Bresse Corrige

5/26/2018 Bresse Corrige

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TD RDM FORMULES DE BRESSE : CORRECTION EXERCICES R25-R30 2 ANNEE

Exercice FB-01

VO

p

V1

1/ Statique V0= V1= Pa/2 (symtrie)

0 x < b=(l-a)/2 b x < l-bMz= -V0.x = -Pa/2.x Mz= -Pa/2.x + P(x-b)

2/2

8

)a2(Pa)2/(MM zmaxz

==

ll

2/ 2meFormule de Bresse +=Ax

0xA0A00A dx)xx(

EI

M)xx(vv

Daprs la symtrie A= 0 = =

=

2/Ax

00x0 dx

EI

Ml v0= 0 x0= 0 +=

2/

0

2/

Ox0AA dxx.

EI

M)dx

EI

M(xv

ll

++=2/

b

22b

0

2A dx)

2

ax.(

2

Pxx.

2

Padxx.

2

PaEIv

l l ( )323A aa48

EI384

Pav += ll

Exercice FB-02

F

M0

V0

F

1/ Statique V0= 2F M0= 3Fl

0 x < l lx < 2lMz = -M(Droite) Mz = -M(Droite)

= -[-F(l-x) -F(2l-x)] = -[-F(2l-x)]= F(3l-2x)] = F(2l-x)]

I = ( ) 2

416

4

4 4R R= = 16 i i =

.R4

4

2meFormule de Bresse :

=

=+=

lBx

0AxBABAAB dx)xx(

EI

M)xx(vv xA= 0 uA= vA= 0 A= 0 (encastrement)

= l

l0

B dx)x(EI

Mv =

l

ll0

dx)x).(x23(EI

F

Ei

F

96

7

EI

F

6

7 33 ll==

Ei

F

96

7vf

3

BB

l==

=

=

+= l2Cx

0Ax

CACAAC dx)xx(

)x(EI

)x(M)xx(vv

=

l

l

l

ll2

0

dx)x2(

Ei

Mdx)x2(

EI

M

= l

l

l

lll2

2

0C dx)x2(

Ei

Fdx)x2)(x23(

EI

Fv B

3

v7

51

Ei

F

96

51==

l B

3

CC f7

51

Ei

F

96

51vf ===

l

2/Application Numrique :

4

20.10.2

500.3000

96

7f

45

3

B

= 1.09 mm BC f7

51f = 7.93 mm

Contrainte normale maximale soit en A, soit en B :

en A, MA= 3Fl R.i8

F3R2.

i16

F3A

ll==

en B, MB= Fl R.

i

FB

l=

3max

20.

500.3000.4R.

i

F

== l

239 MPa

(plus le problme de concentration de contraintes lpaulement en B).

Exercice FB-03

1/Statique V0= V3= F/2 (symtrie) H0+ H3= 0 hyperstatique de degr 1

1reFormule de Bresse entre G0et G3

+=3G0G

303003 ds)yy()s(EI

)s(M)yy(uu ) u3= u0= 0 y3= y0= 0 == A0G3G0G yds)s(EI

)s(M.20yds

)s(EI

)s(M))

Ou bien, daprs la symtrie : 0ds)yy()s(EI

)s(M)yy(uu

A0GA0A00A =+= )

avec 0ds)s(EI

)s(MA0G

0A == ) =+=h

0

2/

0A0G0hdx

Ei

MydyEI

Myds)s(EI

)s(M l)

Poutres 1/3


2/3


F

V0 V3

H0 H3

Sur le poteau, pour y [0, h], M(y)=H0.yEI3

hHdy

30=y

EI

Hydy

EI

M h

0

20h

0 = Sur la traverse, pour x [0, l/2], M(x)=H0.h - V0.x

+=

+= 2hH16

F

Ei

hdxhHx

2

F

Ei

hhdx

Ei

M0

22/

00

2/

0

llll

02hH16

F

Ei

h

EI3

hH0

23

0 =

++

ll

)

hi

I32(ih

IF.8

3H

2

2

0l

l

+=

avec k=ih/Il 3H=03k2

F.

h8

3H

+=

l

2/Flche en A : 2meFormule de Bresse += A0G A0A00A ds)xx()s(EI)s(M

)xx(vv )

avec 0ds)s(EI

)s(M

A0G0A == ) (symtrie) v0= 0, x0= 0, xA= l/2 = A0GA xds)s(EI

)s(Mv )

3k2

3k8

Ei192

F

8hH48

F

Ei

1

dxhxHx2

F

Ei

1

v

32

0

32/

0 0

2

A +

+

=

+=

+= llll

(x=0 sur le poteau)

Exercice FB - 04

F

V0

H0

VA

M0

O

1/Statique : V0+ VA= F H0= 0 M0 + VA.R = 2F.Rhyperstatique de degr 1 M0= (V0+ F).R

2meFormule de Bresse entre G0et A :

0ds)xx()s(EI

)s(M)xx(vv

A0GA0A00A =+= v

avec v0= 0, 0= 0, x0= 0, xA= R, s = Rd,x = R.(1-cos)

0dcosM2/

0=

Pour [0,/2], M(s)= M0- V0R.(1-cos) = FR+ V0Rcos

Pour [/2,], M(s)= -M(droite) = FR(1 + cos)

)V4

F(R0dcos)cosRVFR( 02/

00

+==+

F

4V0

= F4

VA +

= FR4

M0

=

2/2meFormule de Bresse entre G0et G1: 0ds)xx()s(EI

)s(M)xx(vv

1G0G101001 =+= ) avec x1= 2R

( ) ( )

+++=+=+=

0

2/

0

2/

0 2/

22

01 d)cos1(MdcosMMd

EI

Rdcos1)s(M

EI

RRdcos1R

)s(EI

)s(Mv

EI

FR

654.0EI4

)1685(FR

d)cos1(FRd)cosRVFR(EI

R

v

3232/

0 2/

2

0

2

1

=

+++=

3/Angle de rotation de la section A :

A

G A

M s

EI sds

R

EIMd

R

EIFR V R

FR

EI

FR

EI= = = + =

0 0

2

00

2 2 2

0

8

20 298

( )

( )( cos )d

( )..

/ / 2

Exercice FB-05

1/Statique : V0+ V1= 0 H0= -F M0+ V1.2R = F.R hyperstatique de degr 1 M0= F.R - 2V1.R

2meFormule de Bresse entre G0et G1: 0ds)xx()s(EI

)s(M)xx(vv

1GOG1O1OO1 =+= )

avec v1= v0= 0, 0= 0, x0= 0, x1= 2R, s = Rd, x=R.(1-cos) 0d)cos1(M0

=+

Poutres 2/3


3/3


F

V0

H0

V1

M0

O

Pour [0,/2], M(s) = -M(droite)= -[ V1R(1+cos) F.R(1-sin)]

Pour [/2,], M(s)= -M(droite) = -V1R(1+cos)

RV.2

3

2

1.FR0d)cos1.(RV

d)cos1)(sin1.(FR

d)cos1.(RVd)cos1(M

10

21

2/

0

2/

0

21

0

==+

++

+=+

F.3

1V1

= = - F.227.0V0 FR.546.0FR.

3

2M0

+=

2/ 0ds)yy()s(EI

)s(M)yy(uu

A0GA0A00A =+=

avec u0= 0, 0= 0, y0= 0, yA= R, s = Rd, y = Rsin

++==

2/

0

22/

01

22/

0AA d)sin1(FRd)sin1)(cos1(RV

EI

Rds)yy(M

)s(EI

1u

EI

FR.113.0

12

2207.

EI

FRu

323

A

=

0ds)yy()s(EI

)s(M)yy(uu

1G0G101001 =+= avec u0= 0, 0= 0, y0= 0, y1= 0, s = Rd, y = Rsin

+++=

2/

0 2/1

2/

01

2

1 dsin)cos1(RVdsin)sin1(FRdsin)cos1(RVEI

Ru

+=

+=

2/

001

22/

001

2

1 dsin)sin1(FRdsin)cos1(RVEI

Rdsin)sin1(FRdsin)cos1(RV

EI

Ru

EI

FR.24.0

12

843.

EI

FRu

323

1

=

Exercice FB-06

F

V0

H0

V1

H1

O

Statique : V0+ V1= F H0+ H1= 0 M/G0 V1.2a = F.aV0= V1= F/2 H0= -H1 hyperstatique de degr 1

1re

Formule de Bresse entre G0et G1:

0ds)yy()s(EI

)s(M)yy(uu

1G0G101001 =+= )

avec u0= 0, u1= 0, y0= 0, y1= 0

0yds.)s(EI

)s(M

1G0G= )

Sur G0A : droite d'quation y=x ds2= dx

2+ dy

2 dx2ds= M = H0y - V0x = (H0- V0)x

30

a

0

200

A0Ga

3

2)

2

FH(dx2x)VH(

EI

1yds.

)s(EI

)s(M== )

Sur A G1: x = a(1+sin) y = acos ds=ad M(s) = -M(droite) = - {V1a(1-sin) + H1acos}

M(s) = {H0acos F/2a(1-sin)}

)FH(EI4

adcos)sin1(

2

FcosH

EI

ayds.

)s(EI

)s(M0

32/

0

20

3

1GA=

=

)

04FH

32)

2FH( 00 =+ 10 HF.

324322H =+

+=

Poutres 3/3

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