Ampliació de Matemàtiques Tema 5. Sèries de FourierSi f(t) es una funci o de nida en un interval [0;L], aleshores: 1.Las erie cosinusde f es la s erie de Fourier de l’extensi

Ampliacio de MatematiquesTema 5. Series de Fourier

Lali BarriereDepartament de Matematiques - UPC

Enginyeria de Sistemes AeroespacialsEnginyeria d’Aeroports

Enginyeria d’AeronavegacioEETAC

Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 1 / 39

Continguts

Continguts

Previs: series numeriques

5.1 Funcions periodiques

5.2 Serie de Fourier trigonometrica

5.3 Serie cosinus i serie sinus

5.4 Convergencia de la serie de Fourier

5.5 Serie de Fourier complexa



Previs: series numeriquesDefinicio Una serie es la suma dels termes d’una successio.Si {an}n∈N es una successio de nombres (reals), la serie associada es lasuccessio

Sn =

n∑k=0

ak

Diem que la serie es convergent si existeix (i es finit) el lımit:

limn→+∞

Sn = a0 + a1 + a2 + a3 + . . .

Si el lımit no existeix o es infinit, diem que la serie es divergent.

Exemple La suma d’una progressio aritmetica sempre te lımit infinit:

{an}n∈N = {a0, a0 + d, a0 + 2d, a0 + 3d, . . .} ⇒ an = a0 + n · d

⇒n∑k=0

ak = (n+ 1) · a0 +n(n+ 1)

2· d⇒ lim

n→+∞Sn = +∞ (si d > 0)



Progressio i serie geometricaLa suma d’una progressio geometrica te lımit finit si la rao es mes petitaque 1, en valor absolut:

{an}n∈N = {a, a · r, a · r2, . . .} ⇒ an = a · rn

⇒N∑n=0

an =

N∑n=0

a · rn = a0 + a1 + · · ·+ aN =a− a · rN+1

1− r

⇒ limN→+∞

SN = limN→+∞

a− a · rN+1

1− r =

a

1− r , si |r| < 1

±∞, si r ≥ 1

no existeix, si r < −1A mes, si la suma no comenca en n = 0:∑

n≥ka · rn = lim

N→+∞

a · rk − a · rN+1

1− r =a · rk1− r , sempre i quan |r| < 1.



Criteri 0

Si la serie∑n≥1

an es convergent, aleshores limn→∞

an = 0.

Es a dir:

limn→∞

an 6= 0 =⇒∑n≥1

an es divergent.




ObjectiuExpressar una funcio periodica (o una funcio definida en un interval) coma suma (finita o infinita) de sinusoıdals.

Definicio Una funcio f : R→ R es periodica amb perıode T si

f(t+ T ) = f(t)

per a qualsevol t ∈ R.

I Si f es periodica amb perıode T diem que f es T -periodica.

I Si f es T -periodica tambe es nT -periodica, per a tot n enter.

I El menor dels perıodes de f s’anomena perıode fonamental.



Funcions periodiques: exemples

I cos t, sin t son funcions 2π-periodiques.

I cos(2t), sin(2t) son funcions π-periodiques i, per tant, tambe2π-periodiques.

I cos(nt), sin(nt) son funcions 2πn -periodiques i, per tant, tambe

2π-periodiques.

I cos(πt), sin(πt) son funcions 2-periodiques.

I cos 2πtT , sin 2πt

T son funcions T -periodiques.

I t− btc es 1-periodica.



Funcions periodiques: exemples (2)Funcions 2π-periodiques

I f(t) = cos t− sin(2t) + 4 cos(3t) es 2π-periodica.

I Qualsevol combinacio lineal de sinus i cosinus de la forma

f(t) =∑n≥1

an cos(nt) +∑n≥1

bn sin(nt)

es 2π-periodica.

Sinusoıdals amb altres perıodes

I f(t) = cos(2πt) + 3 sin(4πt)− 5 sin(6πt) es 1-periodica.

I Qualsevol combinacio lineal de sinus i cosinus de la forma

f(t) =∑n≥1

an cos(nω0t) +∑n≥1

bn sin(nω0t)

es 2πω0

-periodica.



Teorema de Fourier

“Tota” funcio 2π-periodica admet un desenvolupament en serie de la forma

f(t) =a02

+∑n≥1


bn sin(nt)



5.2 Serie de Fourier trigonometricaSi f(t) es una funcio T -periodica, la frequencia fonamental de f(t) es

ω0 =2π

T

La serie de Fourier trigonometrica de f(t) es:

f(t) ' a02

+

∞∑n=1

(an cos (nω0t) + bn sin (nω0t))

on an i bn s’anomenen coeficients de Fourier, i venen donats per:

an =2

T

∫ T2

−T2

f(t) cos (nω0t) dt, n ≥ 0

bn =2

T

∫ T2

−T2

f(t) sin (nω0t) dt, n ≥ 1

Observacio Es poden calcular tambe integrant en l’interval [0, T ].Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 10 / 39


Coeficients de Fourier d’una funcio 2π-periodicaSi f(t) es 2π-periodica, la seva frequencia fonamental es 1 i la seva serie deFourier es:

f(t) ' a02

+∑n≥1


bn sin(nt)

Els coeficients de Fourier de f(t) venen donats per

a0 =1

π

∫ π

−πf(t) dt,

an =1

π

∫ π

−πf(t) cosnt dt

bn =1

π

∫ π

−πf(t) sinnt dt

n ≥ 1.

Demostracio Per a la demostracio necessitem recordar:

cosx cos y =cos(x− y) + cos(x+ y)

2

sinx sin y =cos(x− y)− cos(x+ y)

2

sinx cos y =sin(x− y) + sin(x+ y)

2



Coeficients de Fourier d’una funcio 2π-periodica (2)Observem:∫ π

−πcosnt dt =

1

nsinnt

∣∣∣π−π

= 0,

∫ π

−πsinnt dt =

1

n(− cosnt)

∣∣∣π−π

= 0.

A mes:∫ π

−πcosnt sinmt dt =

1

2

∫ π

−π(sin(m− n)t+ sin(m+ n)t) dt = 0, ∀ n,m∫ π

−πcosnt cosmt dt =

1

2

∫ π

−π(cos(m− n)t+ cos(m+ n)t) dt = 0, ∀ n 6= m∫ π

−πsinnt sinmt dt =

1

2

∫ π

−π(cos(m− n)t− cos(m+ n)t) dt = 0, ∀ n 6= m

Si n = m: ∫ π

−πcos2mt dt =

1

2

∫ π

−π(1 + cos 2mt) dt = π∫ π

−πsin2mt dt =

∫ π

−π(1− cos2mt) dt = π



Coeficients de Fourier d’una funcio 2π-periodica (3)A partir de l’expressio

f(t) =a02

+∑n≥1


bn sin(nt)

I Integrant entre −π i π:∫ π

−πf(t) dt =

∫ π

−π

a02dt+

∞∑n=1

(an

∫ π

−πcosnt dt+ bn

∫ π

−πsinnt dt

)= a0 π

I Multiplicant per cosmt i integrant entre −π i π:∫ π

−πf(t) cosmt dt = am

∫ π

−πcosmt cosmt dt = amπ

I Multiplicant per sinmt i integrant entre −π i π:∫ π

−πf(t) sinmt dt = bm

∫ π

−πsinmt sinmt dt = bmπ

�Lali Barriere - Ampliacio de Matematiques Tema 5. Series de Fourier 13 / 39


5.3 Serie cosinus i serie sinusDefinicio Una funcio f es parella si es compleix, per a tot t ∈ R,

f(t) = f(−t)La grafica d’una funcio parella es simetrica respecte de l’eix Y .

Una funcio f es senar si es compleix, per a tot t ∈ R,

f(t) = −f(−t)La grafica d’una funcio senar es simetrica respecte de l’origen.

Hi ha funcions que no son ni parelles ni senars.

I f parella ⇒∫ a

−af(t) dt = 2

∫ a

0f(t) dt

I f senar ⇒∫ a

−af(t) dt = 0

I Tota funcio f es suma d’una funcio parella i una funcio senar.

f(t) = fp(t)+fs(t), on fp(t) =f(t) + f(−t)

2, fs(t) =

f(t)− f(−t)2



El producte de funcions parelles i senars compleix:

I parella · parella = parella

I parella · senar = senar

I senar · senar = parella



Series de Fourier de funcions parelles i de funcions senars

1. Si f es una funcio T -periodica i parella, el seu desenvolupament enserie de Fourier es de la forma

f(t) ' a02

+

∞∑n=1

an cos (nω0t)

an =4

T

∫ T2

0f(t) cos (nω0t) dt, n ≥ 0

2. Si f es una funcio T -periodica i senar, el seu desenvolupament enserie de Fourier es de la forma

f(t) '∞∑n=1

bn sin (nω0t)

bn =4

T

∫ T2

0f(t) sin (nω0t) dt, n ≥ 1.

En ambdos casos ω0 =2πT .



Serie cosinus i serie sinus

Si f(t) es una funcio definida en un interval [0, L], aleshores:

1. La serie cosinus de f es la serie de Fourier de l’extensio parella de f .

2. La serie sinus de f es la serie de Fourier de l’extensio senar de f .

I Les extensions parella o senar de f es defineixen en l’interval [−L,L].I Les funcions resultants se suposen T -periodiques, amb T = 2L.



Serie cosinus

Extensio parella de f(t), amb perıode T = 2L i, per tant, ω0 =π

L:

fp(t) =

{f(t), si 0 < t < L

f(−t), si − L < t < 0amb fp(t+ 2L) = fp(t)

La seva serie de Fourier es:

fp(t) 'a02

+

∞∑n=1

an cos(nπ

Lt)

an =2

L

∫ L

0f(t) cos

(nπ

Lt)dt, n ≥ 0

En l’interval [0, L] es compleix: fp(t) = f(t).



Serie sinus

Extensio senar de f(t), amb perıode T = 2L i, per tant, ω0 =π

L:

fs(t) =

{f(t), si 0 < t < L

−f(−t), si − L < t < 0amb fs(t+ 2L) = fs(t)

La seva serie de Fourier es:

fs(t) '∞∑n=1

bn sin(nπ

Lt)

bn =2

L

∫ L

0f(t) sin

(nπ

Lt)dt, n ≥ 1

En l’interval [0, L] es compleix: fs(t) = f(t).




Considerem f(t) una funcio T -periodica, ω0 =2πT , i la successio de sumes

parcials de la serie de Fourier de f :

SN (t) =a02

+

N∑n=1

(an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)), N > 0

Estudiem alguns resultats sobre convergencia:

1. Condicions de Dirichlet.

2. Fenomen de Gibbs.

3. Aproximacio en mitjana quadratica.

4. Desigualtat de Bessel.

5. Igualtat de Parseval.



Condicions de Dirichlet

Si es compleix en cada perıode:

I f te es contınua a trossos (te un nombre finit de discontinuıtats).

I f te un nombre finit d’extrems (maxims o mınims).

Aleshores:La serie de Fourier de f convergeix puntualment (en cada punt t):

limN→+∞

SN (t) =f(t+) + f(t−)

2

on f(t+) i f(t−) indiquen els lımits laterals de f per la dreta i perl’esquerra, respectivament.

Les condicions de Dirichlet garanteixen la convergencia puntual de la seriede Fourier cap a la funcio f , si aquesta es contınua.



Fenomen de Gibbs

I La convergencia de la serie de Fourier es uniforme si:

limN→∞

max |SN (t)− f(t)| = 0

I Si f es contınua i f ′ contınua a trossos, hi ha convergencia uniforme.

I El fenomen de Gibbs es produeix quan NO hi ha convergenciauniforme. Al voltant dels punts de discontinuıtat de la funcio, SNdesborda els valors f(t+) i f(t−) en aproximadament un 9% del saltde la funcio en aquest punt, sigui quin sigui el valor de N .



Fenomen de Gibbs (2)

f(t) = t− btc, t ∈ [0, 1]⇒ f(t) ' 1

2− 1

π

∑n≥1

1

nsin(2πnt)

Sumes parcials SN , amb n = 1, n = 2, n = 3.



Fenomen de Gibbs (3)

f(t) = t− btc, t ∈ [0, 1]⇒ f(t) ' 1

2− 1

π

∑n≥1

1

nsin(2πnt)

Sumes parcials SN , amb n = 2, n = 10, n = 14.



Aproximacio en mitjana quadratica

L’error quadratic en aproximar f per SN es:

EQ =

∫ T2

−T2

(SN (t)− f(t))2 dt

L’error quadratic mitja en aproximar f per SN es:

EQM =1

TEQ =

1

T

∫ T2

−T2

(SN (t)− f(t))2 dt

L’error quadratic i l’error quadratic mitja mesuren l’energia i l’energiamitjana de l’error comes en aproximar f per la suma parcial SN de la sevaserie de Fourier.



Observacio

EQ =

∫ T2

−T2

(SN (t)− f(t))2 dt =

=

∫ T2

−T2

(a02

+

N∑n=1

(an cos(nω0t) + bn sin(nω0t))− f(t))2

dt =

=

∫ T2

−T2

(f(t))2 dt− T a20

4− T

2

N∑n=1

(a2n + b2n)



Aproximacio en mitjana quadratica (2)

I Observacio Per tal de mesurar l’EQ, la funcio f ha de ser de quadratintegrable. Per aixo es suficient que sigui contınua a trossos.

I La serie de Fourier es la serie trigonometrica que minimitza l’errorquadratic.

I Si f es una funcio de quadrat integrable, la seva serie de Fourierconvergeix en mitjana quadratica a f :∫ T

2

−T2

(SN (t)− f(t))2 dt −→N→∞

0



Desigualtat de Bessel i igualtat de Parseval

I Desigualtat de Bessel. Si f es de quadrat integrable en [−T2 ,

T2 ]:

a202

+

N∑n=1

(a2n + b2n) ≤1

T

∫ T2

−T2

(f(t))2 dt.

La desigualtat de Bessel implica que limn→∞

an = limn→∞

bn = 0.

I Igualtat de Parseval. Si f es de quadrat integrable en [−T2 ,

T2 ]:

1

T

∫ T2

−T2

(f(t))2 dt =a204

+1

2

∞∑n=1

(a2n + b2n)

La igualtat de Parseval mesura la potencia mitjana de f a partir delscoeficients de Fourier.




Si f(t) es una funcio T -periodica, la frequencia fonamental de f(t) es

ω0 =2π

T

La serie de Fourier complexa de f(t) es:

f(t) '∞∑

k=−∞ck e

jkω0t

on cn s’anomenen coeficients de Fourier, i venen donats per:

ck =1

T

∫ T2

−T2

f(t)e−jkω0tdt, −∞ < k <∞.

Observacio Es poden calcular tambe integrant en l’interval [0, T ].



Coeficients de Fourier d’una funcio 2π-periodica

Observem: ∫ π

−πejmte−jkt dt =

∫ π

−πej(m−k)t dt =

=

∫ π

−π[cos(m− k)t+ j sin(m− k)t] dt =

{0 m 6= k,

2π m = k.

A partir de l’expressio

f(t) '∞∑

k=−∞

ck ejkt,

I Multiplicant per e−jkt i integrant entre −π i π:∫ π

−πf(t) e−jktdt =

∞∑m=−∞

cm

∫ π

−πejmte−jktdt = 2πck



Relacio entre els coeficients an, bn i ck

f(t) ' a02

+

∞∑n=1

(an cosnω0t+ bn sinnω0t) =

∞∑k=−∞

ck ejkω0t

A partir de la formula d’Euler tenim:

ejnω0t = cosnω0t+ j sinnω0te−jnω0t = cosnω0t− j sinnω0t

⇔cosnω0t =

ejnω0t + e−jnω0t

2

sinnω0t =ejnω0t − e−jnω0t

2j

Per tant:

f(t) ' a02

+

∞∑n=1

(anejnω0t + e−jnω0t

2+ bn

ejnω0t − e−jnω0t

2j

)

=a02

+

∞∑n=1

(an2

+bn2j

)ejnω0t +

(an2− bn

2j

)e−jnω0t =

∞∑k=−∞

ck ejkω0t



Els coeficients ck de la serie de Fourier complexa es poden calcular a partirdels coeficients an i bn de la serie trigonometrica:

I k > 0: ck =ak2

+bk2j

=1

2(ak − jbk)

I k = 0: c0 =a02

I k < 0: ck = c−n =an2− bn

2j=

1

2(an + jbn),

Els coeficients an i bn de la serie de Fourier trigonometrica es podencalcular a partir dels coeficients ck de la serie complexa:

I a0 = 2c0

I an = cn + c−n = 2Re(cn)

I bn = j(cn − c−n) = −2Im(cn)



Propietats de la serie complexa

I Es compleix: c−n = cn per a tot n.

I Una funcio es parella si ck es real per a tot k.

I Una funcio es senar si ck es imaginari pur per a tot k.

Identitat de Parseval

1

T

∫ T2

−T2

(f(t))2dt =

∞∑k=−∞

|ck|2



Espectre bilateralf(t) funcio T -periodica, amb frequencia fonamental ω0 =

2πT .

I Les frequencies ωk = kω0 = k 2πT s’anomenen harmonics.

I Podem associar a cada harmonic el seu coeficient en la serie deFourier complexa:

ωk → ck, k ∈ ZEl conjunt de frequencies i coeficients formen l’espectre de la funcio f .

Representacio graficaI Separem l’espectre en espectre d’amplitud i espectre de fase.I L’espectre d’amplitud es la correspondencia: ωk → |ck|, k ∈ Z.I L’espectre de fase es la correspondencia: ωk → arg(ck), k ∈ Z.I Com que f es real

c−k = ck ⇒ |c−k| = |ck|, arg(c−k) = − arg(ck)

La grafica de l’espectre d’amplitud es parella.La grafica de l’espectre de fase es senar.



Espectre bilateral (2)

|ck|

!

!k ! |ck| !k ! arg(ck)arg(ck)

⇡

�⇡

!

!n ! An !n ! �nAn

!

�n

⇡

�⇡

!

1

|ck|

!


⇡

�⇡

!

!n ! An !n ! �nAn

!

�n

⇡

�⇡

!

1



Espectre unilateralf(t) funcio T -periodica, amb frequencia fonamental ω0 =

2πT .

I Les frequencies ωn = nω0 = n2πT s’anomenen harmonics.

I Forma amplitud-fase de la serie de Fourier:

f(t) ' A0 +∑n≥1

Ak cos(ωnt+ φn)

I Podem associar a cada harmonic la seva amplitud i la seva fase:

ωn → (An, φn), n ∈ N

El conjunt de frequencies, amplituds i fases formen l’espectre de f .

Pas de la serie de Fourier trigonometrica a la forma amplitud-fase

an cosωnt+ bn sinωnt = An cos(ωnt+ φn)

An cos(ωnt+ φn) = An(cosωnt cosφn − sinωnt sinφn)

}⇒

⇒{an = An cosφn, bn = −An sinφnA0 =

a02 , An =

√a2n + b2n, tanφn = − bn

an, n ≥ 1



Espectre unilateral

I L’espectre d’amplitud es la correspondencia: ωn → An, n ∈ N.

I L’espectre de fase es la correspondencia: ωn → φn, n ∈ N.

I L’espectre unilateral es la representacio dels espectres d’amplitud i defase.



Espectre unilateral (2)

|ck|

!


⇡

�⇡

!

!n ! An !n ! �nAn

!

�n

⇡

�⇡

!

1

|ck|

!


⇡

�⇡

!

!n ! An !n ! �nAn

!

�n

⇡

�⇡

!

1



Espectre del pols rectangular


Documents

Ampliació de Matemàtiques Tema 5. Sèries de FourierSi f(t) es una funci o de nida en un interval [0;L], aleshores: 1.Las erie cosinusde f es la s erie de Fourier de l’extensi