BTS Cours 11 Complexes

7/24/2019 BTS Cours 11 Complexes

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BTS DOMOTIQUE Nombres complexes 2008-2010

NOMBRES COMPLEXES

Table des matires

I Introduction 2I.1 Le nombre i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.2 Lensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II Forme algbrique 3II.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3II.2 Premiers calculs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3II.3 Reprsentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.4 Conjugu dun complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5II.5 Inverse dun complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III Forme trigonomtrique 6III.1 Module dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.2 Argument dun complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7III.3 criture trigonomtrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

IV Forme exponentielle 9IV.1 Dfinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9IV.2 Rgles de calcul en notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

V Formules de MOIVRE et dEULER 10V.1 Formule de MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10V.2 Formules dEULER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

VI Lignes de niveau 11

VIIquations du second degr 12

Les chemins de la cration mathmatique sont imprvisibles et rsultent parfois daudacieuses transgressionsdes rgles et savoirs tablis.

Le simple fait davoir introduit dans les calculs un symbole pour dsigner des racines carres de nombresngatifs a conduit au fil des sicles laborer la puissante thorie des nombres complexes.

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I Introduction

Tous les nombres positifs ont une racine carre. Par exemple, 9 a pour racines carres 3 et3.Par contre, aucun rel ngatif na de racine carre (relle).Les nombres complexes offrent la possibilit de pallier cette injustice !

I.1 Le nombre i

Le nombre iest un nombre dont le carr vaut1. Ainsi, i2 = 1.De plus, son opposia aussi pour carr1. En effet : (i)2 =i2 = 1.Les deux racines de1 sont les deux nombres rels ieti.

Un peu dhistoire : La notation i fut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au dbut duXIXme sicle. Cependant, le premier parler de nombre imaginaire fut le trs cartsien Descartes en1637.

I.2 Lensemble des nombres complexes

On connait dj 5 ensembles permettant de "ranger" les nombres : il sagit de N,Z,D,Qet R:

N

01

9

103

63

Z 1

437

10025

D 0.008

1.2

325

1106

Q 0.333

1319

16

49

R 1236

2

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Dfinition 1On dfinit lensembleC qui a les caractristiques suivantes :

Ses lments sont appels nombres complexes,

Il contient le nombrei vrifiant i2 = 1.

Remarque 1Cest alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a : N Z D Q R C.



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II Forme algbrique

II.1 Dfinition

Dfinition 2Chaque lment z de lensembleC scrit de manire uniquez = a+ib, a et b tant des rels.

a est appel partie relle dez et est notRe(z),

b est appel partie imaginaire dez et est notIm(z).

Remarque 2Nombres particuliers : si b= 0, on a z= a, zest donc rel, si a= 0, on a z= ib, on dit que z est un imaginaire pur.

Exemple 1Dans chacun des exemples suivants, on donne la partie relle et la partie imaginaire :

z= 2 + 3i a= 2 b= 3 z= 1 + 1

2i a= 1 b= 1

2

z= i a= 0 b= 1 z= a= b= 0 z= 4i 1

3 a= 1

3 b= 4.

Proprit 1

Deux nombres complexes sont gaux si et seulement si ils ont la mme partie relle et la mme partieimaginaire :z= z a+ib= a +ib a= a et b= b.

II.2 Premiers calculs

Proprit 2On pose z= a+ib, z =a +ib et kun rel, on a :

z+z = (a+a) +i(b+b),

z z = (a a) +i(b b), kz= ka+ikb,

zz = (aa bb) +i(ab +ab).

Dmonstration de la dernire proprit :zz = (a+ib)(a +ib)

= aa

+iab

+ia

b+i2

bb

= aa +iab +iab bb= (aa bb) +i(ab +ab).



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Exemple 2Soit z= 2 + 3i et z =i 5, on a :

z+z = 2 + 3i+i 5 = 3 + 4i, z z = 2 + 3i (i 5) = 2 + 3i i+ 5 = 7 + 2i, 2z 3z = 2(2 + 3i) 3(i 5) = 4 + 6i 3i+ 15 = 19 + 3i,

zz

= (2 + 3i)(i 5) = 2i 10 + 3i2

15i= 2i 10 3 15i= 13 13i, z2 = (2 + 3i)2 = 22 + 2 2 3i+ (3i)2 = 4 + 12i+ 9i2 = 4 + 12i 9 = 5 + 12i.

II.3 Reprsentation graphique

Dfinition 3On se place dans le plan rapport un repre orthonormal direct (O;u;v).

Au point M de coordonnes(a; b) on peut associer le nombre complexez= a+ib,On dit quez= a+ib est laffixe du point M.

Au vecteurw de coordonnes(a; b) on peut associer le nombre complexez= a+ib,On dit quez= a+ib est laffixe du vecteurw .

Lorsquon repre un point ou un vecteur par son affixe dans un repre orthonormal direct,

on dit quon se place dans le plan complexe.

0 u

vw

M(z= a+ib)

a

b

Exemple 3On place dans le plan complexe les points Mi daffixes zi :

z1= 2 + 3i

z2= 3 + i

z3= 1 + 2i z4= 2 i z5= i

z6= 2i z7= 2 z8= i 3

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7

M8

0

1

i



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Proprit 3Si Ma pour affixe z= a+ibet si M a pour affixe z =a +ib, alors :

Le vecteurM M a pour affixe z z= (a a) +i(b b),

||OM|| = a2 +b2,||M M|| =(a a)2 + (b b)2, Le milieu Ide [M M] a pour affixe zI=

z+z

2 .

II.4 Conjugu dun complexe

Dfinition 4On appelle conjugu du nombre complexez= a+ib le nombrez= a ib.

Gomtriquement, si M1 est le point daffixe z, le point M2daffixe z est le symtrique de M1 par rapport laxe des abscisses.

0 u

v

M1(z)

M2(z)M3(z)

M4(z)

a

b

a

bExemple 4Soit z= 3 + 5i et z = 2 + 3i, on a :

z+z = (3 + 5i) + (2 + 3i) = 1 + 8i,z z = (3 + 5i) (2 + 3i) = 6 + 9i 10i+ 15i2 = 6 i 15 = 21 i.

z= 3 5i,z = 2 3i.

z+z = (3

5i) + (

2

3i) = 1

8i,z+z = 1 8i.

z z = (3 5i) (2 3i) = 6 9i+ 10i+ 15i2 = 6 +i 15 = 21 +i,z z = 21 +i.

Proprit 4Soit zet z deux nombres complexes, alors :

z+z =z+z .

z z =z z. z= z .

z R z= z .

z iR z= z.

Re(z) =12

(z+z). Im(z) = 12i

(z z).



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Proprit 6|z| = 0 z= 0.|z| = |z| = |z|.

|z

z

| = |z| |

z

|.

1z = 1|z| .

zz =|z||z| .

III.2 Argument dun complexe non nul

Dfinition 6Soitz= a+ib un nombre complexe non nul et M le point daffixez :

On appelle argument dez tout nombre rel tel que= (u ,OM)[ 2], On note= arg(z),

vrifie :

cos = a

a2 +b2,

sin = b

a2 +b2.

Exemple 7Calcul dun argument de nombres complexes :

z1= 2 + 2i :

cos = 222 + 22

= 2

2

2 =

2

2

sin = 222 + 22

= 2

2

2 =

2

2

= 4

arg(2 + 2i) = 4

.

z2= 1 + i

3 :

cos = 112 +

32

= 1

4 =

12

sin =

3

12 +

32

= 24 =

32 =

3 arg(1 +

3i) =

3

.

Proprit 7Proprits algbriques des arguments :

arg(zz ) = arg(z) + arg(z) [2].

arg(1z

) = arg(z) = arg(z) [2].

arg(z

z ) = arg(z) arg(z

) [2].



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Exemple 8Daprs lexemple prcdent, on obtient :

arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) =

4+

3=

712

.

arg

1z1

= arg z1= 4 .

arg

z1

z2

= arg z1 arg z2= 4

3

= 12

.

III.3 criture trigonomtrique

On se place dans un plan muni du repre (O;u;v).

Dfinition 7Tout nombre complexe non nulz peut-tre crit sous la formez= r(cos +i sin ) avec :

arg(z) = R est largument dez|z| =r R+

est le module dez

cette criture sappelle la forme trigonomtrique dez.

0 u

vr= a2 +b2

M(z)

a= r cos

b= r sin

Pour trouver la forme trigonomtrique dun nombre z, il faut donc calculer successivement le module etlargument de z.

Exemple 9Passage de la forme algbrique la forme trigonomtrique :

z1= 1 i :

|1 +i| = 2cos =

2

2

sin =

22

r= 2 et = 4

1 i= 2cos

4

+i sin

4

.

z2=

3 +i :

3 +i = 2cos =

3

2sin =

12

r= 2 et = 6

3 +i= 2cos

6

+i sin

6

.

Remarque 4

Dans certains cas, il est inutile de faire tous les calculs : la forme trigonomtrique se "voit" : 1 = cos 0 +i sin 0 donc|1| = 1 et arg(1) = 0. i= cos

2

+i sin

2

donc|i| = 1 et arg(i) =

2.



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IV Forme exponentielle

IV.1 Dfinitions

Dfinition 8Pour tout nombre rel, on pose : cos +i sin = ei.

Remarque 5 Il existe une fonction appele fonction exponentielle x ex de R dans R. Mais ici, i est un nombre

complexe et la fonction ei nest pas au programme de terminale. e1 =e est un nombre qui a pour valeur approche 2 , 718.

Dfinition 9Soitz= a+ib un nombre complexe non nul de moduler= |z| et dont un argument est = arg(z).On note ce nombrez sous la formez= r ei.Cette criture est appele notation exponentielle dez.

Remarque 6On a alors z= r ei =r(cos +i sin ) = r cos +ir sin = a+ib..

Exemple 10Diffrentes critures des nombres complexes z1 et z2 :

Forme algbrique Forme trigonomtrique Forme exponentielle

1 i 2cos

4

+i sin

4

2 ei

4

3 +i 2

cos

6

+i sin

6

2 ei

6

Exemple 11Passage de la forme exponentielle la forme algbrique de z = 4 ei

3

4 :

z= 4

cos

34

+i sin

34

z= 4

22

+i

2

2

z= 22 + 2i2.

IV.2 Rgles de calcul en notation exponentielle

Remarque 7Pour les calculs du type "somme" ou "diffrence", on utilisera la forme algbrique.On prfrera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients.



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Proprit 8Pour tous , R, tous r, r R+

, tout n N:

r ei r ei =rr ei(+).

r e

in=r

n

e

in

.

r ei

r ei =

r

rei(

).

Exemple 12Soit z1= 2 ei

3 et z2= 2

3 ei

6 :

z1z2= 2 2

3 ei(

3+

6 ) = 4

3 ei

2 .

z42=

2

34

ei4

6 = 144 e2i

3 .

z2

z1=

2

32

ei(

6

3 ) = 2 ei

6 .

V Formules de MOIVRE et dEULER

V.1 Formule de MOIVRE

Proprit 9Pour tout Ret tout n N: (cos +i sin )n = cos(n) +i sin(n).

Un peu dhistoire: Abraham de MOIVRE 1667-1754 est un mathmaticien britannique dorigine franaise.

Exemple 13Factorisation decos(2) etsin(2) :

On a dune part : (cos +i sin )2 = cos(2) +i sin(2) daprs la formule de MOIVRE,

et dautre part :(cos +i sin )2 = cos2 + 2i cos sin sin2 par dveloppement, do :cos(2) = cos2 sin2 etsin(2) = 2 cos sin .

V.2 Formules dEULER

Proprit 10Pour tout R: cos = e

i +ei

2 et sin =

ei ei2i

.

Un peu dhistoire: Leonhard EULER (1717 1783) tait un mathmaticien et physicien suisse.Exemple 14Linarisation desin2 x :

sin2 x=

eix

eix

2i

2= e

2ix

2 eix

eix

+e2ix

4 =2 +e2ix

+e2ix

4 =12

1 e2ix

+e2ix

2

,

donc :sin2 x=1 cos(2x)

2 .



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VI Lignes de niveau

Dfinition 10Dans un repre orthonormal (O;u;v), la ligne de niveau k dune fonction f est lensemble des pointsdaffixez tels quef(z) = k.

Les principales lignes de niveau dans Csont :

La ligne de niveau k de la fonction z Re(z) est lensemble des pointsMdu plan daffixe z dont lapartie relle est k, cest dire la droite dquation x= k.

La ligne de niveau k de la fonction z Im(z) est lensemble des pointsMdu plan daffixe z dont lapartie imaginaire est k, cest dire la droite dquation y= k.

La ligne de niveau k (positif) de la fonction z |z a| est le cercle de centre A daffixea et de rayonk.

La ligne de niveau k de la fonction z arg(z a) est la demi-droite dorigine Adaffixe adangle kpar rapport (O,u).

Exemple 15On construit les lignes de niveau suivantes :

En bleu, la ligne de niveau 2 de la fonction Re(z). En orange, la ligne de niveau4 de la fonction Im(z) En vert, la ligne de niveau3 de la fonction z .

En rouge, la ligne de niveau

4 de la fonctionarg(z).

1 2 3 412345

1

2

3

4

1

2

3

4

5



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VII quations du second degr

Proprit 11Soit az2 +bz+c= 0 une quation du second degr o a; b; c Ravec a = 0.On pose =b2 4ac.

Si >0, lquation du second degr admet deux solutions relles distinctes :

z1=b+

2a et z2=

b

2a

.

Si = 0, lquation du second degr admet une unique solution relle :

z0=b2a

.

Si

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