7/28/2019 Algbre TD (Partie 2)

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MATHEMATIQUES (Semestre 4 )

ALGEBRE II

Travaux Dirigs -TD-

Professeur : M.REDOUABY

7/28/2019 Algbre TD (Partie 2)

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Srie dexercices

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Partie 2

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4/24

Exercice 1

= 54

21

A

1. Pour le premier polynme, on a :

7I3AAAf2

)( +=-

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5/24

+

=10

01

754

21

354

21

A

2

)(f

Cest--dire :

+

+

=

7015121724

=

912

63

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6/24

Exercice 1

Pour le deuxime polynme, on a :

13I6AAAf2

)( +=-

2

+=

1013

546

54A)(

+

+

=

10

01

3024

126

1724

127

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7/24

On obtient :

=

00

00

)(AfMatrice

nulle

A est une racine du polynme f : 0Af )( =

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8/24

2. Pour le polynme caractristique :

Exercice 1

54+=

=

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3. Thorme de Cayley-Hamilton :

Exercice 1

0A)(P =Remarque : ce rsultat a t vrifi la question 1polynme caractristique

013I6AA =+-

I6IA13I6AA )(A1312 = =-

1-A

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10/24

On obtient ainsi :

A)(6IA1311- =

11

2101-

13

5410

=

14

25-

13

11A

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11/24

Exercice 2

=

15

32A

17315

32)(

2+=

=

P

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Thorme de Cayley-Hamilton :

Exercice 2

0A)(P =

=+-

I3IA17I3AA A)(1712 = =-

1-A

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13/24

On obtient ainsi :

)(17

11A

=

15

32

10

013

-

=

25

31-

17

11

A

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14/24

Exercice 3

=

430023

261

A

Le polynme caractristique de la matrice A :

=

430

023

261

)(P

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15/24

+

=

43

26

343

02

)1()(P

On peut dvelopper suivantla premire colonne :

++=

62823

= )(P

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Thorme de Cayley-Hamilton :

0A)(P =

062I8AAA23

=+++

62I8I)AA(A

2=++

I8IAAA )(2

621 =++

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17/24

On obtient ainsi :

)( 8IAA21-

62

1A ++=

)(1A

++

=

800

080

430

023

1669

6149

62

1

2A A 8I

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18/24

Finalement

= 6412

4188

11A

Vrification : IAA1-=

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19/24

Exercice 4

=

6820

4321

A

4000

Matrice triangulaire suprieure les termes non nul sont dans la partie suprieure

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Exercice 4

=6820

4321

)(P

4000

)4)(3)(2)(1( =)(P

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Exercice 4

=4641

9752

A

matrice A1 matrice carre

3200

Matrice triangulaire par blocs

Matrice nulle matrice A2 matrice carre

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Les blocs diagonaux sont :

=

41

52

A1

=

32

56

A2-

et

Thorme

Soit A est une matrice triangulaire par blocs.Alors son polynme caractristique est leproduit des polynmes caractristiques deses blocs diagonaux

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Cest--dire :

,

)()()(2

A1

AAPPP =

3652 2

+=

=P 41

1

,2893256)( 2 +=

=

2

AP

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Finalement

)289)(36()(22

++= AP