deCasson généralisé sont dans l’ensemble plusélevées par rapport à celles de Cross. Nousconcluons donc que l’introduction d’une loi destructure permet de représenter de façonsatisfaisante le comportement rhéologique du sang.De plus, ses paramètres ont un sens physique.

HeDisp (%)

20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55%

CassonCross

0.205

0.107

0.237

0.125

0.367

0.281

0.389

0.225

0.432

0.210

0.485

0.255

0.503

0.514

0.498

0.196

Tableau 2 : dispersion en fonction du tauxd'hématocrites pour les deux modèles

Ces modèles, issus de la théorie des milieuxeffectifs, présentent un intérêt certain dans la mesureoù ils tentent de lier la structure du fluide à soncomportement. En effet, pour le sang, ils mettent enévidence des effets liés à l’état d’agrégation qui a puêtre modifié en changeant la concentrationd’hématocrite.

On peut dire aussi que le choix d’une loi decomportement est conditionné par sa capacité à êtremise en œuvre numériquement. Dans le cadre del’étude menée, l’utilisation d’un modèle structurelsemble donc favorable, tant du point de vue de laqualité de ses résultats que de la possibilitéd’utilisation numérique.

3. Modélisation numérique de l'écoulementdu sang à travers une conduite sténosée

3.1 Equations du problèmeLes équations qui gouvernent notre problème sontissues des principes de conservation de masse et dequantité de mouvement. Dans le cas d’un fluidevisqueux, incompressible, en écoulement laminaire


et entièrement développé suivant z, ces équationssont données sous la forme dimensionnelle :

- équation de continuité :

0, =iiu où j

iji x

uu∂∂

=, (5)

- équation du mouvement :

)( ,,, jijjijjiji puu

tu τδρ +−=�

�

��

� +∂

∂ (6)

où ui est le champ de vitesse du fluide et p lapression hydrostatique.

Le tenseur de contrainte de cisaillement est définipar l’équation constitutive du fluide :

( )ijjiij uu ,, += µτ i, j = 1, 2 (7)

Pour décrire le comportement non-newtonien dufluide, nous avons opté pour le modèle de Cross, quireflète l’aspect rhéofluidifiant du sang. Dans ce cas,la viscosité n’est plus constante mais elle varie enfonction de la vitesse de cisaillement :

p)(1)( 0

γβµµµγµ�

�

+−

+= ∞∞ (8)

La vitesse de cisaillement est donnée en fonction dusecond invariant I2 du tenseur des vitesses dedéformation Dij par :

221

I=γ� , I2 = Dij Dij (9)

qui s’écrit en coordonnées cylindriques :2222

2 24 ��

��

�

∂∂

+∂∂

+��

�

�

��

�

��

��

�

∂∂

+��

��

�+��

��

�

∂∂

=rv

zu

zv

ru

ru

I (10)

Les équations précédentes sont adimensionnées avecles grandeurs de référence U0, D (vitesse moyenne etdiamètre de la conduite) et µ∞. Ceci fait intervenir le

nombre de Reynolds, ∞

=µ

ρDU

Re0 dans l’Eq. (6),

qui s’écrira comme suit :

1

)( ,,, jije

jijjiji

Rpuu

tu

τδ ′+′−=′′+′∂′∂

(11)

Les variables qui apparaissent dans l’Eq. (11) sontadimensionnelles.

3.2 Géométrie de l’artère sténoséeLa géométrie de l’artère sténosée est donnée par laforme suivante [14] :

��

�

��

�+−= )cos(1

2)(

00 Z

zrzr

πδ (12)

où δ est l’épaisseur maximale de la constriction, Z0la demi-longueur de sténose et r0 le rayon de l’artèrenon sténosée (voir Fig. 5). Dans cette étude, δ estchoisie égal à 0.5, ce qui donne un degré de sévéritéde sténose de 75 %.

Les conditions aux limites sont considérées parl’introduction d’un profil parabolique à l’entrée de laconduite. Aux parois solides, on considèrel’adhérence avec des vitesses nulles et la conditionde symétrie par rapport à l’axe z. Les longueursd’entrée et de sortie L1 et L2 sont suffisantes pourobtenir un écoulement établi. Le système d'équationsprécédent est résolu dans la géométrie schématiséesur la Figure 5, par la méthode des éléments finis,avec formulation en fonction de pénalisation quiconsiste à éliminer la variable pression et àintroduire la contrainte d’incompressibilité dans lesystème d’équations à résoudre [15]. Les calculssont effectués pour le cas stationnaire qui est le caslimite du cas instationnaire. Les dérivées temporellessont traitées par un schéma d’ordre un. Le traitementde la non-linéarité due au terme convectif et auterme de viscosité variable est effectué par uneméthode itérative.

1

10 z0

2Z0 L2L1

Axe de symétrie

r

Figure 5. Géométrie de l'artère sténosée

La viscosité du fluide considéré non-newtoniendécroît lorsque la vitesse de cisaillement croit à untaux d'hématocrite donné. Elle augmente avecl’augmentation de celui-ci.

Pour étudier les effets non-newtoniens sur lastructure de l’écoulement, nous avons représentépour un nombre de Reynolds fixe, égal à 150, unecomparaison avec le fluide newtonien. De même,nous avons discuté l’influence du taux d'hématocritesur les résultats, pour des valeurs qui varient entre20 et 50 %.


3.3 Résultats et discussionNous avons étudié l’effet du pourcentaged’hématocrite, lié à la variation de la viscosité, sur lastructure de l’écoulement.

L’écoulement, pour un fluide considéré commenewtonien, présente un profil de la composanteaxiale de la vitesse moins aplati dans la zonecentrale du tube, et donc une vitesse surestimée parrapport au cas non-newtonien (Fig. 6). Sur lesFigures 6 et 7 qui représentent les vitesses axiale etradiale dans la région la plus perturbée de laconduite (juste en aval de la sténose). Les valeursnégatives de vitesse indiquant la recirculation del’écoulement sont enregistrées pour le fluidenewtonien ainsi que pour le fluide non-newtonien àfaibles valeurs d’hématocrite. Elles diminuent enmodule lorsque la viscosité (taux d'hématocrite)augmente.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5

He=50% He=40% He=30% He=20% Fluide newtonien

Vitesse axiale

Coo

rdon

née

radi

ale

Figure 6. Comparaison des profils de vitesse axialeadimensionnelle pour un fluide newtonien et un fluidenon-newtonien à différents taux d'hématocrites, en aval

de la sténose.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12


Vitesse radiale

Coo

rdon

née

radi

ale

Figure 7. Comparaison des profils de vitesse radialeadimensionnelle pour un fluide newtonien et un fluidenon-newtonien à différents taux d'hématocrites, en aval

de la sténose.

La Figure 8 représente les contours des lignes decourant pour un nombre de Reynolds fixé à 150. Onremarque que la zone de recirculation, qui apparaîtjuste en aval de la constriction, prés de la paroi, estplus large pour un fluide de viscosité newtonienneµ∞, que pour un fluide de viscosité )(γµ � . En sortie,le profil est établi en non-newtonien, alors qu’ennewtonien, il est encore perturbé. En effet, le fluidede viscosité apparente élevée, correspondant à untaux d'hématocrite élevé, semble moins sensible auxchangements de section induits par la sténose.

Si l’influence du taux d'hématocrite sur lacomposante axiale de la vitesse sur l’axe de symétrieest importante dans la région aval de la sténose, elleest aussi significative en amont de celle-ci (Fig. 9).

On représente sur la Figure 10, la variation de lacontrainte pariétale adimensionnelle le long de laconduite. Cette contrainte est maximale au passagede la sténose (au niveau du col) et présente desvaleurs négatives dans la zone de recirculation.

He=50%

He=40%

He=30%

He=20

Fluide newtonien

Figure 8. Comparaison des contours de ligne de courantpour un fluide newtonien et un fluide non-newtonien à

différents taux d'hématocrites.

0 5 10 15 20 251

2

3

4

5

6 Fluide Newtonien He=20% He=30% He=40% He=50%

Vite

sse

axia

le

Coordonnée axiale

Figure 9. Composante de la vitesse axiale sur l'axe desymétrie pour différents taux d'hématocrites.


0 5 10 15 20 25

0

10

20

30

40

50


Con

train

te p

arié

tale

Coordonnée axiale

Figure 10. Composante des contraintes pariétalesadimensionnelles pour un fluide newtonien et un fluide

non-newtonien, pour différents taux d'hématocrites.

Cette figure illustre qu’en amont de la sténose, lesfluides ont presque la même valeur de contraintepariétale. Par ailleurs, l’écart se trouve dans leszones perturbées, où une contrainte plus élevée estobservée pour le fluide non-newtonien, dans lasténose et en aval de celle-ci.

4. Conclusion

Le but de cet article était de caractériser lesprincipales particularités de l’écoulement sanguin àtravers une sténose artérielle, en considérant l’aspectnon-newtonien de ce dernier. Nous avons démontrédans la première partie de ce travail que l’usage d’unmodèle structurel de Cross pour le sang, qui tientcompte des propriétés liées à la structure de lasubstance, donne un ajustement avec les donnéesexpérimentales meilleur que celui de Cassongénéralisé, bien qu’il ne mette pas en évidencel’existence de la contrainte seuil d’écoulement.

Les résultats de l’étude numérique révèlent denotables écarts dans les profils dynamiques entre unfluide non-newtonien caractérisé par la loi de Crosset un fluide newtonien à viscosité constante. Cesécarts sont importants dans la région aval de lasténose et au centre de la conduite. La diminution dupourcentage d’hématocrites dans le sang (liée àcertaines maladies) entraîne l’élargissement de lazone de recirculation et, en conséquence, laréduction des contraintes de cisaillement, ce quifavorise le développement de plaquesd’artériosclérose. Le fluide non-newtonien est plusrésistant aux perturbations induites par lerétrécissement de la conduite que le fluidenewtonien. On conclue donc que les calculs faitsavec un fluide non-newtonien ne donnent pas lesmêmes résultats que ceux faits avec un fluidenewtonien.

5. Références[1] D. Quemada, J.C. Lelièvre, C. Lacombe,Caractérisation rhéologique du sang, 6ème Congrès deBiomécanique, Tokyo (1981).

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Constitutive relationship application in numerical study of blood flow through astenosis artery

Abstract: The aim of this work is, in the first part, the modeling of the rheological behavior of blood using two constitutive relationsto approach the experimental curves, and to compare the two models. The second part is dedicated to the simulation of non-Newtonian blood flow through a stenosis artery using the finite element method. Results show that non-Newtonian behavior of bloodgenerates non-negligible changes in the flow structure.

Key words: Rheological modeling, stenosis artery, blood flow, numerical computation.

Stenosis refers to narrowing of blood vessels. It may be attributed to the accumulation of plaques ofatherosclerosis on arterial wall, entailing several complications in flow structure. The study of blood flow inlarge and medium arteries is a very complex task because of the complexity of blood nature, in particular of itsrheological properties. Several studies have shown that blood behaves as a non-Newtonian fluid. It exhibitsbehavior such as shear-thinning and can also provide a yield stress. In this work, we try in the first part tocharacterize the blood behavior with two constitutive relationships: the empirical generalized Casson law andthe phenomenological Cross law. The results are given in terms of the apparent viscosity of blood as afunction of the shear stress for two values of hematocrits. It is shown that the Cross model predicts well thenon-Newtonian behavior of blood.In the second part of this study, we are interested in simulating the blood flow in an artery with stenosis bymeans of the finite element method. To solve numerically the mass and momentum equations, we assumethat the non-Newtonian viscosity is considered using the Cross model. We conclude from this study that, withNewtonian fluids, the recirculation zone extends into a long distance from the constriction. With a non-Newtonian fluid, in contrast, the recirculation zone exists only for a certain percentage of hematocrits. Then,the non-Newtonian behavior of blood minimizes the risk of large recirculation zones.

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