AutomPoly

Automatique - Reprsentation Externe / Interne 2007 / 2008

EISTI Guy Almouzni

AUTOMATIQUE

REPRESENTATION EXTERNE / INTERNE

Automatique - Reprsentation Externe 0. Prambule

0. 1

0. Prambule

Plan du cours AUTOMATIQUE CONTINUE 1. Commande - Modle dun processus . 2. Performances d'un Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit. 3. Correction d'un Systme Asservi Linaire (SAL). AUTOMATIQUE DISCRETE 4. SALs chantillonns. 5. Correction numrique - Rgulateurs standards. 6. Performances d'un SAL chantillonn : Stabilit - Prcision - Rapidit. 7. Synthse des correcteurs numriques - Rponse pile. AUTOMATIQUE CONTINUE / DISCRETE 8. Reprsentation dEtat des Systmes.

Annexe 9. Annexe. Logique floue.

Bibliographie [1] H. Bhler Rglages chantillonns Presses polytechniques romandes [2] F. de Carfort / C. Foulard / J. Calvet Asservissements linaires continus Dunod universit [3] E. Dieulesaint / D. Royer Automatique applique Masson [4] P. Faurre / M. Robin Elments dautomatique Dunod [5] K. Ogata Discrete Time Control systems Prentice-Hall [6] R. Pallu de la Barrire Cours dautomatique thorique Dunod [7] M. Rivoire / J.L. Ferrier Automatique Eyrolles [8] Y. Svely Systmes et asservissements linaires chantillonns Dunod [9] Y. Thomas Signaux & systmes linaires Masson

__________

Automatique - Reprsentation Externe / Interne 1. Commande. Modle d'un processus

1. 1

AUTOMATIQUE CONTINUE

1. Commande. Modle d'un processus

Troupeau qui mne son gardien est broy tt ou tard dans la gueule du loup. Frdric Mistral

1. Commande en boucle ouverte, en boucle ferme

Automatique :

Ensemble des mthodes destines rendre un processus automatique ( sans l'intervention de l'Homme).

Lobjectif est de contrler, de commander un systme, cest--dire faire en sorte quil obisse la commande qui lui est applique.

Contrairement au Traitement du Signal o cest le signal qui nous intresse, en automatique, la finalit est le systme. Domaines d'application :

- commande de processus industriels (domaines initiaux) - conomie, gestion, gophysique, biologie, etc... (nouveaux domaines). Sciences connexes :

- Recherche Oprationnelle (RO) - Optimisation :

L'automatique peut traiter les systmes statiques et dynamiques. Ces derniers taient jusqu'alors traits par la RO. Commande optimale (contraintes satisfaire).

- Traitement du Signal (TS) :

L'automatique doit se proccuper de TS :

. Conditionnement ( Mise en forme, Prtraitement, Amplification, Filtrage...) . Caractrisation ( Transformations frquentielles) . Dtection - Estimation (Moyenne quadratique...) . Optimisation (Filtrage optimal...) . Modlisation - Identification (Prdiction linaire, modles Markoviens...) . Codage - Dcodage (Modulation, Dmodulation analogique et numrique...) . Synthse de signal (Gnration de signaux analytiques, alatoires, bruit ...)

- Systmes temps rel, capteurs - actionneurs :

Contraintes temps rel imposes par les systmes commander; systmes dacquisition - restitution. Constituants de l'automatique :

- Thorie des systmes. - Asservissement ( rgulation). - Commande - Optimisation statistique (commande optimale). - Identification. Automatique Continue : Les signaux et les systmes mis en jeu sont continus ( Temps Continu). Ex.: rgulation de la vitesse d'un moteur.

Automatique Discrte : Des signaux discrets (et ventuellement des signaux continus) interviennent pour commander des systmes discrets (et ventuellement des systmes continus). Ex. : squenceur programmable de perage de pices. Reprsentation Externe:Le systme est reprsent par sa FT (Fonction de Transfert) (Reprsentation Frquentielle).

Reprsentation Interne: Le systme est dcrit par son tat x (vecteur) (Reprsentation Temporelle) dans le plan de phase ( , & )x x : & ( , )x x u= f ( u : entre)

La sortie (multivariable) y du systme est fonction de ltat x et de l'entre u : y x u= g( , )

Reprsentation moderne, plus puissante que la Reprsentation Externe, notamment pour dcrire les systmes multivariables, la Reprsentation Interne fait, de plus, intervenir les Conditions Initiales de faon inhrente contrairement la Reprsentation Externe qui ne les fait pas directement intervenir (la Fonction de Transfert nintgre pas les Conditions Initiales).


1. 2

Exemples de rgulation:- Puissance de la frappe des touches du clavier dun ordinateur contrle grce au retour (feedback) constitu par le toucher (perception tactile) - Puissance vocale de parole assujettie au retour fourni par la perception auditive. - Direction dune automobile corrige en fonction du trac de la route (perception visuelle)... Exemple : Asservissement de la direction de vol dun vaisseau spatial, dcrit dans le plan de phase :

Soit contrler la direction de vol (linclinaison) d'un vaisseau spatial. On souhaite maintenir prs de 0 l'angle du vaisseau par rapport la verticale au sol ( 0 : direction de consigne) :

fuses de direction

Commande en Boucle Ouverte ( chane ouverte, directe, non asservie, non automatise) (BO)

Systmeu0 Il suffit de dterminer le couple de commande u0 exercer avec les fuses, tel

que = 0 .

Le systme de guidage de la fuse est un convertisseur couple angle.

Cette commande directe est insuffisante car elle est aveugle : ++

Perturbations

Systmeu0

Si des perturbations (ex. : pression de radiation solaire) cartent le vaisseau de la position de consigne, il n'y a pas de rajustement de la commande et par consquent il y a biais ou cart de la sortie par rapport la consigne.

(Les perturbations se traduisent gnralement comme un bruit additif en sortie. Elles pourraient tre considres comme une entre de commande au mme titre que 0u mais la diffrence quelles sont subies, quon ne les matrise pas et donc que lon ne peut pas jouer sur elles). Commande en Boucle Ferme ( asservie, rgule, automatise) (BF) (SB : Systme Boucl)

Pour tenir compte des variations de la sortie, on effectue une boucle de retour (feedback) de la sortie sur la commande lentre.

Exemple de retour le plus simple (commande en tout ou rien) :

vvv

=

si

si

si

0

0

0

0

( : couple)

+

v

eSystmeu0

0

++

Perturbations

La commande se fait par l'erreur : e u v= 0

- si pas de perturbation : = 0 v = 0 e u= 0 - si perturbation : 0 v 0.


1. 3

Inconvnient : fortes oscillations de autour de 0 .

amlioration avec l'introduction d'une bande morte (dead zone) [ , ] + autour de 0 :

vvv

= < = += > +

si

si

si

0

0 0

0

0

+

v

eSystmeu0

0

0 0 +

Equations du systme dans le cas de la rgulation sans bande morte :

Soit J le moment dinertie du vaisseau. On a par application de la RFD (Relation Fondamentale de la Dynamique) pour les solides en rotation : Couples = J&& (couple = moment dune force) soit :

J e u v&& = = =0 uuu

0 0

0 0

0 0

+

si

si

si

< 0 : && & & & = + = + + = + + +

uJ

uJ

tu

Jt t0 0 0

0 20 02

:

arc de parabole dans le plan de phase ( ) , & = 0 : && & & & = = + =

+ +

uJ

uJ

tuJ

t t0 0 00 2

0 02

> 0 : && & & & = = + = + +

uJ

uJ

tu

Jt t0 0 0

0 20 02

do le cycle de rgulation (reprsent dans le cas o 0 = 0) :

0

&

Exemple similaire : Rgulation de la direction dun vhicule automobile : Le rglage de la position du volant suivant la direction de la route doit comporter ncessairement un feedback pour corriger dventuelles perturbations (pav ...) cartant le vhicule de la direction de consigne. Linformation visuelle autorise un bouclage (retour, feedback) de correction par le conducteur. - commande analogique : en permanence le conducteur observe la route et ventuellement corrige la direction du vhicule. - commande chantillonne : intervalles de temps rguliers le conducteur observe la route et ventuellement corrige la direction du vhicule.


1. 4

2. Structure gnrale d'un asservissement

On peut ramener un asservissement donn, analogique ou numrique, une structure gnrale pour laquelle la commande ( contrle) du processus est ramene en amont du processus contrler, dans la boucle de rgulation (quitte introduire des blocs supplmentaires en cascade avec cette structure).

Structure gnrale d'un asservissement continu d'un processus continu

x(t)+

-

Capteur

y(t)

Comparateur

r(t)

e(t) = x(t) - r(t) u(t)Contrleur analogique

Processuscontinu

Correcteur

analogique x : entre, ou consigne (commande de lasservissement) u : commande (du processus) r : retour, ou feedback e : erreur y : sortie

Structure gnrale d'un asservissement numrique d'un processus continu

x(t)+

-

Contrleur Processus y(t)

r(t)

e(t) u(kT)

Calculateur

numrique continuCAN CNA

Correcteuru (t)Ae (kT)q

Capteuranalogique

Structure gnrale d'un asservissement chantillonn d'un processus continu

x(t)+

-

Contrleur Processus y(t)

r(t)

e(t) u*(t)

Calculateur

numrique continue*(t) u (t)

B

CorrecteurBloqueurd'ordre 0

chantillonneur 0B

Capteuranalogique

La structure est identique celle de lasservissement numrique dun processus continu. Le bruit de quantification du CAN est nglig pour ne retenir que lchantillonnage (CAN = chantillonnage + quantification).

Le CNA est constitu dun bloqueur dordre 0. Un capteur numrique peut aussi tre utilis, autorisant alors un retour r aprs lchantillonneur pour une comparaison numrique.

Structure gnrale d'un asservissement numrique d'un processus numrique

x(k) Processus y(k)numrique

u(k)Calculateur


1. 5

Le calculateur assure, en plus du contrle numrique, la fonction de comparateur (numrique). Les chantillons de sortie peuvent directement tre compars aux chantillons de consigne sans ncessiter de capteur pour ramener la sortie la mme dimension ou au mme format que lentre (conditionnement) comme en analogique. Le processus numrique peut tre naturellement numrique ou issu de la numrisation d'un processus continu :

ProcessuscontinuCNA CAN

Processusnumrique

Fonctionnement dun asservissement (l'asservissement obit la commande) Le fonctionnement dun asservissement en prsence de perturbation peut tre scind en 2 types, par application du thorme de superposition des systmes linaires. Structure gnrale d'un asservissement continu d'un processus continu en prsence de perturbation

x(t)+

-

Capteur

y(t)

Comparateur

r(t)

e(t) = x(t) - r(t) u(t)Contrleur analogique

Processuscontinu

Correcteur

analogique

Perturbation

- Fonctionnement en suiveur ( poursuite) :

Lentre de commande (consigne) varie. La sortie doit varier dans le mme sens que la consigne (elle ne doit pas la contrer, sy opposer). Les perturbations peuvent tre ignores pour qualifier en 1re approximation ce type de fonctionnement. - Fonctionnement en rgulation :

Lentre (consigne) est constante (rglable). La sortie doit tre constante malgr les perturbations. Lentre de perturbations doit tre contre contrairement lentre de commande. Cest la structure de lasservissement, avec la position de lamplificateur (contrleur) en amont dans la boucle dasservissement avant le processus, qui autorise une commande par la consigne et non par les perturbations (les perturbations sont contres, rgules, alors que la consigne est suivie, non contre).


1. 6

3. Reprsentation externe Soit un systme linaire stationnaire de Rponse Impulsionnelle (RI) h t( ) .

En asservissement, les signaux et systmes sont gnralement causaux car la rgulation a pour vocation de se faire en temps rel, en ligne. Un signal rel a toujours un dbut et une fin.

TEMPS CONTINU TEMPS DISCRET

x h t d y t( ) ( ) ( ) =

0

h(t)x(t) = x t h t( ) * ( )

TL (monolatrale) (causalit)

X(p) H(p) Y(p) = H(p) X(p)( si CI nulles)

H p Y pX p

( ) ( )( )

= : Fonction de Transfert (FT) du systme

H p TL h t( ) [ ( )]=

H p( ) est une fraction rationnelle si en temps, le systme est reprsent par une quation diffrentielle linaire coefficients constants.

H pa p

b p

ii

i

m

ii

i

n( ) = =

=

0

0

(sans prsence de retard)

La ralisabilit du systme fait que H p( ) est du type passe-bas (un passe-haut signifie en temps que le systme est infiniment rapide).

n m>

Oprations Temps - Frquence (p)

ddt

(drivation) p (avance de phase)

(intgration) p (retard de phase)

z epT=

h x ym k mm

k

k= =

0

hkxk = x hk k*

TZ (monolatrale) (causalit)

X(z) H(z) Y(z) = H(z) X(z)( si CI nulles)

H z Y zX z

( ) ( )( )

= : FT du systme

H z TZ hk( ) [ ]=

H z( ) est une fraction rationnelle si en temps, le systme est reprsent par une quation aux diffrences linaire coefficients constants.

H za z

b z

ii

i

m

ii

i

n( ) = =

=

0

0

(sans prsence de retard)

La ralisabilit (causalit) du systme fait que la rcurrence temporelle doit exprimer yk en fonction des chantillons passs ou prsents.

n m

Oprations Temps - Frquence (z) (diffrence) ( )z 1 (avance de phase) (somme) ( )z 1 (retard de phase)


1. 7

4. Relations fondamentales d'un systme boucl (TEMPS CONTINU) Tout systme boucl peut tre ramen une structure incluant la structure fondamentale suivante retour unitaire et comparateur +/- pour laquelle on dfinira les relations fondamentales et les thormes gnraux : Systme Boucl retour unitaire

X(p)+

-Y(p)

E(p)H(p) Y(p)X(p) H'(p)

R(p)

[ ] [ ]Y p H p E p H p X p R p H p X p Y p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = =

Y pX p

H pH p

( )( )

( )( )

= +1 Y pX p

H p( )( )

( )=

= +H pH p

H p( ) ( )

( )1

H p( ) : FTBO (Fonction de Transfert en Boucle Ouverte) : H p R pE p

( ) ( )( )

=

H p( ) : FTBF (Fonction de Transfert en Boucle Ferme) : =H p Y pX p

( ) ( )( )

Un systme boucl peut tre ramen une structure ouverte et rciproquement :

Y(p)X(p) H'(p) X(p) +-

Y(p)E(p)

H(p)

H p H pH p

( ) ( )( )

= 1

Systme Boucl retour non unitaire

Un systme boucl retour non unitaire par exemple peut tre ramen une structure incluant la structure fondamentale retour unitaire :

X(p)+

-Y(p)

R(p)

E(p)H(p)

K(p)

Y(p)X(p) T'(p)X(p) +-

Y(p)

R(p)

E(p)H(p) K(p) K(p)

1 R(p) K(p)1R(p)

avec : T p H p K p( ) ( ) ( )= et : = +T pT p

T p( ) ( )

( )

1

[ ] [ ]

=== )()()()()()()()()()()()()( pY

pKpXpKpHpYpKpXpHpRpXpHpY

)(1)(

)(1

)()(1)(

)()(

pTpT

pKpHpKpH

pXpY

+=+= On a aussi la relation : E pX p H p

Y pX p T p

( )( ) ( )

( )( ) ( )

= = +1 1

1

Les signaux x t( ) , r t( ) et e t( ) du comparateur doivent tre de mme dimension et de mme nature (TC ...). y t( ) peut avoir une dimension diffrente.

T p H p K p( ) ( ) ( )= : FTBO (Fonction de Transfert en Boucle Ouverte) : T p R pE p

( ) ( )( )

= 1

K pT p

( )( ) : FTBF (Fonction de Transfert en Boucle Ferme) : 1

K pT p Y p

X p( )( ) ( )

( ) =


1. 8

Systme Boucl comparateur +/+ :

Un systme boucl comparateur +/+ peut tre ramen une structure fondamentale comparateur +/- :

X(p)+

+Y(p)

R(p)

E(p)H(p)

K(p)

Y(p)X(p) G(p) X(p) +-

Y(p)

R(p)

E(p)H(p)

-K(p)

G p H pK p H p

( ) ( )( ) ( )

= 1 Performances d'un systme boucl

Un systme asservi doit satisfaire les performances suivantes :

- Rapidit - Prcision - Stabilit Exemple : - Systme de mise au point automatique dune camra vido (autofocus) : la mise est point est rgle, corrige, en fonction du feedback (information de distance) fourni par lmission-rception dun rayonnement infrarouge.

Le temps t coul entre lmission (par la camra) du rayonnement infrarouge et la rception de son cho (par la camra) aprs impact sur la cible est directement li la distance d de la cible la source : vitesse V constante, la distance d est proportionnelle au temps t : V = d / t d = V.t : le temps, cest de la distance !

- Rapidit: La correction de la mise au point doit se faire vite par rapport la vitesse de variation de la prise de vue.

- Prcision: La mise au point doit tre assez prcise pour ne pas rendre les images du film floues.

- Stabilit: La correction de la mise au point engendre des carts ou des oscillations de la nettet dont lamplitude doit diminuer avec le temps.

De faon gnrale, une marge de stabilit doit tre prvue pour limiter lamplitude des carts ou les oscillations du systme et viter un ventuel changement de point de fonctionnement qui pourrait conduire une instabilit.

(Un systme peut avoir plusieurs points de fonctionnement, chacun pouvant tre stable ou non : ex.: le nombre de cigarettes consommes par jour par un fumeur peut atteindre, au cours des annes, plusieurs paliers stables ou non).

Les performances de rapidit et de prcision sont sans signification si la performance de stabilit nest pas assure. Autre exemple: - Systme dantiblocage des roues dun vhicule automobile (ABS) : il agit sur le systme de freinage en fonction du feedback dtat des roues (bloqu ou non).

Ces performances prsentent des dilemmes :

Laccroissement par exemple de la prcision (obtenue par une plus grande amplification dans la Boucle Ouverte) peut entraner la dstabilisation du systme. Exemple : Phnomne de larsen :

En concert, le retour des Haut-Parleurs vers le microphone constitue un feedback : une trop grande amplification entrane une instabilit caractrise par une oscillation (sifflement) continue (larsen).


1. 9

5. Causalit En automatique, les signaux et systmes mis en jeu sont gnralement causaux : l'asservissement se fait gnralement en temps rel ( on-line).

L'enregistrement des signaux ( possibilit de considrer ces derniers comme non causaux) autorisant un traitement en temps diffr ( off-line) est rarement utilis dans un contexte de rgulation qui implique plutt une approche temps rel. 6. Le signal de commande 6.1. Commande analogique

L'erreur yyc = est value en permanence par observation continue de la sortie y contrler :

+

-

)(tyc)(t

)(ty

Ex. : Le conducteur dun vhicule a l'oeil riv sur la route et value en permanence la diffrence entre la direction de consigne cy et la direction relle y observe.

Le signal de commande u est alors ajust en permanence par le correcteur pour corriger l'erreur.

+

-

y

Correcteur Processus)(tu

)(tyc)(t

)(ty

Contrleur

La loi de commande )(fu = est, en temps, dans le cas dune correction linaire stationnaire ( rgie par une quation diffrentielle linaire coefficients constants) un SLTI, conduisant en frquence, une FT fractionnelle en p. a) Commande la plus simple : TOUT OU RIEN (commande non linaire)

(Une correction ( commande) par tout ou rien est non linaire. Lasservisssement ne peut alors tre caractris par une FT).

0> u mis au maximum 0


1. 10

b) Commande proportionnelle (commande linaire)

La loi de commande du type TOUT OU RIEN peut tre amliore : quand on est loin du but atteindre, il faut envoyer toute la puissance de commande, mais quand on est prs du but, il faut rduire cette puissance.

Cest la commande proportionnelle : )()( tKtu =

La ralisation de cette commande peut tre obtenue par un simple amplificateur de gain K :

u u

u

K

t

u

- Si K lev : Commande, correction rapide, nergique mais risquant de dstabiliser le systme. - Si K petit : Commande, correction lente, molle mais risquant moins d'induire des oscillations.

La prcision du systme crot avec K. Exemple 1: commande de la vitesse dun vhicule : le conducteur actionne dautant plus la commande dacclrateur quil est loin de sa consigne de vitesse. Exemple 2: rgulation de vitesse laide dun rgulateur boules (rgulateur mcanique)

le rgulateur boules, plac sur larbre dun moteur, rgule la vitesse de ce dernier par variation du moment dinertie J de lensemble rgulateur boules + arbre du moteur : angle du rgulateur boules J etc ... ( rgulation de vitesse) angle du rgulateur boules J etc ... ( rgulation de vitesse)

arbre moteur

rgulateur boules

c) Commande intgrale (commande linaire)

Avec un processus ( systme) sans intgration pure ( pas de terme p1

en facteur dans la FT du processus), la

commande proportionnelle laisse, en gnral, subsister une erreur rsiduelle, d'autant plus faible que K est lev.

De plus, lors d'une variation brutale de la consigne cy (ex.: dmarrage), varie brutalement et Ku = est immdiatement satur.


1. 11

Dans lexemple de la commande de la vitesse dun vhicule, au lieu d'craser brutalement l'acclrateur au dmarrage, il peut y avoir avantage obtenir une commande u progressive, obtenue par une loi de commande intgrale :

= ti

dxxT

tu0

)(1)( ( iT : Cte)

(Rappel : intgrer sommer lisser prendre la valeur moyenne)

n

n =

= n

iinn u

1

n"Intgratio"

un

n

E E

+

-

Correcteurintgral u

Processus

tTE

i

cy

De plus, la commande intgrale permet de continuer commander le processus (u 0) avec une erreur nulle, contrairement la commande proportionnelle :

t

u

iT petit : u rapide iT grand : u lent

La commande intgrale est progressive mais persvrante : tant que 0, u varie.

Elle est utilise pour amliorer la prcision du systme :

uu

00

Une loi de commande intgrale sutilise rarement seule mais ajoute gnralement dune commande proportionnelle :

)()(1)(0

tKdxxT

tut

i

+= d) Commande drive (commande linaire)

Ex. : L'observation de la temprature y un instant donn indique qu'elle est infrieure de 10C la consigne cy il faut chauffer, mais la dcision doit tenir compte de la tendance de :

si est en train de crotre, il faudra plus chauffer que si est en train de dcrotre :

cest la commande diffrentielle ou drive. Loi de commande : )()( tTtu d&= Une loi de commande diffrentielle sutilise rarement seule mais ajoute gnralement dune commande proportionnelle:

)()()( tKtTtu d += &


1. 12

Exemple : La commande d'accostage d'un navire procde de l'action proportionnelle et drive : = distance au quai :

t

(vitesse nulle au quai) ' = 0t

(1)

u

(2)(3)

Inversion du moteur

(1) action proportionnelle(2) action drive(3) action rsultante

0 0

La commande drive permet une correction rapide sans risque de dpassement par rapport la consigne ( < 0 serait catastrophique !)

Elle permet d'accrotre la rapidit et la stabilit d'un systme. e) Commande PID (commande linaire) Cest un correcteur standard gnralement utilis pour corriger stabilit, rapidit et prcision dun processus.

Loi de commande PID (Proportionnelle + Intgrale + Drive) :

)()(1)()(0

tTdxxT

tKtu dt

i

&++= 6.2. Commande chantillonne

Avantage : Souplesse de ralisation du contrleur (grce un algorithme en mmoire d'ordinateur).

La loi de commande est, en temps, si la commande est linaire stationnaire (cest--dire rgie par une quation aux diffrences linaire coefficients constants), un algorithme SLTI, conduisant en frquence une FT fractionnelle en z. La contrainte technologique limitant la frquence dchantillonnage fait que, par exemple, lasservissement dondes Hautes Frquences (> 1 GHz) ne se prte pas une numrisation. Par contre, lchantillonnage de lasservissement de lassiette dun vhicule automobile ou encore du contrle de lanti-blocage dee roues dune automobile est tout fait adapt (des mesures recueillies la cadence de quelques Hz sont suffisantes).

L'erreur est value priodiquement par observation intermittente de la sortie y. Ex. : Le conducteur dun vhicule jette un coup d'oeil de temps en temps et value l'erreur du moment pour prendre les mesures ncessaires, maintenues ( bloques) jusqu'au prochain coup d'oeil. Exemple : Commande chantillonne dun processus continu

*yc +

-

Correcteurnumrique

Bloqueurd'ordre 0

u Processuscontinu

Capteur

*

0 T 2Tt

u*

B 0

u

0 T 2Tt

y

0 T 2Tt

u*

yr

y

0t

yr

0t

0t

yc

(T : priode dchantillonnage).

La loi de commande est un algorithme reliant les chantillons de )(* tu et de )(* t : )]([)( ** tftu = Le Bloqueur transforme )(* tu (image dun signal Temps Discret) en signal )(tu Temps Continu ncessaire la commande du processus continu.


1. 13

Commande PID chantillonne (commande linaire)

Le PID est un correcteur standard gnralement utilis pour corriger stabilit, rapidit et prcision dun processus.

La loi de commande )]([)( ** tftu = peut tre synthtise partir du PID analogique en discrtisant les oprateurs du PID analogique :

Amplification analogique (K) Amplification numrique (K) (Intgration) (Sommation)

dtd

(Drivation) (Diffrence) 6.3. Commande numrique

Une commande numrique est du point de vue formel, identique une commande chantillonne (lchantilloneur est remplac par un CAN ( chantillonneur + quantifieur), et le Bloqueur dordre 0 par un CNA).

Elle ajoute simplement aux signaux chantillonns un bruit de quantification que lon sera amen ngliger.

Exemple : Commande numrique dun processus continu

*yc +

-

Correcteurnumrique

u Processuscontinu

Capteur

yCAN CNA

u *

On considrera donc une commande numrique comme une commande chantillone. 6.4. Commande PWM (non linaire) (analogique ou chantillonne)

Pour certains systmes, l'action u n'est pas module en amplitude comme prcdemment, mais en largeur :

on joue sur la dure de la commande plutt que sur son amplitude : c'est la rgulation PWM (Power Width Modulation)

Ce type de commande est surtout utilise avec les processus forte inertie et fortement intgrateurs (ils moyennent la commande binaire) (exemple : systmes mcaniques, thermiques, chimiques ...).

Ex. : Processus thermique : on chauffe ou on ne chauffe pas (commande binaire, modulable en dure mais pas en amplitude : cest de la commande en tout ou rien).

u

0 T 2Tt

A

On joue sur la dure par priode T de la commande et non sur son amplitude A.


1. 14

7. Modle d'un processus Un systme ( processus) physique ne peut rpondre instantanment (sa vitesse de rponse est ncessairement infrieure celle de la lumire (thorie de la relativit)), ce qui se traduit, en frquence, par le fait que tous les systmes physiques sont ncessairement du type passe-bas , dans le sens o mme sils sont des passe-haut , il existe toujours une frquence de coupure haute qui fait que le gain chute aux Hautes Frquences : leur Bande Passante est donc ncessairement finie. Ainsi, pour les modles de processus, on se limitera aux types fondamentaux passe-bas. Un processus linaire stationnaire continu, d'ordre mn (passe-bas), est dcrit par une quation diffrentielle linaire coefficients constants:

Temps : )()()()()()( )(10)(

10 tybtybtybtxatxatxan

nm

m +++=+++ L&L& TL monolatrale (en automatique les systmes sont gnralement causaux (contrainte Temps Rel))

Frquence : (CI nulles) )()()()( 1010 pYbbbpXpapaa nm

m +++=+++ LL

=

=== ni

ii

m

i

ii

pb

pa

pXpYpH

0

0

)()()( : FT du systme (fraction rationnelle fractionnelle) dordre mn

La ralisabilit (passe-bas) du systme impose mn > .

X(p) Y(p)H(p)

La Reprsentation Frquentielle est utilise pour l'tude des systmes car les oprateurs sont plus simples en frquentiel (produit par p, division par p, produit simple) quen temporel (drivation, intgration, produit de convolution). Il y a dualit entre les tudes temporelle et frquentielle dun systme. 7.1. Modle du 1er ordre (intgrateur ( passe-bas))

- FT : p

kpH += 1)(

)( pH prsente 1 ple : 1

0 =p (racine de : 01 =+ p ) - Rponse Frquentielle : (lentre du filtre est une sinusode de pulsation variable)

H p i ki

k

i

k H i H t

c

c c

( )

: [ ( ) ] ( )

:/ :

= = + = +

= = =

=

1 1

0 0

1

0Gain statique gain not

Cte

de temps ( > 0)

Pulsation de coupure ( > 0)

: pulsation frequence

= 2 :


1. 15

7.1.1. Etude frquentielle

Lanalyse frquentielle est aussi appele analyse (ou rponse) harmonique, car )sin()( tiH est la rponse du systme de FT )( iH lentre sinusodale )sin( t de pulsation variable : soit )( iHM = et )]([ iHArg= , on a : )sin()( ttx = )sin()( += tMty)( iH - Cas : 00 >H : (si 10 >H , 00 >dBH )

c (-1)0 dB

| H(i ) | dB

(-1) pente de -20 dB/dcade

3 dB

c0 Arg H i[ ( )]

-45 -90

(chelle log.)

(chelle log.)(si k > 0)

c0

| H(i ) |

(chelle log.)

kH =0H k kdB dB0 20= = log

pente de -6 dB/octave

- Cas : 00


1. 16

7.1.3. Dualit Temporel - Frquentiel

Les mmes caractres ou proprits du systme se retrouvent en Temporel comme en Frquentiel : (1er ordre 2 paramtres) : Temps Frquence

Paramtre Constante de temps Paramtre Pulsation (ou Frquence) de coupure ou encore

1] =Re[ple 1=c

petit ]Re[ple lev systme rapide c lev (systme grande Bande Passante) (plus prcisment frquence de coupure haute leve)

Paramtre 0H Paramtre 0H gal )(y de la rponse indicielle unitaire (gain statique) 7.2. Modle du 2nd ordre (intgrateur ( passe-bas))

- FT : H p kp m p

k H i H t

m m( )

: [ ( ) ] ( ):=

+ +

= = =

=2

02

0

0

0 02 1

0 0

Gain statique gain not

Pulsation propre non amortie ( )

Facteur d' amortissement ( )

> 0

> 0

- Rponse Frquentielle : (lentre du filtre est une sinusode de pulsation variable) H i k

mi

( )

=+

1 2

0 0

2

7.2.1. Etude frquentielle

- Cas : 00 >H : (si 10 >H , 00 >dBH )

0

(-2)

0 dB

| H(i ) | dB

m 22

m < 22

0 7.

0Arg H i[ ( )]

0 -90 -180

6 dB(chelle log.)

(chelle log.)(si k > 0)

(rsonance)

r

r

(-2) pente de -40 dB/dcade: pulsation de rsonance

0

0

| H(i ) |

(chelle log.)

kH =0

r

H k kdB dB0 20= = log

m grandm petit

m 22

Pas de rsonance

m < 22

0 7. Rsonance

Pulsation de rsonance : 20 21 mr = Facteur de rsonance : 2121

mmQ

= ( QQdB log20= )

0

maxi

)(

)(

==

iHiH

Q 0 maxi

)()( == dBdBdB iHiHQ - Cas : 00


1. 17

7.2.2. Etude temporelle - Rponse Impulsionnelle (RI) : (lentre du filtre est une impulsion de Dirac x t t( ) ( )= )

[ ][ ] [ ]y t TL H p TL t TL H p( ) ( ) ( ) ( )= = 1 1 3 cas : m > 1: rgime hyper-amorti (apriodique) : 2 ples rels de H(p) p m m1

20 0

2 1=

( ) )(12

)(12

)( 212120

20 tee

mktee

mkty

tttptp

==

en posant 1

11p

= et 2

21p

=

t

y(t)

0

ples de H(p)

0

Im(p)

Re(p)

Un mode d un ple rel est non oscillant. m = 1 : rgime critique (apriodique) : 1 ple double rel de H(p) : p m0 0 0= = )()()( 20

20

0 ttekttektyt

t == avec 0

1p

=

t

y(t)

0

ples de H(p)

0

Im(p)

Re(p)

Un mode d un ple rel est non oscillant. 0 1<


1. 18

- Rponse indicielle : (lentre du filtre est un chelon x t t( ) ( )= )

[ ][ ]y t TL H p TL t TL H p p( ) ( ) ( ) ( )= =

1 1 1 3 cas :

m > 1: rgime hyper-amorti (apriodique) : 2 ples rels de H(p) : 120021 = mmp

( 2 racines relles de : 02 2020 =++ ppm ) Im p

Re p

)(1112

11)(1112

11)(222222

2121

tmm

emm

em

ktmm

emm

em

kty

tttptp

++=

++=

Rgime permanent (k) Rgimes transitoires

en posant 1

11p

= et 2

21p

=

t

y(t)

0

0 95. ( ) y

trtr : temps de rponse 95 %

y H k k( ) = = =0 1 1

Si 1>>m 3tr avec 0

2

m= m = 1 : rgime critique (apriodique) : 1 ple double rel de H(p) : p m0 0 0= =

Im pRe p

( )[ ] ( ) )(11)(11)( 000 ttekttekty tt

+=+= avec 0

1p

=

Rgime permanent (k) Rgime transitoire

t

y(t)

0

0 95. ( ) y

trtr : temps de rponse 95 %

y H k k( ) = = =0 1 1


1. 19

0 1<


1. 20

7.2.3. Dualit Temporel - Frquentiel

Les mmes caractres ou proprits du systme se retrouvent en Temporel comme en Frquentiel; (2nd ordre 3 paramtres : m, 0 et 0H ).

Temps Frquence

Paramtre amortissement m Paramtre amortissement m vu par ex. dans le cas 1


1. 21

7.3. Systmes d'ordre suprieur 2

Systme dont la FT )( pH , du k ime ordre,admet donc k ples ( 2>k ).

- les ples rels (simples) donnent lieu des sous-systmes (modes) du 1er ordre (non oscillants). - les ples complexes conjugus, associs par paire, donnent lieu des sous-systmes (modes) du 2nd ordre (pseudo-oscillants (ou oscillants sils sont partie relle nulle, et pseudo-oscillants stables sils sont partie relle ngative). )( pH peut tre dcompose en produit de plusieurs FT (FT des sous-systmes aprs dcomposition en lments simples). La rponse du systme = somme des rponses des sous-systmes.

Cette rponse est plus fortement marque par les ples situs prs de l'axe imaginaire (ples dominants) car ils correspondent aux Ctes de Temps les plus leves ( )(pleRe est en /1 ). (Un systme comportant plusieurs Ctes de Temps est gouvern par les Ctes de Temps les plus leves, qui le ralentissent au dtriment des petites Ctes de Temps qui donnent lieu des rponses plus rapides). On peut souvent ngliger les ples loigns de l'axe imaginaire par rapport aux ples dominants. Exemple (lieu des ples) : 3me ordre (3 ples) constitu dun sous-systme du 1er ordre (ple 2p ) et dun sous-systme du 2nd ordre (ples 1p et

*1p ) (

*1p reprsente le complexe conjugu de 1p )

Im p

Re p

1p

*1p

2p

Dans cet exemple, le sous-systme du 1er ordre gouvern par le ple 2p est moins rapide que le sous- systme du 2nd ordre rgi par les ples 1p et

*1p , car 2p est situ plus prs de laxe imaginaire.

Les ples dominants ( modes lents) sont situs le plus prs de laxe imaginaire. Un systme dordre > 2 ne prsente pas de rponse dallure de type trs diffrent celle dun 2nd ordre (sa rponse peut tre exprime comme somme de rponses de sous-systmes du 1er ou du 2nd ordre).

(Un 2nd ordre regroupe quasiment toutes les allures de rponse de base possible, mme celle dun 1er ordre). On peut ramener (approximer) un systme dordre suprieur 2 un systme fondamental du 1er ordre ou du 2nd ordre.


1. 22

7.4. Systmes retard pur La FT dun systme continu retard pur est : pepH =)( (retard de ) car, en temporel :

Si : )()( pXtx TL alors : pTL epXtx )()( De mme, la FT dun systme discret retard pur est : kzzH =)( (retard de k chantillons)

)()( zXnx TZ kTZ zzXknx )()( La FT dun systme continu )( pF (resp. discret )(zF ) comportant un retard pur contient donc le terme pe (resp.

kz ) en facteur : )()( 1 pFepFp= )()( 1 zFzzF k= .

1)( =iH la frquence )( pH est un dphaseur ( retardateur). )]([ iHArg varie avec la frquence

De faon avoir pe sous forme de fraction rationnelle ( linarisation), on a recours des approximations. Par dveloppement en srie, on a : L++=

621

3322 pppe p

- Approximation de Pad : le retard pe est approch par un polynme

21

21

p

p

e p

+

++= L

421

3322 ppp Approximation assez bonne tant que 2<

C'est une meilleure approximation que : p

e p

+

11 ( )L+= 221 pp .


1. 23

8. Reprsentation graphique de la Rponse Frquentielle )( iH Exemple : Reprsentation dun 1er ordre :

pkpH += 1)( (avec : 0> , 0>k ( 1>k ))

Reprsentation de Bode Reprsentation de Nyquist Reprsentation de Black

0 dB (chelle log.)

)( iHdB

)(log20)( iHiHdB=

1

0 (chelle log.) ])([ iHArg=

-90

1

0

)]([ pHIm

)]([ pHRe

> 0 0 )

Domaine de variation de p : Contour de Bromwich ( plan droit complexe sauf lorigine O (vitement de la singularit lorigine)) :

0

Re(p)

p = e i ( 0)

p i= >( )0

p i=


1. 24

9. ANNEXE : Reprsentations graphiques de Bode de Rponses Frquentielles lmentaires Gain complexe )( iH Module )(log20)( iHiH

dB= Phase )]([ iHArg

0

)( iiH =

0 dB (chelle log.)

)( iHdB

(+1)

0 0 (chelle log.)

02/

0

1)(

i

iH = 0 dB (chelle log.)

)( iHdB

(-1)0

0 (chelle log.)

02/

n

iiH

=

0

)(

0 dB (chelle log.)

)( iHdB (+n)

0 0 (chelle log.)

02/n

0

1)( iiH +=

0 dB (chelle log.)

)( iHdB

3 dBCourbe asymptotique

Courbe relle

0

(+1)

0 (chelle log.)

Courbe asymptotique

Courbe relle

0

2/4/

0

1

1)(

i

iH+

= 0 dB (chelle log.)

)( iHdB

-3 dBCourbe asymptotique

Courbe relle

0

(-1)

0 (chelle log.)

Courbe asymptotique

Courbe relle

0

2/4/

n

iiH

+=

0

1)(

0 dB (chelle log.)

)( iHdB

3n dBCourbe asymptotique

Courbe relle

0

(+n)

0 (chelle log.)

Courbe asymptotique

Courbe relle

0

2/n4/n

Octave dune frquence f : ff 2

Dcade dune frquence f : ff 10

Pente :

(-1) pente de -20 dB/dcade pente de -6 dB/octave (+1) pente de +20 dB/dcade pente de +6 dB/octave (-n) pente de -20 n dB/dcade pente de -6 n dB/octave (+n) pente de +20 n dB/dcade pente de +6 n dB/octave

__________

Automatique - Reprsentation Externe / Interne TD 1. Commande. Modle dun processus

TD 1. 1

TD 1. Commande. Modle dun processus

1. Schma fonctionnel dun systme lectromcanique

Soit l'asservissement de vitesse de rotation de l'antenne d'un radar :

u1 u2

Ampli

+- G

u = G(u1 -u2 )Moteur Vitesse

a

Antenne

Perturbations(vent)

GnratriceTachymtrique

G

M

u2 = k a

Tension

- Donner le schma fonctionnel du systme asservi (on veut que tea C= ). - Expliquer les 2 types de fonctionnement : - suiveur - rgulateur 2. Simplification de schma fonctionnel

Toutes les grandeurs ci-aprs F(p) sont fonction de p. Elles sont notes plus simplement F.

Dterminer chaque fois la FT X(p) o les FTs Xi (p).

On se servira des simplifications de schma fonctionnel pour ramener un asservissement la forme fondamentale retour unitaire et comparateur +/-, forme pour laquelle les thormes de stabilit par ex. ont t tablis :

X+

- a) Systmes en cascade

G 1 G 2 XX0 Y X0 Y

b) Comparateur dentres

G 1

G 2

+X

+

YX1

X2

X X Y0 0

c) Systme Boucl comparateur +/+

H

K+

+ XX0 Y X0 Y

d) Dplacement dune prise de variable ( droite)

G

X

GX0 Y X0 Y

X0X0


TD 1. 2

e) Dplacement dune prise de variable ( gauche)

G G

X

X0 Y X0 Y

YY

f) Dplacement dun comparateur ( droite)

G

+

-

X 1 +

-X2

X 3 X 4 X 1

X

X2

X 4G

g) Dplacement dun comparateur ( gauche)

G+

-

X+

-1

X 0

X6

X 3 X 4 X0

X2

X6

X 4X 5

h) Permutation de comparateurs

+

-

+

--

+I II II I

+

-

X 1

X2 X 3

X 4 X 1

X2

X 4

X 3 i) Dplacement dun comparateur (perturbation) hors de la boucle dasservissement

XG+

-

Y++

P

++ +

-

X 0 X 0

P

Y

0 0

j) Recopie dune variable du Systme Boucl

G 1

G 2 X

+-

+

-

X 1

X2

X 3 X 4 X 1

X 3

G 2

G 1X 3 X 4

k) Recopie dune variable de Systme Boucl et mise en Chane Directe

X 1+

-G 1

G 2

X 0 X 3 X 4 X 0G 3

X 3

X 5

G 4

X 6

X 6

X 2

+-


TD 1. 3

l) Dplacement dun comparateur (perturbation) hors de la boucle dasservissement

+

+++X 1

X 7

+

++

G 1 G 2X 3

X 4

X 5

G 3

X 6X 1 X 2

X 7G 3

G 1 G 2

X 4X

+

X 6

3. Schma fonctionnel (schma-bloc, block-diagram) dun systme aronautique analogique

Pilotage automatique d'un vhicule spatial Le diagramme ci-dessous reprsente l'asservissement de l'angle de tangage d'une fuse, o est l'angle de braquage de la tuyre de tangage. La boucle de retour est constitue d'une centrale inertielle, qui mesure la position , et d'un gyromtre dont la sortie est proportionnelle la vitesse angulaire d /dt. Le bloc de pilotage calcule partir de l'cart la commande appliquer la tuyre de la fuse. En ralit, il y a diminution de la quantit de carburant dans la fuse et ncessit d'effectuer une commande adaptative, mais ici on supposera le systme stationnaire (Fonction de Transfert de la fuse n'voluant pas dans le temps):

I(p)

+

-C(p) c

rF(p)

++

G(p)

consigne Bloc pilotage Fuse tangage

Centrale inertielle

Gyromtre

Mettre le schma-bloc sous la forme normalise (retour unitaire): (donner l'expression de A(p))

+

-C(p) u c

F(p).A(p)

consigne Bloc pilotage Processus tangage1A(p)

2

4. Reprsentations de Bode, de Nyquist et de Black [voir TP] - Donner les Reprsentations Frquentielles des systmes fondamentaux suivants dans les plans de Bode, de Nyquist et de Black en indiquant chaque fois la plage d'intgration ou de drivation : ( 0> (Cte de temps))

ppH =)(1 ( )nppH =)(2 ppH +=1)(3 ppH += 11)(4


TD 1. 4

TD 1 ANNEXE. Commande. Modle dun processus 1. Schma fonctionnel dun systme mcanique analogique Mouvement d'un vhicule sur un rail Cet exercice est relatif au mouvement d'un vhicule sur un rail rectiligne et horizontal. Les donnes sont les suivantes : masse du vhicule : m puissance motrice : p(t) vitesse : v(t) coefficient de frottement visqueux : k On rappelle que la force de frottement visqueux est du type : kv Modlisation du Systme

1. Donner l'quation du mouvement du vhicule sur une route rectiligne et horizontale. 2. Afin de linariser le systme, on introduit la variable rduite x = v. Ecrire l'quation prcdente en

fonction de x, p, k et A o : 2kmA =

3. Dterminer la Fonction de Transfert : )()()(

sPsXsH = en fonction de A et

kH 10 = en supposant nulles

les Conditions Initiales. 2. Schma fonctionnel dun systme mcanique numrique Asservissement de position angulaire On considre un processus analogique lectromcanique (moteur lectrique entranant un disque gradu en degrs). Numris, ce processus a pour Fonction de Transfert )(zF et il est destin tre contrl dans un asservissement de position angulaire : langle de rotation du disque doit tre asservi une consigne angulaire. Le processus )(zF se pilote de la faon suivante : - une tension lectrique kx applique lentre de )(zF produit une vitesse kv de rotation du disque, proportionnelle kx . On note la Fonction de Transfert AzF =)( o A est une constante R - un capteur angulaire sur le disque produit, partir de langle k de position du disque, une tension lectrique

kr proportionnelle k . On note sa Fonction de Transfert BzG =)( o B est une constante R . 1. Donner la structure et prciser les lments (Fonctions de Transfert) de cet asservissement de position angulaire (dessiner le schma-bloc). On notera kc la consigne de position angulaire. 2. Ramener lasservissement la structure suivante en spcifiant )(zH :

+

-kkc )(zH


TD 1. 5

3. Schma fonctionnel dun systme hydraulique analogique

Soit le systme :

q(t)

y(t)

q (t)1

q(t) : dbit volumique d'entre (volume d'eau par unit de temps) q1 (t) : dbit volumique de sortie v(t) : volume d'eau dans la cuve S1 : section de la cuve (cylindrique) y(t) : hauteur d'eau dans la cuve

- Ecrire l'quation diffrentielle rgissant le systme, en supposant : q t C y t1 ( ) &&( )= (C = Cte) - Les Conditions Initiales (CI) tant nulles, dterminer la FT :

Y pQ p

( )( )

4. Schma fonctionnel dun systme lectronique analogique

Soit le montage :

e(t)

Ze (p)Zs (p)

-

+G(p)

s(t)( )t

G(p) est la FTBO de l'amplificateur oprationnel: G p S pp

( ) ( )( )

= [ ( )S p G p V p V p( ) ( ) ( ) ( )= + ] L'impdance d'entre de l'amplificateur oprationnel est suppos infinie.

- Donner un schma fonctionnel du montage vu comme un systme boucl. - Le modifier pour avoir un retour unitaire :

E(p) H(p) +

-T(p) S(p)

- Exprimer S pE p

( )( )

5. Filtres en cascade

Soit le filtre intgrateur RC du 1er ordre :

u(t)C u (t)1R

i(t)

- Dterminer la FT H p U pU p1

1( )( )( )

= (Conditions Initiales nulles).

Soient 2 filtres intgrateurs RC identiques en cascade : (2nd ordre)

u(t)

CR CRi (t)1 i (t)3i (t)2

u (t)2u (t)1

- Dterminer H p U pU p

( )( )( )

= 2 . Comparer avec H p12 ( ) . - Mettre en vidence sur un schma-bloc, l'influence perturbatrice de i3 (t).


TD 1. 6

6. Systmes fondamentaux du 1er et du 2nd ordre : temps de rponse 5% Calculer le temps de rponse 5% ( 95% de la rponse finale atteinte) des systmes fondamentaux du 1er et du 2nd ordre, en rponse un chelon unit :

. 1er ordre fondamental passe-bas : H p Hp

( ) = +0

1

. 2nd ordre fondamental passe-bas : H p Hp m p

( ) =+ +

02

02

0

2 1 (3 cas : m1)

7. Commande. Correction Le synoptique de la rgulation de temprature d'un four est ainsi reprsent :

Consigne

c d +

-

Ecart

e

Puissance

p

PROCESSUS

ActionneurCapteur

Conditionneur

Mesure

mFOUR

CONTROLE

cd et m sont respectivement les images, exprimes en volts, des tempratures dsire (consigne) et mesure, rfrences par rapport l'ambiante. L'actionneur et le capteur sont par exemple une rsistance chauffante alimente travers un dispositif appropri et un thermocouple (que nous supposerons linaire pour la gamme de temprature envisage). p dsigne la puissance lectrique de chauffage, fonction de l'cart e suivant le type de commande effectue.

Les quations de fonctionnement du processus sont : )()()( tpktmTtm =+ & k T, = Constantes (1) avec : WVk /01.0= sT 60= On envisage diffrents types de commande du four :


TD 1. 7

REGULATION DE TEMPERATURE DE TYPE TOUT OU RIEN Le synoptique de la rgulation de temprature d'un four est ainsi reprsent :

Consigne

c d +

-

Ecart

ep

PMe

Puissance

p

PROCESSUS

ActionneurCapteur

Conditionneur

Mesure

mFOUR

CONTROLE

Relais idal Si mcd > (temprature mesure < temprature consigne), alors, un relais permet d'appliquer au four la puissance maximale MP ; si mcd < , alors la puissance applique est nulle : MPtp =)( si le relais est ferm ( e > 0) 0)( =tp si le relais est ouvert ( e < 0) Si 0m est l'image de la temprature au temps origine 0t , l'quation diffrentielle (1) admet pour solution :

( ) ( )

+= 00

11

0 1)(tt

TM

ttT ekPemtm si 0)( ttPtp M = (2)

et ( )01

0)(tt

Temtm= si 00)( tttp = (3)

1. En dduire l'expression de )(tm dans les deux cas de fonctionnement :

. courbe de monte en temprature ( 0m = 0, 0t = 0 et e > 0) . courbe de refroidissement ( MkPm =0 , 0t = 0 et e < 0) Application Numrique (AN) : MP = 1000 W (assurant une temprature de 1000 C en rgime permanent, en l'absence de pertubation). Tracer les deux courbes sur un mme graphique. REGULATION DE TEMPERATURE DE TYPE PROPORTIONNELLE Soit le mme synoptique que prcdemment mais la loi entre p(t) et e(t) est maintenant de la forme : p t K e tc( ) ( )= loi proportionnelle (sans contrainte sur l'amplitude de p) Kc = Constante.

1. En dduire pour 0t l'expression de m(t), puis celle de p(t) si cd (t) = c0 (t) et m(0) = 0.

2. Reprsenter l'allure de m(t) et p(t) sur un mme graphe pour c0 = 7 V et Kc = 600.

3. Quel devrait tre le rglage de Kc si on veut que m soit trs voisin de c0 en rgime permanent ?


TD 1. 8

REGULATION DE TEMPERATURE DE TYPE PROPORTIONNELLE DERIVEE Soit le mme synoptique que prcdemment mais la loi entre p(t) et e(t) est de la forme : )]()([)( teTteKtp dc &+= K Tc d, = Constantes 1. Exprimer l'quation diffrentielle liant m(t) et cd (t) .

2. La rsolution directe dans le domaine temporel de cette quation tant longue, en prendre la Transforme de Laplace et crire M(p) = G(p) Cd (p) (Conditions Initiales (CI) nulles : 0)0( =m et 0)0( =dc ).

3. Si cd (t) = c0 (t) quelles sont les valeurs initiales m(0+) et finale m() de la rponse m(t) ? (CI nulles) Donner lexpression de m(t) et vrifier la cohrence des rsultats obtenus.

4. Toujours en utilisant la Transformation de Laplace, exprimer P(p) en fonction de Cd (p). (CI nulles) En dduire les valeurs initiale et finale de la commande p(t) pour cd (t) = c0 (t).

5. D'aprs la question 3. , montrer que, quel que soit Kc , si on choisit Td = T, alors :

M p KK

C pcc

d( ).

.( )= +

0 011 0 01

et P p Kk K

Tp C pcc

d( ) ( ) ( )= + +1 1

Pour cd (t) = c0 (t) = 7(t) , dessiner alors sur le mme graphe cd (t) , p(t) et m(t) pour Kc = 600. REGULATION DE TEMPERATURE DE TYPE PROPORTIONNELLE INTEGRALE Soit le mme synoptique que prcdemment mais la loi entre p(t) et e(t) est de la forme :

p t K e tT

e x dxci

t( ) ( ) ( )= +

1 0 K Tc i, = Constantes

1. Exprimer l'quation intgro-diffrentielle liant m(t) et cd (t) .

2. La rsolution directe dans le domaine temporel de cette quation tant longue, en prendre la Transforme de Laplace et crire M(p) = H(p) Cd (p) (Conditions Initiales (CI) nulles : 0)0( =m et 0)0( =dc ).

3. Si cd (t) = c0 (t) dduire la valeur finale de la rponse m(t) ?

4. Toujours en utilisant la Transformation de Laplace, exprimer P(p) en fonction de Cd (p). (CI nulles) En dduire les valeurs initiales et finales de la commande p(t) lorsque avec cd (t) = c0 (t).

A.N. : c0 = 7 V et Kc = 600.

5. Lorsque T = Ti et k Kc = 1, que deviennent la relation entre P(p) et Cd (p) ainsi que celle liant M(p) Cd (p) ? 8. Plans de Bode, de Nyquist et de Black

Soient les systmes de FT :

( )H pk

p p1 1( ) = + ( )H p

kp p2 2 1

( ) = + ( )( )H pk

p p p3 21 1( ) = + +

(avec : 10 2

Automatique RE TP 1. Commande. Modle

M ( ) 20 log H i ( )( ):= H en dB( ) ( ) arg H i ( )( ) 180:= H en degrs( )

(chelle log.)

20

20

M ( )

100.1

M

(chelle log.)

90.09

89.91

( )

100.1

Nyquist : R ( ) Re H i ( )( ):= H I ( ) Im H i( )( ):= H10

0

I ( )IPF

11 R ( ) RPF,

I

Black : M ( ) 20 log H i ( )( ):= H en dB( ) ( ) arg H i ( )( ) 180:= H en degrs( )

20

20

M ( )MPF

90.0989.91 ( ) PF,

M

__________

TP 1. Commande. Modle d'un processus4. Reprsentations de Bode, de Nyquist et de Black [voir TD]

Tracs limits : p ( ) i := 0>( )Fonction de Transfert :

1:= pulsation de coupure : 0 1:= A p( ) p:= B p( ) p( )2:=

F 10 0:= 0 0010

+, F..:= C p( ) 1 p+:= D p( ) 11 p+:=

Saisie : H p( ) :=

Bode :

TP 1. 1

Automatique - Reprsentation Externe / Interne 2. Performances d'un systme: Stabilit-Prcision-Rapidit

2. 1

2. Performances d'un systme : Stabilit - Prcision - Rapidit

La soumission implique la possibilit de l'arrogance et de la rvolte : de la stabilit sort le mouvement. Roger Caillois Introduction Un systme asservi doit tre, selon les applications, plus ou moins rapide, prcis. Il doit videmment tre stable pour que prcision et rapidit aient un sens et soient effectivement obtenues, et pour que le systme soit contrlable. Exemples : - Asservissement de direction de vhicule automobile. - Phnomne de larsen audio : une grande amplification accrot la prcision du systme mais tend le dstabiliser (dilemme prcision - stabilit). On ne peut pas avoir les 3 performances de rapidit, prcision et stabilit maximales ensemble. Il apparat des dilemmes. I. Stabilit 1. Gnralits

Lorsqu'un systme ( dispositif avec des entres, des sorties) stable ou non, est contrl par une boucle d'asservissement, il peut arriver que le Systme Boucl (SB) ne soit pas stable. La Boucle Ouverte (BO) tant stable ou instable, la Boucle Ferme (BF) peut tre stable ou instable.

Il apparat alors, s'il y a instabilit du systme, des carts ou des oscillations incontrlables en sortie, d'amplitude croissante et qui conduisent la saturation ou la destruction (pompage) du systme.

Un systme instable est incontrlable ( non commandable). Condition gnrale de stabilit

Soit un systme ayant un tat d'quilibre statique et ayant un fonctionnement linaire au voisinage de cet tat.

Soit une perturbation momentane (modlise TC par une impulsion de Dirac ( )t ou TD par le symbole de Kronecker ( )k ) qui carte initialement le systme de son tat d'quilibre mais l'intrieur du domaine linaire.

Un systme est stable au sens strict, ou encore asymptotiquement stable (stabilit au sens de Lyapunov), s'il y a retour l'quilibre aprs disparition de la perturbation. Il est instable sil ny revient pas ou sil s'en carte.

Exemple : pendule simple

Suivant les cas, le systme peut voluer vers un autre tat d'quilibre statique stable, s'il existe. On peut aussi obtenir la sortie du systme, un cart ou une oscillation permanente dont l'amplitude est croissante.

Le systme est dit juste stable (dfinition de la stabilit au sens large) ou juste instable (dfinition de la stabilit au sens strict) si lcart ou l'oscillation qui prend naissance en sortie a une amplitude constante.

Autre dfinition de la stabilit (au sens large) : entre borne correspond une sortie borne pour le systme.


2. 2

2. Critre gnral de stabilit des systmes TC

Soit un systme Temps Continu (TC). Examinons la condition gnrale de stabilit dans l'espace frquentiel :

y(t) = h(t)

h(t)

Temps

1H(p)

Y(p) = H(p)

Frquence

( )t

La perturbation est reprsente par ( )t . Supposons le systme initialement au repos avant perturbation. Si le systme est stable, sa rponse y(t) doit tre nulle (retour ltat initial) aprs disparition de la perturbation :

y tt

( ) =

0

Le systme tant linaire et stationnaire, il est dcrit par un quation diffrentielle linaire coefficients constants, et donc reprsent par une FT H(p) fractionnelle :

On a : Y p H pA

p pi

ii

( ) ( )= = par dcomposition en lments simples. pi : ples rels ou complexes conjugus

y t h t A eii

p ti( ) ( )= = (somme des modes RI des 1er ordre lmentaires) Chaque exponentielle ne revient 0 (pour t > 0) que si la partie relle de pi est strictement ngative.

Les ples pi rels donnent lieu chacun un mode non oscillant alors que des ples complexes conjugus engendrent regroups tous les 2 ensemble un seul mode, et de type pseudo-oscillant (cas o la partie relle des ples est non nulle), ou oscillant (cas o la partie relle des ples est nulle). Un ple complexe na pas de ralit physique et ne peut seul donner lieu un mode, mais appari un ple complexe conjugu, lensemble donne lieu un mode : 22))(( baibaiba =+ non complexe ),( 2Rba .

2 ples pi complexes conjugus groups ensemble conduisent une rponse sinusodale (cas de juste instabilit).

Le ple p = 0 conduit un chelon (cas de juste instabilit). Un systme muni d'un intgrateur pur (ple p = 0) ne revient pas sa position de repos, il est dit astatique). Thorme :

(lhypothse de causalit est quasiment toujours faite en automatique, un asservissement devant quasiment toujours satisfaire des contraintes temps rel)

TC :

Un systme linaire TC est stable si et seulement si tous les ples de sa FT ont leur partie relle strictement ngative. La relation de passage TC TD : z e pT= (T : priode dchantillonnage) donne immdiatement la transposition de ce thorme en discret : TD :

Un systme linaire TD est stable si et seulement si tous les ples de sa FT ont leur module strictement infrieur 1. Les ples d'un systme caractrisent sa dynamique (stabilit). Les zros dterminent sa rapidit (phase minimale).


2. 3

La stabilit implique la condition ncessaire (dans le cas causal) :

TC : TD :

Stabilit dun systme causal de RI h t( ) h tt( ) =

0 Stabilit dun systme causal de RI hk h kk

( ) ==

0

ou plus gnralement (CNS) et sans lhypothse de causalit :

TC : TD :

Stabilit dun systme de RI h t( ) h d( ) < Stabilit dun systme de RI hk h k

k

( )=

< Lieu des ples de la FT et stabilit (systmes TC)

Plus les ples de la FT sont loigns de l'axe imaginaire (avec partie relle < 0), plus le systme est stable (et rapide). Plus les ples de la FT sont loigns de l'axe imaginaire (avec partie relle > 0), plus le systme est instable. Exemple : 2nd ordre (2 ples)

Ples Modes (rgime libre) (RI) Stabilit

Ym(p)

Re(p)

y

t

Stable

Ym(p)

Re(p)

y

t

Stable

Ym(p)

Re(p)

y

t

Juste instable (oscillant)

Ym(p)

Re(p)

y

t

saturation

Instable

Ym(p)

Re(p)

y

t

saturation

Instable

Ym(p)

Re(p)

y

t

saturation

Instable

Ym(p)

Re(p)

y

t

Juste instable (astatique)

Exemple : 3me ordre (3 ples) constitu dun sous-systme du 1er ordre (ple 2p ) et dun sous-systme du 2nd ordre (ples 1p et

*1p ) (

*1p reprsente le complexe conjugu de 1p )

Im p

Re p

1p

*1p

2p

Dans cet exemple, le sous-systme du 1er ordre gouvern par le ple 2p est moins stable que le sous-systme du 2nd ordre rgi par les ples 1p et

*1p , car 2p est situ plus prs de laxe imaginaire.


2. 4

3. Critre algbrique de stabilit de Routh-Hurwitz des systmes TC

Soit )()()(

pDpNpH = la FT d'un systme linaire continu ( TC).

Les ples de H p( ) sont les zros de D p( ) = 0 .

Un examen assez simple de D p( ) issu de lanalyse numrique et dcrit par Routh permet de savoir si certaines des racines de D p( ) = 0 sont partie relle positive ou nulle, rendant le systme instable.

Le polynme caractristique permettant de dterminer la stabilit du systme est appel polynme caractristique. On le note Q p( ) .

Si lon dsire connatre la stabilit du systme H p( ) : H(p) H p N p

D p( )

( )( )

= Q p D p( ) ( )=

Si lon dsire connatre la stabilit du Systme Boucl H p( ) :

+

-H(p) H'(p)

= + = += +H p

H pH p

N pD p

N pD p

N pN p D p

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )1 1

Q p N p D p( ) ( ) ( )= +

Ecrivons : 0)( 011

1 =++++= apapapapQ nnnn L avec : 0na et 0>n (quitte inverser le signe de tous les coefficients du polynme ou multiplier par une puissance de p ). (Pour les SLTI, )( pQ est un polynme car la FT dun SLTI est fractionnelle).

Critre de Routh

1. Si certains coefficients ai sont 0, Q p( ) a des racines partie relle 0. Le systme est donc instable (cas o au moins un ai < 0), ou juste instable (cas o au moins un ai = 0 avec les autres coefficients 0).

Cette conclusion est lune des conclusions fournies par le tableau de Routh ci-aprs, qui examine de faon gnrale la stabilit du systme :

2. Tableau de Routh :

On

crit

p n :

p n - 1 :

an - 2

an

an - 1

an - 3

an - 4

an - 5

...

...

a 1 si n impairou a 0 si n pair

On

calcule

A1

A2

A3

...

B1

B2

B3

...

...

M1

M2

M3

...

N1

N2

N3

O1

O2

O3

...

...

p n - 2 :

p n - 3 :

p 2 :

p 1 :

p 0 :

On analyse

-a1 si n pairou a0 si n impair

......

......

Le pivot pour le calcul de la ligne pi est toujours le mme pour cette ligne et il est gal au coefficient de la 1re colonne de la ligne pi+1 .


2. 5

Calculs

Pivot : an1 : Aa a a a

an n n n

n1

1 2 3

1

=

A a a a aa

n n n n

n2

1 4 5

1

=

A a a a aa

n n n n

n3

1 6 7

1

=

Pivot : A1 : BA a a A

An n

11 3 1 2

1

= B A a a AA

n n2

1 5 1 3

1

= ...

Pivot : N1 : ON M M N

N11 2 1 2

1

=

Thorme

Une CNS de stabilit du systme est que tous les coefficients de la 1re colonne du tableau de Routh soient > 0.

Le nombre de changements de signe des coefficients de la 1re colonne est gal au nombre de ples instables.

Inconvnient du critre de Routh

Le systme est dautant plus stable que les coefficients de la 1re colonne sont positifs et loigns de 0, mais le critre est incapable de quantifier plus prcisment la marge de stabilit du systme critre qualitatif.

Cas particuliers

1. Il apparat un 0 dans la 1re colonne seulement :

Ceci rend impossible la poursuite de la construction du tableau (coefficients obtenus par la suite !).

Un coeff. nul dans la 1re colonne indique la prsence dune (ou des) racine(s) juste instable(s) ou instable(s) de )( pQ

La prsence dun 0 dans la 1re colonne permet dj de conclure, si les autres coeffs de la 1re colonne sont 0, que le systme est soit la limite de linstabilit, soit instable. Si au moins 1 des coefficients de la 1re colonne est < 0, on conclut que le systme est instable.

On continue ensuite la construction du tableau en remplaant ce 0 par un coefficient


2. 6

En outre, la solution de lquation 0)( =pA indique si le systme est instable ou juste instable : des racines imaginaires cette quation indiquent que le systme est juste instable et la frquence doscillation f = 2 est solution de lquation ( 0 ) : A p i( )= = 0 ( : pulsation doscillation)

A lissue de la construction du tableau, l'examen de la 1re colonne permet toujours de conclure sur la stabilit du systme. Si tous les coeffs de la 1re colonne sont 0, le systme est juste instable ou instable, la rsolution de

0)( =pA lve lindtermination entre instabilit et juste instabilit. Au moins 1 coeff. < 0 permet de conclure linstabilit du systme. Remarque

Le critre de Routh permet rapidement et sans beaucoup de calculs de savoir si un systme est stable ou non.

Mais une analyse des racines de Q p( ) = 0 (analytiquement si le degr de Q p( ) est 2 et numriquement sinon (mthode d'analyse numrique comme la mthode de Bairstow par exemple pour dterminer les zros dun polynme) peut aussi tre utilise. Exemple : Soit dterminer la stabilit du Systme Boucl ( retour unitaire et comparateur +/-) de BO H p( ) en fonction du gain K de lamplificateur de la BO :

Systme en Boucle Ouverte (BO) : ( )H pK

p p p( ) = + +5 102

Systme en Boucle Ferme (BF) ( retour unitaire et comparateur +/-) : = + + +H pK

p p p K( )

5 103 2

Polynme caractristique : Q p p p p K( ) = + + +5 103 2

Tableau de Routh :

pppp

3

2

1

0

::::

5110 5 KK

10

00

K

Le Systme Boucl (SB) H p( ) est stable si : 0 < K < 2. L'tude de la stabilit dun Systme Boucl fait ressortir une caractristique : plus le gain K de la Boucle Ouverte est lev, plus le Systme Boucl tend tre instable. Exemple : phnomne de larsen acoustique

+

+Amplificateur Haut-ParleurMicrophoneSignal de parole Signal acoustique

Certains Systmes Boucls sont nanmoins stables K.

Exemples du SB (comparateur +/- et retour unitaire) dont la BO est un 1er ordre fondamental : H p Kp

( ) = +1 ( 0) ,

ou du SB (comparateur +/- et retour unitaire) dont la BO est un 2nd ordre fondamental : H pK

p m p( ) =

+ +2

02

0

2 1 ( , ) 0 0 0


2. 7

4. Critre de stabilit de Nyquist des systmes TC (critre gomtrique - Appliqu sur la BO, il conclut sur la BF) 4.1. Considrations mathmatiques prliminaires

Soit une fraction rationnelle ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )R p

p z p z p zp p p p p p

n mmn

( ) = 1 2

1 2

LL

zi : zros de R p( ) pi : ples de R p( )

Lorsque p dcrit le contour de Bromwich (enfermant la totalit du demi-plan droit sauf lorigine 0), R(p) dcrit le lieu (lieu de Nyquist) : image de :

pi

z i

i0

i

Re(p)

p = r ei

)( r

p = e i ( 0)

0

p i= >( )0

p i=


2. 8

4.2. Application aux Systmes Boucls pour la stabilit

On va dterminer la stabilit d'un Systme Boucl (SB) daprs l'examen du lieu de sa BO. Soit le SB comparateur +/- et retour unitaire de BO H(p):

X(p)+

-Y(p)

E(p)H(p) Y(p)X(p) H'(p)

= +H pH p

H p( ) ( )

( )1

Un SB comparateur +/- et retour unitaire est pris comme modle de rfrence, et tout SB sera ramen une telle structure (quitte avoir des blocs supplmentaires) pour en tudier la stabilit par application du thorme de Nyquist. Les ples de H p( ) conditionnent la stabilit du SB. Ces ples sont les zros de : 1 0+ =H p( ) soit H p( ) = 1 Le point 1 (point de coordonnes (-1, 0) du plan complexe) est appel point critique. Soit : +n : le nombre de ples partie relle > 0 de H p( ) (Boucle Ferme) (BF) +n : correspond z du thorme prcdent, si le lieu H(p) est reprsent la place de R(p) (les tours tant compts cette fois autour du point -1 et non plus autour de l'origine)

n+ : le nombre de ples partie relle > 0 de H(p) (Boucle Ouverte) (BO) n+ joue le rle de p du thorme prcdent.

t : le nombre de tours compts algbriquement dans le sens trigonomtrique du lieu de H(p) autour du point -1.

On a la relation (issue du thorme de Nyquist) : ++ = 'nnt ou encore : tnn = ++'

Theorme de Nyquist

Un Systme Boucl est stable ( ( ) =+n' 0 ) si et seulement si le nombre t de tours autour du point -1 du lieu de la BO est gal au nombre de ples partie relle > 0 ( +n ) de la BO. En particulier, si le systme est stable en BO ( ( ) =+n 0 ), il sera stable en BF ( ) =+n' 0 si et seulement si le lieu de la BO n'entoure pas le point -1 ( ( ) =t 0 ). Remarques

- Le point caractristique -1 dun SB comparateur +/- est remplac par le point +1 si le comparateur est du type +/+

car alors : = H pH p

H p( ) ( )

( )1


2. 9

- Dans le cas dun retour non unitaire, il faut appliquer le critre de Nyquist la BO T p K p H p( ) ( ) ( )= pour dterminer si le SB = +T p

T pT p

( ) ( )( )1

est stable :

X(p)+

-Y(p)

R(p)

E(p)H(p)

K(p)

X(p)+

-Y(p)H(p) K(p) K(p)1 X(p) Y(p) K(p)1 T p( )

[ ]Y p H p X p K p Y p H p K p X pK p

Y p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )= =

Dans le cas o le lieu de la BO passe par le point critique (-1), cela ne compte comme un tour que si la BO est stable ( 0' =+n ). Exemples

Contour de Bromwich :

0

Re(p) p = r e

i

)( r

p = e i ( 0)

p i= >( )0p i= 0)

avec : 1))()((

]))([(222 >+++++++++++++

abbcaccabbcacbabbcacaabcabbcaccbaK

0

Im[H(p)]

Re[H(p)] =+= = 0= +0

-1

t = 0 Systme stable (sens large) en BF ( 0' =+n ) si systme stable (sens large) en BO, or ici 0=+n SB stable (le SB est la limite de linstabilit (juste stable juste instable) si le lieu de H p( ) passe par le point - 1)

Exemple 2 : H p Kp p b p c

( )( )( )

= + + (b c K, , Ctes > 0)

avec : 1))()((

])[(22


2. 10

Exemple 3 : ap

KppH +=)( ( a K, Ctes < 0)

avec : 1 0) du contour de Bromwich, on peut alors donner une version simplifie du critre de Nyquist, appele critre du revers, qui ne prsente des ambiguts pour son application que dans de rares cas et peut ainsi tre applique avantageusement dans une majorit de cas la place du critre gnral de Nyquist. 4.3.1. Critre du revers dans le plan de Nyquist Si lorsqu'on parcourt le lieu de la BO H i( ) dans le sens des pulsations ( varie de 0 + ), on laisse sur sa gauche le point -1 lorsquon se trouve la pulsation 0 telle que [ ]Arg H i( ) 0 = , le SB est stable (si le lieu passe par le point -1, le SB est juste instable). Si le lieu entoure le point critique (-1), le SB est instable.

Exemple : H p Kp a p b p c

( )( )( )( )

= + + + ( a b c K, , , Ctes > 0)

p i= ( > 0 ) pour le critre du revers et non plus le contour de Bromwich entier.

0

Im[H(p)]

Re[H(p)] = + =0-1

0

0

Im[H(p)]

Re[H(p)] = + =0-1

0

0

Im[H(p)]

Re[H(p)] = + =0-1

0

SB stable SB la limite de la stabilit (oscillant 0 ) SB instable ( 1>D ) ( 1=D ) ( 1 : le SB est instable Pour un systme linaire la limite de la stabilit, loscillation qui prend naissance suite une perturbation est sinusodale (ventuellement de pulsation nulle dans le cas du rgime astatique).


2. 11

Remarque : on voit donc qu'un SB dont la BO est du 1er ordre ou du 2me ordre est toujours stable :

1er ordre : 2me ordre :

-1Re

Jm

-1

Re

Jm

le point critique ne peut tre entour qu' partir du 3me ordre 4.3.3. Critre du revers dans le plan de Bode Il est facile de transposer le critre du revers dans le plan de Bode. Le point critique -1 est ici caractris par : - son module : 0 dB - son argument ( sa phase) : -

0 dB

0

H i dB( )

0

0

Arg H i[ ( )]

0 dB

0

H i dB( )

0

0

Arg H i[ ( )]

0 dB

0

H i dB( )

0

0

Arg H i[ ( )]

SB stable SB juste oscillant (juste stable) (oscillation 0 ) SB instable H i dBdB( ) 0 0< H i dBdB( ) 0 0= H i dBdB( ) 0 0> 0 la pulsation telle que Arg H i[ ( )] 0 = . 4.3.4. Critre du Revers dans le plan de Black

0 dB

H i dB( )

0

Arg H i[ ( )]

0 dB

H i dB( )

0 Arg H i[ ( )]

0 dB

H i dB( )

0

Arg H i[ ( )]

SB stable SB juste oscillant (juste stable) 0 SB instable H i dBdB( ) 0 0< H i dBdB( ) 0 0= H i dBdB( ) 0 0> 0 la pulsation telle que Arg H i[ ( )] 0 = .


2. 12

5. Lieu des Racines (lieu d'Evans)

La FTBO s'crivant sous la forme : H p K N pD p

( ) ( )( )

= , les zros de 1 + H(p) dcrivant la stabilit de la FTBF sont les racines de : D p K N p( ) ( )+ = 0 appel polynme caractristique Q(p) Q(p) = D(p) + K. N(p) = 0 Lorsque le gain K varie de 0 + , les racines du polynme caractristique dcrivent dans le plan complexe le lieu des racines. Exemple :

BO : H p Kp p a

( )( )

= + Polynme caractristique : Q(p) = D(p) + K = 0 Q(p) = p(p + a) + K = 0 p ap K2 0+ + =

Racines de Q(p) : ( 0 ) : p a a K

p a a K

1

2

2

2

2 4

2 4

= +

= ( < 0 ) :

p a i K a

p a i K a

1

2

2

2

2 4

2 4

= +

=

-a K K 0

Im( , )p p1 2

Re( , )p p1 2K a= 24 K = 0 a2

K = +

K = +

K = 0

Systme boucl Stable pour K > 0 La condition de stabilit est que les racines de Q(p) n'aient pas de partie relle 0. Le demi-plan droit ne doit pas tre pntr par le lieu des racines pour que le SB soit stable. Pour K = 0 : p1 0= et p a2 = Puis K : p1 et p2 viennent se rejoindre en : p p

a1 2 2= = pour : K a=

2

4

Puis K : p1 et p2 sont complexes conjugus, elles s' arrachent de l'axe rel .

Leur partie relle est Cte = a2

. Leur partie imaginaire, oppose, crot en valeur absolue avec K.

Evans a propos une mthode pour tablir ce lieu des racines (ensemble de rgles). Une mthode numrique permet galement d'tablir le lieu des racines (recherche des zros dun polynme par la mthode de Bairstow par exemple). La limite de stabilit correspond la valeur de K pour laquelle le lieu des racines coupe l'axe imaginaire:


2. 13

H(p) peut s'crire sous la forme : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )H p K

p z p z p zp p p p p p

m

n

( ) = 1 2

1 2

LL

xx

x

0 Re

Im

A

lieu des racines

Pn

1P

P2

Z1

Z2

Zm

En tout point des racines, on peut crire : ( )( ) ( )

( )( ) ( )1 1 01 21 2+ = +

=H pK p z p z p z

p p p p p pm

n

( )LL

Soit en module : Kp z p z p zp p p p p p

m

n

=1 2

1 2

1LL p variant et au lieu des racines.

A appartient au lieu des racines et se situe sur l'axe imaginaire pur

K AP AP APAZ AZ AZ

n

m

= 1 2

1 2

LL : valeur limite de K pour la limite de stabilit du SB.

La mesure graphique des longueurs des segments APi et AZi permet de dterminer la valeur limite de K pour laquelle le SB est la limite de la stabilit.

(si le point A n'existe pas, le SB est toujours stable ou toujours instable selon que le lieu des racines est tout gauche ou tout droite du plan complexe). 6. Marges de stabilit Un SB est d'autant plus stable que le lieu de la BO passe loin du point critique, tout en le laissant sur sa gauche lorsque . ( on voit ainsi que les critres graphiques de stabilit autorisent une meilleure visualisation de la marge de stabilit dun systme, au critre de Routh.) Il est ncessaire de prvoir une marge de stabilit, car si on est trop prs du point critique, un lger drglement du systme ou un changement de son point de fonctionnement peut rendre le SB instable. Marge de phase M et Marge de Gain MgdB Soit un Systme Boucl retour unitaire et comparateur +/- construit autour dune FTBO H p( ) . On cherche quantifier la marge de stabilit par les marges de phase M et de gain MgdB .

MMg dBdB

>>0

0 car le SB doit d'abord tre stable pour dfinir les marges de stabilit

(si M < 0 ou si Mg dBdB < 0 , le SB est instable).


2. 14

6.1. Marges de stabilit dans le plan de Nyquist

-1

cercle unit

0

Im[ ( )]H i

Re[ ( )]H i 0

1

g

M

( )H i

Mg'

Soit 0 telle que : Arg H i[ ( )] 0 = : . Mg g g H idB = = = 201 20 20 0log log log ( )

Soit 1 telle que : H i( ) 1 1= : . M Arg H i = + [ ( )]1 6.2. Marges de stabilit dans le plan de Bode

0 dB

0

H i dB( )

0

0

Arg H i[ ( )]

1

1

MgdB

M

Soit 0 telle que : Arg H i[ ( )] 0 = : . Mg H idB dB= ( ) 0 Soit 1 telle que : H i dBdB( ) 1 0= : . M Arg H i = + [ ( )]1 6.3. Marges de stabilit dans le plan de Black

0 dB

H i dB( )

0

Arg H i[ ( )] 1MgdB

M

Soit 0 telle que : Arg H i[ ( )] 0 = : . Mg H idB dB= ( ) 0 Soit 1 telle que : H i dBdB( ) 1 0= : . M Arg H i = + [ ( )]1


2. 15

Les valeurs de M et Mg assurant une bonne marge de stabilit sont :

MMg dBdB

= =45

10 (valeurs usuelles)

7. Abaque de Black La normalisation ncessaire la construction de l'abaque impose un retour unitaire pour le SB (avec comparateur +/-).

Si le SB n'est pas retour unitaire, on peut tout de mme utiliser l'abaque : 7.1. Lecture de labaque de Black Soit le SB :

X(p)+

-Y(p)T(p) X(p) Y(p) T p( )

T p( ) : FTBO

T p T pT p

' ( ) ( )( )

= +1 : FTBF Le trac de la BO T i( ) dans le plan de Black dans le systme de coordonnes rectangulaires permet laide des abaques de gain et de phase, de dduire les valeurs de gain et de phase de la BF : T i dB( ) et Arg T i[ ( )] dans un systme de coordonnes curviligne :

- 90 - 45

8 dB

6 dB

0dB

- 180 - 90 T i dB( )

Arg T i[ ( )]

0 dB

-3 dB0dB

- 180 - 90 T i dB( )

Arg T i[ ( )]

Abaques de gainAbaques de phase

Exemple :

- 90 - 45

8 dB

6 dB

0dB

- 180 - 90 T i dB( )

Arg T i[ ( )]

0 dB

-3 dB

M

T i( )

M M

A la pulsation M , le lieu de la BO T i( ) est tel que : T i dBArg T i

dB( )

( )

== 0

90

et les graphiques des abaques permettent de dduire le comportement de la BF : =

= T i dB

Arg T idB( )

( )

3

45


2. 16

Obtention de labaque de Black

Soit : M T i

Arg T idB dB==

( )[ ( )]

et : = =

M T iArg T i

dB dB( )[ ( )]

Les abaques de gain sont les rseaux de courbes dquation : =MdB Cte : =MdB idB Les abaques de phase sont les rseaux de courbes dquation : = Cte = i On a les relations permettant de tracer les abaques dans le systme daxes rectangulaires :

T i T iT i

' ( ) ( )( )

= +1 T iT i

T i( ) ' ( )

' ( ) = 1

7.2. Rsonance en BF Le contour de l'abaque (en dB) que le lieu de la BO T i( ) tangente, indique la valeur maximale du module du gain de la BF T i dB( ) et donc le facteur de rsonnance Q de la BF et la pulsation de rsonnance r de la BF : Exemple avec une BO rsonante :

8 dB

6 dB

0dB

T i dB( )

Arg T i[ ( )]

2.3 dB

T i( )

r r

T dB0

On a toujours : r < r r : pulsation de rsonance en BO r : pulsation de rsonance en BF

T dB0 : gain statique de la BO : T T idB dB0 = ( ) pour = 0 T dB0 : gain statique de la BF : = T T idB dB0 ( ) pour = 0 : = +T

TT0

0

01 T dBdB0 0

T i( ) passe par un maximum pour = r Dans cet exemple : = Q dB TdB dB2 3 0. = Q T i TdB dB dB( ) max 0 Avec : dBT

dB00 : =Q dBdB 2 3. (cas correspondant 10 >>T )

Comme = Q m m1

2 1 2, on a :

Documents

AutomPoly