REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE MENTOURI - CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE LINGENIEUR DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE N dordre : 154 / Mag /2005 Srie : 005 / GM / 2005 MEMOIRE Prsent pour obtenir le diplme de Magister en GENIE MECANIQUE Hydrodynamique, Transfert de Chaleurdun Ecoulement Tournant et Stabilit MHD OPTION Energtique PAR BERRAHILFarid SOUTENUELE:03 / 07 / 2005 Devant le Jury :Prsident :M. KADJAProf. Univ.CONSTANTINE Rapporteur :R. BESSAIHM.C.Univ.CONSTANTINE Examinateurs :Z. NEMOUCHI Prof. Univ.CONSTANTINE A.E. BEGHIDJAM.C.Univ.CONSTANTINE I DEDICACES A mes parents A mes frres et surs A ma femme A toute ma famille A mes amis Remerciement II REMERCIEMENT Je dois normment aux conseils et lenseignement de mon encadreur Dr.RachidBESSAIH,MatredeConfrenceslUniversitMentouri- Constantine.Sesractions-souventpassionnes-auxstimulidenouveaux rsultats, ont t une formidable cole de rigueur. JexprimemagratitudeProf.M.KADJA,ProfesseurlUniversitMentouri- Constantine pour avoir accept de prsider le jury, et aussi davoir autoriserfairedescalculsauseindesonLaboratoiredEnergtique Applique et de Pollution (LEAP) .

Jeveuxexprimermesremerciementauxmembresdejury,Prof.Z. NEMOUCHI,ProfesseurlUniversitMentouri-ConstantineetDr.A. BEGHIDJA,MatredeConfrenceslUniversitMentouri-Constantine pour mavoir fait lhonneur de juger et mettre en valeur ce modeste travail. JeveuxensuiteremercierProf.B.NECIB,entantquedirecteurdu Laboratoire de Mcanique, pour mavoir accueilli et me donner loccasion de travailler et exploiter le code commercial FLUENT 6.0. Mesremerciementssadressentaussitouslesenseignantsdu dpartement de Gnie Mcanique de lUniversit Mentouri - Constantine. A tous, je tiens exprimer mes sincres remerciements. Sommaire IV SOMMAIRE Chapitre I : Introduction .........01 Chapitre II : Modle mathmatique .............15 II.1 Introduction. ......15 II.2 Gomtrie du problme..16 II.3 Hypothses.....19 II.4 Equations gnrales de transport....21 II.4.1 Equation de continuit.......21 II.4.2 Equation de quantit de mouvement.....21 II.4.3Equation dnergie...22 II.5 Formulation des quations de transport en coordonnes cylindriques...22 II.6 Adimentionnalisation......23 II.6.1 Grandeurs caractristiques et variables adimensionnelles.....23 II.6.2 Equations adimensionnelles..25 II.7 Conditions aux limites adimentionnnelles..28 Chapitre III : Modlisation numrique.........29 III.1 Introduction........29 III.2 Equation gnrale de transport...30 III.3 Maillage ..........31 III.4 Discrtisation des quations gnrales de transport ..........33 Sommaire IVIII.4.1 Application dun schma numrique quelconque..36 III.4.1.1 Application du schma Power-Low .......38 III.4.1.2 Application du schma des diffrences centres.........38 III.5 Les mthodes numriques.....43 III.5.1 Mthode itrative de rsolution (Algorithme TDMA)......43 III.5.2 Algorithme SIMPLER...48 III.6 Programme de simulation..........50 III.6.1 Organigramme........50 III.7 La convergence......52 Chapitre IV: Rsultats et discussions.53 IV.1 Effet du maillage........54 IV.2 Validation du code.....56 IV.3 Convection mixte.... ..64 IV.3.1 Ecoulement sans transfert de chaleur (Gr=0).....64 IV.3.2 Ecoulement avec transfert de chaleur (Gr#0).........72 IV.3.2.1 Phnomnologie de lcoulement...72 IV.3.2.2 Nombre de Nusselt.........73 IV.4 Convection naturelle avec et sans champs magntique..........79 IV.4.1 Dbut de linstabilit et dure de calcul..88 IV.4.2 Phnomnologie de lcoulement.91 IV.4.3 Frquences et nergies.........93 Conclusion .......116 Rfrences .......118 Introduction 1 INTRODUCTION Ltudedelcoulementcriparunfondtournantduncylindreasuscitunintrt grandissantdurantlesderniresdcennies.Cetintrtestdictparlerlejoupartelle configurationdansplusieursdomainesdelindustrietelquelesviscosimtres,lesmachines centrifuges,lepompagedesmtauxliquideshautpointdefusion,laproductiondescristaux par le procd de tirage Czochralski, etc. Cetteconfigurationattudieexprimentalementetnumriquementpendantplusde trenteannes.LespremiresexpriencesparVogel [1](1968)etRonnenberg [2](1977)ont montr laspiration et le pompage d'Ekman, induits par ces couches sur le disque tournant, mne la formation d'un noyau concentr sur le long de l'axe de symtrie. Le travail original de Vogel [1] a t prolong par Escudier [3] (1984), qui a effectu une tude exprimentale systmatique. Il a tabli la gamme d'existence du vortex en termes de deux paramtresdecontrle,savoirlerapportdaspectR H ( H :hauteurducylindreetR:son rayon)etlenombredeReynoldsRe.Enparticulier,ilaprouvquelevortexexistesurune gammefiniedesnombresdeReynolds,c--dilapparatau-dessusd'unecertainevaleurdu nombreReetdisparatau-dessusdunevaleurplusgrande.Lesrsultatsd'Escudier [3]ont stimulplusieursinvestigationsnumriquesetexprimentales.Peut-treladiscussionlaplus tendue des phnomnes sont donnes dans une srie des travaux par Lopez et al. [4], [5], [6] (1990a, 1990b, 1992). Ces rsultats sont largement en accord avec les observations d'Escudier [3]. Encore d'autres investigations numriques ont t effectues par Tsitverblit [7] (1993), qui a employ des mthodes de suivie des particules pour prouver que les vortex n'apparaissent pas en critique un point de bifurcation. Introduction 2 Dansdesinvestigationsplusrcentes,lecentredel'attentions'estdplacversdes variantesduproblme original.Celles-ci incluent le transfert de chaleur comme les travaux de Lugt et Abboud [8] (1987), qui ont inclus les effets des gradients thermiques ; et la contre et la co-rotationdesdeuxextrmitsducylindreparJahnkeetValentine [9](1996),Gelfgatetal. [10] (1996)etHyun [11](1985),coulementavecunesurfacelibreparSpohnetal.[12](1993)etla rotationsymtriquedesextrmitsparValentineetJahnke [13](1994).Lacontre-rotationetla Co-rotationdesextrmitsontttrouvquellessupprimentouaugmententrespectivementle vortex. Hyun [11](1985)atudinumriquementlcoulementtournantdansunrcipient cylindrique avec des disques de dessus et de bas tournant diffrents taux (2 1 = , o 1et 2sontlesvitessesderotationdudisquehautetbas,respectivement).Laparoilatraledu cylindretourneuntauxintermdiaireceuxdesdeuxdisques.Alquilibre,lacirculation mridionaleintrieuredominantesedplacedudisquetournantlentementversdisquetournant rapidement. SorensenetPhuocLoc [14] (1989)onttudinumriquementlemmeproblme,en utilisant un algorithme d'ordre lev pour la solution des quations de Navier stokes instables et axisymtriques.Lamthodeutiliseestcelledesdiffrencesfinies,secomposed'une combinaisondequatrimeordrepourlesvitessesetlesfonctionsdecourantetd'arrangements prcisdesecondordrepourlacirculationetlavorticit,olesquationsrapprochessont rsolues par une mthode implicite alternative de direction (ADI). Une particulire attention est prteauxconditionsdefrontire.Lesrsultatssontcomparsauxmesurespourlescasde l'coulementtournantdansuncylindreferm(cavit),dveloppantl'coulementaxialdansun tube stationnaire et dans un tube tournant. LopezetPerry [6](1992)ontemploylathoriedynamiquenon-linairepourdcrirela cinmatiquedel'coulementpourunrapportdaspectR H =2.5.Ilsonttrouvdeuxmodes distinctsd'oscillation,lergimeinstable et l'advection chaotique provoque par les oscillations. Lesrsultatsdecettetudesontemployspourdcrirelesprocessusremplissantetvidantles bullesduvortexBreak-down(clatementtourbillonnaire)observesdansdesexpriencesde visualisation d'coulement. Introduction 3 SorensenetChristensen [15](1994)ontprsentdessimulationsnumriquesd'un coulement dans un cylindre ferm, o le mouvement est cr par un couvercle tournant. Ils ont clarifilesmcanismesdetransitionduvortexpourunegammedunombredeReynolds (Re=1800jusqu8000),etontrelicesderniersauxexpriencesconnuesdansdesautres systmes ou la thorie dynamiques de bifurcation est applique. Gelfgat et al. [10] (1996) ont prsent une recherche numrique sur les tats d'quilibres, le dbut de l'instabilit oscillante, et les tats oscillants lgrement supercritiques d'un coulement tourbillonnaireaxisymtriqued'unfluideincompressibleNewtoniendansuncylindre,avecle dessusetlebasindpendammenttournants.Ilsontconsacrlapremirepartiedeleurtude l'influence de la Co. et la contre-rotation du fond sur le vortex Break-down, qui a lieu dans le problmebienconnudel'coulementdansuncylindreavecundessustournant.Ilsontmontr que la contre-rotation faible du fond peut supprimer le vortex. Une contre-rotation plus forte peut induire un vortex rgulier stable aux nombres relativement grands de Reynolds pour lesquels un vortexn'apparatpasdanslecasdufondstationnaire.Laco-rotationfaiblepeutfavoriserle vortexauxnombresinfrieursdeReynoldsquedanslecylindreaveclefondstationnaire.Une co-rotationplusfortemneaudtachementdelazonederecyclagepartirdel'axeetla formationd'unanneauadditionneldevortex.Ladeuximepartiedel'tudeestconsacrela recherchesurledbutdel'instabilitoscillantedelcoulement.Ilsontmontrquel'instabilit oscillanteestunebifurcationdeHopf.LenombredeReynoldscritiqueetlafrquencecritique des oscillations ont t calculs en fonction du rapport (Haut Bas = ), pour une valeur fixe du rapport daspect du cylindreR H =1.5. L'analyse de stabilit a prouv qu'il y a plusieurs modes linaireslesplusinstables,dontlaperturbationvadevenirsuccessivementdominantavecun changement continue, et ils ont montr aussi que l'instabilit oscillante peut mener lexistence de plus d'une bulle du vortex. Spohnetal. [16](1998)onttudiexprimentalementl'coulementquilibrproduitpar unfondtournantdansunrcipientcylindriqueferm.Ilsontconsacrleurstudesla comparaisondel'coulementl'intrieurdedeuxgomtries,unavecunecouverturerigideet l'autre avec une surface libre, et ils ont examin la manire dont la formation et la structure des bullesduvortexBreak-downdpendentdel'coulement.Desdtailsdel'coulementontt visualissaumoyendelatechniquelectrolytiquedeprcipitation,tandisqu'unetechniquede cheminementdeparticulesatemployepourcaractriserlechampd'coulement.Ilsont constat que les bulles du vortex l'intrieur de l'acheminement des rcipients sont de beaucoup Introduction 4rotatif Disquecylindre du paroi la surfix soudure de Filde manires semblables ceux dans des tubes. D'abord, les bulles sont ouvertes et en second lieu, leurstructureest,commedanslecasduvortexdeBreak-downdansdescoulementsdansles conduites,fortementaxisymtriqueductascendantdelabulleetasymtriquedeleurdos. Cependant,ilsontobservlesbullesquisontouvertesetstationnairesenmmetemps.Ceci montrequelesbullesouvertesduvortexnesontpasncessairementlersultatdesoscillations priodiquesdelazonederecyclage.L'asymtriedelastructured'coulements'avrepourtre liel'existencedessparationsasymtriquesd'coulementsurlaparoidercipient.Sila vitesseangulairedufondtournantestaugmente,l'volutiondesbullesestdiffrentedansles deux configurations: dans le cas rigide de couverture les bulles disparaissent mais persistent dans le cas extrieur libre (Fig.I.1). Figure (I.1) Schma de linstallation [16]. Morten Bron et al. [17] (1999) ont utilis une combinaison de la thorie de bifurcation pour lessystmesdynamiquesbidimensionnelsetlasimulationnumrique.Ilsontdtermin systmatiquementlestopologiespossiblesd'coulementduvortexrgulierdansl'coulement axisymtrique dans un rcipient cylindrique avec la rotation dextrmit. Ils ont trouv pour des valeursfixesdurapportdesvitessesangulairesdescouverclesdanslagammede-0.020.05, Fil de soudure intgrdans le couvercle Couvercle mobile Tube fluorescent d'injection de colorant Introduction 5des bifurcations pour le recyclage des bulles sous la variation de l'allongement du cylindre et du nombredeReynolds.Ilsontdtermindescourbesdebifurcationparunprocdconvenable simple des donnes partir des simulations. Pour le cas du rapport zro de rotation (un couvercle fixe),undiagrammecompletdebifurcationestconstruit.Ilsontobtenueunetrsbonne concordance avec des rsultats exprimentaux et pour des rapports diffrents de zro de rotation, les diagrammes de bifurcation s'avrent pour changer nettement et pour provoquer d'autres types de bifurcations. Stenvensetal. [18](1999)ontprsentunetudeexprimentaleetnumriquecombine sur les tats multiples doscillations qui existent dans les coulements produits dans un cylindre circulaireremplicompltement,conduitparlarotationd'undesescouvercles.L'coulement dansuncylindreavecunrapportdaspect2.5esttudiexprimentalementenutilisantla visualisationd'coulementetlesimagesdigitalisespourextrairel'informationtemporelle quantitative.DessolutionsnumriquesdesquationsaxisymtriquesdeNavierStokes,en utilisant la mthode des diffrences finies ont t employ pour tudier le mme coulement sur une gamme des nombres de Reynolds (2700 < Re < 4400), o ils ont observ que l'coulement est axisymtrique, et ils ont identifi trois tats oscillants, deux d'entre eux sont priodiques et le troisimeestquasi-priodiqueavecunefrquencedemodulationbeaucouppluspetitequela frquencebasse.LagammedeReynoldsestnumrotepourcequel'coulementquasi-priodiqueexisteentrelesdeuxtatspriodiques.Lesrsultatsdel'tudeexprimentaleet numrique combine conviennent qualitativement et quantitativement, fournissant l'vidence non ambigu de l'existence et de la robustesse de ces tats dpendant du temps multiples (Fig.I.2). Figure (I.2) Schma de l'appareil exprimental [18]. Introduction 6 Sotiropoulosetal. [19](2001)onttudilemouvementdesparticulesnondiffusiveset passivesdanslesbullesrguliresduvortexBreak-downdansunrcipientcylindriqueferm avecunfondtournant.Leschampsdevitessesontobtenusenrsolvantnumriquementles quations de Navier stokes tridimensionnelles. Ils ont clarifi le rapport entre la structure diverse desbulles(idales)axisymtriqueduvortexBreak-downetceuxdeschampsrels tridimensionnels dcoulement, ce qui montrent les chemins chaotiques de particules. Gelfgatetal. [20](2001)ontanalysl'instabilittridimensionnelledel'coulement axisymtrique entre un couvercle tournant et lautre fixe dun cylindre. L'coulement est rgi par deux paramtres,savoirle nombrede Reynolds Reet l'allongement A. Ils ont consacr leurs analyses actuelles la stabilit linaire de l'coulement axisymtrique de base et les perturbations non-axisymtriques. Les calculs sont faits en utilisant la mthode globale de Galerkin. L'analyse de stabilit est effectue diverses valeurs de A distribues dans la gamme (1 < A < 3.5). Ils ont montr que les perturbations axisymtriques sont dominantes dans la gamme (1.63 < A 2.76, l'instabilit est tridimensionnelle. Iwatsu [21] (2004)a tudi numriquement l'effet dun gradient stable de temprature sur uncoulementaxisymtriquetourbillonnantconfindansunrcipientcylindriquepourdes paramtres rgissant Re et Ri (Ri = 2Re Gr , Ri est le nombre de Richardson) aux valeurs fixes de Pr =1 et A =1 (A = H/R). Les rsultats intressants sont pour les valeurs intermdiaires de Ri, c--ddanslordreO(10-1),lacirculationmridienneestconcentredanslapartieradialement externeducylindre(R>0,5)etl'coulementseproduisesurlafrontireinfrieure.Plusieurs modles d'coulement sont dvelopps selon les valeurs de Ri et Re. Okulovetal. [22](2005)onttudilacrationdeszonesderecirculationdansun coulementrgulieretvisqueuxdansunecavitcylindriqueavecledessusetlefondCo-tournant.IlsonttudilesrgimesdelcoulementenchangeantlenombredeReynoldset l'allongement du cylindre. Ils ont observ que la topologie des structures du vortex est associe un changement de la symtrie hlicodale des lignes. Les calculs prouvent que les changements de symtrie interviennent augmenter des nombres de Reynolds et que l'inversion d'coulement surl'axecentralestassocieunecroissanceduparamtredetorsiondeslignesdevortex.Ils ont constat pour tous les cas tudis d'coulement, indpendant de lallongement et du nombre de Reynolds, que le paramtre de torsion du vortex central atteint une valeur seuil de 0.6 au point o l'inversion d'coulement a lieu (Fig.I.3). Introduction 7 Figure (I.3). Schmatisation de la Gomtrie tudi [22]. Lobjectifdelapremirepartieconsistetudierlaconvectionmixtedansunecavit cylindrique, remplie compltement deau (voir Fig.II.1), en examinant leffet dun gradient axial de temprature sur la structure dcoulement. Dans cette partie, la paroi infrieure du cylindre est en rotation. Dansdesdiffrentessituationsphysiquesetapplicationstechnologiques,laconvection naturelle joue un rle importantpuisquelle peut tre lorigine des coulements de fluides et des changesdechaleuretoudemasse.Ltudeduntelphnomne,dontlimportanceestdicte parlerlequiljouedansdiverssecteursindustriels,aconduituneimposantebibliographie spcialise qui sest accumule au fur des annes. La littrature montre que la cavit cylindrique est un exemple de configuration extensivement tudi. Les travaux sy rattachent sont en fait si nombreuxetvarisquildevientimpensablede lescitertous.Deplus,malgrcetteabondance apparente, le problme reste loin dtre puis. La poursuite de la recherche se rapportant au cas delacavitcylindriqueapportesouventdesrenseignementsprcieuxetmontrequeles connaissancesdjacquisesrestentloindtresuffisantespourprdirecorrectementltatde lcoulementdefluideetletransfertdechaleurdanstellesconfigurations.Aussi,larecherche actuelletmoigne-t-elledelacarencerelativedestudesserapportantauxfluidesfaible nombredePrandtl(exempledesmtauxliquides),dontlaprsencecouvrediverssecteurs industriels (industries microlectroniques, ..) Introduction 8Cesderniresannesilyaeuunintrtcroissantenamliorantlaqualitexigepar l'industrie du cristal des semi-conducteurs. La performance des dispositifs lectroniques dpend souvent de lhomognit compositionnelle des substrats sur lesquels ils sont fabriqus. Ilatbienconnupendantenvironvingtannesquelemouvementdelaconvection thermique dans le bain fondu joue un rle important, en dterminant le transfert de chaleur et de massependantlesprocessusdesolidification(Mller [23](1988)).Parconsquent,une comprhensiondtailledelcoulementdufluidedansdesconfigurationsdecroissanceen cristal est devenue importante. La convection naturelle dun mtal liquide dans un cylindre auquel un champ magntique estappliqusurgisdanslesprocdsdecroissanceencristaldansl'industriedessemi-conducteurs. En gnral, lhomognit et la qualit des cristaux simples dvelopps dans le bain desemi-conducteurestd'intrtimmensepourlesfabricantsdescomposantslectroniques (Hurle [24]1993).Dansleprocessusdecroissance,legradientdelatempratureentrelaphase liquideetlefrontdesolidificationcauseunecomplexitvariable.Descoulementsoscillants sont connus pour causer des couches runies non dsires de concentration de dopant, appeles les striations, dans le cristal comme dcouvert par Mller et Wiehelm [25] (1964), Hurle [26] (1966) et Utech et al. [27] (1966), qui ont prouv qu'on peut liminer des striations par l'application d'un champmagntique.Lescoulementsdeconvectionpeuventgalementcauserdes inhomognits dans la distribution de dopant un niveau macroscopique. Ceux-ci se nomment sgrgationaxiales'ilsseproduisentlelongdel'axedecroissanceetdelasgrgationradiale s'ils sont dans une perpendiculaire cet axe (Garandet et Alboussiere [28] 1999). La sgrgation radiale peut tre supprime si le cristal est dvelopp dans des conditions purement diffusives, c--denabsencedumouvementdeconvection,commediscutparGarandetetAlboussiere [28] (1999).Parconsquent,afind'obtenirdescristauxdetrsgrandepuretilestsouhaitable d'liminer la convection pendant le processus de croissance (Bessaih et al. [29] (1999) et Bessaih [30] ) Lavoieuniquepoursupprimerlaconvectionestdaccrotrelescristauxdansla micropesanteur et rduire de ce fait les effets de flottabilit mais ceci peut tre prohibitivement cher.Unemthodealternativeestd'attnuerlaconvection,enaccroissantlescristauxen prsence d'un champ magntique (Garandet et Alboussiere [28] (1999) ; Srie et Hurle [31] (1991)). Le mouvement de convection dans le bain du mtal semi-conducteur dans un champ magntique produitdescourantslectriques,cechampayantpourrsultatuneforced'attnuationsur Introduction 9l'coulement. La quantit d'attnuation sur la circulation de la convection dpendra de la force du champ magntique appliqu aussi bien que son orientation. CrespoetBontoux [32](1989)ontsimullescoulementsstationnairestridimensionnels par la technique de diffrence finie dans un cylindre chauff de dessous avec un rapport daspect A = 4. Lasymtrie de base (m=0 ; m est le mode propre) et les modes (m=1 et 2) asymtriques sont identifis dans les solutions. Ils ont valu les modes de l'coulement supercritique par les nombresdeRayleigh(Ra=10RacraunombrePr=6.7etRa=2.5RacraunombrePr=0.02).Ils ontconstatquaufaiblenombredeRayleigh,l'coulementdenoyaumontrelacaractristique du mode m=1 dominant. Aux nombres levs de Rayleigh, les vortex secondaires correspondant aumodem=0apparaissentetsedveloppentdiffremmentproposdelatailleetlagrandeur pour les deux nombres de Prandtl. Gelfgatetal. [33](1993)onttudiexprimentalementlcoulementdunmtalliquide induit par un champ magntique tournant dans un rcipient cylindrique confin. Ils ont dmontr quelcoulementdansunchampmagntiquetournantestsemblableauxcoulements gophysiques,oulefluidetourneuniformmentaveclaprofondeurdontlacouched'Ekman existe.Prsdelaparoiverticale,l'coulementestprsentsousformedunjetconfindont lpaisseurdtermineledbutd'instabilitdansunchampmagntiquetournant.Ilsonttudi aussil'effetdelafrquenceduchampmagntiquesurlefluxdefluide.Unmodlethorique approximatifestprsentpourdcrirelefluxdefluidedansundomainetournantuniforme (Fig.I.4). Figure (I.4) Schmatisation du problme considre [33]. Introduction 10 GelfgatetTanasawa [34](1994)ontappliqulamthodespectraledeGalerkinavecdes fonctions de base pour l'analyse de l'instabilit oscillante des coulements convecteurs dans une cavit rectangulaire (A = 4) latralement chauffe. Ils ont prsent les modles des perturbations lesplusinstablesdelafonctiondecourantetdelatemprature.Lacomparaisonavecd'autres investigationsnumriquesprouvequelamthodedeGalerkinaveclesfonctionsdebaselibres divergentes,quisatisfonttouteslesconditionsdefrontire,abesoindemoinsdemodesque d'autres mthodes utilisant la discrtisation de la rgion d'coulement. BenHadidetHenry [35](1996)onteffectuunerecherchenumriquepourdes coulementstridimensionnelsdumercuredansunecavitcylindriqued'allongementgal4, avecdiffrentesorientationsduchampmagntique.Ilstrouventlabonneconcordanceavecles valuations analytiques de Garandet et al. [36] (1992) et Alboussiere, Garandet et Moreau [37], [38] (1993, 1996) pour l'attnuation des champs de vitesse. Ben Hadid et Henry [39] (1997) ont prolong leur tude une gomtrie rectangulaire, ou ilsincluentdeseffetsdelasurfacelibre.Deschangementsintressantsdelastructure d'coulementsontrapportsetceux-cisemblenttrelistroitementladistributiondes courants induits et de leur interaction avec le champ magntique appliqu. Gelfgatetal. [40](1997)ontprsentunetudenumriquesurl'instabilitoscillantedes coulementsencavitsrectangulaireslatralementchauffes.Ilsonttudiladpendancedu nombreGrashofcritique(crGr )etlafrquencecritique(crF )desoscillationssurl'allongement delacavit(A).Ilsontobtenuelesdiagrammesdestabilitpourl'intervalleentierde l'allongement 1 < A < 10. L'tude a t effectue pour deux valeurs du nombre de Prandtl (Pr =0 et 0.015). Ils ont constat que l'instabilit est provoque par diffrentes perturbations dominantes infiniment petites, qui signifie que le transfert de chaleur convectif affecte fortement la stabilit del'coulementmmepourdescasfaiblenombredePrandtl.Aucuncomportement asymptotiquepourdegrandsallongementsn'attrouvjusqu'A=10.Descoulements oscillants lgrement supercritiques ont t rapprochs asymptotiquement au moyen de l'analyse faiblement non-linaire de la bifurcation calcule. Gelfgatetal. [41](1999)ontfaitunetudeparamtriquedestatsd'quilibresmultiples, deleursstabilits,dudbutdel'instabilitoscillante,etdequelquesrgimesinstables supercritiquesd'coulementd'unfluideencavitsrectangulaireslatralementchauffes.Une Introduction 11tude complte de stabilit est ralise pour l'allongement A de la cavit variant de 1 11 et pour deuxvaleursfixesdunombredePrandtl(Pr=0et0.015).Ilsonteffectuaussiunetude additionnelledestabilitpourunemeilleurecomparaisonaveclesdonnesexprimentales existantes,pourunnombredePrandtl(0.015Pr0.03)etunevaleurfixedel'allongement 4 = A .IlsontmontrqueladpendancedunombrecritiquedeGrashoflgardde l'allongementetdunombredePrandtlesttrscompliqueetunetudeparamtriquetrs dtailleestexigepourlareproduirecorrectement.Lacomparaisonaveclesdonnes exprimentalesdisponiblespourA=4prouvequelesrsultatsd'uneanalysebidimensionnelle destabilitsontenbonaccordaveclesrsultatsexprimentauxsilerapportdelargeur (largeur/hauteur) du rcipient est suffisamment grand. L'tude est effectue numriquement avec l'utilisationdedeuxapprochesnumriquesindpendantes,basessurlesmthodesglobalesde Galerkin et des volumes finis. Gelfgatetal. [42](2000)ontprsentunetudenumriquedel'instabilit tridimensionnelled'uncoulementaxisymtriqueassocielacroissanceducristal.Leur objectifprincipalestlecalculdesparamtrescritiquescorrespondantaunetransitionde l'asymtrie rgulier au modle non-axisymtrique tridimensionnel d'coulement. Ils ont effectu une tude paramtrique de la dpendance du nombre critique crGr lgard le nombre de Prandtl 0 < Pr < 0.05 (caractristique des semi-conducteurs) et l'allongement du cylindre 1 < A < 4. La dpendancefortedunombrecritiquedeGrashofetlapriodicitazimutaledel'coulement tridimensionnel rsultant indiquent l'importance d'une analyse paramtrique complte de stabilit dansdiffrentesconfigurationsdecroissanceencristal.Enparticulier,ilsontmontrquela premire instabilit de l'coulement considr est toujours tridimensionnelle. Gelfgatetal. [43](2001)ontfaitunetudedel'effetd'unchampmagntique extrieurementimpossurl'instabilitd'uncoulementaxisymtriquedeconvectionnaturelle, associelacroissanceduvolumeduncristalfondu.Ilsontconsidrlaconvectiondansun cylindreverticalavecunprofildetempratureparaboliquesurlaparoilatralecommemodle reprsentatif.Ilsonteffectuunetudeparamtriquedeladpendancedunombrecritiquede Grashof CrGr lgard du nombre de HartmannHapour des valeurs fixes du nombre de Prandtl (Pr =0.015) et de l'allongement du cylindre (A =1, 2 et 3). Ils ont obtenu le diagramme( ) Ha GrCr destabilitcorrespondantlatransitiontridimensionnelleaxisymtriquepourdesvaleurs croissantes du champ magntique axial. Ils ont montr qu'aux valeurs relativement petites de Ha , l'coulementaxisymtriquetendtreinstableoscillantetsilintensitduchampmagntique ( Ha )estimportanteetdpasseunecertainevaleur,l'instabilitcauseparlemcanismede Introduction 12Rayleigh-Bnard commute une bifurcation rgulire. Ainsi pour la configuration la plus petite, la stabilisation est considrablement plus forte que dans la plus grande (Fig.I.5). Figure (I.5). La variation du nombre de Grashof critique GrCr en fonctiondu nombre de Hartmann Ha [43]. Gelfgatetal. [44](2001)ontconsacreleurtudeauproblmedudbutdel'instabilit oscillantedansl'coulementd'unfluidesemi-conducteursousunchampmagntiqueuniforme extrieurementimposetindpendantdutemps.Ilsontconsidrdesvaleursfixesde l'allongementA=4etdunombredePrandtlPr=0.015,quisontassociesauprocessusde croissanceencristaldelaconfigurationhorizontaledeBridgman.Ilsonttudil'effetd'un champmagntiqueuniformeavecdiffrentesgrandeursetorientationssurlastabilitdes coulements d'tat d'quilibre (avec une cellule ou un modle de deux cellules). Les diagrammes de stabilit prsents montrant la dpendance du nombre critique de Grashof lgard du nombre deHartmann.Ilsontmontrqu'unchampmagntiqueverticalfournitl'effetdestabilisationle plus fort, et que la multiplicit d'tats d'quilibres est supprime par l'effet lectromagntique, de sortequ'uncertainniveaudechampseulementlescoulementsunicellulairesdemeurent stables.Uneanalysedesperturbationsd'coulementlesplusdangereusesprouveque,en commenantparunecertainevaleurdunombredeHartmann,descoulementsunicellulaires sont dstabiliss l'intrieur des couches de frontire minces de Hartmann. Ceci peut mener la dstabilisation de l'coulement avec une augmentation de la grandeur du champ (Fig.I.6). Introduction 13 Figure (I.6) : La gomtrie et les conditions aux limites utilises [44]. Wakitani [45] (2001) a prsent des investigations numriques pour la convection naturelle tridimensionnelleauxfaiblesnombresdePrandtl(00.027)dansdesenceintesrectangulaires aveclesparoisverticalesdiffrentiellementchauffes.Descalculssonteffectuspourdes allongements des enceintes2 et 4, et les rapports de largeur s'tendant de 0.5 4.2 (Fig.I.7) Figure (I.7): La gomtrie de lenceinte et les coordonnes du systme [45]. Leong [46](2002)aprsentunetudenumriquedelaconvectiontridimensionnellede Rayleigh-Bnarddansuncylindrevertical.Lesquationsdetransportd'nergieetdevorticit sont rsolues en utilisant la mthode ADI. Des solutions sont prsentes pour des allongements de2et4,unnombredePrandtlPr=7,etlenombredeRayleigh12Ra37500.Untat conducteur (aucun mouvement) existe quand Ra RaCr= 1860.Pour le RaCr > Ra, il y a quatre typesprincipauxdestructuresd'coulement,cesontlesroulantsconcentriques,radiaux, parallles. Il a constat que le nombre de Nusselt dpend sur la structure d'coulement. Introduction 14NotredeuximeobjectifestdedterminerlesnombresdeGrashofcritiques(CrGr ) associsauxnombresdeHartmannetdevoirleffetduchampmagntiquesurlastabilit hydrodynamique et thermique. Le mmoire est divis en quatre chapitres. Dans le premier chapitre, nous avons prsent unerecherchebibliographiquedelcoulementtournantsetlcoulementMHDsurles diffrentes tudes ralises dans ce sens pour des configurations varies. Dans le second chapitre, nous dtaillons le modle mathmatique et la gomtrie utilise. Dans le troisime chapitre, nous exposons la solution numrique, savoir, le maillage, les quationsdediscrtisationdesquationsquigouvernentnotreproblmeetlamthode numrique utilise. Dansledenierchapitre,enpremierlieu,nousvalidonsnotrecodedecalculetnous discutons et interprtons les rsultats obtenus. Chapitre IIModle mathmatique 15 CHAPITRE II MODELE MATHEMATIQUE II.1 Introduction : La convection est un mode de transport dnergie par laction combine de la conduction, delaccumulationdelnergieetdumouvementdumilieu.Laconvectionestlemcanismele plus important de transfert dnergie entre une surface solide et un liquide ou un gaz. Le transfert dnergieparconvectiondunesurfacedontlatempratureestsuprieurecelledufluidequi lentoure seffectue en plusieurs tapes. Dabord la chaleur scoule par conduction de la surface aux molcules du fluide adjacentes. Lnergie ainsi transmise sert augmenter la temprature et lnergieinternedecesmolculesdufluide.Ensuite,lesmolculesvontsemlangeravec dautresmolculessituesdansunergionbassetempratureettransfrerunepartiedeleur nergie.Danscecas,lcoulementtransportelefluideetlnergie.Lnergieest,prsent, emmagasine dans les molcules du fluide et elle est transporte sous leffet de leur mouvement. Latransmissiondechaleurparconvectionestdsigne,selonlemodedcoulementdu fluide, par convection libre, convection force et par la combinaison des deux (convection mixte). Convection naturelle : Lefluideestmisenmouvementsousleseuleffetdesdiffrencesdemassevolumique rsultantes des diffrences de tempratures sur les frontires et dun champ de forces extrieures (la pesanteur). Convection force : Le mouvementdufluideestinduitparunecauseindpendantedesdiffrencesde temprature (pompe, ventilateur, ..)Chapitre IIModle mathmatique 16 Convection mixte : La convection mixte est un rgime dchange dans lequel les phnomnes de convection force coexistent avec ceux de convection libre. II.2 Gomtrie du problme : Lagomtrieconsidreestschmatisesurlafigure(II.1).Ilsagitduneenceinte cylindrique remplie compltement deau ( 7 Pr = ), ayant une hauteurHet un rayon cr(avec un rapport daspect2 / =cr H) . Le cylindre contient deux disques aux extrmits, dont le font est enrotationavecunevitesseangulaire constanteetmaintenulatemprature HT,etlautre estfixeetmaintenulatemprature CT ( )H CT T p .Lesparoislatralesducylindresont supposes adiabatiques. Dansladeuximeconfiguration(Fig.II.2),ledisquedufondestfixetlcoulement dunmtalliquide(faiblenombredePrandtl,015 . 0 Pr = )estsoumisunchampmagntique extrieur dintensit B , orient verticalement. Chapitre IIModle mathmatique 17re adiabatiqulatrale Paroi( ) rotation de Vitesse Figure (II.1) : Gomtrie et conditions aux limites du premier problme, o H est la hauteur du cylindre et crson rayon. Dans ce cas( )H CT T p . crHCTHT0 =rTzfroidfixe Disquechaudtournant Disquecalcul de DomaineChapitre IIModle mathmatique 18re adiabatiqulatrale Paroi( ) magntique Champ Figure (II.2) : Gomtrie et conditions aux limites du deuxime problme. Les points P1 (25,10), P2 (25,50), P3 (25,80), P4 (12,50), P5 (38,50) sont les sondes de dtection des instabilits hydrodynamique et thermique. Dans ce cas aussi,H est la hauteur du cylindreet crson rayon et( )H CT T pavec : P1 (25,10) correspond RP = 0.450, ZP = 0.049 P2 (25,50) correspond RP = 0.450, ZP = 0.923 P3 (25,80) correspond RP = 0.450 , ZP = 1.822 P4 (12,50) correspond RP = 0.140, ZP = 0.922 P5 (38,50) correspond RP = 0.804, ZP = 0.922 BCTHT0 =rTHcrzfroidDisquechaudDisquecalcul de Domaine1 P2 P4 P3 P5 PChapitre IIModle mathmatique 19 II.3 Hypothses : Convection mixte : Pourlamodlisationduproblmephysiquedcritdanslafigure(II.1),nousadopterons les hypothses simplificatrices suivantes : 1.Ecoulement laminaire et axisymtrique avec swirl. 2.Les proprits physiques du fluide( Cp , , etK ) sont supposes constantes. 3.La dissipation visqueuse est ngligeable ( 0 = ), et pas de source de chaleur ( 0 = q&). 4.Lapproximation de Boussinesq est valide, celle-ci consiste considrer les variations de masse volumique sont ngligeables au niveau de tous les termes des quations de quantit demouvement(0 = ),saufauniveaudutermedegravit.Lavariationdelamasse volumique en fonction de la temprature est donne par (Bejan [47]): ( ) ( )0 01 T T = (II.1) 0: la masse volumique du fluide la temprature de rfrence 0T . : le coefficient dexpansion pression constante. Convection naturelle avec et sans champs magntique Danslecasdelapplicationduchampmagntiqueverticalesurlcoulement(Fig.II.2), onajoutelesdfinitionssuivantesproposducourantlectrique jretlesforces lectromagntiquesEMFr dans les quations de quantit de mouvement : Lquation du courant lectrique jr est obtenue par lapplication de la loi dOhm : | | B V jr r r + = (II.2) Chapitre IIModle mathmatique 20 o jr : le vecteur de densit de courant . Vr : le vecteur de vitesse (z re V e U Vr rr+ = ). Br : le vecteur du champ magntique. : la conductivit lectrique du fluide. : le potentiel lectrique. Dautrepart,ladensitdecourantlectriquejrestunegrandeurconservativecequi permet dcrire : 0 .= jr (II.3) Dans les quations de quantit de mouvement, EMZ EMrF F ,reprsentent respectivement les composantes de la force de Lorentz EMFr suivant la direction r et Z. Celles-ci sont dduites de lquation : B j FEMr r r =(II.4) Par ailleurs les frontires sont lectriquement isolantes, donc le potentiel lectrique est constant, ce qui permet finalement dcrire les expressions dejret EMFr par : | | B V jr r r =(II.5) | | B B V FEMr r r r = (II.6) 1.Leffet joule est ngligeable. 2.LechampsmagntiqueinduitestngligeableparcequelenombredeReynolds magntique qui est dfini par : C mr u R 0= 1 pp(II.7) 3.Le mtal liquide est non magntis parce que la permabilit magntique 1 =m . Chapitre IIModle mathmatique 21 II.4 Equations gnrales de transport : Lesystmedquationquigouvernelesphnomnesdelaconvectionmixteetla convection naturelle avec et sans champs magntique est le suivant: II.4.1 Equation de continuit : Elle dduite du principe de conservation de masseetsexprimemathmatiquementsous forme tensorielle comme suit : ( ) 0 =+jjux t (II.8) ( j = 1~3, indice de sommation). Pour un fluide Newtonien incompressible ( = constante), lquation (II.8) se rduit : 0 =jjxu (II.9) II.4.2 Equations de quantit de mouvement : Elles sont obtenues par lapplication de la deuxime loi de la dynamique une particule de fluidepassanttraversunvolumedecontrleinfinitsimal.Ellesscriventsousforme tensorielle comme suit : ( ) ( )(((

||.|

\|++ =+ijjij ii ijj ixuxux xpF uxu ut (II.10) (j = 1~3, indice libre). o : : La masse volumique du fluide. : La viscosit dynamique du fluide. iF: Les forces de volume. P: La pression. Chapitre IIModle mathmatique 22

Cettequation(II.10)reprsentelaconservationdequantitdemouvement(quationde Navier-Sokes) dun fluide visqueux, incompressible pour un rgime laminaire instationnaire. II.4.3 Equation dnergie : Elleestobtenueparlapplicationdupremierprincipedelathermodynamique.Cette quation pour un fluide Newtonien incompressible, scrit sous la forme suivante: ( )22jjjxTT ux tT=+(II.11) o: pCK = : La diffusivit thermique. K: La conductivit thermique. PC: La chaleur spcifique pression constante. II.5 Formulation des quations de transport en coordonnes cylindriques : Les quations gnrales (sauf lquation de quantit de mouvement suivant ) gouvernant lcoulement et le transfert de chaleur pour les deux cas tudis sont : Equation de continuit :

( ) 01=+zvu rr r (II.12) Equation de quantit de mouvement suivantr: ( ) ( )r EMfruzururr r rprwu vzu rr r tu+||.|

\|+||.|

\|+ =||.|

\|++2 22 221 1 (II.13) Equation de quantit de mouvement suivantz: Chapitre IIModle mathmatique 23 ( ) ( ) ( )EMz Cf T T gzvrvrr r zpvzv u rr r tv+ +||.|

\|+||.|

\|+ =||.|

\|++ 2221 1 (II.14) Equation de quantit de mouvement suivant : ( ) ( )||.|

\|+||.|

\|=||.|

\|+++2 221 1rwzwrwrr r rw uw vzw u rr r tw (II.15)

Equation dnergie : ( ) ( )||.|

\|+||.|

\|=++221 1zTrTrr rT vzT u rr r tT(II.16) o w v u , ,reprsententrespectivementlescomposantesdelavitesseradiale,axialeetazimutale selon les directions ( , , z r ). gest lacclration de la pesanteur. II.6 Adimensionnalisation Lemploiedelavariableadimensionnellepermetdexprimerlaralitdesphnomnes physiquesindpendammentdessystmesdemesures,pourpermettredavoirdesinformations gnralises une varit des problmes ayant les mmes grandeurs de coefficient de similitudes dun cot, et dun autre cot, rduire le nombre de paramtres dun problme. En effet, pour faire apparatrelesparamtresdecontrleduproblmetudi,ilestncessairedintroduireles grandeurs de rfrence. II.6.1 Grandeurs caractristiques et variables adimensionnelles Ondfinitlesgrandeurscaractristiquesintroduitesdansnosquationsdumodle mathmatique comme suit : Chapitre IIModle mathmatique 24 Convection mixte : 1 : Temps caractristique [s]. cr :Rayon caractristique [m]. cr . : Vitesse caractristique [m. s-1]. ( )2.cr :Pression caractristique [N. m-2]. C HT T :Temprature caractristique [K]. Les variables adimensionnelles sont : ( ) = 1 t cr r R / =;cr z Z / = ( )cr u U . / = ;( )cr v V . / =; ( )cr w W . / = ( )2. /cr p P = C HCT TT T= Convection naturelle avec et sans champs magntique 2cr : Temps caractristique [s]. cr:Rayon caractristique [m]. cr : Vitesse caractristique [m. s-1]. ( )2cr :Pression caractristique [N. m-2]. C HT T :Temprature caractristique [K]. Les variables adimensionnelles sont : 2crt =Chapitre IIModle mathmatique 25 cr r R / =;cr z Z / =||.|

\|=cru U/ ; ||.|

\|=crv V/ 2/||.|

\|=Crp PC HCT TT T= II.6.2 Equations adimensionnelles Lesquationsgnralesadimentionnellesdecontinuit,dequantitsdemouvement,et dnergiequigouvernentlesdeuxconfigurations(casdelaconvectionmixteetnaturelle) scrivent alors : Equation de continuit : ( ) 01=+ZVU RR R (II.17) Equations de quantits de mouvement : ( ) ( )EMrFRUZURURR R RPRWU VZU RR RU22 2212321Re1 1 +||.|

\|+ |.|

\|+ = ++ (II.18) ( ) ( )EMzFGrZVRVRR R ZPVZV U RR RV2 2212212Re1Re1 1 + +||.|

\|+|.|

\|+ =++(II.19)( ) ( )||.|

\|+|.|

\|= +++2 221Re1 1RWZWRWRR R RW UW VZW U RR RW(II.20) Equation dnergie : Chapitre IIModle mathmatique 26 ( ) ( )||.|

\|+ |.|

\|=++2211Pr . Re1 1Z RRR RVZU RR R (II.21) avec : 1 , 2et 3desconstantesquicaractriselecastudi(convectionmixteouconvection naturelle). II.6.2.1 Cas de la convection mixte(on pose : 11 = ,02 = et13 = ) : ( ) 01=+ZVU RR R (II.22) ( ) ( )||.|

\|+|.|

\|+ = ++2 22 221Re1 1RUZURURR R RPRWU VZU RR RU(II.23) ( ) ( )RiZVRVRR R ZPVZV U RR RV+||.|

\|+|.|

\|+ =++2221Re1 1 (II.24) ( ) ( )||.|

\|+|.|

\|= +++2 221Re1 1RWZWRWRR R RW UW VZW U RR RW(II.25) ( ) ( )||.|

\|+ |.|

\|=++221Pr . Re1 1Z RRR RVZU RR R (II.26) Pourcecas,onachoisilavaleurde 2010 = pourngligerletermetransitoiredansles quations ( 0 =), et avoir un rgime permanant. avec : = Pr (nombre de Prandtl). 2ReGrRi =(nombre de Richardson). Chapitre IIModle mathmatique 272.Recr =(nombre de Reynolds). ( )23.C C Hr T T B gGr= (nombre de Grashof). avec : : La viscosit cinmatique du fluide. et( )C HT T est la diffrence de temprature entre la paroi chaude et la paroi froide du cylindre. II.6.2.2Casdelaconvectionnaturelleavecetsanschampsmagntique(onpose : Re1 = , 12 = et03 = ) : ( ) 0 .1=+ZVU RR R (II.27) ( ) ( )EMrFRUZURURR R RPU VZU RR RU+||.|

\|+ |.|

\|+ =++2 2221. .1(II.28) ( ) ( )EMzF GrZVRVRR R ZPVZV U RR RV+ +||.|

\|+|.|

\|+ =++.1. .1222(II.29) O EMrF et EMzFreprsententrespectivementlesforcesdeLorentzadimensionnellessuivantles directions R et Z: U Ha FEMr.2 = 0 =EMzF o : HaestlenombredeHartmann cr B Ha = ,quireprsentelerapportdesforces lectromagntiques aux forces des viscosits. est la conductivit lectrique du fluide. et B est lintensit du champ magntique. Chapitre IIModle mathmatique 28 ( ) ( )||.|

\|+ |.|

\|=++221Pr1. . .1Z RRR RVZU RR R (II.30) II.7 Conditions initiales et aux limites : Cas de la convection mixte : 0 = R:0 == =RVW U,0 =R axe de symtrie 1 = R : 0 = = = V W U,0 =R paroi latrale adiabatique 0 = Z : 0 = = V U , CrrR W = = ( 0 2000laugmentationdelavitesseest Chapitre IV Rsultats et discussions 73clairementnette.Donc,laugmentationdeGrmneladisparitiondelclatement tourbillonnaire. Les remarques concernant lattnuation du vortex pour le nombre de Reynolds Re=1492 , qelle se fait des nombres de Grashof plus petits que pour le nombre de Reynolds Re=1854 cause de volume du vortex, qui est plus important dans ce dernier ce qui demande un gradient de temprature plus grand. Les figures (IV.25 et 26) montrent la distribution de la temprature dans lenceinte pour Re =1492 et 1854. Au dessus du disque tournant, les particules du fluide reoivent de la chaleur et en mme temps sont dplaces vers la paroi latrale. Le long de cette paroi, ces particules se dplacentverslaparoisuprieureducylindreenformantunjetparitalchaud.Laparoi suprieure est froide ce qui favorise lchange de chaleur en refroidissant ces particules. Le long delaparoisuprieure,lefluiderefroidisestconvectradialementjusqulaxedesymtrie. Lexamendecescourbesmontrequlaxedesymtrie,lesisothermessontperpendiculaires pourdesfaiblesnombresdeGrashof(Gr=100~10000).Lorsque,nousaugmentonslenombre deGrashofde1000050000,cesisothermesdeviennentdeplusenplusparallles approximativementcetaxe.Nouspouvonsreliercettedformationlaugmentationdela vitesse axiale. Ce qui engendre une forte intensit du dbit de lcoulement qui favorise laspect convectif dans cette rgion. En examinant la variation de la temprature en fonction de Z R =0.5 pour Re =1854 et pourdesdiffrentsnombresdeGrashofillustredanslafigure(IV.27),nousconstatonsun gradient de temprature leve prs des disques suprieur et infrieur, ce qui engendre dans ces rgions un change meilleur de la chaleur. Par contre, dans le milieu de lenceinte lchange est faible. IV.3.2.2 Nombre de Nusselt Le nombre de Nusselt local est dfinit par le rapport entre le flux total de la chaleur (d laconvectionetdladiffusion)etlefluxcaractristiquedediffusionlaparoi.Cenombre caractrise limportance des changes thermiques par convection. Il est dfinit comme suit : = Nu0 =zz(disque infrieur chaud) Chapitre IV Rsultats et discussions 74= Nu = Cr H zz= (disque suprieur froid) Les figures (IV.26(a), (b), (c), (d), (e) et (f) ) montrent la variation du nombre de Nusselt localenfonctiondeladistanceadimensionnelleRlelongdesdisquessuprieur(froid)et infrieur (chaud), pour Re = 1492 et pour des diffrents nombres de Grashof. Nous remarquons daprs ces figures, que la variation du nombre de Nusselt local le long du disque tournant chaud pour des diffrents nombres de Grashof Gr est dcroissante. Cette variation prsente une valeur maximalelaxedesymtrie(R=0)etunevaleurminimaleR=1(paroilatrale).Ceciest expliqu par le courant du fluide refroidi descendant laxe de symtrie qui rencontre au bas un disquechaud,cequifavorisedanscettergionunchangedechaleurplusimportantpar convection. Cette valeur maximale R =0 augmente dune faon similaire avec laugmentation du nombre de Grashof Gr.La valeur minimale de Nusselt local R =1, est due la diminution du transfert de chaleur par convection entre le fluide qui a pris de la chaleur et qui est convect radialement au dessus du disque tournant chaud par leffet centrifuge le long de ce disque.AproposdelavariationdunombredeNusseltlelongdudisquesuprieurfroid,nous remarquonsquecettecourbepasseparunevaleurmaximalepourlesdiffrentsnombresde Grashof.CeprofilestcaractrispardeuxvaleursminimalesR=0et1.Lapremireestle rsultat de la diminution du transfert de chaleur par convection entre la paroi froide et le fluide, qui a t dj refroidi le long de cette paroi. La deuxime est lie au point de coin qui constitue une zone de recirculation (Fig.IV.20 et 21) lorsque nous augmentons le nombre de Grashof. Ce quidonnepourcettezoneunealluretrsimportante.Decefait,lanaissancedespointsde stagnation(vitessenulle)auborddecettezonederecirculationengendreunediminutiondu transfertdechaleurpar convection,etparconsquent,laconductioncespointsestdanscette zone est dominante. Chapitre IV Rsultats et discussions 75 Gr =100Gr =1000Gr =5000 max =8.28810-3

max =8.28510-3

max =8.27310-3

min =-2.27610-7 min =-2.48910-7 min =-3.81210-7 Gr =10000 Gr =20000 Gr =50000

max =8.26010-3 max =8.24210-3

max =8.24210-3 min =-7.75810-7

min =-3.18810-7 min =-4.17610-4 Figure (IV.20) : Contours de fonctions de courant pourRe = 1492 et pour diffrent nombre de Grashof : Gr = 102, 103, 5103, 104, 2104 et 5104. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0ZChapitre IV Rsultats et discussions 76 Gr =100Gr =1000 Gr =10000

max =7.77810-3 max =7.77810-3

max =7.77110-3 min =-4.68710-5

min =-4.39210-5 min =-1.53510-5 Gr =20000 Gr =30000Gr =50000

max =7.76310-3 max =7.75510-3

max =7.74110-3 min =-1.17310-6

min =-2.97510-6 min =-1.38410-5 Figure (IV.21) : Contours de fonctions de courant pourRe = 1854et pour diffrents nombres de Grashof : Gr = 102, 103, 104, 2104, 3104 et 5104. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0ZChapitre IV Rsultats et discussions 77RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00 Gr =100 Gr =1000 Gr =5000 Gr =10000Gr =20000 Gr =50000 Figure (IV.22) : Vecteurs de vitesses pourRe = 1492 et pour diffrents nombres de Grashof : Gr = 102, 103, 5103, 104, 2104 et 5104. RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00Chapitre IV Rsultats et discussions 78RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00 Gr =100 Gr =1000Gr =10000 Gr =20000 Gr =30000Gr =50000 Figure (IV.23) : Vecteurs de vitesses pourRe = 1854et pour diffrents nombres de Grashof : Gr = 102, 103, 104, 2104, 3104 et 5104. RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00Chapitre IV Rsultats et discussions 79 (a) (b) Figure (IV.24): Variation de la vitesse axiale en fonction de Z le long de laxe de symtrie (R =0),pour Re = 1492 et 1854 et pour des diffrents nombres de Grashof Gr. 0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,0-0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05Re = 1492Gr = 0Gr = 100Gr = 1000Gr = 5000Gr = 10000Gr = 20000Gr = 50000VZ0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,0-0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05Re = 1854Gr = 0Gr = 100Gr = 1000Gr = 10000Gr = 20000Gr = 30000Gr = 50000VZChapitre IV Rsultats et discussions 80 Gr =100Gr =1000 Gr =5000 Gr =10000Gr =20000 Gr =50000 Figure (IV.25) : Isothermes pourRe = 1492 et pour diffrents nombres de Grashof :Gr = 102, 103, 5103, 104, 2104 et 5104. Notons que :1max = ,0min = et1max = et05 . 0 = 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00Chapitre IV Rsultats et discussions 810.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00 Gr =100 Gr =1000 Gr =10000 Gr =20000Gr =30000Gr =50000 Figure (IV.26) : Isothermes pourRe = 1854et pour diffrents nombres de Grashof :Gr = 102, 103, 104 , 2104, 3104 et 5104, 1max = ,0min = et1max = et05 . 0 = 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00Chapitre IV Rsultats et discussions 820,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,00,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Gr = 100Z0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,00,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Gr = 1000Z0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,00,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Gr = 10000Z0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,00,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Gr = 20000Z0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,00,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Gr = 30000Z0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,00,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Gr = 50000Z (a)(b)

(c)(d) (e)(f) Figure (IV.27) : Variation de la temprature adimensionnelle en fonction de Z R =0.5pour Re = 1854 et pour diffrents nombres de Grashof: Gr = 0 (a), 102 (b), 103 (c), 104 (d), 2104 (e), 3104 (f) et 5104 (g). Chapitre IV Rsultats et discussions 83 Gr =100 Gr =1000 Gr =5000 Gr =10000 Gr =20000 Gr =50000 Figure (IV.28) : Champs de pression adimensionnelle pourRe = 1492et pour diffrents nombres de Grashof : Gr = 102, 103, 5103, 104, 2104 et 5104. RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P4.05E-023.70E-023.35E-023.00E-022.66E-022.31E-021.96E-021.61E-021.26E-029.17E-035.69E-033.39E-032.21E-031.27E-033.89E-05-1.27E-03-3.00E-03-4.14E-03-4.75E-03-5.44E-03-6.08E-03-6.28E-03-6.42E-03-6.69E-03-8.22E-03-1.07E-02RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P4.01E-023.67E-023.32E-022.97E-022.62E-022.28E-021.93E-021.58E-021.24E-028.88E-035.40E-033.46E-031.93E-033.35E-04-1.54E-03-3.03E-03-4.31E-03-5.02E-03-5.76E-03-6.31E-03-6.60E-03-7.17E-03-8.49E-03-1.06E-02RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P3.68E-023.34E-023.00E-022.66E-022.31E-021.97E-021.63E-021.29E-029.43E-036.00E-033.84E-032.58E-031.05E-03-8.46E-04-2.12E-03-4.27E-03-5.50E-03-6.28E-03-7.03E-03-7.44E-03-7.71E-03-8.07E-03-8.53E-03-1.11E-02-1.38E-02RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P2.29E-021.99E-021.86E-021.69E-021.39E-021.09E-027.93E-034.95E-031.96E-03-1.02E-03-4.00E-03-6.99E-03-9.97E-03-1.30E-02-1.44E-02-1.59E-02-1.72E-02-1.89E-02-1.99E-02-2.07E-02-2.14E-02RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P3.86E-023.52E-023.17E-022.83E-022.48E-022.14E-021.79E-021.45E-021.10E-027.57E-034.12E-032.52E-036.65E-04-1.32E-03-2.79E-03-4.45E-03-5.47E-03-6.24E-03-6.64E-03-6.94E-03-7.71E-03-9.69E-03-1.19E-02RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P3.33E-022.99E-022.66E-022.33E-021.99E-021.66E-021.32E-029.87E-038.75E-037.61E-036.52E-034.70E-033.18E-031.40E-03-1.68E-04-3.51E-03-5.39E-03-6.86E-03-7.81E-03-8.43E-03-9.20E-03-9.95E-03-1.09E-02-1.36E-02-1.61E-02Chapitre IV Rsultats et discussions 84RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P3.22E-022.90E-022.59E-022.28E-021.97E-021.66E-021.35E-021.04E-029.13E-038.23E-037.25E-036.18E-034.14E-033.38E-031.03E-03-2.08E-03-3.44E-03-5.19E-03-6.17E-03-6.75E-03-7.66E-03-8.31E-03-9.03E-03-9.75E-03-1.04E-02-1.12E-02-1.37E-02RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P2.76E-022.46E-022.15E-021.84E-021.53E-021.23E-029.20E-036.13E-033.06E-03-1.79E-05-3.09E-03-6.16E-03-9.24E-03-1.11E-02-1.23E-02-1.37E-02-1.45E-02-1.50E-02-1.54E-02 Gr =100 Gr =1000Gr =10000

Gr =20000 Gr =30000Gr =50000 Figure (IV.29) : Champs de pression adimensionnelle pourRe = 1854et pour diffrents nombres de Grashof : Gr = 102, 103, 104, 2104, 3104 et 5104. RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P3.96E-023.70E-023.44E-023.18E-022.92E-022.66E-022.40E-022.14E-021.88E-021.62E-021.37E-021.11E-028.47E-035.88E-033.29E-032.39E-037.04E-04-4.29E-04-1.89E-03-3.05E-03-4.48E-03-5.67E-03-6.32E-03-6.66E-03-6.87E-03-7.07E-03-7.59E-03-8.72E-03RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P3.87E-023.55E-023.22E-022.90E-022.58E-022.25E-021.93E-021.61E-021.29E-029.63E-036.40E-034.65E-033.16E-032.60E-03-6.61E-05-1.43E-03-2.53E-03-3.30E-03-4.11E-03-4.67E-03-5.63E-03-6.40E-03-6.82E-03-7.04E-03-7.34E-03-8.10E-03-8.60E-03-9.62E-03RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P3.44E-023.12E-022.81E-022.50E-022.18E-021.87E-021.56E-021.24E-029.28E-036.14E-035.52E-034.65E-033.00E-03-1.33E-04-3.27E-03-4.83E-03-5.56E-03-6.41E-03-7.06E-03-7.71E-03-8.18E-03-8.66E-03-9.18E-03-1.05E-02-1.13E-02-1.24E-02RZ0 0.25 0.5 0.75 100.250.50.7511.251.51.752P3.66E-023.34E-023.03E-022.71E-022.39E-022.07E-021.76E-021.44E-021.12E-028.05E-034.88E-033.70E-031.71E-03-1.47E-03-3.15E-03-4.64E-03-5.59E-03-6.20E-03-6.64E-03-6.91E-03-7.29E-03-7.82E-03-8.08E-03-9.97E-03Chapitre IV Rsultats et discussions 850,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00510152025Gr = 100Disque infrieur (chaud)Disque suprieur (froid)Nusselt local, NuR0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00510152025Gr = 1000Disque infrieur (chaud)Disque suprieur (froid)Nusselt local, NuR (a) (b) Figure (IV.30): Variation du nombre de Nusselt local du disque suprieur et infrieur le long de R, pour Re =1492, et pour diffrents nombres de Grashof :Gr = 102 (a), 103 (b), 5103 (c), 104 (d), 2104 (e) et 5104 (f). Chapitre IV Rsultats et discussions 860,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00510152025Gr = 10000Disque infrieur (chaud)Disque suprieur (froid)Nusselt local, NuR0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00510152025Gr = 5000Disque infrieur (chaud)Disque suprieur (froid)Nusselt local, NuR (c) (d) Figure (IV.30) (suite): Variation du nombre de Nusselt local du disque suprieur et infrieur le long de R, pour Re =1492, et pour diffrents nombres de Grashof :Gr = 102 (a), 103 (b), 5103 (c), 104 (d), 2104 (e) et 5104 (f). Chapitre IV Rsultats et discussions 870,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0051015202530Gr = 50000Disque infrieur (chaud)Disque suprieur (froid)Nusselt local, NuR0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0051015202530Gr = 20000Disque infrieur (chaud)Disque suprieur (froid)Nusselt local, NuR (e) (f) Figure (IV.30) (suite): Variation du nombre de Nusselt local du disque suprieur et infrieurle long de R, pour Re =1492, et pour diffrents nombres de Grashof Gr = 102 (a), 103 (b), 5103 (c), 104 (d), 2104 (e) et 5104 (f). Chapitre IV Rsultats et discussions 88IV.4 Convection naturelle avec et sans champs magntique Dansladeuximepartiedecemmoire,nousintressonsaupointcritiquepourlequel lcoulementdevientinstable(transitoire),pourcelanousfaisonsunesriedecalcul,en augmentantlenombredeGraschofpourunnombredePrandtlfixe( 015 . 0 Pr = ).Pourchaque nombre de Hartmann Ha, nous dtectons le nombre de Grashof critique GrCr. DanslebutdobtenirdesnombresdeGrashofcritiquecorrespondantdesinstabilits physiques,nousavonschoisilepasdutempsadimensionnel(610= )etpoursassurerque cetteinstabilitnestpasdoriginenumrique,nousrduisonslepasdutemps 710 5 2 = = ,silesamplitudesdesperturbationsrestentlesmmesdanstousles sondes(vitessesettempratures)(Fig.IV.31et32),nouspouvonsdirequecetteinstabilitest physique. IV.4.1Dbut de linstabilit et dure de calcul Tous nos calculs ont t ralise sur un micro-ordinateur Pentium (2.4 GHz et 512 RAM). Sept cas diffrents ont t tudis, chacun a ncessit pour le calcul de 2106 itrations une dure relle de 28 heures avec un pas du temps 10-6. Gnralement,ledbutdesoscillationsapparatsoudainementquandlenombrede Grashof Gr est lgrement augment de ltat stationnaire prs de l'tat critique. La valeur de Gr estpriseentantquecritique,auquell'amplituded'oscillationdesvitessesadimensionnellesest plus grande que 0.01 dans l'oscillation approximativement rgulire (voir Wakitani [45]). Chapitre IV Rsultats et discussions 89710 5 = 610= 710 5 = 610= 610= 710 5 = Figure (IV.31): Instabilit physique au point P1 (25,10) pour GrCr = 1.1106 et Ha = 10. Notons que le point P1 est situ prs de la paroi infrieure du cylindre(voir Fig.II.2 dans le chapitre II). Chapitre IV Rsultats et discussions 90610= 710 5 = 610= 710 5 = 610= 710 5 = Figure (IV.32): Instabilit physique au point P2 (25, 50) pour GrCr = 1.1106 et Ha = 10. Notons que le point P2 est situ au milieu du cylindre (voir Fig.II.2). Chapitre IV Rsultats et discussions 91IV.4.2Phnomnologie de lcoulement Nousavonsprsentlechampdcoulementsousformedescontoursdelafonctionde courantadimensionnelleetdesvecteursdevitessesetlechampthermiquepardesisothermes pour sept valeurs diffrentes du nombre de Hartmann (Ha = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60). Les figures (IV.33, 34 et 35) illustrent les contours de la fonction de courant, les vecteurs de vitesses et les isothermes un instant donn pour les diffrents nombres de Hartmann, qui correspondent aux valeurs critiques du nombre de Grashof. Ces nombres sont prsents dans le tableau (IV.1). Ha0102030405060 GrCr0.81061.110621061.81062.71064.11066106 Tableau (IV.1) : Lvolution de GrCr avec laugmentation du champ magntique Ha. LcoulementfaiblenombredeGrashofprsenteunrgimeunicellulairedanslesens horaire.Lasparationdelacelluleprincipaleseproduitaumilieuducylindreetdonnedes cellules secondaires lorsque on augmente le nombre de Gr. Ce processus peut tre expliqu par laugmentationdesvitesses,quimnelesparticulesdiminuerleursparcours,cequidonne naissance une deuxime zone de recirculation dans le sens oppos (Fig.IV.33). Lapplicationduchampmagntiqueapoureffetdestabiliserlcoulement(voirle tableau IV.1). Nous remarquons dans le cas ou le champ magntique est appliqu, la structure de lcoulementpourHa=10estconstituededeuxzonesderecirculation.Lazonedontlesens horaire(Fig.IV.34),prendunealluretrsimportanteparrapportlautrelorsqueonaugmente Ha de 10 20. Pour Ha =30, la dominance de cette zone est clairement nette. Laugmentation de Hajusqu40,mnelanaissancedunecelluledontlesensestinversdesaiguillesdune montre, ceci est clairement vu dans la figure (IV.34). Pour Ha =50, cette zone slargie en plus. Pour Ha =60, la dominance presque totale de cette zone qui a pris des dimensions pour Ha =40 et 50. Les valeurs maximales et minimales des lignes de la fonction de courant sont situes aux centres des cellules. Chapitre IV Rsultats et discussions 92Nous pouvons conclure que leffet du champ magntique pour des valeurs croissantes de Gresttrsimportantsurlastructuredelcoulementdolanaissancedunrgime multicellulaire variable. Leschampsthermiquesillustrsdanslesfigures(IV.35)montrentlexistenceetla dominance du rgime convectif par rapport au rgime diffusif, ceci est montr par la dformation des isothermes. En examinant ces figures, ce rgime devient trs important dune faon similaire laugmentationdelintensitduchampmagntique.Celaestexpliquparlacroissancedes valeurs de Gr, ce qui favorise le flux convectif par rapport au flux diffusif.

Lesvolutionsdelavitesseradialeetaxialeetdelatempratureenfonctiondutemps sont montres dans les figures (IV.36, 37 et 38) pour cinq points diffrents du domaine dtude (voir Fig.II.2) pour Ha = 0. Lvolution temporelle de la structure de lcoulement (fonctions de courant, vecteurs de vitesse et les isothermes) pour des diffrents temps (voir Fig.IV.40 et 41) et pour deux nombres de Hartmann Ha = 0 et 60 est illustre dans les figures (IV. 42, 43 et 44) et les figures (IV. 45, 46 et 47).

Afin de rechercher linfluence du nombre de Gr sur la stabilit et en mme temps sur la structure de lcoulement, nous augmentons progressivement sa valeur. En arrivant une valeur dite, Grashof critique GrCr , lcoulement devient oscillatoire et priodique. Enabsenceduchampmagntique(Ha=0),lesfigures(IV.36,37et38) montrentles volutionstemporellesdesvitessesetdelatempratureauxsondeschoisiesdudomaine.Nous remarquonsquelamplitudedesoscillationsdelatempratureestpluspetitequecelledes vitessesradialesetaxiales(voirWakitani [45]).Cesprofilsindiquentquelavariationdeces paramtresdevienneoscillatoire,donclcoulementbifurqueversunrgimeinstable.En remarquantlesamplitudesdesoscillationspourlesdiffrentspointssontdiffrentes,doncle degrdelinstabilitdpenddelapositiondesparticulesdanslecylindre.Laraisondeces instabilits oscillatoires est troitement lie au mcanisme de production des cellules secondaires (Fig.IV.33).CeciestenbonaccordavecleraisonnementdeGelfgat [34],quiasupposque l'instabilit est provoque par linteraction entre le vortex central et les vortex les plus petits. Chapitre IV Rsultats et discussions 93Laproductiondescellulessecondairesestcreparladiffrencedemassevolumique associelaugmentationdunombredeGr ;sionconsidrelargionprsdudisquechaud (infrieur),quandlacellulesecondaireseforme,lemouvementduhautverslebasdanscette cellule soppose la convection thermique vers le haut, laquelle peut ralentir en bas jusqu un certainpointetlamassevolumiquepeutdcrotre.Quandceciarrive,lacellulesecondaire diminue, la convection thermique se ranime, et tout le processus du cycle repart de nouveau. Pourexpliquerlanatureoscillatoiredesvitesses,onreliesonvolutionaucoursdune priodelvolutiondelastructuredelcoulementpendantlammepriodedestemps adimensionnelles (Fig.IV.40 et 41) (1, 2, 3, 4, 5,). Les figures (IV.42, 43 et 44) et (IV.45, 46 et 47) indiquent que la priodicit des instabilits est lie la dilatation et rtrcissement des cellules principale et secondaire. Lapparitiondurgimeinstabledanslcoulementsousleffetdesforcesdevolumeet desforcesdeflottabilitimposeuncoulementmulticellulaire,lastabilitdecergimesefait parlapplicationdunchampmagntiqueexterne.Lidedutilisercettesolution,quelaforce lectromagntiqueagisenoppositiondelaforcedeflottabilitetprovoqueunerductiondela vitessedeplusieurscouchesdefluide.LacroissancedeGrCr aveclaugmentationdeHa,est clairementvuedanslacourbedestabilit(GrCrHa)(FigIV.54).Lacroissanceest monotonique avec une exception pour la valeur de Ha =30, o une lgre diminution du nombre de GrCr. Ce ci est probablement reli au mode dominant de la perturbation (mme rsultat a t obtenuparGelfgat [41]).Cettecroissanceestexpliqueparlinteractionduchampmagntique verticalsurlcoulementdeconvection,celle-ciestproduiteaveclacomposanteradialedela vitesse.Enconsquenceunchampmagntique,plusfortestexigpouratteindreune stabilisation pour certaines valeurs croissantes du nombre de GrCr. IV.4.3 Frquences et nergies Afindobtenirlespectrednergiedesoscillations,onutiliselatransformedeFourier [50,51]dunnombredepuissance2devaleursdelavariationtemporelledelacomposante radialedevitesse.Cettetransformeestmultiplieparsoncomplexeconjuguetdivispar2 pourobtenirlnergie Eenfonctiondesfrquencesdesoscillations F dfinitpar ( ) = N K Fo lincrmentdutempsetk=0,1......,2 N .Lnergieestnormalise par2N . Les valeurs de() F Ereprsentent plusieurs chelles de grandeurs, dans ce cas on utilise sonlogarithmedcimal.OndnotedansnotretudeCrF ,lepicduspectrednergie Chapitre IV Rsultats et discussions 94() ( ) ( )2/ , N F E LOG Fquicorrespondlafrquenceprincipale(dominante)pour 202 = Net610= . AprsuneanalysedeFourierdelavitesseradialedesdiffrentsnombresdeHartmann, on remarque laspect priodique de lcoulement, ce qui correspond une frquence dominante. PourlecasHa=0,onremarquelexistencedequatrepiquesdominantsquicorrespondentaux frquences dominantes suivantes (Fig.IV.39) : CrF =23.67, F =2CrF , F =3CrF ,. Cependant, on constatequelepremierpique CrF =23.67 estleplusdominant.Cecicorrespondunepriode dominante pour ce rgime dcoulement priodique et oscillant qui vautcr =1/CrF . Les figures (IV.48, 49, 50, 51, 52 et 53) montrent la nature oscillatoire de lcoulement travers les volutions temporelles des vitesses et des tempratures au point P2(25,50) et aussi les spectresdnergiesquidterminentlesfrquencesdominantespourlesdiffrentsnombresde Hartmann. Ces frquences sont prsentes dans le tableau suivant (IV.2). Ha0102030405060 FCr23.6727.5844.846.7657.9165.7459.08 Tableau (IV.2) : Lvolution de FCr avec laugmentation du champ magntique Ha. Enexaminantlacourbedestabilit ( ) Ha FCr (Fig.IV.55),nouspouvonsconclurela dpendance de la frquence dominante avec laugmentation du nombre de Ha,saufpourlecas Ha =60, o il y a une lgre diminution. Chapitre IV Rsultats et discussions 950 = Ha 10 = Ha 20 = Ha40 = Ha 50 = Ha 60 = Ha30 = Ha0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Zmax =30, min =-40=5 max =10, min =-55=5 max =20, min =-90 =10 max =0, min =-85 =5 max =5, min =-75 =5 max =10, min =-100=10 max =120, min =-10 =10 Fonctions de courant Figure (IV.33) : Fonctions de courant adimensionnelles pourHa =0, 10, 20, 30, 40, 50 et 60 correspondant GrCr =0.8106, 1.1106, 2106, 1.8106, 2.7106, 4.1106 et 6106. Chapitre IV Rsultats et discussions 960 = Ha 10 = Ha 20 = Ha40 = Ha 50 = Ha 60 = Ha30 = HaRZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00 Vecteurs de vitesses Figure (IV.34) : Vecteurs de vitesses pour Ha =0, 10, 20, 30, 40, 50 et 60 correspondant GrCr =0.8106, 1.1106, 2106, 1.8106, 2.7106, 4.1106 et 6106. Chapitre IV Rsultats et discussions 970 = Ha 10 = Ha 20 = Ha40 = Ha 50 = Ha 60 = Ha30 = Ha0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0R0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Z Champs thermiques Figure (IV.35) : Isothermes pour Ha =0, 10, 20, 30, 40, 50 et 60 correspondant GrCr =0.8106, 1.1106, 2106, 1.8106, 2.7106, 4.1106 et 6106. Chapitre IV Rsultats et discussions 98 P1 P2 P3P4 P5 Figure (IV.36) : Evolution temporelle de la vitesse radiale aux points P1(25,10), P2(25,50), P3(25,80), P4(12,50), P5(40,50), du maillage (52102) pour Ha=0 et GrCr =0.8106. Les sondes P1, P2, P3, P4 et P5 sont bien illustrs sur la figure (II.2). Chapitre IV Rsultats et discussions 99 P1 P2 P3P4 P5 Figure (IV.37) : Evolution temporelle de la vitesse axiale aux points P1(25,10), P2(25,50), P3(25,80), P4(12,50), P5(40,50), du maillage (52102) pour Ha=0 et GrCr =0.8106. Chapitre IV Rsultats et discussions 100 P1P2 P3P4 P5 Figure (IV.38) : Evolution temporelle de la temprature aux points P1(25,10), P2(25,50), P3(25,80), P4(12,50), P5(40,50), du maillage (52102) pour Ha=0 et GrCr =0.8106. Chapitre IV Rsultats et discussions 101 Figure (IV.39) : Spectre dnergie en fonction de F pour Ha = 0 et GrCr = 0.8106. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4-20243 FCr = 70.552 FCr = 46.95FCr= 23.67LOG [ E (F) / N2 ]FChapitre IV Rsultats et discussions 102 Figure (IV.40) : Evolution temporelle de la vitesse radiale au point P2(25,50) avec les temps choisis (a, b, c, d, e, f,g) pour GrCr =0.8106 et pour Ha=0 (pas de champ de magntique). Figure (IV.41) : Evolution temporelle de la vitesse radiale au point P2(25,50) avec les temps choisis (a, b, c, d, e, f,g et h) pour GrCr =6106 et pour Ha= 60. Chapitre IV Rsultats et discussions 103RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00 (a) (b) (c) (d) (e)(f) (g) Figure (IV.42) : Evolution temporelle des fonctions de courants adimensionnelles pour les temps successives (a,b,c,d,e,f et g) pour GrCr =0.8106 et pour Ha= 0. RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00Chapitre IV Rsultats et discussions 104RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00 (a) (b)(c) (d) (e) (f) (g) Figure (IV.43) : Evolution temporelle des vecteurs de vitesses pour les temps successives (a,b,c,d,e,f et g) pour GrCr =0.8106 et pour Ha= 0. Chapitre IV Rsultats et discussions 1050.190.810.50RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.190.560.81RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.190.560.81RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.190.500.81RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.190.440.81RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.190.560.81RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.190.560.81RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00 (a) (b) (c) (d) (e)(f) (g) Figure (IV.44) : Evolution temporelle des isothermes pour les temps successives(a,b,c,d,e,f et g) pour GrCr =0.8106 et pour Ha= 0. Chapitre IV Rsultats et discussions 106RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00 (a) (b) (c)(d) (e) (f) (g)(h) Figure (IV.45) : Evolution temporelle des fonctions de courants adimensionnelles pour les temps successives (a,b,c,d,e,f, g et h) pour GrCr =6106 et pour Ha= 60. Chapitre IV Rsultats et discussions 107RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Figure (IV.46) : Evolution temporelle des vecteurs de vitesses pour les temps successives (a,b,c,d,e,f, g et h) pour GrCr =6106 et pour Ha= 60. Chapitre IV Rsultats et discussions 1080.810.440.19RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.810.380.19RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.810.440.19RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.810.440.19RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.810.440.19RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.810.380.19RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.810.440.19RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.000.810.440.19RZ0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.001.251.501.752.00 (a) (b) (c)(d) (e) (f) (g)(h) Figure (IV.47) : Evolution temporelle des isothermes pour les temps successives(a,b,c,d,e,f, g et h), pour GrCr =6106 et pour Ha= 60. Chapitre IV Rsultats et discussions 1090 20 40 60 80 100-4-20243 FCr = 84.872 FCr = 56.35FCr= 27.58LOG [ E (F) / N2 ]FHa = 10 (a)(b) (c) (d) Figure (IV.48) : Evolution temporelle de la vitesse radiale, axiale et la temprature (a,b,c) au point P2(25,50) du maillage (52102) et le spectre dnergie en fonction de la frquence adimensionnelle F (d) pour Ha = 10 et GrCr = 1.1106. Chapitre IV Rsultats et discussions 1100 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4-202463 FCr =134.452 FCr = 89.61FCr= 44.8LOG [ E (F) / N2 ]FHa = 20 (a)(b) (c) (d) Figure (IV.49) : Evolution temporelle de la vitesse radiale, axiale et la temprature (a,b,c) au point P2(25,50) du maillage (52102) et le spectre dnergie en fonction de la frquence adimensionnelle F (d) pour Ha = 20 et GrCr = 2106. Chapitre IV Rsultats et discussions 1110 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-6-4-20242 FCr = 94.5FCr= 46.76LOG [ E (F) / N2 ]FHa = 30 (a)(b) (c) (d) Figure (IV.50) : Evolution temporelle de la vitesse radiale, axiale et la temprature (a,b,c) au point P2(25,50) du maillage (52102) et le spectre dnergie en fonction de la frquence adimensionnelle F (d) pour Ha = 30 et GrCr = 1.8106. Chapitre IV Rsultats et discussions 1120 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300-6-4-20242 FCr = 114.65FCr= 57.91LOG [ E (F) / N2 ]FHa = 40 (a)(b) (c) (d) Figure (IV.51) : Evolution temporelle de la vitesse radiale, axiale et la temprature (a,b,c) au point P2(25,50) du maillage (52102) et le spectre dnergie en fonction de la frquence adimensionnelle F (d) pour Ha = 40 et GrCr = 2.7106. Chapitre IV Rsultats et discussions 1130 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400-6-4-20242 FCr = 130.69FCr= 65.74LOG [ E (F) / N2 ]FHa = 50 (a) (b) (c) (d) Figure (IV.52) : Evolution temporelle de la vitesse radiale, axiale et la temprature (a,b,c) au point P2(25,50) du maillage (52102) et le spectre dnergie en fonction de la frquence adimensionnelle F (d) pour Ha = 50 et GrCr = 4.1106. Chapitre IV Rsultats et discussions 1140 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400-6-4-20242 FCr = 118.37FCr= 59.08LOG [ E (F) / N2 ]FHa = 60 (a) (b) (c) (d) Figure (IV.53) : Evolution temporelle de la vitesse radiale, axiale et la temprature (a,b,c) au point P2(25,50) du maillage (52102) et le spectre dnergie en fonction de la frquence adimensionnelle F (d) pour Ha = 60 et GrCr = 6106. Chapitre IV Rsultats et discussions 1150 10 20 30 40 50 60203040506070FCrHa Figure (IV.54) : Courbe de stabilit (GrCr Ha). Figure (IV.55) : Courbe de stabilit (FCr Ha). 0 10 20 30 40 50 600123456 x 106GrcrHaConclusion 116 CONCLUSION Unetudenumriquedelaconvectionmixteetdelaconvectionnaturelledansune enceintecylindriqueavecetsanschampmagntiqueorientverticalementatfaite.Les quations gouvernantes des deux cas tudis sont rsolues numriquement par la mthode des volumes finis. Cetravailatvalidparunecomparaisonavecdesdonnesexprimentaleset numriques trouves dans la littrature, et qui sont en bon accord. Nosrsultatsdessimulationsnumriquespourlecasdelaconvectionmixteont permetdeconstaterquelaugmentationdunombredeGrashofinfluedirectementsurla structuredelcoulementetduchampthermique,pourdesnombresdeReynolds1492et 1854.CetteinfluencemneladisparitionduvortexBreak-downquiexistedanscette gamme de Re. Pour Re =1854, cette disparition se fait des nombres de Gr (Gr =30000) plus levs que le cas ou Re=1492 (Gr =10000). Ltudedelaconvectionnaturelleavecetsanschampsmagntiquedanslamme configuration montre que pour des valeurs leves du nombre de Grashof mne une instabilit delcoulementcauseparlaproductiondunrgimedcoulementmulticellulaire. Lapplicationdunchampmagntiqueextrieurfournituneffetdestabilisationde lcoulement.LaugmentationdunombredeHartmannHaentraneuneaugmentationdu nombre de Grashof critique GrCr , et cause des changements dans la structure de lcoulement etduchampthermique,cequipermetdecontrlerlaconvectionnaturelle.Nousconstatons aussilaconcordancedelaugmentationdelintensitduchampmagntiquelgarddes frquences critique FCr , sauf pour le cas Ha =60. Conclusion 117Ilseraitintressantdtudierlesinstabilitsdelcoulementenutilisantlathoriede lastabilitlinaireetdterminerlesmodespropresdesperturbations.Ceciestunpoint recommander dans les futurs travaux. Lensemble de ces rsultats a fait lobjet dune communication internationale qui a t accept pour tre prsente la confrence internationale Manchester (U.K) qui se droulera le05et06septembre2005etunarticlequiserasoumispourpublicationdansunerevue internationale. Nomenclature VII NOMENCLATURE A: Coefficients dans le systme dquations algbriques discrtises. : Rapport daspect. P A : Fonction dun schma numrique en fonction du nombre de Peclet. B : Champ magntique [Tesla]. b : Terme source dans le systme dquations algbriques discrtises. CP : Chaleur massique pression constante [J. kg-1. K-1]. D : Terme de diffusion dans le systme dquations algbriques discrtises. dRe, dRw, dRn, dRs: Sont respectivement les distances entre le nud considr P et les nuds E, W, N, S.F: Frquence adimensionnelle. : Terme de convection dans le systme dquations algbriques discrtises. FCr: Frquence critique adimensionnelle. FEM : Force lectromagntique (N. m-3). Fi : Force de volume suivant la direction i [N]. g: Acclration de la pesanteur [m.s-2]. Gr : Nombre de Grashof. GrCr : Nombre de Grashof critique H: Hauteur du cylindre (Fig.II.1)[m]. Ha : Nombre de Hartmann. j: Vecteur de densit du courant lectrique (A. m-2). K : Conductivit thermique [W. m-1. K-1]. Nomenclature VIIm:Mode propre. p : Pression (N. m-2). P : Pression adimensionnelle. : Nombre de Peclet. Pr: Nombre de Prandtl. r: Direction radiale. R : Rayon adimensionnelle du cylindre. rc : Rayon de lenceinte cylindrique (Fig.II.1) [m]. Re: Nombre de Reynolds. Ri : Nombre de Richardson. Rm: Nombre de Reynolds magntique. S: Surface [m2]. S : Terme source. T: Temprature [K]. t: Temps [s]. TC: Temprature de la paroi froide [K]. TH : Temprature de la paroi chaude [K]. u : Composante de la vitesse suivant la direction r [m. s-1]. U: Composante de la vitesse radiale adimensionnelle. ui : Composante de la vitesse suivant la direction i (i = 1, 2, 3) (U, V, W ) [m. s-1]. V : Volume [m3]. v : Composante de la vitesse suivant la direction z [m. s-1]. V: Composante de la vitesse axiale adimensionnelle. w: Composante de la vitesse suivant la direction [m. s-1]. W : Composante de la vitesse azimutale adimensionnelle. z :Direction axiale.Nomenclature VIISYMBOLES GRECS : Coefficient de diffusion thermique [m2. s-1]. : Coefficient dexpansion thermique pression constante [K-1]. : Variable dpendante gnrale (reprsente : la pression, la temprature et les composantes de la vitesse). : Potentiel lectrique (V). : Viscosit dynamique [kg. m-1. s-1]. m: Permabilit magntique (H. m-1) : Viscosit cinmatique [m2. s-1]. : Temprature adimensionnelle. : Direction azimutale. : Vitesse angulaire [rad. s-1]. : Rapport des vitesses angulaires des disques suprieur et infrieur. : Masse volumique [kg. m-3]. : Conductivit lectrique [-1.m-1]. : Temps adimensionnel. : Fonction de courant. : Coefficient de diffusion gnrale. : Priode adimensionnelle. R, Z: Dimensions du volume de contrle considr.: Incrment adimensionnel du temps. Nomenclature VIIINDICES : Cr: Critique. E: Nud considr du cot Est du nud P. e: La face Est du volume de contrle considr. N: Nud considr du cot Nord du nud P. n : La face Nord du volume de contrle considr. P : Nud considr du maillage. S : Nud considr du cot Sud du nud P. s : La face Sud du volume de contrle considr. W : Nud considr du cot Ouest du nud P. w: La face Ouest du volume de contrle considr. RfrencesBibliographiques 118 RFRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1]H. U. Vogel. Experimentelle Ergebnisse ber die laminre Strmung in einem zylindriche Gehuse mit darin rotierender Scheibe , Phys. Fluids 6 (1968), 2702 -1968. [2]B.Ronnenberg.Einselbstjustierendes3-Komponenten-Laserdoppleranemometernach demVergeichsstrahlvefahren,angewandtaufUntersuchungenineinerstationrenzylinder- symmetrischenDrehstrmungmiteinenRckstrmgebiet,Max-Planck-Institutfr Strmungsforschung, Gttingen, Bericht 19 (1977). [3] M. P. Escudier. 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