histoires d’algèbre

Le festival des couleursalgèbre en Inde

hist-math.fr Bernard Ycart

Problème 24Ahmès, Papyrus Rhind (ca 1650 av. J.-C.)

Une quantité et son septième ajoutés ensemble deviennent 19.Quelle est la quantité ?

x+x

7= 19 .

Problème 24Ahmès, Papyrus Rhind (ca 1650 av. J.-C.)

x+x

7= 19

x

(1 +

1

7

)= 19

x

(8

7

)= 19

x = 19

(7

8

)=

133

8.

La légende de Krishna

Krishna et Radha

HoliFestival des couleurs

HoliFestival des couleurs

Varn. acouleurs et castes

Brahmagupta (ca. 598–665)

Brahmagupta (ca. 598–665)Observatoire d’Ujjain (1725)

Brahmasphut.asiddhanta (628)Brahmagupta (ca. 598–665)

1 – Rares sont les questions qui peuvent se résoudre sans le pulvé-risateur, je proposerai donc son étude accompagnée de problèmes.

2 – Par le pulvérisateur, le zéro, les quantités négatives et po-sitives, la quantité inconnue, l’élimination du terme médian, lescouleurs et leurs produits, par le carré affecté, s’ils sont bien com-pris, un homme devient professeur parmi les savants.

Bhaskaracharya (1114–1185)

Bıja-Gan. itaBhaskaracharya (1114–1185)

Le pat.ı (arithmétique) est proportion et le bıja (algèbre), purepensée ; qu’y a-t-il d’inconnu pour qui est intelligent ? Ceci estdonc dit pour les lents [d’esprit].

[. . . ]

Le bıja n’est pas [réduit] à la nature des couleurs (inconnues), iln’y a pas plusieurs bıja séparés les uns des autres, le bıja est uneunité, pensée, parce que la création mentale n’est pas de petiteenvergure.

Bıja-Gan. ita, Chapitre I, Section IVBhaskaracharya (1114–1185)

« Autant que » et les couleurs noir, bleu, jaune et rouge, ainsique d’autres au-delà de celles-là, ont été choisies par de véné-rables professeurs comme noms des quantités inconnues, afin deles utiliser pour le calcul.

Inconnues et couleursBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

◦ x yavattavat ya

• y kalaka ka

• z nılaka nı

• t pıta pı

• u lohitaka lo

...1 rupa ru

Produits et puissancesBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

bhavita bha produit

varga va carré

ghana gha cube

MonômesBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

ya va x2

ka gha y3

ya va-va x4

ka va-gha y5

ya va . ka gha bha x2y3

produit de polynômesBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

ya 3 ka 2 nı 1 ru 1multiplié par :

ya 6 ka 4 nı 2 ru 2résultat :

ya va 18 ka va 8 nı va 2 ya ka bha 24 ya nı bha 12 ka nı bha 8 ru 2

(−3x− 2y + z + 1)× (−6x− 4y + 2z + 2)

= 18x2 + 8y2 + 2z2 + 24xy − 12xz − 8yz + 2

équation du premier degréBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

Quelqu’un possède trois cents unités d’une monnaie et six che-vaux ; un autre dix chevaux du même prix mais une dette decent unités ; les deux sont également riches. Quel est le prix d’uncheval ?

ya 6 ru 300 6x+ 300 =

ya 10 ru 100 10x− 100

équation du second degréBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

La racine carrée de la moitié d’un essaim d’abeilles est allée versun buisson de jasmin ; les huit neuvièmes de l’essaim ont fait demême. Une femelle volète autour d’un mâle restant qui bourdonneà l’intérieur d’un lotus dans lequel il s’est piégé, attiré qu’il étaitpar sa fragrance nocturne. Dis-moi, délicieuse dame, le nombredes abeilles.

essaim complet : ya va 2 (2x2)

2x2 = x+16

9x2 + 2⇐⇒ 18x2 = 16x2 + 9x+ 18

équation du second degréBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

ya va 18 ya 0 ru 0ya va 16 ya 9 ru 18 18x2 = 16x2 + 9x+ 18

ya va 2 ya 9 ru 0ya va 0 ya 0 ru 18 2x2 − 9x = 18

ya va 16 ya 72 ru 81ya va 0 ya 0 ru 225 16x2 − 72x+ 81 = 225

ya 4 ru 9ya 0 ru 15 4x− 9 = 15

Système d’équationsBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

Les chevaux de quatre personnes sont respectivement cinq, trois,six et huit ; les chameaux, deux, sept, quatre et un ; les mules,huit, deux, une et trois ; et les moutons, sept, un, deux et un.Tous sont également riches. Dis-moi individuellement, mon ami,les prix des chevaux et du reste.

ya 5 ka 2 nı 8 pı 7ya 3 ka 7 nı 2 pı 1ya 6 ka 4 nı 1 pı 2ya 8 ka 1 nı 3 pı 1

5x+ 2y + 8z + 7t =3x+ 7y + 2z + t =6x+ 4y + z + 2t =8x+ y + 3z + t

Boucle d’oreilleBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

Quatre joaillersBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

Une troupe de singesBhaskaracharya, Bıja-Gan. ita (ca. 1150)

Mahavıracharyaixe siècle

Combat de coqsMahavıra, Gan. ita-sara-sangraha, ca. 850

Paons sur un manguierMahavıra, Gan. ita-sara-sangraha, ca. 850

références

Brahmagupta (1966) Brahma-Sphut.a Siddhanta, Volume 1,New Dehli : Indian Institute of Astronomical and SanskritResearchB. Datta, A. N. Singh (1962) History of Hindu mathematics,a source book, Bombay : Asia Publishing HouseA. Heefer (2007) The tacit appropriation of Hindu algebrain Renaissance practical arithmetic, Gan. ita Bharati, 29(1-2),1–60F. Patte (2006) L’algèbre en Inde au xiie siècle, Comptesrendus des séances de l’Académie des Inscriptions et Belles-Lettres, 150(4), 1897–1915K. Plofker (2009) Mathematics in India, Princeton : Prince-ton University Press