Antoine Chambert-LoirALGE`BRE COMMUTATIVEAntoine Chambert-LoirCentredeMathematiques, Ecolepolytechnique, 91128PalaiseauCedex.E-mail : chambert@math.polytechnique.frVersion du 29 novembre 2001, 16h51Ce cours est le polycopie dun cours enseigne par correspondance a` luniversite Pierre et MarieCurie (Paris 6) pendant lannee scolaire 2000-2001.La version la plus a`jour est disponible sur le Web a`ladresse http://www.polytechnique.fr/~chambert/teach/algcom.pdfALGE`BRE COMMUTATIVEAntoine Chambert-LoirTable des matie` resPresentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiPlan provisoire, viii.1. Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Groupe, 1 ; Groupes abeliens, 2 ; Anneaux, 2 ; Corps, 3 ; Espaces vectoriels, 3 ;Alge `bres, 3 ; Polynomes, 3 ; Modules, 4 ; Categories, 4 ; Foncteurs, 5 ;Relations dordre, 5.2. Anneaux, ideaux, alge` bres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Premie `resproprietes, 7 ; Ideaux, 11 ; Morphismes, 15 ;Alge `bres et sous-anneaux, 16 ; Exercices, 19 ; Solutions, 20.3. Anneau quotient, localisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Anneauxquotients, 25 ; Localisation, 30 ; Exercices, 37 ;Solutions, 38.4. Ideaux premiers, maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Ideaux premiers, ideaux maximaux, 43 ; Le theore `me des zeros de Hilbert, 48 ;Exercices, 53 ; Solutions, 55.5. Anneaux principaux, factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Denitions, 63 ; Anneaux factoriels, 65 ; Sommes de carres, 70 ;Anneaux de polynomes, 73 ; Resultant. Un theore `me de Bezout, 76 ;Exercices, 81 ; Solutions, 82.6. Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Premiers pas, 87 ; Operations sur les modules, 90 ; Generateurs, bases, moduleslibres, 94 ; Quotients de modules, 95 ; Localisation des modules, 98 ;Exercices, 102 ; Solutions, 104.vi TABLEDESMATIE`RES7. Modules de type ni. Anneaux noetheriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Modules de type ni, 113 ; Modules noetheriens. Generalites, 116 ;Alge `bresdepolynomes, 119 ; Untheore `medeHilbert, 121 ;Ideaux premiers minimaux, 125 ; Exercices, 128 ; Solutions, 129.8. Modules de type ni sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Sous-modules dun module libre, 135 ; Modules de type ni, 139 ;Exemples, 144 ; Exercices, 147 ; Solutions, 149.9. Corps et alge` bres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Elements entiers, algebriques, 155 ; Extensions entie `res, algebriques, 158 ;Constructiondextensionsalgebriques, 161 ; Exercices, 165 ;Solutions, 166.10. Alge` bre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Suites exactes, 173 ; Suites exactes scindees. Modules projectifs et injectifs, 176 ;Foncteurs exacts, 181 ; Modules differentiels. Homologie et cohomologie, 184 ;Exercices, 189 ; Solutions, 191.11. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Denition, 195 ; Quelques proprietes, 198 ; Changement de base, 203 ;Adjonction et exactitude, 205 ; Exercices, 207 ; Solutions, 209.12. Modules, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Longueur, 215 ; Moduleset anneauxartiniens, 218 ;Support et ideaux associes, 222 ; Decomposition primaire, 226 ; Exercices, 230 ;Solutions, 233.13. Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241Corpsnis, 241 ; Separabilite, 243 ; TheoriedeGalois, 246 ;Complements, 251 ; Degrede transcendance, 255 ; Exercices, 259 ;Solutions, 262.14. Alge` bres de type ni sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Letheore `medenormalisationdeNoether, 273 ; Finitudedelaclotureintegrale, 276 ; Dimension et degre de transcendance, 278 ; Exercices, 280 ;Solutions, 281.Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287PresentationLe cur de lalge`bre commutative est la notion danneau (commutatif unitaire)qui est lastructurealgebriquecorrespondant auxconcepts collegiens daddi-tion, desoustractionet demultiplication. Par la`, elleadeuxgrands champsdapplication:larithmetique, via diverses notions comme la divisibilite, les ideaux, lesnombrespremiers, lareductionmodulounnombrepremier, etc. ;la geometrie (algebrique) qui etudie les parties de Cndenies par desequationspolynomiales.Cependant, ellepermet aussi dereinterpreterdesstructuresprecedemmentetudieesaucoursducursusuniversitaire. Parexemple, latheoriedesmodulessurunanneauprincipal fournita` lafoisun theore`me de structure pour les groupes abeliens nis a`savoir que pourtout groupeabelienni G, il existeuneuniquesuitedentiers (o1, . . . , or)telsqueo1diviseo2. . .qui diviseortel queG = (Z/o1Z) _ _(Z/orZ).une condition necessaire et sufsante calculablepour savoir si deux matricesdeMn(R)sontsemblables.Cecoursestconstituedunequinzainedechapitres.Chaquechapitresauflepremiercontientdesenonces(propositions, theore`mes) ;leurdemonstration;des exercices dans le corps du texte dont la solution nest pas donnee : ellesetrouvedunefa conouduneautredanslenonceoudanslademonstrationdun resultat du cours. Letudiant ayant appris convenablement le cours est censeetreenmesuredelesresoudresanseffortnotable ;unparagraphedexercices(entre5et10), etleursolutionauparagraphesuivant. Ces exercices constituent les feuilles deTDet doivent etrecherches.Dabordsans laidedela correctionpendant untemps raisonnable(nepasdeclarerforfaitavantaumoinsuneheure), puisaveclacorrectionviii PRESENTATIONLesenoncesetleursdemonstrationsdoiventetresus, lesexercicesassimiles.Plan provisoire1. Denitions ;2. Anneaux, ideaux ;3. Anneauxquotients, localisation;4. Ideauxpremiers, maximaux. Letheore`medeszerosdeHilbert ;5. Anneauxprincipaux, anneauxfactoriels. Letheore`medeBezout ;6. Modules. Modulesquotients, localisation;7. Produittensoriel ;8. Alge`brehomologique ;9. Modulesdetypeni. Anneauxnoetheriens ;10. Modulesdetypeni surunanneauprincipal ;11. Elementsentiers, algebriques. Degredetranscendance ;12. Modulessimples, longueur. Anneauxetmodulesartiniens ;13. Alge`bresdetypeni suruncorps.1 DenitionsDans ce chapitre, nous regroupons la plupart des denitions importantes. Il est impor-tant de les apprendre tout de suite, me me si certaines structures ne seront pas etudieesavant plusieurschapitres. Lesmanierde `sledebut ducoursfournit cependant unlangage commode a`lalgebriste et permet daborder des exemples plus interessants.1.1. GroupeUngroupe est unensembleGmuni duneoperationinterne(, t) - = tveriantlesproprietessuivantes:il existe un element e G tel que pour tout G, e= = =e = (existencedunelement neutre) ;pourtout G, il existet Gtel que = t= t= = e(existenceduninverse) ;pourtous, t, ttdansG, ona = (t= tt) = ( = t) = tt(associativite ).Denombreusesautresnotationsexistentpourlaloiinterne: outre =, citons, ~, +, +, =, ., etc. Quandil nepeut pasyavoirdeconfusion, il est souventcourant de ne pas mettre de symbole et de noter tout simplementtle produitde deux elements et t dun groupe G. Surtout quand la loi est note , linversedunelement estnote ~1.Lelement neutrepeut aussi etrenote eG(sil yaplusieurs groupes), 1, ou1G, ou0(ou0G)si laloi estnotee+.Comme exemples de groupes, citons le groupe Sn des permutations de lensemble|1, . . . , n| (la loi est la composition), le groupe Zdes entiers relatifs (pourladdition), lensembledesreelsnonnuls(pourlamultiplication), toutespacevectoriel (pour laddition), lensembledes matrices n ~ ninversibles (pour lamultiplication), lensemble des matrices n ~ n orthogonales (encore pour lamultiplication).2 CHAPITRE1. DEFINITIONSSi Get Hsontdeuxgroupes, unhomomorphisme de groupes : G -Hestuneapplication telle que (t) = ()(t) pour tous et t dans G. Si : G -Hestunhomomorphisme, ona(eG) = eHetpourtout G, (~1) = ()~1.1.2. Groupes abeliensOndit quungroupeGest abeliensi saloi est commutative, cest-a`-diresipour tousett G, on a = t= t= . Dans ce cas, on note souvent la loi+,~linversedunelementet0ou0Glelementneutre ;onlappelleaddition.1.3. AnneauxUn anneauest un groupe abelienAnoteadditivement muni dune operationdemultiplication(o, /) -o/etdunelement 1telquepourtouso, /, cdansA,onaitassociativite: o(/c) = (o/)c ;commutativite: o/ = /o ;elementneutre: 1o = o ;distributivite: o(/ + c) = o/ + oc.Les anneaux ainsi denis sont commutatifset unitaires. On rencontre aussi desanneauxnoncommutatifs dans lequel larelationdecommutativite nest pasimposee ; il faut alors renforcer la propriete de lelement neutre en imposant a`1detre un element neutre a`la fois a`droite et a`gauche : 1o = o1 = o, ainsi que lapropriete de distributivite en rajoutant laxiome(o+/)c = oc +/c. Toutefois, saufprecisionsupplementaire, lesanneauxseronttoujourssupposescommutatifs.Comme exemples danneaux, citons lanneau Z des entiers relatifs, mais aussiles corps Q des nombres rationnels, R des nombres reels, etc. Citons aussi lanneauR[X]des polynomes enuneindetermineea` coefcients reels et les anneauxCl(I, R) des fonctions l-fois continument derivables dunintervalle I deRa`valeursdansR. Danscederniercas, lefait quelaloi soit biendenierevienta` lenonce bienconnuselonlequel lasommeetleproduitdefonctionsl-foiscontinument derivables lesont aussi. Unexempledanneaunoncommutatifest fourni parlensembledes matrices n ~ na` coefcients dans unanneauAquelconque, parexempleMn(R).SoitounelementdunanneauA.Silexiste/ Atelqueo/ = 1,onditqueo est inversible. Lensemble des elements inversibles deAforme un groupe pourlamultiplication, delementneutre1.Si Aet Bsont deuxanneaux, unhomomorphismedanneauxdeAdans Bestuneapplication: A -Btellequelonaitpourtousoet ot A,(0A) = 0A, (1A) = 1B ;1.7. POLYNOMES 3(o + ot) = (o) + (ot) ;(oot) = (o)(ot).1.4. CorpsUn corps est un anneau non nul dans lequel tout element non nul est inversible.Les corps que lon rencontre le plus frequemment sont les nombres rationnelsQ, lesnombresreelsRetlesnombrescomplexesC. Citonsaussilescorpsdesfractionsrationnellesa` coefcientsreelsoucomplexes, R(X)etC(X).1.5. Espaces vectorielsUnespace vectoriel suruncorpsl(ditaussi l-espacevectoriel)estungroupeabelienV,noteadditivement,muniduneloi l ~V -V,produitexterne,notemultiplicativement, veriantles proprietes suivantes : pourtousoet/dansletpourtousvet odansV, ona1v = v ;associativite: (o/)v = o(/v) ;distributivite: (o + /)v = ov + /vet o(v + o) = ov + oo.1.6. Alge` bresSoitlun anneau. Unel-alge `breest un anneauAmuni dun homomorphismedanneauxl -A. Cet homomorphismenest pas forcement injectif ; lorsquillest, onpeut identierla`sonimage(l)par, quiest un sous-anneaudeA.Donnonsquelquesexemples:CestuneR-alge`bre(lemorphismeR -Cestlinclusionevidente) ; lanneaudes polynomes R[X]enunevariableest aussiuneR-alge`bre.1.7. PolynomesSoit lunanneauet nunentiernaturel, n _1. Lanneau des polynomes ennindeterminees (ouvariables)l[X1, . . . , Xn]est deni delafa consuivante. Unmonomeestuneexpressiondelaforme+Xm11. . . Xmnnou` + let m1, . . . , mnsontdesentiers _ 0. Unpolynomeestunesommedunnombrenidemonomes. Ladditionetlamultiplicationseffectuent commeonlimagine .Silonneveutpassecontenterdecettedenitionimprecise,onpeutconsi-derer lensemblel(Nn)des familles presque nulles delements delindexees par4 CHAPITRE1. DEFINITIONSlensemble Nndes n-uplets dentiers positifs ou nuls. Sur cet ensemble, on denitdeuxlois +et commesuit. Soit + = (+m)mNn et +t= (+tm)mNm deuxelementsdel(Nn), onpose+ + +t= (+m + +tm)mNmet+ +t= j, jm= Xi,itNni+it=m+i+tit .Ilfautverierquecesformulesontunsens,cest-a`-direquetouteslessommessontnies. Ondenitaussi 0lafamilleidentiquementnulle, 1lafamilletelleque1m= 0pourm ,= 0et 10= 1. Ondenitaussi, si i |1, . . . , n|, Xicommelafamilleidentiquementnulleexceptepourlindice(0, . . . , 1, . . . , 0),le1etantenpositioni,ou` lavaleurest1.Onpeutverierquecetteconstructiondenitunanneau, note l[X1, . . . , Xn], et memeune l-alge `bre, via lhomomorphismel -l[X1, . . . , Xn]tel que+ -+1.1.8. ModulesSi Aest unanneau, unA-module est ungroupeabelienMmuni duneloiexterneA ~ M - Mqui verieexactementlesmemesaxiomesqueceuxdunespacevectoriel : pourtousmet mtdansMetpourtousoet /dansA, ona1m = m;associativite: (o/)m = o(/m) ;distributivite: (o + /)m = om + /met o(m + mt) = om + omt.UnhomomorphismedeA-modules :M -Nest uneapplicationtellequepourtousmet mtdansMetpourtouso A, onait:(m + mt) = (m) + (mt) ;(om) = o(m).(Cestlanaloguepourlesmodulesdesapplicationslineairesentreespacesvec-toriels.)1.9. CategoriesLorsquonmanipuleungrandnombredestructuresalgebriques, lelangagedes categories est utile. Leur introductionrigoureusenecessitedes precautionsimportantesentheoriedesensemblesquenouspassonssoussilenceici.Unecategorie Cest ladonneedunecollectionobC, appeleeobjets deC, etpour tout couple(A, B) dobjets, dun ensembleHomC(A, B) dont les elementssontappelesmorphismesdeAdansB. Si A, Bet CsonttroisobjetsdeC, on1.11. RELATIONSDORDRE 5disposeduneapplicationdecomposition des morphismesHomC(B, C) ~HomC(A, B) -HomC(A, C), (, ) - o .Si Aest unobjet deC, onsupposeaussi donne unmorphismeidentite IdA HomC(A, A). Ondemandeennquesoientverieslesaxiomes:pourtout HomC(A, B), o IdA= IdBo= ;pour tous HomC(C, D), HomC(B, C), lHomC(A, B), on a o ( o l) = ( o ) o l(associativitedelacomposition).Onnoteaussi : A -Baulieude HomC(A, B).Les structures introduites plus haut donnent lieu a` des categories : les categoriesGr des groupes, AbGr des groupes abeliens, Ann des anneaux, Corps des corps,Evldesl-espacesvectoriels, Algldesl-alge`bres, Modldesl-modules.1.10. FoncteursSi Cet Ctsontdeuxcategories, unfoncteur F : C -Ctestladonnee:pourtoutobjet A obC, dunobjet F(A) obCt ;pour tout morphisme HomC(A, B), dun morphismeF() HomCt (F(A), F(B))desortequesoientverieeslesproprietessuivantes:F(IdA) = IdF(A)et F() o F() = F( o ).Untel foncteurestaussi appele foncteur covariant. Il existeaussi desfoncteurscontravariants qui changent le sens des e`ches : si : A -B, F() est unmorphismeF(B) -F(A)et F( o ) = F() o F().Lesfoncteurssuivantssontappelesfoncteurs doubli carilsconsistenta`oublierunepartiedelastructuredunobjet algebrique. Ils envoient unobjet surlememe objet de la structure plus pauvre, un morphisme sur le meme morphisme.AbGr -Gr: ungroupeabelienestungroupe ;AbGr -AbGr, Evl -AbGr: unanneau, unespacevectoriel sont desgroupesabeliens ;Corps -Ann, Algl -Ann : un corps, une l-alge`bre sont aussi des anneaux.Il existeaussi desfoncteursplussubtils, commelefoncteurAnn - AbGrquiassocie a`un anneauAle groupe multiplicatifA~des elements inversibles deA.1.11. Relations dordreUne relation dordresur un ensembleX est une relation _ veriant les axiomesx _ x ;si x _ yet y _ z, alorsx _ z ;si x _ yet y _ x, alorsx = y.6 CHAPITRE1. DEFINITIONSSi _ est une relation dordre, on denit la relation _ comme x _ y si et seulementsi y _ x.Comme exemples, citons la relation dordre usuelle sur les reels et la divisibilitesur les entiers naturels non nuls. Citons aussi la relation dinclusion sur les partiesdunensemble.Unordre _surXestdittotal sipourtoutcouple(x, y)delementsdeX,oubienx _ y, oubieny _ x.Dans un ensemble ordonne(X, _), un element maximal est un elementx telquil nexistepas dey X, y ,=xveriant y _x. Unplus grand element est unelementxtelquepourtouty X, y _ x. Attention, lorsquelarelationdordrenestpastotale, cesdeuxnotionssontdistinctes.On utilisera a`plusieurs reprises le lemme de Zorn. Cest un resultat de logique,equivalent a` laxiome duchoix, dont linteret est dimpliquer lexistencedenombreuxobjetsinteressantsenmathematiques: baseset supplementairesentheoriedesespacesvectoriels,cloturealgebriqueduncorps,ideauxmaximauxdunanneau, letheore`medeHahnBanachenanalysefonctionnelle, etc. Ilimplique aussi lexistence de nombreux objets pathologiques tels des ensemblesnon mesurables ou cest le paradoxe de BanachTarski deux partitions delasphe`reS2 R3delaformeS2|iI Xi= |iI(Yi|Zi)telquepourtouti, Xi, YietZisoient images lun de lautre par un deplacement. Cest pourquoi certainsmathematicienslerejettent.Lemme 1.11.1 (Zorn). Soit (X, _)unensembleordonne veriant lapropriete sui-vante : toute partie de X totalement ordonnee admet un majorant dans X (on dit que X estinductif). Alors, X admet un element maximal.2 Anneaux, ideaux, alge` bresCe chapitre introduit les notions danneaux et dideaux. Ces deux notions formalisentles methodes de calcul bien connues avec les nombres entiers : on dispose dune addition,dune multiplication, de deux symboles 0 et 1 et des re `gles de calcul usuelles.2.1. Premie` res proprietesDenition 2.1.1. On appelle anneau un groupe abelienAnoteadditivement munidune loi de multiplication A ~A -A, (o, /) -o/ veriant les proprietes suivantes :il existe un element1 Atel que pour touto A,1o=o (element neutre pour lamultiplication) ;pour tous o et / dans A, o/ = /o (commutativite) ;pour tous o, / et c dans A, o(/ + c) = o/ + oc (distributivite).Les axiomes ci-dessous permettent uncalcul analogue a` celui dont onalhabitudedans les entiers. Si oest unelement dunanneauAet si nest unentierpositifounul,ondenitonparrecurrenceenposanto0= 1et,sin _ 1,on= o(on~1).Onpeutdeduiredecesaxiomesdesproprietesfamilie`res.Exercice 2.1.2. a)Demontrerquepourtout o A, 0o=0(ondit que0estabsorbant pourlamultiplication).b) Sie A est un element tel que pour touto A,eo = o, alorse = 1 (unicitedelelementneutrepourlamultiplication).c)Pourtout o A, ona(~1)o = ~o.d)Si 1 = 0dansA, alorsA = |0|. OnditqueAestlanneaunul.e)Pourtout o Aetpourtousentiersm, n _ 0, onaom+n= omon.8 CHAPITRE2. ANNEAUX, IDEAUX, ALGE`BRESf)Laformule du binome estvalide: si oet / Aet n _ 0, ona(o + /)n=nXl=0nlol/n~l.Certainselementsdunanneauontdesproprietesparticulie`resinteressantesparrapporta` lamultiplication, cequi justiequelquesdenitions.Denition 2.1.3. Soit A un anneau et soit o un element de A.On dit que o est inversible, ou que o est une unite de A, sil existe / A tel que o/ = 1.Un tel / est necessairement unique, cest l inverse de o ; on le note souvent o~1.On dit que o estdiviseurdezero sil existe / A, / ,= 0 tel que o/ = 0. On dit que oestsimpliable sil nest pas diviseur de zero, cest-a` -dire si la relation o/ = 0 abec / Aimplique / = 0.On dit enn que o est nilpotent sil existe n _ 1 tel que on= 0.Proposition 2.1.4. Lensemble des elements inversibles dun anneau A est un groupepour la multiplication. On le note A~ ; cest legroupedesunites de A.Demonstration. Soit oet /deuxelements deA, dinverses o~1et /~1. Alors,(o/)(o~1/~1) = (oo~1)(//~1) = 1, si bien queo/ est inversible dinverseo~1/~1. Lamultiplication deA denit ainsi une loi interne surA~. De plus,1 est inversibleet est un element neutre pour cette loi. Enn, sio A~, son inverse pour cetteloi nestautrequeo~1. Ainsi, A~estungroupepourlamultiplication.Exercice 2.1.5. Soit Aunanneau.a)Soit x Aunelement nilpotent. Si n _0est tel quexn+1=0, calculer(1 + x)(1 ~x + x2~ + (~1)nxn). Endeduireque1 + xestinversibledansA.b)Soit x Aunelement inversibleet y Aunelement nilpotent, montrerquex + yestinversible.c) Si x et y sont deux elements nilpotents de A, montrer que x+y est nilpotent.(Si netmsontdeuxentierstelsquexn+1= ym+1= 0,onutiliseralaformuledubinomepourcalculer(x + y)n+m+1.)Encoreunpeudeterminologie:Denition 2.1.6. Soit A un anneau non nul.On dit queA est inte`gre sil na pas de diviseur de zero autre que0 (autrement dit, sitout elemement non nul est simpliable).On dit que A estreduit si 0 est le seul element nilpotent de A.On dit que A est un corps si tout element non nul de A est inversible.Enparticulier, lanneau nul nest ni inte `gre ni reduit.Exercice 2.1.7. Soit Aunanneauni inte`gre. Alors, Aestuncorps.2.1. PREMIE`RESPROPRIETES 9Solution. Soit o un element non nul de A. On doit prouver que o est inversibledans A. Soit :A - Alapplicationtelleque(/)= o/. Alors, est injective:si (/) = (/t),onao/ = o/t,donco(/ ~/t) = 0.CommeAestinte`greeto ,= 0,/ ~/t= 0. Par suite, le cardinal de(A) est egal au cardinal deA. Comme(A)est unepartiedeA, (A)=A. Ainsi, est surjectif et il existe/ Atel queo/ = 1.Exemple 2.1.8. Soit Aunanneauinte`gre. LanneauA[X]des polynomes enuneindetermineea` coefcientsdansAestinte`gre.Avantdedemontrercefait, rappelonsquelondisposedunefonctiondegresurlanneauA[X]: unpolynomenonnul P A[X]peutsecrirenPl=0olXlavecon ,= 0pourununiqueentiern _ 0 ; onposealors deg P = n. Parconvention,onposedeg(0)= ~c. Deplus, si Pet Qsont des polynomes deA[X], onadeg(P + Q) _max(deg P, deg Q)et deg(PQ) _deg P + deg Q(ces formulessontvraiesmemesi P, Q, P +QouPQestnul,aveclesconventionsnaturellesmax(~c, x) = ~cet ~c+ x = ~cpourtout x N|~c|).Demonstration. SiP etQsont deux polynomes non nuls, on veut prouver quePQ ,= 0. OnpeutecrireP =deg PXl=0olXlet Q =deg QXl=0/lXlavecodeg P ,= 0et /deg Q ,= 0. Alors,PQ =deg P+deg QXl=0

min(deg P,l)Xm=0om/l~m!Xl.Enparticulier, letermededegre deg P + deg Qapourcoefcient odeg P/deg Q.CommeAestinte`gre, cecoefcientestnonnul et PQ ,= 0.Leraisonnementci-dessusmontredoncquesi Pet Qsontdeuxpolynomesa`coefcients dans unanneauinte`gre, deg(PQ)=deg P + deg Q. Lanotiondedegre dun polynome intervient aussi dans le theore`me de division euclidienne :Theore`me 2.1.9. Soit Aunanneauet soit Pet Qdeuxpolynomesde A[X]. Onsuppose queQ ,= 0 et que le coefcient du terme de plus haut degre deQest inversible(1).Alors, il existe un unique couple de polynomes (R, S) dans A[X] veriant les proprietesP = RQ + S ;deg S < deg Q.(1)Untel polynomeestappeleunitaire10 CHAPITRE2. ANNEAUX, IDEAUX, ALGE`BRESDemonstration. Oncommenceparlunicite. Si P=RQ + S=RtQ + St, alorsQ(Rt~R) = St~Sestdedegreauplusmax(deg S, deg St) < deg Q. SupposonsR ,= Rt, cest-a`-direRt~ R ,= 0. Alors, si vXdeg Qet oXmsont lestermesdeplushautdegredansQetRt~Rrespectivement,letermedeplushautdegredansQ(Rt~ R)est donne parovXm+deg Q. Commevest inversibleet o ,=0, ov ,=0.Ainsi, Q(Rt~ R)est dedegre m + deg Q _deg Q. CettecontradictionmontrequeR = Rt, puisS = P ~RQ = P ~RtQ = St.Montronsmaintenantlexistenceducouple(R, S)commedansletheore`me.Notons toujours vXdeg Qletermedeplus haut degre deQ. Onraisonneparrecurrence sur le degre de P. Si deg P