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CoursPhysiqueAcoustique2020-2021
Audioprothese1erannee
Enseignant:ChristopheAdessiemail:[email protected]
http://ilm-perso.univ-lyon1.fr/∼cadessi/audioprothese.html
SommaireIOscillateurharmoniquesimple
IIGeneralitessurlesondes
IIILacordevibrante
IVPropagationdesondessonores
VEchellelogarithmiqueetNiveau.
Notiond’acoustiqueenvironementale.
VIIntervallesetgammes
VIIAnalyseetmesuredessignauxsonores
✓
✒
✏
✑IOscillateurHarmoniqueSimple
I.AIntroduction
•Sil’onetireunressortrelieaunemasseetque
l’onabandonnelesysteme,lamasseoscillede
partetd’autredufaitdelaforcederappeldu
ressort.
•Sil’amplitudedesoscillationsestfaible,laforce
derappelestproportionnelleal’elongationdu
ressortparrapportasapositionderepos.
•Danscesconditions,onparled’unmouvement
harmoniquesimple(MHS).
Fm
Fm
x 0
m
Forcederappel:F=−kx
nb:D’unpointdevuemathematique,ils’agitd’unetroncatureaupremierordred’un
developpementlimitedelaforce.kestuneconstantecaracteristiquedelaraideurduressort.
I.BEquationdumouvement
Principedeladynamique:~F=m~a(verifieequellequesoitt)
avecF=−kx(Forcederappel)
eta=d2xdt2
Soit,−kx=md2xdt2
m
F=−k.x
x 0
d2x
dt2=−kmx⇒Equationdifferentielledu2
ndordre.
Laresolutiondecetteequationnousdonnel’expressiondumouvement:x(t)
Onpose:ω=√
km,quiestlafrequenceangulaire
d’ou,d2x
dt2=−ω2x
Solutiond’essai:x(t)=Acos(ωt)(Aconstante)
dxdt=−ωAsin(ωt)
d2xdt2=−ω
2Acos(ωt)=−ω
2x(t)
Conclusion:Acos(ωt)estunesolutiondel’equationdumouvement.
•Letermeharmoniqueserefereaufaitquelemouvementdupendule(lamasse)estdecritpar
unesinusoıde.
•Lafrequenceangulaire(ω)faitlelienentrel’angle(θ)apparaissantnaturellementenargument
d’unesinusoıde.
ωt⇔θ
dimensionphysique:[ω]=T−1
Unite:rad/s
x(t)
θ πππ 234 π
ω
x(t)
πππt ωωω234 π
Solutiongeneraledel’equationdumouvement:
x(t)=Bsin(ωt)estegalementsolutiondel’equationdumouvement.
Eneffet,dxdt=ωBcos(ωt)
d2xdt2=−ω
2Bsin(ωt)=−ω
2x(t)
Lasolutiongeneraleestdelaforme:
x(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)
Cettesolutionpeutsereecriresouslaforme:
x(t)=√A2+B2
[
A √A2+B2cos(ωt)+
B √A2+B2sin(ωt)
]
=√A2+B2[sinφcos(ωt)+cosφsin(ωt)]
=√A2+B2sin(ωt+φ),
x(t)=Csin(ωt+φ)ππ π
x(t)
+C
−C
φ
t ω 234 π
•Crepresentel’amplitudedumouvement.
•φdecritledephasageangulairedumouvement.
•Lafrequenceangulaire(ω=√
km)nedependpasdel’amplitude.
I.CEnergied’unsystemeoscillant
•D’unpointdevuephysique,lesystememasse-ressortrecoitinitialementuneenergie(fournie
parl’experimentateur)lorsdeladeformationinitialeduressortpuisseretrouveisole(laissea
luimemesansnouvelapportd’energie).
•Decefait,lesystememasse-ressortdoitavoiruneenergietotaleconstante(enl’absencede
frottement).
•Pourlamasse,l’energiecorrespondadel’energiecinetique(pasdevariationdelaforcede
pesanteur).
•Pourleressort,l’energiecorrespondauneenergiepotentielleelastique(correspondanta
l’energienecessairepourledeformerparrapportasapositionderepos).
PourunMHS,lapositiondelamasseest:x(t)=Csin(ωt+φ).
Sonenergiecinetiqueest:Ec=12m
(
dxdt
)
2
=12mC
2(
dsin(ωt+φ)dt
)
2
=12mC
2(ωcos(ωt+φ))
2
=12mC
2ω
2cos
2(ωt+φ)
L’energiecinetiquemaximumestalors:EcMax=12mω
2C
2
•Pourevaluerl’energiepotentielle,onreprendladefinitiondutravaild’uneforce:W=~F.−→∆l
ou−→∆lrepresenteledeplacement.
•Dansnotrecasledeplacementestcolineairealaforce.Parcontre,F(x)dependdela
position.
•Supposonsqueleressortaiteteetirejusqu’a
lapositionxetquel’onsouhaitel’etirer
encored’unequantiteinfinitesimaledx.
•L’experimentateurvadevoirexercerune
forceexactementopposeealaforcederappel~F.
m
x 0
F
dx
•Letravailinfinitesimalfourniparl’experimentateurseradonc:
dW=−F.dx=k.x.dx.
•Cetravailestrecuparleressort,cequicontribueaaugmentersonenergiepotentielle.
•L’energiepotentielleduressortaunepositionxquelconquecorrespondal’energierecuepar
leressortentresapositionderepos(x=0)etlapositionx.
D’unpointdevuephysiqueilfautadditionnerl’ensembledestravauxinfinitesimauxdW
permettantd’amenerleressortde0ax.Mathematiquement,celacorresponda:
Ep=x∫
0
dW=x∫
0
k.x′.dx′
=12k[x′2]x
0=12kx
2
Soit,Ep=12kC
2sin
2(ωt+φ)
L’energiepotentiellemaximumestalors:EpMax=12kC
2
L’energietotaleest:
Etotale=Ec+Ep
=12mω
2C
2cos
2(ωt+φ)+
12kC
2sin
2(ωt+φ)
=12mω
2C
2[
cos2(ωt+φ)+sin
2(ωt+φ)
]
(carω2=
km)
=12mω
2C
2.Onverifiebienquel’energietotaleestconstante.
•Initialement,l’experimentateurfournitcetteenergieauressortpardeformationelastique.
•Leressortvaalorsrevenirasapositiond’origineencedantsonenergiepotentiellealamasse
quiacquiertdel’enegiecinetique.
•Lorsqueleressortrevientasaformed’origine,l’energiecinetiqueestalorsmaximum.
✎
✍
☞
✌ IIGeneralitessurlesondesII.AIntroductionDefinition:Uneondeestuneperturbationenmouvementquitransportedel’energiemaissanstransportdematiere.
Exempled’ondeacoustique:
P−Patm
+P0
−P0
0
λ
x
•Auninstantdonne,uneondeacoustique
correspondadesvariationslocalesdela
densite(etdoncdelapression).
•Cesvariationslocalesdelapressionse
deplacentdeprocheenproche(effet
domino).
•Lesmoleculesd’airnefontque”vibrer”au
voisinagedeleurspositions.
Autresexemples:
•Ondeelectromagnetiquecorrespondantalavibrationsduchampelectriqueetmagnetique.
Cetteondenenecessitepasdemilieudepropagationmateriel.
•Phonons:Ondesdevibrationsdelamatiere.
Remarque:Uneondevarieaucoursdutempsetsepropagedansl’espace.
Ilfautdistinguerlesensdepropagationetlesensdevibration
Typesd’ondes
Ondesdecompressiond’unressort:
onde longitudinale
onde transversale
ressort au repos
Sens de propagation
Directiondes oscillations
•Ondestransverses:Leressortoscilleperpendiculairementaladirectiondepropagation(cas
delacordevibrante).
•Ondeslongitudinales:Leressortoscilledanslamemedirectionqueladirectiondepropagation.
Dansungaz,seuleslesondeslongitudinalespeuventsepropager.
•Laperiodicitedesoscillationsestcaracteriseeparlalongueurd’onde(λ).Lavitessede
propagationcorrespondalacelerite.
II.BProprietesdesondesperiodiquesPositionduprobleme:Commentrelierlaperiodespatiale(λ)ettemporelle(T)?
1
1
0
t
d
propagationd’uneimpulsion
•Al’instantt=0l’impulsionestal’origine
•Al’instantt1l’impulsions’estdeplaceeend1
•Sil’ondeauneceleritec(m/s)⇒d1=c.t1Ondesinusoıdale
•Lanotiondeperiodeetdelongueur
d’onden’ontdesensquepouruneonde
periodique.•Aladatet=Tl’ondes’estdeplacee
d’unelongueurd’ondeλ•Lalongueurd’ondeetlaperiodesont
lieesparlaceleritedel’ondedansle
milieu
λ=cT
•Onpeutegalementecrire:λ=c/f
p
t=T
t=0
cTct
sens de propagation
λ
t>0
II.CDescriptionmathematique
•Soituneimpulsiondontlacourberepresentativeest:y=f(x)
•Lacourberepresentativedelamemefonctiontranslateedea
est:y=f(x−a)
0x
x
y
a
Siacorrespondalapositiond’uneimpulsionsepropageantavecuneceleritecal’instantt,nous
auronsalors:y=f(x−ct)
Ondeharmonique(sinusoıdale):
•At=0l’expressiondel’ondeest:
y(x)=Acos(
2πλx
)
•Atquelconque,nousaurons:
y(x,t)=Acos[
2πλ(x−ct)
]
−A
t>0
t=0λ
c
y
x
x ct
+A
Remarque:Lafonctionrepresentatived’uneondeestunefonctionde2variables,lapositionx
etletempst.yrepresenteladeformationdumilieu.
Enintroduisantlenombred’ondek=2πλ(quiest
l’equivalentdeωpourlalongueurd’onde)etsachant
queλ=cTetqueω=2πTonobtient:
y(x,t)=Acos(kx−ωt)
Generalisation:
y(x,t)=Acos(kx−ωt)Deplacementverslesxpositifsy(x,t)=Acos(kx+ωt)Deplacementverslesxnegatifs
Orcos(−θ)=cos(θ).Onpeutdoncegalementecrire:
y(x,t)=Acos(−kx+ωt)Deplacementverslesxpositifsy(x,t)=Acos(−kx−ωt)Deplacementverslesxnegatifs
Conclusion:C’estlesignerelatifentreletermecontenanttetletermecontenantxquideterminelesensdepropagation:
•Memessignes:Deplacementverslesxnegatifs.
•Signesopposes:Deplacementverslesxpositifs.
II.DNotiond’interference
•Lanotiond’interferenceintervientquanduneouplusieursondesserencontrent.
•Lesondessecombinentpourn’enfaireapparaıtrequ’uneseule(l’onderesultante).
•Cetteonderesultanteestlasommemathematiquedesamplitudesdesondesincidentes.
•L’onderesultantepeutainsiavoiruneamplitudeplusgrandeoupluspetitequelesondes
incidentes.
•Onparled’interferenceconstructiveoudestructiveselonlesignerelatifdechacunedesondes.
•Lesondess’ajoutentconstructivement.
•Lesondess’ajoutentdestructivement.
Exemple:
•Les2Haut-parleursgenerentdesondes
harmoniquesstrictementidentiqueset
enphase.
•Selonleurspositionsrespectives,les
ondesvontinterfererconstructivement
oudestructivement.
•L’onpassed’unesituationauneautre
enmodifiantladistanceλ/2.
HP
2λ
Interférences constructives
Interférences destructives
Phenomenedebattement:Onconsidere2ondesharmoniquesdememeamplitudeetdefrequencef1etf2tresproche.
Parcommodite,onseplacedupointdevued’unauditeursetrouvantaunepositionfixe.On
omettradoncdanslasuiteletermeenkxdansl’expressiondesondes.
Cesondesvontinterfereretdonnerlieuauphenomeneditde“battement”.
destructivesInterférencesconstructives
Interférencesdestructives
Interférencesconstructives
Interférencesdestructives
Interférences
2
eo
=1.1
=0.05=1.05
f1f
f22ff f
Eneffet,l’onderesultanteestdelaforme:p(t)=p0cos(2π.f1t)+p0cos(2π.f2t).
Orl’onsaitque:cosa+cosb=2cosa+b2.cos
a−b2.
Soitdansnotrecas:p(t)=2p0cos(2π.f0t).cos(2π.fet),
avecf0=f1+f2
2quiestlamoyennedes2ondesetfe=f1−f2
2quicorrespondalafrequencea
laquellel’onderesultanteva“battre”.
✎
✍
☞
✌ IIILacordevibrante
III.ACeleritedesondessurlacordeOnconsidereunecordetendueavecunetensionF(Newton)etdemasselineique(oumasse
parunitedelongueur)µ(kg/m).Onsupposeiciquelacordeestinfinie(pasdereflexionsaux
extremites).
Onvachercheraexprimerlaceleritedesondessepropageantsurlacorde.
•Pourcelaonconsidereunesimple
impulsion.
•Ladeformationdelacordeaupassage
del’impulsioncorrespondenson
maximumaunedeformationcirculaire
quel’onpeutcaracteriserparsonrayon.
R
•Nousallonsresoudrel’equationde
ladynamiquepourunmorceau
infinitesimaldelacordedmau
maximumdeladeformation.
•Achaqueextremitedecemorceaula
forceestsymetriqueetcorrespondala
tension.
n
tθ θ
FFFNet
Ladecompositiondelaforceresultantesurl’axenormaleettangentielesttelleque:
Ft=Fcosθ−Fcosθ=0
Fn=Fsinθ+Fsinθ=2Fsinθ
L’angleθetantpetit,onpeutecrirequesinθ≃θ.Laforcenette(ouresultante)estuneforce
Rappel:Lemouvementcirculaireuniformeesttelqueθ(t)=ωtet
||−−→OM||=R.
~r(t)=−−→OM(t)=
{
x(t)=Rcos(ωt)
y(t)=Rsin(ωt)
~v(t)=
{
x(t)=−Rωsin(ωt)
y(t)=Rωcos(ωt)
~a(t)=
{
x(t)=−Rω2cos(ωt)
y(t)=−Rω2sin(ωt)
=−ω2~r(t)
y
x O
M
θ(t)
Onendeduit:||~v||=ωR,||~a||=ω2Rd’ou:a=v
2/R.
Appliquealadeformationdelacordequisepropagealaceleritec,onaa=c2/R.
•Lemorceauinfinitesimaldmdecordeaune
longueurdl=2Rθ.•Lacordeayantunemasselineiqueµ,on
peutecriredm=µdl=2µRθ.
θ θFF 2θ
Equationdeladynamique:FNet=dm×a⇔2Fθ=2µRθ×c2
Rd’ou:
c=√
Fµ
•cnedependquedescaracteristiquesdumilieu.•cnedependpasdescaracteristiquesdel’onde(f,A..).•caugmenteaveclatensionetdiminueaveclamasse.
III.BPuissancetransportee
•L’ondemecaniquesepropagesurlacordedeprocheenproche(ellecommuniqueson
mouvementauxpartiesadjacentes).•Ladeformationdelacordedehautenbascorrespondauntravailmecanique.•Cetteenergieestinitialementfournieparl’experimentateurpuissepropagedeprocheen
proche.
Ons’interesseautravailfournilorsde
lapropagationd’uneondeharmonique
parlacordedegaucheaunelement
infinitesimaldelacordededroite.
Cetelementesticicaracteriseparses
dimensionssurl’axedesxety,dxet
dy.
x
y
v F
θdy
dx
•LapuissancefournieestP=~F.~v,ouF
estlatensiondelacorde.•Lavitesserepresentelavitessede
deplacementtransversedelacorde.•vesttoujourscolineaireal’axey.•Onobtient:P=−F.vysinθ≃−F.vy.θ(siθestpetit).
Pouruneondeharmonique:
y(x,t)=Acos(kx−ωt)
vy(x,t)=dydt=ωAsin(kx−ωt)
Deplus,nousavons:
tanθ=dydx=−kAsin(kx−ωt)≃θ.
Onconsideretoujoursθpetit.
P(x,t)=ωkFA2sin
2(kx−ωt)
Sachantquec=λT=
ωketquec=
√
FµouencoreF=µc
2,onobtient:
P(x,t)=µcω2A
2sin
2(kx−ωt)
Celacorrespondalapuissanceinstantannee(al’instantt)passantal’emplacementxdelacorde.
Ondefinitpluscommunementlapuissancemoyennes’ecoulantlelongdelacordecommela
moyennedelapuissanceinstantanneesuruneperiodeaunepositionxdonnee:
P=1T
T∫
0
P(x,t)dt
=µcω2A
2
[
T∫
0
sin2(kx−ωt)dt
]
.
Lavaleurmoyennedelafonctionsin2θsuruneperiodevaut1/2d’ou:
P=12µcω
2A
2
Onremarquequelapuissanceestproportionnelleaucarredelafrequence.
Cetterelationpeutegalements’ecrire:P=dEdt.
Deplus,onpeutecrirequec=dxdtouxrepresente,parexemple,lapositiond’unmaximumde
ladeformationdelacorde.Ainsi,nousobtenons:dEdt=
12µω
2A
2dxdt⇔dE=
12µω
2A
2dx.
Soit,
dEdx=
12µω
2A
2
quirepresentel’energiemoyenneparunitedelongueur.
III.CEquationd’onde
•NousavonsetablipourleM.H.S.uneequationdifferentiellepermettantdedeterminerle
mouvementdusystememasse-ressort.
•Nousallonsmaintenantchercherl’equations’appliquantalacordevibrantepermettant
d’exprimerlafonctiond’onde.
•Nousverifironsainsiquetouteondedelaformef(x±ct)estunesolutiondecetteequation.
•Pouretablircetteequation,nousallonsdenouveaupartirdel’equationdeladynamique:
Σ~F=m~a.
Onconsidereunelementinfinitesimaldelacorde
dm.
Laforceresultanteest:
~FNet=
ΣFx=Fcosθ2−Fcosθ1≃0
ΣFy=Fsinθ2−Fsinθ1≃F(θ2−θ1)=Fdθ
Onrappellequepourθpetit,cosθ≃1,sinθ≃θ
ettanθ≃θ.
Deplus,tanθ=dydx≃θd’oudθ=
dθdx.dx=
d2y
dx2.dx.x
dmθ
θ1
2
y
F
F
dx
Enfin,onadm=µ×dx(toujourspourθpetit)et~a=
{
ax=0
ay=d2y
dt2
Nousobtenonsainsi:~FNet=dm.~a
Fdθ=F.d2y
dx2.dx=µ.dx.d2y
dt2
Fd2y
dx2=µd2y
dt2
Sachantquec=√
Fµ,nousobtenonsfinalement:
d2y
dx2=1c2
d2y
dt2
Cetteequationdifferentielle(appeleeequationd’onde)estverifieepartouteondesepropageant
surlacorde.
Exemple:Consideronslafonctiond’ondeharmoniquesuivante:y(x,t)=Acos(kx−ωt).
dydx=−kAsin(kx−ωt)
d2y
dx2=−k2Acos(kx−ωt)
dydt=ωAsin(kx−ωt)
d2y
dt2=−ω2Acos(kx−ωt)
Onretrouvek=ωc,egalementappeleerelationdedispersion(reliantlevecteurd’ondeavecla
frequenceangulaire).
III.DOndesstationnairesIII.D.1Introduction
•Lacordeestfixeeasesdeuxextremitessurdes
supports.
•Al’instantinitial,ondeformelacorde(Dansunpiano,
lacordeestfrappeeparunmarteau).
•Cettedeformationdonne2ondes(d’amplitudeegale)
sepropageantadroiteetagauche.
•Cesondessontensuitereflechiesparlessupportset
apresungrandnombredereflexions,l’onderesultant
semblevibrersansdeplacementapparent.
•Cetteondeestuneondestationnaire.
•L’ondeestditestationnairecarles2variablesxett
interviennentdans2fonctionsdistinctes.Touteonde
delaformey(x,t)=f(x)×g(t)estuneonde
stationnaire.
•Surlacorde,onnepeux
avoirqu’unnombreentierde
“deformations”.
•Lalongeurd’ondedel’onde
genereesurlacordenepeuxavoir
quecertainesvaleurslieesala
longeurdelacorde.
yresultante(x,t)=y→(x,t)+y←(x,t)
=A[sin(kx−ωt+φ→)+sin(kx+ωt+φ←)]
=2Acos(
ωt+φ→−φ←
2
)
sin(
kx+φ→+φ←
2
)
=2Acos(
ωt+∆φ2
)
sin(
kx+φ)
Leterme2Asin(
kx+φ)
vacaracteriserl’amplitudedel’onde.
III.D.2Frequencespropres•Lespointsoul’ondeesttoujoursnulle
sontdesnoeuds.Celacorresponda
sin(
kx+φ)
=0
•Lespointsoul’ondepasseparunmaximum
sontdesventres.Celacorresponda
sin(
kx+φ)
=1
•Lacordeetantfixeeasesextremites(x=0
etx=L),onaobligatoirementunnoeud
encespoints.
Onobtient,sin(φ)=0etsin(kL+φ)=0.
Lasolutionlaplussimpleest:
φ=0etkL=nπ(nentier6=0).
Soit,
λ=2Ln⇔f=n×
c2L
n=1,2,3,...
12
34 32L =
2L=
=L
2eme harmonique fondamental
3eme harmonique4eme harmonique
=2L
λ
λ λ
λ
•Consequences:Lacordenepeutvibrerqu’a
certainesfrequences.
•Laplusbassefrequence(f1=c/2L)est
appeleelefondamental.
•Lesautresfrequencespossibles(ou
harmoniques)sontunmultipledef1.
Fondamentalλ1=2Lf1=c/2L
2eme
harmoniqueλ2=λ1/2f2=2×f13eme
harmoniqueλ3=λ1/3f3=3×f14eme
harmoniqueλ4=λ1/4f4=4×f1.........
III.D.3Onderesultante•Lorsdelamiseenvibrationdelacordesontproduites
touteslesharmoniquespossibles.•Cesharmoniquesvonts’additionnerpourdonnerl’onde
resultante.•Lafrequencedufondamental(1
ereharmonique)definit
lafrequencedel’onderesultante.•Plusl’onrajouted’harmoniques,plusl’onenrichitle
timbreduson.•Lafrequencedufondamental(etdoncdel’onde
resultante)dependdecetdoncdelatensionet
delamasselineiquedelacorde.•L’energiefournieinitialement(parlemarteaupour
unpiano)serepartitdefaconegaleentretoutesles
harmoniques(equipartitiondel’energie).•Parcontre,l’amplitudeneserapaslameme:P=
12µcω
2nA
2n⇔An=
√
2Pµcω2
n.
...
T
t
t
T/3
t
T/4
f
f
f
f
+
+
+
=
1
2
3
4
T
t
t
T/2
Exemple:
•SpectreduDo(C)dela6eme
octave
(1046Hz)d’unpianojouefortissimo(ff)
etpianissimo(pp).
•Lefortissimoauntimbreplusrichequele
pianissimo.
•L’amplitudedesharmoniquesdecroitavecf
(An∝1n).
✓
✒
✏
✑IVPropagationdesondessonores
IV.AGeneralites
•Unsoncorrespondaunevariationrapidedelapressiondel’air.
•Cettevariationestengendreeparlavibrationd’uncorpsquimetl’airenvironnantenvibration
(piston,cordesvibrantes,glotte,membrane...).
•Cesvariationsrapidesdelapressioncorrespondentaunesuccessiondesurpressionsetde
depressionsquiconstituentcequel’onnommeondeacoustique(ousonore).
•Lapropagationdesondesacoustiquessefaitobligatoirementparl’intermediaired’unmilieu
materiel(unfluidecommel’airparexemple).
•Uneondeacoustiqueestuneondelongitudinale.
•Laperceptiondesondessonoressefaitimperativementparl’intermediaired’unesurface
(tympan,microphone)quivarentrerenvibrationsousl’actiondesvariationsdelapression.
•Ledeplacementdesmoleculesd’airautourdeleurspositionsd’equilibresefaitdanslameme
directionquelapropagationdel’onde.
•Onintroduiradanslasuitelanotiond’ondededeplacements(x,t)quiquantifieledeplacement
desmoleculesparrapportaleurspositiond’equilibrex.
•Pourquantifierlesvariationsdepressionlieesauneondeacoutique,ondefinitlapression
acoustiquep(x,t)comme:p(x,t)=P(x,t)−P0,ouP0estlapressionatmospherique
(1,013.105Pa)etP(x,t)lapressiontotaledel’air.
•L’unitedelapressionestlepascal(Pa).
•L’oreillehumainen’estsensiblequ’aunegammereduitedevaleursdepressionacoustique:
(20µPa<p<20Pa).
Bandepassantedel’oreille:
Frequence:20Hz⇐⇒20kHzPeriode:50ms⇐⇒50µsLongueurd’onde:17m⇐⇒17mm
remarque:A20◦C,c=340m/s.
Inaudible:
•Infrason:
f<20Hz
T>50ms
λ>17m
•Lesinfrasonssontressentissous
formedevibrations.
•Ultrason:
f>20kHz
T<50µs
λ<17mm
Ondeselectromagnetiques:
c≃300000000m/s
RayonsX,γ:
{
f>30PHz
λ<10nm
Lumierevisible:
{
789THz>f>384THz
380nm<λ<780nm
Ondesradio:
{
300GHz>f>300kHz
1mm<λ<1km
Remarques:
•Lapropagationdessons(enpresenced’obstacles)dependdelalongueurd’onde.•Lesondessont“deviees”(diffractees)differemmentparlesobjetsselonleurslongueursd’onde.
•Lalumierevisiblen’estpasdiffracteeparlesobjetsusuels.Ilssontmodelisespardesrayons
geometriques.•Lesondesradiossonttreslargementdiffracteesparlesobjetsusuels,leurpropagationesttres
fortementinfluenceepareux.
IV.BDiffraction,ReflexionetRefractionIV.B.1Diffraction
Ladiffractionestlecomportementdesondeslorsqu’ellesrencontrentunobstacle.Ladiffraction
semanifesteparlefaitqu’apreslarencontreavecunobjet,ladistributiondel’onden’estpas
conservee.Ladiffractiondependdeλetdesdimensionsdesobstacles.
λ≥L
•Lesondessonoressemblent“accrochees”
(diffractees)parlesobjets.
•Lesondessontalorspercuesmemeen
presenced’unobjetmasquant.
•Lesbassessonttoujourspercuescarelles
sontdiffracteesparlesobjetsusuels.
•Enoptiqueladiffractionn’apparaitqu’en
dessousduµm.
•Exemple:Communicationdeselephantspar
infra-basse.
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λ ∼L
SourceLλSource
Son direct
Son diffracte
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L
λ≪L
•Lesondessonoresnesontalorspas
perturbeesparlesobjets.
•Lesondessecomportentcommedesrayons
geometriques.
•Unobjetmasquantvaarreterl’ondeet
empechersaperception.
•Onparledeson“detimbre”quandleshautes
frequencessontattenuees.
•Exemple:Echo-locationdeschauves-souris.
Source
L λ<<
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Source λ
Son direct
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IV.B.2ReflexionetRefraction
Onseplacedansl’approximationoulesondespeuventetremodeliseespardesrayons.Lorsqu’un
rayonrencontreuneinterfaceentre2milieux(caracterisesparleurcelerite)celuicivaetre
partiellementreflechietpartiellementtransmisdansle2eme
milieu.
•L’angledesrayonssemesureparrapportalanormaleala
surface.
•Lareflexionsefaitselonlememeanglequelerayonincident.
•Lareflexionestal’origineduphenomenedereverberationdans
lessalles.
θθ
θ
r
t
iC
C
1
2
•larefractiondesignelechangementdedirectiondepropagationlorsduchangementdemilieu.
EllesecaracteriseparlaloideSnell-Descarte:1c1sinθi=
1c2sinθt
•CetteloiestuneconsequencedelaloideFermat“Lalumieresepropaged’unpointaautre
surdestrajectoirestellesqueladureeduparcourssoitminimale”.
c2<c1c1=340m/s(air),c2=275m/s(CO2)et
θ1=45◦
1340sin45=
1275sinθt
θt=arcsin[
275340sin45
]
≃35◦
Lesrayonssontrefractesverslebas
c2>c1c1=340m/s(air),c2=930m/s(He)et
θ1=20◦
1340sin20=
1930sinθt
θt=arcsin[
930340sin20
]
≃69◦
Lesrayonssontrefractesverslehaut.
Lorsquec2>c1,ilexisteunangled’incidencemaximum(anglelimite)audeladuquellessons
nesontplustransmismaisentierementreflechis(reflexiontotale).
IV.CEffetDoppler
•Onconsidereunesourcesonoreemettantdans
toutelesdirections.
•Lesondesainsiproduitescorrespondentades
ondesspheriques.
•Sil’onrepresentelaprogressiondel’ondeades
instantsmultiplesdeT,l’onobtientdescercles
(ousurfacesd’onde)distantsdeλ.
sourcesonore
λ
au repos
t=0t=3T t=Tt=2T
•Lasourcesedeplaceuniformementalavitessev.
•Sil’onseplacesurl’axesurlequelsedeplacela
source,l’onvoitquelalongueurd’ondeapparente(ou
longueurd’ondepercue)estmodifiee.
•Lasources’eloigne:λ′=λ+vT=(c+v)T
•Lasourceserapproche:λ′=λ−vT=(c−v)T
•Soit,entermedefrequence:f′=fc
c±v•Lafrequencepercueparl’auditeurdifferedela
frequencereelle.
Exemple:f=100Hzavecv=108km/h=30m/s
etc=340m/s.
S’eloigne:λ′=(340+30)/100=3.70m
etf′=340/3,70≃92Hz
Serapproche:λ′=(340−30)/100=3.10m
etf′=340/3,10≃110Hz
λ
λ λ+vT
λ+vT λ+vT
en mouvement
vT
λ−vT
t=2T
t=T
t=0
t=3T
IV.DEquationded’AlembertObjectif:Determinerl’equationdifferentiellepermettantdedefinirl’expressiondes
ondesacoustiques.
•Commeprecedemment,onpartdelarelation
fondamentaledeladynamique.
•Onconsiderecommesystemeunetranche
defluide(d’air)infinitesimaldesurfaceAet
d’epaisseurdx.
•Lorsdupassaged’uneondeacoustique,la
tranchedefluidevasedeplaceretsubirune
surpressionp.
P0P0
P +p(x) 0P +p(x+dx) 0
xx+dx
s(x)s(x+dx)
Laforcenettesurlatranchedefluideest:
FNet=A×[P0+p(x)−P0−p(x+dx)]
=A×[p(x)−p(x+dx)].
nb:Parsoucidelisibilite,lavariabletaeteomise.
Rappelsurledeveloppementlimited’unefonctional’ordre
1auvoisinagedex:
f(x+h)≃f(x)+h∂f∂x.
Appliqueap(x+dx),onobtient:
p(x+dx)=p(x)+∂p∂xdx,
d’ou,FNet=−A∂p∂xdx.
Lamassedelatrancheestinvariante
etcorrespondam=ρ0×A×dx.
L’accelerationcorresponda:∂2s(x,t)
∂t2.
Onobtientainsi:
−∂p∂x=ρ0
∂2s(x,t)
∂t2.
Cetteequationn’estpasexploitable
tellequellecarellecombinelapression
petledeplacements.Uneequation
supplementaireestnecessaire.
•Onutiliseladefinitiondumoduled’elasticiteisostatiqueκ.
•Cettegrandeurthermodynamiquepermetderelierlesvariationsdepressionpavecles
variationsrelativesdevolume∆V/V.
p=−κ∆VV
Remarque:Lesigne-estintroduitpourprendreencomptelefaitquelesvariationsdevolumeetpressionsontinversees.
SachantqueV=A∆xetque∆V=A∆sonobtient:∆VV=
∆s∆x.
Sil’onfaittendre∆xvers0,onobtientladeriveedesparrapportax,d’ou:p=−κ∂s∂x.
Ouencore:∂p∂x=−κ
∂2s∂x2.
Cequiconduita:
∂2s(x,t)∂x2=
ρ0κ
∂2s(x,t)∂t2
Onendeduitparcomparasionavecl’equationd’ondeque:c=√
κρ0
•Laceleritedependdeκetestdonclieealanaturedelatransformationquelegazsubitlors
desvariationsdelapressioninduitentparl’ondeacoustique.
•Enl’occurence,pourexprimercettegrandeur,ilfautprendreencomptelefaitquelegazsubit
unetransformationadiabatiquepourlaquellelesvariationsdepressionsefontsansechange
dechaleur.
IV.EExpressiondesondes
D’apresl’equationd’ondeprecedente,unesolutionpourl’ondededeplacementest:
s(x,t)=s0sin(kx−ωt),
ouketωsontliesparlarelationdedispersionω=k.c.
Ondedepression:
p(x,t)=−κ∂s(x,t)
∂x
=−κks0cos(kx−ωt)
=κks0sin(
kx−ωt−π2
)
Onpeutdefinirl’amplitudep0=κks0.
Ondedevitesse:
v(x,t)=∂s(x,t)
∂t
=−ωs0cos(kx−ωt)
=v0sin(
kx−ωt−π2
)
avecv0=ωs0.
x0
0
x0
p(x,t)
s(x,t)0
0+p
+s0
−p
−s
Remarque:Lavitessecaracteriselavitessedesmoleculesautourdeleurpositiond’equilibre.
Ilnefautpaslaconfondreaveclaceleritequicaracteriseledeplacementdel’ondei.e.dela
perturbation.
IV.FPuissanceetIntensiteacoustique
Lapuissancesedefinitpar:Pu(x,t)=~F(x,t).~v(x,t).
Dansnotrecas,Fetvsontcolineaires.
Deplus,enunpointx,laforceexerceeparlepassagedel’ondeest:
F(x,t)=[P0+p(x,t)−P0]A=p(x,t)A.
D’ou,Pu(x,t)=p0Aωs0cos2(kx−ωt)
Pu=1T
T∫
0
Pu(x,t)dt
=p0Aωs0
[
1T
T∫
0
cos2(kx−ωt)dt
]
=p0Aωs0
2
Sachantquep0=κks0=ρ0ωcs0,onobtient:Pu=p20A
2ρ0c
Habituellement,onutilisepreferentiellementl’intensiteacoustiquenoteeI(uniteW/m2)qui
correspondaPu/A,soit:
I=p20
2ρ0c
Remarque:Sil’onconsiderelapressionefficace(peff=p0√2),onobtient:I=
p2effρ0c.
IV.GReflexionettransmissiond’uneonde
IV.G.1Notiond’impedance
Definition:Sousl’effetd’unesurpressionacoustiqueP(lacause),l’effetproduitestlamise
enmouvementdufluideaunevitessev(l’effet).Onappelleimpedanceacoustiquelerapport
cause/effet,soit:
Zacoustique=p(x,t)v(x,t)
Remarques:
•Cettedefinitiondel’impedance(cause/effet)seretrouvedansd’autresdomainesdela
physique:
–Electrocinetique:Zelec=ui
–Mecanique:Zmeca=Fv
•Danslecasdestuyauxsonores,certainsauteursadoptentladefinition:Zacoustique=1S.
pv
ouSestlasectiondutuyau.Eneffet,v.Srepresenteundebit.
•Siunmilieuacoustiqueestrigide(v=0)sonimpedanceest∞(casdestuyauxfermes).A
l’inverse,l’extremited’untuyauouvert(p=0)auneimpedancenulle.
IV.G.2NotationcomplexeUneondeprogressiveplane(ouharmonique)sepropageantsuivantlesx>0oulesx<0
s’exprimepar:
p+(x,t)=p0cos(ωt+kx),p−(x,t)=p0cos(ωt−kx).
Cettenotationn’estpaspratiqueapartirdumomentoul’onsouhaitefairedescalculs.Dece
faitonutiliseunenotation(ditecomplexe)pourlaquellel’ondeestexprimeesouslaformed’un
nombrecomplexe:
p−(x,t)=p0[cos(ωt−kx)+isin(ωt−kx)]
=p0ei(ωt−kx).
L’ondesededuitenprenantlapartiereelle:p(x,t)=Re[
p(x,t)]
.
Ondeduitl’ondededeplacementpars(x,t)=−1κ
∫
p(x,t)etlavitesseavecv(x,t)=∂s(x,t)
∂t.
p−(x,t)⇔s−(x,t)=s0ei(ωt−kx−π
2)⇔v−(x,t)=v0ei(ωt−kx)
p+(x,t)⇔s
+(x,t)=−s0e
i(ωt+kx−π2)⇔v
+(x,t)=−v0e
i(ωt+kx)
Sachantquev0=p0ρc,onobtient,Z−=ρcetZ
+=−ρc.
Danslecasd’uneondesedeplacantverslesxnegatifs(+)onpeutreecrireZ+=ρc.e
π.
Celasignifiequel’ondedevitesseetdepressionsontenoppositiondephase(inveseesl’unepar
rapportal’autre).
L’impedance(independantedetetdex)estunecaracteristiquedumilieu.
IV.G.3Reflecxionettransmissiond’uneondeplanemilieu 1
Z1
incidenteonde
reflechieonde
transmiseonde
(p ,v )
(p ,v )
(p ,v )i i
r r
t t
x0
interfaceZ2
milieu 2
•Lesondessonoresontlamemepulsationω
dansles2milieux.Parcontre,ellesn’ont
paslememevecteurd’ondek.Eneffet,la
celeritechangeaveclemilieu.
•Deplus,l’ondeincidentedanslemilieu1
sediviseenuneondereflechieetuneonde
transmisedanslemilieu2.Lesondesdansle
milieu1et2n’ontpaslamemeamplitude.
Ondefinitlescoefficients(complexes)rettdereflexionetdedetransmission.
ondeincidente:pi=p0ei(ωt−k1x),vi=
p0ρ1c1e
i(ωt−k1x)
ondereflechie:pr=r.p0ei(ωt+k1x)
,vr=−r.p0ρ1c1e
i(ωt+k1x)
ondetransmise:pt=t.p0ei(ωt−k2x),vt=
t.p0ρ2c2e
i(ωt−k2x)
Danslemilieu1ona:p1=pi+pretv1=vi+vr.
Danslemilieu2ona:p2=ptetv2=vt.
Lescoefficientsrettsontdeterminesenconsiderantqu’enx=0,ondoitavoircontinuitede
p1etp2ainsiquedev1etv2.
Ondedepression:
p1(x=0,t)=p2(x=0,t)
p0eiωt
+r.p0eiωt
=t.p0eiωt
1+r=t
Ondedevitesse:
v1(x=0,t)=v2(x=0,t)
p0ρ1c1e
iωt−
r.p0ρ1c1e
iωt=
t.p0ρ2c2e
iωt
1−rρ1c1=
tρ2c2
Enposantα=ρ2c2ρ1c1=
Z2Z1
lerapportdesimpedancesdes2milieux,onobtient:
1+r=tet1−r=tα.
Enadditionnantles2equations,onobtient2=t(
1+1α
)
,soit:
✛
✚
✘
✙t=
2αα+1
Onendeduitr=t−1=2αα+1−1,soit:
✛
✚
✘
✙r=
α−1α+1
Remarques:
•Cescoefficientsnedependentquedurapportdesimpedancesspecifiquesdesmilieux,ilssont
doncreels.
•Siα>1,r>0.Iln’yapasdedephasagealareflexion.
•Siα<1,alorsr<0.Danscecas,ilyaundephasagedeπ(eiπ
=−1).•Siα=1,iln’yapasdediscontinuited’impedanceetalorsr=0ett=1.Les2milieux
peuventcependantnepasetreidentiques.
IV.G.4Coeff.dereflecxionetdetransmissionenenergie
L’intensiteacoustiquesedefinitcomme:I=<pv>.Nousavonsainsiobtenularelation
generale:I=12
p20
ρc.
Dansnotrecas,onpeutdefinirlesintensitesacoustiquesmoyennesdechaqueonde(Ii,Iret
It),soit:
Ii=p20
2×ρ1c1,Ir=−|r|2.p2
02×ρ1c1etIt=
|t|2.p20
2×ρ2c2.
OndefinitlescoefficientsdereflexionetdetransmissionenenergieparR=|Ir|IietT=
ItIi,
soit:
R=|r|2=
(
α−1α+1
)
2
T=|t|2α=
4α
(α+1)2
Onverifieque:
R+T=1
Cequicorrespondalaconservationdufluxd’energie:Ii=|Ir|+It.
Casparticuliers:
•Siρ1c1≪ρ2c2,alorsα≫1d’ou:{
r→1
t→2et
{
R→1
T→0
Lesignaltransmisauneamplitudedepressiondouble,maistransporteuneenergietresfaible.
Exemple:Interfaceair-eau.
air
{
ρ1=1,2kg/m3
c1=340m/seau
{
ρ2=103kg/m
3
c1=1400m/s
T=t2
α≃4ρ1c1ρ2c2≃1,2.10−3.
CeladonneuneattenuationendBde−29dB.
IV.G.5Associationdedeuxtuyaux
S2
S1
x0
Laconditiondecontinuiteportemaintenantsurledebitd’air
i.e.S.vouSestlasection(m2)destuyaux.
S1.v1(x=0,t)=S2.v2(x=0,t)
S1.p0ρ1c1e
iωt−
S1.r.p0ρ1c1e
iωt=
S2.t.p0ρ2c2e
iωt
S1ρ1c1(1−r)=
S2ρ2c2t
L’impedancecaracteristiquedesmilieuxestmaintenantZ=ρcS.
Lesequationsdonnantrettsontlesmemes.SeulechangeladefinitiondeZ.
Casparticulier:
ρ1c1=ρ2c2(mememilieux)maisS16=S2.
Onobtientα=Z2Z1
=S1S2.
S1≫S2⇔α≫1equivalentauntuyaufermer→+1R→1T→0
S1≪S2⇔α≪1equivalentauntuyauouvertr→−1R→1T→0
Dansles2casonaunereflexiontotaledel’ondeal’extremitedutuyau.
IV.HLestuyauxsonores
IV.H.1Introduction
•Cesontdessystemesacoustiquesdonnantlieuadesresonancesadesfrequencesmultiples.
•C’estleprincipedetouslesinstrumentsavent.
•Laresonanceestbaseesurl’apparitiond’ondesstationnairesdansletuyau.
•Lesfrequencesderesonancesontdirectementlieesalaconfigurationdutuyau(ouvert,ferme
...).
•Lamiseenvibrationdel’airsefaitgeneralementauneextremitedutuyau:
–Embouchuredeflute(tuyauouvert)
–Embouchureaanche(tuyauferme)
•Onpeutconsidererles3configurationssuivantes:
–ouvertaux2extremites
–fermeaux2extremites
–ouvertauneextremiteetfermeal’autre
•Danstoutlescas,lesdiscontinuitesdepropagationdesondessonoresauxextremitesinduisent
l’apparitiond’ondesstationnaires.
IV.H.2Ondesstationnaires
Onadansletuyaudeuxondessepropageantensensinverse:
p(x,t)=p+(x,t)+p−(x,t)
=p0eiωt
(
eikx
+e−ikx)
,avecr=+1
=2p0eiωt
cos(kx)
Soitennotationreelle:
p(x,t)=2p0cos(ωt)cos(kx)
Celacorrespond,entermed’ondededeplacementetdevitesseparticulaire,a:
s(x,t)=−2p0ρωccos(ωt)sin(kx)
v(x,t)=2p0ρcsin(ωt)sin(kx)
avecs0=p0ρωcetv0=
p0ρc
IV.H.3FrequencespropresTuyauouvert-ferme
•Al’extremitefermeedutuyau,lavitesse
etledeplacementparticulairesontnuls
(noeud)etl’onaunventredepression
acoustique.
•Al’extremiteouverte,ona,al’inverse,
unnoeuddepressionacoustiqueetun
ventredevitesseetdedeplacement.
de vitesseventre
de vitessenoeud
de pressionnoeud
de pressionventre
vitessepression
x0L
Ainsi,nousdevonsavoir:p(x=L,t)=0,
soit,cos(kL)=0,
knL=(2n−1)π2,avecn=1,2,3...
2πλnL=(2n−1)
π2,
λn=4L
2n−1.
Sachantqueλ=c/f,onobtient:fn=c
4L(2n−1)
Ondefinitf1=c4L,commelefondamental.
Lesharmoniquessontalorsd’ordreimpair:f2=3×f1,f3=5×f1,f4=7×f1...
Tuyauferme-ferme
•Onalesmemesconditionsauxlimitesaux
deuxextremitesdutuyau.
•Lavitesseetledeplacementparticulairesont
nuls(noeud)etl’onaunventredepression
acoustique.
de vitesseventre
de pressionventre
de pressionnoeud
vitessepression
L 0x
Ainsi,nousdevonsavoir:p(x=L,t)=±2p0,
ouencorev(x=L,t)=0,
soit,cos(kL)=±1,
etsin(kL)=0,
knL=nπ,avecn=1,2,3...2πλnL=nπ,
λn=2Ln.
Lesharmoniquessontdefiniespar:fn=n×c
2Lavecf1=
c2L.
Lesharmoniquessontpairesetimpaires:f2=2×f1,f3=3×f1,f4=4×f1...
Tuyauouvert-ouvert
•Lasituationestinverseeparrapportautuyau
ferme-ferme.
•Auxdeuxextremites,onadesventresde
vitesseetdedeplacementetunnoeudde
pressionacoustique.
vitessepression
de pressionnoeud
de pressionventre
de vitesseventre
xL 0
Lasolutionprecedentep(x,t)=2p0cos(ωt)cos(kx)n’estplusvalablecarelleimposeun
ventreenx=0.
Ilfautconsidererlasolutionsuivanteour=−1:
p(x,t)=2p0cos(ωt−π/2)sin(kx)
Aveccettesolution,nousavons:p(x=L,t)=0,
soit,sin(kL)=0,
d’ouλn=2Ln.
Lesharmoniquessont:fn=n×c
2Lavecf1=
c2L.
Lesharmoniquessontpairesetimpaires:f2=2×f1,f3=3×f1,f4=4×f1...
IV.H.4Methodegraphique
•Quellequesoitlasolution,ladistanceentre2ventres(ou2noeuds)esttoujoursλ/2.
•Onatoujoursunesuccessiondenoeudsetdeventresdansuntuyausonore.
•Ladistanceentreunnoeudetunventreestdeλ/4.
•Ondefinittoutd’abordsil’onaunnoeudouunventreauxextremitesdutuyau.
•Pourlapression,onauraunventresiletuyauestfermeouunnoeuds’ilestouvert.
•Pourchaqueharmonique,onrelielalongueurdutubeavecunmultipledeλ/4.
Exemple1:Pressionacoustiquepouruntubeouvert-ferme
fondamentalV⇐⇒N2eme
harmoniqueV⇐⇒N⇐⇒V⇐⇒N3eme
harmoniqueV⇔N⇔V⇔N⇔V⇔NOnendeduitpourlefondamental,L=λ1/4,pourla2
emeharmoniqueL=3×λ2/4...et
pourlaneme
harmoniqueL=(2n−1)×λn/4.
Soit:λn=4L
2n−1
Exemple2:Pressionacoustiquepouruntubeferme-ferme
fond.V⇐⇒N⇐⇒V2eme
V⇐⇒N⇐⇒V⇐⇒N⇐⇒V3eme
V⇔N⇔V⇔N⇔V⇔N⇔VOnendeduitpourlefondamental,L=2×λ1/4,pourla2
emeharmoniqueL=4×λ2/4...
etpourlaneme
harmoniqueL=2n×λn/4.
Soit:λn=2Ln
✓
✒
✏
✑VEchelleslogarithmiquesetNiveaux
V.AIntroductionDefinition:Lelogarithme(enbasen)d’un
nombreestlapuissancealaquelleilfautelever
npourretrouverlenombreconsidere.
ecrituremathematique:
{
y=logn(x)
x=ny
Logbase10:
y=log10x⇔x=10y
Remarque:Silabaseestomise,ils’agitdela
base10.
Exemple:
•Lelogarithmeenbase10de100est2.Eneffet,log10(100)=2car102=100
•Lelogarithmeenbase2de8est3.Eneffet,Eneffet,log2(8)=3car23=8
Operationdebase:
•logn(A×B)=logn(A)+logn(B)
•logn
(
AB
)
=logn(A)−logn(B)
•logn(Ap)=plogn(A)
Proprietes:
•logn(n)=1
•limx→0+=−∞•limx→+∞=+∞
Ilestpossibledeconvertirlelogarithmed’unnombred’unebaseauneautre.Supposonsquel’onaity=logn(A)etquel’oncherchez=logm(A).D’apresladefinitiondulog,A=m
zetdoncy=logn(A)=zlogn(m),soit:
logm(A)=logn(A)
logn(m)
V.BEchelleslogarithmiques
•L’echellelogarithmiqueplacelesvaleurssurl’axeenprogressionexponentielle.
•Larepresentationsuruneechellelogpermetderepresentersimplementplusieursordresde
grandeur.
•Uneechellelognepeutpascomporterde0.
Conversiond’uneechellelineaireauneechellelogbase10:
103
linéaireéchelle
échellelogarithmique
100 010
110100
x
y
y
x
Echellelogenbase2:
103
2.103
4.103
8.103
échellelogarithmiquebase 2
125250500
Remarque:Lessousechelons(i.e.lesvaleursnecorrespondantpasaunepuissanceentierede
labase)nesontpasplacesaintervallesreguliers.
V.CNiveaudepressionV.C.1Problematique
•Lasensibilitedel’oreillehumaineal’intensiteetalatonalite(frequencedessons)nevariepas
lineairement.
•Parexemple,unsonestpercucomme2foisplusfortlorsquel’intensiteacoustiqueest
multiplieepar10.
•Laperception(telqueressenti)del’intensiteetdelafrequencedessonscorrespondaurapport
desvariationsdelagrandeurphysiquecorrespondante(Ietf)etnonaunedifference.
SoitRlerapportd’unegrandeurphysique(I1/I2,f1/f2...)etsoitNuneechelletraduisantla
perceptionauditivecorrespondante,lepassagedel’unal’autresefaitselonuneloidepuissance:
R=BN⇔N=logBR
Lesechellesdesacousticiens:
Ladecade
Base=10
N=logR
Ladeci-decade
Base=101/10
N=log101/10R
N=logR
log(101/10)
N=10logR
LeSavart(milli-decade)
Base=101/1000
N=log101/1000R
N=1000logR
V.C.2Historique
•LoideE.H.Weber(PhysiologisteAllemand1795-1878)
LaloideWeber(mesuresexperimentales)montrequeleleseuildifferentield’intensiteest
proportionnelal’intensitedustimulus:∆I=0,21×I
•HypothesedeG-T.Fechner(PhysiologisteetphilosopheAllemand1801-1887)
–Ilcherchaaetabliruneformulationexacte(ausensmathematique)desrelationsentrele
corpsetl’ame.
–Ilintroduitlanotiondesensationauditiveousonie,quel’onpeutrelierexactementau
stimulusi.e.l’intensite.
–Ilpostulequelapluspetitevariationperceptibledelasensationauditive(note∆S)est
constanteetproportionnellea:∆S∝∆II
–Cettehypotheseseverifieexperimentalementetl’onmontrequ’a2kHzondistingue325
intervallesdesonie.
–LoideWeber-Fechner:S∝log(
II0
)
V.C.3NiveaudePressionAcoustique(SoundPressureLevel)
NSPL=10×log(
I10−12
)
10−12W/m2:Seuild’auditiona1kHz
Nn’apasdedimensionphysique.Onle
quantifieparunindice.Ils’agitdudecibel
(notedB).
Autreformulation:
I=p2
ZavecZair≃400kg.m−2.s−1.
NSPL=10×log(
p2
400.10−12
)
=10×log[
(
p/2.10−5)
2]
=20×log(
p/2.10−5)
V.C.4Ordredegrandeur0dB....Seuild’auditiona1kHz
10dB....chambreanechoıque(trescalme)
20dB....studiod’enregistrement
30dB....residencetranquille(calme)
40dB....conversationnormale
50dB....restauranttranquille
60dB....voituresurroute(bruyant)
70dB....Rueanimee,petitorchestre
80dB....Niveaustandartd’ecouted’unestereo,usine
85dB....Seuildedommagepourl’oreilleenexpositioncontinue(danger)
100dB....Tronconneuse,moteurdeuxtemps
110dB....Concertderock,boıtedenuit
120dB....voituredecourse(Seuildedouleur)
130dB....Marteaupiqueur
140dB....Detonationd’unearmeafeu
150dB....Trompettejoueea15cm
160dB....Aproximited’unreacteurd’avion
Remarque:LaloideWeber(∆I/I≃0,21)correspondendBa∆N≃1dB.Lasensibilite
del’oreillenedependpasduniveauetvaut1dB.Decefaitlesvaleursdeniveausont
systematiquementarrondiesal’unite.
V.C.5NiveauHTLetseuild’auditionNiveauseuild’audition(HearingThreshold
Level):
NHTL=10×log(I/IF)
IF:Seuild’auditionchoisitselonlafrequence
duson.
•Ceniveauestutiliseuniquementpour
l’audiometrietonale.
•Iln’adesensquepourunsonpur.
•Ceniveaupermetdemettreenevidenceune
eventuelleperteauditive.
LeSeuilabsolud’audition(AbsoluteThresholdofHearing)varieaveclafrequence.
f(Hz)1252505001k
ATH(dB)19,2116,23,4
IF(W/m2)8,3.10−111,3.10−114,2.10−122,2.10−12
f(Hz)2k4k8k16k
ATH(dB)−0,3−3,44,865,9
IF(W/m2)0,9.10−120,5.10−123,0.10−123,9.10−6
•CourbesrealiseesparC.FletcheretWMunson
(physiciensaulaboratoireBell)en1933.
•Obtenuesparl’interrogatoired’ungrandnombre
depersonnes(etudestatistique)parcomparaison
entreleniveaud’unsonpurdereference(1kHz)
etunsonpuraunefrequencequelconque.
•Onobtientdescourbesdesensationd’egale
intensiteouisosoniques.
•Lacourbeduseuild’audition(pointillee)esta4
phones.
V.DInfluencedeladistance,dunombredesources•Onconsidereunesource
sonoreomnidirective
dontlapuissance(notee
W)serepartitdans
l’espacedemaniere
isotrope.
Source
•Aunedistancerdelasourcela
puissancedelasourceserepartitsur
unespheredesurface4πr2.
•L’intensiteacoustiqueenfonctiondela
distancevaut:I(r)=W
4πr2
Niveauenfonctionder:
N(r)=10×log(
W4π.10−12×r2
)
=10×log(
W10−12
)
−10×log(4π)
−20×log(r)
Doublementdeladistance:
N(2r)−N(r)=−20×log(2r)
+20×log(r)
=−20×log2
≃−6dB
•Onconsiderensourcessonoresjouantenmeme
temps.
•D’unpointdevuephysique,onnepeut
additionnerquelesintensitesacoustiques(notees
Ii)dessources.
•Supposonsquel’onconnaisseNileniveauassocie
alaieme
source,l’intensitecorrespondanteest:
Ii=10−12.10Ni/10
•L’intensitetotalesera:Itot=I1+I2+...+In
•Leniveauseraalors:
Ntot=10×log(
Itot10−12
)
=10×log(
I1+...+In
10−12
)
=10×log(
10−12.10N1/10+...+10−12.10Nn/10
10−12
)
=10×log(
10N1/10
+...+10Nn/10
)
2sourcesidentiques:
N=10×log(
10Ns/10
+10Ns/10
)
=10×log(
2.10Ns/10
)
=Ns+10×log2
=Ns+3dB
V.ENotiondePonderationV.E.1Positionduprobleme•LesniveauxphysiquesendBnetiennentpas
comptedesvariationsdelaperceptionavec
lafrequence.
•Cepointestparticulierementcritiquelorsque
l’onsouhaiteevaluerlesnuisancessonores.
•L’idealseraitd’utiliserl’echelleenphone:
Difficileamettreenoeuvre.
•Onutiliseunemethodedecorrectiondu
niveau(onparledeponderation)basee
surlescourbesisosoniquesdeFletcher&
Munson.
–Onattenuelesbassesfrequences
–Onamplifielegerementa2kHz
•Laponderationaappliquerdependdela
frequence.
•NiveaudB(A)=NiveaudB-ponderation
•Dansl’absolu,selonleniveauendBdusonil
faudraitprendreunecourbedeponderation
specifique.
•Danslapratiqueonn’aretenuque2courbes
deponderation:
*40<N<80dB→ponderationA.
*N>80,dB→ponderationC.
•LacourbedeponderationAestobtenuepar
lissagedel’isosoniquea40phones.
V.E.2Ponderationdesonscomplexes•Unsoncomplexeest
constitued’unnombre
plusoumoinsimportant
desonspurs.
•Selonsafrequence,le
niveaud’unsonpurn’est
paspercudelameme
maniere.
Exemple:
f(Hz)125250500100020004000
pond.A(dB)−16,1−8,6−3,20+1,2+1,0
son1(dB)656065807085
son1(dB(A))48,951,461,88071,286
son2(dB)857080656560
son2(dB(A))68,961,476,86566,261
•Pourpondererunsoncomplexe,ilfaut
pondererchaquesonpurleconstituant.
•Danslapratique,ondecomposeleson
complexeparbandesd’octaveetl’onapplique
laponderationpourchacunedesbandes.
•Pourobtenirleniveaupondereduson
complexe,ilfaut“additionner”lesniveaux
ponderesdechaquebandedefrequence:
–Chaqueniveaupondereparbandesd’octave
estconvertitenintensite.
–Onadditionnetouteslesintensites(pour
chaquebanded’octave).
–L’intensitetotaleestconvertieenniveau.
•Les2sonsnesedecomposentpasdela
mememaniere.
–Son1:Plusaccentuedanslesmedium.
–Son2:Plusaccentuedanslesbasses.
•Parcontreles2sonsontlememeniveau
total:Nson1=Nson2=86dB.
•Larepartitionenfrequencen’etantpasla
meme,leniveauestpercudifferemment.
•EnappliquantlaponderationA:
Nson1=87dB(A)
Nson2=78dB(A)
V.FMesuredesnuisancessonores
MesureavecunSonometre:
Permetdemesurerdes
niveaux.Lesreglagesusuels
sont:
•PonderationAetC.
•Moyennedansletemps:
-Slow:1s
-Fast:125ms
•Lamesured’unniveaupondereavecun
sonometrenepermetpasdemesurer
l’expositionencontinuaubruit.
•NiveaucontinuequivalentpondereA:
NP,A,eqTe=10×log(
<I>Te10−12
)
•<I>Terepresentelamoyennedans
letempsdesintensitesacoustiques
obtenuesenponderationAdurantle
tempsTed’exposition.
Exemples:Mesureencontinue
L(level):notationanglosaxonnedeN(niveau)
•PourdeterminerNP,A,eqTe=100minoneffectue,
parexemple,unemesureduniveaupondereA
touteslesminutes.
Nt1Nt2...Nt100
⇓⇓...⇓It1It2...It100
•<I>100min=It1+It2+...+It100
100
•OnendeduitNP,A,eqTe=100min=91dB(A).
•OncompletecettemesureparNP,CPeak:
NiveaupondereCmaximumdurantletemps
d’exposition.
Normesenvigueur•Pourtenircomptedesvariationsdetemps
d’expositionTeaubruit,ondefinitleniveau
d’exposionquotidienneaubruit:
NEx,8h=NP,A,eqTe+10log(Te/8)
•OnnormaliseNP,A,eqTesurunejourneede
referencede8h.
•80dB(A)etantleniveaucontinuequivalent
maximumtoleresur8h.
NP,A,eqTedB(A)Dureed’expositionmaximale
808h
834h
862h
891h
9230min
9515min“Dose”debruitmax.imposeeparlareglementation
{
NEx,8h>80dB(A)
NP,C,Peak>135dB(C)
•Miseadispositiondeprotectionsindividuellescontrelebruit.
•Informationetformationdestravailleurssurlesrisquesliesau
bruit.
{
NEx,8h>85dB(A)
NP,C,Peak>137dB(C)
•Miseenœuvred’unprogrammedemesurestechniquesde
reductiond’expositionaubruit.
•Signalisationdeslieuxdetravailbruyantsetlimitationd’acces.
{
NEx,8h>87dB(A)
NP,C,Peak>140dB(C)
•Anedepasserenaucuncas.
•Mesuresimmediatesdereductiond’expositionsonore.
✎
✍
☞
✌ VIIntervallesetGammesVI.ANotiond’intervalleetdeconsonance
•Unintervallesedefinitcommelerapportde
2frequences:I=f2f1.
•Ilrepresentel’ecartenfrequencede2sons.
•L’octaveestunintervallevalant2.
•L’intervalleentrelefondamentaletla2eme
harmoniqueestuneoctave.
•Lasomme“auditive”de2intervalles
s’exprimeparleproduitdesintevalles.
f1f2f3
I2 I1
I
I=f3f1=
f3f2×
f2f1=I1×I2
Unintervalleestconsonants’ilproduitune
impressionauditiveagreable.Ilestdissonant
danslecascontraire→c’estunenotion
subjective.
•D’unpointdevuephysique,ons’apercoit
qu’unintervalleconsiderecommeconsonant
correspondadessonsdontles“battements”
(oumaxima)coıncidentaintervalles
reguliers.
•Al’inverse,siles“battements”dessons
necoıncidentjamais,lesonresultantest
dissonant.
•Parexemplepouruneoctaveilya
coıncidenceentrelesmaximaunefoissur
deuxpourlesondeplushautefrequence.
fondamental
t
2 harmonique
T T/2
eme
L’octave(intervalleentref
et2f)estconsiderecomme
leplusconsonant.
•Commepourl’intensiteacoustique,laperception
auditivedesfrequencessuituneloidepuissance
proportionnelleaurapportdefrequencesi.e.a
l’intervalle.
•Commepourleniveau,onintroduitunenouvelle
echellecorrespondantaulogdel’intervalle.
EchelleduSavart:S=1000log(
f2f1
)
•Echellebaseesurlelogdel’intervallede2sons.
•Uneoctavecorresponda301savarts.
•Lesavartcorrespondapproximativementaupluspetit
intervalledecelableparunauditeurentraıne.
EchelleduCent:C=1200log2
(
f2f1
)
•Undemi-tontempere(I=21/12
)corresponda100
cent.
•D’unpointdevuegenerale,
laperiodeTdusonresultant
del’interferencede2sons
quelconquesdeperiodesT1
etT2estdonneeparle
pluspetitcommunmultiple
(ppcm)des2periodes.
T=ppcm[T1,T2]
•Danslecasd’unsonproduit
parunecordevibrante,le
ppcmdeT(fondamental),T/2
(2eme
harmonique),T/3(3eme
harmonique)...estT.
•Pourlecasdufondamentalabsent,
leppcmdeT/2etT/3estT.
Casparticulier:Lefondamentalabsent
Considerons2sinusoıdesayant
commerapportdefrequence32
(celacorrespondaurapportdela
3eme
etdela2eme
harmonique).
L’onderesultanteapourfrequence
lafrequencedufondamental.2f3f
f
VI.BConstructiond’unegammePositionduprobleme:
•Onchercheaconstruiredesintervallesseparantlesdegresd’unegammedemaniereaavoir
lesintervalleslesplusconsonantspossibles.
•Onpartduconstatquel’octaveestl’intervalleleplusconsonantetl’onvasubdiviserl’octave
ensousintervalles.
•Pourfairecetteconstruction,nousseronsamenesafairedeschoixarbitrairessurlenombre
d’intervallesdistincts,surlenombrededegres...
Nousavonslesconditionssuivantes:{
i1×i2×i3...×in=2
pourtoutk,1<ik<2
Enfin,pouretreconsonantl’intervallene
peuts’ecrirequesousformed’unefraction
irreductible:ik=pq(petqentiers).
1 degreer
2 degreeme
i2i3in i1
n+1 degreeme
2
•Lagammeserad’autantplusagreablequelenombred’intervallesdistinctsserareduit.
•Lecasdenintervallesidentiques(correspondantain=2)donneunintervalleirrationnel.
•Nousallonsconsidererdanslasuitelecasde2intervallesdistinctstelquenousayonsNdu
typei1etPdutypei2(avecN+P=n).
Soit:
iN1×i
P2=2
1<i1<2
1<i2<2
Nousdevelopperonsdanslasuitei1eti2sous
laformedepuissancesdenombrespremiers:{
i1=p1q1=2
a1×3
b1×5
c1...
i2=p2q2=2
a2×3
b2×5
c2...
Aveccedeveloppementl’expressiondeladecompositiondel’octavesereecrit:
{
iN1×i
P2=2
2N.a1+P.a2
×3N.b1+P.b2
×5N.c1+P.c2
...=21×3
0×5
0...⇒
N.a1+P.a2=1
N.b1+P.b2=0
N.c1+P.c2=0...
Nousallonsconsidererlecasparticulierd’unegammea7intervalles(n=7)ouN=5et
P=2(equivalentaN=2etP=5)n’utilisantquelesfacteurs2et3.Nousavonsles2
equations:
{
5a1+2a2=1
5b1+2b2=0Aveclesconditions:
{
1<2a1×3
b1<2
1<2a2×3
b2<2
Lescombinaisonspossiblesdea1,a2etb1,b2sont:............
a2=−7a1=3b2=−10b1=4
a2=−2a1=1b2=−5b1=2
a2=3a1=−1b2=5b1=−2a2=8a1=−3b2=10b1=−4
............
Laseulecombinaisonquipermetd’avoir
1<i1<2et1<i2<2est:
a1=−3,a2=8etb1=2,b2=−5
Soit,
{
i1=2−3×32=
98
i2=28×3−5=
256243
L’intervallei1=9/8estleton(noteτ)etl’intervallei2=256/243estle1/2ton(noteδ).
Resteadefinirl’ordonancementdeces2intervallesi.e.lesmodes.Sachantquel’ona7
intervallesdont5sontdesτet2desδ,lenombredepermutationsest:7!
5!×2!=21.
1ergroupe2
emegroupe3
emegroupe
ττδτττδτδττττδδδτττττ
δττδτττδτδτττττδδττττ
τδττδτττδτδτττττδδτττ
ττδττδτττδτδτττττδδττ
τττδττδτττδτδτττττδδτ
δτττδττττττδτδτττττδδ
τδτττδτδττττδτδτττττδ
ττδτττδmodeionienoumajeur
δττδτττmodelocrien
τδττττδmodemelodiqueascendant
ττδττδτmodemixolydien
oumelodiquedescendant
τδτττδτmodedorien
δτττδττmodephrygien
τττδττδmodelydien
τδττδττmodeeolienoumineurRemarque:Historiquement,c’estPythagorequiaproposecedecoupagedel’octave.Ilesta
remarquerqu’ilexisteegalementunegammeditedeZarlino,utilisant3intevallesdistincts(en
usagedu16eme
au18eme
siecle)considereecommelaplusharmonieuse.
VI.CLagammediatoniqueUnegammesedefinitenchoisissantunmodeetunenotepourlepremierdegre.Lemodedefinit
lasuccessiondesτetδ.
Leprincipeestdepartirdelanotechoisiepourlepremierdegreetdeluiappliquerl’intervallela
liantavecle2eme
degrepourdeterminerlanotesuivanteetainsidesuite.
Exemple:LagammeenDomajeurDoτ
--
Reτ
--
Miδ
--
Faτ
--
Solτ
--
Laτ
,,
Siδ
--
Do
FrequencesdesnotesdelagammeenDomajeurdela3eme
octave:Lanotedereference
estleLa3(f=440Hz).Lesautresnotessontobtenuesenmultipliant(divisant)parl’intervalle.
Do3Re3Mi3Fa3Sol3La3Si3
260,75Hz293,33HzBC @A
293,3/(9/8)
OO330HzBC @A
330/(9/8)
OO347,65HzBC @A
347,6/(256/243)
OO391,11HzBC @A
391,1/(9/8)
OO440HzBC @A
440/(9/8)
OO495HzBC
OO
@A
440∗(9/8)
VI.DAlterationPositionduprobleme:Commentconstruireunegammequelconquea7degres?
•Sil’ondefinitunegammeautrequelagammeenDomajeur,
lesnotesainsidefiniesnetombentpasobligatoirementsurles7
notescorrespondantaDo,Re,Mi,Fa,Sol,La,Si.
•Ilestainsinecessairededefinirdesnotes“alterees”(augmentees
oudiminuees).
•L’alterationconsisteaappliquerun
intervallecorrespondantala“difference”
entreleton(τ)etledemi-tondiatonique
(δ):ledemi-tonchromatique(ξ).δ
ξ
Mi
FaFaτ
•τ=ξ×δ⇔ξ=τ/δ=2187/2048
•Unenoteaugmenteeestnoteeavecun♯enexposantetune
notediminueeavecun♭.
Do♯:Doaugmented’unξ.fDo♯=fDo×ξ
Re♭:Rediminued’unξ.fRe♭=fRe/ξ
Exemple:
Do
MiFa
Sol
La
SiDo
Reτ
τ
τ
τ
τ
Mi
Re
Sol
La
Si
τ
τ
τ
τ
τ
ReτDo
δ
δ
δ
δ
Fa
Re majeur Do majeur
Fa
Solξ
ξ
δFaSol
b
•L’inconvenientdecettegammedePhytagoreestqueledemi-ton
diatoniqueetchromatiquenesontpasegaux.
•Ilssontseparesd’uncomma(κ):κ=ξ/δ.
•Celacorrespondaunevariationdefrequencequasiimperceptible.
VI.EGammetemperee•Lagammeprecedenteposeunproblemepour
lesinstrumentsaclavier.
•Eneffet,sil’onconsiderelesseptdegresde
lagammediatoniqueettouteslesalterations
possibles,onobtient21notes.
•Lasolutionestdeconsidererunseuldemi-
tonstrictementegalealamoitied’unton
(√τ)⇒Lagammetemperee.
•Danslagammetempereeletonvaut21/6
etledemiton21/12
.
Fa#
La#
Do#
Reb
Sib
Lab
Mib
Re#
Sol
Solb
Sol#
Si La Fa Mi Re DoSiMi Fa
# bb #Do
•Danscesconditions,unenoteaugmenteealamemefrequencequelanotesuivantediminuee:
fDo♯=fRe♭,fRe♯=fMi♭...
•Deplus,lafrequenceduMi♯correspondauFa(etinversement)etleSi
♯correspondauDode
l’octavesuivante(etinversement).
•L’inconvenientdecettegammetempereeestqu’ellesonnefaux(seulel’octavesonnejuste).
•Cependantl’habitudeculturelledel’usagedecettegammefaitquecettedissonancen’estpas
percue.
VI.FIntervallesconsonantsetharmoniques•Ensolfege,lesintervallessontdefinisparle
nombrededegreseparantlesnotes.
•Cesintervallessequantifientparunefraction
irreductible.
•Ilexisteunehiearchiedesintervallesselon
leursconsonances.
octave2consonance
parfaite
quintejuste3/2consonance
quartejuste4/3forte
tiercemajeure81/64
tiercemineure32/27consonance
sixtemajeure27/16imparfaite
sixtemineure128/81
quinte1024/729dissonance
diminuee
quarte729/512forte
augmentee
•Cetteconsonanceestlieeaurecouvrement
desharmoniquesdes2notesconstituant
l’intervalle.
•Pluscerecouvrementestfrequenti.e.plus
les2notesontdesharmoniquesencommun,
pluslesonestconsonant.
•do-re(secondemajeur)estmoinsconsonant
quedo-sol(quintejuste).
do
sol
ré
2f1
9f13f1
8f1
f
f
f
f
f1
f1
1
Correspondanceentrelesharmoniquesdudo,dureetdusol
Exemplesd’intervalles:
•Secondemajeuredo-re:Ido-re=f1(re)
f1(do)=98,soit9f1(do)=8f1(re).La9
emeharmonique
dudocorrespondala8eme
harmoniquedure.
•quintejustedo-sol:Ido-sol=f1(sol)
f1(do)=98×
98×
256243×
98=
32,soit3f1(do)=2f1(sol).La
3eme
harmoniquedudocorrespondala2eme
harmoniquedusol.
✓
✒
✏
✑VIIAnalyseetmesuredessignauxsonores
VII.AAnalysefrequentielleparbandedefrequence
•LamesuredebasedetoutsonometreestleniveauglobalendB(AouC).
•Cettemesuren’estpossiblequ’eneffectuantuneanalysefrequentielduson.
•Pourunsonometre,l’analysesefaitparbanded’octave.
•Demanieregeneraleledecoupageenbandedefrequencesefaitpar1/neme
d’octave(tiers
d’octave,1/6eme
d’octave...).
•Cechoixestlieealaperceptionauditivedesvariationsdetonalite.Onmontrequeleseuil
differentielrelatifdetonalite(∆f/f)estconstant.
•Cetteanalysefrequentielleestobtenueenutilisantdesfiltres.
•Unfiltrepasse-bandeestutilisepourchaquebandedefrequence.
•Unfiltrepasse-bandepermetdefiltrerlesignalsurlagamme
defrequencesouhaite.
•Oncaracteriseunfiltreal’aidedesafonctiondetransfert:
G=20logS/E,ouS/Eestlerapportdusignaldesortie
surlesignald’entree.
•Unflitrepasse-bandeestdefinieparcesfrequencesdecoupures
(f1etf2).
•Ellescorrespondentaunechuted’amplitudede1/√2ou
−3dB.
•Pourunfiltrereel,lemaximunAest≤1.
f2 f1
Filtre ideal
f1f2
1
S/E
S/E
A
f
f
f
G(dB)
Filtre reel
A/ 2
Gmax−3 dB
VII.BDecompositionparbanded’octave
•Lechoixdesfrequencescentralesdechaquebanded’octaveestdefinidefaconstandardise.
•Lafrequencecentralede1kHzestlareference.
•Lesautresfrequencessontdefinienmultipliantoudivisantpar2.
f(Hz)31,563125250500100020004000800016000
•Chaquebanded’octaveestcaracteriseparune
frequenceminetmax.
•Pourqu’iln’yaitpasderecoupement,ilfaut
quelafrequencemaxdel’octaveinferieur
correspondentalafrequencemindel’octave
superieur.
f1max
f2min
f1min
f2max
fc1
fc2
L’octavecorrespondaunintervallede2.Soitkl’intervalleentrelafrequencecentraleetla
frequenceminoumax:{
f1max=fc1×k
f2min=fc2/k
f1max=f2min
fc1×k=fc2/k
fc2/fc1=k2=2
Pourchaquebanded’octave,nousavons:fmin=fc/√2etfmax=fc×
√2
fc(Hz)31,563125250500100020004000800016000
fminmax
(Hz)2244881773547071414282856571131422627
Pourunebandede1/neme
d’octave,l’intervalleentre2frequencescentralesest21netdonc
k=212n,soit:
fmin=fc/212netfmax=fc×2
12n
VII.CNiveauspectral,total•Lamesureduniveautotalsefaitparintegration:
I=p2eff
Z=
1
Z
fmax ∫
fmin
p2SLdf
•pSLrepresentelapressionacoustiquespectral(Pa.Hz−1/2).
fminfmax
PSL
2
f
Onsupposeiciquelespectreestcontinuetqu’iln’yapasdesonpur.
•pSLsededuitduniveauspectralquiestmesureenutilisantunfiltredelargeurde1Hz.
•Danslapratique,lamesuredeniveauparbandede1/neme
d’octavecorresponda:
p2eff=p
2SL×∆f,ou∆festlalargeurdelabandedefrequence.
Leniveautotalestobtenueensommantlesniveauxparbandedefrequence:
p2tot=p
21+p
22+...p
2n⇐⇒
Ntot=10×log
(
p2tot
400.10−12
)
=10×log(
10N1/10
+10N2/10
+...10Nn/10
)
Exemple:Lesniveauxmesureessurlesbandesentiersd’octavecentreesa400,500et630Hz
sontrespectivementde72,74et68dB.leNiveaumesuresurlabanded’octavecentreea
500Hzest:
Noctave=10×log(
1072/10
+1074/10
+1068/10
)
=76dB
Casparticulier:Conversiond’unelargeurdebandeauneautre
•Supposonsquel’onaitmesureuneniveausurunebandedefrequence(tiersd’octavepar
exemple)etquel’onsouhaiteavoiruneestimationsurunebandepluslarge(octavepar
exemple).
•Cetteconversionimpliquepouretreexactquel’energiesoitrepartieuniformementsurle
spectre.
Soitp21leniveausurlapluspetitebandedefrequenceetp
22leniveausurlaplusgrande.Sile
niveauspectralestconstant,onpeutecrire:
p22=p
2SL∆f2
p21=p
2SL∆f1
=⇒
p22=p
21×
∆f2∆f1
N2=N1+10×log(
∆f2∆f1
)
Exemple:Onamesureunniveaude58dB
surlabandede1/3d’octavea
100Hzetl’onsouhaiteconnaıtre
leniveausurl’octavecomplete
centreesur125Hz.
63 Hz125 Hz250 Hz88 Hz177 Hz
111 Hz100 Hz160 Hz
140 Hz
∆f1/3octave=fmax−fmin
=fc(
21/6−
1
21/6
)
=100×21/3−121/6
=23Hz
∆foctave=fc(
21/2−
1
21/2
)
=125×2−121/2=
125 √2
=89Hz
Onendeduit:Noctave=N1/3octave+10×log(
8923
)
=58+10×log(3,87)=64dB
VII.DNiveaudebruitAfindetesterleschaınesdereproductionacoustique,ilestnecessairededefinirdesbruitsde
references.Cesbruitssontgeneresdemanierealeatoire.
bruitblanc:Signalobtenuparunprocessus
aleatoiredanslequelleniveauspectralest
lememepourtouteslesfrequences.
Cetypedebruitposeunproblemelorsque
l’onmesureleniveauparbanded’octave.
Eneffet,lalargeurdelaieme
banded’octaveest:
∆fi=fci√2
Labanded’octavesuivanteapourlargeur:
∆fi+1=fci+1 √
2=2×fci√2
Soit,∆fi+1=2×∆fi.Lalargeurdel’intervalle
doubleachaqueoctave.Leniveauparbanded’octaveaugmentedoncde3dBparoctave(10log(2)=3dB).
bruitrose:Signalobtenuparunprocessus
aleatoiredanslequelleniveauspectraldecroıt
de3dBparoctave.
Unbruitrosepermetd’avoirunniveauparbande
d’octaveconstantcequiestplusadapteala
perceptionauditive.
reference:http://fr.wikipedia.org/wiki/Bruitrose
