Analyse theorique et experimentale de l’effort et du

couple dans le laminage des materiaux superplastiques

A.R. Ragab, B. Baudelet

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A.R. Ragab, B. Baudelet. Analyse theorique et experimentale de l’effort et du couple dans lelaminage des materiaux superplastiques. Revue de Physique Appliquee, 1978, 13 (10), pp.495-501. <10.1051/rphysap:019780013010049500>. <jpa-00244480>

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ANALYSE THÉORIQUE ET EXPÉRIMENTALE DE L’EFFORTET DU COUPLE DANS LE LAMINAGEDES MATÉRIAUX SUPERPLASTIQUES

A. R. RAGAB

Mechanical Design and Production Department, Cairo University, Egyptet

B. BAUDELET

Laboratoire de Physique et de Technologie des MatériauxAssocié au C.N.R.S. N° 155, Université de Metz, France

(Reçu le 7 avril 1978, révisé le 26 juin 1978, accepté le 28 juin 1978)

Résumé. 2014 L’effort et le moment du couple appliqués aux cylindres lors du laminage d’un matériausensible à la vitesse de déformation sont calculés en tenant compte de l’influence des variations dela vitesse de déformation entre les cylindres sur la contrainte d’écoulement. Les efforts sur les cylindresont été mesurés au cours du laminage à la température ambiante de l’alliage superplastique eutectiquePb-Sn avec des cylindres rectifiés et bien lubrifiés et pour différentes vitesses. Les charges mesuréessont en bon accord avec les valeurs théoriques estimées. Une analyse théorique démontre qu’uneréduction de la force appliquée aux cylindres peut être obtenue en laminant des alliages dans des

conditions où un comportement superplastique peut se manifester. Ceci semble être d’un intérêtindustriel pour laminer des alliages particulièrement résistants au laminage et ceux qui présentent uncomportement superplastique temporaire sous de grandes vitesses de sollicitation.

Abstract. 2014 The roll load and torque necessary to roll a strain-rate sensitive material have beentheoretically analysed allowing for the strain-rate distribution and its influence on the flow stressin the rollgap. The roll loads have been measured during room temperature rolling of superplasticlead-tin eutectic alloy between smooth lubricated rolls at various speeds. The measured loads agreesatisfactorily with the theoretically estimated ones. Theoretical analysis demonstrates that savingsin roll loads could be achieved by rolling alloys in their superplastic state at the appropriate rollingspeeds. This seems to be of industrial interest for rolling hard-to-roll alloys and in the exploitationof the phenomenon of temporary superplasticity.

REVUE DE PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME 13, OCTOBRE 1978, PAGE

Classification

Physics Abstracts46.20 - 46.30 - 46.30J

Introduction. - Les théories du laminage desbandes ont pour but d’estimer correctement l’effortet le couple auxquels sont soumis les cylindres àpartir de la géométrie des cylindres, de la résistancemécanique de ceux-ci et du matériau laminé.

Lors du laminage à chaud pour lequel la résistanceà la déformation dépend fortement de la vitesse,les approches théoriques connues sont fondées surl’hypothèse d’une contrainte d’écoulement du maté-riau constante durant la passe de laminage. L’uti-lisation d’une valeur moyenne de la contrainte d’écou-lement (obtenue à partir des courbes contrainte-vitesse dans le domaine approprié des vitesses) futalors proposée comme la seule méthode pratique

permettant de tenir compte de l’effet de la vitessesur la contrainte d’écoulement [1] et [2].

Cette hypothèse doit introduire de faibles erreursdans le calcul de la force et du moment du couplelors du laminage à chaud d’alliages conventionnels,pour lesquels le coefficient de sensibilité m à la vitessede déformation est faible. En revanche, cette erreurdoit être beaucoup plus grande lors du laminaged’alliages dans des conditions de superplasticité.En effet, ces alliages sont caractérisés par une valeurélevée du coefficient m, valeur qui peut approchercelle des liquides visqueux tels que le verre fondu etles polymères thermoplastiques à température élevée.

Les résultats théoriques, estimés par cette méthode,

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:019780013010049500

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sont comparés aux résultats expérimentaux obtenuslors du laminage lubrifié de l’alliage superplastiqueplomb-étain. Le laminage a été réalisé à différentesvitesses sur une machine de laboratoire.

Nomenclature

t Tempsh Epaisseur de la tôle pour un angle 9hi, h2, hN Epaisseur de la tôle à l’entrée du laminoir,

à la sortie et à l’angle neutre respectivement(P Angle d’un arc de contact~N, 9 1 Angle neutre et angle total de contactR Rayon du cylindreVN Vitesse périphérique de chaque cylindreb Réduction d’épaisseur = hl - h2r Taux de réduction = -(h 1 - h 2)/h 1L Longueur de l’arc de contactm Coefficient de sensibilité de la contrainte

à la vitesse de déformation

(10’ 80 Paramètres liés aux matériaux

(Je Contrainte équivalenteEe Vitesse de déformation équivalenteIl Coefficient de frottement

p Contrainte horizontale dans l’espacecompris entre les cylindres

S Pression normale au cylindreP, T Respectivement effort et moment du couple

appliqués aux cylindres par unité de largeur(effort et moment du couple spécifiques) ;

1. Analyse théorique. - Les hypothèses de basehabituelles dans les théories du laminage des tôlessont conservées dans la présente analyse : conditionsde déformation plane ; arc de contact circulaire ;déformation homogène et déformation élastique négli-geable.

Les conditions de frottement entre le cylindreet le matériau laminé sont supposés du type cou-lombien, avec un coefficient de frottement constant.Ce type de frottement a été utilisé dans l’analysede problèmes de laminage à froid. De plus, des étudesrécentes [3] et [4] ont montré que des conditions defrottement de type coulombien prévalent dans la

plupart des conditions de laminage à chaud.Lors du laminage de tôles et de bandes, les condi-

tions de déformation planes sont réunies.En considérant la géométrie (Fig. 1) de l’espace

compris entre les cylindres, on voit facilement quela vitesse de déformation locale équivalente est

donnée par [1]

La figure 2 donne la variation du paramètre03B5e/(4 VN hNj. J3 R) en fonction du rapport (h - h2)/{Jpour une géométrie de laminage donnée et pour diffé-rents taux de réduction. La vitesse de déformation

FIG. 1. - Géométrie du laminage.[Rolling geometry.]

est maximale en un point donné entre les cylindres,et sa position dépend du taux de réduction de la

passe. Près du plan de sortie, la vitesse décroît rapide-ment jusqu’à zéro. Cependant, sur plus de 99,5 %de la zone en cours de réduction d’épaisseur, la vitessene varie pas de plus d’un ordre de grandeur pour lestaux de réduction indiqués figure 2.

FIG. 2. - Distribution des vitesses de déformation le long de l’arcde contact pour différents taux de réduction; R = 90 mm,

hl = 2 mm.[Distribution of strain-rate through the arc of contact for various

reductions, R = 90 mm, hl = 2 mm.]

Pour les alliages qui présentent un comportementsuperplastique, dans des conditions isothermes et

dans un domaine limité de vitesse de déformation,une loi puissance du type

. représente approximativement le comportement méca-1 nique de ces alliages [5]. Le paramètre 03B50 est habituel-

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lement pris égal à l’unité ; (10 est alors la contrainted’écoulement du matériau à la vitesse de déformationunitaire. L’équation différentielle de base qui permetde déterminer la contrainte horizontale p entre les

cylindres de laminoir lorsqu’on tient compte ducoefficient de sensibilité m est donnée par l’expression(cf. annexe).

Les signes supérieurs dans cette équation corres-

pondent à la sortie du laminoir et les signes inférieursà l’entrée. Les équations différentielles (3) ne sontpas susceptibles d’intégration analytique. Elles sontdonc intégrées numériquement en prenant pourconditions p = 0 lorsque ~ = 0 et ~ = ~1 [6]. Unefois la distribution des contraintes horizontales p( ({J )obtenue, la distribution des pressions normales aucylindre S( ({J) a pu être déterminée grâce à la relation(cf. annexe)

L’effort appliqué au cylindre par unité de largeur,appelé dans la suite effort spécifique sur le cylindre ;est donné par l’expression :

analogue au rapport bien connu P/2 k qui intervientdans l’analyse du laminage des matériaux parfaite-ment plastiques (k représente dans ce cas, la contrainted’écoulement en cisaillement). L’équation (6) indiqueque l’effort exercé sur le cylindre est fonction de lavitesse de rotation de ce dernier et de la sensibilitéà la vitesse du matériau.

L’effort à appliquer aux cylindres de laminoir

pour des matériaux ayant une même valeur (Jo,

dépend du terme K défini par l’expression (5), c’est-à-dire de la vitesse de laminage et du coefficient desensibilité à la vitesse de déformation. La figure 3montre que pour une valeur de Qo et un taux de réduc-tion donnés, il existe une certaine vitesse de laminageen dessous de laquelle toute augmentation du coeffi-cient m produit une diminution importante de l’effortà appliquer. Le domaine de vitesse inclut celui où

REVUL DI PHYStQUh APPLIQUÉE. - T. 13, N" 10. 0(’-rOBRL 1978

FIG. 3. - Effort spécifique exercé sur les cylindres en fonctionde la vitesse du laminoir; R = 90 mm, h = 2 mm, u = 0,14,

, r = 50 %.[Specific roll load versus roll speed parameter ; R = 90 mm,

hi = 2 mm, Il = 0.14, r = 50 %.] z

le matériau présente un comportement superplastique.En revanche, aux vitesses élevées de laminage, laforce à appliquer au cours du laminage croît avec lavaleur du coefficient m. Ce dernier résultat est en

fait une conséquence d’une description mathéma-tique ; en réalité, aux vitesses élevées, des valeurs

grandes du coefficient m ne peuvent pas être observéesen déformation à chaud. Cependant, lorsqu’à unevitesse de déformation supérieure à l’unité, desmatériaux ont même contrainte d’écoulement maisdes valeurs différentes de coefficient m de sensibilitéà la vitesse de déformation, la valeur de Jo, prisepour 03B5 égal à l’unité, est plus faible pour les matériauxqui présentent une valeur plus élevée du coefficient m.Alors, aux valeurs élevées du coefficient m corres-pondent des forces plus faibles si le laminage est

effectué à des vitesses inférieures à celles qui corres-pondent au point commun. Ce dernier cas pourraits’appliquer à la superplasticité temporaire [7]. ,

2. Etude expérimentale. - 2.1 MATÉRIAU. - Desplaques d’alliage eutectique plomb-étain ont étécoulées puis homogénéisées par un maintien d’en-viron 20 heures à 130 OC. Ces plaques ainsi homo-généisées ont été ensuite laminées à températureambiante en passes longitudinales et transversalessuccessives jusqu’à un taux de réduction totale del’épaisseur de 80 %. Les bandes ainsi obtenues ont étédécoupées sous forme de rectangle puis de nouveauhomogénéisées à 130 OC pendant 30 minutes. Cetraitement thermomécanique a permis d’obtenir lesgrains fins requis pour que le matériau présente uncomportement superplastique [8].La variation de la contrainte d’écoulement avec

la vitesse de déformation déterminée par des essaisde compression à température ambiante est donnéesur la figure. En négligeant l’influence de la défor-mation e, sur la contrainte d’écoulement durant

33

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FIG. 4. - Relation contrainte d’écoulement-vitesse de déforma-tion pour l’alliage superplastique eutectique PbSn.

[Flow stress versus strain-rate for superplastic eutectic Pb-Sn

alloy.]

l’essai de compression, une relation du type(Je = f (Ee) peut être utilisée pour représenter le

comportement du matériau. Sur un domaine devitesse de déformation limité (par exemple un ordrede grandeur), la fonction puissance (2) représente lavariation observée sur la figure 4. La valeur du coeffi-cient de sensibilisé à la vitesse m varie ainsi de 0,15à 0,6 selon l’ordre de grandeur de la vitesse sur lequella fonction puissance a été utilisée.

2.2 ESSAIS DE LAMINAGE. - Le laminage des bandesd’alliage plomb-étain superplastique a été effectuésur un laminoir de type duo équipé de deux cylindresrectifiés de 125 mm de diamètre. L’effort appliquéaux cylindres a été mesuré par une cellule de chargeplacée entre les vis supportant le cylindre du haut etleurs butées supérieures. Cette cellule de charge étaitconstituée de deux cylindres en alliage d’aluminiumsur lequel étaient fixées deux jauges de contrainteincorporées dans un pont de Wheatstone. Le laminoirétait doté d’un variateur de vitesse. Les vitesses derotation du cylindre ont été maintenues suffisammentfaibles pour que les vitesses de déformation appliquéesse trouvent tout à fait dans le domaine où le comporte-ment est superplastique. Tous les essais de laminageont été effectués en régime lubrifié par une huileminérale. La détermination expérimentale de l’anglemaximum [9] pour engager librement la tôle entreles cylindres du laminoir a été employée pour déter-miner le coefficient de frottement. Ce coefficient aété trouvé égal à 0,13, valeur relativement élevée maisqui peut être due aux faibles vitesses de laminage [4].

2.3 RÉSULTATS. - Les bandes d’alliage plomb-étain superplastique d’épaisseur variant entre 4,5à 7,7 mm ont été laminées à des vitesses variablesdans un domaine s’étendant sur deux ordres de

grandeur. L’épaisseur relativement forte des bandesa été choisie afin que les vitesses de déformation

moyennes dans la zone en cours de déformation soientsuffisamment faibles pour déformer le matériau dansle domaine superplastique.La figure 5 donne des résultats typiques des mesures

d’effort sur les cylindres, pour différentes vitesses derotation des cylindres et pour les taux de réductionde 12,1 % et 21,1 %.

FIG. 5. - Comparaison entre les valeurs calculées et mesuréesdes efforts spécifiques exercés sur les cylindres du laminoir pour

différentes vitesses des cylindres ; R = 62,5 mm, y = 0,13.[Comparison between calculated and measured specific roll loads

at difierent rolling speeds; R = 62.5 mm, p = 0.13.]

Les lignes continues de la figure 5 représententles prédictions théoriques lorsqu’on fait intervenirla sensibilité à la vitesse du matériau laminé. Les

paramètres m, Jo ont été obtenus par l’ajustementd’une simple fonction puissance (2) au domainede vitesses correspondant à 99,5 % de la réductiond’épaisseur imposée par l’essai de laminage considéré.La variation de l’effort spécifique appliqué au cylindreen fonction de la sensibilité à la vitesse est repré-sentée sur la figure 6. Comme les essais de laminageont été effectués à des vitesses correspondant au

FIG. 6. - Comparaison entre les valeurs calculées et mesuréesdes efforts spécifiques pour différentes valeurs du coefficient m ;

R = 62,5 mm, h 1 = 4,57 mm, r = 26,7 %, J1. = 0,13.[Comparison between calculated and measured specific roll loadsfor different rate-sensitivities m ; R = 62.5 mm, hl = 4.57 mm,

r = 26.7 %, y = 0.13.]

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domaine superplastique, il apparaît que l’effort surles cylindres décroît lorsque les valeurs du coeffi-cient m croissent. Une comparaison détaillée entreles valeurs calculées et mesurées apparaît sur la

figure 7. L’accord entre la théorie et l’expérienceest défini par une ligne passant par l’origine et de

FIG. 7. - Comparaison entre les valeurs calculées et mesuréesde l’effort spécifique appliqué au cylindre du laminoir.

[Comparison between calculated and measured specific roll loadsR = 62.5 mm, IÀ = 0.13.]

pente 45°. Bien que les points expérimentaux soienttrès dispersés, comme il est assez fréquent dans detelles comparaisons l’accord entre les prédictionsthéoriques et les résultats expérimentaux est satis-faisant.

3. Discussion. - Le laminage des matériaux dansleur état superplastique conduit à une réductionconsidérable de l’effort appliqué et de la puissancerequise. Malheureusement, ceci impose de laminerà des vitesses qui peuvent être beaucoup plus faibles(jusqu’à trois ordres de grandeur) que celles utiliséespour le laminage à chaud industriel. Ces vitessesextrêmement lentes représentent la difficulté majeurepour exploiter industriellement la superplasticité d’al-liages peu ou moyennement résistants lors du lami-nage à chaud aux cadences industrielles.En revanche, pour des alliages à haute résistance

tels que les alliages à base de titane et de zirconium,la situation se présente différemment. Ces alliages,dans des conditions conventionnelles, sont difficilesà laminer et des techniques spéciales telles que le

laminage sandwich ont dû être utilisées pour réduireles efforts appliqués aux cylindres [9]. Afin d’illustrerla réduction de l’effort appliqué par le cylindre lorsdu laminage d’alliages à haute résistance dans leurétat superplastique, le cas du laminage d’un alliagede titane Ti-6AI-4V, dont les paramètres sont donnésau tableau 1 [11] peut être pris comme exemple.

Le rapport de l’effort appliqué au cylindre dansle cas conventionnel à celui dans l’état superplastiqueest donné sur la figure 8 pour différentes vitesses delaminage. Ce rapport décroît lorsque la vitesse dedéformation croît. Pour des vitesses de déformationvoisines de celles qui sont rencontrées en déformationà chaud, la réduction de l’effort appliqué aux cylindresde laminoir devient négligeable pour l’alliage étudié.En revanche, à des vitesses suffisamment faibles,la réduction de l’effort est plus importante et per-

FIG. 8. - Rapport entre les efforts spécifiques nécessaires pourlaminer deux alliages Ti-6A1-4V conventionnels et superplastiques,en fonction de la vitesse des cylindres du laminoir hl = 2 mm,

r = 12,5 %, R = 90 mm, ti = 0,14.[Ratio of roll loads required to roll conventional and superplasticTi-6Al-4V alloys, versus rolling speed h 1 = 2 mm, r = 12.5 %,

R = 90 mm, y = 0.14.]

500

mettrait de laminer des alliages de titane avec defaibles puissances. Cette réduction dans l’effort appli-qué aux cylindres permet de laminer des alliagesde titane avec un petit laminoir. Cependant, le procédéexige de faire une étude pour optimiser la perte detemps par un gain appréciable de l’effort. On noteraaussi que ce procédé exigerait de pouvoir maintenirà température élevée en un temps relativement longles tôles d’alliage de titane au cours du laminagedans des conditions de superplasticité.Le caractère superplastique temporaire à grande

vitesse [7] de certains alliages peut être aussi avanta-geusement utilisé pour laminer de tels alliages sousdes efforts réduits. En effet, certains matériaux peuvent

, présenter après un fort corroyage ou un importantécrouissage suivi d’un recuit, des structures tempo-raires associées à des grains très fins de taille infé-rieure à un micron. Aussi, un comportement super-plastique peut apparaître d’une manière temporairedans un matériau conventionnel. Ce comportementsuperplastique est associé à de grandes vitesses desollicitation car on sait que pour une contrainte

appliquée donnée, la vitesse de déformation dans ledomaine superplastique est une fonction fortementdécroissante de la taille des grains. Cette super-

plasticité transitoire permettrait ainsi de laminerdes matériaux conventionnels sous des efforts réduitset à des vitesses correspondant aux cadences indus-trielles.

4. Conclusions. - 1. Une analyse théorique quiprend en compte la sensibilité des matériaux à lavitesse de déformation a permis de calculer l’effortà appliquer aux cylindres lors du laminage de tels

matériaux.2. Les résultats déduits de l’analyse théorique

sont en bon accord avec ceux déterminés expéri-mentalement lors du laminage de l’alliage super-plastique PbSn à différentes vitesses.

3. Le laminage des alliages dans des conditionsde superplasticité permet un gain important dansles efforts à appliquer aux cylindres du laminoir.

Cependant ceci impose des vitesses de laminageextrêmement lentes, ce qui rend inacceptable le

laminage d’alliages conventionnels dans leur état

superplastique. Seulement pour les alliages difficilesà laminer dans leur état non superplastique, on peutavoir intérêt à compenser la perte de temps par uneforte réduction des efforts à appliquer.

4. Les matériaux qui présentent un comporte-ment superplastique temporaire à grande vitesse,peuvent être laminés à des cadences industriellestout en réduisant considérablement les efforts à

appliquer aux cylindres.

. Remerciements. - Les auteurs expriment leur recon-naissance aux organismes (C.N.R.S., D.G.R.S.T.)qui ont soutenu leurs recherches dans le domaine

de la superplasticité et à l’Université du Caire pouravoir permis l’utilisation de son Centre de Calcul.

Annexe. - La vitesse de déformation équivalentecompte tenu de la constant du volume et du laminageen déformation plane s’exprime :

En considérant la géométrie de l’espace comprisentre les cylindres, on voit facilement que la vitessede déformation locale équivalente [1]

En considérant les conditions d’équilibre d’un élémentde volume situé entre les cylindres, on obtient enfaisant intervenir les forces horizontales l’équationbien connue de Von Kàrmàn :

d( ph) 2 SR(sin ~ ± 03BC cos ~ + côté sortie (A 3)

Dans cette équation est supposé constant le coeffi-

cient p de frottement de type Coulomb sur l’arc decontact entier. En établissant l’équation (A. 3), il aété admis que la contrainte horizontale p est distri-buée uniformément sur les faces verticales de l’élémentde volume considéré, comme le suppose la méthodedes tranches.

L’angle de contact ç étant généralement faible,les approximations sin ç = ç et cos ç = 1 peuventêtre faites sans une perte importante de précision.La géométrie de l’arc de contact permet de plus dedéduire la variation de h avec 9 : h = h2 + RqJ2.Avec ces approximations, l’équation (A. 3) devient :

Ainsi que l’a souligné Alexander [12] une erreurtrès faible est introduite si l’on suppose de plus quela pression normale S et la contrainte horizontale psont des contraintes principales. La contrainte équi-valente est alors donnée par l’expression :

Une relation entre S et p peut être obtenue à partirde la loi de comportement du matériau (2). En substi-tuant à 03B5e leurs valeurs respectives, données par lesrelations (A. 2) et (A. 5) :

501

oùoù

K = 2 3 4 VNHN . (A . 7)

Le paramètre K dépend évidemment de la vitesse,de la géométrie du processus de laminage et de lasensibilité à la vitesse du matériau laminé.

L’équation différentielle de base pour la contraintehorizontale p est obtenue à partir des équations (A. 4)et (A. 6) :- côté sortie :

dp 2 pR p

= 2 K03C30 R1 +m/2(h2 + RqJ2)- 2m-l (~ + f1) (Pm- côté entrée :

dp d~ + 2 03BCR h2 + R~2p== 2 K(Jo R 1 +m/2(h2 + R~2)-2m-1 «p 03BC)~m. (A. 8)

Les équations différentielles (A. 8) ne sont passusceptibles d’intégration analytique (même dansle cas où le coefficient m est nul). Elles ont donc étéintégrées numériquement en prenant pour conditionslimites p égal à 0 lorsque ç est nul et égal à qJ 1. Unefois la distribution des contraintes horizontales p(~)

obtenue, la distribution des pressions normales aucylindre S(~) a pu être déterminée grâce à l’équa-tion (A. 6).En négligeant la contribution des forces tangen-

tielles dues au frottement et au remplacement cors 9par 1, l’effort appliqué au cylindre par unité de largeur,effort spécifique sur le cylindre, est donné par l’ex-pression :

P/203C30 3 = ( 4 VNHN m x

A.9

Les équations (A. 8) et (A. 9) permettent d’estimerla force à appliquer aux cylindres de laminoir dansdes conditions données de laminage, à condition deconnaître le coefficient m de sensibilité du matériauà la vitesse de déformation.On peut écrire une équation du couple spécifique

exercé sur le cylindre en négligeant la déformationde ce dernier

el 9N

T = 03BCK03C30R2[(S K03C30)- d~-(S K03C30)+d~](A.10)

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