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Université de Toulon Sea Tech - 1ère année
Analyse Numérique Travaux Dirigés I
Résolution des équations non linéaires. Exercice l.
l. Montrer que la fonction f(x) = x3 - x - 1 admet une racine réelle dans l'intervalle [1, 2].
2. Étudier la suite Xn+l = cp(xn), xo E [1, 2] avec
(a) cp(x) = x3 - l. 1
(b) cp(x) = -2-1· X -
(c) cp(x) = (x + 1)113. Exercice 2. On considère l'équation x = cp(x) avec cp(x) = ln(x + 1) + 0.2 dans R+. Montrer que la suite associée est convergente.
Exercice 3. On considère la fonction f(x) = x3 + 4x2 - 10 dans [1, 2].
l. Montrer qu'il existe une unique racine réelle.
2. Reformuler le problème sous la forme x = cp(x) et étudier la convergence de la méthode itérative as sociée.
Exercice 4.
On considère la suite Xn+i = cp(xn) avec cp(x) = ~ (x + 1) (formule de Héron) et xo;;::: VA.
l. Montrer que la suite (xn)n vérifie Xn ~ VA, n ~ l. 2. Montrer que la suite est décroissante. En déduire qu'elle converge vers VA. 3. En apliquant la méthode de Newton-Raphson à la fonction f (x) = x2 - A, retrouvez la formule de
Héron. Étudier l'ordre de convergence <le la méLho<le.
Exercice 5. l. Montrer que l'équation e-x = x admet une solution unique, que l'on notera ç, dans l'intervalle [O, 1].
2. Soit (xn) la suite définie par Xo = ~, Xn+l = e-Xn. Cette suite converge-t-elle vers ç? Quel est le type de la méthode décrite?
3. Soit a E JR et ge,, la fonction définie par
gc,,(x) = x - a(x - e-"').
Pour quelles valeurs de a la fonction ge,, est-elle contractante pour tout x E [O, 1]?
1
4. Montrer que pour a E [O, 1] on a Vx E [O, lj, 9a(x) E [O, 1].
2 5. On pose a= 1 La fonction 9a est-elle contractante sur [O, 1]? Montrer que la suite (xn) définie 3+e- par
1 Xo = 2,
converge vers ç. 6. Analyser l'erreur en fonction de min La= min sup lg~(x)I. Conclusion(s)?
aE(O,l) aE(0,1) xE[0,1)
Exercice 6. On se propose de résoudre dans JR+ l'équation x = - lnx avec la précision ê = 10-9,
l. Montrer que cette équation admet une solution unique l E]O, 1[.
2. Vérifier que la méthode itérative Xn+i = -lnxn diverge.
3. Montrer que la solution l peut être obtenue par application de l'algorithme Xn+i = e-xn.
4. Appliquer la méthode de Newton. Que peut-on conclure quant à la rapidité de convergence des deux algorithmes? Appliquer la méthode de la sécante.
Exercice 7 (Examen 2011-2012). On propose la méthode numérique Xn+i = Xn + a(x;, - 2) avec xo >Oeta E R.
l. On note <t?a(x) = x + a(x2 - 2). (a) Calculer <p~(x). (b) Montrer que la méthode ne peut converger que si a < O.
2. Soit x0 E [1, 2].
1 (a) Montrer que la suite (xn) converge si a> -2. (b) Donner sa limite. Soit l cette limite.
3. En calculant <p~(l), trouver la valeur de a qui assure la convergence la plus rapide.
Exercice 8 (Examen 2012-2013).
On considère la fonction f(x) = -;x + co~(x).
l. Montrer qu'il existe un unique l tel que f (l) = O. 2. Soit 9a(x) = x + af(x) pour a E]O, l]. Montrer que l9~(x)I < 1, 'vx E R En déduire que la suite
Xn+i = 9a(xn) converge vers l 'va E]O, 1], 'vxo ER
3. La suite converge t-elle pour a= !~(~) et que vaut g~(l) dans ce cas? Que peut-on en déduire? Cette approche est-elle utilisable en pratique?
-1 4. On remplace maintenant a par Œn = f'(xn). La suite Xn+i = 9a(xn) converge t-elle? Quelle est le
nom de cette méthode?
2
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Université de Toulon Sea Tech - 1ère année
Analyse Numérique Travaux Dirigés II
Interpolation polynômiale. Exercice l. Soit P un polynôme de degré 3 tel que :
P(-1) = -6, P(O) = 1, P(l) = 2, P(2) = -3.
Calculer P(3).
Exercice 2. , Donner l'expression du polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f(x) = 3x ba~ sur les points -2, -1, O, 1, 2. En déduire une approximation de ./3. Quelle est l'?rreur maximale commise ? , .
' Exercice 3. On se donne la fonction :
f(x) = sin G), xEl=[O,l].
l. Soit IInf le polynôme interpolant la fonction aux nœuds x0, x1, ... , Xn équidistribués. Estimer l'erreur d'interpolation En(!) sur l'intervalle I, en fonction du degré n du polynôme et étudier son comportement quand n -+ oo.
2. Trouver le nombre minimal de nœuds équirépartis pour que En(!) ~ 10-4. (Sugg. : essayer pour n = l, 2, 3, .. .)
Exercice 4. On considère la fonction
1 f(x) = 1 +X' xEl=[ü,l].
Déterminer le nombre minimal d'intervalles uniformes pour que le polynôme linéaire par morceaux qui interpole la fonction par intervalles donne une erreur ~ 10-5.
Exercice 5. Soit la fonction
K(x) = 1x e-t2 dt. l. Donner le développement de Taylor-Lagrange à l'ordre 2n au voisinage de xo =Ode
la fonction J(t) = e-t2• On note Pn(t) la partie principale de ce développement. 2. Majorer, en fonction den et de x, l'erreur len(x)I où:
3. Calculer K(O) et les valeurs K(l/2), K(l) à 10-3 prés.
1
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Université de Toulon Sea Tech - 1ère année
Analyse Numérique - Travaux Dirigés III
Intégration numérique.
Exercice 1. J On veut calculer numériquement l'intégrale I = f14 )x dx. Déterminer une valeur approchée de cette intégrale à l'aide des méthodes des rectangle, des trapèzes et de Simpson avec 4 éléments en précisant à chaque fois l'erreur rela- tive commise.
• Exercice 2. . .,.
On se propose d'évaluer j1 f(x) dx de la façon suivante :
-1
¡1
1 f(x) dx= Aof(-1) + Aif(O) + A2f(l) + Bo!'(_-l) + Bd'(I) + R(f).
Calculer Ao, A1, A2, Bo, B2 pour que la formule soit exacte pour les polynomes de dégré inférieures ou égales à 4. Peut-on améliorer la précision ?
Exercice 3. b n
On veut approcher 1 f(x)w(x) dx par¿ wjf(x;) tel que la formule soit exacte a j=O
pour les polynomes de degré au moins n. - Calculer Wj en fonction des polynomes de base dans l'interpolation de
Lagrange.
- On approche [1 Jtx) dx par w0f(O) +wif(l). Déterminer Wo et w1. Jo y (x) Exercice 4. Formule de Gauss-Radau Trouver x1 tel que R(f) = t1 f(x) dx - Aof(-l) + Aif(x1) soit sur l'espace vectoriel des pôlynomes de degré le plus grand possible. Écrire la valeur approchée de t1 f(x) dx.
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Université de Toulon Sea Tech - 1ère année
Analyse Numérique - Travaux Dirigés IV
Équations différentielles Exercice l. Pour quels types de second membre fla méthode d'Euler résout exactement le problème de Cauchy x'(t) = f(t, x(t)), x(O) = a E JR, t E (O, T] C JR? Pourquoi? Mêmes questions pour les méthodes de Heun, RK2 et RK4.
Exercice 2 (Restriction ... ) . Soient À > O et T > O donnés. On considère le problème de Cauchy suivant
{ x'(t) = -Àx(t),t E (O,T], x(O) = xo .
l. Donner la solution du problème de Cauchy. 2. Montrer que le schéma d'Euler peut s'écrire sous la forme Xi= (1-Àôt)ixo, Vi?:: O où ót est le pas de
la subdivision régulière. Est ce que cette méthode converge? Peux t-on appliquer le(s) théorème(s) du cours? En pratique comment choisir ót si T » 1 et/ou si À» 1?
3. Même question pour le schéma d'Euler implicite. 4. Conclusions?
Exercice 3. Soient a, b, e E JR et fune fonction de classe CP et k-lipschitzienne par rapport à la variable x. On considère la méthode de résolution suivante :
Xn+1 = Xn + ótil>(tn, Xn, ôt) avec
il>(t,x,d) = af(t,x) + bf(t + d/2,x + d/2f(t,x)) + cf(t + d,x + df(t,x)) où Xn est une approximation de la solution x(tn) de l'équation différentielle x'(t) = f(t,x(t)).
l. Pour quelles valeurs (a, b, e) retrouve t-on la méthode d'Euler? RK2? RK4? 2. Pour quelles valeurs ( a, b, e) la méthode est-elle stable? Convergente? Lorsque la méthode converge,
déterminer la limite. 3. Pour quelles valeurs (a, b, e) la méthode est-elle d'ordre 1? d'ordre 2? d'ordre 4? Peux-t-on augmenter
l'ordre?
Exercice 4. On considère la méthode de résolution de Heun :
Xn+l = Xn + ~ (f(tn, Xn) + f(tn+l, Xn + ótf(tn, Xn)), Xo donné
l. Montrer que si fest continue et k-lipschitzienne par rapport à la variable x alors la méthode à un pas est convergente.
2. On souhaite calculer une approximation de l'intégrale J: g(t) dt. Montrer que ce problème peut s'écrire sous la forme d'une équation différentielle.
3. Déterminer une approximation de l'intégrale et étudier l'erreur en fonction de ót. Quelle est l'ordre de la méthode ?
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Université de Toulon Sea'Iech - l ère année
Analyse Numérique - Travaux Dirigés V
Méthode des différences finies Exercice 1 (L 'équation de transport). On considère l'équation de transport linéaire à coefficient constant :
( l) {
Ut + CUx = O . .r E IR, t > O u(O. x) = u0(x) E IR.
Sauf indication contraire. nous supposerons e > O et u0 une donnée initiale de classe C1 (IR) à support compact.
l. Pourquoi appelle ton cette équation .. équation de transport .. ?
(a) Montrer que. pour tout (x, t) E IR x IR+ fixé. la solution u du problème (1) est constante le long des courbes "caractéristiques .. X(-: (.r. t)) (courbes paramétrées par (.r. t)) définies par. VO< s < t.
{
dX(s: (x, t)) ds
X(t: (x, t)) e
x. (méthode des caractéristiques)
(b) En déduire que la solution de cette équation est
uit . x) = u0(x - d) .
2. Études de schémas numériques: on sïntéresse à l'approximation numérique de l'équation (1) par des schémas aux différences finies de pas de temps 6t sur une grille spatiale régulière de pas 6x. On note
À = c ~t. A cet effet. on considère les schémas numériques suivants, Vi E Z, \ln ;;, O ÔX
(Sl)
(S2)
(S3)
(S4)
ttf+l - u? un 1 - ttn ~--~+e i+ ' = O (explicite décentré aval) ôt ÓX u7+1 - u? un - un -"-----"--+e i+I , i-t = O (explicite centré)
6t 2ux u·7+1 - u? un - un l ----+e ' . ,- = O (explicite décentré amont)
6f ôX 117+1 -ur-1 uf+t -u?-1
26t +e 26.r = O (leap frog (saute mouton))
Pour chaque schéma. étudier
( a) la consistance et l'équation modifiée, (b) la stabilité L2 et Lº°, (c) conclure.
3. Études du schéma numérique de Lax-Wendroff: on note U une solution régulière de l'équation (l).
(a) Montrer que
Exo\·_ J.~) ".::,::;i\ (i;t,Ù E_ \R">< IR-1- ,R;J!,;} '/... \-_'\.
(2!) t li; \"," \\:: e_ ='- X.l 1:J,.,~,) = "'t.- l ~ ,Q.'""'3do.) -p, o1. <¡ 't. y_ ..,s.t I-u ~ .àh. c:rra-dJ.~ a.kJ\~.,l:. -o._¡ ~"l "f..~ tl'\S\,,,\..l
u es.\- C;::ns~ \n. ~ ~ ~ C)::>.J\e.. (x~;~~,s \ss.: -is u..\~~;l-t,t\Ì ,sÌ=º
'¡_¡¿ ~ ~'kl.s;l ... ,1,\),SÌ + e~ ~~(s¡í.-..~~,':l\= o
~) ~ ~;h,lc\:~ì +- e ~~ \. ~ls:[..,c\),~):=. o
Cs) ~~U'.. d U. \.'~(s;\'ll~i,s)::::. o, a- e" ~ q(JL \ a.~ lL ~ '(_(s l•,H) /SÌ,=:: ch_. / 1/ cJ.. ~ (,, °t,
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A~ -. ri lì-t (, ,~ ~L"' ,CiJ\ ~ d W) ~o) ut-\~ \J·~ - ~\: ~'~ ~ ~ \)J·1 ._,~~Id\'·, .+ ~ ~\. r, ;_ tn\ : U~'- U·~ 4- &-©1c,t + ¥ ~t + J~~+ ~\Vllil~i+ Cü~) ~ '. u.:.~\}" + à.,__ tuà\ + à! px.,·~+ ~ Q...t+ ~ V~f" a\£-i) q3). Uí'.:'-:. \Jf _ h (Q.\·~ + J0 (.Ç),.,\. ~ ~ ~:.:xvì': + !:i.;"~ t-+ olh")
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_:- \_) j\Vi£ì'tck :=O ,~
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S.í e_ J.\d- ~C\uht ~ 1.<2. ~ c-;o. J . Cil_ ~~0"0.. 'cyjft»\_ q\.s( ~\-a.&l.a.. ~ ~ C)::j\V.
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A6 \~li.,\\-:: \-i-\- ~J~_¿l<'í) \ Q, \~, -=e \~-\-è\L~r e~\\_\
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