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La vie nest bonne qu tudier et enseigner les mathmatiques Page 1

Lyce Pilote de LAriana DIVISIBILITE DANS Z 4meMathsMR LATRACH CONGRUENCE 2011/2012

L'arithmtique,c'esttrecapable decompterjusqu'vingt sansenlever seschaussures.Walt Disney

Exercice1: Vrai ou FauxPour chacune des affirmations suivantes, dire sielle est vraie ou si elle est fausse en justifiant larponse. Dans ce qui suit a, b et c trois entiers.

1)Si a b (mod 8) alors a b (mod 8)2 )Si 2a 2b (mod 8) alors a b (mod 8)3)Si a divise b et a divise c alors a divise bc4)Le reste de la division euclidienne de 22010

par 11 est gal 15)si un entier x est telle que :

x+x 0 [mod 6] alors x 0 [mod 3]6)Pour tout n, on pose an= 2

n+ 3n

alors a 0(mod5) pour tout n impair

7)Si 2a 2b (mod 7) alors a b (mod 7)8)Pour tout entier naturel n:

a)

+

est divisible par 5b)+ est divisible par 7.9)n tant un entier impair et a et b deux entiers.Si n divise a + b et n divise a - b alors n divise a etn divise b.10) : Le reste de la division euclidienne de

20112011par 7 est 2 . Soit a et b deux nombres entiers relatifs nonnuls.11)On considre lentier N = 112 011.Lentier N est congru 4 modulo 7.12)

13)Le quotient dans la division euclidienne de 2011 par 87 est - 23

Exercice 2:Dterminer suivant les valeurs de n, le restemodulo 10 de 7nEn dduire le chiffre des units du nombre43578707327Exercice 3:1) Dterminer, suivant les valeurs de n, le restemodulo 5 de 3n.2)On pose An=3

n+32n+33nDterminer, suivant les valeurs de n, le restede la division de Anmodulo 5

3)Rsoudre alors An3 (modulo5)Exercice 4:1)a) Dterminer, suivant les valeurs de n, le restemodulo 3 de 2n.

b)Dterminer le reste modulo 3 de (40502)2009

2)a)Mque pour tout n de IN, 52n1 (mod3)b)Dterminer lensemble des entiers naturels telsque 2n-52n0( mod3)3)Dterminer lensemble des entiers naturels n

tels que :(40502)n

-(40525)n

3(mod3)Exercice 5 :

Soit nIN1)Dmontrer que le chiffre de units de n estdonn par le reste de la division euclidienne de npar 102)a)Montrer que 3n1(mod10) ssi n 0(mod4)b)Quel est le chiffre des units de N1=3

1029

c)Quel est le chiffre des units de

N2=3732531x2353190

3)a)Dterminer, suivant les valeurs de n, le restemodulo 10 de 7n.b)En dduire le chiffre des units du nombre435787074327

4)Soit n 2a)Dmontrer par rcurrence que le reste de ladivision euclidienne de 6npar 10 est 6b) Quel est le chiffre des units de 9nc)En dduire le chiffre des units deN3=426

1259x859122355)Quel est le chiffre des units de 6nx9n

Exercice 6:Soit p un nombre premier.

1)Montre que pour tout k {1,2,...,p-1}

on a (mod p)2)Montrer alors que pour tout entier naturel a

on a : apa ( mod p)3)Dmontrer que pour tout entier n, n5-n estdivisible par 104)a)Soit a et b deux entiers naturels Traduire enterme de congruence la proprit : a et b ont lemme chiffre des units

b)Soit n IN et p IN*Dmontrer que np+4 et npont le mme chiffre desunitsExercice 7:Soit a et b deux entiers non nuls et n un entiernaturel impair.1)a)Dmontrer que a+b divise an+bnb)En dduire que 15 divise 245+545+1045+13452)Prouver, sans effectuer de division, que 14divise 1064Exercice 9

Montrer que pour n entier naturel, (n+1)n-1 est

divisible par n2

.
http://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=arithmetiquehttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=etrehttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=capablehttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=compterhttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=jusquhttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=vingthttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=enleverhttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=chaussureshttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=chaussureshttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=chaussureshttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=enleverhttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=vingthttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=jusquhttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=compterhttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=capablehttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=etrehttp://www.evene.fr/citations/mot.php?mot=arithmetique


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Exercice 10:1) Dmontrez que, pour tout entier naturel n:23n-1 est un multiple de 7.

Dduisez-en que 23n+1

-2 est un multiple de 7 etque 23n+2-4 est un multiple de 7.2)Dterminez les restes de la division par 7 despuissances de 2.3) Le nombre p tant un entier naturel, onconsidre le nombre entier:Ap= 2

p+ 22p+ 23p.a) Si p = 3n, quel est le reste de la division de A p

par 7?b) Dmontrez que si p = 3n + 1 ,alors Apest divisible par 7.c) Etudiez le cas o p = 3n + 2.

4) On considre les nombres a et b crits dans lesystme binaire:a = 1001001000 et b = 1000100010000.Vrifiez que ces deux nombres sont des entiers dela forme Ap.Sont-ils divisibles par 7?

Exercice 11 :Soit a et n deux entiers naturels non nuls.1)Dmontrer que si a divise 2n+5 et a divise 3n-4alors a divise 232)Dmontrer que si a divise 15n+2 et a divise10n+7 alors a divise 17

Exercice 12 :Soit n un entier.1)Dque 8 divise 3n+5 ssi 8 divise n+232)D que 5 divise 2n+1 ssi 5 divise12n-9

Exercice 13 :Dmontrer par rcurrence que pour tout

n IN, 3n+4 - 52n+7est divisible par 2

Exercice 14:Dterminer tous les entiers dont la divisioneuclidienne par 17 donne 5 pour quotient.

Exercice 151)Dterminer le reste dans la division euclidiennede 2010 par 11.2)Dterminer le reste dans la division euclidiennede 210par 11.3)Dterminer le reste dans la division euclidiennede 22010+ 2010 par 11.

Exercice 16:

Trouvez, suivant les valeurs de l'entier naturel n, lereste de la division euclidienne de 3npar 8.Quel est l'ensemble des entiers naturels ntels quele nombre 3n.n- 9n+ 2 soit divisible par 8?

Exercice 17:Montrez que pour tout entier naturel n, 3n+3- 44n+2est divisible par 11.Exercice 18Montrez que pour tout couple d'entiers relatifs(a, b), si aet bne sont pas divisibles par 7alors a2+ b2n'est pas divisible par 7.Montrez que pour tout nentier naturel, 32n+1+ 2n+2est divisible par 7

Exercice 19

Dterminez l'ensemble desxentiers relatifs telsque :x2+ 3xsoit divisible par 7.

Exercice 20:Montrer que pour nentier naturel, (n+1)n-1 estdivisible par n2Exercice 21:Dterminer les entiers x vrifiant les conditionsimposes.

x 3 (mod5) et 0 < x < 29

14 x (mod4) et 0 < x < 4

23

9 (modx) et 10 < x < 28

Exercice 22Soit x et y deux entiers naturels tels que

x 2 (mod 5) et y 3 ( mod 5 )Dterminer le reste de la division euclidienne par5 de chacun des nombres suivants.a) x + 3y, b) 2x3y

Exercice 23:a)Dterminer les restes possibles de la divisioneuclidienne de 4npar 11

b)Dterminer les entiers naturels n tels que3n+34n+4 0 ( mod 11 )

Exercice 24

Dmontrer que 2770524771 ( mod 7 )

Exercice25Dterminez l'ensemble des x entiers relatifs telsque : x2+ 3x soit divisible par 7.

Exercice 26x et y dsignent des entiers.

a)Dque x 0 (mod 8) ou x 1(mod 8)


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ou x 4(mod8)b)en dduire les restes possibles de la divisioneuclidienne de x + y par 8

Exercice 27:Dterminer tous les entiers n tels que

n 42n (mod 5)

Exercice 28:1)Soit n un entierQuels sont les restes possibles de la divisioneuclidienne de n3 par 11

2) Dterminer tous les entiers n tels que

( n+5)39 (mod 11)

Exercice 29:a)Dterminer lensemble E des entiers x tels quex + 3 3 ( mod 8)

b)Dterminer lensemble F des entiers x tels que3x 5 ( mod 8)c)Dterminer lensemble G des entiers x tels quex+5x-2 0 ( mod 6)c)Dterminer lensembleH des entiers x tels quex 4 - 2x ( mod 5)

Exercice 32 :

1) Dmontrer que si n n'est pas multiple de 7,alors (n6- 1) est multiple de 7 (n entier naturel).a) Par rcurrence.b) En s'aidant d'un tableau de congruence.2) Dmontrer que n(n6- 1) est un multiple de 7pour tout entier n.Comment choisir n pour que ce produit soitdivisible par 84 ?

Exercice 33 :

En s'aidant d'un tableau de congruence, trouverles entiers naturels n tels que n3 - 3n2 - 2 soit

divisible par 7 .

Exercice 34 :On considre le systme de congruences

; o n dsigne un entier relatif.1. Montrer que 11 est solution de (S).2. Montrer que si n est solution de (S) alors n 11est divisible par 3.3. Montrer que les solutions de (S) sont tous lesentiers de la forme 11 + 15 k, o k dsigne unentier relatif.

Exercice 35 :1)On considre lensemble A 7= {1; 2; 3; 4; 5; 6}a)Pour tout lment a de A7crire dans le tableaulunique lment y de A7tel que a y 1 (mod 7).

b)Pourx entier relatif, dmontrer que lquation3x 5 (mod 7) quivaut x 4 (mod 7).c)Si a est un lment de A 7,montrer que les seuls entiers relatifsx solutions delquation ax 0 (mod7) sont les multiples de 7.2. Dans toute cette question,p est un nombrepremier suprieur ou gal 3.On considre lensemble Ap= {1 ; 2 ; ... ;p 1}des entiers naturels non nuls et strictementinfrieurs p.Soit a un lment de Ap.a)Vrifier que ap 2est une solution de lquationax 1 (modp).b)On note r le reste dans la division euclidienne dea p 2parp. Dmontrer que r est lunique solutionxdans Ap, de lquation: ax 1 (modp).c)Soientx et y deux entiers relatifs.Dmontrer quex y 0 (modp) si et seulement si

x est un multiple dep ou y est unmultiple dep.d)Application :p = 31. Rsoudre dans A 31lesquations : 2x 1 (mod 31) et 3x 1 (mod 31). laide des rsultats prcdents, rsoudre dans Zlquation 6x 5x + 1 0 (mod 31).

Exercice 36Les quatre questions sont indpendantes.1 Rsoudre dans Z, lquation x + x 5 [7]2 a)Montrer que, pour tout entier naturel n,72n 1 [8]

b)En dduire le reste modulo 8 de 200920103Dterminer les entiers naturel n tels que27 5 [n]4Soit n un entier naturel non nul,

x = 2n

+1 et y = 2 n 13

Soit d un entier naturel qui divise x et y.a) Montrer que d = 1 ou d = 5b) Donner, suivant les valeurs de n, le reste

modulo 5 de 2n

.

Exercice 37 :

1)Dterminer suivant les valeurs de lentier natureln, les restes possibles modulo 7 de 2n.2)Montrer que pour tout n IN, 23n1 0(mod7).

3)Quel est le reste modulo 7 de704

1773

4)Montrer que pour tout n IN, on a

3 * 11

n+1

+ 5

2n+4

0 (mod7).

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