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Animation REP+ mardi 31 mai 2016
« Améliorer les performances des élèves de cycle 2 lors desactivités de résolution de problèmes »
Alors ? Demandèrent les parents. Il est fait, ce problème ?Les petites devinrent rouges. Elles ôtèrent les porte-plume de leur bouche.
– Pas encore, répondit Delphine avec une pauvre voix. Il est difficile. La maîtresse nous avait prévenues.– Du moment que la maîtresse vous l'a donné, c'est que vous pouvez le faire. Mais avec vous, c'est toujours la même
chose. Pour s'amuser, jamais en retard, mais pour travailler, plus personne et pas plus de tête que mes sabots. Il vapourtant falloir que ça change. Regardez-moi ces deux grandes bêtes de dix ans. Ne pas pouvoir faire unproblème.
– Il y a déjà deux heures qu'on cherche, dit Marinette.– Eh bien ! Vous chercherez encore. Vous y passerez votre jeudi après-midi, mais il faut que le problème soit fait ce
soir. […]
Les contes du chat perché, de Marcel Aymé
par Y. FERNANDES, EMF à l'école Leuliette-Eurvin, circonscription de BOULOGNE 1
Présentation de la journée :
• Echauffement : l'âge du (capitaine) professeur• Une situation -problème : Un petit bout de ficelle...• Analyse de la mise en situation :• Apports de la didactique des mathématiques :
La typologie de G. Vergnaud et L'enseignement explicite.• Présentation du travail du mémoire :• Analyse d'un travail d'élève de CP : Visionnage de vidéos
Pause déjeuner• Comment enseigner les problèmes de cycle 2 • Présentation du problème-document.• Production : Etablir en commun un référentiel actualisé de problèmes arithmétiques
construit sur la catégorisation de G. Vergnaud adapté à nos élèves de Boulogne d'aujourd'hui.
• Mutualisation et analyse des difficultés apparentes.• Une piste sérieuse à l'aide aux élèves : l'isomorphisme des énoncés.• La situation de recherche au cœur des nouveaux programmes 2016 : Relecture et
analyse des enjeux.• Synthèse :retour sur les affichages• Emergence des besoins des enseignants.
L'âge du professeur :De tête :
– demander de penser à son âge– ajouter 90– ajouter le chiffre des centaines avec le reste : ex: 126= 1 + 26– relever le nombre et ajouter 9 : c'est l'âge du départ !
Avec un papier :
– demander de penser à son âge– doubler l'âge– multiplier par 10– ajouter 16– Multiplier par 5– Soustraire 380– retirer les deux derniers chiffres.
Un petit bout de ficelle
Si on tend une ficelle sur le sol à l'équateur, et que celle-ci fait le tour de la Terre, quelle sera la longueur de la ficelle ?
Si on tend une ficelle sur le sol à l'équateur, et que celle-ci fait le tour de la Terre, quelle sera la longueur de la ficelle ?
( 2 π R ) avec R= 6400 km soit environ 40 000 km
Si on tend une ficelle sur le sol à l'équateur, et que celle-ci fait le tour de la Terre, quelle sera la longueur de la ficelle ?
( 2 π R )avec R= 6400 km soit environ 40 000 km
Maintenant, on allonge la ficelle de 1 mètre, la ficelle est plus longue, elle ne touche plus le sol. Quelle sera l'élévation de la corde par rapport au niveau du sol ?
Maintenant, on allonge la ficelle de 1 mètre, la ficelle est plus longue, elle ne touche plus le sol. Quelle sera l'élévation de la corde par rapport au niveau du sol ?
L: longueur de la ficelle, L=2πR, R rayon de la Terre
Quand on ajoute 1 mètre à la ficelle, le nouveau rayon du cercle est R'=R+r avec r l'élévation du sol.
Donc R'= R+r et 2πR'= L+1 donc 2π (R+r) = L +1.
En distribuant, 2πR + 2πr = L+1 mais on sait que 2πR c'est L donc :
L +2πr = L+1donc
2πr = 1 ainsi r = 1 / 2π = 16 cm
Et si on recommençait avec une ficelle autour d'une orange …........???
r = 1 / 2π
On se rend compte que r n'est pas fonction du rayon de l'objetentouré.Donc si on recommençait avec l'orange, l'élévation en ajoutantun mètre de ficelle sera toujours de 16 centimètres.
Les apports de la didactique des mathématiques :
– La typologie de Gérard Vergnaud :
– Il existe différents types de problèmes. Mais d'abord, attachons-nous à définir quelques mots :
– « Jacques avait 7 bons-points. Il en a gagné 2. Combien en a-t-il maintenant ?»
– Le nombre de bons-points correspond ici à une quantité discrète (nombre d'objets) mais peut correspondre à une mesure (longueur, masse...) ouà une position sur une piste graduée par la suite des entiers naturels. Ce nombre 7 correspond à un état. Au début du problème, Jacques a 7bons-points, cet état est qualifié d'état initial.
– Cet état initial, va subir un changement. Une augmentation ou une diminution. Ce changement est appelé une transformation, qui sera qualifiéede positive ou négative.
– Après la transformation, l'état initial n'est plus le même. La quantité a évolué. Ce nouvel état est appelé l' état final.
– « Dans un bouquet, il y a 8 roses et 7 iris. Combien y a-t-il de fleurs ? »
– L'état ici correspond au type de fleurs. On note qu'il y a deux sortes de fleurs, donc deux « parties » qui se combinent pour un donner un tout.On parle du tout ou composé.
– « Bernard a 25 petites voitures. Il en a 5 de plus (ou de moins) que Charles. Combien Charles a-t-il de voitures ? »
– Ici, l'état correspond à la quantité de voitures. Mais cet état peut évoquer aussi, une mesure (de longueur, de masse...) ou une position (sur unepiste graduée). Ce type de problème est une comparaison d'état dans lequel on peut demander de rechercher l'un des deux états ou de trouver lacomparaison. La comparaison, elle, correspond à la différence entre les deux états.
– « Mickaël a 20 billes ; il a joué deux parties de billes. À la première partie, il gagne 7 billes et à la deuxième partie il en perd 12. Combien debilles a-t-il à la fin de la récréation ? »
– Ici, l'état initial (20 billes) subit deux transformations. On peut imaginer deux transformations positives (comme dans l'exemple), deux
transformations négatives ou encore deux transformations de sens contraire. On parle de composition de transformations.
– Les problèmes ci-dessus se résolvent avec l'addition ou la soustraction. On parle de champ additif du type de problèmes en opposition auchamp multiplicatif qui s'illustre avec des problèmes comme :
– « Julie a remarqué que les 5 étagères de la bibliothèque comptait toutes 11 livres. Combien y a-t-il de livres dans la bibliothèque ? »– « Dans son paquet de bonbons, Julie a 35 bonbons. Elle partage ce paquet entre ses 7 amies. Combien de bonbons recevra chaque amie ? »
– Plusieurs classifications ont été élaborées, en France ou dans les pays anglo-saxons. Nous retiendrons ici une partie de celle de GérardVergnaud1. Ainsi, pour l'école élémentaire, on peut retenir quatre grandes classes de problèmes parmi celles que distingue Gérard Vergnaud (lesautres classes traitant du champ multiplicatif, bien plus vaste), explicitées dans ERMEL CE1:
– A) Transformation d'un état : Les problèmes où un état initial subit une transformation pour aboutir à un état final :
On peut, à partir de cette structure, identifier six types de questions différentes référencées dans le tableau ci-dessous ( le symbole enmajuscule représente l'information à chercher dans le problème) avec, indifféremment, un contexte cardinal (portant sur les quantités) ouordinal (portant sur les déplacement en avant ou en arrière sur une frise numérique) :
– Recherche de l'état final Ef – Recherche de la transformation T – Recherche de l'état initial Ei
Transformation positive – Ei----t+ --->Ef – Ei---- T+ --->Ef – Ei---- t+ --->ef
Transformation négative – Ei---- t- ---->Ef – Ei---- T- --->Ef – Ei---- t- --->ef
« Ce matin, Alix avait 12 bonbons (état initial). Son papa lui en donne un paquet (transformation positive). Maintenant, Alix a 17 bonbons(état final). Combien son papa lui en a-t-il donné ? » illustre la recherche de la valeur de la transformation positive connaissant l'état initial etl'état final, dans un contexte cardinal. « Au jeu de l'oie, Louison lance son dé et recule de 5 cases (transformation négative). Elle arrive alors sur la case 17(état final). De quellecase est-elle partie ? (état initial)» illustre la recherche d'un état initial connaissant la transformation (ici négative) et l'état final, dans uncontexte ordinal.B) Composition de deux états : Les problèmes dans lesquels deux états sont combinés pour obtenir un troisième état
Il peut s'agir de la réunion de deux états (recherche du tout) ou de la partition (recherche de la partie). « Dans un bouquet, il y a 6 roses et 7 tulipes. Combien y a -t-il de fleurs dans le bouquet ? », ce problème illustre la recherche du tout.« Dans un vase, il y a 13 fleurs ; 6 sont des roses et les autres sont des tulipes. Combien y a-t-il de tulipes ? », celui-ci illustre la recherche dela partie.C) Comparaison d'états : Les problèmes de comparaison dans lesquels on est amené à quantifier l'écart entre deux états Etat 1 et Etat 2 :
1 Une description complète est disponible en consultant la revue « Grand N » n°38, 1987 et dans l'ouvrage « Psychologie du développement cognitif et didactique des mathématiques »
On peut, à partir de cette structure, identifier six types de questions différentes référencées dans le tableau ci-dessous ( le symbole enmajuscule en gras représente l'information à chercher dans le problèmes) avec, indifféremment, un contexte cardinal (portant sur les quantités)ou ordinal (portant sur les déplacement en avant ou en arrière sur une frise numérique) :
– – Recherche de Etat 2 – Recherche de la Comparaison C – Recherche de E1
– Comparaison positive – état 1– c+– état 2
– État 1– C+– état 2
– État 1– C+– état 2
– Comparaison négative – État 1– c-– état 2
– État 1– C-– état 2
– État 1– C-– état 2
« Jean a une collection de 45 cartes (état 1) et Aline a 27 (état 2) dans sa collection. combien Jean a-t-il de cartes de plus qu'Aline ? » illustrela recherche d'une comparaison positive.« Au jeu de l'oie, Elsa est sur la case 25 (état 1). Tony a parcouru 12 cases de moins qu'Elsa (comparaison). Sur quelle case se trouve-t-il ? »illustre la recherche de l'état 2 connaissant l'état 1 et une comparaison négative.
D) Composition de transformations : Les problèmes où deux transformations sont composées pour en former une troisième alors qu'on neconnaît ni la valeur des états initiaux et finaux, ni celles des états intermédiaires.
Il existe une grande variété de problèmes qui découle de ce type de problèmes. Celle-ci dépendra de ce qui est recherché ( latransformation résultante T ou l'une des deux transformations intermédiaires T1, T2), du fait que les transformations intermédiaires T1, T2soient positives, négatives, de même sens ou de sens contraire. Notons ici que c'est un type de problèmes très difficile à résoudre (mêmeparfois par les adultes…) car la notion mathématique sous-jacente correspond plus aux sommes algébriques qu'à l'addition-soustraction desentiers naturels :« Lors de la première partie j'ai perdu 10 billes, après la seconde partie, j'avais, globalement gagné deux billes, que c'est-il passé lors de cetteseconde partie ? » Ce problème a pour solution T= T1+T2, 2= (-10) + T2 , et (+2) + 10= T2 et donc T2=10+2= +12 comme résultat…..C'est plutôt un défi de CMqu'un exercice de CP.
Analyse de la réussite :
Catégorie Évaluation ERMEL2
(153 élèves au CE1)pourcentage exprimant la réussite
Évaluation de référence 2014(49 élèves au CP)pourcentage exprimant la réussite
e t+ E 65,00% 76,00%
e t- E 66,00% 57,00%
e T+ e 43,00% 39,00%
e T- e 39,00% 53,00%
eeE 73,00% 81,00%
eEe 56,00% 38,00%
Réussite moyenne 59,80% 57,30%
Des résultats concordant mais qui montrent qu'il existe une gradation dans cette typologie et que la difficulté des problèmes varie selonleur appartenance à telle ou telle catégorie définie par la typologie.
– L'enseignement explicite :
D'après JR Alphonse (faculté d'éducation de l'Université d'Ottawa), lors de la conduite de la séance, la démarche de l’enseignement explicite, planifiée pour la réalisation des activités pédagogiques, sera adoptée : l’enseignant montrera aux élèves ce qu’il faut faire : le but à atteindre, le moyen d'y parvenir (étape de modelage); il les accompagnera ensuite au cours d’une activité d’équipe (étape de la pratique guidée ou dirigée) pour qu’ils soient capables, au bout de course, d’accomplir la tâche seuls (étape de la pratique autonome).
L’implémentation de la stratégie : Les trois temps de l’enseignement explicite
2 Hatier Ermel CE1, page 121
Selon Gauthier, Bissonnette et Richard (2013), l’enseignement explicite se divise en trois étapes subséquentes : le modelage, lapratique guidée ou dirigée, et la pratique autonome. L’étape du modelage favorise la compréhension de l’objectif d’apprentissage chez les élèvesayant un trouble d’apprentissage. La pratique dirigée leur permet d’ajuster et de consolider leur compréhension dans l’action, à travers des groupes detravail. La pratique autonome leur fournit des occasions d’apprentissage nécessaires à la maîtrise et à l’automatisation des connaissances de base.
L’enseignement explicite commence donc par le modelage. Cette stratégie consiste pour l’enseignant(e) à exécuter une tâche devant les élèves et àdécrire ce qu’il fait pendant qu’il le fait. Dans l’étape du modelage, l’enseignant(e) s’efforce de rentre explicite tout raisonnement qui estimplicite en enseignant les quoi, pourquoi, comment, quand et où faire. L’information est présentée en petites unités, dans une séquencegraduée, allant généralement du plus simple au plus complexe, non seulement afin de respecter les limites de la mémoire de travail de l’élèveayant un trouble d’apprentissage, mais encore afin de rendre plus visibles les liens entre les nouvelles connaissances et celles apprisesantérieurement. L’enseignant peut alors recourir aux exemples et des contre-exemples qui peuvent attirer l’attention des élèves, faciliter leurcompréhension de l’objet d’apprentissage et améliorer ainsi la qualité du modelage.
À la suite du modelage, la démarche de l’enseignement explicite se poursuit avec l’étape de la pratique guidée, dite aussi pratique dirigée, qui permetaux élèves de réussir, avec le soutien approprié, à atteindre l’objectif de l’apprentissage visé et à acquérir ainsi la confiance et la motivationnécessaire pour continuer son apprentissage. Cette étape est propice au travail en équipe qui permet à l’enseignant(e) de vérifier ce que lesélèves ont compris de la leçon, non seulement en leur donnant l’occasion de réaliser des tâches semblables à celles effectuées lors du modelage,mais encore en leur fournissant de la rétroaction sur le travail accompli. La pratique guidée aide les élèves à « vérifier, à ajuster, à consolider età approfondir leur compréhension de l’apprentissage en cours, par l’arrimage de ces nouvelles connaissances avec celles qu’ils possèdent déjàen mémoire à long terme » (Gauthier et al., 2004, p.28).
Lors de la pratique autonome, l’élève réinvestit seul dans de nouvelles situations d’apprentissage ce qu’il a compris lors du modelage et appliqué enéquipe lors de la pratique guidée. Cette étape constitue alors l’étape finale de l’apprentissage qui permet à l’élève de roder sa compréhensiondans l’action jusqu’à l’obtention du niveau de maîtrise le plus élevé possible, en vue de consolider l’apprentissage. Elle permet également derepérer les élèves qui auront besoin d’un soutien particulier avant d’aller plus loin.
Concrètement en résolution de problèmes, cela se traduit par :
– la mise en évidence des différents problèmes à reconnaître– l'explicitation du vocabulaire ( état initial, état final...Transformation / Composition ou Comparaison– mise en place d'une aide spécifique à la reconnaissance.– L'explicitation de la résolution par la procédure experte de chaque type de problème abordé.
La présentation du mémoire : Expérimentations menées à Boulogne, à l'école Leuliette-Eurvin :
La construction d'un double parcours d'apprentissage explicite.
1. Mise en place du dispositif
La classe a travaillé en tout 6 types de problèmes, notés ainsi :séquence 1 : _ et+E : recherche de l'état final connaissant l'état initial avec une transformation positive.
– et-E : recherche de l'état final connaissant l'état initial avec une transformation négative.Séquence 2 :
– eT+e : recherche de la transformation positive connaissant les états initial et final.– eT-e : recherche de la transformation négative connaissant les états initial et final.
Séquence 3 :– eeE : recherche de la composition de deux états connus.– eEe : recherche la partie d'une composition de deux états.
Le travail a eu lieu dans la classe de octobre 2014 à février 2015 à raison de deux séances hebdomadaires. Une séance a eu lieu avec le groupe-classe entier soit 24 élèves, l'autre séance a eu lieu en demi-groupe Typologie et Gestion Mentale. Pendant la séance commune, j'ai suivi la descriptiondes séances décrites dans le livre d'O. Graff. La séance en demi-groupe a permis une différenciation du travail : le groupe Typologie a travaillé sur laséquence en cours, le groupe Gestion Mentale a reçu un enseignement spécifique autour des points relevés plus haut.
2. L'articulation parcours d'apprentissage / groupes 'Typologie' et 'Gestion Mentale'
a. le groupe 'Typologie'
Le travail avec le demi-groupe 'Typologie' n'a pas différé de celui effectué en groupe-classe.L'autre pan du dispositif était le parcours du groupe 'Gestion Mentale'.
b. le groupe 'Gestion Mentale'
Dans ce groupe et dans un premier temps, nous avons mis en place la pédagogie de la gestionmentale :la pédagogie de la gestion mentale s'articule autour du projet de sens :
Claire Côté définit le projet de sens «comme moteur de l'activité mentale. Il en est la toile de fondqui guide et anime les gestes mentaux. Lorsque l'élève est en projet, sa tête et son corps investissentles efforts nécessaires pour atteindre l'objectif visé»3. Claire Côté définit également les étapes de lapédagogie mentale :
• la mise en projet : il est le moteur de l'évocation qui donne la direction aux gestes mentaux :Pour notre groupe 'Gestion Mentale', si l'élève a un projet, il va écouter, demander, examiner etsélectionner les informations.
• La réactivation des connaissances antérieures : L'apprentissage ne se fait pas que dans le tempsprésent. Il a aussi un passé et un avenir. Pour notre groupe 'Gestion Mentale', les élèves vonts'appuyer sur les connaissances (passé), analyser l'information présente (présent), et imaginerdans quelle situation future ils auront à réutiliser cette information (futur).
• La présentation du projet : Elle permet de placer l'élève en geste d'évocation. Autour d'unediscussion, le groupe 'Gestion Mentale' évoque le problème.
• La réalisation de la tâche : C'est à ce moment que j'observe les productions du groupe 'GestionMentale'. Je me sers de questions ouvertes pour guider les évocations d'élèves, les aidant à fairedes liens avec leurs connaissances antérieures. Je les amène à prendre conscience de laprocédure mentale qu'ils utilisent.
• La réactivation : l'élève doit projeter les procédures mentales et les connaissances dansl'imaginaire d'avenir où elles seront utilisées. Autant dire qu'avec les élèves de CP, c'est trèsdifficile. Néanmoins, on pourra leur demander dans quels cas ils peuvent utiliser ce qu'ils ontappris.
3 Dans « La gestion mentale au cœur de l'apprentissage », éditions Chenelière Didactique.
Ainsi, nous avons travaillé autour de l'évocation de mots pour habituer les élèves à se donnerdes images mentales de ce qu'ils perçoivent (ce qu'ils voient ou ce qu'ils entendent). Dans lespremiers temps, certains élèves n'avaient pas conscience de pouvoir se donner une image : aprèsavoir donné le mot « pomme » à l'oral, Yaël disait ne pas voir la pomme mentalement. Il a fallu seservir du dialogue pédagogique ( qu'est ce qu'il se passe dans ta tête quand tu fermes les yeux et queje dis pomme ? Comment est-elle ? De quelle forme ? De quelle couleur?) pour que Yaël se donneune image mentale d'une pomme.
D'autres élèves m'ont formellement annoncé ne rien voir mais plutôt entendre le mot. L'accent àété mis sur le type de voix qu'ils entendaient (la leur ou la mienne). Bien sûr, le but n'était pas de lesenfermer dans un type d'évocation mais bien de mettre ces outils à leur disposition. Le groupeGestion Mentale a ensuite travaillé autour de devinettes. En donnant des indices descriptifs, lesélèves devaient se représenter l'objet décrit et dire de quoi il s'agissait ( ex :j'ai quatre roues, je suisgros et rouge, j'ai une échelle sur mon toit, j'ai un gyrophare bleu, dans la rue on m'entend faire« pinpon »...).
Enfin le groupe a travaillé à l'évocation d'histoires racontées, à la « mentalisation » et àrecherche d'une réponse à une question posée (ex : Marie se promène. Elle ramasse des coquillages,elle a construit un château de sable, elle voit des mouettes dans le ciel, elle entend le bruit desvagues. Où est Marie?).
Est venu le moment où où nous avons présenté les énigmes mathématiques (le type deproblème travaillé en groupe-classe), sous la même forme que les exercices précédents. Avec unetâche de recherche précise cette fois, répondre à une question. Les élèves avaient toujours beaucoupd'idées et nous avons verbalisé ensemble les façons de trouver la réponse à l'énigme tout en seservant du dialogue pédagogique et des façons d'évoquer les énigmes.
Le dialogue pédagogique est « un échange verbal pendant lequel l'accompagnateur, par destechniques de reformulation (selon Carl Rogers), aide l'élève à faire émerger dans sa conscience lesprocédures mentales qu'il utilise. Ce dialogue pédagogique peut s'engager à tout moment : avant,pendant ou après une leçon. Il peut se faire avec un élève ou dans un groupe-classe . Les questionsrestent ouvertes et portent sur le « comment » et non sur le « pourquoi » ; elles ne doivent être nitrop vagues ni trop inductrices :
• l'accompagnateur se renseigne d’abord sur les procédures mentales dont l'élève fait usage pours'approprier le savoir :- Raconte-moi ce qui s'est passé dans ta tête quand tu as lu ce problème.- Je ne sais pas.- Est-ce que tu as entendu la voix de ton enseignante ou une autre voix lire à ta place ? Ou bienalors, as-tu fait des images ou un film dans ta tête ?- J'ai imaginé le problème, je le voyais comme sur un écran...
• Ensuite, l'accompagnateur renseigne l'élève sur les procédures mentales dont il pourrait faireusage pour s'approprier le savoir :- Bien, je vais te proposer quelque chose. Comme tu as de la facilité à comprendre un problèmelorsque tu as fait un film dans ta tête, tu pourrais utiliser cette façon de faire quand...»4. Sans aller plus loin dans la pédagogie de gestion mentale, le dialogue pédagogique et lesexercices décrits ci-dessus m'ont permis d'attirer l'attention des CP sur comment ils sereprésentent la situation, et sur ce qui les aidait à mieux percevoir le problème.
4 Page 13, dans « La gestion mentale au cœur de l'apprentissage », Claire Côté, éditions Chenelière Didactique.
+ Ef T -Ef T +T -T tout partie0
20
40
60
80
100
120
Comparaison des évaluations passées en 2014 et 2015
absence de résultat Résultat incorrect Résultat correct
+ Ef T -Ef T +T -T tout partie0
20
40
60
80
100
120
Comparaison des évaluations 2015 avec ou sans gestion mentale
absence de résultat Résultat incorrect Résultat correct
Ef T+ 2014
absente
dessin
schéma
personnelle
experte
évolution des procédures selon des différents groupes
le bilan
Une première remarque d'abord sur le comportement des élèves. Tout au long de l'expérimentation, j'ai pu constater que les élèves cherchaient,réfléchissaient (pour ne pas donner la première réponse qui leur passe par la tête!). Ils ont accepté le fait que résoudre un problème n'est pastoujours une tâche facile, que cela peut prendre du temps. Dans une ambiance rassurante, Ils ont appris que produire une solution peut être difficileet que celle-ci peut être différente de celles choisies par les autres élèves. Ils ont appris à laisser une trace écrite de leur réflexion, en justifiant, enessayant d'expliquer ce qu'ils ont fait, en validant leur solution. C'est autant de comportements que je n'avais jamais vu jusqu'alors avec les précédentesgénérations de CP. Les élèves ont aussi fait beaucoup de liens avec le langage oral (Monsieur, quand on entend le mot « gagne » ça veut dire qu'il fautfaire un + ; Retirer, c'est reculer sur la file numérique... »). Un comportement spontané sur lequel la classe s'est naturellement appuyé pour choisir lesstratégies correctes. Et puis force est de constater l'exactitude des chiffres : les résultats sont meilleurs en 2015 qu'en 2014. Ce qui montre quel'enseignement explicite semble offrir un certain bénéfice. Il faut toutefois pondérer nos résultats en rappelant la constitution de nos corpusd'observation : Si le groupe '2014' était constitué de deux classes (soit 49 élèves), le groupe '2015' lui, n'était constitué que de 24 élèves. Même s'ilsmontrent une tendance nette, Il est difficile d'affirmer que les résultats ont une valeur absolue tant l'échantillon d'observation est restreint. Il aurait fallupouvoir mesurer la tendance sur un ensemble d'élèves beaucoup plus grand. De même, les groupes 'Typologie' et 'Gestion Mentale' n'étaient constituésque de 12 élèves chacun.
Ensuite, la diminution des non-réponses montrent que les élèves s'engagent mieux dans une stratégie . Là encore, c'est un pas vers unemeilleure performance.
Cependant, quelques modérations s'imposent. Nous avons remarqué dans la deuxième partie que la mise en place de l'enseignement expliciteest coûteuse en temps. Il est vrai que l'expérimentation a été menée sur 4 mois. Par conséquent, les séances des trois séquences étaient plutôtrapprochées (deux par semaines) : D'un côté, il y a eu un net effet de lassitude quand à l'activité de résolution de problèmes (« oh non, encore desénigmes ?!? » s’attristait Zélie en janvier). D'un autre côté, le fait d'avoir des séances rapprochées a permis une mise en activité plus rapide, uneréactivation des apprentissages plus fluide et d'accéder plus rapidement à une meilleure performance en résolution de problèmes. Je pense que pourgarder l'intérêt des élèves, il faut envisager une progression plus lente : On pourra envisager des séquences plus diffuses sur l'année (une partrimestre) mais avec séances très rapprochées (deux ou trois séances sur des jours consécutifs). Ensuite, nous avons remarqué que la performance étaitplus nette avec le groupe Gestion Mentale. Il manque donc dans l'expérimentation un groupe témoin : Des élèves qui auraient reçu un parcours enGestion Mentale sans enseignement explicite de la typologie de G Vergnaud. Ainsi, on aurait pu mesurer l'impact direct du travail sur la phase dereprésentation des problèmes, et comparer les résultats. On aurait su alors si la performance est plutôt dépendante de l'enseignement de la typologie oud'un travail spécifique sur la représentation.
Videos :
4 exemples d'élèves en action, analyse « à chaud » et en temps réel.
L'isomorphisme et la multi présentation de Jean Julo.
Jean Julo, est très sceptique quant à l'enseignement des schémas :
« Les pratiques qui consistent à « apprendre des schémas » en misant sur l'explicitation des classes de problèmes, leur différenciation au moyen d'un code symbolique et un entrainement à la catégorisation paraissent peu adaptées. »
Pour mieux aider les élèves à se représenter un problème il propose de concevoir une aide qui répond à 3 critères :
• l'aide ne contient pas d'indices sur la solution• l'aide n'oriente pasvers une procédure de résolution• l'aide ne suggère pas une modélisation du problème
Dans « Difficultés en Mathématiques et représentations des problèmes »5, ilsuggère une autre forme d'aide possible qu'il appelle la multi-présentation :
L'énoncé du problème posé n'est jamais présenté dans un seul contexte,mais trois. Trois énoncés distincts mais isomorphes, relevant du même typede problème, avec les mêmes données numériques et la même solutionnumérique à trouver. La multi-présentation permettrait à l'élève de choisirla situation qu'il arrive le mieux à « mentaliser » et donc à mieux sereprésenter le problème :
« Jenny achète une boite de 10 œufs. Elle en casse. Il lui en reste 4.Combien d'oeufs a-t-elle cassés ?»« Il y a 10 oiseaux dans l'arbre. Après le coup de klaxon, il n'en reste plusque 4. Combien d'oiseaux se sont envolés ? »«Zoé avait 10 cartes de collection. Elle en donne à sa sœur. Maintenant,elle a 4 cartes. Combien de cartes a-t-elle données à sa sœur ? »
5 Presses Universitaires de Rennes, collection Psychologie, 1995
La situation de recherche au cœur des nouveaux programmes de 2016 :
extrait du BO n°11 du 26 novembre 2015, Page 74:
« Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l'activitémathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonneret communiquer. Les problèmes permettent d'aborder de nouvelles notions,de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements...
l'enseignement des mathématiques au cycle 2 est organisé autour de 6compétences essentielles qui concernent tous les niveaux de ce cycle. Lesmêmes compétences sont également déclinées pour tous les cycles suivants(cycle 3 et 4). Voici des pistes...Compétence du BO : Mes pistes personnelles :
Chercher• s'engager dans une démarche de résolution de
problèmes en observant, en posant des questions,en manipulant, en expérimentant, en éméttant deshypothèses, si besoin avec l'accompagnement duprofesseur après un temps de rechercheautonome.
• Tester, essayer plusieurs pistes proposées par soi-même, les autres élèves ou le professeur.
Les nouveaux apprentissages sont construits à partird'une situation qui engage les élèves dans un travail derecherche
les élèves sont placés en situation de recherche àplusieurs occasions.
Modéliser• utiliser des outils mathématiques pour résoudre
des problèmes concrets, notamment desproblèmes portant sur des grandeurs et leursmesures.
• Réaliser que certains problèmes relèvent desituations additives, d'autres de situationsmultiplicatives, de partage ou de groupements.
• Reconnaître des formes dans les objets réels et lesreproduire géométriquement.
Proposer des problèmes dans tous les domaines :nombres et calculs, grandeurs et mesures, espace etgéométrie.
Pour les structures arithmétiques, proposer tous lestypes de problèmes de la catégorosation de G.VERGNAUD.
Dans le domaine des grandeurs et mesures, le travaildoit prendre appui sur des situations qui permettent deleur donner du sens.
Représenter• Appréhender différents systèmes de
représentations ( dessins, schémas, arbres decalcul, etc.)
• utiliser des nombres pour représenter des
Les élèves utilisent différents supports pour prendre desinformations.Ils utilisent des schématisations pour rendre compted'une stratégie de calcul.Le professeur établit une progression pensée pour
quantités ou des grandeurs.• Utiliser diverses représentations de solides ou de
situations spatiales.
articuler les apprentissages sur les nombres et sur lesgrandeurs
Raisonner• anticiper le résultat d'une manipulation, d'un
calcul, ou d'une mesure• raisonner sur des figures pour les reproduire avec
des instruments.• Tenir compte d'éléments divers ( arguments
d'autrui, résultats d'expérience, sources internesou externes à la classe, etc...) pour modifier sonjugement.
• Prendre progressivement conscience de lanécéssité et de l'intérêt de justifier de ce que l'onaffirme.
Le recours à une situation de vécu, qyui favorisel'appropriation d'une situation et la validation desréponses anticipées par les élèves.
Faire vivre des mises en commun, des momentscollectifs où les élèves sont incités à justifier leurspropositions et à développer des arguments pourvalider / invalider un point de vue ( le sien ou un autre)
Calculer• calculer avec des nombres entiers, mentalement
ou à la main, de manière exacte ou approchée, enutilisant des stratégies adaptées aux nombres enjeu.
• Contrôler la vraisemblance de ses résultats.
Le calcul mental doit faire l'objet d'un entrainementquotidien et de séances d'apprentissage spécifiques quiservent à faire expliciter les procédures utilisées dans lecas du calcul réfléchi.La technique de l'addition posée n'est introduite quequand les élèves ont fait du sens avec la réuniond'éléments, et le codage implicite.
Communiquer• utiliser l'oral et l'écrit, le langage naturel puis
quelques représentations et quelques symboles pourexpliciter des démarches, argumenter desraisonnements.
Articuler le langage des objets et des représentationsimagées, le langage des mots et le langage desmathématiques pour assurer la compréhension desélèves.
SYNTHESE :
Retour sur les affichages, quelles évolutions par rapport à ce matin ?
Quel rôle pour le maître ?
Quelles difficultés pour les élèves ?
Quelle aide mettre en place ?
En guise de synthèse, interrogeons-nous sur ce que nous pouvons retenir de la journée de formation.
Reprise des éléments importants et classement dans un tableau :
Une solution efficace de différenciation : les besoins spécifiques de l'élève
Difficulté majeure del'élève
stratégies Calcul Procédures Représentation
Aide pédagogiqueproposée
Multi-présentation de J.Julo,
Gestion des données
Centrée sur le calcul mental,le calcul mémorisé, lestechniques opératoires
Enseignement explicite de latypologie de G. Vergnaud
Parcours de Gestion Mentale
Synthèse : productions de l'animation...
Qu' avez vous mis en œuvre pour résoudre le problème de la
ficelle ?
les difficultés des élèves :
les comportements observables des élèves :
le rôle/l'attitude du maître/de la maîtresse :
Productions desmaitres et maitresses :Quelques problèmestraités et analysés :
Nom du type de problème : Comparaison d'états ; ec+E : Recherche d'un des 2 états
Énoncé :Solène a 15 billes. Son ami Clovis en a 5 de plus. Combien de billes a Clovis ?
Variables didactiques possibles :
De simplification De complexification
Domaine numérique (+1, -1), prénoms de la classe, question positionnée en premier, mots déclencheurs évidents
Domaine numérique ; calcul à retenue, infos inutiles, ordres chronologique des informations dans l'énoncé, infos concernant un seul élève.
Rôle du maitre / de la maitresse :Etayage, relance, reformulation, manipulation...
Difficultés des élèves :Compréhension, représentation de la situation, erreurs de calcul
Énoncé isomorphe dans un autre contexte :Marie a 15 bonbons. Son amie Myriam en a 5 de plus. Combien de bonbons a Myriam ?
Nom du type de problème : Comparaison d'états ; eC+e : Recherche de la comparaison
Énoncé :Sophie a 25 euros dans sa tirelire. Aline a 50 euros. Combien Aline a-t-elle d'argent en plus ?
Variables didactiques possibles :
De simplification De complexification
Domaine numérique, question positionnée en premier, mots déclencheurs évidents.
Domaine numérique
Rôle du maitre / de la maitresse :Etayage, relance, reformulation, manipulation...
Difficultés des élèves :pas de remise en question de la réponse
Énoncé isomorphe dans un autre contexte :Deux écureuils comptent leurs noisettes. Tic a 25 noisettes. Tac compte 50 noisettes. Combien Tac a-t-il de noisettes en plus ?
Nom du type de problème : Transformation d'un état ; Et+e : Recherche de l'état initial
Énoncé :J'ai gagné 5 bons-points. Maintenant, j'ai 9 bons-points. Combien y'en avait-il dans ma boite ce matin ?
Variables didactiques possibles :
De simplification De complexification
Manipulationschématisation avec des couleurs
Domaine numérique introduction de données parasites.
Rôle du maitre / de la maitresse :Mise en images, reformulations...
Difficultés des élèves :se faire le film de l'histoire
Énoncé isomorphe dans un autre contexte :Pour l'anniversaire de Shakira, nous avons ajouté 5 bonbons dans le paquet. Maintenant, il y a neuf bonbons dans ce paquet. Combien y en avait-il avant ?
Nom du type de problème : Comparaison d'états ; eEe : Recherche d'une partie
Énoncé :Tom a 14 billes, 8 billes sont vertes et les autres sont rouges. Combien Tom a -t-il de billes rouges ?
Variables didactiques possibles :
De simplification De complexification
Champ numérique plus petit : Tom a 10 billes, 8billes sont vertes et les autres sont rouges, combien Tom a t-il de billes rouges ?
Champ numérique plus élevé :Tom a 14 billes. 6 sont vertes, 3 sont jaunes et les autres billes sont rouges. Combien Tom a-t-il de billes rouges ?
Rôle du maitre / de la maitresse :Faire manipuler les élèves...
Difficultés des élèves :14+8
Énoncé isomorphe dans un autre contexte :Dans la corbeille, il y a 14 fruits. 8 sont des pommes, les autres fruits sont des oranges. Combien y a-t-il d'oranges ?Dans la boite, il y a 14 chocolats, 8 sont au chocolat noir, les autres chocolats sont au chocolat blanc. Combien y a-t il de chocolats au chocolat blanc ?
Nom du type de problème : Comparaison d'états ; eeE : Recherche du composé
Énoncé :Dans la cour de récréation, il y a 5 ballons rouges et 3 ballons bleus. Combien y a t il de ballons en tout ?
Variables didactiques possibles :
De simplification De complexification
Donner des ballons ; donner des jetons ; donner la bande numérique, travail à 2/ en groupe...
Champ numérique plus élevé :Ajouter des ballons d'une couleur, ajouter des données inutiles ( 4 cerceaux roses par exemple...)
Rôle du maitre / de la maitresse :guider les élèves ; relecture/ reformulations de l'énoncé...
Difficultés des élèves :erreur de calcul, trouver l'opération, représentation...
Énoncé isomorphe dans un autre contexte :Pour son anniversaire, Enzo ramène des paquets de bonbons pour ses camarades. Dans chaque paquet, il y a 5 crocodiles et 3 fraises. Combien y a-t-il de bonbons en tout dans chaque paquet ?
Nom du type de problème : Transformation d'un état ; eT+e : Recherche de la transformation
Énoncé :Dans mon album de cartes de football 2016, j'ai déjà 16 vignettes collées. Combien m'en manque t-il pour avoir 23 vignettes collées dans mon album ?
Variables didactiques possibles :
De simplification De complexification
Variable numérique, manipulation et schématisation.
Champ numérique plus élevé ;Ajouter des données parasites. Changer l'ordre des nombres dans l'énoncé, la formulation de la question.
Rôle du maitre / de la maitresse :lecture de l'énoncé...explication du vocabulaireétayage
Difficultés des élèves :compréhension de l'énoncéChoix de la procédure et/ ou de la stratégie
Énoncé isomorphe dans un autre contexte :J'ai 16 perles sur mon bracelet. Que dois-je faire pour en avoir 23 ?
Merci et à bientôt !YF
