L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYONtheses.insa-lyon.fr/publication/1998ISAL0113/these.pdf · 15 NOMENCLATURE a Diffusivité thermique m²/s A Angle d’aspérité

N° d’ordre 98 ISAL 0113 Année 1998

THESE

présentée devant

L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

Formation doctorale : Thermique et Energétique Ecole Doctorale : Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique

par

BOUTONNET Anne-Sophie, épouse MARCHAND ingénieur INSA

ETUDE DE LA RESISTANCE THERMIQUE DE CONTACT A L’INTERFACE DE SOLIDES DEFORMABLES EN FROTTEMENT :

APPLICATION AUX PROCEDES DE FORGEAGE

Soutenance le 8 Décembre 1998 devant la commission d’examen

Jury : M. Jean-Pierre BARDON ISITEM Rapporteur M. Najib LARAQI Université Paris 6 Rapporteur M. Martin RAYNAUD INSA de Lyon Directeur de Thèse M. Didier ARGENCE FORTECH Examinateur M. Jean-Claude BOYER INSA de Lyon Examinateur M. Alain DEGIOVANNI INPL Président M. Michel LAURENT Université Claude Bernard Examinateur

Cette thèse a été préparée au Centre de Thermique de Lyon (CETHIL)

A la mémoire de mon grand-père,

A ma grand-mère,

A mes parents,

A Nicolas.

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AVANT-PROPOS

Ce travail de recherche a été effectué au Centre de Thermique de Lyon (Equipe TIM), dans le cadre d’une Action Concertée de Recherche portant sur la ‘modélisation du forgeage’.

Je remercie Mr Jean-François SACADURA, professeur, pour m’avoir accueilli dans

son Laboratoire. Je tiens à remercier particulièrement mon directeur de thèse Mr Martin RAYNAUD,

Professeur. Son expérience de la recherche , ses conseils, ses encouragements m’ont été d’une très grande utilité. De plus je tiens à lui exprimer mes sincères remerciements pour la confiance qu’il a pu m’accorder en n’hésitant pas à me faire participer à de nombreuses manifestations scientifiques très enrichissantes sur le plan personnel et professionnel.

Je voudrais exprimer ma profonde reconnaissance à Mr Jean-Claude BOYER, Maître

de Conférences, qui a joué un rôle déterminant dans le développement de mes recherches. Ce mémoire est le résultat de notre collaboration qui a été toujours agréable et enrichissante. Merci aussi à Emmanuelle SALLE, Maître de Conférences, pour sa très grande disponibilité et pour toute l’aide qu’elle a pu m’apporter ; qu’elle trouve ici le témoignage de mon amitié. Je tiens à les remercier tous les deux pour toutes ces heures passées sur POLLUX !

Je souhaite remercier les membres du jury pour avoir accepté d'examiner ce travail : Mr Jean-Pierre BARDON, Professeur, et Mr Najib LARAQI, Maître de Conférences,

tous deux rapporteurs de cette thèse. Mr Didier ARGENCE, ingénieur de recherche à FORTECH, et Mr Michel

LAURENT, Professeur. Je les remercie pour toutes les discussions constructives que nous avons eues.

Mr Alain DEGIOVANNI, Professeur. Je remercie très chaleureusement Mr Laurent BAILLET et Mr Patrice

CHANTRENNE, Maîtres de Conférences, pour l’intérêt qu’ils ont porté à ce travail. Je tiens également à remercier, pour les conseils qu'ils m'ont donnés et le matériel

qu'ils ont pu mettre à ma disposition, Mr Michel QUERRY et Mr Philippe SAINSOT, Maîtres de Conférences.

Mes remerciements iront enfin à tous les membres de l'équipe avec qui j'ai passé de

bons moments : Dominique BAILLIS, Celso BEZERRA, Gilles BLANC, Riad BOURAYOU, Emmanuel BOURNEZ, Agnès DELMAS, Siaka DEMBELE, Raymond GENEY, Rogério LOPES, Aline MORLOT, Luis MOURA, Nerbe RUPERTI, Rodolph VAILLON.

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RESUME

L’objectif de ce travail était d’introduire dans les codes de calcul de mise en forme des paramètres thermiques d’interface outil-lopin prenant en compte leur dépendance vis-à-vis de l’ensemble des paramètres thermo-physiques et rhéologiques.

L’étude numérique proposée, a été fondée sur un modèle microscopique du contact dans lequel, l’outil parfaitement rigide crée, par son déplacement, une vague plastique déformable à la surface du lopin. Elle a permis de déterminer des expressions analytiques de la Résistance Thermique de Contact (RTC) en fonction des paramètres géométriques du contact et des propriétés des matériaux et du lubrifiant.

Un dispositif expérimental a été mis en place pour valider les corrélations dans le cas

de contacts secs. Une validation supplémentaire a été réalisée en comparant les RTC issues des corrélations aux résultats obtenus à partir de modèles de contact existants.

Les corrélations ont été introduites dans le code de calcul de mise en forme POLLUX,

qui considérait jusqu'à présent une valeur constante et fixée a priori de la RTC. Il est désormais possible de prendre en compte une variation spatio-temporelle de ce paramètre. Des simulations ont permis de montrer l’influence de ces changements sur le comportement thermo-mécanique du lopin au cours de la mise en forme.

12

13

ABSTRACT

A numerical study is realised to estimate the Thermal Contact Resistance (TCR) between the tool and the workpiece during forming processes. The approach is based on a thermo-mechanical microscopic model of the contacting surfaces which assumes that during the relative motion between the tool and the workpiece, the perfectly rigid tool asperities create plastic waves on the workpiece contact surface.

Empirical relationships are proposed, to determine the TCR as a function of the

interface geometry and the thermal properties. The predictive capability of the relationships is obtained by comparing its outputs with the TCR determined from the numerical calculation.

Furthermore, an experimental set up is designed so as to compare the experimental

and the numerical values of the TCR and to validate the correlations for dry contacts. Another validation is also done by comparing the results with other thermal models for a particular geometry.

These correlations are introduced in the numerical code of hot forming process

simulation POLLUX which, until now, only took into account a constant arbitrary value of the TCR. Thanks to the correlations, the TCR is now time and space dependent. The influence of the variable TCR on the thermo-mechanical behavior of the workpiece during the process is studied.

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NOMENCLATURE

a Diffusivité thermique m²/s A Angle d’aspérité de l’outil ° Aa Aire apparente de contact m² Ar Aire réelle de contact m² Cp Chaleur spécifique J/kg.K e Epaisseur m E Module de Young MPa h Hauteur d’aspérité de l’outil m H Micro-dureté Vickers (daN/mm²) h∞ Coefficient d’échange convectif W/m².K h1 Hauteur de la vague plastique m

N Nombre de contacts par unité de surface apparente m−2 r Résistance thermique de contact K/W Rc Résistance thermique de contact m².K/W T Température K Tc Température de contact K V Vitesse m/s Vl Période des aspérités de l’outil m Vlo Longueur de la vague plastique m

INDICES

asp Aspérité cor Corrélée f Fluide num Numérique p Permanent t Transitoire th Théorique 1 Outil 2 Lopin 2D Bidimensionnel 3D Tridimensionnel

LETTRES GRECQUES

ε Incertitude % &ε Vitesse de déformation s-1 φ Flux thermique W ϕ Densité de flux W/m² λ Conductivité thermique W/m.K

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ρ Masse volumique kg m/ 3 σe Limite élastique MPa σn Contrainte normale MPa σo Contrainte d’écoulement MPa τ Contrainte tangentielle MPa

NOMBRES SANS DIMENSION

α Facteur de génération de flux ε Déformation fo Coefficient de frottement ν Coefficient de poisson πo Interface géométrique de contact

Pe Nombre de Peclet : Va

x∆

S* Surface réelle de contact par unité de surface apparente : A Ar a

V* Vitesse adimensionnée de glissement : V L

a.2

ABREVIATIONS ABAQUS Code éléments finis thermo-mécanique.

CEMEF Centre d’Etude de la Mise en Forme.

CETHIL Centre de Thermique de Lyon.

FORGE2 Logiciel éléments finis de simulations bidimensionnelles thermo-visco-

plastiques de procédés de mise en forme, développé par le CEMEF et

TRANSVALOR.

FORGE3 Logiciel éléments finis de simulations tridimensionnelles thermo-visco-

plastiques de procédés de mise en forme, développé par le CEMEF et

TRANSVALOR.

ISITEM Institut des Sciences de l’Ingénieur en Thermique-Energétique et Matériaux.

LMSo Laboratoire de Mécanique de Solides (INSA Lyon).

POLLUX Logiciel éléments finis de simulations bidimensionnelles thermo-visco-

plastiques de procédés de mise en forme, développé par le LMSo de

L’INSA de Lyon.

RTC Résistance Thermique de Contact.

17

TABLE DES MATIERES

RESUME ............................................................................................................... 11

ABSTRACT ........................................................................................................... 13

NOMENCLATURE ................................................................................................ 15

TABLE DES MATIERES ......................................................................................... 17

INTRODUCTION GENERALE ................................................................................ 23

CHAPITRE I : REVUE BIBLIOGRAPHIQUE DE METHODES DE DETERMINATION DES RESISTANCES THERMIQUES DE CONTACT

I.1. Introduction...................................................................................................................... 29

I.2. Définition de la Résistance Thermique de Contact ...................................................... 29

I.3. Méthodes de détermination expérimentale de la RTC a l’interface outil-lopin lors des opérations de mise en forme de matériaux ............................................................ 31

I.3.1. Première méthode d’estimation de la RTC : mesure directe des températures de surface.................................................................................................................................. 32

I.3.2. Seconde méthode d’estimation de la RTC : comparaison des températures calculées et mesurées........................................................................................................... 35

I.3.3. Troisième méthode d’estimation de la RTC : les techniques inverses ...................... 39

I.3.4. Conclusion.................................................................................................................. 43

I.4. Déterminations théoriques de la RTC sans transfert de chaleur par le milieu interstitiel ................................................................................................................................ 44

I.4.1. Détermination théorique de la RTC dans le cas de géométries bidimensionnelles et tridimensionnelles ............................................................................. 46

1.4.1.1. Calcul de la résistance de constriction Rc1 ......................................................... 46 1.4.1.2. Détermination de la résistance d’aspérité Rasp .................................................. 49 1.4.1.3. Détermination de la résistance de constriction Rc2 ............................................ 50

I.4.2. Détermination de S*................................................................................................... 51

I.4.3. Conclusion.................................................................................................................. 54

I.5. Conclusion ........................................................................................................................ 55

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CHAPITRE II : DETERMINATION NUMERIQUE DES PARAMETRES THERMIQUES D’INTERFACE

II.1. Introduction, positionnement de l’étude...................................................................... 59

II.2. Modélisation géometrique microscopique du contact outil-lopin ............................. 61

II.3. Modélisation macroscopique thermique du contact outil-lopin ................................ 64

II.4. Solution numérique du problème microscopique ....................................................... 65

II.4.1. Organisation du programme de résolution thermomécanique.................................. 65 II.4.1.1. Détermination des caractéristiques de la vague plastique du lopin et de la

puissance générée par frottement et déformation plastique .................................... 67 II.4.1.2. Principe de détermination des paramètres thermiques d’interface ..................... 68

II.4.2. Méthode de détermination du champ de température à l’interface outil-lopin ........ 69 II.4.2.1. Mise en équations ; introduction de l’équation de diffusion .............................. 69 II.4.2.2. Hypothèses de calcul........................................................................................... 71 II.4.2.3. Maillage .............................................................................................................. 72 II.4.2.4. Types de noeuds rencontrés ................................................................................ 73 II.4.2.5. Exemples de champs de température .................................................................. 75

II.4.3. Choix de l’interface géométrique de contact ............................................................ 78 II.4.3.1. Cas où λ λ1 2= ................................................................................................... 79 II.4.3.2. Cas où λ λ1 2 > .................................................................................................. 80 II.4.3.3. Cas où λ λ1 2 < ................................................................................................. 80 II.4.3.4. Conclusions......................................................................................................... 81

II.5. Conclusion....................................................................................................................... 82

CHAPITRE III : RESULTATS NUMERIQUES CONCERNANT LA RESISTANCE THERMIQUE DE CONTACT

III.1. Introduction .................................................................................................................. 87

III.2. Modèle résistif du contact ............................................................................................ 88

III.2.1. Détermination de la résistance de constriction Rs ................................................... 89

III.2.2. Détermination de la résistance du fluide Rf............................................................. 90

III.2.3. Influence sur Rc du facteur d’échelle ...................................................................... 91

III.2.4. Méthodologie de détermination des corrélations .................................................... 93

III.3. Résultats obtenus .......................................................................................................... 94

III.3.1. Présentation des corrélations ................................................................................... 94

III.3.2. Comparaison des corrélations avec les résultats numériques.................................. 95 III.3.2.1. Validation des corrélations dans le cas d’une aspérité adiabatique................... 95 III.3.2.2. Validation des corrélations dans le cas d’un contact avec lubrifiant................. 96

19

III.3.2.3. Incertitudes sur les corrélations liées aux incertitudes sur les données du forgeage................................................................................................................... 98

III.4. Conclusion ................................................................................................................... 100

CHAPITRE IV : PRESENTATION DU PROCESSUS EXPERIMENTAL DE MESURES DE RESISTANCES THERMIQUES DE CONTACT

IV.1. Introduction................................................................................................................. 105

IV.2. Dispositif expérimental de mesures........................................................................... 106

IV.2.1. Présentation des échantillons testés ...................................................................... 108

IV.2.2. Les moyens de mesures......................................................................................... 111

IV.3. Méthodologie de détermination expérimentale de la résistance thermique de contact ................................................................................................................................... 111

IV.3.1. Exploitation du régime thermique permanent ....................................................... 113

IV.3.2. Exploitation du régime thermique transitoire ....................................................... 114

IV.4. Conclusion ................................................................................................................... 116

CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX DES RTC POUR DES GEOMETRIES DE CONTACT BIDIMENSIONNELLES : VALIDATION DE LA MODELISATION NUMERIQUE

V.1. Introduction .................................................................................................................. 121

V.2. Essais réalisés................................................................................................................ 121

V.3. Analyse des états de surface des échantillons ............................................................ 123

V.3.1. Analyse des échantillons avant essais .................................................................... 123 V.3.1.1. Aspérités triangulaires de hauteur 200 µm ...................................................... 124 V.3.1.2. Aspérités triangulaires de hauteur 400 µm ...................................................... 126

V.3.2. Analyse de la géométrie de contact au cours du chargement ................................. 128 V.3.2.1. Simulation de l’évolution de la géométrie de contact au moyen du logiciel

ABAQUS .............................................................................................................. 128 V.3.2.2. Etude des déformations des surfaces ................................................................ 131

V.3.3. Analyse des surfaces après les essais ..................................................................... 134

V.3.4. Conclusion .............................................................................................................. 140

V.4. Principe de comparaison des résultats expérimentaux avec les corrélations proposées et les RTC théoriques ......................................................................................... 140

V.5. Résultats pour les aspérités de hauteur 200 microns ................................................ 141

V.5.1. Exemple de dépouillement des mesures : obtention de la RTC ............................. 142

20

V.5.2. Intervalles de confiance sur les résultats obtenus................................................... 145 V.5.2.1. Incertitudes sur Rp ........................................................................................... 146 V.5.2.2. Incertitudes sur Rt ........................................................................................... 147 V.5.2.3. Commentaire des résultats ................................................................................ 148

V.6. Résultats pour les aspérités de hauteur 400 microns ................................................ 149

V.7. Comparaison de l’ensemble des résultats avec les corrélations et les relations théoriques existantes ............................................................................................................ 153

V.8. Conclusion..................................................................................................................... 155

CHAPITRE VI : RESULTATS EXPERIMENTAUX DES RTC POUR DES GEOMETRIES DE CONTACT TRIDIMENSIONNELLES : INFLUENCE DES PHENOMENES 2D ET 3D SUR LA RTC VI.1. Introduction................................................................................................................. 159

VI.2. Présentation des essais réalisés .................................................................................. 160

VI.3. Analyse des états de surface des échantillons........................................................... 162

VI.3.1. Analyse des échantillons avant les essais.............................................................. 162 VI.3.1.1. Aspérités pyramidales de hauteur 200 µm ..................................................... 162 VI.3.1.2. Aspérités pyramidales de hauteur 400 µm ..................................................... 163

VI.3.2. Détermination de la géométrie de contact au cours du chargement...................... 164

VI.3.3. Analyse des échantillons après les essais.............................................................. 165 VI.3.3.1. Aspérités pyramidales de hauteur 200 µm ..................................................... 165 VI.3.3.2. Aspérités pyramidales de hauteur 400 µm ..................................................... 166

VI.3.4. Conclusion............................................................................................................. 167

VI.4. Présentation des résultats expérimentaux ................................................................ 167

VI.4.1. Résultats pour les aspérités de hauteur 200 microns............................................. 168

VI.4.2. Résultats pour les aspérités de hauteur 400 microns............................................. 170

VI.5. Commentaires des résultats expérimentaux 3D....................................................... 173

VI.5.1. Validation des résultats expérimentaux par comparaison avec les relations théoriques existantes.......................................................................................................... 173

VI.5.2. Comparaison des RTC 2D et 3D........................................................................... 175 VI.5.2.1. Conditions de comparaison des RTC .............................................................. 176 VI.5.2.2. Résultats expérimentaux pour les deux géométries de contact étudiées ......... 176 VI.5.2.3. Comparaison théorique des résistances de constriction 2D et 3D................... 177 VI.5.2.4. Conclusion de cette étude................................................................................ 180

VI.6. Conclusion ................................................................................................................... 181

21

CHAPITRE VII : INTRODUCTION DES CORRELATIONS DANS LE CODE DE CALCUL DE MISE EN FORME DE MATERIAUX POLLUX

VII.1. Introduction ............................................................................................................... 185

VII.2. Première simulation : cas de l’écrasement de tas plats ......................................... 186

VII.2.1. Influence de la vitesse de descente de l’outil supérieur....................................... 187

VII.2.2. Influence de la température initiale de l’outil supérieur ...................................... 189

VII.2.3. Influence de la RTC............................................................................................. 189

VII.2.4. Conclusion ........................................................................................................... 191

VII.3. Simulation d’un cas de filage au moyen d’un outil évasé ...................................... 192

VII.3.1. Etude de l’évolution de la RTC en fonction du temps et de l’espace .................. 194

VII.3.2. Comparaison des résultats pour une course d’outil de 12,5 mm ......................... 196

VII.4. Influence de α sur les simulations de forgeage...................................................... 198

VII.4.1. Cas des forgeages non-isothermes ....................................................................... 198

VII.4.2. Cas des forgeages isothermes .............................................................................. 199

VII.5. Conclusion.................................................................................................................. 199

CONCLUSION ..................................................................................................... 201

BIBLIOGRAPHIE................................................................................................. 205

ANNEXE 1 : Code de calcul POLLUX : bilan thermique à l’interface outil-lopin .............. 213

ANNEXE 2 : Caractérisation de la rugosité réelle de l’outil................................................. 215

ANNEXE 3 : Détermination des flux nets radiatifs échangés entre les faces de l’aspérités........................................................................................................................... 221

ANNEXE 4 : Détermination des températures et flux surfaciques au moyen d’une méthode inverse de conduction de la chaleur.................................................................... 225

ANNEXE 5 : Résultats de la simulation de l’évolution de la géométrie de contact expérimentale au moyen du logiciel ABAQUS - cas des aspérités de hauteur 400 µm .................................................................................................................................... 231

ANNEXE 6 : Etude de la résistance de constriction dans des solides de géométries différentes .......................................................................................................................... 233

ANNEXE 7 : Caractéristiques thermo-mecaniques de l'Inconel 718 et du TA6V ................ 239

INTRODUCTION 23

INTRODUCTION GENERALE

Une Action Concertée de Recherche portant sur ‘’la modélisation du forgeage’’,

regroupant à la fois des professionnels de la forge (SNECMA, GIAT, FORTECH, etc.) mais aussi des universitaires, a été initiée il y a 5 ans. L’objectif de l’ACR, est principalement de développer et d’industrialiser des logiciels de modélisation numérique de forgeage. L’utilisation de simulations numériques a permis une meilleure appréhension des phénomènes physiques intervenant au cours des opérations de forgeage. L’amélioration de la connaissance des procédés et la maîtrise des paramètres qui conditionnent les performances et la qualité des pièces forgées permettront aux forgerons d’optimiser leurs procédés de fabrication et de diminuer ainsi les coûts et les délais de production.

Sept Groupes de Travail permettent de relever ces enjeux :

Parmi ceux-ci le GTA, le GTC, le GTD et le GTG s’occupent de l’industrialisation des logiciels de simulation 2D, FORGE2 et 3D, FORGE3.

Le GTE a pour objectif d’étudier les phénomènes d’endommagement des outillages tels que l’usure abrasive ou la fatigue thermique.

Une bonne simulation numérique nécessite une bonne connaissance des données thermophysiques ( ( ) ( ) ( )ρ λT T T, , C ...p ), ou rhéologiques (Module de Young E, coefficient de Poisson υ , loi de comportement...). Le GTF s’est donc fixé l’objectif, d’une part de rechercher des données issues de la littérature et d’autre part de caractériser une partie de ces données aux moyens de dispositifs expérimentaux.

La simulation numérique, afin d’être optimale, nécessite une connaissance très précise des données, de type ‘’surfacique’’, caractéristiques des mécanismes d’échanges à l’interface pièce-outil. L’action du GTB s’inscrit dans ce cadre. Ainsi, l’objectif de ce groupe de travail est de fournir des compléments à l’outil numérique capables de mieux prendre en compte les mécanismes thermiques et mécaniques (loi de frottement) liés aux interfaces outil-lopin. L’amélioration des capacités prédictives des codes de calculs utilisés en forgeage passe par une meilleure connaissance de ces mécanismes.

L’objectif du travail présenté s’inscrit dans le cadre du GTB et est réalisé en collaboration avec le Laboratoire de Mécanique des Solides (LMSo) de l’INSA de Lyon. Il s’agit de déterminer numériquement les paramètres thermiques de contact afin de les intégrer dans les codes de calcul FORGE2 et POLLUX qui sont des logiciels éléments finis de simulations bidimensionnelles élasto-visco-plastiques de procédés de mise en forme. POLLUX est un code de calcul développé au LMSo tandis que FORGE2 est le code de calcul industriel équivalent, développé par le CEMEF et TRANSVALOR.

INTRODUCTION 24

Alors que de nombreux modèles analytiques et numériques ont été développés ces dernières années pour simuler le comportement mécanique des pièces lors des opérations de mise en forme, la modélisation thermique de l’interface pièce-outil est un problème encore très peu abordé par les mécaniciens. Pourtant, le comportement thermique de l’interface de contact lors des opérations de forgeage est déterminant. En effet la tenue des matériaux et l’usure des pièces sont intimement liées aux gradients de températures. La précision du modèle thermo-mécanique dépend donc de la précision des conditions aux limites et notamment de la Résistance Thermique de Contact (RTC). Or des logiciels tels que POLLUX ou FORGE2 prenaient en compte, jusqu'à présent, comme condition aux limites d’interface une RTC constante fixée a priori.

Ce rapport de thèse s’articule de la façon suivante : le premier chapitre présente une revue bibliographique des études de transferts

thermiques à l’interface outil-lopin et des méthodes de détermination de la RTC lors des opérations de mise en forme des matériaux. L’essentiel des estimations de la RTC se base sur une approche expérimentale. Ce chapitre permet de montrer, d’une part la nécessité d’utiliser une valeur ‘’juste’’ de ce paramètre lors des simulations numériques des procédés de mise en forme, d’autre part la difficulté de proposer une approche systématique de détermination de la RTC à partir d’une procédure expérimentale. Cette difficulté réside dans le nombre important de paramètres rhéologiques et thermo-physiques dont dépend la RTC et dans les niveaux de températures et de pressions atteints au cours des essais, rendant l’instrumentation des procédés extrêmement délicate. Une approche numérique est donc proposée ici. La détermination numérique de la RTC nécessite la définition et l’utilisation d’un modèle microscopique de contact. C’est pourquoi une synthèse bibliographique des différents modèles existant déjà dans la littérature est proposée dans la deuxième partie de ce chapitre.

Dans le chapitre II la méthodologie de détermination numérique des paramètres

thermiques d’interface est présentée. Une modélisation géométrique microscopique du contact autre que celles déjà proposées pour des études thermiques, a été retenue. Cette modélisation de l’interface outil-lopin a été développée par Challen et al. [1984]. Ce modèle, dit de la vague plastique, tient son nom du fait que l’outil, supposé parfaitement rigide, va créer au fur et à mesure du forgeage, à la surface du lopin une vague plastique déformable. En complément de cette modélisation géométrique du contact, un modèle thermique macroscopique de contact glissant faisant intervenir deux paramètres a été retenu. Ces paramètres sont la résistance thermique de contact, Rc, et le facteur de génération de flux α , représentatif du transfert thermique lié à la génération de chaleur par déformation plastique et par frottement au niveau de l’interface. A partir du modèle d’interface, le calcul du champ de température en régime permanent permet d’obtenir Rc et α .

Les résultats numériques concernant la résistance thermique de contact, Rc , sont

présentés dans le chapitre III. La détermination numérique de Rc à partir du modèle microscopique de contact est coûteuse en temps de calcul. C’est pour cette raison que des lois prédictives ont été développées à partir d’un schéma résistif de contact et des résultats numériques de la simulation. Les corrélations proposées donnent la valeur de la RTC en fonction des paramètres géométriques du contact et des conductivités des matériaux et du lubrifiant dans la zone proche de l’interface. Une première validation de ces corrélations est

INTRODUCTION 25

effectuée en comparant les valeurs de la RTC obtenues au moyen des corrélations ( Rcor ) aux valeurs numériques.

Parallèlement à cette étude numérique, un dispositif de mesures a été mis en place

permettant la détermination expérimentale de la RTC. La méthodologie expérimentale suivie est présentée dans le chapitre IV. L’objectif de cette étude expérimentale est double. Dans un premier temps, il s’agit de valider l’étude numérique réalisée. Dans un deuxième temps, nous avons voulu quantifier l’influence des phénomènes bidimensionnels (2D) et tridimensionnels (3D) sur la RTC afin de justifier, par exemple, d’une éventuelle modélisation tridimensionnelle du contact permettant de déterminer une RTC tridimensionnelle nécessaire dans des codes de calcul 3D tels que FORGE3.

Le chapitre V présente les résultats concernant la validation de l’étude numérique.

Cette validation porte sur la comparaison des RTC obtenues expérimentalement avec d’une part les valeurs estimées au moyen des corrélations ( Rcor ), d’autre part les valeurs calculées à partir de modèles théoriques proposés dans la littérature ( Rth ). La détermination de Rcor et Rth implique une parfaite connaissance de la géométrie de contact en fonction de la charge appliquée. La détermination de la valeur de l’aire réelle de contact par unité de surface apparente, S*, est donc une étape préliminaire indispensable au calcul des RTC. S* est estimée au moyen du code de calcul de mise en forme de matériaux ABAQUS. Les résultats sont comparés, entre autres, aux relevés profilométriques des surfaces des échantillons après les essais.

Le chapitre VI présente les résultats expérimentaux dans le cas des géométries de

contact tridimensionnelles. Une validation des mesures est rendue possible en comparant les valeurs des RTC obtenues à celles calculées à partir de modèles théoriques, présentés dans le chapitre I, et correspondant aux conditions expérimentales du contact. Ces mesures permettent d’étudier l’influence de l’effet directionnel sur la RTC en comparant ces résultats à ceux mesurés pour les géométries de contact 2D équivalentes.

Les corrélations validées, l’objectif final est de les introduire dans les codes de calcul

de mise en forme des procédés POLLUX et FORGE2. POLLUX étant développé par le LMSo à l’INSA de Lyon, les premières simulations ont été réalisées sur ce logiciel. Jusqu'à présent, les logiciels se limitaient souvent à une RTC constante dont la valeur était fixée a priori. Il va être désormais possible de prendre en considération une valeur de la RTC variable dans l’espace (tout le long du contact outil-lopin) et dans le temps ; cette variation ‘’spatio-temporelle’’ étant liée, d’une part à la variation de la géométrie de contact, d’autre part à la non linéarité du problème. Le chapitre VII présente quelques résultats de simulation. Ces simulations soulignent, entre autre, l’intérêt d’estimer la RTC sur chaque élément de contact et les conséquences que cela a sur les résultats finaux. De plus ces simulations permettent de montrer, dans le cas de forgeages non isothermes, le peu d’influence du facteur de génération de flux, α , sur le transfert thermique à l’interface dû à la très faible valeur du flux généré par frottement et déformation à l’interface par rapport au reste des échanges thermiques.

CHAPITRE I

27

CHAPITRE I

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE DE METHODES DE DETERMINATION DES RESISTANCES

THERMIQUES DE CONTACT

I.1. INTRODUCTION ............................................................................................. 29

I.2. DEFINITION DE LA RESISTANCE THERMIQUE DE CONTACT ....................... 29

I.3. METHODES DE DETERMINATION EXPERIMENTALE DE LA RTC A

L’INTERFACE OUTIL-LOPIN LORS DES OPERATIONS DE MISE EN FORME DE

MATERIAUX ......................................................................................................... 31

I.4. DETERMINATIONS THEORIQUES DE LA RTC SANS TRANSFERT DE

CHALEUR PAR LE MILIEU INTERSTITIEL ............................................................. 44

I.5. CONCLUSION................................................................................................. 55

CHAPITRE I

28

CHAPITRE I

29

. CHAPITRE I

Revue bibliographique de méthodes de détermination des résistances thermiques de contact

I.1. INTRODUCTION

L’objectif de ce chapitre est de positionner cette étude dans un contexte plus général et de présenter l’ensemble des outils théoriques qui ont été nécessaires à l’élaboration de ce travail.

Dans un premier temps, une revue bibliographique des méthodes de détermination

expérimentale de la résistance thermique de contact à l’interface outil-lopin lors des opérations mise en forme de matériaux est présentée. Cette étude permet de voir les problèmes liés au choix d’une approche expérimentale pour déterminer la RTC à l’interface de l’outil et du lopin lors de procédés de mise en forme et ainsi de justifier l’approche numérique retenue qui se base sur une modélisation microscopique de l’interface outil-lopin (Fig.II.2). Le choix de ce modèle n’est justifié que dans le cadre de la mise en forme de matériaux car il prend en compte la pénétration du lopin déformable dans l’outil. Cependant, dans un contexte d’étude plus général, d’autres modèles de contact ont été proposés. Dans la seconde partie de ce chapitre, une revue bibliographique de quelques méthodes de détermination analytiques ou numériques utilisant ces modèles est présentée. Cette revue est loin d’être exhaustive, car les travaux sur ce sujet sont très nombreux. Elle présente donc en priorité des résultats utilisés dans la suite de ce travail.

I.2. DEFINITION DE LA RESISTANCE THERMIQUE DE CONTACT

Lorsque deux solides sont en contact, du fait de leurs rugosités et de la non planéité de

leurs surfaces, le contact ne s’effectue jamais sur toute la surface apparente, mais seulement en certaines zones de surface très faibles devant la surface apparente (Fig.I.1.a). Bardon [1972], Snaith et al. [1986] ont montré que la surface réelle de contact représente environ 1 % de la surface apparente pour les métaux.

CHAPITRE I

30

Solide 1

Solide 2

(a) (b)

π0

Tc2

Tp2

Tp1

T1(y)

T2(y)

Tc1

zone

pert

urb

e

e1

e2

y

0 x

Fig.I.1 : Définition de la résistance thermique de contact entre deux solides en régime

permanent et contact statique.

Entre les zones de contact subsiste un espace interstitiel, en général mauvais conducteur, qui constitue un frein au transfert de chaleur, qui de ce fait passe de manière préférentielle au niveau des contacts directs là où le passage de la chaleur est facilité. Le champ de température se trouve donc considérablement perturbé dans la région localisée de part et d’autres de l’interface. Il en résulte une constriction des lignes de flux (Fig.I.1.a) qui est responsable de la résistance thermique de contact (RTC) (Bardon et al. [1971]). La RTC, en régime permanent, est définie par :

RT T

cc c=

−2 1

1ϕ (I.1)

où Tc1 et Tc2 sont les deux températures de contact ‘’fictives’’ (Fig.I.1.b) obtenues par extrapolation du champ de températures non perturbé vers l’interface géométrique de contact πo :

T Te

ci pi ii

i= + ϕ

λ (I.2)

L’équation (I.1) consiste à supposer nulle l’épaisseur de la zone perturbée et à

remplacer la brusque variation de température qui se développe dans cette zone par une véritable discontinuité.

A partir de cette définition de la résistance thermique en contact statique et en régime

permanent, de nombreuses études ont été conduites en régimes périodiques (Fourcher et al.

CHAPITRE I

31

[1975], Cames-Pintaux et Padet [1980], Degiovanni et al. [1992], etc.), ou en contacts glissants (Vullierme et al. [1979], Bardon [1994], Chantrenne et Raynaud [1997], Laraqi [1997], etc.). De nombreux travaux de synthèses ont été réalisés sur les RTC, parmi lesquels on peut citer ceux de Bardon [1988] ou ceux de Fletcher [1988].

La RTC peut être déterminée expérimentalement, numériquement ou analytiquement.

Pour déterminer la RTC à l’interface de l’outil et du lopin lors de procédés de mise en forme, plusieurs études ont privilégié jusqu’à ce jour une approche expérimentale du problème. Les approches analytiques ou numériques permettent quant à elles de déterminer, à partir de modèles du contact, les valeurs de la RTC correspondant à des conditions géométriques d’interface et des caractéristiques de matériaux données.

I.3. METHODES DE DETERMINATION EXPERIMENTALE DE LA RTC A

L’INTERFACE OUTIL-LOPIN LORS DES OPERATIONS DE MISE EN FORME DE

MATERIAUX

L’étude de transferts de chaleur à l’interface de matériaux en contact a des

applications dans de nombreux domaines (aéronautique, aérospatiale, micro-électronique, forgeage, etc.). Lors des opérations de mise en forme, la connaissance du comportement thermique de l'interface pièce-outil est fondamentale. En effet, le comportement thermo-mécanique des pièces et les phénomènes d'usure ou de fatigue sont fortement dépendants des niveaux de températures et des phénomènes thermiques mis en jeu mais non encore quantifiés. Les premiers travaux portant sur le thème du transfert de chaleur à l'interface pièce-outil de forgeage datent de 1958 (Beck [1958]). Néanmoins, l'intérêt porté à ces phénomènes n'a commencé réellement à se développer qu'à partir des années 80. Depuis de nombreuses approches expérimentales ont été proposées pour estimer le coefficient thermique d’interface. Même si ces approches utilisent la même démarche expérimentale, à savoir la mise en contact d'un outil et d'un lopin portés à des températures différentes et instrumentés au moyen de thermocouples, les méthodologies de détermination de la RTC sont diverses. On peut distinguer essentiellement trois approches expérimentales distinctes permettant de calculer la RTC à l'interface outil-lopin :

La première approche, la plus ancienne, consiste à mesurer directement les

températures surfaciques au moyen de thermocouples appropriés sans toutefois s’intéresser au problème de l’estimation du flux surfacique en régime transitoire. La majeure partie de ces travaux portent sur les mesures des températures surfaciques et les problèmes inhérents à ce type de mesures notamment dans les conditions de températures et de pressions rencontrées au cours des procédés de mise en forme.

Devant les problèmes rencontrés lors des mesures directes des températures

surfaciques, une autre approche a été proposée qui consiste à comparer les températures mesurées à différents endroits de l’outil et du lopin, aux températures calculées au moyen

CHAPITRE I

32

d’un modèle monodimensionnel ou bidimensionnel, aux éléments ou aux différences finis. La résolution numérique du champ de températures dans l’outil et le lopin permet d’obtenir des courbes calibrées en fonction de la résistance thermique de contact. La concordance des mesures avec les résultats numériques permet de déterminer la valeur de cette résistance.

La dernière approche, beaucoup plus récente, fait appel aux techniques inverses. Cette

méthode semble à l’heure actuelle la plus performante. En effet, contrairement à l’approche précédente, elle permet de prendre en compte le caractère transitoire des procédés de mise en forme, en estimant à chaque pas de temps la valeur de la résistance thermique de contact à partir de températures internes mesurées.

L’objectif de ce paragraphe est de présenter successivement chacune de ces trois

approches en essayant de mettre en évidence les avantages et les inconvénients des méthodes employées.

I.3.1. Première méthode d’estimation de la RTC : mesure directe des

températures de surface

La première approche consiste à déterminer les températures de contact, en les

mesurant directement au moyen d’instruments de mesures appropriés. Cette approche de l’étude du comportement thermique de l’interface est plus qualitative que quantitative vu que l’essentiel des travaux dans ce domaine ne présentent pas de valeurs de la RTC. En effet aucun auteur propose de méthodes d’estimation ou de mesure du flux surfacique en régime transitoire nécessaires au calcul de la RTC.

Kellow et al. [1969] ont souligné l’importance des gradients thermiques à l’interface

outil-lopin sur le comportement mécanique de l’ensemble lors du forgeage. Ils ont étudié l’influence sur le transfert de chaleur de paramètres tels que la lubrification, la vitesse d’usinage, les déformations des surfaces en contact, etc. Ils ont proposé deux systèmes de thermocouples permettant de mesurer soit directement les températures de contact (Fig.I.2.a), soit des températures proches de l’interface (Fig.I.2.b). Bien que les fils de thermocouples soient en partie isolés, des risques d’erreur de mesure liés aux transferts de chaleur parasites sont à craindre du fait que les fils de thermocouples sont positionnés perpendiculairement au gradient thermique.

Ces types de thermocouples ont été employés par Dean et Silva [1979]. Ils ont

cependant souligné la fragilité de ces capteurs liée aux fortes contraintes et tensions d’interface qui apparaissent au cours du forgeage.

CHAPITRE I

33

fil en acier

Jonction duthermocouple

fil en constantan

isolant(a) : Les deux fils de thermocouples

sont séparés ; lorsque le secondmatériau vient en contact sur laface supérieure le circuitélectrique se ferme.

Surface du matériau

Araldite

Brasure

0,41

mm

0,6 mm

4,5

mm

fil d’alumel

Jonction chaude

fil de chromel

Isolant en magnésie

Gaine en acier inox

0,6 mm

(b)

Fig.I.2 : Thermocouples surfaciques (a) et ‘’sous-surfaciques’’(b) développés par Kellow et

al. [1969].

Lenard et Davies [1995] ont instrumenté un procédé de forgeage avec des

thermocouples de type K, de diamètre de fil de 0,254 mm. Une première série de thermocouples, mâtés à l’intérieur de trous de profondeur 10 mm permettait de mesurer la température en différentes positions des outils. Des thermocouples surfaciques ont aussi été employés. Les caractéristiques du dispositif sont représentées sur la figure (I.3). Les essais ont été réalisés à des pressions d’interface variant de 10 à 90 MPa. L’outil était chauffé à une température variant entre 300°C et 900°C. Les auteurs ont dans un premier temps souligné la

CHAPITRE I

34

dépendance du transfert de chaleur à l’interface de contact par rapport à la rugosité des échantillons, les niveaux de températures ainsi que l’état de surfaces des outils étant directement liés à la valeur de la pression d’interface. En effet la rugosité initiale de leurs pièces était comprise entre 0,15 et 0,2 µm. Cette rugosité n’a été que très peu modifiée tant que la pression d’interface est restée inférieure à 20 MPa. Elle est passée à 0,12 µm lorsque la pression est passée à 30 MPa. Une variation identique de la rugosité a été observée lorsque la pression a augmenté jusqu’à 40 MPa. Pour des pressions d’interface plus élevées la rugosité, des pièces n’a pas semblé être affectée de manière significative. Concernant la mesure des températures de surface, les performances de leurs thermocouples de surface semblaient très controversées. En effet chacun de ces thermocouples a donné des résultats différents remettant en cause la fiabilité et la précision des mesures surfaciques. De plus, vu les fortes concentrations de contraintes à l’interface de contact, les auteurs ont souligné l’extrême complexité à mettre en place un système de mesures directes des températures de surface. C’est pourquoi ils ont préconisé l’utilisation de techniques inverses telles que celles explicitées dans le paragraphe (I.3.3).

25,4 mm

outil chaud

outil froid

24 10 25

30 m

m

connection au système hydraulique

thermocouples de surface

thermocouples mâtésoutil froid : acier inox 303 Atlas SPS-plusoutil chaud : acier inox 303 acier micro allié (Nb, V, Ti)

Fig.I.3 : Caractéristiques du processus expérimental de mesure de températures dans les procédés de mise en forme (Lenard et Davies [1995]).

Une autre méthode a été utilisée par Jain [1990] pour estimer les températures de contact. Il a extrapolé le champ de températures mesurées par les thermocouples de type K vers l’interface géométrique de contact. Le lopin utilisé était en aluminium et l’outil en acier H-12. L’ordre de grandeur des résistances obtenues, en régime permanent était de 10-4 m².K/W. D’autres essais ont été réalisés, en régime sec ou lubrifié, (Jain [1991]) avec un outil en acier H-13 ou en Waspalloy et un lopin en inconel 718 ou en acier inox 304, pour des niveaux de pression pouvant atteindre 140 MPa. Cette méthode de mesure ‘’indirecte’’ des températures surfaciques, bien qu’intéressante, a été utilisée dans cet article à partir des données du transitoire thermique ce qui entraîne des résultats erronés. L’utilisation des températures extrapolées pour estimer le saut de températures à l’interface de contact est une méthode à proscrire dans le cas de simulation de procédés de mise en forme compte tenu du caractère transitoire du phénomène.

CHAPITRE I

35

I.3.2. Seconde méthode d’estimation de la RTC : comparaison des

températures calculées et mesurées

Cette approche, la plus communément utilisée jusqu'à présent, consiste à ajuster le

champ de températures calculées, au moyen d'un modèle (Boer et Schröder [1981]), au champ de températures mesurées, au moyen des thermocouples. Pour chaque température mesurée, les valeurs numériques des températures sont calculées en régime transitoire par une méthode éléments ou différences finis en prenant comme condition d’interface une RTC constante et fixée a priori. On obtient ainsi une série de courbes calibrées en fonction de la RTC. La RTC au contact outil-lopin est déterminée en faisant coïncider au mieux la courbe expérimentale des températures à une des courbes obtenues par calcul.

Dadras et Wells [1984] ont été parmi les premiers à adopter cette démarche. Leur

objectif était de déterminer la conductance entre un outil en acier et un lopin en cuivre OFHC, en acier 1042 ou en acier inox 304. Une méthode aux différences finies bidimensionnelle a été employée afin de calculer le champ de températures dans la pièce et les outillages. Les pertes radiales par rayonnement et convection ont été prises en compte. Compte tenu de la difficulté d'intégrer les comportements des couches d'oxydes et de lubrifiant dans le modèle, une RTC globale a été utilisée comme condition aux limites d'interface. D'un point de vue expérimental des thermocouples de type K ont été matés au centre des échantillons et dans l’outil supérieur. L’incertitude sur le positionnement des thermocouples était de ± 0 2, mm . Les températures étaient mesurées avec un maximum d’incertitude de ± °9 5, C . Le mauvais contact entre les thermocouples mâtés et les pièces ainsi que le positionnement des thermocouples de l’outil perpendiculairement au gradient thermique ont été à l’origine de problèmes d'homogénéité et de perturbation de la mesure de température, ce qui entraîne immanquablement des erreurs sur les valeurs estimées de la RTC.

Semiatin et al. [1987] ont voulu étudier l’influence des déformations sur la RTC. Pour

cela ils ont déterminé la conductance ho au moyen de courbes calibrées entre deux outils en Inconel 100 chauffés respectivement à 195°C et 425°C, pour différents niveaux de pression de contact (jusqu'à 150 MPa) et en contact sec ou lubrifié (eau ou huiles graphitées). Dans ce cas, les températures étaient estimées grâce à un modèle analytique monodimensionnel et les outils étaient instrumentés au moyen de thermocouples de type K, placés dans une zone proche de l’interface de contact (0,15 mm et 0,91 mm). Le type de résultats obtenus est représenté sur la figure (I.4) pour une pression d’interface de 150 MPa. Les courbes de températures, déterminées par calculs, sont calibrées en fonction ho. Par superposition du champ de températures calculées au champ de températures mesurées, on obtient ici une valeur ho autour de 6 kW/m².K, soit une RTC voisine de 1,7 10-4 m².K/W. Les différents essais réalisés ont permis de montrer que la RTC diminuait au moins d’un ordre de grandeur lorsque le niveau de pression passait de 0 à une pression de 150 MPa (ordre de grandeur des pressions atteintes lors des opérations de forgeage).

CHAPITRE I

36

25

50

75

100

00,2 0,4

T1-

T10

(°C

)

0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

8040ho (kW/m².K) 20

10

5

3

2

0.5

1

0.2

Temps (s)

Fig.I.4 : Comparaison de la température mesurée et des courbes calibrées dans le cas d’un contact lubrifié (Wynn 880N). La pression d’interface est de 150 MPa et les matériaux en

contact en Inconel 100. Tini=195°C (Semiatin et al.[1987]).

Une autre série d’essais leur a permis d’étudier l’influence des déformations sur le transfert de chaleur à l’interface en effectuant l’écrasement d’un lopin en aluminium 2024-0, chauffé à 425°C, entre les deux outils à 195°C, en contact sec ou lubrifié et pour des vitesses d’outil variant de 1 à 56 mm/s. Dans ce cas une approche monodimensionnelle en différences finies a permis de calculer les températures dans les pièces afin de les comparer aux températures mesurées.

Cette étude a été affinée ultérieurement (Burte et al. [1990]) grâce à l’utilisation du

logiciel éléments finis ALPID (‘’Analyse of Large Plastic Incremental Deformation’’) qui a permis une simulation 2D du comportement thermo-viscoplastique des pièces lors de l’opération de forgeage. Les mêmes essais que précédemment ont été réalisés (contact direct outil/outil et écrasement de lopin). Dans le cas du contact direct outil/outil, les températures initiales des deux outils étaient respectivement de 420°C et de 200°C ou de 50°C. Dans le cas des essais de mise en forme de lopins, les conditions de forgeage étaient soient isothermes (outils et lopin à 420°C) soient non-isothermes (outils à 200°C et lopin à 420°C). La première série d’essais a montré que la RTC diminuait d’environ un facteur 2 lorsque l’on passait d’un contact sec à un contact lubrifié, les aspérités à l’interface étant remplies d’un lubrifiant en général meilleur conducteur que l’air. Des résultats inverses ont été observés dans le cas des écrasements de lopins. En effet, dans ce cas il semblerait que l’eau contenue dans le lubrifiant, se soit évaporée très rapidement, le lubrifiant constituant ainsi un troisième corps isolant à la surface des outils. Le lubrifiant, suivant son comportement au cours du forgeage, peut donc constituer un frein au transfert de chaleur ou au contraire favoriser ce dernier.

Enfin, différentes simulations des écrasements de lopins au moyen du logiciel ALPID

ont montré que les dimensions du lopin après essais variaient en fonction du type de contact (sec ou lubrifié) et donc suivant l’importance du frottement à l’interface. A l’inverse une variation de la conductance, ho, n’entraînait pas de variation significative des dimensions du lopin. Les résultats de la simulation ont été confirmés par l’analyse des dimensions du lopin

CHAPITRE I

37

après écrasement (hauteur et diamètre). Ces observations ont permis aux auteurs d’affirmer que le frottement et le transfert de chaleur à l’interface étaient deux phénomènes indépendants. Les valeurs des RTC obtenues variaient entre 10 5− et 10 3− m².K/W.

Im [1989] a utilisé ce même logiciel de simulation et le même principe d’estimation

de la conductance pour les opérations de forgeage. Les lopins testés étaient en acier inox 304 AISI, en acier 1042 AISI ou en cuivre OFHC. Cette étude a montré l’influence de la RTC, choisie au niveau du modèle, sur les niveaux de températures dans les pièces et les outillages (Fig.I.5). Un écart de température d’environ 100°C a été obtenu par calcul numérique lorsque la résistance de contact imposée à l’interface est passée de 9,35 10-5 m².K/W à 9,35 10-4 m².K/W. De plus, la diversité des résultats obtenus pour la RTC à partir de la méthode des courbes calibrées (valeurs variant de 2 10-5 m².K/W à 10-3 m².K/W) souligne la nécessité de quantifier la RTC afin de réaliser une modélisation du forgeage la plus juste possible. De part l’extrême complexité des phénomènes qui régissent le comportement thermique de l’interface outil-lopin (états de surfaces, présence de lubrifiant, déformations des matériaux...), l’auteur a souligné l’impossibilité de développer, à partir de cette méthode une formulation simple permettant de déterminer la RTC pour des conditions de forgeage données.

0 2 4 6 8 10Temps (s)

450

500

550

600

650

700

Tem

pra

ture

s (C

)

Outil

Lopin

Outil

D22,21 mm

R=9,35 10-4 m².K/W

R=9,35 10-5 m².K/W

R=2 10-5 m².K/Wmesures expérimentales

Fig.I.5 : Températures en fonction du temps, calculées ou mesurées au niveau de la position D2 dans le cas du lopin en cuivre OFHC (Im [1989]).

Sellars [1985] et Li et Sellars [1996-1] ont appliqué cette méthode aux procédés de forgeage ou de laminage. Dans l’article de Li et Sellars [1996-1], deux modèles numériques, basés sur les différences finies, ont été utilisés pour calculer les températures. D’une part, le modèle bidimensionnel SLIMMER permettant de simuler le comportement thermique et métallurgique de procédés de laminage. D’autre part le modèle THERMAF (‘’Thermo-mechanical Modelling of Axisymmetric Forging’’) qui prend en compte les pertes radiatives et conductives ainsi que la génération de chaleur due aux déformations plastiques du lopin et aux frottements d’interface. La comparaison des résultats de laminage et de forgeage a permis de montrer que la RTC obtenue en forgeage et plus importante que celle obtenue en laminage

CHAPITRE I

38

(environ 2.10-4 m².K/W pour le forgeage et 8. 10-5 m².K/W pour le laminage). Les auteurs ont justifié cet écart par le fait que la couche d’oxyde s’évacue plus facilement lors des procédés de laminage permettant ainsi un contact plus intime entre l’outil et le lopin.

Ils ont affiné cette analyse (Li et Sellars [1996-2]) et ont proposé un modèle

macroscopique de l’interface (Fig.I.6). L’épaisseur de leurs couches d’oxyde, dont la valeur initiale dépend du temps de passage dans les fours et de la température de ces derniers, a été mesurée à partir de prélèvements sur les échantillons. Ces mesures ont confirmé que l’intégrité de la couche d’oxyde était conservée durant le forgeage à cause du durcissement superficiel de cette couche avec l’outil froid. La méthode des courbes calibrées leur a permis

d’obtenir la RTC, qu’ils ont supposée de la forme, Rcoxyde

0.δ

λ, où Rc

0 représente les effets de

la rugosité de l’outil, de la pression de contact et du contact imparfait entre l’outil et le lopin. Cette formulation n’est pas la plus judicieuse au regard du modèle proposé (Fig.I.6). En effet, dans ce cas la RTC correspond à la somme de deux résistances en série, une résistance de contact due au contact imparfait entre l’outil et la couche d’oxyde, et une résistance de paroi

(δ

λoxyde) due à la présence d’une couche ‘’isolante’’ d’oxyde entre l’outil et le lopin. Cette

approche est intéressante mais elle suppose de connaître les caractéristiques thermo-mécaniques des oxydes et leurs évolutions avec la température, ce qui pour le moment est loin d’être le cas.

Outil

Lopin

Oxyde

V

δ

Fig.I.6 : Modèle macroscopique de l’interface proposé par Li et Sellars [1996-2] pour prendre en compte le phénomène d’oxydation des surfaces.

La méthode des courbes calibrées permet d’obtenir l’ordre de grandeur des

coefficients thermiques d’interface lors des procédés de mise en forme. Toutefois, elle implique l’hypothèse que la résistance thermique au contact outil-lopin est constante au cours de l’opération de mise en forme. Cette hypothèse est erronée, vu que la géométrie de contact évolue sous l’influence des déformations élasto-plastiques, des contraintes d’interface, du frottement, etc. Cette analyse a déjà été confortée par les travaux de Im [1989]. En effet il existe un écart important entre les évolutions des températures mesurées et calculées (Fig.I.5), indiquant ainsi que la RTC n’est pas constante au cours du temps. C’est pour cette raison qu’une troisième méthode a été proposée.

CHAPITRE I

39

I.3.3. Troisième méthode d’estimation de la RTC : les techniques inverses

Cette approche se base sur les techniques inverses. A partir des mesures fournies par

des thermocouples placés loin de l’interface, une méthode de minimisation de fonctionnelle permet de déterminer la RTC en fonction du temps.

Beck [1968] a été l’un des premiers à utiliser une méthode inverse pour le traitement

des résultats expérimentaux et la détermination de la RTC dans le cas de deux matériaux accolés. Dans ce cas, la conductance h à l’instant ni est définie par :

h h hni ni ni= +− −1 1& (I.3) &hni−1 représente la variation de la conductance entre les instants ni-1 et ni. Le principe de cette méthode consiste à minimiser la fonctionnelle F( &h ) par rapport à

&h :

( ) ( )[ ]F h T h Yji

ji

j

m

i ni

ni& &= −∑∑

== − 11

2 (I.4)

Dans cette équation Tj

i représente la température à l’abscisse x j, calculée au temps ti , en utilisant une méthode aux éléments finis, aux différences finies ou une autre méthode de calcul. La condition aux limites à l’interface des matériaux correspond à h. Les températures Tj

i sont donc dépendantes de la valeur de h. Quant à Yji , il représente les

températures mesurées par les thermocouples. Beck [1988] a appliqué cette méthode au cas d’un contact périodique de deux cylindres. Pendant une durée de 15 secondes les deux cylindres étaient mis en contact sous une certaine pression, ensuite ils étaient séparés durant les 15 secondes suivantes, et ainsi de suite. La valeur de h était supposée constante sur chacune de ces plages de temps. Les températures étaient simulées au moyen d’une méthode aux différences finies avec le schéma de Crank Nicholson. Dans un souci de simplicité de présentation de la méthode, les propriétés de matériaux étaient supposées constantes ( λ = 106 1, / . W m K , ρC m K= 3280 3 KJ / . ) et les pertes latérales négligées. Néanmoins, l’auteur a souligné la nécessité d’avoir une modélisation la plus juste possible et donc de prendre en compte si cela est nécessaire l’ensemble de ces paramètres. Les valeurs des conductances d’interface obtenues variaient entre 409 et 516 W/m².K.

Chantrenne et Raynaud [1996] ont également utilisé cette technique d’estimation de

la RTC sur un cryotribomètre bidisque. Malinowski et al. [1994] ont été les premiers à utiliser cette méthode pour déterminer

la conductance thermique à l’interface outil-lopin, h, lors de procédés de mise en forme. Le dispositif expérimental correspond à celui utilisé par Lenard et Davies [1995] (Fig.I.3). Des essais ont été réalisés à des pressions d’interface variant de 30 MPa à 90 MPa. Une des pièces était chauffée dans un four, à une température variant de 300°C à 900°C, et mise en contact

CHAPITRE I

40

avec l’autre pièce, initialement froide. Le champ de température a été calculé au moyen d’un modèle bidimensionnel linéaire aux éléments finis. Les valeurs des RTC obtenues variaient entre 5 10-5 m².K/W et 2 10-2 m².K/W suivant les valeur de la pression d’interface et des températures initiales. Les auteurs ont été amenés à développer une corrélation donnant la valeur de la conductance h en fonction du temps, de la pression d’interface et des températures. L’écart entre les résultats fournis par la corrélation et ceux obtenus par méthode inverse varie entre 10 et 20 %.

Nshama et al. [1994] ont mis au point un dispositif expérimental composé d’un lopin

en aluminum (Al6061-O) et de deux outils en acier (4140). La presse hydraulique de 70 tonnes utilisée permettait une réduction du lopin de 75% et sa vitesse était de 1,375 mm/s. Le dispositif a été instrumenté au moyen de thermocouples de type J (Fer-Constantan) (Fig.I.7). Pour les essais n’engendrant pas de déformations plastiques du lopin, trois thermocouples ont été insérés dans ce dernier. En ce qui concerne l’outil inférieur, trois types de thermocouples ont été employés. D’une part des thermocouples placés à des distances de 2,159 mm et de 1,168 mm de l’interface, d’autre part des thermocouples permettant de mesurer directement la température surfacique de l’outil, et enfin des thermocouples mesurant la température de surface du lopin (en utilisant le principe présenté sur la figure (I.2.a)). D’autres essais ont été réalisés avec des thermocouples de type E (Chromel-Constantan) (Jeswiet et al. [1998]). Dans ce cas, les positions des thermocouples internes de l’outil par rapport à l’interface étaient respectivement de 0,5 mm, 1,5 mm et 3 mm. Afin de déterminer la RTC, les méthodes explicitées dans les paragraphes (I.3.2) et (I.3.3) ont été utilisées simultanément en négligeant les variations de la RTC au cours des essais. Les valeurs des RTC mesurées en contact sec ou lubrifiés variaient entre 4.10 m².K / W-6 et 2.10 m².K / W-5 et les incertitudes, liées à la reproductibilité des mesures, entre 5 % et 33 %.

outil supérieur

outil inférieur

thermocouples de l'outil

lopin (25,4*25,4 mm) thermocouples du lopin

3,17

5

12,7

Fig.I.7 : Dispositif expérimental de détermination de la RTC à partir d'une méthode inverse de conduction de la chaleur (Nshama et al. [1994]).

Dans ces deux articles, les auteurs ont montré que la précision de la détermination des

RTC au moyen d’une méthode de minimisation de fonctionnelle dépendait de la position des

CHAPITRE I

41

thermocouples. En effet, plus les thermocouples sont situés près de l’interface, plus l’estimation de la RTC est précise. Néanmoins, les auteurs ont souligné la fragilité des thermocouples surfaciques due aux importantes contraintes de pressions et de températures existant à l’interface. De plus, l’instrumentation de l’outil inférieur (thermocouples disposés perpendiculairement aux isothermes) a pu être à l’origine de mesures de températures erronées.

Lair [1997], au moyen de cette même méthode, a voulu quantifier l’influence de

divers revêtements utilisés au cours des opérations de matriçage. Deux échantillons de forme identique ont été chauffés à différentes températures puis mis en contact à des pressions variant de 1 à 150 MPa. Le premier (représentatif de l’outillage), en acier Z38CDV5 a été chauffé initialement à 400°C, l’autre (représentatif de la pièce à forger), en Inconel 718 a été chauffé jusqu'à 980°C. Une méthode de résolution aux différences finies était utilisée. Le modèle était monodimensionnel et les propriétés thermophysiques fonctions de la température. Trois types d’additifs ont été testés : un revêtement industriel isolant (à base de céramique), un revêtement industriel lubrifiant (à base de verre) et un mélange des deux. Leurs effets sur la RTC étaient très différents (Fig.I.8). L’isolant ‘’isolait’’ assez bien ; la RTC augmentait fortement par rapport à la configuration sans additif et l’influence de la pression d’interface était atténuée. Le revêtement lubrifiant jouait aussi un rôle de troisième corps, mais son effet isolant était beaucoup plus réduit. Cet additif n’isolait plus à hautes pressions et les valeurs de RTC étaient comparables à celles obtenues sans lubrifiant. Quand les deux types de revêtements étaient appliqués sur l’échantillon le plus chaud, l’effet de l’isolant l’emportait logiquement et des valeurs des RTC étaient très proches de celles obtenues avec le revêtement isolant.

Sans revêtementRevêtement isolantRevêtement lubrifiantRevêtement isolant et lubrifiant

200

600

50 150

1000

1400

1800

100Pression (MPa)

1/RT

C (W

/m².K

)

Fig.I.8 : Mise en évidence de l’influence de différents revêtements sur la RTC (Lair [1997]).

La difficulté principale des mesures de RTC lors des opérations de forgeage à chaud réside surtout dans le caractère très sévère des conditions expérimentales. En effet, les niveaux de contraintes et de température peuvent atteindre respectivement 500 MPa et 1000°C. Goizet et al. [Mai 1998, Août 1998] ont donc proposé une instrumentation fine de procédés de forgeage à chaud. Quatre thermocouples dans l’outil (Fig.I.9) ont permis de

CHAPITRE I

42

déterminer, au moyen de la méthode de spécification de fonction de Beck [1968], la température et le flux surfaciques. Le champ de température était supposé monodimensionnel et les propriétés thermophysiques fonctions de la température. La température surfacique du lopin a été obtenue à partir de la valeur du flux surfacique et de la donnée du thermocouple du lopin, en résolvant le problème direct de conduction de la chaleur. La RTC a été alors calculée pour chaque pas de temps en utilisant l’équation (I.1). L’outil, en Inconel 718, était à une température initiale de 200°C, 400°C ou 600°C et le lopin utilisé, en Titane à une température initiale voisine de 1000°C. La vitesse de forgeage variait entre 0,2 et 5 mm/s. Les auteurs ont étudié l’influence de la vitesse de forgeage, de la température initiale de l’outil et de la présence de lubrifiant à l’interface de contact sur la résistance thermique de contact.

Fig.I.9 : Principe de mesure des températures dans l’outil et le lopin (Goizet et al. [1998]).

Dans le cas des contacts non lubrifiés, la RTC diminue au fur et à mesure du forgeage,

jusqu'à tendre vers un contact quasi ‘’parfait’’ (Fig.I.10). Plus la vitesse de forgeage diminue, plus le contact ‘’parfait’’ met du temps à s’établir. D’autre part, aucune influence significative de la température de l’outil sur la résistance thermique de contact n’a été observée. Enfin, les auteurs ont obtenu des valeurs de RTC plus élevées dans le cas du contact lubrifié que dans le cas du contact sec. Ce phénomène s’explique par le fait que la faible couche de lubrifiant se comporte comme un troisième corps (de résistance équivalente e fλ ) empêchant le contact direct entre l’outil et le lopin.

( )T ts outil( )

( )T ts lopin( )

outil

lopin

ϕ(t)

Thermocouple de type K (φ=100 µm)

Thermocouples de type K (φ=50 µm)

CHAPITRE I

43

: v=5 mm/s, To(ini)=400°C





Temps (s)

Rc/ R

c(ini)

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,00 1 2 3 4 5 6 7 8

Lopin : Titanecontact secTl(ini)=950°C

Fig.I.10 : Influence de la vitesse de forgeage et de la température initiales de l’outil sur la RTC (Goizet et al. [1998]).

I.3.4. Conclusion

Différentes méthodes expérimentales de détermination de la RTC ont été présentées

dans ce paragraphe. Parmi celles-ci, les méthodes inverses semblent à ce jour les plus appropriées et les plus performantes, car, d’une part elles évitent l’instrumentation directe des surfaces en contact et, d’autre part elles permettent une appréhension globale du phénomène transitoire. Toutefois, de part les niveaux de pressions et de températures atteints (respectivement autour de 500 MPa et 1000°C), l’instrumentation des procédés de forgeage reste une opération délicate et complexe. En effet, plus les thermocouples sont placés loin de l’interface de contact, plus le coefficient de sensibilité est faible, il est donc plus délicat de remonter aux valeurs de la RTC à partir des températures mesurées. En revanche, plus les capteurs sont positionnés près de l’interface, plus le risque d’endommagement est important.

De plus les études d’influence présentées dans ces travaux permettent de montrer que

la RTC à l’interface outil-lopin dépend à la fois des conductivités des matériaux et du lubrifiant, mais aussi de plusieurs paramètres (vitesse de forgeage, températures et rugosité initiales des matériaux, propriétés mécaniques, etc.) conditionnant de manière plus ou moins directe les caractéristiques rhéologiques de l’interface.

Le choix d’une approche expérimentale pour proposer des relations empiriques

donnant la RTC en fonction de ces différents paramètres rhéologiques et thermophysiques semble être très contraignant et pas le mieux adapté dans ce contexte. C’est pourquoi une approche numérique est proposée dans ce travail. En effet la détermination théorique de la RTC permet de s’affranchir de toutes les contraintes expérimentales souvent liées à des contraintes environnementales fortes. Néanmoins, elle comporte deux problèmes bien distincts à savoir, tout d’abord un problème de ‘’structure’’ qui consiste à caractériser la

CHAPITRE I

44

géométrie de contact, puis un problème de thermique, qui une fois cette géométrie précisée, consiste à déterminer quantitativement la valeur de la RTC.

Les modèles théoriques se basent sur une schématisation de la géométrie réelle

d’interface. Le modèle retenu s’inscrit dans le cadre du forgeage et permet de représenter l’interpénétration du lopin déformable dans l’outil. Toutefois dans un cadre beaucoup plus général d’autres modèles et des relations théoriques ont déjà été proposés pour estimer la RTC. Une revue bibliographique des méthodes numériques et analytiques existantes est donc présentée dans le paragraphe suivant. Cette revue est loin d’être exhaustive car les travaux dans ce domaine sont très nombreux. Les résultats utilisés dans la suite de ce travail sont donc présentés en priorité.

I.4. DETERMINATIONS THEORIQUES DE LA RTC SANS TRANSFERT DE CHALEUR

PAR LE MILIEU INTERSTITIEL

En raison de la complexité des surfaces réelles, toutes les études théoriques sont

entreprises à partir de la schématisation plus ou moins proche de la géométrie réelle de contact. Les modèles proposés admettent le plus souvent que les zones de contact sont de surfaces égales et sont régulièrement réparties sur toute la surface apparente, ce qui permet de définir des tubes de flux de chaleur tous identiques. Donc, de par la périodicité du problème, l’étude du passage de chaleur se ramène à l’étude du comportement thermique d’un seul tube de flux.

Diverses schématisations du contact ont déjà été proposées. Celle la plus couramment

utilisée dans les articles est celle où les aspérités en contact sont des petits cylindres droits (Fig.I.11.a). La modélisation 2D équivalente correspond à une représentation des aspérités sous forme de créneaux (Fig.I.11.b). D’autres modèles ont aussi été étudiés. Par exemple Wong [1968] a remarqué qu’il était plus réaliste de modéliser un géométrie d’interface au moyen d’aspérités coniques plutôt que des aspérités cylindriques (Fig.I.12.a). Du fait que le sommet de l’aspérité est beaucoup moins large que sa base, un phénomène de constriction a aussi lieu dans l’aspérité même.

En considérant une aspérité et en supposant que le flux traversant le milieu interstitiel

est négligeable, le contact peut donc être modélisé par des RTC en série : résistances de constriction ( Rc1 et Rc2 ) et d’aspérité ( Rasp ). Des nombreuses études analytiques ou numériques permettent de déterminer chacune de ces résistances, pour les différentes géométries de contact (Figs (I.11) et (I.12)). Quelques formules obtenues sont présentées dans le paragraphe suivant qui décrit successivement des méthodes de détermination de Rc1 , Rasp et Rc2 .

CHAPITRE I

45

2b

2a

I

II

III

Rc1

Rc1

Rasp

2D

2b

2a

3D

( )λ 1

( )λ 2

d

(a) (b) ( c)

Fig.I.11 : Modélisations avec des aspérités à sections constantes carrées ou cylindriques,

représentation d’un tube de flux. Phénomènes de constriction au niveau du contact ; schéma résistif équivalent.

b

2D3D

I

II

Rc1

Rc2

2 a oa

( )λ1

( )λ 2

d

e e'

(a) (b) (c)

Fig.I.12 : Modélisations à aspérités coniques ou triangulaires, représentation d’un tube de

flux. Phénomènes de constriction au niveau du contact ; schéma résistif équivalent.

CHAPITRE I

46

I.4.1. Détermination théorique de la RTC dans le cas de géométries

bidimensionnelles et tridimensionnelles

I.4.1.1. Calcul de la résistance de constriction Rc1

La majeure partie des travaux réalisés porte sur l’étude des géométries de contact

axisymmétriques. Les premières études se sont intéressées au cas du milieu semi-infini. En effet, les zones en contact réel représentant une faible proportion de la surface totale, chaque surface réelle de contact est modélisée par un disque de rayon a à la surface d’un milieu semi-infini. La résistance de constriction dans ce milieu peut être déterminée analytiquement (Carslaw et Jaeger [1959]) par la méthode de séparation de variables. La condition aux limites sur la zone de contact réelle est soit une condition de température imposée, soit une condition de flux imposé. Les valeurs des résistances de constriction (en K/W) obtenues sont les suivantes :

rac1 2

83

1=

π λ. pour une condition de flux imposé sur le disque de rayon a (I.5)

rac1

14

=λ

pour une condition de température imposée (I.6)

En pratique, la surface étudiée est divisée en plusieurs tubes de flux tous identiques

(Figs (I.11) et (I.12)). Par analogie électrique, la résistance de constriction totale correspond la somme de résistances en parallèle. Chacune de ces résistances est obtenue à partir des relations précédentes, corrigées d’un facteur prenant en compte les limites du tube de flux et donc la valeur de la surface réelle de contact par unité de surface apparente, S*. La résistance de constriction totale (en m².K/W), dans le cas d’une condition de température imposée, est donc de la forme :

( )Ra N

g Sc11

4=

λ. * (I.7)

où N est le nombre de contacts par unité de surface apparente :

NAa

=1

(I.8)

( )g S * est obtenue, soit à partir de la formule de Roess *, limitée au premier terme :

( )g S S* , . *= −1 1 41 (I.9)

soit à partir des résultats fournis par Cooper et al. [1969], qui donnent une valeur approximée de cette fonction :

(*) : ROESS, L.C. Theory of spreading conductance. Beacon

Laboratories of Texas Co., Beacon, Appendix A (unpublished

report), 1950.

CHAPITRE I

47

( ) ( )g S S* *,

= −11 5 (I.10)

Une autre formulation de la résistance de constriction a été proposée par Negus et al.

[1989] :

( )RA

ASc

a

r1 =

λψ. * (I.11)

où ψ est une fonction de constriction adimensionnée. Dans le cas où la zone réelle de contact est un disque de rayon a, alors :

( )Ra N

Sc11

=π λ

ψ.

. * (I.12)

Les équations (I.7) et (I.12) sont comparables.

Negus et al. [1989] ont donné une expression analytique simplifiée de ψ , pour une condition de flux imposé :

( ) ( )ψ S S S* , , * , *= − +0 4789 0 6244 0 11239 3 (I.13)

Ces auteurs ont aussi montré que la résistance de constriction est sensiblement identique quelle que soit la forme de la géométrie étudiée, pourvu que la surface réelle de contact par unité d’aire apparente reste à peu près constante (Fig.I.13).

2b

2a2a

2b

2b

2a

Fig.I.13 : Configurations de la géométrie de contact donnant des valeurs similaires de résistance de constriction (Negus et al. [1989]).

Les écarts obtenus entre les différentes résistances de constriction viennent le plus

souvent des hypothèses faites au niveau du modèle analytique (température ou flux imposés au niveau du contact).

CHAPITRE I

48

Pour des géométries de contact bidimensionnelles (Figs (I.11.b) et (I.12.b)), Laraqi [1995,1997] et Chantrenne et Raynaud [1996] ont proposé des relations donnant Rc1 en fonction de S*, de la conductivité thermique du matériau et de la périodicité de la géométrie, dans le cas de contacts glissants.

Laraqi [1995,1997] a schématisé les aspérités par des bandes disposées

périodiquement (Fig.I.14). Il considère donc un milieu infini suivant x, semi-infini suivant z et de profondeur égale à l’unité. La surface (z=0) reçoit, sur les bandes de largeur 2a, des flux de chaleur de densité uniforme. Le modèle analytique proposé permet de calculer la résistance de constriction (en m².K/W) en fonction de la vitesse de déplacement adimensionnée V* et de S* :

( )

Rb

Sp S

p Vp

Vp

cp

1 3 2

2

3 2 21

2 12

1

12

1

12

=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∑=

∞

λ π

π

π π

.*

sin *

* * (I.14)

Soit pour une vitesse de glissement nulle :

( )R

bS

p Spc

p1 3 2

2

31

2 1= ∑

=

∞

λ π

π

*sin *

(I.15)

x

y

z

0V

q q q q

Fig.I.14 : Modélisation du contact utilisée par Laraqi [1995,1997] pour estimer la

résistance de constriction Rc1.

Chantrenne et Raynaud [1996], à partir d’un modèle de contact à aspérités rectangulaires (Fig.I.15), ont développé une solution numérique pour déterminer la RTC. Des corrélations ont été proposées en supposant que la résistance globale est la somme de trois résistances en série. La résistance de constriction dans le solide 2 (en m².K/W), pour une vitesse de glissement nulle, est donnée par :

CHAPITRE I

49

( )R

S LnS bc1

0 234 0 28471

2=− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟, * ,

* ..

λ (I.16)

L’écart entre les valeurs fournies par les équations (I.14-I.15) et (I.16) est inférieur à 5 % et s’explique par le fait que le flux n’est pas uniforme à la surface du contact réel.

solide 2

solide 1

V

2a

2b

e1

e2solide 2

solide 1

dsurfaces adiabatiques

Fig.I.15 : Modèle microscopique mono-créneau utilisé par Chantrenne et Raynaud [1996] pour la détermination de la RTC.

I.4.1.2. Détermination de la résistance d’aspérité Rasp

Dans le cas des aspérités à section constante, Bardon et al. [1971] ont été parmi les

premiers à donner une estimation de la contribution de l’aspérité dans la RTC, dans le cas de géométries de contact tridimensionnelles (Fig.I.11.a) :

Rd

N a basp = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟λ π π1 2 2

1 1 (I.17)

Chantrenne et Raynaud [1996], à partir de la même modélisation microscopique du

contact (Fig.I.15) et de la même étude numérique, ont proposé une corrélation pour Rasp , pour des géométries de contact bidimensionnelles :

Rd b

aasp = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟λ1

1 (I.18)

Dans le cas de ces géométries d’aspérité à section constante, Bardon [1972] a montré

que la contribution de l’aspérité est en général très inférieure à la constriction pure (~10-15 %). Dans le cas des aspérités à section variable (Fig.I.12), le phénomène de constriction dans l’aspérité devient non négligeable par rapport au phénomène de constriction dans la partie principale du solide. Le haut de l’aspérité (segment (e-e’)) est loin d’être isotherme et la résistance thermique dans le solide 1 doit être déterminée dans son ensemble. Aucune relation analytique n’a été proposée à ce jour. Néanmoins, dans le cas où la longueur a est égale à b

CHAPITRE I

50

(Fig.I.16), l’étude menée par Wong [1968] permet de déterminer une valeur approchée de Rc2 .

2ao

a=b

I

II R c2

R c1

Fig.I.16 : Modélisations à aspérités coniques ou pyramidales dans le cas où a=b, représentation d’un tube de flux. Phénomènes de constriction au niveau du contact ; schéma

résistif équivalent.

I.4.1.3. Détermination de la résistance de constriction Rc2

La résistance Rc2 peut être déterminée à partir des travaux réalisés par Wong [1968]. Les hypothèses formulées par Wong, ne sont pas parfaitement représentatives du phénomène de constriction dans le solide comportant les aspérités. Toutefois, nous montrerons que, dans le cas de figure qui nous intéresse, ces corrélations donnent une valeur suffisamment précise de la résistance de constriction dans le solide supérieur (ANNEXE 6).

Afin de déterminer Rc2 , Wong a supposé que les lignes de flux convergeaient vers le

point 0 et étaient perpendiculaires aux surfaces isothermes (e-e) (Fig.I.17). Rc2 est alors obtenue en intégrant la relation suivante :

Ra dl

rldc

l

l

2

2

021

2=

∫∫

πλ

π θθ (I.19)

En posant : ( )tan θ β=−

=a a

do et avec r l= sinθ , la relation (I.19) donne :

Ra

aa

co

2 21

2 1 1= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −λβ

β. (I.20)

CHAPITRE I

51

2a

2ao

l1

l2e e

l

dl

θ

0

d

r d r

Fig.I.17 : Détermination de Rc2 pour des aspérités coniques ou triangulaires (Wong [1968]).

Bien que l’approche présentée soit tridimensionnelle on peut l’étendre au cas des

aspérités triangulaires bidimensionnnelles. Dans ce cas :

( )Ra

LnSc2

1 1=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟λ βarctan *

(I.21)

Les études théoriques précédentes, pour être applicables, supposent la détermination

préalable des caractéristiques géométriques de l’interface et en particulier de la valeur de la surface réelle par unité de surface apparente, S*.

I.4.2. Détermination de S*

L’estimation théorique de la RTC passe par la connaissance de la géométrie de contact

en fonction de la charge appliquée. La détermination des caractéristiques géométriques d’interface implique, le plus souvent, l’utilisation d’un modèle de déformations élastiques (Modèle de Hertz) (Greenwood et Williamson [1966]), plastiques ou élasto-plastiques (Ishigaki et Kawaguchi [1979], Sridhar et Yovanovitch [1996]) :

⇒ Dans le cas du modèle de déformations plastiques pures, une formule proposée par

Bowden et Tabor [1954] relie l'aire apparente de contact à l'aire réelle de contact :

AA

SPH

r

a= =* (I.22)

CHAPITRE I

52

H est la micro-dureté du solide le plus mou et P la pression moyenne du contact. Elle est déterminée soit à partir de la limite élastique (Eq.IV.1) soit directement à partir de mesures au moyen d’un micro indentateur pour une mesure de dureté Vickers (§ IV.2.1).

⇒ Dans le cas de déformations purement élastiques la formule de Hertz donne la

déformation, sous l’action d’une force F, de deux sphères différentes de rayon r1 et r2, de module de Young E1 et E2 et de coefficient de Poisson ν ν1 et 2 (Bardon et al. [1971]) (Fig.I.18). Le rayon du cercle de contact est alors donné par :

aFrE

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

34

1 3

* (I.23)

avec : 1 1 1

2r r1 r= + (I.24)

et 1 1

11

212

22

E E E*=

−+

−ν ν (I.25)

r1

r2

F

F

2a

Fig.I.18 : Modèle de déformations de Hertz.

⇒ Les modèles élasto-plastiques considèrent en général, le contact entre une surface plane et une surface ellipsoïde (Ishigaki et Kawaguchi [1979]) ou sphérique (Chang et al. [1987]), l’objectif du modèle étant de déterminer les pénétrations élastique et plastique de l’aspérité ainsi que l’influence de chacune d’elles en fonction de la charge appliquée, des caractéristiques mécaniques des matériaux ou du rayon de l’aspérité.

Quelques travaux de synthèse ont été réalisés concernant les caractérisations

géométriques de l’interface, parmi lesquels on peut citer celui de Bardon et al. [1971]. De nombreux travaux ont porté sur l’utilisation de ce type de modèles de déformations (Cooper et al. [1969], Mikic [1974], etc.). La plupart du temps les surfaces en contact sont des surfaces rugueuses tridimensionnelles dont les sommets des aspérités sont supposés suivre une distribution Gaussienne. L’utilisation des modèles de déformations revient à déterminer d’une part la valeur du rapport de l’aire réelle de contact sur l’aire apparente, S*, d’autre part N, le nombre d’aspérités en contact par unité de surface.

CHAPITRE I

53

Quelques observations reviennent de manière récurrente dans ces travaux et peuvent

être utiles quant à l’analyse du comportement des surfaces en contact. La plupart des travaux semblent relater le fait que les déformations plastiques sont le mode de déformations dominant. En effet, Tsukizoe et Hizakado [1968] ont utilisé l’hypothèse de déformations purement plastiques pour estimer S* et N pour des surfaces en contact coniques de même angle et dont les hauteurs étaient distribuées de manière Gaussienne. La comparaison des ces valeurs avec les mesures des états de surfaces après écrasement effectuées au moyen d’un microscope était très satisfaisante pour des pressions d’interface allant jusqu'à 40 MPa. Ces observations ont également été corroborées par les travaux de Hsieh et Touloukian [1969] ou de Cooper et al [1969].

Bardon et al. [1971] ont utilisé une manière simple et originale pour déterminer le

mode de déformation dominant à l’interface, sans toutefois proposer un modèle de déformations permettant d’estimer S*. Pour cela, ils ont mesuré la RTC à l’interface de matériaux pour des phases de chargements et de déchargements lents (Fig.I.19). Lors du premier chargement, les variations de la RTC étaient très importantes à cause des déformations à la fois réversibles et irréversibles des surfaces en contact (courbe 1 que les auteurs ont appelé courbe d’adaptation). En revenant à une pression nulle, la RTC initiale n’est plus la même du fait des déformations plastiques irréversibles qui ont modifié de manière permanente la structure des surfaces. Après le premier chargement, des décharges et des charges successives, à une pression P inférieure ou égale à celle du premier chargement, ont donné des RTC à peu près semblables indiquant que les surfaces se déformaient alors majoritairement de manière élastique (courbe 2). De plus, dans ce cas, les variations de la RTC sont beaucoup plus faibles.

0.00 2.00Pression d'interface P0.00

0.50

1.00

Rsi

stan

ce T

herm

ique

de

Con

tact

1

2

Fig.I.19 : Courbes d’évolution de la RTC en fonction de la pression d’interface pour des cycles de chargements et de déchargements lents ; influence des déformations des surfaces en

contact (Bardon et al. [1971]) D’après l’observation de ces courbes, les auteurs ont conclu, d’une part que les

déformations plastiques subies sont bien supérieures aux déformations élastiques, d’autre part que la valeur de la RTC dépend à la fois de la pression mais aussi de la pression maximale subie. Ils ont également proposé des relations, reliant la résistance de contact à la pression d’interface, de la forme :

CHAPITRE I

54

R A P m= −. (I.26) Suivant que les déformations des surfaces soient plastiques (courbe 1) ou élastiques

(courbe 2), la valeur de m est soit supérieure, soit inférieure à 0,5. Williamson et Majumdar [1992] ont effectué le même type de comparaison. Ils ont

mesuré la RTC entre un échantillon à face rugueuse et un échantillon à face polie à charge croissante puis décroissante (de 30 kPa à 4 MPa). Les échantillons testés étaient successivement en acier inox, en cuivre ou en aluminium (Fig.I.20).

Pour des chargements et des déchargements plus rapides (de l’ordre d’une heure ou

moins), Bardon et al. [1971] ont trouvé des résultats différents qui auraient tendance à mettre en évidence, dans ce cas, des déformations très lentes mais réversibles des surfaces.

Con

duct

ance

(W/m

².K)

Pression d’interface (Pa)

105 106 107104

102

103

104

Al

Acier inox

Chargement 10

Chargement 1

Déchargement 1

Après 10 cycles :

Déchargement 10

Fig.I.20 : Conductance thermique de contact, en fonction de la pression d’interface, mesurée au cours des chargements et des déchargements pour un échantillon à surface rugueuse en aluminium et un échantillon à face polie en acier inox (Williamson et Majumdar [1992]).

I.4.3. Conclusion

Les études théoriques sur les RTC sont intéressantes, car elles montrent clairement l’influence des différents paramètres rhéologiques et thermophysiques. Elles permettent donc de prévoir, tout au moins qualitativement, les variations de la résistance en fonction de ces derniers. En général les études expérimentales et théoriques sont complémentaires. Il est ainsi possible de valider grâce aux résultats expérimentaux certaines hypothèses sur la structure de l’interface, sur le type de déformations des surfaces, sur les transferts de chaleur dans la zone de contact etc., nécessaires à l’élaboration d’un modèle théorique.

CHAPITRE I

55

I.5. CONCLUSION

Les différentes études expérimentales qui ont été présentées au début de ce chapitre

ont permis de montrer que la RTC à l’interface de l’outil et du lopin, lors des opérations de mise en forme de matériaux, dépend de nombreux paramètres :

⇒ des propriétés thermiques des matériaux (conductivités thermiques de l’outil et du

lopin) ;

⇒ de la vitesse de forgeage, des températures et des rugosités initiales des matériaux, de la pression d’interface et des caractéristiques thermomécaniques des matériaux (limite élastique, contrainte d’écoulement...). L’ensemble de ces paramètres va conditionner la forme de la géométrie de contact dont dépend de manière directe la RTC ;

⇒ de la présence ou non de lubrifiant et/ou de couches d’oxydes qui peuvent

présenter un frein ou au contraire favoriser le transfert de chaleur à l’interface.

La mise en place de relations empiriques simples, permettant une détermination de la résistance de contact pour des conditions de forgeage données, nécessiterait en utilisant le type de méthodes expérimentales présentées dans ce chapitre, la réalisation d’un nombre d’essais considérable et le contrôle systématique de l’ensemble des paramètres influençant le transfert de chaleur à l’interface outil-lopin. La difficulté à instrumenter ce type de procédés rend cette approche expérimentale du problème peu réaliste. Sur le plan industriel, une détermination systématique de la résistance de contact in situ n’est pas envisagée pour les mêmes raisons.

Aucune approche purement numérique, n’avait encore été envisagée pour déterminer

la RTC lors des opérations de mises en forme de matériaux. Alors que de nombreux modèles analytiques et numériques ont été développés ces dernières années pour simuler le comportement mécanique des pièces lors des opérations de mise en forme, la modélisation thermique de l’interface pièce-outil est un problème encore très peu abordé par les mécaniciens. Pourtant, comme nous l’avons vu précédemment, la précision du modèle thermo-mécanique dépend de la précision des conditions aux limites et notamment de la résistance de contact thermique. Il est donc nécessaire au niveau des codes de calculs de mise en forme de matériaux d’estimer correctement la condition aux limites à l’interface outil-lopin afin de représenter au mieux le comportement global des pièces à forger.

L’objectif de ce travail est de présenter une approche numérique du problème se

basant sur une modélisation thermo-mécanique du comportement de l’interface outil-lopin lors des opérations de mise en forme. L’avantage de cette modélisation est de pouvoir contrôler, tout au long du procédé, l’ensemble des paramètres influençant la valeur de la RTC. On peut ainsi relier facilement la RTC aux paramètres géométriques et thermiques d’interface et proposer ainsi une approche systématique pour estimer les conditions aux limites d’interface.

CHAPITRE I

56

La validation de cette étude numérique sera réalisée, pour des conditions géométriques

particulières, en comparant d’une part les RTC obtenues avec des mesures expérimentales qui seront effectuées, d’autre part avec les valeurs théoriques des RTC déjà proposées et présentées dans ce chapitre (§ I.4.1). Dans les deux cas, une estimation de la surface réelle de contact correspondant aux conditions géométriques d’interface sera nécessaire.

CHAPITRE II 57

CHAPITRE II

DETERMINATION NUMERIQUE DES

PARAMETRES THERMIQUES D’INTERFACE

II.1. INTRODUCTION, POSITIONNEMENT DE L’ETUDE........................................ 59

II.2. MODELISATION GEOMETRIQUE MICROSCOPIQUE DU CONTACT OUTIL-

LOPIN ................................................................................................................... 61

II.3. MODELISATION MACROSCOPIQUE THERMIQUE DU CONTACT OUTIL-

LOPIN ................................................................................................................... 64

II.4. SOLUTION NUMERIQUE DU PROBLEME MICROSCOPIQUE .......................... 65

II.5. CONCLUSION ............................................................................................... 82

CHAPITRE II 58

CHAPITRE II 59

CHAPITRE II

Détermination numérique des paramètres thermiques d’interface

II.1. INTRODUCTION, POSITIONNEMENT DE L’ETUDE

L’objectif de cette étude est d’introduire des estimations ‘’correctes’’ des RTC dans FORGE2 et POLLUX, qui sont des logiciels éléments finis (à éléments triangulaires à 6 noeuds) de simulation bidimensionnelle élasto-visco-plastique de procédés de mise en forme de matériaux. Jusqu'à présent, ces logiciels prenaient en considération une résistance thermique de contact constante et fixée a priori sur chaque élément de contact. L’amélioration des capacités prédictives de ces codes passant par une meilleure quantification des phénomènes thermiques d’interface, il est très rapidement apparu nécessaire d’introduire des valeurs de la RTC les plus représentatives possibles du transfert de chaleur interfacial.

De part notre collaboration avec le Laboratoire de Mécanique des Solides de Lyon (LMSo), qui développe POLLUX, nous avons été amenés à travailler essentiellement sur ce logiciel. Néanmoins le fonctionnement et la configuration de FORGE2 sont similaires. Les analyses faites et les résultats proposés sont donc valables pour les deux logiciels.

L’organigramme simplifié de POLLUX est présenté sur la figure (II.1). Pour chaque pas de temps t, le logiciel estime, à partir des données du forgeage et des propriétés thermophysiques des matériaux, les contraintes et les déformations dans les éléments. A partir de ces valeurs il est possible de déterminer pour chaque segment d’interface la contrainte normale d’interface, σn et d’en déduire la contrainte tangentielle d’interface, le flux de chaleur généré par frottement et déformations et les caractéristiques de la géométrie d’interface. Une fois la géométrie et les propriétés d’interface connues, il est possible d’estimer pour chaque élément du contact la RTC (ANNEXE 1). Le champ de température peut alors être calculé connaissant l’ensemble des conditions aux limites du problème thermique. Les températures calculées permettent de déterminer les nouvelles valeurs de la contrainte d’écoulement σ0 , du module de Young et du coefficient de dilatation α , fonctions de la température. Le calcul mécanique au pas de temps t+∆t est alors effectué avec ces valeurs estimées pour des températures correspondant au pas de temps t. Cette hypothèse n’est justifiée que dans la mesure où le pas de temps et les variations des températures entre chaque pas de temps sont faibles. Il existe donc une très forte dépendance entre les comportements thermique et mécanique des matériaux. Une bonne connaissance de la RTC est nécessaire pour calculer correctement le champ de température et estimer au mieux les propriétés mécaniques.

CHAPITRE II 60

ENTREE DES DONNEES :* Propriétés physiques des matériaux et des interfaces

fonctions de la température (λ1, λ2, λf,...)* Coefficient de frottement à l’interface fo

* Caractéristiques de l'opération de forgeage : vitesse de l'outil (Vr), course à atteindre, ...

* Conditions initiales* Dimensions de l’outil et du lopin, rugosité de l’outil

Itérationsd'équilibremécanique

Itérationsd'équilibremécanique

Itérationsd'équilibrethermique

FIN FORGEAGE

Détermination sur chaque segment d’interface : des contraintes normales à l'interface, σn

des contraintes tangentielles à l’interface,τ (loi de frottement)des flux thermiques générés à l'interface de contact=f(Vr, τ, fo)

des caractéristiques de la géométrie d’interface

Déplacements des noeudsContraintes et déformations dans les éléments

Détermination de λ1(T), λ2(T), λf(T) Calcul de la RTC sur chaque élément de contact

Calcul du champ de température dans l'outil et le lopin

Calcul des valeurs des propriétés thermiques en fonction des températures calculées

Calcul des nouvelles propriétés

mécaniques :σ0 (T(t))E (T(t))α (T(t))

CALCUL THERMIQUECALCUL THERMIQUE

CALCUL DE MECANIQUECALCUL DE MECANIQUEt t+ ∆

Fig.II.1 : Organigramme du pre-processeur et du processeur du code de calcul POLLUX.

CHAPITRE II 61

Afin de déterminer théoriquement la RTC, la schématisation préalable de la microgéométrie du contact est nécessaire. Il est en général admis que les zones de contact sont de surfaces égales et sont régulièrement réparties sur toute la surface apparente, ce qui permet de définir des tubes de flux de chaleur tous identiques. Donc, de par la périodicité du problème, l’étude du passage de la chaleur se ramène à l’étude du comportement thermique d’un seul tube de flux. La modélisation retenue est la même que celle utilisée par Baillet [1994] pour caractériser la géométrie d’interface et déterminer la loi de frottement à l’interface. Cette modélisation se base sur les travaux effectués par Challen et al. [1984]. Ces auteurs ont proposé une modélisation microscopique bidimensionnelle du contact dans laquelle l'outil, considéré comme parfaitement rigide, par son déplacement relatif par rapport au lopin, crée à la surface de celui-ci une vague plastique déformable dont les caractéristiques géométriques sont calculées en fonction de σn et de σ0 .

Dans ce chapitre nous présentons d’abord le modèle microscopique choisi afin de modéliser l’interface outil-lopin. A partir de ce modèle, un modèle macroscopique thermique de contact permet de déterminer les paramètres thermiques du contact à savoir la résistance thermique de contact et le facteur de génération de flux α . α est un paramètre qui permet de quantifier les transferts de chaleur liés à la génération de chaleur par déformations plastiques et frottement au niveau de l’interface. Une méthode numérique d’estimation de ces paramètres est proposée. Cette méthode se base sur la détermination, au moyen d’une méthode aux différences finies, du champ de température en régime permanent dans la zone proche de l’interface, pour une géométrie d’interface donnée.

II.2. MODELISATION GEOMETRIQUE MICROSCOPIQUE DU CONTACT OUTIL-LOPIN

La surface de l'outil est modélisée à partir d'aspérités triangulaires de hauteur h et de périodicité Vl. Ces aspérités forment un angle A avec l'horizontal. h et Vl, représentatifs de la rugosité de l'outil, peuvent être déduits à partir d'une analyse profilométrique de sa surface (ANNEXE 2). La figure (II.2) représente les caractéristiques du contact outil-lopin pour un

angle A inférieur à π4

. Du fait des déformations plastiques et du frottement à l'interface outil-

lopin il y a une génération de chaleur au niveau de la vague du lopin. Ce modèle représente l’interface de contact à l’échelle microscopique, les dimensions

de l’aspérité sont de l’ordre du micron : la période Vl varie entre 100 et 400 mµ et la hauteur h entre 3 et 20 mµ . Les valeurs de e1 et de e2 ont été prises égales à 0,5 mm.

CHAPITRE II 62

y

0x

e2

e1+e

2

Vlo

h1

Vl

hVague plastique

OUTIL

LOPIN

A

η

h2

Fig.II.2 : Modélisation microscopique bidimensionnelle du contact outil-lopin.

On peut distinguer deux cas de figure suivant la position de la vague plastique du lopin dans l'aspérité de l'outil. Le premier cas, qui correspond aussi au premier stade du forgeage, concerne les situations où la hauteur de la vague plastique h1, est inférieure à la hauteur de l'aspérité de l'outil h (Fig.II.3). Le second cas correspond aux situations où la hauteur de la vague plastique est égale à celle de l'outil et où c’est la longueur Vlo qui évolue (Fig.II.4). Ce stade est atteint que si les pressions normales sont élevées. Le cas limite où l'aspérité de l'outil est complètement remplie par celle du lopin peut être alors atteint.

En pratique, les caractéristiques géométriques de la vague plastique, h1 et Vlo, sont

calculées en fonction des valeurs de la contrainte normale d’interface σn , et de la contrainte d’écoulement σ0 , elle-même fonction de la température (Fig.II.5). Ainsi, si sur un élément du contact outil-lopin σn et σ0 sont conservés entre deux pas de temps consécutifs d’une opération de forgeage, h1 et Vlo resteront constantes.

LOPIN

Variation de la hauteur de la vague plastique

OUTIL

Fig.II.3 : Première possibilité ‘’d’évolution’’ de la vague plastique.

CHAPITRE II 63

Variation de la longueurLOPIN

Vlo de la vague plastique

OUTIL

Fig.II.4 : Seconde possibilité ‘’d’évolution’’ de la vague plastique.

Sur le plan mécanique, dans le premier cas de figure, la contrainte tangentielle de frottement croit linéairement avec l'augmentation de la contrainte normale, comme le suggère le modèle de Coulomb. Dans le second cas de figure, la contrainte tangentielle n'est plus proportionnelle à la contrainte normale. Baillet et Boyer [1994] ont proposé des relations analytiques permettant de déterminer la contrainte de frottement en fonction de la contrainte normale pour différents coefficients de frottement et différents angles de rugosité de l’outil (Fig.II.6).

Le modèle de la vague plastique a été étendu à un modèle de frottement en régime de

lubrification mixte. Ce modèle permet de prendre en compte l’influence hydrostatique du lubrifiant emprisonné entre la vague plastique du lopin et l’aspérité de l’outil. L’évolution de la vague plastique est décomposée en différentes étapes dépendant de l’épaisseur de lubrifiant et de sa compressibilité ; la présence de lubrifiant va donc agir sur l’évolution de la vague.

400 600 800 1000 1200 1400Température (°C)

0

500

1000

1500

σ0 (

MPa

)

σ0=0,473.ε0.ε. 0,17.exp(9000/(273+T))

Fig.II.5 : Loi de comportement du TA6V (évolution de la contrainte d’écoulement en fonction de la température), pour une vitesse de déformation plastique de 0,07 s−1 .

CHAPITRE II 64

1 2 3 4 50

0,3

0,6

0,9

A=5°

A=10°A=15°

A=20°A=25° A=30°

A=35°

Contrainte normale normalisée

Con

train

te ta

ngen

tielle

nor

mal

isée

0 1 2 3 4 50

0,3

0,6

0,9

fo=0,1fo=0,2

fo=0,7fo=0,5

Contrainte normale normalisée

Con

train

te ta

ngen

tielle

no

rmal

isée

(a): coefficient de frottement fo=0,2 (b) : angle de rugosité de l’outil A=20°

Fig.II.6 : Modèle de frottement sec de la vague plastique (Baillet [1994]) : contrainte tangentielle normalisée ( ( )τ σ/ /0 3 ) en fonction de la contrainte normale normalisée

( σ σn / 0 ).

II.3. MODELISATION MACROSCOPIQUE THERMIQUE DU CONTACT OUTIL-LOPIN

Le modèle macroscopique de liaison thermique entre l’outil et le lopin employé a été

proposé par Mazo et al. [1978]. Il s’applique aux contacts secs glissants. Dans ce modèle, les deux solides en contact sont séparés par une résistance thermique de contact Rc (Fig.II.7). On suppose en outre que la fraction α de la chaleur dissipée est générée à la surface du solide 1, tandis que la fraction complémentaire est générée à la surface du solide 2. α est appelé le facteur de génération de flux. α et Rc sont des paramètres ‘’macroscopiques’’ du contact déterminés à partir des bilans d’énergie, permettant d’écrire les deux équations de couplage des solides en contact :

ϕ αϕ12 1= +

−g

c c

c

T TR

(II.1)

ϕ ϕ ϕg = +1 2 (II.2) où Tc1 et Tc2 sont les deux températures de contact, obtenues par extrapolation du

champ de température non perturbé vers l’interface géométrique de contact (Eq.I.2). L’équation (II.1) ne peut être utilisée que si Rc est connue. Dans un premier temps, le

champ de température peut être calculé en considérant un flux de chaleur généré nul ( ϕg = 0 W / m² ). Rc est alors déterminée à partir des équations (I.1) et (I.2). Dans un second temps, pour la même géométrie de contact, le champ de température est calculé en prenant en

CHAPITRE II 65

compte le flux de chaleur généré par frottement et déformations plastiques. Dans ce cas, Rc ayant été préalablement calculée, α peut être déterminé à partir des équations (II.1) et (II.2). Cette détermination des paramètres thermiques en deux étapes implique que les propriétés thermophysiques des matériaux sont constantes sur un intervalle de températures donné ; le problème doit être linéaire ; c’est bien l’hypothèse qui sera formulée dans le paragraphe (II.4.2.2).

Notre travail consistera à déterminer les deux paramètres macroscopiques α et Rc à

partir du modèle microscopique de contact.

Rc

Tc1

Tc2

ϕ 2

ϕ 1

α.ϕ g

(1- α). ϕ g

SOLIDE 1

SOLIDE 2

Fig.II.7 : Modèle thermique ‘’macroscopique’’ de contact (Mazo et al. [1978]).

II.4. SOLUTION NUMERIQUE DU PROBLEME MICROSCOPIQUE

II.4.1. Organisation du programme de résolution thermomécanique

De part la très forte dépendance des comportements thermique et mécanique des matériaux en contact, le problème thermo-mécanique doit être résolu dans sa globalité. Nous sommes donc partis d’un programme développé par Baillet [1994], fondé sur la modélisation microscopique bidimensionnelle du contact présentée précédemment. L’organigramme de ce programme est présenté sur la figure (II.8). L’objectif de ce travail a donc été de réaliser la programmation du calcul thermique permettant de déterminer, pour une géométrie et des paramètres thermophysiques donnés, le champ de température à l’interface outil-lopin en régime permanent par une méthode aux différences finies et d’en déduire ainsi, les paramètres α et Rc . Il est important de remarquer que, dans ce programme, h1 est fixée de manière fictive, les autres paramètres géométriques de la vague plastique étant calculés à partir de cette valeur. Dans les codes de calcul macroscopique, au contraire, h1 dépend directement des valeurs de la contrainte normale et de la contrainte d’écoulement.

CHAPITRE II 66

E NTREE DES DONNEESE NTREE DES DONNEES :géométriques : A, h, e1, e2mécaniques : coefficient de frottement à l’interface outil-lopin (fo)

Vitesse de l’outil (V)contrainte d’écoulement (σo=f(T))

thermiques : conductivités des matériaux (λ1, λ2) et du lubrifiant (λf)

CALCUL MECANIQUECALCUL MECANIQUE

Calcul des paramètres de la vague plastique par le théorème des lignes de glissement ou de la borne supérieure : h2, X1, X2, Vlo

Calcul en chaque discontinuité de la vague plastique de la puissance générée par frottement et déformations plastiques :

ϕg=f(σo, A, h1, h2, X1, X2, Vlo, fo) Déduction des forces normale et tangentielle agissant sur l’aspérité en raison

de la déformation.

ϕg ≠ 0 W/m²Calcul de α

ϕg=0 W/m²Calcul de Rc

CALCUL THERMIQUECALCUL THERMIQUE

Détermination de Rc Détermination de α

NONConvergence du système

Création du maillage Méthode aux différences finies en régime permanent Bilan thermique, écriture des systèmes d’équations Résolution du système matriciel par la méthode de Gauss

OUI

n=nombre d’éléments du maillage en contact au niveau de l’interface outil-lopin : h1=f(n)

détermination de σo=f(T)

en chaque discontinuité

de la vague plastique

Fig.II.8 : Organigramme du programme thermo-mécanique de détermination des paramètres

thermiques d’interface pour une géométrie de contact donnée.

CHAPITRE II 67

II.4.1.1. Détermination des caractéristiques de la vague plastique du lopin et de la puissance générée par frottement et déformation plastique

Afin de déterminer les caractéristiques géométriques de la vague plastique et d'évaluer la puissance thermique due à la déformation plastique de la vague du lopin et au frottement à l'interface outil-lopin, les théorèmes des lignes de glissement ou de la borne supérieure ont été utilisés.

Lors du premier stade, le théorème des lignes de glissement permet d’obtenir la

géométrie de la vague plastique, la puissance générée étant, quant à elle, calculée à partir de la décomposition de la vague plastique en blocs rigides. Par la méthode des lignes de glissement, appliquée à cet écoulement plastique local en déformations planes pour un matériau rigide plastique, Challen et al. [1984] ont donné les relations liant les angles caractéristiques de la vague plastique, η α et 2 (Fig.II.9) en fonction de l’angle de l’aspérité triangulaire de l’outil A et du coefficient de frottement local fo :

A ar fo+ =α2 0 5, cos( ) (II.3)

( ) ( )η = −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−arcsin sin1

12fo A (II.4)

A est compté positivement dans le sens rétrograde, η α et 2 sont comptés

positivement dans le sens trigonométrique. Une fois ces angles déterminés, la géométrie équivalente de la vague plastique est

connue. Ces angles étant uniquement fonction du coefficient de frottement local et de l’angle d’aspérité de l’outil, ils sont conservés tant que h h1⟨ .

OUTIL

LOPIN

η

α 2

u

A

fo

Fig.II.9 : Modélisation du contact outil-lopin à partir du théorème des lignes de glissement.

Une décomposition de la vague plastique en blocs rigides a ensuite été effectuée (Fig.II.10) (Avitzur et Nakamura [1986]). Chaque bloc se déplace comme un corps rigide. Des déformations plastiques par cisaillement ont lieu à l’interface de chacun de ces blocs.

CHAPITRE II 68

Par conséquent, les frontières de ces blocs sont des lignes de discontinuité au niveau desquelles se produit la génération de chaleur.

Vlo

OUTIL FIXE

LOPIN

X2 X1

h2

h1

A

B

C D

E

fo

IV

0

IIIIIIη

π/4-ηAα

2sens du déplacement γ2 γ1

L1L2

Fig.II.10 : Modélisation de vague plastique à partir de bloc rigides.

Lorsque h h1 = , l’expression du travail nécessaire au déplacement de la vague plastique est établie à partir de la théorie de la borne supérieure. Les paramètres géométriques de la vague plastique ( h2 , Vlo, X1, X2 ) sont obtenus quant à eux par optimisation de la puissance générée.

II.4.1.2. Principe de détermination des paramètres thermiques d’interface

Tout au long du procédé de mise en forme, la géométrie et les températures évoluent et le régime permanent thermique n’a pas le temps de s’établir. On ne peut donc pas à proprement parler de régime permanent et la résolution du problème thermique macroscopique nécessite la résolution de l’équation de la chaleur en régime transitoire. Beck et Keltner [1982] ont néanmoins montré que les lignes de constrictions (et ainsi les paramètres thermiques de contact) s’établissaient très rapidement (environ 10-3 s pour notre géométrie) au regard de l’établissement du régime thermique. Les paramètres thermiques d’interface étant des données intrinsèques du contact (fonctions de la géométrie de contact et des propriétés thermo-physiques des matériaux), pour chaque variation des caractéristiques de la vague plastique du lopin, ils peuvent donc être déterminés à partir du régime thermique permanent. La détermination du champ de température en régime permanent permet uniquement de calculer ces paramètres. Le champ de température obtenu n’est en aucun cas représentatif du champ de température existant à l’interface outil-lopin lors d’une opération réelle de forgeage. Les variations de Rc en fonction du temps, observées au cours de nombreuses études présentées dans le chapitre I, sont représentatives de l’évolution de la géométrie de contact et de la dépendance des propriétés thermiques et mécaniques des matériaux avec la température.

Cette méthode est justifiée dans la majeure partie des cas de forgeage mais l’est moins

dans le cas des forgeages rapides (vitesse de descente d’outil de l’ordre de 1 m/s), à

CHAPITRE II 69

l’exception des cas où la vague plastique se stabilise très rapidement. De toute manière, les forgerons considèrent ces types de forgeage comme adiabatiques ; c’est à dire que le procédé est tellement rapide qu’ils supposent qu’il n’y a pas d’échange thermique entre l’outil et le lopin. Les paramètres thermiques d’interface obtenus numériquement permettront, dans un premier temps, d’obtenir un ordre de grandeur des conditions aux limites d’interface déjà plus représentatives que des conditions d’adiabaticité. L’unique solution pour prendre en compte un éventuel phénomène transitoire des conditions aux limites d’interface dans les cas de forgeages rapides serait de déterminer la résistance de contact instantanée sur chaque élément de contact au moyen d’une subroutine de calcul intégrée dans les logiciels de mises en forme. Cette démarche augmenterait considérablement les temps de calcul sans que pour autant cela améliore de manière significative les résultats de la simulation.

Pour une hauteur de vague plastique fixée, la convergence du système est atteinte

lorsque la différence des sommes des carrés des températures entre deux calculs consécutifs est inférieure à 0,1 %.

II.4.2. Méthode de détermination du champ de température à l’interface outil-lopin

II.4.2.1.Equations du système

La température en un point de l’outil est régie par l’équation de la chaleur bidimensionnelle en régime permanent (Eq.II.5). Pour le lopin, la température est régie par l’équation de diffusion de la chaleur bidimensionnelle comportant un terme de transport et éventuellement un terme source (Eq.II.6). Ce terme de génération de chaleur est pris en compte au niveau de l’ensemble des noeuds de la vague plastique du lopin (Fig.II.11). La chaleur liée au frottement à l’interface outil-lopin est répartie sur l’ensemble des noeuds du contact positionnés le long du segment AE. La chaleur générée par déformation plastique et calculée par la méthode des blocs rigides, au niveau de chaque ligne de discontinuité (§ II.4.1.1), est répartie ensuite, au niveau de la solution du problème thermique, sur l’ensemble des noeuds du maillage contenus dans la vague plastique.

La modélisation retenue fait apparaître une périodicité de la microgéométrie de

contact (Eqs (II.7) et (II.8)) (Fig.II.2). Les tubes de flux sont donc tous identiques et l’étude du comportement thermique se ramène à l’étude d’un seul tube de flux. Ainsi, pour respecter la périodicité de la géométrie, le flux doit être conservé entre les frontières fictives déterminées par la périodicité de l’aspérité. Les équations aux niveaux des noeuds frontières sont donc formulées de façon à ce que l’on obtienne la même température pour un noeud aval et son correspondant amont, après résolution du système (Fig.II.11). Cette condition est réalisée en faisant intervenir les noeuds voisins du noeud amont dans l’équation du noeud aval et réciproquement.

CHAPITRE II 70

Les conditions aux limites sur les faces externes sont des conditions de troisième espèce (Eq.II.9) (Fig.II.11).

OUTIL

LOPIN

noeu

ds a

mon

t noeuds aval

Ti Tj

Ti=Tj(condition de symétrie cyclique)

vague plastiquefluide interstitiel

λf

Génération de chaleur par frottement

(génération de chaleur par déformation plastique)

A

E

T 1 ,h 1

T 2 ,h 2

Fig.II.11 : Mise en équations du problème de thermique.

( ) ( )λ

∂

∂

∂

∂1

2

2

2

2 0T x y

xT x y

y, ,

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = (II.5)

( ) ( ) ( )

λ∂

∂

∂

∂ρ

∂∂2

2

2

2

2 2 2T x y

xT x y

yq C V

T x yxp

, , ,+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + = (II.6)

( ) ( ) [ ]− = − ∈ +

= =

λ∂

∂λ

∂∂i

i

xi

i

x Vl

T x yx

T x yx

e, ,

02 y 0, e1 (II.7)

( ) ( ) [ ]T y T Vl y ei i0 2, ,= ∈ + y 0,e1 (II.8)

( ) ( ) [ ]− = − + ∈∞ ∞λ

∂∂ii

i i iT x y

yh T T e

,; y = 0 et y = e x 0, Vl1 2 (II.9)

CHAPITRE II 71

En effectuant les bilans d’énergie en régime permanent en chacun des noeuds, on obtient ainsi un système matriciel. La résolution de ce système par la méthode de Gauss permet d’obtenir la valeur de la température en chacun des noeuds du maillage.

II.4.2.2. Hypothèses de calcul

Afin de faciliter la résolution du problème thermique, plusieurs hypothèses de calcul ont été formulées :

Les matériaux composant les solides 1 et 2 sont supposés homogènes isotropes et les

propriétés thermophysiques sont indépendantes de la température. Cette hypothèse est justifiée par les dimensions du modèle. En effet l’épaisseur de la zone étudiée étant de l’ordre du millimètre, les gradients thermiques sont suffisamment faibles ( ≤ 30 K) pour considérer que les propriétés de matériaux sont constantes dans cette zone.

Le contact à l’interface outil-lopin est supposé parfait ce qui revient à négliger les

effets (de second ordre) des micro-aspérités. Cette hypothèse semble d’autant plus justifiée que le contact s’effectue entre un outil, parfaitement rigide, et un lopin déformable et sous de fortes pressions d’interface. La matière du lopin a donc tendance à assurer, au niveau de la zone réelle de contact, un contact intime avec l’outil. Pour des valeurs de h1 inférieures à h, les valeurs de la RTC due aux micro aspérités sont au moins inférieures d’un ordre de grandeur à celles de la RTC globale. Lorsque la vague plastique du lopin remplie la totalité de l’aspérité de l’outil, cette RTC de second ordre devient du même ordre de grandeur voir supérieure à la RTC globale. Dans ce cas, les valeurs des RTC sont faibles. Quoiqu’il en soit, il est inutile pour l’instant de prendre en compte des phénomènes de second ordre alors que des phénomènes tels que la présence des couches d’oxyde, très importants dans les transferts de chaleur, ne sont pour le moment pas pris en considération. Toutefois le maillage, double au niveau de la zone réelle de contact, permettra de prendre en compte une éventuelle résistance de micro-aspérité au niveau du bilan thermique.

L’échange de chaleur dans l’aspérité est purement conductif. En effet vu les

dimensions de l’aspérité (de l’ordre du micron) il n’y a pas de phénomène de mise en mouvement du fluide, même dans le cas des contacts non lubrifiés. D’une manière générale Snaith et al. [1986] ont remarqué que dans la majeure partie des cas concernant l’estimation des résistances thermiques de contact, le volume de l’espace interstitiel est suffisamment faible ( ≤ 0 1, mm ) pour que l’on puisse négliger les échanges convectifs et considérer ainsi que l’échange de chaleur n’a lieu que par conduction.

Dans le cas des contacts lubrifiés, l’épaisseur de lubrifiant déposé sur le lopin est, dans

l’ensemble, suffisante pour que le lubrifiant remplisse la totalité du volume de l’aspérité et ce, quel que soit le volume de la vague plastique. Le volume de l’aspérité est donc considéré comme étant un ensemble homogène à une conductivité donnée.

Le terme de transport est négligé car, du fait des dimensions du maillage (<13 µm) et

de la vitesse de déplacement (< 10 mm/s), le nombre de Peclet est inférieur à 0,1. Part

CHAPITRE II 72

conséquent, le transfert d’énergie dû au déplacement du solide (second membre de l’équation (II.6)) est négligeable au regard des transferts conductifs.

Fenech et Rohsenow [1963] avaient remarqué que les effets du rayonnement dans

l’aspérité étaient négligeables du fait des faibles dimensions de celle-ci. Sadhal [1981] a montré que le flux radiatif n’excédait pas 2% du flux conductif pour des températures d’interface inférieures à 1000 K. Toutefois, une analyse simple a été menée permettant de quantifier les flux nets radiatifs échangés entre les différentes faces de l’aspérité (ANNEXE 3). Cette analyse confirme les observations précédentes. Par conséquent, les échanges radiatifs entre les différentes faces de l’aspérité sont négligés.

La présence de couches d’oxyde, bien que pouvant avoir une influence considérable sur le comportement thermique de l’interface, n’est pas prise en considération dans cette étude. En effet le phénomène d’oxydation des surfaces est un phénomène que l’on ne maîtrise pas encore en forgeage industriel. Bien que des études aient été menées sur ce sujet (Li et Sellars [1996-2]), aucune modélisation du comportement de ces couches en fonction des matériaux, des niveaux de températures et des propriétés thermophysiques n’a encore été proposée. Si le modèle de Li et Sellars était retenu (Fig.I.6), alors le modèle de la vague plastique pourrait être appliqué entre l’outil et l’oxyde. A la résistance de contact obtenue, il faudrait alors rajouter la résistance thermique de la couche d’oxyde. Dans tous les cas, cette modélisation, supposerait de connaître :

⇒ l’évolution de l’épaisseur de la couche d’oxyde avec les paramètres du forgeage

tels que la vitesse de l’outil ou la pression d’interface ; ⇒ les propriétés thermo-mécaniques des oxydes ( ( ) ( )σ λ0 T T, , E... ) afin de pouvoir

déterminer, au niveau de la modélisation, l’évolution du comportement de l’interface outil-oxyde au fur et à mesure du forgeage.

Pour le moment, la prise en compte des couches d’oxydes dans les simulations passe

par une meilleure maîtrise de leur comportement au cours du forgeage, et une amélioration de la connaissance de leurs propriétés thermophysiques.

II.4.2.3. Maillage

Le modèle microscopique est divisé en différentes zones afin de pouvoir affiner le maillage dans la zone la plus proche de l’interface. Les éléments choisis sont rectangulaires et le type de maillage obtenu, pour un nombre de noeuds réduit, est représenté sur la figure (II.12).

CHAPITRE II 73

I

II

III

IV

h

e1

e2

Vl

Nlign3=8

Nlign2=6

Ncolout= 13

Nlign1=7

2*Ncolout-1

Fig.II.12 : Exemple de maillage du modèle microscopique de contact. La figure n’est pas à l’échelle (Vl ≈ 200 mµ et e e1 2 1+ = mm). Ce maillage correspond à 775 noeuds, soit 23 fois

moins que celui utilisé pour les calculs. Les caractéristiques de la vague plastique sont déterminées suivant le nombre

d’éléments en contact à l’interface outil-lopin (fixé par l’utilisateur). Par conséquent, le sommet de la vague plastique coïncide toujours avec un noeud du maillage.

Pour des maillages grossiers, les températures dépendent du maillage. Seul un

maillage suffisamment fin permet d’obtenir la précision nécessaire à la détermination de RTC d’environ 10 7− m².K/W. Tous les calculs ont donc été réalisés avec le maillage suivant :

Nlign1=Nlign3=300 Nlign2=14 Ncolout=15

II.4.2.4. Types de noeuds rencontrés

Le champ de température est obtenu en effectuant le bilan d’énergie en régime permanent en chacun des noeuds :

CHAPITRE II 74

φ φ φentrant généré sor t∑ + ∑ = ∑ tan (II.10)

Dans le cas d’un noeud quelconque de l’outil ou du lopin (Fig.II.13.a), l’équation (II.10) donne :

( ) ( )λ λ∆∆

∆∆

∆ ∆yx

T T Txy

T T T q x yi j i j i j i j i j i j, , , , , ,− + + −+ − + + − + =1 1 1 12 2 0 (II.11)

Les bilans dans les zones (II) et (III) du maillage (Fig.II.12) sont plus complexes au

niveau des interfaces outil-lopin, outil-fluide ou lopin-fluide. Il faut dans ce cas pondérer les valeurs des conductivités suivant la proportion de chacun des éléments dans le volume de contrôle. Le bilan thermique dans le cas de la maille représentée sur la figure (II.13.b) est donné par :

( )( )

( )( )

λ λ λ λ

λ λ

21

21

1 21

1 21 0

T Tx

yT T

yx x x x

T Ty

y y yT T

xq x y

i j i j i j i j i j i j

i j i j

− + −

+

−+

−+ + −

−+

+ −−

+ =

, , , , , ,

, ,

' '

' '

∆∆

∆∆ ∆

∆

∆∆

∆ ∆

(II.12)

Le noeud qui correspond au sommet de la vague plastique (Fig.II.13.c) est un cas

particulier car le fluide, le lopin et l’outil interviennent simultanément dans le bilan d’énergie :

( )( )

λ λ

λ λ

fi j i j i j i j i j i j

fi j i j

T Tx

yT T

xy

T Ty

x

x x xT T

yq x y

− + +

−

−+

−+

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

+ −−

+ =

11

1 1

21

0

, , , , , ,

, ,' '

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆ ∆

(II.13)

La convection traduit le phénomène de transfert de chaleur sur les frontières

supérieure et inférieure du domaine d’étude. Dans ce cas, le flux de chaleur échangé entre un noeud frontière et le milieu extérieur est :

( )ϕext i jh T T= −∞ ∞, (II.14)

Le bilan d’énergie au niveau d’un noeud frontière (Fig.II.13.d) correspond à :

( ) ( ) ( )λ λ∆∆

∆∆

∆yx

T T Txy

T T h x T Ti j i j i j i j i j i j22 01 1 1− + + ∞ ∞+ − + − + − =, , , , , , (II.15)

CHAPITRE II 75

i,j i+1,j

i,j-1

i-1,j

i,j+1

∆ x

∆ y

outil

lopinfluide x'

1

2

i,j i+1,j

i,j-1

i-1,j

i,j+1

∆ x

∆ yx'

y'

1

2

i,j i+1,j

i,j-1

i-1,j

i,j+1

∆ x

∆ y

i,j i+1,ji-1,j

i,j+1

∆ x

∆ y

h T∞ ∞,

(a) (b)

(c) (d) Fig.II.13 : Différents types de mailles rencontrés.

II.4.2.5. Exemples de champs de température

Les figures (II.14), (II.15), (II.16) et (II.17) représentent des exemples de champs de température obtenus à l’interface outil-lopin. Les isothermes sont représentées sur les figures (a) alors que sur les figures (b) sont reportées, pour chaque valeur de y la température maximale et la température minimale dans la direction x. Lorsque ces deux températures sont égales, le champ de température est monodimensionnel. Près de l’interface, le champ de température est bidimensionnel du fait de la présence de l’aspérité. L’extrapolation du champ de température non perturbé vers l’interface géométrique de contact permet de déterminer les deux températures de contact.

Dans ces exemples, le champ de température a été calculé en régime permanent avec

les paramètres suivants :

e e m1 2 500= = µ A = °10 h = 10 mµ λ1 = 60 W / m.K

CHAPITRE II 76

λ2 40= W / m.K h h∞ ∞= =1 2 1000 W / m².K T∞ = °1 200 C T∞ = °2 1100 C

Les figures (II.14.a), (II.15.a) et (II.16.a) montrent le champ de température calculé en

l’absence de génération de chaleur, pour trois hauteurs de vague plastique différentes. Les deux premières figures correspondent au cas où h h1⟨ (Fig.II.3), alors que la troisième correspond au cas où h h1 = (Fig.II.4). Une augmentation de la hauteur h1 tend à diminuer le phénomène de constriction des lignes de flux. En effet, plus la vague plastique remplie l’aspérité de l’outil et plus le gradient thermique à l’interface est faible (Figs.b). Dans le cas où h h1 = , le volume de l’aspérité est tellement faible que le phénomène de constriction est fortement atténué (Fig.II.16). Les valeurs des résistances thermiques de contact calculées sont alors faibles ( R m K Wc ≤ −10 7 ². / ).

La figure (II.17) représente le champ de température dans le cas d’une génération de

chaleur dans le vague plastique et à l’interface outil-lopin, et pour une même hauteur de vague plastique que celle de la figure (II.15). Le flux de chaleur généré est de 225 kW/m² et l’équation (II.2) est vérifiée à 1,5 % près.

Pour ces exemples, on retiendra que l’épaisseur de la zone perturbée est de l’ordre de

grandeur de la période des aspérités.

0 5 0 1 0 04 0 0

4 5 0

5 0 0

5 5 0

6 0 0

x (m ic ro n s)

y (m

icro

ns)

6 4 7 .5

6 4 8

6 4 8 .5

6 4 9

6 4 9 .5

6 5 0

6 5 0 .5

6 4 8 6 4 9 6 5 0 6 5 14 0 0

4 5 0

5 0 0

5 5 0

6 0 0

te m p e ra tu re s (°C )

y (m

icro

ns)

T m inT m a x

Fig.II.14 : Champ de température sans flux de chaleur généré pour une hauteur de vague plastique de 1,43 µm.

Zone bidimensionnelle

CHAPITRE II 77

0 5 0 1 0 0

4 5 0

5 0 0

5 5 0

6 0 0

x (m ic ro n s)

y (m

icro

ns)

6 4 8 .2

6 4 8 .4

6 4 8 .6

6 4 8 .8

6 4 9

6 4 9 .2

6 4 9 .4

6 4 9 .6

6 4 9 .8

6 5 0

6 5 0 .2

6 4 8 .5 6 4 9 6 4 9 .5 6 5 04 0 0

4 5 0

5 0 0

5 5 0

6 0 0


y (m

icro

ns)

T m inT m a x

Fig.II.15 : Champ de température sans flux de chaleur généré pour une hauteur de vague plastique de 5 µm.

0 5 0 1 0 04 0 0

4 5 0

5 0 0

5 5 0

6 0 0

x (m ic ro n s)

y (m

icro

ns)

6 4 8 .4

6 4 8 .6

6 4 8 .8

6 4 9

6 4 9 .2

6 4 9 .4

6 4 9 .6

6 4 9 .8

6 5 0

6 5 0 .2

6 4 8 .5 6 4 9 6 4 9 .5 6 5 04 0 0

4 5 0

5 0 0

5 5 0

6 0 0


y (m

icro

ns)

T m inT m a x

Fig.II.16 : Champ de température sans flux de chaleur généré pour une hauteur de vague plastique de 10 µm.

CHAPITRE II 78

0 5 0 1 0 0

4 5 0

5 0 0

5 5 0

6 0 0

x (m ic ro n s)

y (m

icro

ns)

7 5 9 .5

7 6 0

7 6 0 .5

7 6 1

7 6 1 .5

7 5 9 .5 7 6 0 7 6 0 .5 7 6 1 7 6 1 .54 0 0

4 5 0

5 0 0

5 5 0

6 0 0


y (m

icro

ns)

T m inT m a x

Fig.II.17 : Champ de température avec flux de chaleur généré pour une hauteur de vague plastique de 5 µm.

II.4.3. Choix de l’interface géométrique de contact

Les valeurs des paramètres thermiques d’interface dépendent directement du choix de l’interface géométrique de contact πo (Fig.I.1, § I.2). Dans le cas de géométries telles que les géométries en créneaux (Chantrenne et Raynaud [1997]) le choix de la position de cette interface est évident (Fig.II.18.a). Dans le cas du modèle de la vague plastique, de part les niveaux maximaux de pression et de température atteints au cours du procédé de mise en forme (respectivement 150 MPa et 1000°C), il y a pénétration de la matière du lopin dans les aspérités de l’outil. L’interface est alors située à une ordonnée pouvant varier au maximum entre y e= 2 et y e h= +2 (Fig.II.18.b).

Interface géométriquede contact

Solide 1

Solide 2

h

aires de contact réel

(a) Modèle mono-créneaux (b) Modèle de la vague plastique

Outil

Lopin

e2

e1+e

2

y

Fig.II.18 : Positionnement de l’interface géométrique de contact.

CHAPITRE II 79

La position de cette interface va conditionner artificiellement les valeurs des températures de contact ( Tc1 et Tc2 ) et ainsi la valeur de la résistance thermique de contact, Rc . En effet, si πo est positionné à y e= 2 (Fig.II.2), la valeur de la RTC est calculée à partir des équations (I.1) et (I.2) par :

( )RT T e e

c ep p

oπ ϕ λ λ= =−

− −2

2 1

1

1

1

2

2 (II.16)

De la même façon si l’interface est localisée à y e= +2 ε ( 0 < ≤ε h ), Rc est donnée par :

( )RT T e e

c ep p

oπ ε ϕε

λε

λ= + =−

−−

−+

2

2 1

1

1

1

2

2 (II.17)

En comparant les équations (II.16) et (II.17), on obtient :

( ) ( )R Rc e c eo oπ ε π ελ λ= + == + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2

1 1

1 2 (II.18)

D’après cette équation, trois cas sont à envisager.

II.4.3.1. Cas où λ λ1 2=

D’après l’équation (II.18) si les conductivités du lopin et de l’outil sont égales alors quelle que soit la position de l’interface géométrique de contact ( πo ), la valeur de la RTC obtenue est la même (Fig.(II.19)). En effet, l’écart entre les températures de contact est constant quelle que soit la position de πo .

648.6 649.2 649.8 650.4 651.0 651.6Températures (°C)

420440460480500520540560580

Ord

onn

es d

u m

odle

(mic

rons

)

e2+he2

Tc2

Tc1

Température minimale

Température maximale

Fig.II.19 : Températures minimales et maximales dans la direction x pour chaque valeur de y. Les données sont : λ λ1 2 55= = W / m.K , h= 10 µm et A=8°, h1 1 43= , mµ .

CHAPITRE II 80

II.4.3.2. Cas où λ λ1 2 >

Si λ λ1 2 > , d’après l’équation (II.18), la valeur maximale de Rc est calculée pour y eoπ = 2 . La valeur de Rc peut devenir négative suivant la position de l’interface

géométrique de contact. En effet si ( )Rc eoπ = 2 est inférieure à ε

λ λ1 1

1 2− alors

( )Rc eoπ ε= +2 est négative. Un exemple permet d’illustrer ces résultats. La figure (II.20)

représente le champ de température près de l’interface de contact. Dans cet exemple si l’interface est localisée en y eoπ = 2 , alors l’écart de température ( )T Tc c2 1− est égal à 0,35 K et la valeur de la résistance thermique de contact est de 8 10-7 m².K/W. A l’inverse, si πo

est localisée en y e hoπ = +2 , ( )T Tc c2 1− est égal à -0,08 K et la valeur de Rc est alors de -1,7 10-7 m².K/W. En y eoπ µ= +2 8 23, m , les températures de contact sont égales, par conséquent la résistance de contact est nulle. Même si dans cet exemple les écarts de température à l’interface sont faibles, il permet de montrer qu’il existe des cas de figure où il est possible d’obtenir numériquement des RTC négatives.

639.0 639.5 640.0 640.5 641.0Températures (°C)

470

480

490

500

510

520

530

Ord

onn

es d

u m

odle

(mic

rons

)

e2+h

e2Tc1

Tc2 Température minimale

Température maximale

Fig.II.20 : Températures minimales et maximales dans la direction x pour chaque valeur de y. Les données de l’essai sont : λ1 400= W / m.K , λ2 10= W / m.K , λ f = 1 W / m.K , h= 10

µm et A=20°, h1 9 28= , mµ .

II.4.3.3. Cas où λ λ1 2 <

Pour la même raison, la valeur maximale de Rc est obtenue pour y e hoπ = +2 . En choisissant l’interface de contact à y eoπ ε= +2 , une valeur négative peut être calculée si

CHAPITRE II 81

( )Rc e hoπ = +2 est inférieure à ε

λ λ1 1

1 2−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ . Un exemple est présenté sur la figure (II.21).

658 659 660 661Températures (°C)

480490500510520530540550560570

Ord

onn

es d

u m

odle

(mic

rons

)

e2

e2+hTc2

Tc1

Température minimaleTempérature maximale

Fig.II.21 : Températures minimales et maximales dans la direction x pour chaque valeur de y. Les données de l’essai sont : λ1 10= W / m.K , λ2 400= W / m.K , λ f = 1 W / m.K , h= 20

µm et A=20°, h1 18 57= , mµ .

Dans cet exemple si l’interface est localisée en y e h= +2 , alors l’écart de

température ( )T Tc c2 1− est égal à 0,76 K et la valeur de la RTC est de 1,7 10-6 m².K/W. A

l’inverse, si πo est localisée en y eoπ = 2 , ( )T Tc c2 1− est égal à -0,096 K et la valeur de Rc est alors de -2,2 10-7 m².K/W. La résistance de contact est nulle pour y eoπ µ= +2 2 25, m .

II.4.3.4. Conclusions

Rappelons que la RTC est une grandeur mathématique qui permet de modéliser des phénomènes extrêmement complexes. Les résultats indiquent que les valeurs des RTC sont fonctions de la position de l’interface. Afin de ne pas perturber les utilisateurs potentiels des corrélations qui seront proposées pour calculer la RTC, il nous a paru souhaitable de travailler avec des résistances thermiques de contact positives. Deux cas de figure sont donc envisagés : ⇒ Si λ λ1 2≥ alors l’interface géométrique de contact est localisée en y eoπ = 2 . ⇒ Si λ λ1 2< alors l’interface géométrique de contact est localisée en y e hoπ = +2 .

De cette façon la RTC déterminée est toujours positive sans que cela modifie les valeurs des températures calculées dans la zone étudiée. En effet le flux de chaleur traversant le solide i est donné par :

CHAPITRE II 82

( )

ϕ λi ii piT y T

y=

− (II.19)

avec : Th

Tpii

ii= +

∞∞

ϕ (II.20)

Par conséquent, la température dans la zone non perturbée, à une ordonnée y, dans le

solide i est obtenue à partir des équations (II.19) et (II.20) :

( )T y yh

Tii

i

i

ii= + +

∞∞

ϕλ

ϕ (II.21)

Or

( )

ϕε

λ λ λ λπ ε

i

c e

T T

Rh h

e eo

=−

+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + + +

∞ ∞

= + ∞ ∞

2 1

2 1 1 2

1

1

2

22

1 1 1 1 (II.22)

avec 0 ≤ ≤ε h . En remplaçant ( )Rc eoπ ε= +2

dans l’équation (II.22) par la valeur donnée par l’équation

(II.18), on obtient :

( )ϕ

λ λπ

i

c e

T T

Rh h

e eo

=−

+ + + +

∞ ∞

= ∞ ∞

2 1

1 2

1

1

2

22

1 1 (II.23)

Le flux de chaleur ϕ i est constant quelle que soit la position de l’interface. Les

températures ( )T yi sont donc indépendantes du choix de la localisation de l’interface géométrique de contact.

II.5. CONCLUSION

Dans ce chapitre, la méthodologie de détermination des paramètres thermiques d’interface a été présentée.

Un modèle thermique macroscopique du contact a été choisi. Ce modèle fait intervenir

deux paramètres : une résistance thermique de contact, Rc , et un facteur de génération de flux α , lié à la génération de chaleur par déformations plastiques et par frottement au niveau de l’interface. L’estimation de ces paramètres implique l’utilisation d’un modèle géométrique

CHAPITRE II 83

microscopique du contact outil-lopin. Le modèle bidimensionnel de contact utilisé a été proposé par Challen et al [1984] et Avitzur et Nakamura [1986]. Ce modèle, dit de la vague plastique, tient son nom du fait que l’outil, parfaitement rigide, crée au cours du forgeage à la surface du lopin une vague plastique déformable. Son principal intérêt est qu’il permet de déterminer l’ensemble des caractéristiques géométriques du contact en fonction des données du forgeage (vitesse de forgeage, contrainte d’écoulement du matériau, coefficient de frottement, etc.). On réalise ainsi un bon couplage thermo-mécanique du problème.

A partir de ce modèle, une méthodologie se basant sur le calcul du champ de

température en régime permanent a été définie pour calculer Rc et α , pour chaque géométrie de contact et pour des propriétés thermiques et mécaniques de matériaux données.

L’influence de la position de l’interface géométrique de contact sur la valeur de la

RTC a été étudiée et a permis de montrer que quelles que soient la position de cette interface, et la valeur de la résistance de contact correspondante, les températures calculées dans la zone proche de l’interface sont les mêmes.

CHAPITRE III 85

CHAPITRE III

RESULTATS NUMERIQUES CONCERNANT LA

RESISTANCE THERMIQUE DE CONTACT

III.1. INTRODUCTION.......................................................................................... 87

III.2. MODELE RESISTIF DU CONTACT................................................................ 88

III.2.1. Détermination de la résistance de constriction Rs............................... 89

III.2.2. Détermination de la résistance du fluide Rf ........................................ 90

III.2.3. Influence sur Rc du facteur d’échelle .................................................. 91

III.2.4. Méthodologie de détermination des corrélations................................ 93

III.3. RESULTATS OBTENUS ................................................................................ 94

III.3.1. Présentation des corrélations............................................................... 94

III.3.2. Comparaison des corrélations avec les résultats numériques ............. 95

III.4. CONCLUSION ........................................................................................... 100

CHAPITRE III 86

CHAPITRE III 87

CHAPITRE III

Résultats numériques concernant la résistance thermique de contact

III.1. INTRODUCTION L’objectif de ce travail est d’intégrer l’ensemble des résultats concernant la

modélisation thermique du contact dans les codes de calcul macroscopique bidimensionnel de mise en forme des matériaux POLLUX et FORGE2. La RTC est déterminée pour une géométrie d’interface et des paramètres thermophysiques donnés, à partir de la méthodologie présentée dans le chapitre II. Le calcul de Rc est souvent coûteux en temps de calcul à cause du nombre de noeuds utilisé. Il nous a donc paru intéressant de développer des corrélations donnant Rc en fonction des paramètres géométriques du contact et des propriétés thermiques des matériaux dans la zone proche de l’interface, ces corrélations étant par la suite très facilement intégrables dans les codes de calcul.

Comme il a été déjà montré dans de nombreux travaux (Chapitre I), les paramètres

dont dépend Rc sont nombreux. On peut les classer en deux catégories :

d’une part les paramètres ‘’connus’’ du forgeron :

∗ les conductivités des matériaux et du lubrifiant, dans le cas des procédés lubrifiés, dans la zone proche de l’interface.

∗ La rugosité de l’outil. Cette rugosité est représentée au niveau du modèle

microscopique de contact par l’aspérité triangulaire équivalente (Fig.II.2). Les paramètres géométriques correspondant sont la hauteur de la vague plastique h et sa période Vl. Ces paramètres sont déterminés à partir d’une analyse profilométrique de la surface de l’outil (ANNEXE 2).

d’autre part les paramètres ‘’inconnus’’ du forgeron :

Ces paramètres correspondent aux caractéristiques de la vague plastique ( h et Vlo1 ) qui conditionnent la géométrie du contact. Ces caractéristiques évoluent en fonction du temps et de l’espace. Elles sont déterminées par le code de calcul à partir des données connues (propriétés thermophysiques, rugosité de l’outil, contraintes normales d’interface, etc.). Dans le cas où la hauteur de la vague plastique est inférieure à la hauteur h (Fig.II.3), h1 fixe la longueur du contact réel entre l’outil et le lopin, son influence sur Rc va donc être

CHAPITRE III 88

prédominante par rapport à Vlo ; c’est donc ce paramètre de la vague plastique qui sera retenu pour la corrélation. Lorsque h h1 = (Fig.II.4), le volume de l’aspérité est faible, le phénomène de constriction est très atténué et par conséquent, la résistance de contact est de l’ordre de 10-7-10-8 m².K/W. Aucune corrélation n’est donc déterminée dans ce cas ; une valeur de 10 7− m².K/W pour la RTC est prise en compte dans le code de calcul macroscopique.

La résistance thermique de contact, Rc , dépendant d’un nombre important de

paramètres (6), la détermination des relations empiriques nécessite l’utilisation préalable d’un modèle résistif de contact. Ce modèle permet, en effectuant certaines hypothèses, de découpler le transfert de chaleur à travers le contact direct outil-lopin et le transfert de chaleur à travers la zone fluide.

A partir de ce modèle des expressions empiriques de la RTC, Rcor , sont proposées et

comparées aux résultats numériques.

III.2. MODELE RESISTIF DU CONTACT

Bardon [1972] a décomposé la résistance thermique de contact pour un tube de flux

en deux composantes telles que :

1 1 1R R Rc s f

= +

(III.1)

où Rs représente la résistance de constriction dans les deux solides (outil et lopin) et R f représente la résistance aux transferts de chaleur liés au milieu interstitiel, dont la conductivité est en général bien plus faible que celles des matériaux en contact.

Une première approche consiste à supposer que ces deux résistances sont

indépendantes, c’est à dire que Rs ne dépend pas de la conductivité du lubrifiant, λ f , et inversement que R f ne dépend pas des conductivités de l’outil et du lopin, λ λ1 2 et . Cette hypothèse est d’autant plus valable que le rapport entre l’aire de contact réel et l’aire de contact apparent est faible, et que la conductivité du fluide interstitiel est au moins inférieure d’un ordre de grandeur à celles des matériaux.

Plus le volume de la vague plastique remplie l’aspérité, plus Rs et R f sont

interdépendantes. Toutefois nous montrons dans le paragraphe (III.3.2.2) que si Rs et R f sont supposées ne pas être couplées, l’écart entre les corrélations et les valeurs numériques est inférieur à 10 %.

CHAPITRE III 89

III.2.1. Détermination de la résistance de constriction Rs

Rs est obtenue dans le cas simple où la conductivité du lubrifiant est très faible ( λ f ≈ 0 W / m².K ), c’est à dire que l’on considère que le flux de chaleur traversant le milieu interstitiel est négligeable. Rs dépend des conductivités des matériaux ( λ λ1 2, ) dans la zone proche de l’interface et des caractéristiques géométriques du contact ( h, , Vl h1 ). Cette résistance peut être décomposée en deux termes qui représentent les résistances de constriction respectivement dans l’outil et le lopin (Bardon [1972]) :

( ) ( )RVl

F h Vl hVl

F h Vl hs = +λ λ1

1 12

2 1, , , ,

(III.2)

où F1 et F2 sont deux fonctions de constriction adimensionnées dépendant de la géométrie du contact.

Plusieurs essais ont été effectués afin de valider l’équation (III.2). Le champ de

température a été calculé dans le cas d’une aspérité adiabatique en faisant varier successivement λ1 et λ2 . La figure (III.1) représente Rs en fonction de 1/ λ1 pour différentes valeurs de hauteur de la vague plastique. La hauteur de l’aspérité est fixée à 8 µm , sa période à 100 µm ; la conductivité du lopin est de 10 W/m.K.

0.000 0.025 0.050 0.075 0.1001/λ1 (m.K/W)

2.0E-6

4.0E-6

6.0E-6

8.0E-6

1.0E-5

1.2E-5

1.4E-5

Rsi

stan

ce d

e co

nstr

ictio

n R

s (m

.K/W

)

h 1/h =1/7h 1/h =2/7h 1/h =3/7h 1/h =4/7h 1/h =5/7

Fig.III.1 : Evolution de Rs en fonction de l’inverse de la conductivité de l’outil pour différentes hauteurs de vague plastique h1 et pour une valeur de la conductivité du lopin.

CHAPITRE III 90

De la même façon, la figure (III.2) représente Rs en fonction de 1/ λ2 avec h, Vl et

λ1 constants (égaux respectivement à 10 µm , 140 µm et 10 W/m.K).

0.00 0.03 0.05 0.08 0.101/λ2 (m.K/W)

4.0E-6

8.0E-6

1.2E-5

1.6E-5

2.0E-5

Rsi

stan

ce d

e co

nstr

ictio

n R

s (m

.K/W

)

h1/h= 1/7

h1/h= 2/7h1/h= 3/7h1/h= 4/7h1/h= 5/7

Fig.III.2 : Evolution de Rs en fonction de l’inverse de la conductivité du lopin pour différentes hauteurs de vague plastique h1.

Les figures (III.1) et (III.2) ainsi que l’équation (III.2) montrent que la résistance de constriction est inversement proportionnelle aux conductivités thermiques des matériaux.

III.2.2. Détermination de la résistance du fluide Rf

De même que pour Rs la résistance liée à la présence de lubrifiant, Rf , est une

fonction de la forme :

( )RVl

F h Vl hff

f=λ

, , 1

(III.3)

où Ff est une fonction de constriction adimensionnée dépendant des facteurs géométriques du contact.

Rf est calculée en utilisant la relation (III.1) :

CHAPITRE III 91

( ) ( ) ( )( ) ( )R Vl h h

R h Vl h R h Vl hR h Vl h R h Vl hf f

c f s

s c fλ

λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ, , ,

, , , , , , , , ,, , , , , , , , ,11 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1=

− (III.4)

où Rs est déterminée en considérant le cas d’une cavité adiabatique ( λ f ≈ 0 W / m.K) ; et Rc est calculée pour les mêmes conditions géométriques et les mêmes conductivités thermiques des matériaux, en prenant en compte la présence du lubrifiant.

L’équation (III.3) indique que Rf est inversement proportionnelle à la conductivité du

lubrifiant, ce qui est vérifié numériquement par les résultats de la figure (III.3). Sur cette figure est représentée la valeur de Rf en fonction de l’inverse de la conductivité du lubrifiant, pour différentes hauteurs de vague plastique. Les données constantes des essais sont dans ce cas : Vl=200 µm et h=10 µm . De plus, on observe que plus la hauteur de la vague plastique augmente, plus le volume de contenant du lubrifiant diminue et donc plus Rf diminue.

0 5 10 15 201/λf (m.K/W)

0E+01E-52E-53E-54E-55E-56E-57E-58E-59E-5

Rsi

stan

ce R

f (m.K

/W)

h1/h= 1/7h1/h= 2/7h1/h= 3/7h1/h= 4/7h1/h= 5/7h1/h= 6/7

Fig.III.3 : Evolution de Rf en fonction de l’inverse de la conductivité du lubrifiant pour différentes hauteurs de vague plastique h1.

III.2.3. Influence sur Rc du facteur d’échelle

Soit une géométrie de contact donnée (Fig.II.2), notée S1. On associe à cette géométrie, pour des propriétés thermiques de matériaux données, une RTC notée Rc1. Soit une géométrie Sk , homothétique de rapport k à S1, telle que :

( ) ( )h k hk = 1

CHAPITRE III 92

( ) ( )Vl k Vlk = 1 (III.5)

( ) ( )h k hk1 1 1=

Les fonctions F1, F2 et Ff étant des fonctions adimensionnées, les équations (III.1),

(III.2) et (III.3) donnent : ( ) ( )R k Rc k c= 1

(III.6)

Le rapport ( ) ( )R Rc k c 1 est représenté sur la figure (III.4) en fonction du rapport

homothétique k. On obtient une droite passant par l’origine et de pente 1. Ce résultat confirme l’équation (III.6) et les expressions des équations (III.2) et (III.3).

0 1 2 3 4 5facteur homothétique k

0

1

2

3

4

5

(R s ) k /

(R s ) 1

Fig.III.4 : ( ) ( )R Rc k c 1 en fonction du rapport homothétique k des géométries de contact.

Cette similitude est utilisée par la suite sur le plan expérimental. En effet, pour des

raisons techniques de précision d’usinage et de précision de mesures de température, il peut être plus judicieux de mesurer la résistance thermique de contact à partir d’une géométrie de contact similaire à celle que l’on veut étudier mais dont les dimensions sont plus importantes. Connaissant le rapport homothétique k, on peut remonter à la valeur de la résistance souhaitée.

Dans ce cas une attention particulière doit être donnée au modèle à double constriction

(Bardon [1972]). En effet, la RTC peut être considérée comme étant la somme de deux résistances en série, l’une correspondant à la macro-constriction vers les zones de contact réel ( Rmacro ), l’autre à une micro-constriction vers les micro-aspérités ( Rmicro )(Fig.III.5). En

CHAPITRE III 93

augmentant les dimensions de la géométrie d’interface, les dimensions des micro-aspérités augmentent et Rmicro peut donc devenir non négligeable devant Rmacro . Un modèle à double constriction est alors à envisager. Par conséquent la similitude peut ne plus être conservée. Toutefois Rmicro étant une résistance thermique de contact elle est proportionnelle à la dimension caractéristique du micro-contact (Eq.III.2). En usinant une géométrie homothétique de rapport k à celle de référence, même si cela a pour conséquence d’augmenter la taille des micro-aspérités, et donc de Rmicro , Rmacro augmente elle aussi. Par conséquent, le rapport entre ces deux résistances, même s’il n’est pas parfaitement constant, ne doit pas trop varier.

Rmicro

Vl

lc

Fig.III.5 : Modèle à double constriction (Bardon [1972]).

III.2.4. Méthodologie de détermination des corrélations

A partir du modèle résistif de contact, la résistance thermique de contact, Rcor , peut

être décomposée en deux résistances en parallèle, Rs (Eq.III.2) et R f (Eq.III.3). La détermination de Rs et R f revient à déterminer les trois fonctions adimensionnées F1, F2 et Ff . Pour cela les calculs numériques ont été réalisés en faisant varier successivement chacun des paramètres dont dépendent les résistances. Les coefficients des fonctions F1, F2 et Ff ont été ensuite obtenus par une méthode de type moindres carrés.

Pour la détermination de F1 et de F2 , 4 valeurs de A et de h, 3 valeurs de λ1 et de λ2

et 6 valeurs de h1 ont été considérées. Pour la détermination de Ff , les valeurs de λ1 et de λ2 sont restées constantes et 4 valeurs de A et de h, 3 valeurs de λf et 6 valeurs de h1 ont été considérées. Les valeurs choisies sont comprises dans le domaine d’étude défini ci-dessous :

10 1 2 W / m.K 400 W / m.K≤ ≤λ λ,

10 4− ≤ ≤ W / m.K 20 W / m.Kfλ

CHAPITRE III 94

( )λ λ λf Min≤ 1 2 10, 3 m h 20 mµ µ≤ ≤ 40 m Vl 400 mµ µ≤ ≤ 3° ≤ ≤ ° A 20 Ces domaines englobent l’ensemble des cas pouvant être rencontrés lors des procédés

de forgeage. Par exemple, les rugosités de l’outil (paramètres h, A et Vl) mesurées au cours de différentes campagnes d’essais menées par des industriels de la forge (SNECMA, FORTECH) ont donné pour h et Vl des valeurs égales respectivement à 3 µm et à 80 µm ; soit un angle d’aspérité A de l’ordre de 4,5°.

Suivant les valeurs des conductivités de l’outil et du lopin le choix de la localisation

de l’interface géométrique de contact est effectué afin d’avoir une RTC positive (§ II.4.3). Deux corrélations sont donc déterminées suivant que λ λ1 2≥ ou que λ λ1 2< .

Au total plus de 225 simulations ont été réalisées pour déterminer ces corrélations.

III.3. RESULTATS OBTENUS III.3.1. Présentation des corrélations

Les fonctions de constriction qui doivent être identifiées sont des fonctions

adimensionnées ne dépendant que des caractéristiques géométriques du contact, à savoir h, Vl et h1.

Dans le cas où λ λ1 2≥ F1, F2 et Ff sont données par :

Fh

Vlhh

hVl1

10 268 0 692 0 338 0 0959= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − +, , . .log , . ,

(III.7

)

Fhh

hVl

hVl2

1 10 273 0 227 0 129 0 0985= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + +, .log , . , . ,

(III.8

)

CHAPITRE III 95

Fh

VlhVl

hh Vlf = − −0 427 0 0064 0 3001 1

2, . , . , .

. (III.9

)

Si λ λ1 2< , alors :

Fh

Vlhh

hVl1

10 269 0 661 0 0 0999= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +, , . .log , . ,460 (III.10)

Fhh

hVl

hVl

hh Vl2

1 1 12

0 272 0 0 0 298 0 0945= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − + +, .log , . , . ,

., 453 238 (III.11)

FhVl

hVl

hh Vlf = + −0 502 0 250 0 6541 1

2, , ,

. (III.12)

III.3.2. Comparaison des corrélations avec les résultats numériques

Une première validation des corrélations est réalisée en comparant les valeurs de Rcor à celles de la résistance thermique de contact obtenues directement par le calcul numérique à partir de la méthodologie définie dans le chapitre II. La géométrie de contact et les conductivités des matériaux et du lubrifiant sont choisies au hasard dans la gamme de validité des formules des corrélations.

III.3.2.1. Validation des corrélations dans le cas d’une aspérité adiabatique Les premières validations ont été réalisées en considérant le flux de chaleur traversant

le milieu interstitiel négligeable ( λ f ≈ 0 W / m.K ). Dans ce cas, Rcor est comparée aux valeurs de Rs (Eq.III.2).

Sur la figure (III.6) sont représentées les évolutions de Rcor et de Rs en fonction de

la hauteur de la vague plastique, pour deux conditions de forgeage différentes. Cette figure, comme les figures (III.1), (III.2) et (III.3), permet de souligner l’influence de la hauteur de la vague plastique sur la valeur de la RTC. En effet, la RTC déterminée pour de faibles valeurs de h1 est supérieure d’un ordre de grandeur à celles obtenues pour les plus fortes valeurs de

CHAPITRE III 96

h1. Lorsque h h1 = , on observe une brusque chute de la RTC due à une atténuation plus importante du phénomène de constriction.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 h

1/h

1.0E-8

1.0E-7

1.0E-6

1.0E-5

1.0E-4

Rsi

stan

ce d

e co

nstr

ictio

n (m

.K/W

)

Condition 1 ( ) : λ1 40= W / m.K λ2 10= W / m.K Vl = 140 µm h = 10 µm

Condition 2 ( ) : λ1 100= W / m.K λ2 200= W / m.K Vl = 70 µm h = 5 µm

Fig.III.6 : Résistance thermique de contact Rcor ( ) et Rs ( , ) en fonction de la hauteur de la vague plastique pour deux conditions de forgeage données.

Plus de 200 essais ont été réalisés en faisant varier successivement h, Vl, h1, λ1 et

λ2 . Sur l’ensemble de ces essais l’écart entre les résultats de la corrélation et les résultats numériques n’excède pas 1 % avec un écart type de 0,92 %, l’écart maximum obtenu étant de 7,1 %. Les corrélations dans le cas d’une aspérité adiabatique donnent entière satisfaction. Dans le tableau (III.1) sont consignés quelques-uns des résultats obtenus.

D’une manière générale, d’après la figure (III.6) et le tableau (III.1), on observe la

forte dépendance de la RTC avec les propriétés thermophysiques et la géométrie de contact ce qui justifie de prendre en considération au niveau du procédé de mise en forme une RTC variable à la fois dans l’espace (tout le long du contact outil-lopin) et dans le temps.

λ1 (W/m.K)

λ2 (W/m.K)

h (µm)

Vl (µm)

h1 (µm)

Rs (m².K/W)

Rcor (m².K/W)

Ecart (%)

10 23 20 572 17,1 1,2E-05 1,2E-05 0,5 65 80 15 120,3 12,9 5,2E-07 5,1E-07 1,0 68 127 5,4 35,3 4,6 1,4E-07 1,4E-07 1,2

143 168 18 293,2 15,4 5,6E-07 5,5E-07 0,7 210 220 8,4 79 7,8 9,2E-08 9,1E-08 1,5 55 250 9 205,7 7,7 7,2E-07 7,2E-07 0,8

350 400 6 171,6 5,6 1,1E-07 1,1E-07 1,7 10 400 5 40,0 3,9 9,9E-07 9,8E-07 0,7 10 10 15 342,9 8,57 1,7E-05 1,8E-05 0,7 45 40 15 342,9 8,57 4,1E-06 4,2E-06 0,6 55 25 6 137,2 5,14 1,2E-06 1,2E-06 1,6

CHAPITRE III 97

100 80 20 457,2 2,86 6,6E-06 6,7E-06 0,7 160 90 4 34,7 0,57 4,0E-07 4,1E-07 2,1 400 10 5 40 3,21 1,1E-06 1,1E-06 1,0 400 10 5 40 3,93 8,6E-07 8,4E-07 2,9 400 350 11 156,5 6,29 2,2E-07 2,2E-07 0,7

Tableau III.1 : Comparaison de Rs et Rcor dans le cas d’une aspérité adiabatique.

III.3.2.2. Validation des corrélations dans le cas d’un contact avec lubrifiant

Les mêmes comparaisons peuvent être effectuées dans le cas où l’aspérité est remplie de lubrifiant.

La figure (III.7) montre les valeurs de Rcor et de Rc en fonction de la conductivité

du lubrifiant pour deux conditions de forgeage données. Les résultats observés confirment les remarques faites précédemment (§ III.3.2.1) concernant l’influence des caractéristiques géométriques (et notamment la hauteur de la vague plastique) et des conductivités des matériaux sur les valeurs de la RTC.

De plus, cette figure permet de mettre en évidence l’influence de la conductivité du

lubrifiant sur la valeur de la RTC : la proportion de chaleur qui passe à travers le lubrifiant comparée à celle qui passe par le contact direct outil-lopin dépend du rapport entre la conductivité du lubrifiant et celles des matériaux. En effet, la conductivité du lubrifiant conditionne la proportion de flux de chaleur qui converge vers le contact métal-métal, surtout lorsque l’écart entre cette conductivité et les conductivités de l’outil et du lopin est faible.

0 1 2 3 4Conductivité du lubrifiant (W/m.K)

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

Rsi

stan

ce th

erm

ique

de

cont

act

(m.K

/W)

Rc(h1= 5µm)

Rcor

Rc(h1= 3µm)Rc(h1= 1µm)

Rc(h1= 2,28µm)Rc(h1= 6,86µm)Rc(h1= 9,14µm)Rc(h1= 13,71µm)

Rcor

Condition 1 :

Condition 2 :

Fig.III.7 : Résistances thermiques de contact Rcor et Rc en fonction de λ f pour deux conditions de forgeage :

condition 1 : λ1 80= W / m.K , λ2 60= W / m.K , h=7 µm, A=12°

CHAPITRE III 98

condition 2 : λ1 10= W / m.K , λ2 40= W / m.K , h=16 µm, A=9,1° Environ 300 cas tests ont été effectués. Sur l’ensemble de ces essais l’écart entre les

résultats des corrélations et les résultats numériques est en moyenne de 6,1 % avec un écart type de 7,9 %. Quelques résultats sont consignés dans le tableau (III.2) : plus la hauteur la vague plastique et plus la conductivité du lubrifiant augmentent, plus l’écart relatif entre Rcor et Rc augmente. Ceci est lié au choix du modèle résistif utilisé (Eq.III.1) pour déterminer les corrélations qui suppose que les transferts de chaleur à travers la zone fluide et à travers le contact direct sont découplés. Or cette hypothèse est d’autant moins juste que la surface réelle de contact est importante et/ou que la conductivité du lubrifiant est grande par rapport à celles

des matériaux ( λλ λ

fMin

≈( , )1 210

). Néanmoins même si l’écart relatif entre Rcor et Rc peut

parfois être important (30-40 %), l’écart absolu reste faible (le plus souvent inférieur d’un ordre de grandeur aux valeurs de la RTC), d’autant plus que les écarts relatifs les plus importants sont obtenus pour des valeurs absolues de RTC de l’ordre de 10-7-10-8 m².K/W. Leur influence sur le transfert de chaleur est donc moindre.

Afin de justifier d’une éventuelle nécessité d’affiner les corrélations dans le cas d’un

contact lubrifié pour obtenir des écarts plus faibles, il nous a paru impératif de quantifier l’incertitude sur les résultats des corrélations liée aux incertitudes sur l’ensemble des paramètres dont dépend la RTC.

λ1 (W/m.K)

λ2 (W/m.K)

h (µm)

Vl (µm)

h1 (µm)

λf (W/m.K)

Rs (m².K/W)

Rcor (m².K/W)

Ecart (%)

80 60 7 65.9 5 0,04 3,9E-07 3,9E-07 0,2 80 60 7 65,9 5 0,4 3,6E-07 3,6E-07 1,1 80 60 7 65,9 5 4 2,0E-07 2,1E-07 5,9 40 10 16 200 2,29 2 2,9E-06 2,8E-06 3,4 40 10 16 200 9,14 2 2,0E-06 1,9E-06 5,6 40 10 16 200 13,71 2 1,3E-06 1,1E-06 11,5 10 40 10 70 1,43 0,5 4,3E-06 4,2E-06 1,4 10 40 10 70 5,71 0,5 2,2E-06 2,2E-06 2,5 10 40 10 70 8,57 0,5 1,3E-06 1,2E-06 3,8

182 190 8,4 190 0,6 0,9 1,2E-06 1,3E-06 8,8 182 190 8,4 190 7,8 0,9 1,9E-07 2,1E-07 11,6 182 190 8,4 190 0,6 3 7,0E-07 7,9E-07 12,3 182 190 8,4 190 7,8 3 1,2E-07 1,6E-07 31,8

Tableau III.2 : Comparaison de Rc et Rcor dans le cas d’un contact lubrifié.

CHAPITRE III 99

III.3.2.3. Incertitudes sur les corrélations liées aux incertitudes sur les données du forgeage

Les paramètres géométriques et thermophysiques dont dépend la RTC sont connus ou déterminés avec une certaine incertitude. Cette incertitude va engendrer une incertitude sur Rcor , qui peut être quantifiée au moyen de la méthode de Monte Carlo.

On suppose que chaque paramètre ( )X jj = 1 à 5 (h, Vl, h1, λ1 et λ2 ) est connu avec

une incertitude de ± 10 % . Cette incertitude dans le cas de λ f est beaucoup plus importante en pratique vu que les données sur les propriétés des lubrifiants sont quasiment inexistantes. Pour cette raison, on suppose que λ f ( X6 ) est connue à ± 40 % . Si pour chaque variable X j , plusieurs mesures pouvaient être réalisées, leurs distributions suivraient une loi

Gaussienne (N( X j , σ j )) de moyenne X j et d’écart type σ j . En considérant un intervalle de confiance à 99,99 % :

( ) ( )σ j

j jMax X Min X=

−13 2

(III.13)

avec : ( )Max X X Xj j j j== +

1 50 1

,, et ( )Min X X Xj j j j=

= −1 5

0 1,

, (III.14)

et ( )Max X X X6 6 60 4= + , et ( )Min X X X6 6 60 4= − , (III.15)

La méthode statistique employée permet de définir l’intervalle de valeurs probables de

Rcor en construisant la loi de distribution de la fonction Rcor . Cette loi se construit en calculant un nombre fini N (3000) de valeurs de Rcor à partir des valeurs des variables X j

considérées comme des variables aléatoires suivant une loi de Gauss N( X j , σ j ). Soit

{ }X Xj j1 3000,..., un échantillon de 3000 valeurs de la variable aléatoire Gaussienne X j , la

résistance de contact Rcor est définie par :

( )R f X Xcori i i= 1 6,... (III.16)

Rcor suit une loi de Gauss de moyenne :

R Rcor cori

i= ∑

=

13000 1

3000 (III.17)

et d’écart type :

( )σR cori

cori

R R2

1

3000 212999

= −∑=

(III.18)

CHAPITRE III 100

Pour définir l’intervalle de confiance à 99,99 %, on recherche l’intervalle centré sur la

moyenne Rcor dans lequel 99,99 % des valeurs sont regroupées. L’incertitude relative sur

Rcor liée à l’incertitude sur les paramètres dont elle dépend est donc de ± 3R

R

cor

σ*100 %.

Un exemple, permettant d’illustrer la démarche suivie est traité ci-dessous. Dans cet

exemple les valeurs moyennes des paramètres géométriques et thermophysiques du problème sont :

h = 7 µm Vl = 65,86 µm h1 6 5= , mµ λ1 80= W / m.K λ2 60= W / m.K λ f = 4 W / m.K Dans ce cas la valeur de Rc , obtenue par calcul numérique est de 1,0 10-7 m².K/W et

celle de Rcor de 1,3 10-7 m².K/W soit un écart entre Rc et Rcor d’environ 30 %. Si on suppose que la conductivité du lubrifiant est connue à ± 40 % et que les autres paramètres sont connus avec une incertitude de ± 10 % et qu’ils suivent une loi de Gauss N(m, σ ), alors Rcor suit aussi une loi de Gauss de moyenne 1,3 10-7 m².K/W (Eq.(III.17)) et d’écart type 1,87 10-8 m².K/W (Eq.(III.18)) (Fig.III.8). L’incertitude sur Rcor liée à l’incertitude sur les paramètres dont elle dépend est de 43 %. Elle est donc supérieure à l’écart entre Rc et Rcor .

050

100150200250300350

5.90

E-08

8.40

E-08

1.09

E-07

1.34

E-07

1.59

E-07

1.84

E-07

Résistance de contact Rcor (m².K/W)

Fréq

uenc

e

Fig.III.8 : Répartitions Gaussiennes des 3000 valeurs de Rcor (b). Sur l’ensemble des essais réalisés, l’écart entre Rc et Rcor , en moyenne de 6 %, est

toujours resté inférieur à l’incertitude sur Rcor liée à l’incertitude sur les paramètres utilisés dans les corrélations, qui est comprise entre 25 % et 60 %. Cette étude de sensibilité souligne la très forte influence sur Rcor des incertitudes sur les paramètres géométriques et thermiques

CHAPITRE III 101

dont elle dépend. Par conséquent, il nous a paru inutile d’affiner la méthode de détermination des corrélations. Des valeurs précises de la RTC seront calculées grâce aux corrélations, dans la mesure où les paramètres (géométriques et thermiques) seront connus avec suffisamment de précision.

III.4. CONCLUSION

Les résultats numériques de détermination de la RTC ont été présentés dans ce

chapitre. Un des principaux objectifs de ce travail est d’améliorer les codes de calcul de mise en

forme de matériaux en y intégrant les résultats concernant le comportement thermique de l’interface de contact outil-lopin. La détermination numérique de la RTC étant coûteuse en temps de calcul, il est plus judicieux d’intégrer dans ces logiciels de simulation des corrélations liant la RTC aux paramètres rhéologiques et thermophysiques dont elle dépend.

La RTC étant fonction de nombreux paramètres géométriques et thermiques, un

modèle thermique de contact a été retenu dans ce but. Ce modèle permet, en effectuant quelques hypothèses concernant les transferts de chaleur aux interfaces, de découpler le transfert de chaleur à travers le contact intime outil-lopin de celui à travers le lubrifiant.

Grâce à ce modèle des corrélations ont pu être proposées. Ces corrélations donnent la

RTC en fonction des paramètres géométriques du contact (rugosité de l’outil -h et Vl- et caractéristique de la vague plastique - h1-) et des conductivités de l’outil, du lopin et du lubrifiant dans la zone proche de l’interface.

Une première validation de ces corrélations a consisté à comparer les valeurs

corrélées, Rcor , aux valeurs numériques, Rc . La comparaison de ces valeurs dans la cas d’une aspérité adiabatique ou d’un contact lubrifié a montré que l’écart entre Rcor et Rc n’excède pas en moyenne 10 %, alors que l’incertitude sur Rcor liée à l’incertitude sur les paramètres dont elle dépend est comprise entre 25 % et 60 %. Les corrélations donnent donc entière satisfaction dans la mesure où les paramètres dont dépend la RTC sont connus avec suffisamment de précision. Si c’est effectivement le cas des conductivités des matériaux ou des caractéristiques géométriques, ce n’est pas le cas des caractéristiques des lubrifiants encore très peu connues des forgerons.

Une validation expérimentale des résultats numériques obtenus nous a paru nécessaire

afin de valider l’approche choisie et les corrélations proposées. L’ensemble du dispositif expérimental mise en place ainsi que les mesures effectuées sont présentés dans les chapitres IV et V.

CHAPITRE IV 103

CHAPITRE IV

PRESENTATION DU PROCESSUS EXPERIMENTAL DE MESURES DE RESISTANCES THERMIQUES DE

CONTACT

IV.1. INTRODUCTION ........................................................................................ 105

IV.2. DISPOSITIF EXPERIMENTAL DE MESURES ............................................... 106

IV.2.1. Présentation des échantillons testés .................................................. 108

IV.2.2. Les moyens de mesures..................................................................... 111

IV.3. METHODOLOGIE DE DETERMINATION EXPERIMENTALE DE LA

RESISTANCE THERMIQUE DE CONTACT ............................................................ 111

IV.3.1. Exploitation du régime thermique permanent .................................. 113

IV.3.2. Exploitation du régime thermique transitoire ................................... 114

IV.4. CONCLUSION............................................................................................ 116

CHAPITRE IV 104

CHAPITRE IV 105

CHAPITRE IV

Présentation du processus expérimental de mesures de résistances thermiques de contact

IV.1. INTRODUCTION Afin de mieux connaître et modéliser les mécanismes de transferts de chaleur à

l’interface outil-lopin lors des procédés de mise en forme, un modèle microscopique de contact bidimensionnel a été choisi permettant de déterminer la résistance thermique de contact. Des corrélations ont été proposées. Elles donnent la RTC en fonction des caractéristiques géométriques et thermiques du contact. La concordance des résultats numériques et des corrélations est satisfaisante.

Parallèlement à cette étude numérique un dispositif expérimental de mesures de

résistances thermiques de contact a été mis en place. L’objectif de ce montage est double. Dans un premier temps, il s’agit de valider les corrélations dans le cas de contacts non

lubrifiés. La démarche expérimentale suivie consiste à valider les résultats pour deux géométries de contact données. Les mesures de la RTC sont donc effectuées en contact statique entre deux échantillons en cuivre dont les faces en contact ont été usinées afin d’obtenir la même géométrie de contact que le modèle microscopique (Fig.II.2), dans le cas où la hauteur la vague plastique h1 est faible.

L’objectif de cette validation expérimentale n’est pas de simuler ou d’instrumenter un

procédé de mise en forme comme cela a déjà été le cas (chapitre I), mais de se placer dans les mêmes conditions géométriques d’interface que le modèle numérique afin de pouvoir comparer les résultats. Deux géométries de contact ont été testées. Si pour ces deux géométries, l’accord entre les RTC mesurées et données par les corrélations est satisfaisant, alors la détermination de la RTC par les corrélations sera validée pour des contacts secs.

Dans un second temps, ce dispositif expérimental a permis d’étudier l’influence des

phénomènes directionnels sur la RTC. La détermination théorique de la RTC nécessite une modélisation préalable de la géométrie de contact. Cette modélisation peut être bidimensionnelle (2D) ou tridimensionnelle (3D). Le travail présenté repose sur une approche bidimensionnelle du problème, les codes de calcul FORGE2 et POLLUX se basant sur une modélisation géométrique bidimensionnelle. Une modélisation 2D peut être justifiée par des conditions d’usinage des surfaces ou dictée par des critères de temps de calcul ou de facilité

CHAPITRE IV 106

de mise en œuvre. Cependant il est important d’évaluer la différence entre les résistances de contact obtenues par modélisations 2D ou 3D afin de justifier du choix d’une modélisation 2D du contact dans FORGE2 et du développement éventuel d’une approche numérique tridimensionnelle d’estimation de la RTC pour le code de calcul tridimensionnel FORGE3.

L’objectif de ce chapitre est de présenter la méthodologie expérimentale. Dans un

premier temps un descriptif du montage permet de montrer les différents instruments de mesures et les échantillons utilisés. Dans une seconde partie, la méthodologie de détermination de la résistance thermique de contact est décrite. La RTC est estimée soit à partir du régime thermique permanent, soit à partir du régime transitoire au moyen d’une méthode inverse de conduction de la chaleur. Les résultats expérimentaux de l’ensemble des essais réalisés seront présentés dans les prochains chapitres (V et VI).

IV.2. DISPOSITIF EXPERIMENTAL DE MESURES Les mesures de la résistance thermique de contact entre deux solides, en contact

statique, consistent à créer perpendiculairement à la surface de contact, un flux de chaleur unidirectionnel dans la zone non perturbée par la constriction des lignes de flux. Ce flux, ainsi que le saut de température à l’interface, est déterminé à partir des températures mesurées sur les solides.

Le dispositif expérimental est représenté sur la figure (IV.1). Une boîte à eau (1), reliée à un bain thermostaté permet de refroidir l’échantillon

inférieur grâce à une circulation d’eau à 15°C. Un flux de chaleur est imposé sur le haut de l’échantillon supérieur grâce à un élément

chauffant (6). Cet élément chauffant THERMOCOAX, de diamètre externe 42 mm et de diamètre de spire 38 mm, permet de délivrer une puissance maximale de 500 W pour une résistance en ligne d’environ 2,75 Ohm. La commande en tension du fil chauffant est réalisée grâce à une alimentation stabilisée SDF (tension de sortie maximum de 80 V) et au logiciel VIEWDAC. Afin d’éviter d’endommager le capteur de force (8) et d’atteindre des niveaux de températures trop élevés dans la cloche à vide (ce qui, par une dilatation de l’huile du système hydraulique de mise en charge, peut provoquer une variation de la charge appliquée durant le transitoire thermique), il est souhaitable que la température dans les échantillons ne dépasse pas 100°C.

Un isolant (7) est placé entre le capteur de force et l’élément chauffant afin que la

puissance dissipée par la platine chauffante passe en majorité à travers les échantillons. Cet isolant est constitué d’une plaque en Torlon et d’une tige en Vespel de conductivités moyennes 0,4 W/m.K. Le Torlon comme le Vespel sont des polyimides. Ces matériaux ont été retenus pour cette application à cause de leur capacité d’isolation et de leur excellente tenue mécanique.

CHAPITRE IV 107

3

1

2

vers le système d'acquisition de données

pompes à vide

10

6

5

78

Système de mise sous pression

3

9

1 : Boîte à eau en cuivre(régulée à 15°C).

2 : Boîte en cuivre pour lessoudures froides.

3 : Echantillon à face miroir.

4 : Echantillon à face usinée.

5 : Thermocouples de type Ksoudés ( 50 µm).

6 : élément chauffantThermocoax (Pmax= 500 W)

7 : Isolant en polyimide (λ~0,4 W/m.K).

8 : Capteur de force(Fmax=10 kN).

9 : Soufflet hydraulique demise sous pression.

10 :Passages étanches.

11 :Cloche à vide

∅

411

Fig.IV.1 : Schéma de principe du dispositif expérimental de mesures de résistances thermiques de contact.

Un soufflet HYDRA (9), rempli de liquide synthétique pour freins permet de mettre en

charge les échantillons. L’ensemble de la colonne expérimentale est situé dans une cloche à vide (11). Une

pompe à palette permet de réaliser les essais sous un vide primaire d’environ 5.10 2− mmHg .

Elle est reliée à une pompe à diffusion qui permet de descendre à 5 10 3. mmHg− . Le système de mise sous vide permet de limiter les pertes radiales. De plus, du fait de la dimension des échantillons (ø 42 mm) et de leur conductivité thermique (376 W/m.K), le nombre de BIOT

CHAPITRE IV 108

du système est inférieur à 0,001. Le champ de température peut donc être considéré comme monodimensionnel dans la zone non perturbée par la constriction des lignes de flux.

IV.2.1. Présentation des échantillons testés

Les échantillons, de hauteur 50 mm et de diamètre 42 mm, sont en cuivre électrolytique. Les caractéristiques thermiques de ce cuivre à température ambiante, ont été mesurées et sont les suivantes :

ρ = 8948 Kg / m3 Cp = 382 kJ / kg.K a=110 10-6 m²/s La mesure de la diffusivité a été réalisée au moyen d’une méthode flash. La chaleur

spécifique a été déterminée au moyen d’un calorimètre à flux sur un échantillon de 11g. Dans les deux cas, l’incertitude maximale retenue est de ± 5 % . La masse volumique a été estimée par pesage à ± 5 % . La conductivité thermique de ce cuivre est donc de 376 W/m.K.

Les échantillons ont été préalablement écrouis afin d’augmenter leur dureté et d’éviter

ainsi une déformation trop rapide et trop importante des surfaces usinées. L’enregistrement des contraintes en fonction des déformations, obtenu au cours de l’écrouissage des échantillons sur une presse de 25 tonnes disponible au LMSo, est représenté sur la figure (IV.2) : la limite élastique des échantillons après écrouissage est de 265 MPa. A partir de la relation liant la micro-dureté H à la limite élastique σe (Eq.IV.1) (Halling [1976]), on obtient une micro-dureté de 79,5 Vickers.

H e= 3σ (IV.1)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0Déformations (%)

0

50

100

150

200

250

300

Con

trai

nte

(MPa

)

E

σe

Fig.IV.2 : Courbe d’écrouissage du cuivre utilisé pour les échantillons.

CHAPITRE IV 109

Parallèlement, des mesures de micro-dureté ont aussi été effectuées in situ. Le principe

de ce type d’essais est de mesurer la pénétration d’un diamant de forme pyramidale à base carrée en fonction de la charge appliquée (Fig.IV.3). La micro-dureté est le rapport de cette charge sur la surface de contact. Les mesures réalisées ont donné une micro-dureté en moyenne de 100 Vickers. L’écart entre les deux duretés obtenues provient essentiellement du fait que lors de la détermination in situ de la micro-dureté la mesure s’effectue sur une couche très superficielle de l’échantillon (inférieure à 35 µm ). Or superficiellement le matériaux est légèrement écrouis du fait de l’usinage et du polissage de la surface. Cette mesure est donc plus une mesure locale que globale. De plus comme elle a été effectuée avant l’usinage final des surfaces, il a de fortes chances pour qu’une seconde série de mesures in situ après l’usinage final soit elle aussi différente de la première. Toutefois, afin de préserver l’intégrité des géométries de contact, nous avons préféré ne pas effectuer ce type de mesures sur les surfaces usinées avant les essais.

La mesure de micro-dureté est importante car elle permet de donner une estimation de

la surface réelle de contact en fonction de la pression d’interface, sous certaines conditions (Eq.I.22). Or, la valeur de la résistance thermique de contact dépendant directement de la valeur de la surface réelle de contact, la validité de la mesure de la micro-dureté va directement conditionner la qualité de la validation expérimentale.

Fig.IV.3 : Essai Vickers de mesure de micro-dureté.

Le principe de mesure des RTC repose sur le contrôle de la géométrie de contact que ce soit en géométrie bidimensionnelle, pour la validation de l’étude théorique, ou en géométrie 3D, dans le cas de l’étude des phénomènes tridimensionnels sur la RTC. Ce type de démarche a déjà été adopté par Cordier et al. [1975], qui avaient remarqué que l’analyse du phénomène de constriction était rendue complexe par le manque de connaissance sur les caractéristiques géométriques de l’interface. Ils avaient donc déterminé la RTC en régime sinusoïdal entre un cylindre en acier, dont la face en contact avait été préalablement rodée et polie, et un cylindre en laiton, dont la face en contact comportait des macro-aspérités pyramidales de hauteur 0,7 mm. Dans notre cas, les faces des deux échantillons en contact ont été usinées (machine Moore, outil diamant) : l’un des échantillons a une face miroir ( Ra ≤ 0 01, mµ ) et l’autre une face comportant des aspérités triangulaires (2D) ou

F

136°

d (mm)S

HFS

=

Sd

=°⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

2136

2sin

CHAPITRE IV 110

pyramidales (3D) (Fig.IV.4). Les stries des aspérités triangulaires ne sont pas parfaitement rectilignes ; leur rayon de courbure est de 150 mm. Quant aux aspérités pyramidales, leur réalisation est obtenue par deux passes d’outil (en faisant tourner la pièce de 90°). Deux dimensions d’aspérités ont été usinées. D’une part des aspérités de hauteur 200 µm et de période 1,099 mm, d’autre part des aspérités de hauteur 400 µm et de période 2,198 mm. Le défaut de planéité des échantillons est inférieure à 0,2 µm .

Les dimensions de ces aspérités ne correspondent pas à celles utilisées pour les

simulations de mises en forme de procédés (§ III.2.4). En effet les dimensions des rugosités de l’outil sont beaucoup plus faibles (hauteur des aspérités comprise entre 3 et 20 µm et période entre 40 et 400 µm ). Le choix des dimensions des aspérités des échantillons a été lié dans un premier temps à des problèmes d’usinage et de faisabilité. De plus si l’on veut mesurer la résistance thermique de contact avec suffisamment de précision, tout en ne dépassant pas une température de 90°C dans les échantillons pour ne pas endommager le capteur de force (ce qui signifie une puissance de chauffe inférieure à 200 W), il est nécessaire de mesurer un écart de température à l’interface supérieur à un degré. D’après l’équation (I.1), pour un flux de chaleur donné, plus la valeur de la RTC à mesurer est grande plus le saut de température à l’interface est important. Il était donc nécessaire de choisir des tailles d’aspérités suffisantes pour obtenir des RTC de l’ordre de 10 -5 m².K/W et donc des sauts de températures à l’interface supérieurs à 1°C.

Toutefois, nous avons montré, dans le chapitre précédant (§ III.2.3), l’influence du

facteur d’échelle sur la RTC. En ce qui concerne la validation de l’étude théorique, les géométries de contact du dispositif expérimental et du modèle microscopique de contact étant similaires et connaissant le rapport homothétique entre ces géométries, il sera possible de comparer les résultats numériques et expérimentaux. Il sera aussi possible de vérifier la cohérence des résultats expérimentaux à partir des résultats obtenus pour les deux tailles d’aspérités.

(a) (b) Fig IV.4 : Echantillons en cuivre à faces usinées : aspérités triangulaires (a) ou pyramidales

(b).

CHAPITRE IV 111

IV.2.2. Les moyens de mesures Le nombre de BIOT du système étant très inférieur à 0,1, le champ de température est

monodimensionnel dans la zone non perturbée par la constriction des lignes de flux. Par conséquent, une instrumentation surfacique des échantillons est réalisée dans la région où le champ de température est monodimensionnel. Les thermocouples sont donc placés à plus de 1 cm de l’élément chauffant et à plus de 3 mm de l’interface géométrique de contact. Des thermocouples (5) de type K (Chromel-Alumel) de diamètre 50 µm sont soudés par décharge capacitive bout à bout l’un après l’autre. Dans ce but, les échantillons ont été étamés sur leur pourtour. La couche d’étain est d’environ 20 µm . La position de chacun des thermocouples par rapport à la surface de contact est soigneusement mesurée au moyen d’un microscope optique. La soudure froide (2) est reliée à la boîte à eau maintenue à une température de 15°C. Le passage des câbles d’extension vers l’extérieur de la cloche à vide s’effectue au moyen de passages étanches (10). Ces connexions sont reliées par d’autres fils d’extension à la centrale d’acquisition (Keithley 500A) gérée par le logiciel VIEWDAC.

Les valeurs absolues des températures ne nous intéressent pas, seuls les gradients

thermiques sont utilisés dans l’exploitation des résultats. Par conséquent, la température de la boîte à eau n’est pas mesurée avec précision. En revanche, en fin d’expérimentation un étalonnage systématique est réalisé afin de vérifier la linéarité des thermocouples utilisés et d’écarter du processus de dépouillement des résultats ceux qui fournissent des valeurs erronées.

Un capteur de force (Sensotec model 53 E) (8), pouvant mesurer une force maximale

de 10 kN, permet de connaître la charge appliquée. La surface de contact des échantillons étant de 13,85 cm² ( ∅ 42 mm), le chargement maximal pouvant être appliqué sans endommager le capteur de force est de 7,2 MPa.

IV.3. METHODOLOGIE DE DETERMINATION EXPERIMENTALE DE LA RESISTANCE THERMIQUE DE CONTACT

On souhaite mesurer la RTC à l’interface de deux matériaux, à faces usinées, en contact statique pour différentes pressions d’interface. Pour ce faire un flux de chaleur est imposé sur la face supérieure d’un des échantillons alors que l’autre échantillon est refroidi sur sa face inférieure au moyen d’une boîte à eau régulée à 15°C. La mesure du champ de température unidirectionnel permet de déterminer la valeur de la résistance thermique de contact.

Comme il l’a été dit précédemment, il est souhaitable que les niveaux de températures

dans les échantillons ne dépassent pas 100°C. Des simulations ont donc été préalablement réalisées pour dimensionner l’installation et optimiser la valeur du flux à dissiper et les

dimensions des aspérités de échantillons en fonction notamment des contraintes en températures. Suite à ces simulations, les essais ont été réalisés en conséquence et le gradient

CHAPITRE IV 112

thermique dans les pièces n’a pas dépassé 40°C. Pour cette raison la détermination de la RTC est considérée comme étant un problème linéaire (les propriétés des matériaux sont supposées constantes dans la plage de températures considérée).

Au départ, les deux échantillons sont à température quasi uniforme. A l’instant t=0 un

flux de chaleur constant est imposé au moyen de la platine chauffante. L’enregistrement des températures s’effectue à une fréquence de 2Hz jusqu'à l’obtention du régime permanent (10 mm environ).

Afin de faciliter la compréhension globale de ce paragraphe, une simulation

numérique permet d’illustrer la démarche suivie. Dans cet exemple, une RTC, d’une valeur de 4 10-5 m².K/W est imposée à l’interface des deux échantillons en cuivre (Fig.IV.5). Le modèle direct est schématisé sur la figure (IV.5.a). Les valeurs exactes des températures sont contaminées par un bruit de 0,2 °C. Le régime permanent est obtenu en 500 secondes environ.

0 500 1000 1500 2000Temps (s)

10

20

30

40

50

60

70

80

Tem

pra

ture

s sim

ules

(C

)

régime permanentrégime transitoire

T(y=-40,82)T(y=4,08)

T(y=-20,41)T(y=29,59)

T(y=-5,10)T(y=39,80)

T(y=-30,61)T(y=19,39)

(a) (b) Fig.IV.5 : Champ de température obtenu par le modèle direct (a).

Deux méthodes sont employées pour déterminer la RTC. La première méthode utilise

les valeurs des températures en régime permanent. La résistance thermique de contact est alors déterminée à partir de l’équation (I.1).

La seconde méthode se base sur l’utilisation d’une méthode inverse de conduction de

la chaleur. Dans ce cas, pour chaque pas de temps les températures et les flux surfaciques sont

h,Tinf (5000 W/m².K, 15°C)

Rc=4 10-5 m².K/W

ϕ=129,922 kW/m²

Solide 1

Solide 2

a=110 10-6 m²/s λ=376 W/m.K

a=110 10-6 m²/s λ=376 W/m.K

y (mm)

-50

0

50

CHAPITRE IV 113

déterminés au moyen de la méthode inverse, la résistance de contact instantanée est calculée à chaque pas de temps par la relation :

( )( ) ( )( ) ( )

R tT t T t

t ttc c' =

−

+1 2

1 22

ϕ ϕ (IV.2)

IV.3.1. Exploitation du régime thermique permanent

A partir des positions des thermocouples et des valeurs de températures en régime permanent (Fig.IV.5), on peut tracer le champ de température dans les deux solides (Fig.IV.6). Le champ de température obtenu est linéaire. Les deux flux thermiques traversant chacun des échantillons sont obtenus à partir de la pente de chacune des droites :

( ) ( )

ϕ λi ii iT T

x x=

−

−2 1

2 1 (IV.3)

Dans l’exemple traité on obtient : ϕ1 = 129,9 kW/m² ϕ2 = 130 kW/m²

soit un écart de 0,1 %. Dans la pratique l’égalité de ces deux flux permettra de montrer que les pertes radiales sont négligeables.

L’extrapolation de ce champ de température vers l’interface géométrique de contact permet de déterminer les deux températures de contact Tc1 et Tc2 . Soit T Tc c1 2− = 5,2 K.

La résistance thermique de contact est alors calculée au moyen de la relation suivante :

RT T

pc c=

−+

1 2

2 12

ϕ ϕ (IV.4)

On obtient donc, pour l’exemple traité (à partir des données de la figure (IV.6)) une

valeur de Rp de 3,99 10-5 m².K/W à comparer à la valeur de 4. 10 m².K / W-5 qui a été introduite dans le modèle direct.

CHAPITRE IV 114

40 50 60 70 80 90Températures (°C)

-50-40-30-20-10

01020304050

Posi

tions

des

ther

moc

oupl

es (m

m)

Interface géométrique de contact

Tc2

Tc1

Fig.IV.6 : Utilisation du champ de température de la Fig.(IV.5) en régime permanent : extrapolation du champ de température vers l’interface géométrique de contact.

IV.3.2. Exploitation du régime thermique transitoire

Une méthode de retour vers la surface (Raynaud et Bransier [1986]) est utilisée. Le principe de cette méthode est donné en ANNEXE 4. L’objectif est de déterminer à chaque pas de temps les températures ( Tc1 et Tc2 ) et les flux ( ϕ1 et ϕ2 ) surfaciques à l’interface de contact.

Sur la figure (IV.7) sont représentés ces températures et ces flux, obtenus à partir des

températures mesurées respectivement à 5,1 mm et 30,6 mm de l'interface de contact pour le premier échantillon et 4,08 mm et 29,6 mm pour le second, ainsi que la somme des deux flux surfaciques. On peut vérifier que cette somme est nulle. En valeur absolue, les deux flux surfaciques sont égaux. Ce résultat est évident dans le cadre de la simulation monodimensionnelle mais il nous permettra de valider expérimentalement l’hypothèse des pertes radiales négligeables et par conséquent le choix d’un modèle monodimensionnel. Les oscillations sont engendrées par la méthode inverse mais leur amplitude est faible au regard du phénomène observé.

La résistance thermique de contact instantanée, ( )R tt

' est calculée à partir de l’équation (IV.2). Elle est représentée sur la figure (IV.8). D’après cette figure, on observe que les lignes de constriction s’établissent rapidement au regard de l’établissement du régime thermique. Ce phénomène a déjà été étudié et observé dans des travaux antérieurs. Ainsi Beck et Keltner [1982] ont étudié le transfert de chaleur entre deux solides semi-infinis. La zone réelle de contact était un disque de rayon r et les aspérités étaient considérées comme adiabatiques. Les auteurs ont montré que les lignes de constriction étaient établies à 98,88 %

pour une valeur du Fourier (atr 2 ) égale à 1000. L’ordre de grandeur de la longueur réelle de

contact étant dans notre cas au maximum de 100 µm , cela signifie que les lignes de

CHAPITRE IV 115

constriction sont établies en moins de 0,02 s. Même si cette valeur est approchée elle permet de mettre en évidence la rapidité de l’établissement du phénomène de constriction par rapport à l’établissement du régime thermique macroscopique. Dans l'exemple traité, d’après les figures (IV.5) et (IV.8), on observe que bien que le régime permanent soit atteint au bout d’environ 500 s, la résistance thermique de contact, à cause du biais introduit par la méthode inverse, atteint sa valeur stabilisée en environ 5 secondes.

0 100 200 300 400 500 600

Temps (s)

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

Flux

surf

aciq

ue (W

/m)

20

30

40

50

60

70

Tem

pra

ture

s sur

faci

ques

(C

)

Tc1

Tc2

Fig.IV.7 : Températures et flux surfaciques en fonction du temps, calculés au moyen d’une méthode inverse de retour vers la surface à partir des thermocouples positionnés

respectivement à 5,1 mm et 30,6 mm et à 4,08 mm et 29,6 mm de l’interface de contact.

0 100 200 300 400 500 600

Temps (s)

-2E-5-1E-50E+01E-52E-53E-54E-55E-56E-57E-58E-5

Rsi

stan

ce th

erm

ique

de

cont

act

R' t (m

.K/W

)

Fig.IV.8 : Résistance de contact instantanée en fonction du temps obtenue à partir des données de la figure (IV.7).

CHAPITRE IV 116

La valeur finale de la résistance thermique de contact calculée à partir du régime

thermique transitoire est obtenue en moyennant la résistance de contact instantanée sur l’intervalle de temps [100 s-300 s] :

( )Rn

R n tt ti

n= ∑

=

1

1

' ∆ (IV.5)

avec n , nombre de pas de temps dans l’intervalle étudié.

Dans ce cas, on obtient une valeur de Rt de 3,99 10-5 m².K/W. L’écart entre Rt et R p est d'environ 0,12 %, et les valeurs obtenues correspondent bien à la valeur de la condition d'interface fixée lors de la simulation. Par conséquent, il peut être judicieux, notamment pour des transitoires thermiques longs, de déterminer la RTC à partir du régime transitoire en utilisant une méthode inverse.

Sur le plan expérimental, afin de pouvoir utiliser la méthode de retour vers la surface,

les informations de deux thermocouples sont nécessaires pour remonter aux valeurs de la température et du flux surfaciques. Or par mesure de précaution, et afin d’améliorer et de quantifier la précision des résultats, plusieurs thermocouples ont été soudés sur chacun des échantillons. L’inversion peut donc être réalisée à partir de différents couples de thermocouples dans la mesure où le pas de temps caractéristique et le module de Fourier de l’inversion répondent aux conditions fournies en annexe 4. La valeur finale, R t , sera égale à la moyenne arithmétique des valeurs calculées à partir des différents thermocouples.

IV.4. CONCLUSION Les objectifs de ce chapitre ont été de : ⇒ présenter le dispositif expérimental de mesures des RTC permettant de valider les

corrélations proposées dans le cas de contacts non lubrifiés ; ⇒ définir une méthodologie expérimentale pour déterminer les RTC à partir du

régime thermique permanent ou transitoire. Le dispositif expérimental est un dispositif ‘’classique’’ de mesures de RTC entre

deux matériaux en contact statique. Les échantillons utilisés sont en cuivre électrolytique. Les faces en contact ont été usinées afin d’obtenir la même géométrie d’interface que le modèle microscopique de contact (Fig.II.2), dans le cas où la hauteur de la vague plastique est faible. Une face a été usinée avec des aspérités triangulaires, l’autre est une face miroir (Ra< 0,01 µm ). Les corrélations pourront ainsi être validées pour deux géométries de contact usinées. Si les résultats expérimentaux et théoriques sont concordants pour ces géométries, alors la détermination de la RTC à partir du modèle numérique sera aussi fiable pour les autres géométries.

CHAPITRE IV 117

Les RTC expérimentales sont obtenues, soit à partir du régime thermique permanent,

soit à partir du régime thermique transitoire. En régime permanent, l’extrapolation linéaire du champ de températures vers l’interface géométrique de contact, permet de déterminer le flux de chaleur et les températures de contact. La RTC est alors définie comme le rapport du saut de température à l’interface sur le flux de chaleur. En régime transitoire, une méthode inverse de conduction de la chaleur est utilisée. Elle permet à chaque pas de temps de remonter aux valeurs des températures et des flux surfaciques, et ainsi à la valeur de la résistance thermique de contact instantanée.

Les résultats expérimentaux sont présentés dans les chapitres V et VI.

CHAPITRE V 119

CHAPITRE V

RESULTATS EXPERIMENTAUX DES RTC POUR DES GEOMETRIES DE CONTACT

BIDIMENSIONNELLES : VALIDATION DE LA MODELISATION NUMERIQUE

V.1. INTRODUCTION.......................................................................................... 121

V.2. ESSAIS REALISES ....................................................................................... 121

V.3. ANALYSE DES ETATS DE SURFACE DES ECHANTILLONS ........................... 123

V.4. PRINCIPE DE COMPARAISON DES RESULTATS EXPERIMENTAUX AVEC

LES CORRELATIONS PROPOSEES ET LES RTC THEORIQUES ............................ 140

V.5. RESULTATS POUR LES ASPERITES DE HAUTEUR 200 MICRONS ................ 141

V.6. RESULTATS POUR LES ASPERITES DE HAUTEUR 400 MICRONS ................ 149

V.7. COMPARAISON DE L’ENSEMBLE DES RESULTATS AVEC LES

CORRELATIONS ET LES RELATIONS THEORIQUES EXISTANTES........................ 153

V.8. CONCLUSION ............................................................................................. 155

CHAPITRE V 120

CHAPITRE V 121

CHAPITRE V

Résultats expérimentaux des RTC pour des géométries de contact bidimensionnelles : validation de la modélisation numérique

V.1. INTRODUCTION La première série d’essais a porté sur les mesures de la résistance thermique de contact

dans le cas des géométries d’interface bidimensionnelles. L’objectif est de valider les corrélations proposées dans le chapitre (III), dans le cas de contacts non-lubrifiés.

Ce chapitre est divisé en six parties. Dans un premier temps les caractéristiques des

essais (positions des thermocouples, pressions d’interface, etc.) sont décrites. L’étude et la comparaison des RTC passant par une parfaite connaissance des surfaces réelles de contact, l’analyse profilométrique des échantillons avant, pendant et après les essais est présentée. Cette analyse utilise des moyens de mesures mécaniques et optiques, des simulations sur un code de calcul de mise en forme de matériaux et enfin des résultats théoriques. A partir de la connaissance de la surface réelle de contact il est possible de déterminer les valeurs de la RTC obtenues, d’une part à partir des corrélations ( Rcor ), d’autre part à partir des relations théoriques existant déjà dans la littérature ( Rth ) et correspondant aux conditions expérimentales (§ I.4). Les résultats expérimentaux pour les deux géométries de contact sont alors présentés. La comparaison de ces valeurs avec les valeurs de Rcor et de Rth est réalisée dans la dernière partie du chapitre pour les deux dimensions de géométries de contact.

V.2. ESSAIS REALISES Les essais ont été réalisés en contact statique pour des pressions d’interface

croissantes, variant de 1 à 5,6 MPa. Les mesures ont été effectuées successivement à pression atmosphérique ou sous vide. Les caractéristiques des essais sont consignées dans les tableaux (V.1) et (V.2). La fréquence d’acquisition est de 2 Hz, et le temps total d’acquisition de 25 mn. Les essais T200-1 à T200-5 et T400-1 à T400-5 ont été réalisés à pression atmosphérique. Les essais T200-6 à T200-9 et T400-6 à T400-9 ont été effectués pour un vide de 5,5 10-2 mmHg, et les essais T200-10 à T200-13 et T400-10 à T400-13 pour un vide de 7 10-3 mmHg.

CHAPITRE V 122

Pression dans la

cloche

Essai

Charge

(kN)

Pression d’interface

(MPa)

Puissance dissipée par l’élément

chauffant RI²(W) Ambiante T200-1 2,5 1,81 116,2

t200-5 T200-2 3,92 2,83 138,6 t200-11 T200-3 4,32 3,12 154,7 t200-16 T200-4 5,8 4,19 138,6 t200-21 T200-5 7,4 5,34 154,7

Vide : 5,5 10-2 mmHg T200-6 4,56 3,29 154,7 t200-12 T200-7 4,89 3,53 154,7 t200-17 T200-8 6,37 4,6 154,7 t200-22 T200-9 7,82 5,65 150,6

Vide : 7 10-3 mmHg T200-10 4,6 3,32 154,7 T200-13 T200-11 4,99 3,6 138,6 t200-18 T200-12 6,39 4,61 154,7 t200-23 T200-13 7,77 5,61 154,7

Tab.V.1 : Données des essais dans le cas des aspérités triangulaires de hauteur 200 µm.

Pression dans la

cloche

Essai

Charge

(kN)

Pression d’interface

(MPa)

Puissance dissipée par l’élément

chauffant RI²(W) Ambiante T400-1 1,82 1,31 116,2

400-8 T400-2 3,08 2,22 146,5 400-12 T400-3 4,48 3,24 146,5 400-21 T400-4 5,66 4,09 154,7 400-25 T400-5 7,57 5,47 146,5

Vide : 5 10-2 mmHg T400-6 2,33 1,68 146,5 400-10 T400-7 3,56 2,57 146,5 400-22 T400-8 6,11 4,41 154,7 400-27 T400-9 7,53 5,44 154,7

Vide : 5 10-3 mmHg T400-10 2,38 1,72 146,5 400-11 T400-11 3,6 2,6 146,5 400-23 T400-12 6,08 4,39 154,7 400-26 T400-13 7,58 5,47 154,7

Tab.V.2 : Données des essais dans le cas des aspérités triangulaires de hauteur 400 µm.

Les fils de thermocouples ont été soudés bout à bout. Les positions des fils de chromel et d’alumel ( y1 et y2 ) de chacun des thermocouples sont repérées au moyen d’un microscope optique. La position de chaque thermocouple par rapport à l’interface géométrique de contact (y) correspond à la moyenne des coordonnées des deux fils (Fig.V.1).

CHAPITRE V 123

y1 y2 y y1 y2 y

T8 29,930 30,040 29,985 T8 29,240 29,240 29,240T7 24,085 24,015 24,050 T7 14,800 14,780 14,790T6 11,130 10,960 11,045 T6 11,240 11,155 11,197T5 7,040 6,940 6,990 T5 7,520 7,560 7,540 T4 7,100 6,920 7,010 T4 7,820 7,810 7,815 T3 9,480 9,490 9,485 T3 13,085 12,990 13,037T2 22,565 22,640 22,6025 T2 26,790 26,800 26,795T1 35,150 35,100 35,125 T1 31,800 31,840 31,820

(a) (b)

Fig.V.1 : Positions des thermocouples (en mm) par rapport à l’interface géométrique de contact. (a) : cas du contact avec les aspérités triangulaires de 200 µm de haut (b) : cas du contact avec les aspérités triangulaires de 400 µm de haut

V.3. ANALYSE DES ETATS DE SURFACE DES ECHANTILLONS L’étude des RTC passe par une parfaite connaissance de la géométrie réelle de

contact. Il est donc nécessaire de pouvoir connaître l’évolution de cette géométrie tout au long des essais afin de pouvoir estimer les valeurs numériques ou théoriques de la RTC correspondant à chaque condition expérimentale.

V.3.1. Analyse des échantillons avant essais Les relevés des états de surface des échantillons avant essais sont réalisés au moyen

soit d’un profilomètre laser (UBM) soit d’un profilomètre mécanique (FORMTALYSURF S4C) le long d’un diamètre de l’échantillon.

L’UBM est disponible au Laboratoire de Mécanique des Contacts de Lyon (LMC).

Son principe repose sur l’ajustement focal d’un rayon laser sur la surface. En déplaçant l’objet sous le système optique, on analyse le mouvement d’une lentille qui se déplace de manière à faire coïncider, à chaque instant, le point focal du système avec la surface de l’objet étudié. Ce système permet donc de mesurer des hauteurs d’aspérités entre 0,1 µm et 1 mm et ce sans contact direct avec la surface. Le pas d’acquisition est supérieur ou égal à un micron.

0

T3

T1 T2

T4

T7 T8

T6 T5

CHAPITRE V 124

Les mesures correspondant au profilomètre mécanique ont été réalisées au département de métrologie de Framatome (Le Creusot). Le palpeur est en diamant. Son rayon de pointe est d’environ 2 µm et la force du stylet est d’environ 0,0008 N. L’empreinte laissée sur les surfaces par le palpeur est de l’ordre de 0,2 µm .

V.3.11. Aspérités triangulaires de hauteur 200 µm Les figures (V.2), (V.3) et (V.4) montrent les relevés des états de surface des sommets

des aspérités effectués respectivement au moyen du Formtalysurf (Figs (V.2) et (V.3)) et de l’UBM (Fig.V.4).

Le relevé profilométrique obtenu au moyen du Formtalysurf est présenté sur la figure

(V.2). Le défaut de planéité des échantillons de 0,2 µm se retrouve sur la répartition des hauteurs des sommets des aspérités. Le détail des relevés profilométriques se trouve sur la figure (V.3). Les 8 relevés de sommets indiquent les variations représentatives observées sur les mesures. Les sommets des aspérités sont légèrement aplatis du fait de l’usinage. Les dimensions des plats varient entre 4 et 13 µm , avec une moyenne autour de 6 µm . Ces dimensions sont très importantes, car elles conditionnent les caractéristiques de la géométrie initiale de contact et par conséquent l’évolution de la géométrie de contact au cours du chargement.

0 5 10 15 20 25 30 35 40Diamètre de l'échantillon (mm)

-0.10-0.08-0.06-0.04-0.020.000.020.040.060.080.10

Hau

teur

des

asp

rit

s (m

m)

Fig.V.2 : Relevé global de l’état de surface de l’échantillon à aspérités triangulaires de hauteur 200 µm au moyen du profilomètre mécanique (1p/ µm).

CHAPITRE V 125

0.752 0.756 0.760 0.764 0.768Longueur de l'échantillon (mm)

97.5

98.0

98.5

(µm

)7 (µm)

2.95 2.96 2.97

Longueur de l'échantillon (mm)

95.095.596.096.597.097.598.098.599.0

( µm

)

7 µm

6.252 6.256 6.260Longueur de l'échantillon (mm)

97.0

97.5

98.0

98.5

99.0

( µm

)

4 µm

15.044 15.048 15.052 15.056


97.0

97.5

98.0

98.5

99.0

( µ m

)

6 µ m

24.935 24.940 24.945 24.950Longueur de l'échantillon (mm)

98.0

98.5

99.0

( µ m

)

9 µ m

27.130 27.135 27.140 27.145


98.75

99.00

99.25

99.50

( µm

)

12 µm


99.199.299.399.499.599.6

( µ m

)

10 µ m

41.418 41.424 41.430 41.436

longueur de l'échantillon (mm)

99.0

99.2

99.4

99.6

( µ m

)

13 µm

Fig.V.3 : Relevés profilométriques des sommets des aspérités triangulaires de hauteur 200 µm obtenus grâce au profilomètre mécanique. Période spatiale d’acquisition : 1p/ µm.

CHAPITRE V 126

Les analyses à l’UBM (Fig.V.4) montrent que les géométries des sommets des aspérités fournies par les deux profilomètres sont différentes. Ceci provient d’une mauvaise adaptation de la focale du rayon laser de l’UBM entre les côtés des aspérités (peu réfléchissants) et les sommets. On observe donc un pic (Fig V.4) au niveau du changement de pente qui n’apparaît ni sur les relevés du Formtalysurf (Fig.V.3) ni sur les observations des sommets des aspérités au microscope binoculaire. L’UBM ne nous a pas semblé un moyen de mesure fiable pour mesurer ce type de rugosités. Dans la suite des analyses profilométriques, nous avons donc décidé d’abandonner le principe de mesures optiques pour les aspérités triangulaires.


113114115116117118

(µm

)

25.21 25.22 25.23 25.24


112113114115116117118

(µm

)

Fig.V.4 : Relevés profilométriques des sommets des aspérités triangulaires de hauteur 200

µm obtenus au moyen de l’UBM (1p/ µm).

V.3.1.2. Aspérités triangulaires de hauteur 400 µm Le même type d’analyses a été effectué pour les aspérités triangulaires de hauteur 400

microns. Les résultats sont consignés sur les figures (V.5) et (V.6). Le même défaut de planéité de l’échantillon est observé (Fig.V.5). Les sommets des aspérités ont des dimensions variant de 6 à 15 µm . En moyenne sur l’échantillon la dimension des plats des aspérités est de 13 µm .

0 5 10 15 20 25 30 35 40Diamètre de l'échantillon (mm)

-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20

Hau

teur

des

asp

rit

s (m

m)

Fig.V.5 : Relevé global de l’état de surface de l’échantillon à aspérités triangulaires de hauteur 400 µm au moyen du profilomètre mécanique (1p/ µm).

CHAPITRE V 127


200.25

200.30

200.35

200.40

200.45(µ

m)

15 µm

3.528 3.532 3.536 3.540 3.544

Longueur de l'échantillons (mm)

200.20200.25200.30200.35200.40200.45200.50

(µm

)

10 µm


199.8200.0200.2200.4200.6

(µm

)

12 µm


199.4199.6199.8200.0200.2200.4

(µm

)

14 µm


199.4199.6199.8200.0200.2200.4

(µm

)

14 µm


199.6

199.8

200.0

200.2

200.4

(µm

)

14 µm


199.6199.8200.0200.2200.4200.6200.8

(µm

)

6 µm

40.910 40.915 40.920 40.925


199.8200.0200.2200.4200.6200.8

(µm

)

11 µm

Fig.V.6 : Relevés profilométriques des sommets des aspérités triangulaires de hauteur 400 µm obtenus grâce au profilomètre mécanique. Période spatiale d’acquisition : 1p/ µm.

CHAPITRE V 128

V.3.2. Analyse de la géométrie de contact au cours du chargement Les mesures sont réalisées à charge croissante. Durant les essais, aucun relevé

profilométrique n’est possible, les échantillons ne pouvant pas être ôtés puis remis en place. L’estimation de la surface réelle de contact par unité de surface apparente, S*, ne peut donc se faire qu’à partir, soit de résultats de simulation des essais expérimentaux, soit de l’utilisation de formules analytiques donnant la valeur de S* en fonction de paramètres mécaniques et géométriques (Eq (I.22)).

V.3.2.1. Simulation de l’évolution de la géométrie de contact au moyen du logiciel ABAQUS

Des simulations de l’évolution de la géométrie de contact ont été réalisées au moyen

du code éléments finis ABAQUS. Ce logiciel permet, à partir de la géométrie initiale du contact et des propriétés thermo-mécaniques des matériaux d’obtenir l’évolution de la géométrie de contact en fonction de la pression d’interface. De part la périodicité de la géométrie étudiée, seule une demi aspérité est maillée (Fig.V.7). A partir des relevés profilométriques des aspérités avant contact (Figs (V.3) et (V.6)), deux longueurs initiales de contact ont été choisies pour chacune des géométries étudiées. Un chargement progressif jusqu'à la pression maximale atteinte expérimentalement a été ensuite imposé. Un déchargement a été ensuite effectué afin de pouvoir comparer les résultats obtenus avec les relevés profilométriques réalisés après les essais (§.V.3.3). L’objectif est d’étudier, avec des hypothèses de déformations élasto-plastiques ou purement plastiques, l’évolution de la géométrie de contact (Fig.V.7) en fonction de la charge P.

Zone maillée

Zone étudiée

20 m

m20

mm

Vl/2 mm

Lini

P

Fig.V.7 : Etude de l’évolution de la géométrie de contact au moyen du logiciel ABAQUS.

CHAPITRE V 129

V.3.2.1.1. Aspérités de hauteur 200 µm

A partir des relevés profilométriques des aspérités avant contact (Fig.V.3), deux longueurs initiales de contact ont été choisies : 6 et 10 µm . L’ensemble de ces simulations est présenté sur les figures (V.8), (V.9) et (V.10).

La figure (V.8) représente l’évolution de la géométrie d’interface en fonction de la

charge pour une longueur initiale de contact de 6 µm (soit 3 µm sur la demi-aspérité). La géométrie d’interface évolue peu. Pour la valeur de la pression maximale imposée, le sommet de l’aspérité s’est aplati et a une longueur totale de 9,6 µm . Après déchargement (Fig.V.9), la largeur totale du sommet est de 8,4 µm et l’empreinte laissée sur la face miroir a une profondeur d’environ 0,3 µm . Malgré un léger ‘’retour élastique’’ des surfaces, ces dernières semblent s’être déformées essentiellement de manière plastique.

La figure (V.10) représente les mêmes évolutions mais cette fois-ci pour une longueur

initiale de contact de 10 µm . Dans ce cas, après déchargement, on n’observe aucune évolution significative de la géométrie de contact : la pression d’interface appliquée n’est pas suffisante pour entraîner une déformation conséquente des aspérités. Rappelons que notre objectif est de connaître la géométrie d’interface correspondant aux conditions expérimentales et non celle obtenue pendant les opérations de forgeage.

(a) : 1,61 MPa (b) : P=3,97 MPa

(c) : P=4,88 MPa (d) : P=5,6 MPa

Fig.V.8 : Simulations sur ABAQUS. Evolution de l’interface géométrique de contact en

fonction de la charge dans le cas des aspérités de hauteur 200 µm . Pression d’interface maximale 5,65 MPa ; longueur initiale de contact 6 µm.

Lini=3 µm

L= 4,8 µm

CHAPITRE V 130

Fig.V.9 : Simulations sur ABAQUS. Interface géométrique de contact après déchargement dans le cas des aspérités de hauteur 200 µm . Pression d’interface maximale 5,65 MPa ;

longueur initiale de contact 6 µm.

(a) : P=5,65 MPa (b) : déchargement

Fig.V.10 : Simulations sur ABAQUS. Evolution de l’interface géométrique de contact en fonction de la charge dans le cas des aspérités de hauteur 200 µm . Pression d’interface

maximale 5,65 MPa ; longueur initiale de contact 10 µm.

V.3.2.1.2. Aspérités de hauteur 400 µm Les mêmes simulations ont été réalisées dans le cas des aspérités de hauteur 400 µm .

Les longueurs initiales de contact sont de 6 ou de 14 µm , ce qui correspond aux valeurs minimales et maximales mesurées au moyen du profilomètre mécanique (Fig.V.6). Les résultats sont présentés dans l’ANNEXE 5.

Dans le cas d’une longueur initiale de contact de 6 µm , les déformations plastiques

des surfaces sont assez importantes. Ainsi, la longueur de contact passe de 6 µm à 17,7 µm , pour une pression d’interface de 5,47 MPa, et à 15,7 µm après déchargement. La profondeur des empreintes laissées est d’environ 0,5 µm .

Ces déformations sont beaucoup moins conséquentes dans le cas où la longueur

initiale de contact est de 14 µm (longueur de contact de 16 µm après déchargement et la profondeur de l’empreinte laissée de 0,19 µm ).

Lini=5 µm

L=4,2 µm

CHAPITRE V 131

La longueur moyenne initiale de contact étant de 13 µm les résultats des simulations obtenus pour une longueur initiale de 14 µm sont plus représentatifs de l’évolution de la géométrie de contact que ceux obtenus pour une longueur de 6 µm .

Suivant les caractéristiques de la géométrie initiale de contact (rapport de la longueur

initiale de contact sur la période des aspérités) et par rapport à la pression maximale imposée, les déformations des aspérités sont plus ou moins importantes. Le comportement global de la surface, et notamment par rapport à la planéité des échantillons, n’est pas pris en compte car seule une demi-aspérité est étudiée. L’étude du comportement de la totalité de la surface n’est pas possible ici, car il nécessiterait un nombre trop important de noeuds pour la simulation dans ABAQUS. De plus il imposerait de connaître avec une précision que nous ne pouvons fournir, la répartition des pics des aspérités. De toute manière, une étude complète des états de surface nécessiterait une analyse 3D des échantillons. Ce type d’analyse pourrait éventuellement être mené avec des systèmes de mesures des déformations in situ tels que celui utilisé par Assefraoui et al. [1998]. Ils réalisent un contact entre une surface usinée et un saphir monocristallin dur (micro-dureté de 2500 MPa) et lisse (Ra de 1 à 2 nm). L’observation de la surface de contact au cours des essais s’effectue à travers ce saphir au moyen d’une caméra vidéo disposant d’une mire et d’une table de positionnement x et y.

V.3.2.2. Etude des déformations des surfaces La modélisation de la géométrie d’interface au moyen du logiciel ABAQUS permet de

prendre en compte le comportement élasto-plastique des matériaux en contact. Le tenseur global des déformations est égal à la somme des tenseurs des déformations élastiques et plastiques :

ε ε εij ije

ijp= + (V.1)

ε ije est obtenu à partir de la loi de HOOKE :

εν

σν

σ δije

ij kk ijkE E

=+

− ∑1

(V.2)

tandis que la loi de PRANDTL et REUSS donne pour ε ijp :

( ) ( )δεσ

σ σ δ δεijp

eij kk ij

keqp= − ∑

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

(V.3)

où ( )δε eq

p représente la déformation actuelle plastique équivalente.

D’après ces trois relations, on peut en déduire que :

CHAPITRE V 132

⇒ le maximum de déformations des surfaces est obtenu en prenant en compte le comportement élasto-plastique du matériau (Eq.V.1).

⇒ Il est possible dans ABAQUS de ne prendre en compte que le comportement

plastique des matériaux ( ε ije ≈ 0 ). Pour cela il suffit de prendre un module de

Young très grand (Eq.V.2). ⇒ Les déformations plastiques sont bien inversement proportionnelles à la limite

élastique, ce qui est en parfaite concordance avec les équations (I.22) et (IV.1). Les figures (V.11) et (V.12) représentent les évolutions de S* avec la pression

d’interface, respectivement pour les aspérités de hauteur 200 et 400 µm . Les valeurs de S* sont obtenues d’une part à partir des simulations sur le logiciel ABAQUS, en considérant soit des déformations des surfaces élasto-plastiques soit des déformations purement plastiques ( ε ij

e ≈ 0 ), d’autre part au moyen de la relation analytique (I.22). Les simulations sur ABAQUS, en prenant en compte le comportement plastique ou élasto-plastiques des matériaux, donnent des évolutions de la géométrie de contact avec la pression d’interface sensiblement identiques. Les déformations plastiques sont donc le mode de déformations dominant au niveau de l’interface. Le choix d’un modèle de déformations plastiques pures (Eq.I.22) semble donc être justifié ici.

0 2 4 6 8 10 12 14Pression d'interface (MPa)

0.000.250.500.751.001.251.501.752.00

S* (%

)

0 2 4 6 8 10 12 14

Pression d'interface (MPa)

0.000.250.500.751.001.251.501.752.00

S* (%

)

(a) : longueur initiale de contact 6 µm (b) : longueur initiale de contact 10 µm

S*Abaqus (élasto-plastique) S*Abaqus (plastique)S*=P/H (H=80 Vickers) S*=P/H (H=100 Vickers)

Fig.V.11 : Comparaison des valeurs de S* en fonction de la pression d’interface P obtenues

par simulations sur ABAQUS ou à partir des relations analytiques dans le cas de déformations purement plastiques. Cas des aspérités de hauteur 200 µm.

CHAPITRE V 133


0.000.250.500.751.001.251.501.752.00

S* (%

)

0 2 4 6 8 10 12 14


0.000.250.500.751.001.251.501.752.00

S* (%

)

(a) : longueur initiale de contact 6 µm (b) : longueur initiale de contact 14 µm

S*Abaqus (élasto-plastique) S*Abaqus (plastique)S*=P/H (H=80 Vickers) S*=P/H (H=100 Vickers)

Fig.V.12 : Comparaison des valeurs de S* en fonction de la pression d’interface P obtenues

par simulations sur ABAQUS ou à partir des relations analytiques dans le cas de déformations purement plastiques. Cas des aspérités de hauteur 400 µm .

La comparaison du modèle de Bowden et Tabor (Eq.I.22) avec les résultats fournis par

ABAQUS est d’autant plus satisfaisante que la pression d’interface augmente et que le rapport de la longueur initiale de contact sur la période des aspérités est faible (Fig.V.13). En effet, pour des pressions d’interface faibles (dans notre cas inférieures à 5 MPa) c’est essentiellement la géométrie initiale de contact qui va fixer les caractéristiques géométriques de l’interface. Plus la valeur de S* initiale est importante, plus la plage de pressions sur laquelle l’aspérité se déforme peu est importante. En effet pour une valeur de S* initiale de 0,91 %, entre 0 et 4 MPa, la valeur de S* n’évolue presque pas et correspond à la valeur initiale. Par contre pour une valeur initiale de 0,27 %, S* augmente jusqu'à 0,64 % lorsque la pression d’interface passe à 4 MPa. A plus forte pression d’interface (supérieure à 6 MPa), l’influence de la valeur initiale de S* n’est plus perceptible.

Les modèles analytiques, quant à eux, ne prennent pas en considération les

caractéristiques de la géométrie initiale de contact, l’hypothèse du contact ‘’sphérique’’ étant le plus souvent retenue. En effet pour une pression d’interface proche de 0 MPa l’aire réelle de contact estimée à partir de l’équation (I.22) est quasi nulle alors que pour les échantillons triangulaires la longueur de contact est déjà comprise entre 6 et 15 µm (soit une valeur de S* comprise entre 0,3 et 0,9 %). De plus la qualité des résultats fournis par le modèle analytique est conditionnée par la qualité de la mesure de la micro-dureté H. La concordance des résultats entre le modèle analytique et les simulations sur ABAQUS est bien meilleure en utilisant dans l’équation (I.22) la valeur de la micro-dureté calculée à partir de la valeur de la limite élastique (Eq.IV.1) au lieu de celle mesurée au moyen du micro indenteur. Ces résultats semblent confirmer les doutes émis quant à la validité des mesures directes de H du fait du

CHAPITRE V 134

principe de mesure et de l’usinage des pièces a posteriori (§ IV.2.1). L’équation (I.22) permet cependant de déterminer immédiatement l’ordre de grandeur de S*.

0 2 4 6 8 10 12Pression d'interface (MPa)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

S* (%

)

S*ini=0,27 %

S*ini=0,55 %

S*ini=0,64 %

S*ini=0,91 %

S*=P/H (H=80 Vickers)

Fig.V.13 : Evolutions de S* en fonction de la pression d’interface P, pour différentes valeurs de S* initiales, obtenues par simulations sur ABAQUS (élasto-plastique). Comparaison avec

les valeurs calculées à partir de l’équation (I.22).

V.3.3. Analyse des surfaces après les essais

L’analyse profilométrique des échantillons après les essais a porté d’une part sur l’étude des écrasements des sommets des aspérités, d’autre part sur les empreintes laissées par ces aspérités sur les faces miroirs. Cette analyse ne permet pas complètement de déterminer la géométrie d’interface pour la pression d’interface maximale appliquée, car il faut prendre en considération le ‘’retour élastique’’. Néanmoins ces mesures permettent de confirmer les résultats fournis par ABAQUS (Figs.(V.9), (V.10.b), annexe 5).

Les figures (V.14) et (V.15) montrent les relevés profilométriques des sommets des

aspérités, de hauteurs respectives 200 et 400 µm, effectués au moyen du profilomètre mécanique. Les mesures s’effectuent perpendiculairement aux aspérités suivant le diamètre des échantillons. Aucune évolution significative de la géométrie des sommets des aspérités n’est observée. Ces mesures sont en bon accord avec les simulations réalisées sur ABAQUS qui avaient montré, pour deux largeurs initiales de contact, que la géométrie d’interface évoluait peu au cours du chargement (Figs (V.9), (V.10.b)).

Les figures (V.16) et (V.17) regroupent les relevés d’états de surface réalisés sur les

faces miroirs après les essais, afin de mesurer les empreintes laissées par les aspérités triangulaires. Des zooms en différents endroits du diamètre sont représentés. Les résultats sont très différents suivant le contact étudié.

CHAPITRE V 135


99.699.8

100.0100.2100.4100.6

(µm

)6 µm

1.405 1.410 1.415 1.420 1.425


99.50

99.75

100.00

100.25

100.50

(µm

)

7 µm


99.9099.95

100.00100.05100.10100.15

(µm

)

5 µm

17.900 17.905 17.910


99.6

99.8

100.0

100.2

(µm

)

6 µm


99.6

99.8

100.0

100.2

100.4

(µm

)

9 µm

28.88 28.89 28.90 28.91


99.699.8

100.0100.2100.4

(µm

)

15 µm


99.5

99.8

100.0

100.3

100.5

(µm

)

13 µm

40.97 40.98 40.99 41.00


99.499.599.699.799.899.9

100.0100.1

(µm

)

13 µm

Fig.V.14 : Relevés profilométriques des sommets des aspérités triangulaires de hauteur 200 µm , après un chargement progressif de 5,65 MPa, obtenus grâce au profilomètre

mécanique. Période spatiale d’acquisition : 1p/ µm. Résultats à comparer à ceux de la figure (V.3).

CHAPITRE V 136


200.0200.2200.4200.6200.8201.0201.2

(µm

)19 µm

8.18 8.19 8.20 8.21


200.5200.6200.7200.8200.9201.0201.1

(µm

)

15 µm


200.4

200.6

200.8

201.0

(µm

)

12 µm

19.17 19.18 19.19 19.20


200.0

200.2

200.4

200.6

200.8

(µm

)

14 µm


200.00

200.25

200.50

200.75

201.00

(µm

)

15 µm

27.97 27.98 27.99


200.0

200.2

200.4

200.6

200.8

(µm

)

13 µm


200.1200.2200.3200.4200.5200.6200.7200.8

(µm

)

9 µm

41.16 41.17 41.18


200.0200.2200.4200.6200.8201.0

(µm

)

13 µm

²

Fig.V.15 : Relevés profilométriques des sommets des aspérités triangulaires de hauteur 400 µm , après un chargement progressif de 5,47 MPa, obtenus grâce au profilomètre

mécanique. Période spatiale d’acquisition : 1p/ µm. Résultats à comparer à ceux de la figure (V.6).

CHAPITRE V 137


-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.2

(µm

)

3.65 3.70 3.75 3.80


-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.2

(µm

)

(a) (b)


-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.2

(µm

)

12.45 12.50 12.55 12.60


-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.2

(µm

)

(c) (d)


-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.2

(µm

)

22.35 22.40 22.45 22.50


-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.2

(µm

)

(e) (f)

30.5 31.0 31.5 32.0 32.5 33.0Longueur de l'échantillon (mm)

-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.2

(µm

)

36.00 36.05 36.10 36.15


-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.2

(µm

)

(g) (h)

Fig.V.16 : Relevés profilométriques des empreintes sur les faces miroir laissées par les

aspérités triangulaires de hauteur 200 µm , après un chargement progressif de 5,65 MPa. Mesures effectuées grâce au profilomètre mécanique. Période spatiale d’acquisition :

1p/ µm.

CHAPITRE V 138


-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6

(µm

)25 µm

3.20 3.25 3.30 3.35


-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6

(µm

)

20 µm

(a) (b)


-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6

(µm

)

18 µm

20.75 20.80 20.85 20.90


-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6

(µm

) 20 µm

(c) (d)


-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6

(µm

)

25 µm

29.55 29.60 29.65 29.70


-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6

(µm

)

18 µm

(e) (f)


-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6

(µm

)

18 µm

40.55 40.60 40.65 40.70


-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6

(µm

)

20 µm

(g) (h)

Fig.V.17 : Relevés profilométriques des empreintes sur les faces miroirs laissées par les

aspérités triangulaires de hauteur 400 µm , après un chargement progressif de 5,47 MPa. Mesures effectuées grâce au profilomètre mécanique. Période spatiale d’acquisition :

1p/ µm.

CHAPITRE V 139

Les observations des empreintes laissées par les aspérités de hauteur 200 µm

(Fig.V.16) permettent de conclure sur la non homogénéité du contact entre les deux échantillons. En effet les dimensions des empreintes sont très variables (les profondeurs des rayures varient de 0,5 µm (Fig.V.16.a) à 0,05 µm (Fig.V.16.f)). Il subsiste surtout des zones de la face miroir où aucune empreinte n’a pu être observée (Fig.V.16.g).

Aux vues de ces résultats, une analyse complémentaire des empreintes sur les faces

miroirs est apparue nécessaire. Une observation des faces miroirs au moyen d’un microscope optique (Fig.V.18) a permis de confirmer ces problèmes liés à la non homogénéité du contact le long des aspérités dans le cas des essais avec les aspérités de hauteur 200 µm. Bien que toutes les empreintes apparaissent sur la face miroir, le long de certaines rayures il subsiste des zones où il n’y a pas eu de contact. Ceci est cohérent avec la valeur du défaut de planéité des deux surfaces (0,4 µm au total) et la profondeur maximale des empreintes.

Ce phénomène n’a pas été observé sur l’autre face miroir : les empreintes laissées par

les aspérités de hauteur 400 µm sont plus régulières et homogènes. En effet, toutes les aspérités semblent avoir laissé une empreinte sur la face miroir (Fig.V.17). La profondeur des rayures est d’environ 0,35 µm avec un refoulement de matière pouvant atteindre 0,5 µm (Fig.V.17.b). Les dimensions des rayures laissées sur la face miroir coïncident bien avec les simulations (ANNEXE 5), bien que le refoulement de matière n’ait pas été observé sur les résultats fournis par ABAQUS.

Fig.V.18 : Faces miroirs après les essais. Observation des empreintes laissées par la face à

aspérités de hauteur 200 µm.

100 µm

250 µm

100 µm

60 µm

CHAPITRE V 140

V.3.4. Conclusion L’analyse des états de surface des échantillons avant, pendant et après les essais est

primordiale dans l’étude des transferts de chaleur à l’interface de matériaux dès lors que la géométrie de contact va directement conditionner la valeur de la RTC.

L’évolution du rapport de l’aire réelle de contact par unité d’aire apparente, S*, en

fonction de la pression d’interface est obtenue soit par le code de calcul éléments finis ABAQUS, en prenant en compte les comportements élasto-plastiques des matériaux en contact, soit par la relation analytique (Eq.I.22) faisant l’hypothèse de déformations purement plastiques.

Bien que cette hypothèse ait été validée, les valeurs de S* calculées par l’équation

(I.22) sont d’autant moins satisfaisantes que la pression d’interface est faible et que la valeur de S* initiale est importante, car cette relation analytique suppose un contact initial ‘’sphérique’’ et ne prend donc pas en compte les caractéristiques de la géométrie initiale de contact. Néanmoins, elle permet de déterminer immédiatement l’ordre de grandeur de S*.

La comparaison des états de surface obtenus au moyen d’ABAQUS, après chargement

jusqu'à la pression expérimentale maximale et déchargement, avec les relevés profilométriques des surfaces après les essais est satisfaisante. En conséquence, afin de pouvoir comparer les RTC mesurées aux RTC prédites, les valeurs de S* obtenues par simulations sur ABAQUS seront retenues.

V.4. PRINCIPE DE COMPARAISON DES RESULTATS EXPERIMENTAUX AVEC LES CORRELATIONS PROPOSEES ET LES RTC THEORIQUES

L’objectif principal de ces séries d’essais en géométries de contact bidimensionnelles

est de valider les corrélations proposées dans le chapitre (III) dans le cas de contacts non lubrifiés.

Les valeurs expérimentales de la RTC sont donc comparées d’une part aux RTC issues

des corrélations ( Rcor ), déterminées grâce au modèle de la vague plastique, d’autre part aux RTC théoriques ( Rth ), obtenues à partir de modèles existant déjà dans la littérature (§ I.4.1). Les valeurs de Rth permettent de valider à la fois les corrélations et les mesures expérimentales.

Pour chaque condition expérimentale de mesure, la valeur de S* est estimée à partir de

simulations sur le code de calcul ABAQUS ou de l’équation (I.22). Les valeurs de S* permettent d’obtenir les caractéristiques de la géométrie de contact pour chaque pression d’interface. Connaissant la conductivité thermique du cuivre utilisé, on peut ainsi calculer Rcor ou Rth correspondant aux conditions expérimentales.

La géométrie de contact expérimentale et la géométrie d’interface du modèle de la

vague plastique ne sont pas tout à fait similaires (Fig.V.19). En effet, expérimentalement les sommets des aspérités s’aplatissent et une ‘’vague plastique’’ se forme de part et d’autres de chacun de ces sommets. Les caractéristiques de la vague plastique du modèle théorique étudié sont déterminées pour chaque condition expérimentale de contact en considérant une longueur de contact, lc, identique à celle mesurée expérimentalement. Cette hypothèse est valable dans la mesure où les dimensions de la zone de contact sont très faibles devant les dimensions des aspérités : les hauteurs h1 de la vague plastique équivalente sont inférieures à 2 % de la hauteur totale de l’aspérité.

outil

lopin

lch1

h

h1=lc*sinA

A

(a) : Géométrie de contact expérimentale (b) : Géométrie du modèle de la vague plastique

Fig.V.19 : Comparaison des géométries de contact expérimentale et théorique.

La géométrie du contact expérimental correspond à la modélisation du contact présentée sur la figure (I.16). Une fois les dimensions de la géométrie d’interface connues, Rc1 est calculée à partir des équations (I.15) ou (I.16) et une valeur approchée de Rc2 est obtenue à partir de l’équation (I.21).

V.5. RESULTATS POUR LES ASPERITES DE HAUTEUR 200 MICRONS

La méthode explicitée dans le paragraphe (IV.3) est utilisée pour dépouiller les mesures.

CHAPITRE V 142

V.5.4. Exemple de dépouillement des mesures : obtention de la RTC

Le dépouillement de l’essai T200-4 est décrit en détails dans ce paragraphe. Des résultats similaires ayant été obtenus pour les autres essais (T200-1 à T200-13), les détails des calculs les concernant ne seront pas présentés ici.

Le champ de température mesuré par les thermocouples est représenté sur la figure (V.20).

0 400 800 1200 1600Temps (s)

20

30

40

50

Tem

pra

ture

s (C

)

T1T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

Fig.V.20 : Températures mesurées par chaque thermocouple en fonction du temps pour l’échantillon en cuivre à aspérités triangulaires de hauteur 200 µm dans le cas d’une

pression d’interface de P=4,19 MPa et de mesures à pression atmosphérique.

A partir des positions des thermocouples et des valeurs de températures en régime permanent, on peut tracer le champ de température dans les deux solides (Fig.V.21). On obtient bien un champ de température linéaire.

Les deux flux thermiques traversant chacun des échantillons sont obtenus à partir de l’équation (IV.3) :

ϕ1 = 113,9 kW/m² ϕ2 = 113,7 kW/m²

soit un écart de 0,17 %. Sur l’ensemble des essais réalisés, dans le cas des aspérités triangulaires de hauteur 200 µm , l’écart entre les flux surfaciques ϕ1 et ϕ2 n’excède pas 5 % et est en moyenne de 2 %.

L’extrapolation de ce champ de température vers l’interface géométrique de contact permet de déterminer les deux températures de contact Tc1 et Tc2 ; soit T Tc c1 2− = 2,89 K. On obtient donc, pour l’exemple traité une valeur de Rp de 2,54 10-5 m².K/W.

CHAPITRE V 143

25 30 35 40 45 50 55Températures (°C)

-40-30-20-10

010203040

Posi

tions

des

ther

moc

oupl

es (m

m)

Interface géométrique de contact

Tc2

Tc1

Fig.V.21 : Utilisation du champ de température de la Fig.(V.20) en régime permanent : Extrapolation du champ de température vers l’interface géométrique de contact.

La détermination de la RTC à partir du régime transitoire est obtenue en utilisant la méthode de retour vers la surface. A chaque pas de temps, les températures ( Tc1 et Tc2 ), et les flux ( ϕ1 et ϕ2 ) surfaciques à l’interface de contact sont calculés. L’inversion est réalisée à partir de différents couples de thermocouples. Les flux et les températures surfaciques déterminés sont représentés sur les figures (V.22) et (V.23). Pour chaque série de thermocouples utilisés pour l’inversion, la RTC instantanée est calculée en utilisant l’équation (IV.2) (Fig.V.24).

-120000-100000-80000-60000-40000-20000

020000400006000080000

100000120000

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Temps (s)

flux

surf

aciq

ues (

W/m

²)

Flux surfaciques ϕ1

Flux surfaciques ϕ2

Fig.V.22 : Flux surfaciques en fonction du temps, calculés au moyen d’une méthode inverse

de retour vers la surface respectivement à partir des couples de thermocouples ( T T1 3, ), ( T T1 4, ), ( T T2 3, ), ( T T2 4, ), ( T T5 7, ), ( T T5 8, ), ( T T6 7, ) et ( T T6 8, ) (Fig.V.20).

CHAPITRE V 144

20

25

30

35

40

45

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Temps (s)

Tem

péra

ture

s sur

faci

ques

(°C

)

Tc1

Tc2

Fig.V.23 : Températures surfaciques en fonction du temps, calculées au moyen d’une

méthode inverse de retour vers la surface respectivement à partir des couples de thermocouples ( T T1 3, ), ( T T1 4, ), ( T T2 3, ), ( T T2 4, ), ( T T5 7, ), ( T T5 8, ), ( T T6 7, ) et ( T T6 8, )

(Fig.V.20).

1E-05

2E-05

3E-05

4E-05

5E-05

6E-05

7E-05

0 50 100 150 200 250 300Temps (s)

RT

C R

t (m

².K/W

)

1.E-05

2.E-05

3.E-05

4.E-05

5.E-05

6.E-05

7.E-05

0 50 100 150 200 250 300

Temps (s)

RT

C R

t (m

².K/W

)

(a) (b)

Fig.V.24 : Résistances de contact instantanées en fonction du temps obtenues à partir des données des figures (V.22) et (V.23) ; couples de thermocouples utilisés :

(a) ( T T5 8, ), ( T T6 8, ), ( T T1 3, ), ( T T1 4, ), ( T T2 3, ) et ( T T2 4, ) (b) : ( T T5 7, ), ( T T6 7, ), ( T T1 3, ), ( T T1 4, ), ( T T2 3, ) et ( T T2 4, ).

Les oscillations sont liées au bruit de mesures (environ 0,1°C). L’hypothèse retenue d’un champ de température monodirectionnel est validée d’une part en régime permanent, car les flux thermiques dans chaque échantillon sont identiques indiquant ainsi que les pertes radiales sont négligeables, d’autre part en régime transitoire car les RTC expérimentales obtenues sont identiques quels que soient les thermocouples utilisés pour l’inversion. Une validation de cette hypothèse est effectuée en comparant par exemple les valeurs de T2 et T3, calculées à partir des mesures de T1 et T4 , aux valeurs effectivement mesurées.

CHAPITRE V 145

Les valeurs finales des RTC calculées à partir du régime thermique transitoire ( Rt ) sont obtenues en moyennant chacune des résistances de contact instantanées, ( )R tt' sur l’intervalle de temps [100 s-300 s]. La valeur finale, R t , est égale à la moyenne arithmétique des valeurs ( Rt ) calculées à partir des différents thermocouples. Dans le cas de l’essai traité, on obtient une valeur de R t de 2,52 10-5 W/m².K. L’écart entre R t et Rp est de 0,8 %. Sur l’ensemble des essais présentés dans ce paragraphe cet écart n’a pas dépassé 5 %, et est en moyenne de 2,5 %.

Les valeurs de la RTC calculées à partir du régime permanent ( Rp ) ou du régime

transitoire ( R t et Rt ) sont représentées sur la figure (V.25) en fonction de la pression d’interface dans le cas des essais effectués à pression atmosphérique. On observe une dispersion des valeurs de Rt obtenues, représentative de l’incertitude sur R t liée aux incertitudes sur les positions et les mesures des thermocouples.

1 2 3 4 5 6Pression d'interface (MPa)

2.0E-5

2.5E-5

3.0E-5

3.5E-5

RT

C (m

.K/W

)

Rp

Rt

⎫

⎭R _

t

Fig.V.25 : RTC en fonction de la pression d’interface dans le cas des essais réalisés à pression atmosphérique.

V.5.2. Intervalles de confiance sur les résultats obtenus

Les incertitudes sur les paramètres géométriques et thermiques ont une influence sur les valeurs de R p et R t . Les incertitudes sur R p et R t sont estimées pour chaque pression d’interface.

CHAPITRE V 146

V.5.2.1. Incertitudes sur Rp

R p est estimée à partir du régime permanent par extrapolation du champ de température vers l’interface géométrique de contact. Afin de déterminer l’incertitude sur R p (3 σp /Rp ), la méthode de Monte Carlo est employée. Le principe de cette méthode a déjà été largement explicité dans le paragraphe (III.3.2.3).

Les paramètres influant sur les valeurs de R p ainsi que les incertitudes maximales

associées sont recensés dans le tableau (V.3). Les incertitudes sur les températures ne sont pas liées au bruit de mesures, car les

températures utilisées pour l’extrapolation correspondent aux moyennes des températures mesurées sur plusieurs pas de temps. L’incertitude mentionnée correspond à l’écart maximal qui a été observé entre deux thermocouples lors de l’étalonnage.

L’incertitude maximale sur les propriétés thermo-physique a été évaluée à ± 5 % pour

la chaleur spécifique, la diffusivité, et la masse volumique. La conductivité est ensuite obtenue à partir de la relation : λ ρ= a Cp. . .

Les incertitudes sur les positions des thermocouples proviennent d’une part du fait que

pour chaque thermocouple Ti les deux fils ne sont pas parfaitement soudés à la même ordonnée mais à des positions légèrement différentes (respectivement y1 et y2), d’autre part de l’incertitude de lecture au binoculaire des positions des thermocouples estimée à ± 10 mµ .

Paramètres

Incertitudes maximalesTempératures mesurées ± °0 2, C

Position du thermocouple Ti ( ) ( )±

−+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

12

1 2

220

y ymi i µ

Masse volumique ρ ± 5 % Chaleur spécifique Cp ± 5 %

Diffusivité a ± 5 %

Tab.V.3 : Incertitudes sur les différents paramètres influant la valeur de Rp .

Pour définir l’intervalle de confiance à 99,99 %, on cherche l’intervalle centré sur R p dans lequel 99,99 % des valeurs sont regroupées. L’incertitude relative sur R p , liée à

l’ensemble des paramètres dont elle dépend est alors de εσ

pp

pR= ±

3100%. .

CHAPITRE V 147

Les écarts types σp obtenus, ainsi que les incertitudes qui leur sont associées, εp ,

sont consignés dans le tableaux (V.4).

ESSAIS Pression Rp σp εp

d'interface (MPa) (m².K/W) (m².K/W) (%) T200-1 1,81 3,20E-05 1,7E-06 ±15,9 T200-2 2,83 2,72E-05 1,4E-06 ±15,2 T200-3 3,12 2,65E-05 1,3E-06 ±14,8 T200-4 4,19 2,54E-05 1,3E-06 ±15,2 T200-5 5,34 2,45E-05 1,2E-06 ±15,3 T200-6 3,29 3,12E-05 1,4E-06 ±13,8 T200-7 3,53 2,85E-05 1,4E-06 ±14,5 T200-8 4,60 2,73E-05 1,3E-06 ±14,7 T200-9 5,65 2,61E-05 1,3E-06 ±15,3

T200-10 3,32 3,11E-05 1,5E-06 ±14,0 T200-11 3,6 2,9E-05 1,5E-06 ±15,4 T200-12 4,61 2,8E-05 1,4E-06 ±14,6 T200-13 5,61 2,65E-05 1,3E-06 ±14,9

Tab.V.4 : Incertitudes sur les valeurs de Rp dans le cas des essais avec les aspérités de

hauteur 200 µm.

V.5.2.2. Incertitudes sur Rt

La détermination des incertitudes sur R t est plus complexe ; elle s’effectue, pour chaque pression d’interface, en deux étapes.

Dans un premier temps, l’utilisation de plusieurs thermocouples pour l’inversion

permet de calculer la RTC à partir de combinaisons différentes de quatre thermocouples (deux dans chaque échantillon). L’écart type ( σi1 ) sur les résultats obtenus permet de déterminer l’incertitude relative sur R t liée aux incertitudes sur les positions et les mesures des thermocouples :

εσ

ii

tR113

100%= ± . (V.4)

Dans un deuxième temps, la méthode de Monte Carlo est utilisée, à chaque pression

d’interface, sur deux inversions en ne considérant uniquement que les incertitudes sur les propriétés thermophysiques du cuivre. L’écart type moyen σi2 , correspondant à la moyenne

CHAPITRE V 148

des deux écarts types calculés pour chaque inversion, permet de déterminer l’incertitude relative sur R t liée à l’incertitude sur les propriétés thermophysiques des matériaux :

εσ

ii

tR223

100%= ± . (V.5)

L’incertitude relative maximale sur R t est alors définie par :

ε ε εσ

i i ii

tR= + = ±1 2

3100%. (V.6)

Les écarts types σi1 et σi2 obtenus, ainsi que les incertitudes relatives qui leur sont

associées, ε i1 et εi2 , sont consignés dans le tableaux (V.5).

ESSAIS Pression Rt σi1 σi2 σi εi1 εi2

d'interface (MPa) (m².K/W) (m².K/W) (m².K/W) (m².K/W) (%) (%) T200-1 1,81 3,07E-05 2,7E-06 9,6E-07 3,7E-06 ±26,6 ±9,4 T200-2 2,83 2,64E-05 1,8E-06 8,0E-07 2,6E-06 ±20,3 ±9,1 T200-3 3,12 2,58E-05 1,7E-06 7,6E-07 2,4E-06 ±19,4 ±8,9 T200-4 4,19 2,52E-05 1,7E-06 8,0E-07 2,5E-06 ±19,9 ±9,6 T200-5 5,34 2,40E-05 1,2E-06 7,5E-07 1,9E-06 ±14,5 ±9,4 T200-6 3,29 2,97E-05 2,0E-06 9,7E-07 2,9E-06 ±20,0 ±9,8 T200-7 3,53 2,80E-05 1,7E-06 9,2E-07 2,7E-06 ±18,7 ±9,9 T200-8 4,60 2,66E-05 1,5E-06 7,5E-07 2,3E-06 ±17,0 ±8,5 T200-9 5,65 2,56E-05 1,4E-06 7,9E-07 2,2E-06 ±16,2 ±9,2

T200-10 3,32 3,05E-05 2,2E-06 1,0E-06 3,2E-06 ±21,7 ±9,9 T200-11 3,6 2,83E-05 2,0E-06 8,1E-07 2,8E-06 ±21,5 ±8,5 T200-12 4,61 2,70E-05 1,8E-06 7,9E-07 2,6E-06 ±20,5 ±8,8 T200-13 5,61 2,59E-05 1,5E-06 7,9E-07 2,2E-06 ±16,8 ±9,1

Tab.V.5 : Incertitudes sur les valeurs de Rt dans le cas des essais avec les aspérités de

hauteur 200 µm .

V.5.2.3. Commentaire des résultats

En moyenne, l’incertitude sur Rp est de ± 15 % pour l’ensemble des essais. L’incertitude ε i2 , quant à elle, est à peu près constante et égale à ± 9 %. Les variations de εi1 avec l’évolution de la pression d’interface sont beaucoup plus importantes : εi1 passe de ± 25 % à ± 15 % avec l’augmentation de P.

CHAPITRE V 149

L’incertitude globale sur R t est en moyenne de ± 30 % . L’écart entre les incertitudes sur Rp et R t est essentiellement lié aux fortes valeurs de ε i1 . En effet en régime permanent, l’influence de l’incertitude sur les positions et les mesures des thermocouples est fortement atténuée par le fait que les données de tous les thermocouples sont traitées simultanément, alors que les déterminations des valeurs de Rt ne nécessitent à chaque inversion d’utiliser l’information que de deux thermocouples dans l’outil et le lopin. De plus, l’incertitude globale sur R t , égale à la somme des deux incertitudes ε i1 et εi2 , correspond de part sa définition à une incertitude maximale.

Les évolutions de Rp et de R t en fonction de la pression d’interface ainsi que leurs

incertitudes sont représentées sur la figure (V.26) respectivement pour les essais réalisés à pression atmosphérique, sous vide primaire et sous vide secondaire. On peut remarquer le manque de variation significative de la RTC en fonction des caractéristiques du milieu environnant. Ceci s’explique par le fait que la conductivité thermique des échantillons est très élevée par rapport à celle de l’air ; le flux de chaleur traversant le milieu interstitiel est faible. Les résultats sont donc comparables à pression atmosphérique et sous vide, d’autant plus que les incertitudes sur les RTC obtenues sont conséquentes.

V.6. RESULTATS POUR LES ASPERITES DE HAUTEUR 400 MICRONS

Des résultats similaires à ceux présentés dans le paragraphe précédent ont été obtenus pour les essais concernant les aspérités de hauteur 400 µm.

En régime permanent l’écart entre les deux flux estimés ( ϕ1 et ϕ2 ) est en moyenne de 1,7 % et ne dépasse pas 4 %. L’écart entre Rp et R t n’excède pas 3,8 % avec une moyenne de 1,9 %.

Les évolutions des RTC, Rp et R t , en fonction de la pression d’interface sont présentées sur la figure (V.27), respectivement pour les essais réalisés à pression atmosphérique, sous vide primaire et sous vide secondaire. De même que dans le cas des premiers essais présentés, aucune différence significative n’est à observer entre les valeurs des RTC déterminées à partir des essais réalisés à pression atmosphérique ou sous vide.

Les écarts types σp , σi1 et σi2 , ainsi que les incertitudes qui leur sont associées, εp ,

ε i1 et ε i2 sont consignés dans les tableaux (V.6) et (V.7). Les valeurs de εi1, ε i2 et εp sont voisines de celles obtenues dans le cas des aspérités

de hauteur 200 microns : εp ≈ ± 14 % , εi2 9%≈ ± et εi1 comprise entre ± 16% et ± 25 %.

CHAPITRE V 150

CHAPITRE V 151

ESSAIS Pression Rp σp εp

d'interface (m².K/W) (m².K/W) (%) T400-1 1,31 4,92E-05 2,2E-06 ±13,4 T400-2 2,22 3,96E-05 1,7E-06 ±12,9 T400-3 3,24 3,24E-05 1,5E-06 ±13,9 T400-4 4,09 3,12E-05 1,4E-06 ±13,7 T400-5 5,47 2,80E-05 1,4E-06 ±15,0 T400-6 1,68 4,90E-05 2,2E-06 ±13,7 T400-7 2,57 3,98E-05 2,0E-06 ±14,9 T400-8 4,41 3,35E-05 1,6E-06 ±14,5 T200-9 5,44 3,03E-05 1,5E-06 ±15,0

T400-10 1,72 4,90E-05 2,3E-06 ±13,9 T400-11 2,60 3,98E-05 1,9E-06 ±14,2 T400-12 4,39 3,35E-05 1,6E-06 ±14,7 T400-13 5,47 3,08E-05 1,4E-06 ±13,7

Tab.V.6 : Incertitudes sur les valeurs de Rp dans le cas des essais avec les aspérités de

hauteur 400 µm.

ESSAIS Pression Rt σi1 σi2 σi εi1 εi2 d'interface (MPa) (m².K/W) (m².K/W) (m².K/W) (m².K/W) (%) (%)

T400-1 1,31 5,05E-05 4,2E-06 1,5E-06 5,7E-06 ±25,0 ±8,9T400-2 2,22 4,11E-05 2,9E-06 1,2E-06 4,1E-06 ±21,2 ±9,0T400-3 3,24 3,27E-05 2,3E-06 1,0E-06 3,3E-06 ±21,0 ±9,5T400-4 4,09 3,16E-05 2,0E-06 9,4E-07 2,9E-06 ±18,8 ±9,0T400-5 5,47 2,83E-05 1,5E-06 9,3E-07 2,5E-06 ±16,2 ±9,9T400-6 1,68 5,05E-05 3,8E-06 1,6E-06 5,4E-06 ±22,5 ±9,8T400-7 2,57 4,08E-05 2,9E-06 1,3E-06 4,2E-06 ±21,1 ±9,9T400-8 4,41 3,37E-05 2,3E-06 9,7E-07 3,2E-06 ±20,1 ±8,6T400-9 5,44 3,06E-05 1,8E-06 9,4E-07 2,7E-06 ±17,6 ±9,2

T400-10 1,72 5,08E-05 3,6E-06 1,7E-06 5,3E-06 ±21,5 ±9,9T400-11 2,60 4,10E-05 2,9E-06 1,1E-06 4,0E-06 ±21,1 ±8,4T400-12 4,39 3,38E-05 2,2E-06 9,7E-07 3,1E-06 ±19,4 ±8,6T400-13 5,47 3,11E-05 1,8E-06 9,4E-07 2,7E-06 ±17,4 ±9,1

Tab.V.7 : Incertitudes sur les valeurs de Rt dans le cas des essais avec les aspérités de

hauteur 400 µm .

CHAPITRE V 152

1 2 3 4 5 6


1.5E-5

2.0E-5

2.5E-5

3.0E-5

3.5E-5

4.0E-5

4.5E-5

RT

C (m

.K/W

)

(a) :Mesures à pression atmosphérique

3 4 5 6


1.5E-5

2.0E-5

2.5E-5

3.0E-5

3.5E-5

4.0E-5

4.5E-5

RT

C (m

.K/W

)

(b) : Mesures en vide primaire

3 4 5 6


1.5E-5

2.0E-5

2.5E-5

3.0E-5

3.5E-5

4.0E-5

4.5E-5

RT

C (m

.K/W

)

(c) : Mesures en vide secondaire

Fig.V.26 : RTC en fonction de la pression d’interface dans le cas des essais avec les aspérités triangulaires de hauteur 200 µm : Rt ( ), Rp (⎯).

CHAPITRE V 153

1 2 3 4 5 6


1E-5

2E-5

3E-5

4E-5

5E-5

6E-5

7E-5

RT

C (m

.K/W

)

(a) : Mesures à pression atmosphérique

1 2 3 4 5 6


1E-5

2E-5

3E-5

4E-5

5E-5

6E-5

7E-5

RT

C (m

.K/W

)


1 2 3 4 5 6


2E-5

3E-5

4E-5

5E-5

6E-5

7E-5

RT

C (m

.K/W

)


Fig.V.27 : RTC en fonction de la pression d’interface dans le cas des essais avec les aspérités

triangulaires de hauteur 400 µm : Rt ( ), Rp (⎯).

CHAPITRE V 154

V.7. COMPARAISON DE L’ENSEMBLE DES RESULTATS AVEC LES CORRELATIONS ET LES RELATIONS THEORIQUES EXISTANTES

La comparaison des résultats expérimentaux avec, d’une part les corrélations proposées ( Rcor ), d’autre part les modèles théoriques existants ( Rth ), nécessite de connaître la valeur de l’aire réelle de contact et donc de S*. Cette détermination de la géométrie réelle de contact s’effectue au moyen du code de calcul ABAQUS (§ V.3.2). Dans le cas des aspérités de hauteur 200 µm , S* est estimée à partir des simulations considérant une longueur initiale de contact de 6 µm . Dans le cas des aspérités de hauteur 400 µm , la longueur initiale de contact considérée est de 14 µm .

Les incertitudes sur les valeurs de Rcor et de Rth sont déterminées en utilisant la

méthode de Monte Carlo suivant la procédure décrite dans le paragraphe (III.3.2.3) avec, dans ce cas, une incertitude de ± 5 % sur les propriétés thermophysiques des matériaux et une incertitude de ± 10 % sur S*.

Par soucis de lisibilité des graphiques présentés, seuls les résultats des essais réalisés à

pression atmosphérique sont représentés. Les figures (V.28) et (V.29) montrent les évolutions des valeurs théoriques ( Rcor et

Rth ) et expérimentales ( Rp et R t ) de la RTC en fonction de la pression d’interface, respectivement dans le cas des essais avec les aspérités de hauteurs 200 µm et 400 µm .

On observe une bonne concordance entre les valeurs issues des formulations

analytiques ( Rth ) et celles issues des corrélations ( Rcor ) : l’écart est d’environ 12 %. Ceci est d’autant plus satisfaisant que la comparaison s’effectue pour deux géométries de contact qui ne sont pas rigoureusement identiques (Figs (V.19.b) et (I.16)). De plus, la relation analytique utilisée pour estimer la résistance de constriction dans le solide à aspérités triangulaires, ne fournit qu’une valeur approchée de cette résistance (ANNEXE 6). En considérant les valeurs obtenues numériquement au moyen d’un code éléments finis (tel que MATLAB ou IFEC), l’écart entre Rth et Rcor passe à 4 %.

La comparaison des valeurs expérimentales avec les valeurs théoriques dans le cas des

aspérités de hauteur 400 µm est satisfaisante, au regard des incertitudes sur les valeurs des RTC, pour des pressions d’interface élevées. Pour des pressions d’interface faibles, il est fortement probable que le contact n’ait pas été homogène et qu’une partie des aspérités n’ait pas été en contact avec la face miroir. La RTC expérimentale n’a pas encore atteint une valeur stabilisée à 5,5 MPa et l’écart entre les valeurs théoriques et expérimentales aurait tendance à s’atténuer pour des plus fortes pressions d’interface.

La confrontation des RTC théoriques et expérimentales dans le cas des aspérités de

hauteur 200 µm est beaucoup moins satisfaisante même pour les plus fortes pressions d’interface. Les écarts entre les valeurs théoriques et expérimentales sont justifiés par les observations faites suite aux analyses profilométriques des échantillons après les essais (§ V.3.3). Ces analyses ont souligné des problèmes de non-homogénéité du contact indiqués par

CHAPITRE V 155

la non-homogénéité des empreintes laissées par les aspérités sur la face miroir. Le phénomène de constriction est devenu localement tridimensionnel entraînant par conséquent une augmentation de la RTC. Il est donc logique d’obtenir, pour les pressions d’interface étudiées, des RTC expérimentales plus élevées que celles escomptées. Les résultats, pour les deux géométries de contact étudiées, ont été présentés au 11ème ‘’International Heat Transfer Conference’’ (Marchand et al. [1998]).


5.0E-61.0E-51.5E-52.0E-52.5E-53.0E-53.5E-54.0E-54.5E-5

RT

C (m

.K/W

) Rp

Rt

Rcor

Rth

Fig.V.28 : RTC en fonction de la pression d’interface dans le cas des essais avec les aspérités triangulaires de hauteur 200 µm : comparaison des résultats théoriques et expérimentaux.


1E-5

2E-5

3E-5

4E-5

5E-5

6E-5

7E-5

RT

C (m

.K/W

) Rp

Rt

Rcor

Rth

Fig.V.29 : RTC en fonction de la pression d’interface dans le cas des essais avec les aspérités triangulaires de hauteur 400 µm : comparaison des résultats théoriques et expérimentaux.

CHAPITRE V 156

A ces observations vient logiquement s’ajouter une mauvaise concordance des résultats expérimentaux entre eux. En effet pour une pression d’interface donnée, le rapport homothétique est proche de deux entre les deux géométries de contact étudiées. Par conséquent, la RTC devrait être deux fois plus importante dans le cas des essais avec les aspérités de hauteur 400 µm que pour ceux avec les aspérités de hauteur 200 µm (§ III.2.3). Or le rapport est égal à 1,3 entre les RTC expérimentales (Fig.V.30).


1E-5

2E-5

3E-5

4E-5

5E-5

RT

C (m

.K/W

)

Rp

Rt(400)

Rt(200)

Rcor

(400)

Rcor

(200)

Rth

(400)

Rth

(200)

Fig.V.30 : RTC en fonction de la pression : comparaison des résultats théoriques et expérimentaux pour les deux géométries de contact étudiées.

V.8. CONCLUSION

L’objectif principal des mesures présentées était de valider les corrélations proposées, dans le cas de contacts non lubrifiés et pour des hauteurs de vague plastique faibles.

La détermination des RTC corrélées correspondant aux conditions expérimentales, a nécessité le contrôle de l’évolution de la géométrie de contact en fonction de la pression d’interface. L’estimation de l’aire réelle de contact par unité de surface apparente, S*, a pu être réalisée soit au moyen du code de calcul éléments finis ABAQUS, soit au moyen d’une relation empirique en supposant des déformations purement plastiques des surfaces. Même si cette hypothèse a pu être validée, les résultats n’en montrent pas moins les limites de l’utilisation de la relation théorique, notamment pour des faibles pressions d’interface. Par conséquent, bien que cette dernière permette de déterminer immédiatement l’ordre de grandeur de S*, les valeurs de S* fournies par ABAQUS ont été retenues en priorité.

Malgré cette étude concernant la géométrie d’interface, les résultats expérimentaux

mettent en évidence la difficulté à la contrôler parfaitement. En effet alors qu’une bonne concordance entre les valeurs expérimentales et celles issues des corrélations est obtenue dans le cas des essais avec les aspérités de hauteur 400 µm , leur comparaison dans le cas des

CHAPITRE V 157

essais avec les aspérités de hauteur 200 µm est loin d’être satisfaisante bien que l’écart absolu soit faible. Une analyse profilométrique des échantillons après les essais a révélé dans ce cas, des zones où le contact n’était pas homogène. Par conséquent, des phénomènes de constriction tridimensionnels locaux apparaissent ; la RTC mesurée est donc plus importante que celle théoriquement escomptée. Le fait que la RTC mesurée diminue rapidement lorsque la pression augmente alors que les valeurs théoriques diminuent à peine conforte cette analyse. Afin d’éliminer ces phénomènes tridimensionnels, il aurait fallu travailler à des pressions d’interface plus élevées (autour de 10 à 15 MPa). Malheureusement, l’instrumentation n’a pas été dimensionnée pour obtenir ces pressions et le manque de temps ne nous a pas permis d’envisager les modifications nécessaires.

Les problèmes rencontrés ne permettent pas aux expérimentations menées de valider

les corrélations, avec la précision souhaitée. Une validation supplémentaire des corrélations a donc été réalisée à partir des relations théoriques existant déjà dans la littérature. Ces relations permettent, pour des propriétés de matériaux données, de calculer la RTC en fonction des valeurs de S*. La comparaison de Rth et de Rcor est très satisfaisante : l’écart entre ces valeurs n’excède pas 12 %, bien que les géométries d’interface considérées pour calculer ces RTC ne soient pas parfaitement identiques et que la formule de Wong [1968] ait été retenue pour quantifier le phénomène de constriction dans le solide à face usinée. En déterminant numériquement la résistance de constriction dans le solide à aspérités triangulaires, au moyen d’un code éléments finis, l’écart moyen entre Rth et Rcor passe à 4 %.

Cette validation ne correspond qu’au cas des contacts non lubrifiés et des géométries

où la hauteur de la vague plastique est faible. D’autres validations ne sont désormais possibles qu’en simulant avec POLLUX des cas de forgeage réalisés par l’ISITEM (Goizet et al. [1998]) et dont on connaît parfaitement la rugosité des outils. Les valeurs des RTC seront calculées dans POLLUX au moyen des corrélations et comparer aux valeurs expérimentales. Il sera ainsi possible de valider globalement la démarche suivie et le modèle retenu pour modéliser les transferts thermiques à l’interface de contact.

CHAPITRE VI 157

CHAPITRE VI

RESULTATS EXPERIMENTAUX POUR DES GEOMETRIES DE CONTACT

TRIDIMENSIONNELLES : INFLUENCE DES PHENOMENES 2D ET 3D SUR LA RTC

VI.1. INTRODUCTION ........................................................................................ 159

VI.2. PRESENTATION DES ESSAIS REALISES ..................................................... 160

VI.3. ANALYSE DES ETATS DE SURFACE DES ECHANTILLONS.......................... 162

VI.4. PRESENTATION DES RESULTATS EXPERIMENTAUX................................. 167

VI.5. COMMENTAIRES DES RESULTATS EXPERIMENTAUX 3D......................... 173

VI.6. CONCLUSION............................................................................................ 181

CHAPITRE VI 158

CHAPITRE VI 159

CHAPITRE VI

Résultats expérimentaux pour des géométries de contact tridimensionnelles : influence des phénomènes 2D et 3D sur la RTC

VI.1. INTRODUCTION La détermination théorique de la RTC suppose une modélisation préalable de la

géométrie des surfaces en contact. Cette modélisation peut être bidimensionnelle (2D) ou tridimensionnelle (3D). Une modélisation 2D peut être justifiée par des conditions d’usinage des surfaces ou motivée par des critères de temps de calcul ou de facilité de mise en oeuvre et de programmation. Pour toutes ces raisons, une modélisation 2D de la géométrie de contact (Fig.II.2) a été retenue dans ce travail. Les résultats de cette étude doivent être intégrés dans les codes de calcul bidimensionnels FORGE2 et POLLUX. Toutefois un code de calcul tridimensionnel, FORGE3, est en cours de développement. Il est donc important d’évaluer la différence entre les RTC obtenues par modélisations 2D et 3D.

L’organisation de ce chapitre est identique à celle du précédent. Après une

présentation des essais réalisés, l’analyse profilométrique des surfaces des échantillons est décrite. Elle se base en partie sur des observations réalisées au MEB et au microscope optique avant et après chargement. L’utilisation du code de calcul ABAQUS en géométrie 3D n’a pas été envisagée ici, car trop coûteuse en temps de calcul.

L’analyse profilométrique permet d’estimer le rapport de l’aire réelle de contact par

unité de surface apparente, S*, indispensable à la détermination théorique de la RTC. En effet, de nombreuses relations ont déjà été proposées pour calculer la RTC en fonction de paramètres thermophysiques et rhéologiques, pour des géométries de contact 3D (chapitre I). Elles permettront de valider les résultats expérimentaux.

L’avant dernière partie de ce chapitre porte sur la présentation des valeurs

expérimentales des RTC obtenues pour des géométries de contact 3D. Enfin, ces valeurs sont comparées d’une part aux valeurs théoriques de la RTC, calculées à partir de relations analytiques existantes, d’autre part aux RTC expérimentales obtenues dans le cas de géométries d’interface bidimensionnelles.

CHAPITRE VI 160

VI.2. PRESENTATION DES ESSAIS REALISES Les essais ont été réalisés en contact statique pour des pressions d’interface allant

jusqu'à 6 MPa. Dans le cas des essais avec les aspérités de hauteur 400 µm , les mesures ont été effectuées à pression atmosphérique et sous vide. Aucune différence significative sur les RTC mesurées n’ayant été observée, afin de faciliter l’expérimentation, les essais avec les aspérités de hauteur 200 µm ont uniquement été réalisés sous un vide de 2 10 5− mmHg.

Les caractéristiques des essais sont consignées dans les tableaux (VI.1) et (VI.2). La

fréquence d’acquisition est de 2 Hz et le temps total d’acquisition de 25 mm.

Pression dans la cloche

Essai Charge (kN)

Pression d’interface (MPa)

Puissance dissipée par l’élément chauffant (W)

Ambiante P400-1 0,75 0,54 80,2 P400-2 1,4 1,01 89,3 P400-3 2,59 1,87 89,3 P400-4 4,24 3,06 89,3 P400-5 7,01 5,06 99 P400-6 7,4 5,34 99

Vide : 5 10-2 mmHg P400-7 2,07 1,49 99 P400-8 2,35 1,7 99 P400-9 4,68 3,38 112,6 P400-10 7,26 5,24 119,8 P400-11 7,8 5,63 119,8

Vide : 5 10-3 mmHg P400-12 2,08 1,50 99 P400-13 2,42 1,75 99 P400-14 4,71 3,4 112,6 P400-15 8,28 5,98 119,8

Tab.VI.1 : Données des essais dans le cas des aspérités pyramidales de hauteur 400 µm .

CHAPITRE VI 161

ESSAI Charge (kN)

Pression d’interface (MPa)

Puissance dissipée par l’élément chauffant (W)

P200-1 2,3 1,66 102,3 P200-2 3,10 2,24 102,3 P200-3 3,40 2,45 119,8 P200-4 4,09 2,95 119,8 P200-5 4,79 3,46 121,6 P200-6 5,46 3,94 127,2 P200-7 6,0 4,33 142,6 P200-8 6,80 4,91 144,5 P200-9 7,31 5,28 146,5

P200-10 8,31 6 148,6

Tab.VI.2 : Données des essais dans le cas des aspérités pyramidales de hauteur 200 µm . Pour chacun des essais les positions des thermocouples sont repérées au moyen d’un

microscope (Tab.VI.3).

y1 y2 y y1 y2 y T8 26,81 26,79 26,80 T7 6,97 7,03 7,0 T7 37,92 37,93 37,925T6 3,73 3,80 3,765 T6 22,9 22,93 22,915T5 5,66 5,24 5,45 T5 13,77 13,78 13,775T4 7,05 6,98 7,015 T4 7,37 7,4 7,385 T3 10,8 10,7 10,75 T3 8,53 8,58 8,555 T2 24,40 24,32 24,36 T2 9,97 9,97 9,97 T1 36,82 36,85 36,835 T1 38,15 38,24 38,21

(a) (b)

Tab.VI.3 : Positions des thermocouples (en mm) par rapport à l’interface : y1 - position du fil de chromel

y2 - position du fil d’alumel y - position moyenne du thermocouple

(a) : Cas du contact avec les aspérités pyramidales de hauteur 200 µm (b) : Cas du contact avec les aspérités pyramidales de hauteur 400 µm .

Echantillon à face usinée

Echantillon à face miroir

Echantillon à face miroir

Echantillon à face usinée

CHAPITRE VI 162

VI.3. ANALYSE DES ETATS DE SURFACE DES ECHANTILLONS De même que pour les mesures avec les géométries de contact bidimensionnelles, il

est nécessaire d’estimer la valeur de S* pour chaque charge appliquée afin de calculer les RTC théoriques correspondant aux conditions expérimentales. L’analyse des états de surfaces des échantillons a été réalisée au MEB et au microscope optique avant et après les essais. Cette analyse permet de :

⇒ connaître la géométrie initiale de contact S ini* , ⇒ vérifier la validité de l’équation (I.22), ⇒ vérifier l’homogénéité du contact par l’observation des empreintes laissées par les

aspérités sur les faces miroirs.

VI.3.1. Analyse des échantillons avant les essais Les surfaces des échantillons à face pyramidale ont été préalablement analysées au

MEB (Fig.VI.1) et au microscope optique afin de déterminer les valeurs initiales de S*. Des analyses détaillées des sommets des aspérités révèlent que ces derniers sont légèrement aplatis et que les surfaces de ces zones ne sont pas homogènes.

(a) : Aspérités de hauteur 200 µm. (b) : Aspérités de hauteur 400 µm.

Fig.VI.1 : Echantillons à face pyramidale observés au MEB.

VI.3.1.1. Aspérités pyramidales de hauteur 200 µm

Les observations au MEB de différents sommets des aspérités de hauteur 200 µm sont consignées sur la figure (VI.2).

CHAPITRE VI 163

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Fig.VI.2 : Observations au MEB de sommets des pyramides de hauteur 200 µm .

Cette figure souligne la non-homogénéité des surfaces des sommets des aspérités, liée aux conditions d'usinage. En effet, les aires des extrémités des aspérités se répartissent en trois catégories. D'une part les sommets dont les aires sont des rectangles de surface variant entre 53 et 370 µm2 (Figs.VI.2.a-c). D'autre part des pyramides présentant des arrêtes sommitales (Fig.VI.2.d). Enfin des arrachements de matière ont pu être observés sur certaines aspérités (Fig.VI.2.e).


Les mêmes analyses ont été effectuées sur les aspérités pyramidales de hauteur 400 µm (Fig.VI.3). Les sommets des pyramides sont soit rectangulaires (Fig.VI.3.a-b) soit

10,9 µm

14,7 µm

25,2 µm

6,5 µm

21,7 µm

8,3 µm

13,1 µm

CHAPITRE VI 164

linéiques (Fig.VI.3.c-d). En revanche, aucun arrachement de matière n’a pu être constaté. Les aires des extrémités des aspérités varient entre 9 et 84 µm2 .

Du fait de la précision de l'usinage, les dimensions initiales des sommets des aspérités

sont très disparates. Cette non-homogénéité peut nuire à l'homogénéité du contact au cours du chargement.

(a) (b)

(c) (d)

Fig.VI.3 : Observations au MEB de sommets des pyramides de hauteur 400 µm .

VI.3.2. Détermination de la géométrie de contact au cours du chargement L'utilisation du code éléments finis ABAQUS pour déterminer l'évolution de la

géométrie de contact au cours du chargement n'a pas été possible dans le cas des géométries de contact tridimensionnelles. En effet, un maillage fin dans la zone de contact aurait nécessité un nombre trop important d'éléments. De plus l'étude des déformations des surfaces à géométries de contact bidimensionnelles a montré que le mode de déformation dominant au niveau de l'interface était les déformations plastiques (§ V.3.2). C'est pourquoi, le modèle de déformations plastiques pures de Bowden et Tabor [1954] a été retenu ici (Eq.I.22) pour déterminer l’aire réelle de contact.

21,9 µm9,5 µm

14,3 µm

4,7 µm 4,7 µm

17,0 µm

CHAPITRE VI 165

VI.3.3. Analyse des échantillons après les essais L'analyse profilométrique au MEB et au microscope optique des échantillons après les

essais a porté d'une part sur l'étude des écrasements des sommets des aspérités pyramidales, d'autre part sur l'analyse des empreintes laissées par ces aspérités sur les faces miroirs. Ces mesures permettent de vérifier l'hypothèse retenue de déformations plastiques pures dans le cas du dernier chargement sans toutefois prendre en compte un éventuel retour élastique des surfaces. De plus, elles mettent en évidence une certaine homogénéité du contact, car l’ensemble des aspérités pyramidales semble avoir marqué les faces miroirs.

VI.3.3.1. Aspérités pyramidales de hauteur 200 µm La pression d'interface maximale atteinte au cours des essais a été de 6 MPa. Dans ce

cas, et en considérant une micro-dureté du cuivre de 80 Vickers, l'équation (I.22) donne une aire réelle de contact par aspérité de 9,06 10 9− m2 .

La figure (VI.4) montre quelques sommets d'aspérités observés au MEB après les

essais. Une analyse complémentaire a été effectuée au moyen d'un microscope optique. Tous les sommets des aspérités semblent avoir été en contact avec l'échantillon face miroir. Les dimensions des sommets des pyramides sont assez homogènes et varient entre 8,7 10 9− m2 et 10,7 10 9− m2 . En moyenne l'aire des sommets est égale à 9,63 10 9− m2 . L'écart par rapport à la théorie est donc de 5,9 %.

Fig.VI.4 : Observations au MEB de sommets des pyramides de hauteur 200 µm . Un analyse similaire des empreintes laissées par les pyramides sur la face miroir

(Fig.VI.5) a permis de confirmer l'homogénéité du contact. La dimension des empreintes est en moyenne de 10,2 10 9− m2 , soit un écart de 11,2 % par rapport à l'aire réelle de contact estimée.

107,5 µm

87,5 µm

CHAPITRE VI 166

Fig.VI.5 : Observations au MEB de empreintes laissées par les pyramides de hauteur 200 µm sur la face miroir.


La pression d'interface maximale atteinte au cours de ces essais a été de 5,98 MPa. Dans ce cas, et en considérant une micro-dureté du cuivre de 80 Vickers, l'équation (I.22) donne une aire réelle de contact de 36,11 10 9− m2 .

Des mesures identiques ont été effectuées sur les aspérités pyramidales de hauteur 400

µm et sur la face miroir après les essais. Elles ont permis de vérifier l'homogénéité du contact. Quelques images obtenues au MEB sont représentées sur la figure (VI.6).

L'aire des sommets des pyramides après écrasement est en moyenne de 37,4 10 9− m2 .

L'aire des empreintes laissées sur la face miroir est de 39,7 10 9− m2 . Les écarts par rapport à la valeur théorique de l'aire réelle de contact en déformations plastiques pures, sont respectivement de 3,4 % et de 9 %.

96,5 µm

96,5 µm

115,2 µm

100 µm

92,5 µm

95 µm

112,5 µm

95 µm

CHAPITRE VI 167

(a): sommet de pyramide. (b) : empreinte sur la face miroir.

Fig.VI.6 : Observations au MEB d’un sommet de pyramide de hauteur 400 µm et d'une empreinte laissée sur la face miroir.

VI.3.4. Conclusion Compte tenu de la précision des mesures effectuées et de la non-homogénéité dans la

répartition initiale des dimensions des sommets des aspérités, la comparaison des aires réelles de contact, mesurées sur les échantillons après les essais, avec la valeur obtenue à partir de la relation de Bowden et Tabor [1954], dans le cas de déformations plastiques pures, est satisfaisante.

L'hypothèse de déformations plastiques pures des surfaces en contact semble être

justifiée ici. Ces observations semblent corroborer les travaux réalisés par Assefraoui et al.[1998]. En effet, un dispositif profilométrique optique 3D à focalisation dynamique leur a permis de quantifier la déformation plastique d’aspérités pyramidales produite par le contact de ces dernières avec un disque en saphir monocristallin ultra dur et à surface polie. Ce saphir permet l’observation directe de l’évolution de la surface de contact en fonction de la pression d’interface. La périodicité de leurs aspérités est égale à 150 µm et la hauteur à 42 µm (soit un angle d’aspérité d’environ 30°). Les résultats qu’ils ont obtenus sont en parfaite concordance avec ceux donnés par la formule de Bowden et Tabor.

VI.4. PRESENTATION DES RESULTATS EXPERIMENTAUX La démarche expérimentale suivie est en tout point identique à celle utilisée pour les

géométries de contact bidimensionnelles. Les RTC sont calculées à partir du régime thermique permanent ou du régime thermique transitoire. Les incertitudes sur les résultats sont obtenues en adoptant la même démarche que celle suivie dans le paragraphe (V.5.2).

181,8 µm

218,2 µm

203,7 µm

166,6 µm

VI.4.1. Résultats pour les aspérités de hauteur 200 microns Cette série d’essais a uniquement été réalisée sous un vide primaire de 2 10 5− mmHg. Les valeurs des RTC calculées à partir du régime permanent ( Rp ) ou du régime

transitoire ( Rt et Rt ) sont représentées sur la figure (VI.7) en fonction de la pression d’interface.

En régime permanent l’écart entre les deux flux estimés ( ϕ1 et ϕ2 ) est en moyenne de

1,1 % avec une valeur maximale de 2,2 %. L’écart entre Rp et Rt quant à lui n’excède pas 2,5 % et est en moyenne de 1,5 %.


3.0E-5

6.0E-5

9.0E-5

1.2E-4

RT

C (m

.K/W

)

Rp

Rt

R _

t

Fig.VI.7 : RTC en fonction de la pression d’interface dans le cas des essais avec les aspérités pyramidales de hauteurs 200 µm .

Les écarts types σp , σi1 et σi2 , ainsi que les incertitudes relatives qui leur sont associées, εp , ε i1 et ε i2 sont consignés dans les tableaux (VI.4) et (VI.5).

L’incertitude sur Rp est en moyenne de 10,7 % et est plus faible que dans le cas des

essais avec les échantillons à aspérités triangulaires. Les incertitudes ε i1 et ε i2 sont à peu près constantes et égales à 4 % et 8,5 %. ε i2 représentant l’influence des propriétés thermiques des matériaux en contact sur la RTC, ces valeurs sont similaires à celles obtenues pour les mesures avec les échantillons à aspérités triangulaires. Par contre, l’incertitude sur Rt , liée à l’incertitude sur les positions et les mesures des thermocouples, ε i1 , est beaucoup moins importante dans ce cas. En effet la figure (VI.7) montre une très faible dispersion des

CHAPITRE VI 169

valeurs de Rt . Ceci tient essentiellement au fait que dans le cas des aspérités pyramidales, les zones en contact réel sont beaucoup plus ponctuelles, le contact entre les deux échantillons est donc plus régulier et homogène même si certains sommets d’aspérité ne sont pas en contact avec la face miroir à faible charge. Il n’y a pas, ou peu, de phénomène tridimensionnel ‘’macroscopique’’ qui vient perturber la mesure de températures.

Essais Pression Rp σp εp

d'interface (MPa) (m².K/W) (m².K/W) (%) P200-1 1,66 9,69E-05 3,32E-06 ±10,3 P200-2 2,24 7,89E-05 2,79E-06 ±10,6 P200-3 2,45 7,33E-05 2,50E-06 ±10,2 P200-4 2,95 6,36E-05 2,23E-06 ±10,5 P200-5 3,46 5,69E-05 2,03E-06 ±10,7 P200-6 3,94 5,22E-05 1,89E-06 ±10,9 P200-7 4,33 4,82E-05 1,72E-06 ±10,7 P200-8 4,91 4,46E-05 1,61E-06 ±10,9 P200-9 5,28 4,22E-05 1,54E-06 ±11,0

P200-10 6 4,06E-05 1,47E-06 ±10,9

Tab.VI.4 : Incertitudes sur les valeurs de Rp dans le cas des essais avec les aspérités de hauteur 200 µm .

Essais Pression Rt σi1 σi2 σi εi1 εi2

d'interface (MPa) (m².K/W) (m².K/W) (m².K/W) (m².K/W) (%) (%)P200-1 1,66 9,93E-05 1,22E-06 2,81E-06 4,03E-06 ±3,7 ±8,5P200-2 2,24 8,07E-05 9,84E-07 2,36E-06 3,35E-06 ±3,7 ±8,8P200-3 2,45 7,39E-05 9,21E-07 2,17E-06 3,09E-06 ±3,7 ±8,8P200-4 2,95 6,46E-05 7,83E-07 1,86E-06 2,65E-06 ±3,6 ±8,6P200-5 3,46 5,77E-05 7,51E-07 1,68E-06 2,43E-06 ±3,9 ±8,7P200-6 3,94 5,30E-05 5,83E-07 1,53E-06 2,11E-06 ±3,3 ±8,6P200-7 4,33 4,89E-05 6,38E-07 1,42E-06 2,05E-06 ±3,9 ±8,7P200-8 4,91 4,51E-05 6,89E-07 1,30E-06 1,98E-06 ±4,6 ±8,6P200-9 5,28 4,27E-05 6,09E-07 1,23E-06 1,84E-06 ±4,3 ±8,6

P200-10 6 4,01E-05 6,89E-07 1,15E-06 1,84E-06 ±5,2 ±8,6

Tab.VI.5 : Incertitudes sur les valeurs de Rt dans le cas des essais avec les aspérités de

hauteur 200 µm .

CHAPITRE VI 170

VI.4.2. Résultats pour les aspérités de hauteur 400 microns Des résultats similaires ont été obtenus dans le cas des échantillons avec des aspérités

pyramidales de hauteur 400 µm . Les essais ont été réalisés simultanément à pression atmosphérique et sous vide.

En régime permanent l’écart entre les deux flux estimés ( ϕ1 et ϕ2 ) est en moyenne de

1,5 % avec une valeur maximale de 2,6 %. L’écart entre Rp et Rt quant à lui n’excède pas 3,9 % et est en moyenne de 1,8 %.

Les écarts types σp , σi1 et σi2 , ainsi que les incertitudes relatives qui leur sont

associées, εp , ε i1 et ε i2 sont consignés dans les tableaux (VI.6) et (VI.7). Les valeurs de ε i2 et εp sont à peu près identiques à celles obtenues dans le cas des aspérités de hauteur 200 µm . Les variations de ε i1 avec la pression d’interface sont beaucoup plus importantes : ε i1 passe de 18 % à 3 % avec l’augmentation de P. Cette évolution de ε i1 indique que le contact s’homogénéise au fur et à mesure que la pression d’interface augmente.

Les évolutions de Rp , Rt et Rt en fonction de la pression d’interface, ainsi que les

incertitudes qui leur sont associées, sont présentées sur la figure (VI.8). Aucune différence significative n’est observée entre les essais réalisés à pression atmosphérique ou sous vide. L’écart maximal est d’environ 4 %. Même à pression atmosphérique, la conductivité du cuivre est très importante par rapport à celle de l’air, le transfert de chaleur va donc se faire essentiellement à travers le contact direct entre les matériaux. Dans ce cas, la résistance de contact mesurée est peu sensible aux variations de la conductivité du fluide présent dans les aspérités. Par conséquent, la comparaison des résultats expérimentaux 3D avec, d’une part les RTC théoriques, et d’autre part les RTC bidimensionnelles, ne sera réalisée qu’à partir des essais réalisés en vide primaire.

CHAPITRE VI 171

Essais Pression Rp σp εp

d'interface (MPa) (m².K/W) (m².K/W) (%) P400-1 0,54 2,36E-04 7,98E-06 ±10,1 P400-2 1,01 1,56E-04 5,44E-06 ±10,5 P400-3 1,87 1,26E-04 4,35E-06 ±10,4 P400-4 3,06 1,03E-04 3,73E-06 ±10,8 P400-5 5,06 8,17E-05 2,97E-06 ±10,9 P400-6 5,34 7,65E-05 2,78E-06 ±10,9 P400-7 1,49 1,42E-04 4,69E-06 ±9,9 P400-8 1,70 1,29E-04 4,28E-06 ±9,9 P400-9 3,38 1,00E-04 3,34E-06 ±10,0

P400-10 5,24 8,02E-05 2,73E-06 ±10,2 P400-11 5,63 7,55E-05 2,65E-06 ±10,5 P400-12 1,5 1,39E-04 4,54E-06 ±9,8 P400-13 1,75 1,24E-04 4,19E-06 ±10,1 P400-14 3,4 9,72E-05 3,25E-06 ±10,0 P400-15 5,98 7,45E-05 2,57E-06 ±10,4

Tab.VI.6 : Incertitudes sur les valeurs de Rp dans le cas des essais avec les aspérités de

hauteur 400 µm .

Essais Pression Rt σi1 σi2 σi εi1 εi2

d'interface (MPa) (m².K/W) (m².K/W) (m².K/W) (m².K/W) (%) (%)P400-1 0,54 2,40E-04 1,43E-05 7,20E-06 2,15E-05 ±17,6 ±8,9P400-2 1,01 1,59E-04 9,44E-06 4,77E-06 1,42E-05 ±17,5 ±8,8P400-3 1,87 1,28E-04 6,96E-06 3,72E-06 1,07E-05 ±16,3 ±8,7P400-4 3,06 1,06E-04 4,51E-06 3,14E-06 7,65E-06 ±12,7 ±8,9P400-5 5,06 8,40E-05 2,13E-06 2,45E-06 4,58E-06 ±7,6 ±8,8P400-6 5,34 7,67E-05 7,76E-07 2,24E-06 3,01E-06 ±3,0 ±8,7P400-7 1,49 1,48E-04 6,31E-06 4,38E-06 1,07E-05 ±12,8 ±8,9P400-8 1,70 1,32E-04 5,06E-06 3,89E-06 8,95E-06 ±11,5 ±8,8P400-9 3,38 1,01E-04 2,73E-06 2,96E-06 5,69E-06 ±8,1 ±8,8

P400-10 5,24 8,06E-05 1,62E-06 2,36E-06 3,99E-06 ±6,0 ±8,8P400-11 5,63 7,51E-05 7,86E-07 2,20E-06 2,98E-06 ±3,1 ±8,8P400-12 1,5 1,42E-04 5,77E-06 4,22E-06 9,99E-06 ±12,2 ±8,9P400-13 1,75 1,29E-04 4,79E-06 3,80E-06 8,59E-06 ±11,1 ±8,8P400-14 3,4 9,83E-05 2,63E-06 2,89E-06 5,52E-06 ±8,0 ±8,8P400-15 5,98 7,41E-05 7,66E-07 2,17E-06 2,94E-06 ±3,1 ±8,8

Tab.VI.7 : Incertitudes sur les valeurs de Rt dans le cas des essais avec les aspérités de

hauteur 400 µm .

CHAPITRE VI 172

0 1 2 3 4 5 6 7


5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

RT

C (m

.K/W

)

(a) : Mesures à pression atmosphérique


5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

RT

C (m

.K/W

)



5.0E-5

1.0E-4

1.5E-4

2.0E-4

2.5E-4

3.0E-4

3.5E-4

RT

C (m

.K/W

)


Fig.VI.8 : RTC en fonction de la pression d’interface dans le cas des essais avec les aspérités pyramidales de hauteur 400 µm : Rt ( ), Rt ( ), Rp ( ).

CHAPITRE VI 173

VI.5. COMMENTAIRES DES RESULTATS EXPERIMENTAUX 3D

VI.5.1. Validation des résultats expérimentaux par comparaison avec les relations théoriques existantes

De nombreux modèles théoriques ont été proposés pour déterminer les RTC dans le

cas de géométries de contact tridimensionnelles (§ I.4). Pour cette série d’essais, la géométrie de contact expérimentale est comparable à la modélisation du contact présentée sur la figure (I.16). Une différence subsiste toutefois entre les géométries de contact expérimentales et théoriques. En effet, alors qu’expérimentalement les aspérités de la surface au contact sont pyramidales, celles du modèle théorique sont coniques.

Les valeurs de l’aire réelle de contact par unité de surface apparente, nécessaires à la

détermination théorique des RTC, sont déterminées à partir de la relation de Bowden et Tabor. Cette relation lie les valeurs de S* à la pression d’interface et à la micro-dureté du matériau le plus mou. Suivant la valeur de la micro-dureté mesurée l’évolution de S* avec la pression d’interface sera différente. Pour chaque pression d’interface, une fois la valeur de S* déterminée, les dimensions de la géométrie de contact sont alors fixées et Rc1 est calculée en utilisant les équations (I.7), (I.9), (I.10), (I.12) et (I.13). L'écart entre les résultats fournis par ces différentes équations n'excède pas 10 %. Une approximation de Rc2 est déterminée à partir de l’équation (I.20).

Les incertitudes sur les valeurs de Rth obtenues sont calculées en utilisant la méthode

de Monte-Carlo, décrite dans le paragraphe (III.3.2.3). Des incertitudes de ± 10% sur les caractéristiques géométriques et de ± 5 % sur les propriétés thermiques sont prises en compte.

Les figures (VI.9) et (VI.10) montrent les évolutions des valeurs expérimentales ( Rp

et Rt ) et théoriques ( Rth ) de la RTC en fonction de la pression d’interface pour les deux géométries de contact étudiées. Les valeurs de S* nécessaires au calcul de Rth sont calculées respectivement avec une micro-dureté de 80 et de 100 Vickers.

La comparaison des valeurs expérimentales et théoriques de la RTC est beaucoup plus

satisfaisante que dans le cas des géométries de contact bidimensionnelles. En effet, pour les géométries à pyramides de hauteur 400 µm l'écart entre Rth et Rp est en moyenne de 15,8 % pour une micro-dureté du cuivre de 100 Vickers et de 27,6 % pour une micro-dureté du cuivre de 80 Vickers.

Dans le cas du contact avec les aspérités de hauteur 200 µm, l'écart moyen entre Rth

et Rp est respectivement de 33,9 % et de 45,4 %, suivant la micro-dureté du matériau considérée. Pour cette géométrie de contact, cet écart diminue fortement au début du chargement et passe d'une valeur de 50 % à une valeur, pour une pression d'interface de 6 MPa, comprise entre 27 % et 39 % suivant la micro-dureté du matériaux. Dans ce cas, tout porte donc à croire que l’ensemble des sommets des aspérités n’a pas touché la face miroir pour des faibles pressions d’interface. Même si les mesures de températures n’ont pas été

CHAPITRE VI 174

perturbées par ce phénomène ( ε i1 est faible et constante, § VI.4.1), la RTC est plus importante que celle escomptée.

Les écarts observés entre les valeurs théoriques et expérimentales de la RTC sont dus

au fait que : ⇒ la corrélation proposée pour estimer Rc2 fournit une valeur sous-estimée de ce

paramètre (ANNEXE 6). En prenant les valeurs ‘’exactes’’ de la résistance de constriction, déterminées numériquement au moyen d’un code éléments finis, les écarts entre Rth et Rp , suivant la micro-dureté du cuivre considérée, varient respectivement entre 10 et 20 % pour la géométrie à aspérités de hauteur 400 µm et entre 19 % et 30 % pour la géométrie à aspérités de hauteur 200 µm.

⇒ Les géométries de contact expérimentale (Fig.VI.1) et théorique (Fig.I.16) ne sont

pas parfaitement identiques. Les aspérités expérimentales sont pyramidales, tandis que les aspérités théoriques sont coniques. Les surfaces réelles et apparentes de contact sont soit des disques soit des carrés (Fig.I.13) ce qui modifie légèrement le phénomène de constriction. Negus et al.[1989] avaient montré que si la valeur de S* est à peu près constante d’une géométrie à l’autre, le changement de géométrie n’affecte pas de manière significative le phénomène de constriction (écart sur les résistances de constriction inférieur à 2 %).

⇒ La détermination de S* correspondant aux conditions expérimentales est approchée

par la formule de Bowden et Tabor (Eq.I.22). La qualité du contact a été meilleure pour les aspérités pyramidales de hauteur 400

µm, même si pour des faibles pressions d’interface, les valeurs de l’incertitude relative ε i1 sont plus importantes. Dans ce cas, il est possible, qu’un problème de contact, localisé dans une zone proche des thermocouples soit venu perturber la mesure de température sans toutefois augmenter de manière conséquente la RTC.

Ces observations sont confirmées par la comparaison des résultats expérimentaux

entre eux. En effet un rapport homothétique de 2 existe entre les deux géométries pyramidales étudiées. Or le rapport des RTC obtenues passe de 1,36, pour la plus faible pression d'interface, à 1,89 pour la plus forte pression d'interface. Plus cette pression augmente, plus le rapport des deux RTC tend vers la valeur de 2 qui devrait être théoriquement obtenue, ce qui tend à confirmer l'homogénéisation du contact. Cet écart entre les deux géométries peut être expliqué par :

⇒ le contact qui n’est pas encore parfaitement homogène au cours des essais. Pour les

plus fortes pressions d’interface, cela n’est plus le cas car l’analyse des échantillons à face miroir a montré que toutes les pyramides ont marqué les faces (§ VI.3.3) ;

⇒ les valeurs expérimentales de S* pour les deux géométries et à une pression

d’interface donnée qui ne sont pas parfaitement identiques comme le laisse supposer la relation de Bowden et Tabor.

CHAPITRE VI 175


2.0E-5

4.0E-5

6.0E-5

8.0E-5

1.0E-4

1.2E-4

RT

C (m

.K/W

)

Rp

Rt

Rth

(H=80 Vickers)R

th(H=100 Vickers)

Fig.VI.9 : RTC en fonction de la pression d’interface dans le cas des essais avec les échantillons à aspérités pyramidales de hauteur 200 µm : comparaison des résultats

théoriques et expérimentaux.


2.0E-54.0E-56.0E-58.0E-51.0E-41.2E-41.4E-41.6E-41.8E-4

RT

C (m

.K/W

)

Rth

(H=80 Vickers)

Rp

Rth

(H=100 Vickers)

Rt

Fig.VI.10 : RTC en fonction de la pression d’interface dans le cas des essais en vide primaire avec les échantillons à aspérités pyramidales de hauteur 400 µm : comparaison des

résultats théoriques et expérimentaux.

VI.5.2. Comparaison des RTC 2D et 3D Afin de pouvoir prédire les valeurs des RTC entre deux solides en contact, une

modélisation du contact permettant d'obtenir des résultats fiables est nécessaire. Au niveau géométrique, il est possible d'adopter une géométrie 2D ou 3D en fonction des surfaces mises en oeuvre. Cependant une modélisation 2D, même si elle n'est pas justifiée par des conditions d'usinage des surfaces, conduit à des calculs plus simples et moins coûteux en temps de calcul.

CHAPITRE VI 176

Le modèle de la vague plastique étant un modèle de contact bidimensionnel, il est important de pouvoir quantifier qu’elle est l’influence sur les valeurs de la RTC du choix d’une modélisation bidimensionnelle du contact alors que le contact réel est majoritairement tridimensionnel. Cette étude permettra donc de fixer les limites de validation du modèle de contact retenu.

VI.5.2.1. Conditions de comparaison des RTC Avant toute étude de l'influence de la géométrie de contact sur la RTC, il est important

de fixer les conditions de comparaisons. Les résultats pour les géométries 2D et 3D de périodicités identiques sont comparées deux à deux. Deux cas de figures peuvent alors être envisagés :

dans le premier cas (cas 1), la valeur de S* est la même pour les deux modèles ;

soit : l l LD D3 2= . (VI.1) Sachant que le mode de déformations dominant au niveau du contact est le mode de

déformations plastiques (Eq.I.22), comparer les valeurs des RTC à des valeurs de S* identiques, revient à les comparer à des niveaux de pressions équivalents.

Dans le second cas (cas 2), les dimensions caractéristiques du contact sont

identiques, soit : l lD D3 2= (VI.2)

et S SD D* *3 22= (VI.3)

Ce cas revient à comparer les RTC bidimensionnelles et tridimensionnelles à des

niveaux de pression très différents, il ne pourra donc pas être envisagé d’un point de vue expérimental. Néanmoins, il peut être parfaitement envisagé d’un point de vue théorique.

VI.5.2.2. Résultats expérimentaux pour les deux géométries de contact étudiées Seules les comparaisons pour les essais en vide primaire sont effectuées à partir des

valeurs des RTC calculées à partir du régime thermique permanent. Les conditions de comparaison correspondent à celles du cas (1). Les résultats pour les deux dimensions d’aspérités sont consignés dans les tableaux (VI.8) et (VI.9). Raisonner à des valeurs de S* identiques revient donc ici, à comparer les RTC pour des niveaux de pressions légèrement différents, consignés dans les tableaux. En effet, pour le contact 2D (aspérités triangulaires), la valeur de S* a été déterminée au moyen du code éléments finis ABAQUS, alors que pour la géométrie de contact 3D, cette valeur a été déterminée à partir de la relation de Bowden et Tabor (Eq.I.22). Dans le cas des géométries de hauteur 400 µm, les résultats ont donné lieu à une publication à un congrès annuel de la SFT (Marchand et Raynaud [1998]).

CHAPITRE VI 177

Pour des valeurs de S* identiques, les RTC mesurées pour des géométries de contact tridimensionnelles sont de 1,4 à 2 fois plus importantes que celles obtenues pour des géométries bidimensionnelles. Afin de valider les résultats obtenus, une comparaison avec des études théoriques a été effectuée.

P2D

(MPa) Rp2D

(m².K/W) P3D

(MPa) Rp3D

(m².K/W)R3D/R2D S*

3,29 3,12E-05 5,02 4,39E-05 1,41 0,00628 3,53 2,85E-05 5,09 4,34E-05 1,52 0,00637 4,60 2,73E-05 5,86 4,09E-05 1,50 0,00732

Tab.VI.8 : Comparaison des RTC expérimentales 2D et 3D dans les cas des aspérités

de hauteur 200 µm .

P2D

(MPa) Rp2D

(m².K/W) P3D

(MPa) Rp3D

(m².K/W)R3D/R2D

S*

1,68 4,90E-05 5,30 7,95E-05 1,62 0,006623 2,57 3,98E-05 5,45 7,76E-05 1,95 0,006817

Tab.VI.9 : Comparaison des RTC expérimentales 2D et 3D dans les cas des aspérités

de hauteur 400 µm .

VI.5.2.3. Comparaison théorique des résistances de constriction 2D et 3D Une étude théorique a été menée pour quantifier l’influence de la géométrie de contact

sur la RTC (Marchand et al. [1997]). A cause de l’extrême complexité des surfaces étudiées, la détermination théorique de

la RTC nécessite une modélisation préalable du contact. En supposant que les aspérités soient distribuées uniformément sur toute la surface apparente du contact, à raison de N aspérité par unité de surface (Eq.I.8). L’étude du transfert de chaleur à l’interface se ramène donc à l’étude d’un tube de flux élémentaire. Une formulation a été proposée par Negus et al [1989] pour déterminer la résistance de constriction dans ce tube de flux en K/W :

rA

Sr

=1

λΨ( *) (VI.4)

où Ψ est une fonction de constriction adimensionnée. La résistance de constriction par unité de surface apparente, en m².K/W, est obtenue

en divisant la résistance de constriction par le nombre de tubes élémentaires par unité de surface (Eq.I.11).

CHAPITRE VI 178

Les travaux réalisés par Laraqi [1997] permettent de déterminer les valeurs de r pour un mur plan semi-infini dans le cas plus général de contacts glissants. Les contacts 2D et 3D sont schématisés respectivement par des bandes ou des carrés, de dimension caractéristique l, disposés périodiquement, mobiles dans la direction x avec la vitesse de glissement V. Les cellules élémentaires étudiées sont dans ce cas représentées sur la figure (VI.11).

(a) : 2D (b) : 3D

Fig.VI.11 : Cellules élémentaires de contact des modèles 2D et 3D étudiés. D’après l’équation (VI.4) on obtient successivement pour ces deux géométries, pour

des contacts statiques :

( )rL S

SD D2 21

2=

. . **

λΨ (VI.5)

( )rL S

S3D 3D1

2=

. . **

λΨ (VI.6)

Laraqi [1997] a développé une solution analytique permettant de déterminer les

valeurs de ( )Ψ2D S * et de ( )Ψ3D S * . La résistance de constriction par unité de surface apparente est obtenue en divisant les valeurs de r par le nombre de contacts par unité de surface apparente (soit 1/4L²) :

( )

( )RL S

SL

Sc DD

D22

22 2

= =λ λ

.*

*' *

ΨΨ (VI.7)

( )

( )RL S

SL

Sc3D3D

3D2 2

= =λ λ

.*

*' *

ΨΨ (VI.8)

où ψ ’ est une fonction de constriction adimensionnée :

( )ψ

π

π'

*sin *

2 3 2

2

31

1D

pSp S

p= ∑

=

∞ (VI.9)

( ) ( ) ( )

ψπ

π π π

π'

*

sin * sin * sin *

*3D 3

2

31

2 2

5 2 2 2 2 211

2 2= ∑ +

+∑∑

=

∞

=

∞

=

∞

S

p S

p

p S n S

S p n p np np (VI.10)

2L

2

2l 2L

2L 2l

2l

CHAPITRE VI 179

Les relations analytiques présentées ci-dessus concernant les géométries de contact bidimensionnelles (Eqs (VI.7) et (VI.9)) sont en parfaite concordance avec les travaux réalisés par Laraqi [1995] dans le cas d’un modèle bande de période 2L et de longueur égale à l’unité. Il était amené dans ce cas à définir une résistance de contact linéique (m.K/W) telle que :

( )R Sc D D' ' *2 21

=λ

Ψ (VI.11)

avec ψ '2D la fonction de constriction adimensionnée définie par l’équation (VI.9). La résistance de constriction par unité de surface est, dans ce cas, bien obtenue à partir

de l’équation (VI.7). Les relations proposées par Laraqi [1997] sont identiques à celles obtenues par Negus et al. [1989] et Dégiovanni et Moyne [1989].

Etant donnée l’expression de la résistance de constriction (Eqs.(VI.7) et (VI.8)),

comparer les résistances de constriction 2D et 3D pour des géométries de même périodicité, revient à comparer directement les fonctions de constriction ψ '2D et ψ '3D . Les valeurs de ces fonctions ont été calculées numériquement. Les sommes infinies ont été calculées avec 2000 termes pour ψ '2D et avec 4000 termes pour ψ '3D , pour assurer, sans aucun doute, la convergence des séries.

Les résultats sont présentés sur la figure (VI.12) sous la forme du rapport R Rc D c D3 2

(qui est aussi égal au rapport ψ ψ' '3D 2D ), pour les deux conditions de comparaison (cas 1 et cas 2). Le rapport des résistances de constriction R Rc D c D3 2 augmente lorsque la valeur de l’aire réelle de contact par unité de surface apparente, S*, diminue.

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00A

r / Aa= S*

0

1

2

3

4

Rc 3D

/ Rc 2D

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00l/L

0

10

20

30

40

Rc 3D

/ R

c 2D

(a) : cas 1 (b) : cas 2 Fig.VI.12 : Etude théorique de l’effet directionnel sur les résistances de constriction :

rapport R Rc D c D3 2 en fonction de différents paramètres géométriques (Marchand et al. [1997]).

CHAPITRE VI 180

Dans le cas 2, pour lequel les comparaisons des RTC sont réalisées à des valeurs de S* différentes, la résistance de constriction Rc D3 est de 2 à 35 fois plus importante que Rc D2 .

Dans le cas 1, la condition de comparaison imposée (S SD D* *2 3= ) implique que

l D3 est supérieure à l D2 (Eq.VI.1). La constriction des lignes de flux est atténuée pour la géométrie 3D. La résistance de constriction Rc D3 s’en trouve par conséquent amoindrie. De plus nous pouvons observer un lien logique entre les évolutions des rapports des dimensions réelles du contact (Fig.VI.13.a) et des résistances de constriction (Fig.VI.12.a) corroborant le fait que les plus fortes variations des rapports des résistances correspondent à des faibles valeurs de S*. Pour cette configuration géométrique, le rapport R Rc D c D3 2 peut devenir inférieur à 1 pour des valeurs de S* importantes, comme le montrent les évolutions des fonctions de constriction en fonction de S* (Fig.VI.13.b).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0S*=Ar/ Aa

1

2

3

4

5

l 3D/ l

2D

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0S*=Ar /A a

1E-3

1E-2

1E-1

1E+0

1E+1ψ

' ψ '2Dψ '3D

(a) (b)

Fig.VI.13 : Evolutions du rapport des dimensions réelles de contact (a) et des fonctions de constriction adimensionnées ψ '2D et ψ '3D (b) en fonction de S*. Expérimentalement, les mesures de RTC réalisées dans ce travail, correspondent à des

valeurs de S* inférieures à 0,1. D’après l’étude menée, et pour le cas 1 qui correspond aux conditions de comparaisons expérimentales, la résistance de constriction 3D dans l’échantillon à face miroir doit être d’une à 3 fois plus importante que la résistance de constriction 2D. Ce rapport expérimental est légèrement sous-estimé car les RTC bidimensionnelles mesurées ont été supérieures aux valeurs escomptées, du fait de problèmes d’homogénéité de contact rencontrés. Toutefois, les valeurs de R RD D3 2 sont comparables à celles obtenues par Marchand et al.[1997].

VI.5.2.4. Conclusion de cette étude

Dans le cas du procédé de forgeage, en se basant sur le modèle de la vague plastique, les valeurs de S* peuvent varier d’une valeur très faible à une valeur proche de l’unité, suivant la pression d’interface imposée et donc l’évolution de la vague plastique du lopin.

CHAPITRE VI 181

D’après la figure (VI.12.a), pour une pression d’interface donnée, le rapport entre les RTC 2D (correspondant au modèle de la vague plastique), et 3D (dans le cas où la géométrie de contact serait tridimensionnelle) varie entre 3 et 0,6. Hormis dans les cas où la valeur de S* est faible, les différences entre les RTC 2D et 3D ne sont pas suffisantes pour nécessiter des modifications des corrélations proposées. Néanmoins, pour des valeurs de S* faibles, il serait éventuellement possible de corriger les valeurs corrélées des RTC par un facteur déterminé à partir de la figure (VI.12.a).

VI.6. CONCLUSION Les mesures des RTC pour des géométries de contact tridimensionnelles (aspérités

pyramidales) ont été présentées dans ce chapitre. Afin de pouvoir valider ces essais, les résultats ont été comparés aux valeurs

théoriques déterminées à partir de relations analytiques existantes. La détermination des RTC théoriques ( Rth ) correspondant aux conditions expérimentales, a nécessité la prédiction de l’évolution de la géométrie de contact en fonction de la pression d’interface. L’estimation de l’aire réelle de contact par unité de surface apparente, S*, a pu être réalisée au moyen d’une relation empirique en supposant des déformations purement plastiques des surfaces. Cette hypothèse a été validée à partir des observations des surfaces des échantillons au MEB et au microscope optique après les essais.

La comparaison de Rth avec les RTC expérimentales est très satisfaisante, notamment

en ce qui concerne l’influence de la pression : l’écart entre ces valeurs n’excède pas 40 % à fortes pressions d’interface, ce qui correspond à un écart absolu faible. A plus forte charge, cet écart atteint 25 %. Le contact entre les surfaces a été beaucoup plus homogène que dans le cas des aspérités triangulaires.

Dans le cas des aspérités de 400 µm, l’écart lorsque la pression varie est constant. Cet

écart systématique peut être imputable : ⇒ à l’utilisation de formules approchées pour déterminer la RTC théorique

(ANNEXE 6), ⇒ à une différence dans les géométries des aspérités expérimentales ou théoriques

(pyramidales ou coniques), et dans les formes des surfaces réelles et apparentes de contact (disques ou carrés),

⇒ à une approximation de l’estimation de la surface réelle de contact nécessaire au

calcul de Rth . Cette approximation peut être liée : ∗ au choix du modèle de déformation plastique pure de Bowden et Tabor, ∗ à une mauvaise connaissance de la micro-dureté du matériau (§ IV.2.1), qui est ensuite utilisée dans le calcul de S*,

CHAPITRE VI 182

∗ à une non-homogénéité de la forme des sommets des aspérités, comme cela a pu être observé avant les essais.

L'influence de l'effet directionnel sur la RTC a été étudiée dans ce chapitre : les

résistances de contact 3D ont été comparées à celles obtenues pour les géométries 2D de même périodicité. Dans ce cas, les comparaisons ont été effectuées pour des valeurs de S* identiques. Les valeurs de Rc3D sont 1,5 à 2 fois plus importantes que celles de Rc2D . Il faut noter que cet écart correspond à l’ordre de grandeur des précisions données pour les corrélations (dues aux incertitudes sur les paramètres thermophysiques et géométriques) qui varient entre 20 et 50 %. Aux vues de ces incertitudes il est inutile, dans ce cas de figure ( Rc3D ≈ 1,5 à 2 Rc2D pour des valeurs de S* équivalentes), de développer un modèle 3D pour calculer Rc3D . Il est possible d’utiliser pour des géométries 3D, les corrélations proposées en multipliant éventuellement les valeurs par un facteur correctif de 1,5. De plus, ces résultats montrent que, dans ce cas, l’hypothèse du modèle 2D n’est pas trop pénalisante quant aux valeurs des conditions aux limites d’interface. Quoiqu’il en soit une amélioration des simulations passe avant tout par une amélioration de la connaissance des propriétés thermophysiques des matériaux. Affiner la modélisation (modélisation 3D, couches d’oxydes, etc.) n’est possible que si l’ensemble des paramètres du forgeage et les évolutions des propriétés des matériaux sont bien maîtrisés.

CHAPITRE VII 183

CHAPITRE VII

INTRODUCTION DES CORRELATIONS DANS LE

CODE DE CALCUL DE MISE EN FORME DE MATERIAUX POLLUX

VII.1. INTRODUCTION....................................................................................... 185

VII.2. PREMIERE SIMULATION : CAS DE L’ECRASEMENT DE TAS PLATS......... 186

VII.3. SIMULATION D’UN CAS DE FILAGE AU MOYEN D’UN OUTIL EVASE ....... 192

VII.4. INFLUENCE DE SUR LES SIMULATIONS DE FORGEAGE........................... 198

VII.5. CONCLUSION .......................................................................................... 199

CHAPITRE VII 184

CHAPITRE VII 185

. CHAPITRE VII

Introduction des corrélations dans le code de calcul de mise en forme de matériaux POLLUX

VII.1. INTRODUCTION

De nombreuses études (chapitre I) ont permis de montrer l’influence considérable du transfert de chaleur à l’interface outil-lopin lors de procédés de mise en forme sur le comportement thermo-mécanique des pièces. Or les logiciels de mise en forme actuels se limitent souvent à une valeur de la RTC constante, fixée a priori. Cette approximation peut modifier notablement l’évolution des échanges thermiques en sur ou sous-estimant les transferts aux interfaces, et en éliminant les périodes transitoires de la mise en contact progressif dans les opérations comme le filage. La représentation du champ de température, au voisinage du contact outil-lopin, est donc souvent peu représentative du phénomène réel.

Les corrélations présentées précédemment (§ III.3.1) ont été introduites dans le code

de calcul éléments finis, POLLUX. Elles permettent sur chaque élément de contact du maillage thermique de déterminer la RTC en fonction de la géométrie du contact (rugosité de l’outil, géométrie du lopin) et des conductivités thermiques des matériaux et du lubrifiant à la température de l’interface. Une RTC est calculée sur chaque élément de contact et à chaque pas de temps permettant de prendre ainsi en compte une variation spatio-temporelle de ce paramètre liée d’une part à la variation de la géométrie de contact et à la non linéarité du problème.

L’objectif de ce chapitre est de présenter quelques résultats de simulations réalisées

sur POLLUX. Une première simulation concerne l’écrasement d’un tas plat et correspond à des

essais réalisés par Goizet et al. [1998]. Cette étude est plus qualitative que quantitative. Elle permet entre autre de vérifier l’évolution des formes du lopin et d’étudier l’influence de paramètres tels que la vitesse de forgeage, la température de l’outil ou la RTC.

Une seconde simulation a porté sur la mise en forme d’un lopin au moyen d’un outil

évasé. L’objectif principal dans ce cas est d’étudier l’intérêt d’une RTC variable dans l’espace. En effet, dans le cas d’un outil évasé, la pression d’interface ne sera pas la même tout le long du contact outil-lopin modifiant ainsi la géométrie d’interface et par conséquent la RTC.

CHAPITRE VII 186

Enfin, sur les cas tests réalisés l’enregistrement des flux de chaleur générés à l’interface permet de comparer ces flux avec les échanges conductifs entre l’outil et le lopin et de voir leur influence sur le transfert thermique à l’interface de contact. Ainsi, il est possible de justifier de la nécessité ou non d’intégrer dans un code de calcul de mise en forme de matériau le facteur de génération de flux, α , représentatif de la génération de chaleur par déformation et frottement au niveau du contact.

VII.2. PREMIERE SIMULATION : CAS DE L’ECRASEMENT DE TAS PLATS

Cette première simulation correspond à l’écrasement d’un tas plat, en l’absence de lubrifiant, avec des conditions expérimentales équivalentes à celles des essais réalisés par Goizet et al. [1998] en collaboration avec la SNECMA. L’instrumentation de leur procédé de forgeage à chaud est décrite dans le paragraphe (I.3.3).

Le lopin est en Titane de la nuance TA6V et l’outil en Inconel 718. Les

caractéristiques de ces matériaux, nécessaires aux calculs, sont consignées en ANNEXE 7. Les propriétés mécaniques des matériaux sont des approximations de leur comportement réel dans la mesure où les données existantes et les corrélations proposées ne couvrent pas la totalité du domaine de températures. Une amélioration des simulations passe donc impérativement par une amélioration de la connaissance des évolutions des propriétés thermo-physiques des matériaux.

Une analyse profilométrique de la surface de l’outil a permis de déterminer les

caractéristiques du modèle de la vague plastique, à savoir une hauteur h de 3 µm et un angle d’aspérité d’outil de 4°.

Les dimensions des pièces sont représentées sur la figure (VII.1).

Les paramètres qui varient sont :

⇒ la vitesse de descente de l’outil supérieur qui est de 0,2 mm/s, 1 mm/s ou 5 mm/s.

⇒ La température initiale de l’outil qui varie entre 200 °C et 600 °C.

⇒ La RTC aux interfaces outil-lopin. Trois possibilités sont envisagées ; soit la RTC est calculée sur chaque élément de contact et à chaque incrément de temps au moyen des corrélations proposées, soit une valeur constante, fixée a priori, est utilisée. Dans ce cas, on retiendra une valeur élevée de 10 3− m².K / W et une valeur faible de 10 7− m².K/W.

⇒ Enfin, le coefficient de frottement local à l’interface outil-lopin, fo, qui est égal à 0, 0,1

ou 0,2. Le frottement n’ayant qu’une influence très négligeable dans cette application, tous les résultats présentés correspondent au coefficient fo de 0,1.

Du fait des symétries axiales et radiales, seul un quart de la géométrie est maillé.

CHAPITRE VII 187

Les essais sont réalisés en faisant varier successivement chacun de ces paramètres. La

course totale de l’outil est de 20 mm. Les résultats présentés correspondent à ceux obtenus après des courses d’outil de 7 mm et de 18 mm. Les comparaisons effectuées portent, d’une part sur les champs de température, et d’autre part sur les champs de déformation plastique. Les échelles de températures sont identiques pour toutes les figures présentées et couvrent un domaine compris entre 100°C et 1000°C. Les échelles de déformations plastiques sont définies, suivant la course de l’outil, entre 0 % et 90 % ou entre 0 % et 180 %.

outil

outil

lopin

950 °C

120 mm

80 m

m

40 mm

40 m

m

200°C, 400°C, 600°C

Zone maillée

V

Fig.VII.1 : Simulation de l’écrasement d’un tas plat.

VII.2.1. Influence de la vitesse de descente de l’outil supérieur

La première étude porte sur les effets de la vitesse de descente de l’outil supérieur. Les résultats présentés correspondent à une course d’outil de 7 mm. La RTC est calculée au moyen des corrélations. Les champs de températures obtenus en fonction de la vitesse sont représentés sur la figure (VII.2).

Le lopin, initialement à 950 °C, est refroidi par l’outil à 200°C. Cette baisse de

température entraîne une augmentation de la limite d’écoulement du matériau du lopin dans la partie supérieure de celui-ci. A écrasement égal, plus la vitesse de l’outil est lente, plus la zone affectée par la baisse de température est importante. Alors que pour une vitesse de descente de l’outil de 5 mm/s, après une course de 7 mm, 80 % du lopin est encore à 950°C (Fig.VII.2.c), lorsque la vitesse de l’outil est de 0,2 mm/s, la température à cœur descend à 850°C et 75 % du volume est à une température inférieure à 800°C.

CHAPITRE VII 188

a : V=0,2 mm/s b : V=1 mm/s c : V=5 mm/s

Fig.VII.2 : Influence de la vitesse de descente de l’outil supérieur sur le champ température pour une course de l’outil de 7 mm.

Cette évolution des champs de température est la cause des différences observées

dans le champ des déformations plastiques, qui sont prépondérantes dans les zones les plus chaudes où la contrainte d’écoulement est faible (Fig.VII.3). La partie non déformée sous l’outil est d’autant plus grande que la vitesse de l’outil est faible, et donc que la température est faible. Ainsi, pour une vitesse de l’outil de 0,2 mm/s, 50 % du volume du lopin ne subit pas de déformation plastique supérieure à 10 % ; cette valeur passe à 25 %, pour une vitesse d’outil de 5 mm/s.

a : V=0,2 mm/s b : V=1 mm/s c : V=5 mm/s

Fig.VII.3 : Influence de la vitesse de descente de l’outil supérieur sur le champ de déformations plastiques pour une course de l’outil de 7 mm.

CHAPITRE VII 189

VII.2.2. Influence de la température initiale de l’outil supérieur Pour les mêmes raisons que celles évoquées précédemment, la température initiale de

l’outil a une influence importante sur les formes de la déformée. La figure (VII.4) correspond aux champs de températures obtenus en fonction de la température initiale de l’outil, pour une course d’outil de 18 mm.

( )T Coutil ini = °200 ( )T Coutil ini = °400 ( )T Coutil ini = °600

Fig.VII.4 : Influence de la température initiale de l’outil supérieur sur le champ de

température pour une course de l’outil de 18 mm.

VII.2.3. Influence de la RTC Les essais ont été réalisés en considérant à l’interface outil-lopin, une RTC variable

calculée à partir des corrélations, une RTC constante et élevée, égale à 10 3− m².K / W, et une RTC faible, égale à 10 7− m².K/W. Les figures (VII.5) et (VII.6) représentent les champs de température en fonction de la condition thermique d’interface imposée et pour des courses d’outil égales respectivement à 7 mm et 18 mm. La température initiale de l’outil est de 200 °C et sa vitesse de 5 mm/s.

Il existe très peu de différence entre les champs de température calculés avec la RTC

variable et avec une RTC faible (écarts de température inférieurs à 100 °C !). Par contre, lorsque la RTC est élevée, elle constitue un frein, beaucoup plus conséquent, au transfert de chaleur ; le refroidissement du lopin est beaucoup moins important. Par conséquent la limite d’écoulement du matériau du lopin dans la partie supérieure de celui-ci est plus faible et les déformations plastiques plus importantes (Fig.VII.7).

CHAPITRE VII 190

RTC variable RTC faible RTC élevée

Fig.VII.5 : Influence de la RTC sur le champ de température pour une course de l’outil de 7

mm et une vitesse d’outil de 5mm/s.


Fig.VII.6 : Influence de la RTC sur le champ de température pour une course de l’outil de 18

mm et une vitesse d’outil de 5mm/s.


Fig.VII.7 : Influence de la RTC sur le champ de déformations plastiques pour une course de l’outil de 18 mm et une vitesse d’outil de 5mm/s.

CHAPITRE VII 191

Pour une vitesse d’outil de 5 mm/s et pour une température initiale d’outil de 200 °C, les RTC sur chaque élément de contact ont été tracées en fonction du temps (Fig.VII.8). Cette figure montre, d’une part que la RTC n’évolue presque pas le long du contact outil-lopin, et d’autre part qu’elle s’établit rapidement (environ 0,5 s). Elle ne varie que pendant le début de la déformation plastique du lopin. La valeur moyenne de la RTC obtenue à partir des corrélations est d’environ 810 6. ². /− m K W. Par conséquent, dans le cas étudié, les résultats des simulations sont identiques que l’on considère une RTC de 810 6. ². /− m K W ou de 10 7− m².K/W. Ces observations permettent de relativiser les incertitudes obtenues sur les corrélations (§ III.3).

Toutefois, ces trois simulations soulignent l’importance de la valeur de la condition

thermique d’interface. En effet, si l’utilisateur choisit, dans ce cas, comme condition aux limites d’interface une valeur de RTC de 10 3− m².K/W, il obtiendra des résultats très différents de la réalité.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20Temps (s)

0.0E+0

5.0E-6

1.0E-5

1.5E-5

2.0E-5

2.5E-5

RT

C (m

.K/W

)

Fig.VII.8 : Variation de la RTC sur chaque élément de contact en fonction du temps pour une vitesse de l’outil de 5 mm/s et une course totale de 1 mm.

VII.2.4. Conclusion

La RTC déterminée au moyen des corrélations ne varie que pendant la mise en pression de contact de l'interface lopin-outil. Les variations de déformée obtenues pour les diverses conditions expérimentales étudiées ne correspondent qu’à des temps de refroidissement différents. Les différentes formes de lopins ainsi que les valeurs de RTC obtenues expérimentalement par Goizet et al [1998] sont proches de celles obtenues par simulations.

Toutefois des écarts subsistent quant au temps d’établissement de la RTC. Ces écarts

peuvent en partie s’expliquer par le fait que les simulations présentées prennent en compte un lopin isotherme au début de l’écrasement. Cette hypothèse n’est pas représentative des conditions expérimentales car les échanges thermiques commencent dès la sortie du four et se

CHAPITRE VII 192

prolongent durant le transfert du four vers la presse. Pendant tout ce temps les pertes radiatives et les échanges convectifs font que lopin à 1000°C perd énormément en température de peau (jusqu'à 200°C), ce qui peut modifier considérablement les transferts thermiques à l’interface. Toute diminution de la température entraînant une augmentation de la limite d’écoulement du matériau, cette variation de la température de peau du lopin peut entraîner une augmentation de la valeur et du temps d’établissement de la RTC. Afin de pouvoir confirmer ces observations, des simulations prenant en compte ce gradient thermique initial dans le lopin sont nécessaires.

Afin d’étudier l’intérêt des corrélations proposées pour déterminer la RTC, par rapport

au cas où une résistance constante est choisie comme paramètre thermique d’interface, un exemple où la variation spatio-temporelle de la RTC est observée doit être traité. Pour cela, une simulation a été réalisée dans laquelle la forme d’outil supérieur est telle qu’elle permet le filage du lopin. Dans ce cas, la pression de contact évolue tout le long du contact outil-lopin, entraînant une variation de la RTC. Cette simulation est présentée dans le paragraphe suivant.

VII.3. SIMULATION D’UN CAS DE FILAGE AU MOYEN D’UN OUTIL EVASE

La simulation réalisée est représentée sur la figure (VII.9). Le lopin est en titane TA6V et les outils en Inconel 718. L’outil supérieur, qui descend à une vitesse constante de 5 mm/s, met en forme le lopin chaud qui remonte le long de l’outil inférieur. Les outils sont initialement à 600°C et le lopin à 900°C. La course totale est de 12,5 mm. L’évolution de la géométrie du lopin est représentée sur la figure (VII.10), pour trois courses d’outil.

Dans cet exemple, la contrainte normale varie suivant les zones de contact (sur les

parties plate et latérale de l’outil inférieur ou sur la partie latérale de l’outil supérieur). Par conséquent, la géométrie d’interface, et donc la RTC, varient aussi le long du contact. Les simulations ont été réalisées, soit avec une RTC variable déterminée à partir des corrélations (cas 1), soit avec une RTC constante, fixée a priori et égale à 10 7− m K W². / (cas 2). Les caractéristiques de la rugosité des outils sont les mêmes que dans la simulation précédente.

Fig.VII.9 : Géométrie initiale du lopin et des outils dans le cas du filage inverse.

Représentation du maillage thermique.

(a) : course de 6 mm (b) : course de 8,5 mm ( c) : course de 12 mm

Fig.VII.10 : Evolution de la géométrie du lopin au cours du filage.

Outil supérieur

Outil inférieur

Lopin

30

12

45

105

20 35

35

15

20

100

CHAPITRE VII 194

VII.3.1. Etude de l’évolution de la RTC en fonction du temps et de l’espace Les valeurs de la RTC, ( )R icor sont calculées sur chaque élément de contact i. Les

éléments de l’outil inférieur en contact sont numérotés de 1 à 14, ceux de l’outil supérieur de 15 à 20 (Fig.VII.11). Tous ces éléments ne sont pas forcément en contact avec le lopin durant tout le forgeage.

Rcor( )1 ( )Rcor 8

( )Rcor 9

Lopin

( )Rcor 14

Zones de contact avec les outils

( )Rcor 15

( )Rcor 20

I

II

III

Fig.VII.11 : Notations utilisées pour les éléments de contact et les RTC calculées. Les figures (VII.12), (VII.13) et (VII.14) représentent les évolutions des RTC sur

chaque élément de contact en fonction de la course de l’outil supérieur, respectivement pour les éléments 1 à 8 (zone de contact I), 9 à 14 (zone II) et 15 à 20 (zone III).

0 2 4 6 8 10 12Course de l'outil supérieur (mm)

1E-6

1E-5

1E-4

RT

C (m

.K/W

)

Rcor

(1)R

cor(2)

Rcor

(3)R

cor(4)

Rcor

(5)R

cor(6)

Rcor

(7)R

cor(8)

Fig.VII.12 : Variation de la RTC entre la base de l’outil inférieur et le lopin (zone I).

CHAPITRE VII 195

8 10 12Course de l'outil supérieur (mm)

1E-6

1E-5

1E-4

RT

C (m

.K/W

) Rcor

(9)R

cor(10)

Rcor

(11)R

cor(12)

Rcor

(13)R

cor(14)

Fig.VII.13 : Variation de la RTC entre le côté de l’outil inférieur et le lopin (zone II).

0 2 4 6 8 10 12Course de l'outil supérieur (mm)

1E-6

1E-5

1E-4

RT

C (m

.K/W

) Rcor

(15)R

cor(16)

Rcor

(17)R

cor(18)

Rcor

(19)R

cor(20)

Fig.VII.14 : Variation de la RTC entre l’outil supérieur et le lopin (zone III). Sur la zone de contact I (Fig.VII.12), la contrainte est plus importante sur l’extrémité

droite ; la RTC sur l’élément 1 est donc plus élevée que celle sur l’élément 8. Au fur et à mesure que l’outil va descendre, la hauteur de la vague plastique sur les premiers éléments va devenir tellement faible que la RTC va atteindre une valeur maximale, fixée par la rugosité de l’outil et égale à 4 10 5− m K W². / . Cette valeur correspond aux cas où la hauteur de la vague plastique est très faible ( h h1 1000< / ). Sur ces premiers éléments, le contact sera interrompu puis se rétablira progressivement après que le lopin soit venu s’appuyer sur le côté de l’outil inférieur (Fig.VII.10). A l’inverse, les éléments situés le plus à droite (7 et 8), voient leurs contraintes normales à l’interface augmenter de manière quasi homogène, au fur et à mesure du forgeage, entraînant une diminution de la RTC.

Sur la zone II (Fig.VII.13), le contact entre l’outil et le lopin n’a lieu qu’au bout de 8

mm de course d’outil. Les pressions appliquées sont beaucoup plus faibles que sur les autres

CHAPITRE VII 196

zones de contact. Par conséquent, la vague plastique ne se développe quasiment pas et la RTC reste constante et égale 1,3 10 5− m K W². / .

Sur la zone III (Fig.VII.14), tous les éléments ne sont pas en contact dès le début ;

l’élément 19 vient en contact au bout de 5,5 mm de course et l’élément 20 au bout de 9,5 mm. Bien qu’il existe un gradient de contrainte entre les deux extrémités du segment, tant que la face droite du lopin est libre, la contrainte normale sur la zone III évolue peu en fonction du temps et les RTC, à l’exception de celle sur l’élément 15, sont à peu près constantes. A partir du moment où l’outil vient s’appuyer sur le côté de l’outil inférieur, la contrainte normale sur les éléments 15 à 20 va augmenter, entraînant une augmentation progressive de la vague plastique et donc une diminution de la RTC.

Dans cet exemple, les variations de la RTC suivant les zones de contact sont

importantes. En effet elle varie entre 1,1 10 6− m².K/W et 1,3 10 5− m K W². / . De plus, ce paramètre varie en fonction du temps sur les zones de contact I et II.

VII.3.2. Comparaison des résultats pour une course d’outil de 12,5 mm Les champs de température ainsi que les champs de déformations plastiques

équivalentes sont représentés sur les figures (VII.15) et (VII.16) pour les deux cas étudiés et pour une course d’outil de 12,5 mm.

Il n’y a pas de variation significative du champ de température suivant la condition

aux limites d’interface considérée ; les niveaux de températures obtenues sont identiques à 45 °C près. La variation la plus représentative du champ de température entre les deux cas est observée sur la partie latérale de l’outil inférieur.

Néanmoins, il apparaît, au niveau du contact lopin-outil inférieur un plissement de

matière lorsque la RTC est fixée à une valeur constante de 10 7− m K W². / . Ce phénomène est lié d’une part à la pression exercée par l’outil supérieur, d’autre part à un refroidissement superficiel du lopin et à une augmentation, en conséquence de la limite d’écoulement. Ce plissement n’est pas observé dans le cas 1, car, dans ce cas, la RTC au niveau du contact est d’environ 10 104 5− −− m K W². / . Par conséquent, le refroidissement du lopin est plus faible. Même si, pour les deux cas étudiés, l’écart de température à l’interface est inférieur à 50 °C, il est suffisant pour faire varier de manière significative la limite d’écoulement du lopin (qui décroît exponentiellement avec la température).

Il est tout à fait possible que, pour des courses d’outil plus importantes, ce

phénomène apparaisse même dans le cas 1, car la RTC sur l’élément 3 (Fig.VII.12), là où il y a décollement, reste à une valeur élevée, indiquant que la contrainte normale d’interface sur cet élément reste faible.

CHAPITRE VII 197

(a) :cas 1 (b) : cas 2

Fig.VII.15 : Champs de température pour une course d’outil de 12,5 mm. Les conditions aux limites d’interface correspondent soit à une RTC déterminée à partir des corrélations (cas 1),

soit une RTC constante et fixée a priori à une valeur de 10 7− m K W². / (cas 2).

(a) :cas 1 (b) : cas 2

Fig.VII.16 : Déformations plastiques équivalentes pour une course d’outil de 12,5 mm. Les

conditions aux limites d’interface correspondent soit à une RTC déterminée à partir des corrélations (cas 1), soit une RTC constante et fixée a priori à une valeur de 10 7− m K W². /

(cas 2).

CHAPITRE VII 198

VII.4. INFLUENCE DE α SUR LES SIMULATIONS DE FORGEAGE L’équation (II.1) montre que si la valeur du flux généré est faible par rapport aux

transferts thermiques à l’interface, alors, seule la détermination de la RTC est nécessaire pour modéliser les transferts thermiques à l’interface outil-lopin.

Au niveau des simulations, il est possible de comparer, à chaque itération de calcul,

et au niveau de chaque noeud du contact, le flux de chaleur transmis entre l’outil et lopin ( φi ) au flux généré par frottement et déformation au niveau de l’interface, φg (ANNEXE 1).

VII.4.1. Cas des forgeages non-isothermes Pour chaque couple de noeuds en contact, il est possible de calculer φi et φg . Ces

calculs ont été effectués pour les simulations d’écrasement de tas plats (§ VII.2), pour une vitesse de descente d’outil de 5 mm/s, pour un coefficient de frottement local de 0,1 et pour des températures initiales d’outil et de lopin respectivement égales à 200 °C et 950 °C. Lors de ces essais, la RTC a été déterminée au moyen des corrélations. Les flux moyens généré et transmis ( φg , φ ) sont obtenus en moyennant sur la zone de contact les flux calculés en chaque noeud. Les valeurs de ces flux sont consignées dans le tableau (VII.1).

Toutil (°C)

Tlopin (°C) Course (mm) φg (W) φ (W)

200 950 0,05 8,4 10 4− 550 200 950 1 10 7− 45 600 600 1 0,0098 0,014 600 600 8,1 0,2 0,5

Tab.VII.1 : Valeurs moyennes du flux généré à l’interface et du flux transmis pour différentes températures d’outil et de lopin et différentes courses. La vitesse de descente d’outil est de 5

mm/s et le coefficient de frottement local égal à 0,1. La température de peau du lopin chaud, en contact avec l’outil froid, chute

brusquement. Cette baisse de température entraîne une augmentation de la limite d’écoulement du matériau du lopin, et donc de sa zone non déformée, dans la partie supérieure de celui-ci. Du fait de cette ‘’rigidification’’ locale du lopin, l’écoulement de matière à l’interface est fortement réduit et les phénomènes de frottement quasi absents. Par conséquent, dans le cas étudié, la génération de chaleur au niveau du contact étant très faible par rapport au reste des échanges thermiques, elle ne modifie pas les transferts thermiques à l’interface outil-lopin.

CHAPITRE VII 199

D’une manière générale, en forgeage non isotherme, le flux de chaleur transmis est nettement supérieur au flux de chaleur généré, le facteur de génération de flux α peut être alors fixé arbitrairement à 0,5. Ces observations ont été confirmées par les simulations du filage inverse réalisées.

VII.4.2. Cas des forgeages isothermes

Les mêmes simulations ont été réalisées pour des températures initiales d’outil et de lopin égales à 600 °C (Tab.VII.1). Dans ce cas, les échanges conductifs, dus à la plastification du lopin, sont beaucoup plus faibles. Le refroidissement superficiel du lopin étant moins conséquent que pour des forgeages non isothermes, le flux de chaleur généré à l’interface est plus important.

Pour ce type de forgeage, la génération de chaleur joue un rôle non négligeable dans

les transferts de chaleur à l’interface. Il serait alors nécessaire d’intégrer dans le modèle de la vague plastique, le calcul du facteur de génération de flux α (Eq.II.1).

VII.5. CONCLUSION Les premières simulations sur POLLUX ont été présentées dans ce chapitre.

Malheureusement, par manque de temps, d’autres essais n’ont pas pu être réalisés. L’étude du flux généré à l’interface par rapport au flux de chaleur transmis ont

confirmé le fait que la génération de chaleur ne jouait pas de rôle déterminant dans les transferts thermiques à l’interface dans le cas de forgeages non isothermes. Cette observation n’a pas été confirmée pour les forgeages isothermes indiquant qu’il serait peut être nécessaire d’intégrer, dans le modèle thermique de l’interface, le facteur de génération de flux et donc de proposer des corrélations pour ce paramètre. Néanmoins, le flux généré reste deux fois plus faible que le flux transmis.

Les simulations d’écrasement de tas plats ont permis de montrer l’influence de la

RTC sur les résultats du forgeage. Elles ont pour principal intérêt de comparer les résultats avec les essais réalisés par l’ISITEM (Goizet et al. [1998]) au moyen d’outils et de lopins instrumentés. Il s’agira alors de comparer, pour différents matériaux et différentes conditions de forgeage (contacts secs ou lubrifiés, vitesses d’outil différentes...), les RTC expérimentales avec celles calculées par POLLUX au moyen des corrélations. Ces premières simulations ne permettent pas de mettre en évidence l’intérêt d’une estimation de la RTC sur chaque élément de contact et en fonction du temps, car les variations de ce paramètre sont négligeables.

C’est pourquoi un cas de filage inverse a été traité. Dans ce cas, les pressions

appliquées, sur chaque zone de contact, sont différentes, ce qui implique des variations conséquentes des RTC. De plus, la dynamique du système entraîne, sur certaines zones de contact, une variation de la contrainte normale d’interface en fonction de la course de l’outil et donc du temps. La prise en compte de ces phénomènes transitoires lors de la simulation

CHAPITRE VII 200

engendre des variations de la déformée du lopin par rapport au cas d’une RTC constante, fixée a priori.

Quoiqu’il en soit, il est trop tôt pour tirer toutes les conclusions de ce travail.

D’autres simulations doivent être réalisées, et notamment par les forgerons eux-mêmes, qui permettraient de souligner les avancées apportées par la modélisation thermique de l’interface.

De plus, des améliorations suivantes doivent être apportées aux simulations : ⇒ prendre en compte le transfert du lopin du four vers la presse durant lesquels le

lopin peut perdre énormément en température de peau modifiant ainsi considérablement le comportement thermo-mécanique de l’interface ;

⇒ prendre en compte le temps d’attente du lopin sur l’outil avant le forgeage, durant

lequel il se refroidit. Seul le poids du lopin le comprime sur l’outil inférieur. Par conséquent, la RTC à l’interface est due au phénomène de macro-constriction et est beaucoup plus importante (de l’ordre de 10 2− m K W². / ) que la RTC obtenue à partir du modèle microscopique de contact ;

⇒ calculer les paramètres de la loi de frottement à partir des températures à

l’interface et non pas à partir des températures dans les éléments ; ⇒ améliorer la connaissance des propriétés thermo-physiques des matériaux et des

lubrifiants et de leurs évolutions, notamment en fonction de la température.

CONCLUSION 201

CONCLUSION

De nombreuses études ont permis de montrer l’influence considérable du transfert de

chaleur à l’interface outil-lopin lors de procédés de mise en forme, sur le comportement thermo-mécanique des pièces. Par exemple les phénomènes d’usure ou de fatigue dépendent fortement des niveaux de température. Or les logiciels de mise en forme actuels, tels que POLLUX et FORGE 2 se limitent à une valeur de la résistance thermique de contact constante et dont la valeur est fixée a priori. De ce fait, sur ou sous-estimer les transferts thermiques aux interfaces implique une mauvaise représentativité du champ de température réel.

L’objectif de ce travail de thèse a donc été d’introduire dans les codes de calcul de

mise en forme, une estimation des résistances de contact prenant en compte la dépendance de ce paramètre vis-à-vis de l’ensemble des paramètres du forgeage.

Pour ce faire, un modèle microscopique de contact a été utilisé dans lequel l’outil,

considéré comme parfaitement rigide, crée par son déplacement relatif par rapport au lopin, une vague plastique déformable à la surface de celui-ci. La surface de l’outil est modélisée à partir d’aspérités triangulaires dont les dimensions ont été déduites d’une analyse profilométrique. Les caractéristiques de la vague plastique sont déterminées dans le code de calcul ‘’macroscopique’’, sur chaque élément de contact, à partir des contraintes normales d’interface et des contraintes d’écoulement. Tout au long du procédé de forgeage, les caractéristiques géométriques du modèle de contact vont donc évoluer en fonction de la vitesse de descente de l’outil, du tonnage de la presse, des comportements des matériaux, de la température d’interface, etc., permettant ainsi de réaliser un très bon couplage thermo-mecanique du problème.

Du fait du frottement entre l’outil et le lopin et des déformations plastiques de ce

dernier, le modèle macroscopique retenu fait intervenir deux paramètres : une résistance de contact et un facteur de génération de flux, α . Ces paramètres sont des données intrinsèques du contact ; ils ne sont fonction que de la géométrie du contact et des propriétés thermiques des matériaux. Comme les lignes de constrictions s’établissent très rapidement au regard de l’établissement du régime thermique, la résistance de contact et α ont été déterminés numériquement pour différentes géométries de contact et pour différentes propriétés de matériau, à partir du régime thermique permanent. Cette hypothèse de calcul est pleinement justifiée dans le cas de forgeages lents. Pour des forgeages rapides (V> 1m/s, et un temps de forgeage inférieur à 1 s), même si nous ne pouvons pas à partir de cette approche être représentatifs du phénomène transitoire, nous pouvons déterminer globalement des conductances d’interface permettant une modélisation plus réaliste des transferts thermiques à l’interface outil-lopin que des conditions d’adiabaticité utilisées jusqu'à présent.

La détermination numérique des paramètres thermiques d’interface étant coûteuse en

temps de calcul, des corrélations ont été proposées pour déterminer la résistance de contact en

CONCLUSION 202

fonction des conductivités de l’outil, du lopin et du lubrifiant dans la zone proche de l’interface, et des paramètres géométriques du contact (rugosité de l’outil et caractéristique de la vague plastique). L’écart entre les valeurs corrélées et numériques n’excède pas 10 % en moyenne.

Un dispositif expérimental a été mis en place afin de valider les corrélations

proposées. L’objectif de cette validation n’est pas de simuler ou d’instrumenter des procédés de mise en forme mais de se placer dans les mêmes conditions géométriques de contact que le modèle numérique afin de pouvoir comparer les résultats dans le cas de contacts non lubrifiés. Les mesures ont été effectuées en contact statique. Les faces en contact des deux échantillons ont été usinées de façon à obtenir la même géométrie de contact que le modèle microscopique lorsque la vague plastique du lopin est très petite. Au cours des essais, nous nous sommes heurtés à des problèmes expérimentaux liés à la non homogénéité du contact. Par conséquent, des phénomènes de constriction tridimensionnels locaux sont apparus et la résistance de contact mesurée a été plus importante que celle théoriquement escomptée. Ces problèmes rencontrés n’ont pas permis aux mesures effectuées de valider, avec la précision souhaitée, les corrélations. Ce dispositif expérimental nous a également permis d’étudier l’influence de l’effet directionnel sur les transferts thermiques à l’interface de matériaux en contact. En effet, d’autres essais réalisés avec des géométries de contact tridimensionnelles ont montré que la résistance de contact en géométrie 3D était de 1,5 à 3 fois plus importante que celle en géométrie 2D, pour des valeurs de la surface réelle de contact par unité de surface apparente identiques. Les résultats sont en bon accord qualitatif avec la bibliographie, la qualité des mesures étant dans ce cas beaucoup plus satisfaisante.

Une autre validation a pu être réalisée, pour des contacts secs et des hauteurs de vague

plastique faibles, en comparant les valeurs corrélées à des valeurs calculées à partir de modèles existants. L’écart obtenu est d’environ 12 %. Cette comparaison est d’autant plus satisfaisante que les géométries de contact étudiées ne sont pas parfaitement identiques et que certaines relations analytiques utilisées ne fournissent que des valeurs approchées des résistances de constriction.

Les corrélations ont été introduites dans le code de calcul POLLUX. En déterminant à

chaque pas de temps et sur chaque élément de contact la résistance de contact, il est possible de prendre en compte la variation spatio-temporelle de ce paramètre liée d’une part à la variation de la géométrie de contact et à la non linéarité du problème. L’intérêt de la démarche proposée apparaît surtout dans des procédés de mise en forme, tels que le filage inverse, pour lesquels il est désormais possible de prendre en compte les périodes transitoires de la mise en contact progressif, et d’intégrer dans la condition aux limites d’interface la variation tout le long du contact de la contrainte normale d’interface. Les quelques simulations réalisées ont souligné l’importance sur les résultats du forgeage d’estimer correctement la résistance de contact. Dans la majeure partie des cas de forgeage, hormis les cas de forgeage isothermes, le flux généré à l’interface par déformations plastiques et frottement était très nettement inférieur au flux de chaleur transmis. Dans ce cas la détermination du facteur de génération de flux, α , ne s’avérait pas nécessaire.

Des validations des corrélations en présence de lubrifiant et pour des hauteurs de

vague plastique plus importantes ne sont possibles que dans un cadre plus général, à partir de mesures effectuées in situ sur des procédés instrumentés. L’instrumentation de tels procédés

CONCLUSION 203

étant une opération délicate et complexe de part les niveaux de pressions et de températures atteints, elle ne pouvait s’inscrire dans cette thèse. Néanmoins, l’ISITEM a réalisé des écrasements de tas plats instrumentés avec des outils de rugosités connues. Les résistances de contact obtenues expérimentalement pourront être comparées à celles calculées au moyen des corrélations dans POLLUX, en fonction des paramètres du forgeage et des propriétés des matériaux.

Des améliorations au travail présenté pourraient être : ⇒ de faire une étude plus approfondie sur le coefficient de génération de flux

permettant de proposer des corrélations pour ce paramètre. De même que pour la résistance de contact, ces corrélations pourraient être intégrées dans POLLUX et utilisées dans le cas de forgeages isothermes.

⇒ d’intégrer dans le modèle la présence de couches d’oxydes qui jouent un rôle

fondamental dans le transfert de chaleur à l’interface.

Toutefois, une amélioration des simulations passe avant tout par une amélioration de la connaissance des évolutions des propriétés thermophysiques des matériaux et des comportements d’éléments, tels que les lubrifiants et les oxydes, avec l’ensemble des paramètres du forgeage et avec la température. En effet, l’incertitude sur les corrélations due à l’incertitude sur l’ensemble des paramètres dont elle dépend varie entre 25 % et 60 %. Les données sur les lubrifiants sont encore quasi inexistantes et le comportement de certains d’entre eux (notamment ceux à base de verre) encore mal contrôlé. Enfin, à l’heure actuelle, même si quelques études apparaissent dans la littérature pour modéliser le comportement des couches d’oxydes, personne n’est en mesure de fournir les propriétés thermo-mécaniques de ces oxydes nécessaires aux simulations.

205

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ANNEXE 1 213

ANNEXE 1

CODE DE CALCUL POLLUX : BILAN THERMIQUE A L’INTERFACE OUTIL-LOPIN

1. Détermination de la RTC

Soient ni−1 , ni et, ni+1 trois noeuds surfaciques du lopin, et n j−1 , n j et n j+1 les noeuds en vis-à-vis de l’outil (Fig.1).

Les caractéristiques de la rugosité de l’outil (h et Vl) et de la vague plastique ( h1),

sont déterminées sur chaque segment d’interface (seg1 et seg2). Les conductivités thermiques, sur chacun de ces segments, sont calculées à partir de la moyenne des conductivités déterminées en chacun des noeuds en fonction de la température :

( )( )( ) ( )( )

λλ λ

11 1 1

12

segT n T nj j

=+−

(1)

( ) ( )( ) ( )( )λ

λ λ2

2 1 212

segT n T ni i

=+− (2)

Une fois la géométrie et les propriétés d’interface connues, il est possible de calculer

la RTC sur chaque segment de contact, à partir des corrélations proposées.

nj-1 nj nj+1

ni-1

outil

lopin

ni+1

seg1 seg2

ni

( )φ i i jn n−

( )12φg i jn n−

( )12φg i jn n−

Fig.1 : Bilan thermique à l’interface outil-lopin lors d’une simulation POLLUX.

ANNEXE 1 214

2. Détermination des flux de chaleur échangés

Les flux de chaleur à l’interface (en W) entre le noeud de l’outil, n j, et celui du lopin, ni , sont égaux à :

( ) ( )( ) ( )φi i j

i j

cor corn n

T n T n

R seg R seg( ) .− =

−

+2

1 2.S (3)

où la résistance de contact entre les noeuds n j et ni , est définie comme la moyenne

des résistances estimées sur les segments 1 et 2. Le flux φg , généré par frottement et déformation plastique au niveau de l’interface,

est donné par : φ τg V= . .S (4)

Le champ de température est déterminé en supposant que la moitié de ce flux est

générée sur la surface de l’outil et l’autre moitié sur la surface du lopin ; ce qui revient à prendre en considération un facteur de génération de flux α , égal à 0,5 (Fig.1).

ANNEXE 2 215

ANNEXE 2

CARACTERISATION DE LA RUGOSITE REELLE DE L’OUTIL

Les caractéristiques géométriques de surfaces en contact interviennent de façon prépondérante sur le comportement thermique de l’interface. La caractérisation de la rugosité réelle de l’outil est nécessaire de façon à déterminer la résistance thermique de contact. Deux paramètres physiques doivent être identifiés : l’angle et la hauteur de l’aspérité triangulaire équivalente. Deux approches sont possibles pour déterminer ces deux paramètres :

⇒ la première méthode de calcul est basée sur la ligne moyenne du profil redressé.

⇒ la seconde méthode est basée sur la ligne enveloppe supérieure.

Les éléments présentés dans cette annexe sont tirés des Technique de l’Ingénieur (Michel [R1230]) et du travail réalisé par Semian [1997] au cours de son DEA.

1. Paramètres d’état de surface (h et Vl) calculés par la ligne moyenne

Cette approche nécessite la définition de trois grandeurs : La longueur d’évaluation L correspond à la partie du profil mesurée utilisée pour le

calcul des paramètres. La longueur de base l correspond à la longueur d’évaluation utilisée pour

discriminer les différents ordres des états de surface. Soit L n= .l avec n un nombre entier. La ligne moyenne lm est la ligne de référence dont la forme est celle du profil

géométrique et qui divise le profil de telle sorte que, à l’intérieur de la longueur de base l , la somme des carrés des écarts à partir de cette ligne soit minimale. Elle correspond à la ligne centrale arithmétique sur chaque longueur de base.

L’ensemble de ces trois grandeurs est représenté sur la figure 1.

ANNEXE 2 216

Fig.1 : Longueur de base, longueur d’évaluation et ligne moyenne du profil.

Le paramètre utilisé pour la détermination de la hauteur équivalente du profil à aspérités triangulaires est l’écart moyen arithmétique Ra. Sur chaque longueur de base l , Raj représente la moyenne arithmétique des valeurs absolues des écarts du profil (Fig.2) :

( )Ra y x dxj = ∫1

0ll (1)

y

x

lm

( )Raj y x dx= ∫1

0l

l

l

0

Fig.2 : Ecart moyen arithmétique du profil.

Ra est alors définie sur la longueur dévaluation L par :

Ran

Ra jj

n= ∑

=

1

1 (2)

En complément du Ra, le pas moyen des irrégularités Sm permet de quantifier la

périodicité du profil. Sur chaque longueur de base, Smk est définie comme la distance entre deux points d’intersection de la ligne moyenne avec une irrégularité du profil (Fig.3).

ANNEXE 2 217

Sm1

Sm2

Smk

l

lm

y

x

Fig.3 : Pas moyen des irrégularités du profil. Sur la longueur de base l , Smj est définie par :

Smk

Smj ii

k= ∑

=

1

1 (3)

Sur la longueur dévaluation L, le pas moyen Sm est définie par :

Smn

Smjj

n= ∑

=

1

1 (4)

Les aspérités du profil de l’outil étant modélisées par des aspérités triangulaires, il est

nécessaire de relier les paramètres normalisés de rugosité aux caractéristiques de la géométrie équivalente (h, Vl) comme le montre la figure 4 :

h RaVl Sm

==4.

(5)

h/2

-h/2

h

Vl (pas du profil)

Ra=h/4

profil Projeté du profil

Fig.4 : Géométrie équivalente de la rugosité de l’outil.

ANNEXE 2 218

2. Paramètres d’état de surface (h et Vl) calculés à partir de la ligne enveloppe supérieure

Cette méthode, beaucoup moins fréquente, est essentiellement employée dans l’industrie automobile française. Elle se base sur la définition du motif local du profil qui correspond à la portion de profil comprise entre les points les plus hauts de deux sommets locaux du profil (Fig.5). Un motif est caractérisé par sa période ARj et par ses profondeurs Rj et Rj+1. La profondeur moyenne des rugosités R, pour n motifs locaux sur la longueur d’évaluation L, est définie avec deux fois plus de profondeurs Rj que de périodes de Arj. n motifs consécutifs sur la longueur d’évaluation L , correspondent à n valeurs de ARj et à m=2n valeurs de Rj :

Rm

R jj

m= ∑

=

1

1 (6)

ARn

ARii

n= ∑

=

1

1 (7)

Dans ce cas, le lien entre ces paramètres de rugosité et le profil triangulaire équivalent

est donné par : h RVl AR

==

(8)

R1

R2

AR1

R3

Ri

Ri+

1

AR(i+1)/2

Rm

-1 Rm

ARm/2

Fig.5 : Motif local du profil : définition de la longueur AR et de la profondeur R du motif.

Des fonctions périodiques, autres que celles triangulaires, auraient pu être choisies

pour approcher le profil réel de l’outil. Semian [1997] a montré que, pour de faibles profondeurs moyennes, et des pas de valeurs supérieures d’un ordre de grandeur à la profondeur moyenne, quelle que soit la fonction périodique choisie (sinusoïdale, triangulaire, etc.), les surfaces formées entre les aspérités de l’outil ne diffèrent qu’au second ordre. Or, le modèle de la vague plastique est sensible à la surface occupée par la matière du lopin dans les aspérités de l’outil.

La quantification de la rugosité d’un outil de forgeage afin de déterminer les

caractéristiques thermiques d’interface, peut représenter une opération délicate. En effet,

ANNEXE 2 219

d’une part les rugosimètres standards ne fournissent en général qu’un seul des paramètres géométriques indispensables, d’autre part les outillages sont de tailles trop importantes et travaillent dans des conditions de température telles que l’accès aux laboratoires de métrologie leur est interdit. Ces considérations pratiques ont conduit, le Laboratoire de Mécanique des Solides (LMSo) de l’INSA de Lyon à proposer une technique de réplique afin de déterminer les rugosités initiales des outillages ainsi que leurs évolutions dans le temps avec le rodage et l’usure. Cette technique de réplique utilise une matière thermo-formable. Une fois cette empreinte réalisée, une analyse en laboratoire au moyen de profilomètres laser (UBM) ou de rugosimètres mécaniques est possible.

ANNEXE 3 221

ANNEXE 3

DETERMINATION DES FLUX NETS RADIATIFS ECHANGES ENTRE LES FACES DE L’ASPERITE

Lorsque deux matériaux sont en contact, la taille des aspérités est suffisamment faible (de l’ordre du micron) pour que l’on puisse négliger les phénomènes radiatifs qui s’y produisent (Snaith et al. [1986]). Toutefois, pour notre géométrie, une analyse simple permet de déterminer les flux net radiatifs échangés entre les différentes faces de l’aspérité et de les comparer aux flux conductifs échangés.

1. Modélisation radiative de l’aspérité

Dans cette modélisation, la hauteur de la vague plastique est supposée nulle ; de ce fait, le volume de l’aspérité correspond à un triangle de hauteur h et de base Vl (Fig.1).

E1J1

E2

J2

E3

J3

q3 q2q1

S1,T1, ε1

S2,T2, ε2S3,T3,ε3

A=5°

h=3 µm

S2=S3

T2=T3

ε1=ε2=ε3=0.9 Fig.1 : Modélisation radiative de l’aspérité.

L’estimation des flux nets radiatifs est faite pour des dimensions d’aspérité de 3 µm

pour h et pour un angle d’aspérité A de 5°. Ce type de dimensions correspond aux ordres de grandeur obtenus à partir de mesures d’état de surface d’outils de forge.

ANNEXE 3 222

Le flux net radiatif échangé entre S1 et les autres faces de l’enceinte, noté q1 correspond au bilan entre la puissance émise par S1 et celle absorbée par S1 en provenance de S2 et S3 .

2. Hypothèses de calcul

Afin d’effectuer les bilans des puissances nettes échangées, plusieurs hypothèses ont été faites :

le milieu, parfaitement transparent, est non absorbant et non émissif, il ne participe donc pas aux échanges radiatifs ;

les surfaces S1 , S2 et S3 considérées, sont supposées opaques, grises (propriétés indépendantes de la longueur d’onde) et diffusantes. Leur émissivité est égale à 0,9 ;

chaque surface est isotherme. Par conséquent, de part la symétrie du modèle, les températures de S2 et S3 sont identiques.

3. Calcul des facteurs de forme, de la radiosité et du flux net

Un facteur de forme Fij est un nombre sans dimension représentant la fraction du flux hémisphérique de la surface Si qui atteint Sj. Dans le cas d’une aspérité triangulaire Fij est donné par (Dewitt et Incropera [1996]) :

FS S S

Siji j k

i=

+ −

2 (1)

On obtient ainsi , pour la géométrie étudiée (Fig.1) : F F12 13 0 5= = ,

( )F F31 21 5= = °cos ( )F23 1 5= − °cos

La radiosité Ji correspond au flux total émis par la surface Si :

( )J T F Ji i i i ijj

j= + − ∑=

ε σ ε41

31 (2)

On obtient donc un système de deux équations à deux inconnues, J1 et J2 ( J3 étant

égale à J2 ). On peut ainsi déterminer les radiosités en fonction des températures des surfaces et des facteurs de forme.

ANNEXE 3 223

Le flux net radiatif qi (en Watt) est donné par :

( )q S J Ei i i i= − (3)

où Ei représente le flux d’énergie radiative (W/m²) reçu par Si des autres surfaces :

E F Ji ijj

j= ∑=1

2 (4)

En remplaçant Ei dans l’équation (3), on obtient :

( )q S F J Ji i ijj

i j= ∑ −=1

2 (5)

4. Résultats obtenus

Le gradient thermique à l’interface outil-lopin lors des procédés de mise en forme excède très rarement 50 K. Or dans ce cas, d’après la figure 2, qui représente le flux net radiatif q S1 1/ en fonction de la température de la surface S2 , T2 , pour différentes températures T1, on peut observer que la densité de flux net radiatif ne dépasse pas les 15 kW/m². Le flux de chaleur conductif, dû aux transferts de chaleur par conduction entre un lopin ‘’chaud’’ et un outil ‘’froid’’, étant de l’ordre de 400 kW/m², le transfert de chaleur par rayonnement dans le volume de l’aspérité peut être négligé.

500 600 700 800 900Température T

2 (°C)

0

5

10

15

20

25

30

flux

net r

adia

tif q

1/ S1 (k

W/m

)

T1 =600°C

T1 =700°C

T1 =800°C

T1 =900°C

Fig.2 : Flux net radiatif q1 /S1 (kW/m²) en fonction de la température de S2 , T2 , pour différentes températures T1 de la surface S1 .

ANNEXE 4 225

ANNEXE 4

DETERMINATION DES TEMPERATURES ET DES FLUX SURFACIQUES AU MOYEN D’UNE METHODE INVERSE DE

CONDUCTION DE LA CHALEUR

Le principe des méthodes inverses de conduction de la chaleur, consiste à mesurer la température en deux points à l’intérieur du solide et à déterminer, à partir de ces données, les conditions aux limites inconnues ainsi que le champ de température interne. Ces méthodes sont particulièrement utiles dans le cas où l’instrumentation directe des parois est impossible (paroi non accessible, contraintes environnementales trop fortes, etc.), ou, comme c’est le cas ici, lorsque la présence d’un capteur peut entraîner une perturbation du phénomène à mesurer.

Dans le cadre de l’étude expérimentale présentée dans le chapitre IV, une méthode

inverse de conduction de la chaleur est employée afin de déterminer la température et le flux surfaciques à l’interface de contact de chacun des deux échantillons en cuivre (Fig.I).

Flux de chaleur unidirectionnel

Tc1(t) , ϕ1(t)

Tc2(t) , ϕ2(t)? Mesures de températures

E1

E2

E3

E4

Fig.1 : Problème inverse de conduction de la chaleur appliqué à la procédure expérimentale de détermination de la résistance thermique de contact.

1. Positionnement des thermocouples

Les températures sont mesurées en deux points du solide (respectivement E1, E2 ou E3 , E4 ). Le positionnement du thermocouple le plus proche de la surface est critique vu

ANNEXE 4 226

qu’il conditionne, conjointement au pas de temps, la faisabilité de l’inversion. Le pas de temps caractéristique de l’inversion est donné par :

∆∆

ta tEi =

12 (1)

avec a(m²/s) diffusivité thermique du matériau, ∆t (s) pas de temps de la discrétisation temporelle, E1(m) distance entre la surface et le thermocouple le plus proche de celle-ci.

La faisabilité de l’inversion dépend de ce pas de temps. Si ∆ti ≥ 5.10-2 alors la

résolution du problème inverse de conduction de la chaleur ne pose aucun problème. Dans notre cas, la diffusivité du cuivre est de 110 10-6 m²/s et si le pas de temps est de 500 ms, le critère est vérifié si le premier thermocouple est placé à une distance inférieure à 33,1 mm de l’interface.

Différentes méthodes inverses de conduction de la chaleur ont été développées ces

dernières années. La première méthode proposée a été la méthode de spécification de fonctions (Beck [1968]). Cette méthode est couramment employée pour déterminer la résistance thermique de contact à l’interface de deux matériaux en contact glissant (Chantrenne et Raynaud [1996]) ou lors de procédés de mise en forme (Chapitre I.3.3). On peut noter, dans ce cas, les travaux de Goizet et al. [1998] qui ont utilisé cette méthode pour déterminer la température et le flux surfaciques de l’outil à partir des données de quatre thermocouples. N’ayant pas été retenue pour ce travail, cette méthode de spécification de fonctions ne sera pas explicitée ici. Néanmoins de plus amples détails pourront être trouvés dans Raynaud [1997]. La méthode retenue, qui est nettement plus rapide et aussi précise, est la méthode de retour vers la surface (Raynaud et Bransier [1986]).

2. Méthode de retour vers la surface

Cette méthode est une approche de type différences finies : le solide est découpé en N-1 tranches d’épaisseur ∆xd dans la région directe et ∆xi dans la région inverse, ce qui correspond à N noeuds de discrétisation (fig.2). A l’exception des deux noeuds frontières, les noeuds sont au centre des tranches. On note i1, le numéro du noeud du premier thermocouple ( E1) et i2 le numéro du second thermocouple ( E2 ).

ANNEXE 4 227

? 1 ii1 i2

Région inverse Région directe

Mesures de température

∆xi ∆xd

x

Fig.2 : Méthode de retour vers la surface. La mise en œuvre de cette méthode se décompose en trois étapes.

2.1. Résolution du problème direct

Le champ de température entre les deux thermocouples E1 et E2 est calculé par résolution du problème direct de conduction de la chaleur. Le schéma implicite pur a été retenu. Sa molécule de calcul est représentée sur la figure (3).A chaque pas de temps les températures sont calculées dans tout le domaine.

Temps

nn+1

Espace

ii-1 i+1

Sens du calcul

i1 i2

Température connue (mesurée par les thermocouples)Température connue (initiale)

Température connue

Température inconnue

Fig.3 : Calcul des température dans la zone directe : molécule de calcul implicite pur. 2.2. Résolution du problème inverse

L’équation de diffusion de la chaleur est discrétisée afin d’obtenir une relation explicite permettant de calculer les températures inconnues à partir des températures connues. On note ( )( )T T i x n ti

n = − 1 ∆ ∆, la température au noeud de discrétisation i et à l’instant n∆t .

ANNEXE 4 228

La molécule de calcul retenue a été proposée par Raynaud et Bransier [1986] (Fig.4). Contrairement au modèle direct où l’on calcule à chaque pas de temps la température dans tout le domaine, on détermine ici à chaque pas d’espace les températures pour tous les pas de temps. La relation correspond à la molécule de calcul est obtenue en utilisant les différences centrées au niveau de la discrétisation de l’équation de la chaleur, et en approximant la densité de flux, à la surface i+1/2 et à l’instant n par sa moyenne arithmétique aux instants n-1 et n+1. Dans le cas où les propriétés de matériaux sont constantes dans la gamme de températures considérées (ce qui est notre cas), on obtient pour un noeud (i-1) quelconque :

( )TM

T TM

T T Tin

in

in

in

in

in

−− +

+−

++= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +11 1

11

111

21

1 12

11 1

2 (2)

avec Ma txi

=∆

∆ 2 (3)

Une relation prenant en compte les deux pas d’espace ∆xd et ∆xi doit être utilisée à

la place de l’équation (2) pour le premier pas vers la surface. On a alors :

( )T Tx

Cx x T T

txx

T T T Tin

in i i d i

nin

i

din

in

in

in

−

+ −

++

+− + −= +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥− + − −1

1 1

11

11 1 1

2 212

∆ ∆ ∆∆

∆∆λ

ρ (4)

nn+1

Espace

ii-1 i+1

Sens du calcul

i1

Tempsn-1

Régioninverse

Régiondirecte

Température connue (mesurée par les thermocouples)Température connue (initiale)

Température connue (problème direct)

Température inconnue

1 1i2

Fig.4 : Calcul des températures dans la région inverse, Molécule de calcul de Raynaud et Bransier [1986].

La stabilité de la méthode est fonction du nombre de pas d’espace ∆xi dans la région inverse. Comme le montre l’équation (2), il faut que le module de Fourier M soit supérieur à 1 pour que tous les coefficients de la suite soient positifs. En pratique une valeur de deux est recommandée. Plus ce module est grand, plus l’algorithme est stable. On peut ainsi déterminer le pas d’espace ∆xi qui doit être utilisé pour satisfaire ce critère. De plus les équations (1) et (3) soulignent l’influence du pas de temps sur l’inversion. S’il est trop petit

ANNEXE 4 229

cela peut engendrer des problèmes de stabilité ou de faisabilité. S’il est trop grand, il est impossible de représenter convenablement les variations rapides de la température ou du flux surfaciques. 2.3. Calcul de la densité de flux surfacique inconnue

Le flux surfacique est obtenu par un bilan d’énergie effectué sur la première demi-maille. Le pas d’espace étant constant entre chaque noeud de discrétisation, la largeur de cette maille est égale à ∆xi 2 :

ϕ ρ λsurfn i

n n n nC

x T Tt

T Tx

=−

+−−∆

∆ ∆21 1

11 2 (5)

2.4. Organigramme du programme de résolution du problème inverse

L’organigramme du programme qui permet de calculer la température et le flux surfaciques, avec la méthode de retour vers la surface, est donné sur la figure (5). La procédure de calcul est conçue pour minimiser l’espace mémoire nécessaire au déroulement du programme.

3. Conclusion

Les méthodes inverses sont à ce jour très employées dans de nombreux domaines (thermique, régulation, etc.). Elles sont intéressantes car il n’est pas nécessaire d’instrumenter les surfaces en contact pour déterminer les températures et les flux d’interface. Or dans notre cas, au niveau du dispositif expérimental de mesure de la résistance thermique de contact, il est impossible d’instrumenter la face ‘’miroir’’ et la face usinée sans endommager les surfaces.

ANNEXE 4 230

Calcul au pas de temps k

Décalage des températures d’un pas de temps : Tij=Ti j+1 pour

Lecture des températures Ti1i1+1 et Ti2 i1+1

i i j i≤ ≤ ≤2 1 1 et

Calcul au premier pas de temps

lecture des températures fournies par les thermocouples : Ti1n et

Ti2n pour n variant de 2 à i1+1

Calcul dans la région directe de Tjn pour : n=2,n+1

i j i1 2≤ ≤

Initialisation des températures : Ti1=Ti1

1, i=1 à n

Calcul dans la région directe de Tji1+1 pour i1<j<i2 (résolution pour un pas de temps)

Calcul dans la région inverse en remontant le temps (le long de la diagonale) de :Tp

q avec et q=p+11 1 1≤ ≤ −p i

Détermination du flux surfacique : ϕ1k=f(T1

k,T2k,T1

k-1)

FIN

k=k+1

Temps

Sens du calcul

Ti1-1 j , j=2, i1 ...

Ti1-4 j , j=2, i1-3 ...

T12

calcul dans la région inverse :

n

Espace

i i+1i-1 i1 i2

n+1

n-1

Régioninverse

Régiondirecte

11

T12

Détermination du flux surfacique : ϕ12=f(T1

2,T22,T1

1)

Fig.5 : Organigramme du programme de détermination de la température et du flux surfaciques au moyen de la méthode inverse de retour vers la surface.

ANNEXE 5 231

ANNEXE 5

RESULTATS DE LA SIMULATION DE L’EVOLUTION DE LA GEOMETRIE DE CONTACT EXPERIMENTALE AU

MOYEN DU LOGICIEL ABAQUS - CAS DES ASPERITES DE HAUTEUR 400 µm

Les graphiques présentés correspondent à des résultats de simulations sur ABAQUS et représentent l’évolution de l’interface géométrique de contact en fonction de la charge dans le cas des aspérités de hauteur 400 µm et de période 2,198 mm. Deux longueurs initiales de contact ont été testées. Dans les deux cas, la pression maximale d’interface est de 5,5 MPa. 1. Longueur initiale de contact de 6 µm

(a) : P=5,5 MPa (b) : déchargement

2. Longueur initiale de contact de 14 µm

(a): P=5,5 MPa (b) : déchargement

Lini=

LiniL=8

L=7L 8

L=8

ANNEXE 6 233

ANNEXE 6

ETUDE DE LA RESISTANCE DE CONSTRICTION DANS DES SOLIDES DE GEOMETRIES DIFFERENTES

L’objectif de l’étude présentée dans cette annexe est d’évaluer la validité des différentes corrélations présentées dans le chapitre I pour estimer la résistance de constriction dans des solides à géométries planes ou axisymétriques. Cette étude est réalisée pour deux géométries particulières représentatives de notre problème. La détermination théorique des RTC passe par la modélisation du contact. Les géométries de contact étudiées sont représentées sur la figure (1). De par la périodicité de la géométrie, seul un tube de flux est considéré.

P2

P1

π o

E

Tp=cteTp=cte

R c 2Rc1

A

(a) (b)

Fig.1 : (a) : géométries de contact conique ou triangulaire.

(b) : contact localisé circulaire ou bande. En considérant le plan P2 hors de la zone perturbée (donc isotherme) et le plan de

l’interface de contact πo , la résistance de constriction est définie par :

R RE

c P o= −2π λ (1)

où λ est la conductivité du matériau.

RP o2π est calculée à partir de la différence entre les températures moyennes aux plans P2 et πo :

RT T

PP

oo

22

ππ

ϕ=

− (2)

ANNEXE 6 234

L’équation (1) permet donc de déterminer numériquement la résistance de constriction

correspondant au tube de flux.

1. Détermination numérique de la résistance de constriction

Le champ de température, dans le cas d’une géométrie plane ou axisymétrique, est calculé en régime permanent au moyen d’un logiciel éléments finis IFEC (Inverse Finite Element Conduction) développé au CETHIL ou grâce à MATLAB (toolbox ‘’Partial Differential Equation’’) en considérant les conditions aux limites et les dimensions d’aspérités représentées sur la figure 2.

Tp=0°C

ϕ = 106 W/ ²m

Vl

h

E=4 mm

lc

λ = 376 W/ .mKDimensions : * Vl=2,198 mm et h=400ou * Vl=1,099 mm et h=200 µ m

µ m

ϕ = 106 W / ²m

λ = 376 W/ .mK

Vl

Tp=0°C

lc

(a) : géométrie 1 (b) : géométrie 2

Fig.2 : Détermination de la résistance de constriction en géométries planes ou axisymétriques au moyen d’un logiciel éléments finis. Dimensions caractéristiques et

conditions aux limites imposées.

La valeur de E a été choisie afin que la surface supérieure soit en dehors de la zone perturbée par la constriction des lignes de flux. Pour la géométrie axisymétrique, les valeurs de lc, pour les dimensions d’aspérité retenues, ont été choisies égales respectivement à 95,8 µm et 47,9 µm. Cela correspond donc à un rapport homothétique de deux entre les deux géométries coniques, qui doit se retrouver dans le rapport des résistances de constriction si le champ de température est correctement calculé. Pour la géométrie plane, la longueur de contact retenue est égale à 14,07 µm. Ces dimensions d’aspérités correspondent à des valeurs mesurées expérimentalement au cours des essais réalisés avec les géométries pyramidales ou triangulaires. N’importe quelle autre dimension aurait pu être choisie pour cette étude. Dans tous les cas, le maillage a été raffiné jusqu'à ce que les résistances de constriction entre deux raffinages consécutifs ne varient pas plus de 0,5 %.

Les types de champ de température obtenus dans le cas des deux géométries planes

sont représentés sur la figure (3). La figure (3.a) montre que, pour les aspérités triangulaires, le plan P1 ne correspond pas à une isotherme. Par conséquent, la décomposition de la résistance de constriction en deux résistances en série : l’une correspondant à la contribution

ANNEXE 6 235

de l’aspérité, l’autre correspondant au phénomène de constriction dans la partie supérieure du solide, n’est pas justifiée.

Les valeurs de la résistance de constriction Rc1 (géométrie 1) déterminées

numériquement seront notées Rnum1 ; et celles de Rc2 (géométrie 2) seront notées Rnum2 . Ces valeurs seront supposées être exactes.

(a) : géométrie 1 (b) : géométrie 2 Fig.3 : Champs de température obtenus au moyen d’une méthode aux éléments finis, pour les géométries 1 et 2 ; la longueur de contact est de 14,07 µm et la hauteur de l’aspérité de 400

µm ; représentation des isothermes. 2. Comparaison des valeurs numériques avec des relations analytiques proposées dans la littérature 2.1. Cas des aspérités coniques ou triangulaires

Les valeurs de Rnum1 sont comparées : ⇒ aux valeurs de Rc1 déterminées par les corrélations de Wong (Eqs (I.20) et

(I.21)) ;

⇒ aux valeurs de Rc2 correspondant à la résistance de constriction dans un solide dont la géométrie est représentée sur la figure (1.b). Pour la géométrie plane, les valeurs de Rc2 sont déterminées à partir des corrélations proposées par Laraqi (Eq.I.15) ou Chantrenne et Raynaud (Eq.I.16). Pour la géométrie axisymétrique, Rc2 est estimée à partir des relations analytiques développées par Roess (Eq.I.9)

Vl=2,198 mm

P2

P1 π0

H= 4 mm

400 µm

ANNEXE 6 236

ou Cooper (Eq.I.10). Dans les deux cas, la valeur de Rc2 affichée correspond à la moyenne des valeurs obtenues à partir des différentes corrélations.

Les valeurs de Rnum1, Rc1 et Rc2 sont consignées dans le tableau 1. La corrélation

de Wong, dans le cas des géométries planes, donne des valeurs de la résistance de constriction sur estimées d’environ 15 %. Pour des géométries 3D au contraire, ces valeurs sont sous estimées d’environ 20 %. Même si les relations analytiques de Wong ne permettent pas de déterminer avec précision Rc1 , elles fournissent un ordre de grandeur correct de cette dernière.

Toutefois, en considérant des périodes et des longueurs de contact identiques, les

corrélations proposées pour estimer la résistance de constriction dans un solide ne comportant pas d’aspérité (fig.1.b), donnent des valeurs comparables aux valeurs numériques obtenues pour des géométries coniques ou triangulaires (écart d’environ 17,5 %). La détermination de Rc1 , en utilisant les corrélations proposées pour Rc2 , revient à sous estimer cette résistance. Cette comparaison ne peut évidemment pas être généralisée, car l’écart dépend de l’angle d’inclinaison A des aspérités. Plus cet angle sera faible, plus la comparaison sera satisfaisante.

h ( µm )

Vl (mm)

lc ( µm )

Rnum1 (m².K/W)

Rc1 (Wong)

(m².K/W)

Rc2 (m².K/W)

R RR

num c

num

1 1

1

−

(%)

R RR

num c

num

1 2

1

−

(%) 2D 400 2,198 14,07 1,05 10-5 1,21 10-5 8,58 10-6 -15 % 18 %

3D 400 2,198 95,8 5,92 10-5 4,65 10-5 4,93 10-5 21 % 17 %

Tab.1 : Valeurs de Rnum1 , Rc2 et Rc1 pour les géométries planes ou axisymétriques étudiées.

Nous connaissons désormais les erreurs faites en utilisant les corrélations proposées

par Wong [1968] pour calculer la résistance de constriction dans les solides à aspérités coniques ou triangulaires. Il est tout aussi important d’évaluer ces erreurs lors de la détermination de Rc2 au moyen des relations analytiques proposées par Laraqi (Eq.I.15) et Chantrenne et Raynaud (Eq.I.16), pour les géométries planes, et par Roess (Eq.I.9) ou Cooper (Eq.I.10) pour les géométries axisymétriques.

2.2. Cas du contact circulaire ou plan

Les dimensions du contact retenues sont les mêmes en géométrie plane ou axisymétrique. Les résultats sont consignés dans le tableau (2). Dans les deux cas, la valeur de Rc2 affichée correspond à la moyenne des valeurs obtenues à partir des différentes corrélations.

L’écart, d’environ 5-6 %, entre les valeurs numériques et analytiques de Rc2 est

beaucoup plus faible que pour les valeurs de Rc1 . En géométrie plane, la corrélation proposée par Laraqi [1997] (Eq.I.15) a été obtenue analytiquement en considérant une condition de flux

ANNEXE 6 237

imposé sur la zone de contact. Les modèles numérique et analytiques n’étant pas tout à fait identiques l’écart entre les résistances de constriction analytiques et numériques est de 8,5 %. Cet écart passe à 3,4 % en utilisant les corrélations de Chantrenne et Raynaud [1997] (Eq.I.16) obtenues à partir d’une modélisation numérique. Géométrie h

( µm ) Vl

(mm) lc

( µm ) Rnum2

(m².K/W) Rc2

(m².K/W) R R

Rnum c

num

2 2

2

−(%)

2D 400 2,198 14,07 8,09 10 6− 8,58 10-6 5,7

3D 400 2,198 14,07 3,34 10 4− 3,55 10 4− 6,3

Tab.2 : Valeurs de Rnum2 et Rc2 pour les géométries plane ou axisymétrique étudiées.

3. Conclusion

Afin de vérifier la validité des corrélations proposées pour déterminer la résistance de constriction dans des solides à aspérités triangulaires ou coniques, cette dernière a été calculée numériquement à partir du champ de température dans le solide déterminé au moyen de logiciels éléments finis. L’écart entre les valeurs corrélées et les valeurs numériques, supposées exactes, est d’environ 17 %. Par conséquent même si les corrélations proposées par Wong ((Eqs (I.20) et (I.21)) ne permettent pas de déterminer avec précision la résistance de constriction, elles fournissent un ordre de grandeur satisfaisant de cette dernière.

Pour les géométries triangulaires ou coniques considérées, il est possible, en première

approximation, de négliger la présence d’aspérités pour déterminer la résistance de constriction. Cette remarque ne peut pas être généralisée et dépend de l’angle d’inclinaison des aspérités. Plus cet angle sera grand, moins cette approximation sera satisfaisante.

La comparaison des relations analytiques proposées, pour calculer la résistance de constriction pour des géométries à contact circulaire ou bande dépourvues d’aspérités, avec les valeurs numériques est beaucoup plus satisfaisante : l’écart est d’environ 5 % et est dû aux approximations faites pour déterminer les fonctions de constriction.

Les erreurs introduites en utilisant l’une ou l’autre des corrélations sont nettement inférieures aux incertitudes engendrées par la méconnaissance des propriétés thermophysiques ou de la géométrie réelle de contact.

ANNEXE 7 239

ANNEXE 7

CARACTERISTIQUES THERMO-MECANIQUES DE L'INCONEL 718 ET DU TA6V

Les données présentées ont été fournies par FORTECH.

1. La conductivité thermique

0 200 400 600 800 1000

Température (°C)

68

10121416182022242628

Con

duct

ivit

s the

rmiq

ues

(W/m

.K)

INC718 : λ=3.10-7T2+0,0161.T+10,478

TA6V : λ=0,012.T+6,67

2. La capacité calorifique

0 200 400 600 800 1000

Température (°C)

450

500

550

600

Cap

acit

cal

orifi

que

(J/K

g.K

)

Cp=3.10-5T2+0,159.T+457,33INCONEL 718

ANNEXE 7 240

0 200 400 600 800 1000Température (°C)

700

800

900

1000

Cap

acit

cal

orifi

que

(J/K

g.K

)

Cp=0,22.T+694TA6V

3. La masse volumique

0 200 400 600 800 1000Température (°C)

8180

8190

8200

8210

Mas

se v

olum

ique

(Kg/

m3 )

ρ=6.10-7T2+0,0172.T+81188,3INCONEL 718

TA6V : ρ = 4410 3 Kg / m (valeur constante) 4. Loi de comportement du TA6V

σ ε ε β0 = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟K T

n m. .& .exp

où la contrainte d’écoulement σ0 est en MPa, et la température, T, en kelvin. Pour le TA6V les paramètres de cette équation sont :

K=0,473 MPa.sm

n=0 m=0,17 β = 5700

ANNEXE 7 241

5. Module de Young Inconel 718 : E=205 000 MPa à 20°C et 92 000 MPa à 980°C TA6V : E=108 000 MPa à 20°C

6. Coefficient de dilatation linéique du TA6V

T (°C) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

α .10-6 (°C-1) 9,2 9,4 9,7 10 10,2 10,2 10,2 10,5 10,9 11,3

FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON NOM : MARCHAND (NEE BOUTONNET) DATE DE SOUTENANCE : 8/12/98 Prénom : Anne-Sophie TITRE : ETUDE DE LA RESISTANCE THERMIQUE DE CONTACT A L’INTERFACE DE SOLIDES

DEFORMABLES EN FROTTEMENT : APPLICATION AUX PROCEDES DE FORGEAGE

NATURE : Doctorat NUMERO D’ORDRE : 98 ISAL 0113 Formation Doctorale : Thermique et Energétique COTE B.I.U-LYON : T50/210/19 / et bis CLASSE :

RESUME : L’objectif de ce travail était d’introduire dans les codes de calcul de mise en forme des

paramètres thermiques d’interface outil-lopin prenant en compte leur dépendance vis-à-vis de l’ensemble des paramètres thermo-physiques et rhéologiques.

L’étude numérique proposée, a été fondée sur un modèle microscopique du contact dans lequel, l’outil parfaitement rigide crée, par son déplacement, une vague plastique déformable à la surface du lopin. Elle a permis de déterminer des expressions analytiques de la Résistance Thermique de Contact (RTC) en fonction des paramètres géométriques du contact et des propriétés des matériaux et du lubrifiant.

Un dispositif expérimental a été mis en place pour valider les corrélations dans le cas de

contacts secs. Une validation supplémentaire a été réalisée en comparant les RTC issues des corrélations aux résultats obtenus à partir de modèles de contact existants.

Les corrélations ont été introduites dans le code de calcul de mise en forme POLLUX, qui

considérait jusqu'à présent une valeur constante et fixée a priori de la RTC. Il est désormais possible de prendre en compte une variation spatio-temporelle de ce paramètre. Des simulations ont permis de montrer l’influence de ces changements sur le comportement thermo-mécanique du lopin au cours de la mise en forme.

MOTS CLES : Résistance contact, Conductance thermique, Interface, Transfert chaleur, Conduction thermique, Modélisation, Mesure, Forgeage

Laboratoire de recherche : Centre de Thermique de Lyon (CETHIL) Bât 404, 20 Avenue Albert Einstein, 69621 Villeurbanne cedex.

Directeur de thèse : Pr. M. RAYNAUD

Président du Jury : Pr. A. DEGIOVANNI

Composition du jury : M. D. ARGENCE (examinateur), M. J.P. BARDON (rapporteur), M. J.C. BOYER (examinateur), M. A. DEGIOVANNI (examinateur), M. N. LARAQI (rapporteur), M. M. LAURENT (examinateur), M. M. RAYNAUD (Directeur de thèse).

Documents

L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYONtheses.insa-lyon.fr/publication/1998ISAL0113/these.pdf · 15 NOMENCLATURE a Diffusivité thermique m²/s A Angle d’aspérité