第2章　「ベクトル」

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5. 基本ベクトルと成分表示

map

ベクトル 学習マップベクトル 学習マップ平面ベクトルの基礎理論

ベクトルの概念ベクトルの演算 加法と実数倍ベクトルの分解 一次結合基本ベクトルと成分表示有向線分の表すベクトルの成分表示ベクトルの内積の概念ベクトルの内積の基本的応用

平面ベクトルの応用

位置ベクトルの概念 図形のベクトル方程式図形の論証問題

B 05001

平面の基本ベクトル平面の基本ベクトル

O

1

2

2E

E

1e

y

x

e

　 を原点とする座標平面上で， 軸および 軸上に点 ， をとる．このとき，座標軸方向の つの単位ベクトル

を平面の 基本ベクトル という．(0 , 1)

(1, 0)

B 05002

基本ベクトル方向への分解基本ベクトル方向への分解任意のベクトル に対して，

となる点 をとる．を通り 軸， 軸に平行

な直線をひき， 軸， 軸との交点をそれぞれ ， とする．このとき，

，となる実数 ， がある．

であるから， は次の形にただ 通りに表される．

O 1

1

A

2A

2

2E

E

1e

y

x

e

a

B 05002

ベクトルの成分，成分表示ベクトルの成分，成分表示となるとき， ， を の 成分，

を 成分 ， を 成分 といい，

，

と書く．この右辺を， の 成分表示 という．

ベクトル の成分表示 ， は となる点 の座標と見掛け上，一致する．とくに，

である．

xx yy

O 1

2

y

xa

1aa 2aA( , )

a

ベクトルの大きさベクトルの大きさ

B 05101

成分表示されたベクトルの基本性質成分表示されたベクトルの基本性質　成分表示されたベクトルについて次の関係が成り立つ．

のとき，

のとき，

つのベクトル ， に対して，

　 　 かつ

例例

B 05102

ベクトルの演算と成分表示ベクトルの演算と成分表示　 ， は，基本ベクトル， を用いて，

，と表されるから，

同様に

ただし， は実数

B 05103

成分表示されたベクトルの演算例成分表示されたベクトルの演算例， のとき，例例

例題

B 05201

O

y

xb a

c

　 ， のとき，に対して， を満たすように， ，の値を定めよ．

【解】 を成分で表すと，

したがって，となるのは，

∴ ，

どんなベクトル に対しても，を満たすように ， を決めることができる．注意注意