Bilans thermodynamiques et mécaniques

Bilans thermodynamiques et mécaniques

I) Principe du bilan

1) Définitions générales

a) Système fermé et système ouvert

Définitions :

Un système est fermé s’il n’échange pas de matière avec l’extérieur à travers la frontière matérielle ou non qui le délimite.Sa masse est une constante du temps.

Par opposition, un système ouvert peut échanger de la matière avec l’extérieur à travers la frontière qui le délimite.

Bilans thermodynamiques et mécaniques

I) Principe du bilan

1) Définitions générales

a) Système fermé et système ouvertb) Grandeurs extensives, grandeurs

massiques

Définitions :

Une grandeur extensive est une grandeur qui suit l’homothétie du système.

Par opposition, une grandeur intensive reste inchangée si le système subit une homothétie.

Densité massique

A chaque grandeur extensive scalaire ou vectorielle, X, on associe une grandeur intensive massique, x, définie par : dX = x.m

où dX est la variation élémentaire de X apportée par la quantité de matière élémentaire m = Dm.dt,Dm étant le débit massique.

Densités massiques

Energie interne U Energie interne massique u dU = u.m

Enthalpie H Enthalpie massique h dH = h.m

Entropie S Entropie massique s dS = s.m

Energie cinétique Ec Energie cinétique massique ec dEc = v2.m

Moment cinétique LO Moment cinétique massique OM x v dLO = OM x v.m

Quantité de mouvement P Quantité de mouvement massique v dP = v.m

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Bilans thermodynamiques et mécaniques

I) Principe du bilan

1) Définitions générales

2) Principe du bilan

Principe du bilanOn peut découper le système fermé en trois parties :

• La partie commune au système fermé pour les dates t et t + dt, contenue dans une surface de contrôle 0 fixe et indéformable dans R ;

• La partie du système fermé qui rentre dans 0 entre les dates t et t + dt ;

• La partie du système fermé qui sort de 0 entre les dates t et t + dt.

me

ms

Système fermé à l’instant t :

Système fermé à l’instant t + dt :

(t)

(t + dt)

Partie commune 0(t + dt)

Partie commune 0(t)

En régime stationnaire :

X(t + dt) – X(t) = xs.ms – xe.me

= xs.Dms – xe.DmeDtDX

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II) Les bilans thermodynamiques

1) Bilan d’énergie totale

Système fermé à l’instant t :

Partie commune 0(t)me

ms

Système fermé à l’instant t + dt :

Partie commune 0(t + dt)

(t)

(t + dt)

Bilan d’énergie totale

E = Em + U

Σ 2 20 s e

s s ms e e me

u th

dE( ) c cg.z h D g.z h D

dt 2 2

P P

Bilan d’énergie totale

En régime stationnaire :

2 2s e

s e s e m u thc c

g z z h h D P P2 2

Bilans thermodynamiques et mécaniques

II) Les bilans thermodynamiques

1) Bilan d’énergie totale

2) Bilan d’entropie

Système fermé à l’instant t :

Partie commune 0(t)me

ms

Système fermé à l’instant t + dt :

Partie commune 0(t + dt)

(t)

(t + dt)

Bilan d’entropie

δΣ δéchangée0 créées ms e me

SdS( ) S s .D s .D

dt dt dt

Bilan d’entropie

δ δéchangée créée

s e mS S

s s D dt dt

En régime stationnaire :

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III) Les bilans en mécanique

1) Bilan de masse

Bilan de matière sur le système fermé :

m(t + dt) – m(t) = m[0(t + dt)] – m[0(t)] + ms – me = 0

Cette relation est toujours vraie

En régime stationnaire : m[0(t + dt)] = m[0(t)]

Finalement : m(t + dt) – m(t) = ms – me = 0

ms = me ou Dms = Dme

Front d’onde

Fc

Onde de choc dans une canalisation

c = – c.ux, c > 0

Liquide

z

xRobinet

O

Dans le référentiel R lié à la canalisation

F

S

O’

z

xOx’

v1 = v.ux

c = – c.ux

v2 = 0

P1, 1 P2, 2

Dans le référentiel R’ lié au front d’onde

F

S

O’

v’1 = (v + c)ux v’2 = c.ux

P1, 1 P2, 21 2

Dans le référentiel R’ lié au front d’onde

F

S

O’

(v + c)dtF1

F2

me ms

c.dt

0

0 est fixe dans R’

Onde dans un canal

Bilans thermodynamiques et mécaniques

III) Les bilans en mécanique

1) Bilan de masse

2) Bilan de quantité de mouvement

me

ms

Système fermé à l’instant t :

Système fermé à l’instant t + dt :

(t)

(t + dt)

Partie commune 0(t + dt)

Partie commune 0(t)

Bilan de quantité de mouvement

Σ0ms me

d ( ) .D .D

dt s e extP

v v R

En régime stationnaire :

m D s e extv v R

Bilan de quantité de mouvement

Dans le référentiel R’ lié au front d’onde

F

S

O’

(v + c)dtF1

F2

me ms

c.dt

0

0 est fixe dans R’

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III) Les bilans en mécanique

1) Bilan de masse

2) Bilan de quantité de mouvement

3) Bilan de moment cinétique

me

ms

Système fermé à l’instant t :

Système fermé à l’instant t + dt :

(t)

(t + dt)

Partie commune 0(t + dt)

Partie commune 0(t)

Bilan de moment cinétique

ΣΓ0

ms med ( )

x .D x .D dt

Os s e e O,ext

LOA v OA v

Bilan de moment cinétique

Γm x x D s s e e O,extOA v OA v

En régime stationnaire :

Bilan de moment cinétique

e

e2

e1

P0

v1

v

v2

P0

P0

P0g

A

uy

plaque

Référentiel : Terrestre supposé galiléen

Système : L’eau contenue dans la surface de contrôle (0), la masse entrante ou sortante

Actions extérieures : Les forces de pression de l’air,l’action de la plaque sur l’eau,le poids de l’eau négligé.

Référentiel : Terrestre supposé galiléen

Système : L’eau contenue dans la surface de contrôle (0), la masse entrante ou sortante etla plaque de masse m

Actions extérieures : Le poids de l’eau négligé,le poids de la plaque,les forces de pression de l’air,la réaction du support en A.

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III) Les bilans en mécanique

1) Bilan de masse

2) Bilan de quantité de mouvement

3) Bilan de moment cinétique

4) Bilan d’énergie cinétique

me

ms

Système fermé à l’instant t :

Système fermé à l’instant t + dt :

(t)

(t + dt)

Partie commune 0(t + dt)

Partie commune 0(t)

Bilan d’énergie cinétique

Σ 2 2c 0 s e

ms me ext R intdE ( ) v v

D D P Pdt 2 2 /

Bilan d’énergie cinétique

2 2s e

m ext R intv v

D P P2 2 /

En régime stationnaire :

ESPRIT DU BILAN

On calcule la dérivée particulaire de la grandeur extensive X de deux manières différentes :

Par un bilan :

0s ms e me

dX( )DX x .D x .D

Dt dt

= + -

Par un théorème lagrangien :

DX ....

Dt=

Puis par égalité :

0s ms e me

dX( ) x .D x .D ....

dt

+ - =