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Mécanique - Chapitre 3 Prof. Carmen Bucur

57

3. CENTRES DE GRAVITE (Centres de masse)

3.1 POIDS D'UN SYSTEME MATERIEL.

CENTRES DE GRAVITE.

CENTRES DE MASSE

Toutes particules d'un corps se trouvant près de la surface de la Terre est

soumise à l'action d'une force dirigée verticalement vers le bas et appelée force

de pesanteur (ou force de gravitation).

Pour les corps dont les dimensions sont très petites par rapport au rayon de la

Terre, on peut admettre que les forces de pesanteur des particules sont parallèles

et conservent une grandeur constante. Le champ de pesanteur dans lequel ces

conditions sont remplies est dit champ de pesanteur uniforme.

Soit un système discret de n points matériels iA , ayant les masses im et les

vecteurs de position ir par rapport à un repère fixe. Chaque point matériel est le

point d'application d'une force gmG ii (3.1)

où g est l’accélération gravitationnelle

La résultante de ces forces représente le poids du système matériel

gmG

n

1

i

(3.2)

La résultante G est appliquée dans le point C centre de forces

parallèles qui a le vecteur de position

n

1

i

n

1

ii

C

G

rG

r (3.3)

Ce point C est appelé le centre de gravité du système de points

matériels.

Le système des forces iG est un système de forces parallèles que nous avons

étudié dans le chapitre précédent. Il en résulte les expressions suivantes pour le

vecteur de position du centre de gravité:

- pour un système discret de points matériels, fig. 3.1.a: COPIAT

DE PE

SIT

E


58

n

1

i

n

1

ii

C

m

rm

r (3.4)

a. b.

Fig.3.1

- pour un système matériel qui est un milieu continu, fig.3.1.b:

domaine

domaineC

dm

dmr

r (3.5)

On observe que la position du centre de gravité C dépend de la

manière par laquelle les masses du système matériel sont

distribuées, motif pour lequel, le centre de gravité est appelé

aussi le centre de masse.

Si la position du système matériel est rapportée à un système de référence xOyz,

on peut écrire :

kzjyixr CCCC kzjyixr

et les relations vectorielles (3.4, 3.5) donnent les coordonnées du centre de

masse du système matériel:

n

1

i

n

1

ii

Cn

1

i

n

1

ii

Cn

1

i

n

1

ii

C

m

zm

z;

m

ym

y;

m

xm

x (3.6)

x

y

z

O

dm

(M)

C

rrC

dmgGd

x

y

z

O

mn

m1

mi

C

rirC

rn

r1 iG

COPIAT

DE PE

SIT

E


59

ou :

.dom

.domC

.dom

.domC

.dom

.domC

dm

dmz

z;dm

dmy

y;dm

dmx

x (3.7)

Les grandeurs n

1

ii

n

1

ii

n

1

ii zm,ym,xm s'appellent MOMENTS

STATIQUES du système par rapport aux plans yOz, xOz et xOy et n

1

ii rm

représente le MOMENT STATIQUE par rapport à un point.

Un moment statique par rapport à un plan peut être positif ou négatif.

Pour un solide parfait (milieu matériel continu et indéformable) :

- les moments statiques par rapport aux plans sont : .dom .dom.dom

dmz,dmy,dmx

et .dom

dmr est le moment statique par rapport à un point.

Les relations (3.4, 3.5, 3.6 et 3.7) peuvent être exprimées de la manière suivante:

C

n

1

iiC

n

1

iiC

n

1

iiC

n

1

ii zMzm;yMym;xMxm;rMrm (3.8.a)

.dom

C

.dom

CC

.dom

C

.dom

zMdmz;yMdmy;xMdmx;rMdmr (3.8.b)

On peut énoncer le THEOREME DES MOMENTS STATIQUES:

Le moment statique d'un système matériel par rapport à un

point ou à un plan est égal au produit entre la masse totale du

système et le vecteur qui lie ce point au centre de masse,

respectivement la distance (positive ou négative) du centre de

masse au plan.

On observe que si un corps a un plan de symétrie, fig. 3.2, le moment

statique par rapport à ce plan est égal à zéro et le centre de masse se trouve

dans ce plan de symétrie.

'AA mm

d'd COPIAT

DE PE

SIT

E


60

Fig.3.2

De même, si un corps a un axe de symétrie, le centre de masse du corps se

trouve sur cet axe de symétrie et si le corps a un centre de symétrie, son

centre de masse se trouve en ce centre de symétrie.

La réciproque est aussi valable: par rapport aux plans et aux axes qui

contiennent le centre de masse ou par rapport au centre de masse, les

moments statiques sont égaux à zéro.

3.2 CENTRE DE GRAVITE DES CORPS HOMOGENES

Pour un corps homogène, la masse spécifique (la masse de l’unité de volume,

de surface ou de longueur) est la même en chaque point du corps (=const.).

Dans ce cas, la position du centre de masse dépend seulement de la forme

géométrique du corps.

Les coordonnées du centre C deviennent :

- pour les barres homogènes,

dlAdV;dVdm , fig.3.3 :

Fig. 3.3

x

y

z

O

plan de

symétrie ( xOy )

d’ AA’ d

x

y

z

1

1

O

L

dl

r

A = ct.1–1

2n

1iii

2n

1iii

2n

1iii

2n

1iii

n

1iiixOy

0)d(mdm

'd'mdm

dmS

COPIAT

DE PE

SIT

E


61

(3.9)

- pour les plaques homogènes,

dAhdV;dVdm , fig.3.4 :

Fig. 3.4

(3.10)

- pour les blocs homogènes,

dVdm , fig.3.5 :

(3.11)

Fig. 3.5

x

y

z

O

AdA

r

h = ct.

V

dVz

z

;V

dVy

y

;V

dVx

dV

dVx

dV

dVx

x

VC

VC

V

V

V

V

VC

x

y

z

O

V

dVr

L

dlz

z;L

dly

y;L

dlx

dl

dlx

dlA

dlAx

x

l

0C

l

0C

l

0

l

0

l

0

l

0

l

0C

A

dAz

z

;A

dAy

y

;A

dAx

dA

dAx

dAh

dAhx

x

AC

AC

A

A

A

A

AC

COPIAT

DE PE

SIT

E


62

Si on peut décomposer un corps en un nombre fini de parties, fig.3.6, telles que

pour chacune d'elles la position du centre de gravité soit connue; on peut alors

calculer directement les coordonnées du centre de masse de tout le corps par les

formules suivantes:

(3.12)

Fig. 3.6

Pour les corps homogènes :

- système de barres homogènes

n

1

i

n

1

ii

Cn

1

i

n

1

ii

Cn

1

i

n

1

ii

C

l

zl

z;

l

yl

y;

l

xl

x (3.13)

- système de plaques homogènes

n

1

i

n

1

ii

Cn

1

i

n

1

ii

Cn

1

i

n

1

ii

C

A

zA

z;

A

yA

y;

A

xA

x (3.14)

- système de blocs homogènes

(Mn)

(M2)

(Mi)Cn C2

C1

CiC

x

y

z

O

ri

rC

n

1

i

n

1

ii

C

n

1

i

n

1

ii

C

n

1

i

n

1

ii

C

M

zM

z

;

M

yM

y

;

M

xM

x

COPIAT

DE PE

SIT

E


63

n

1

i

n

1

ii

Cn

1

i

n

1

ii

Cn

1

i

n

1

ii

C

V

zV

z;

V

yV

y;

V

xV

x (3.15)

Les relations (3.12, 3.13, 3.14, 3.15) supposent une distribution

discrète de masses, on doit concentrer les longueurs, les

surfaces et les volumes en des points qui sont les centres de

gravité des corps élémentaires.

Exemples pour des corps élémentaires

- la ligne droite - le rectangle

- le triangle droit

- triangle quelconque doit

être partager en deux

triangles droits

- le segment de cercle

l 2l 2

C

C

b 2 b 2

h 2

h 2

C

23

b b3

23

h

h3

C1 C2

O

d d lx

Ci

OC Rsin

O

2 x

R

C

cosRx

dRdl

0yC

COPIAT

DE PE

SIT

E


64

- le secteur de cercle

Cas particuliers pour le secteur du cercle

- le demi-cercle 2



- le quart de cercle 4



43R

O

C

43

2R

O

C

OC 23

Rsin

O

x

R

C

O

ddA

d l

x

Ci

sinR

3

2

2

)dR(R2

)dR(RcosR

3

2

dA

dAx

x

cosR3

2x;

2

)dR(RdA

dom

domC

R2OC RL

2R2

OC 2 /RL

sin

Rsin

RdR

dRcosR

dl

dlx

x

dom

domC

3

R4OC R

2A 2

23

R4OC 4/RA 2

COPIAT

DE PE

SIT

E


65

APPLICATION 3.1. :

Déterminer la position de centre de gravité de la ligne polygonale, fig. A.3.1.a,

et de la plaque homogène, fig. A.3.1.b, définie par les caractéristiques

mentionnées sur les figures

- la ligne

Fig. A.3.1.a

Solution:

4

a32

4

R2L1

2a6

4

45sina3

sinRCO

0

11

2

12a6a3

4sinCORx 111

2

12a6

4cosCOy 111

2

R2L2

aRx2

a2

2

90sinaCOy

0

222

223 a9aL

cos10a2

1a2x3 ;

10a

acos

sin10a2

1y3 ;

10a

a3sin

y

xa aa

2a

a

C3

C2

C1a

3a

10a

y

x

C1

x1

y1

O1

y

x

C2

x2

y2

O2

y

x

C3

2a

x3

y3COPIAT

DE PE

SIT

E


66

le tableau

- la plaque le système de référence la décomposition et les centres de gravité

Fig. A.3.1.a

Solution :

les calcules partielles

4

a9

4

RA

22

1

2a4

4

45sina3

3

2sinR

3

2CO

0

11

a4

a32

12a4a3

4sinCORx 111

Corps iL ix iy ii xL ii yL

I 4,17 a 1,089 a 1,911 a 5,13 a2

9,0 a2

II 3,14 a 1 a 0,637 a 3,14 a2

2,0 a2

III 3,16 a 2,5 a 1,5 a 7,90 a2

4,74 a2

11,01 a 16,17 a2

15,74 a2

y

x

C1

x1

y1O1

a3a

3a

a

a aa

2a

a

y

xa aa

2a

a C3C2

C1

y

x

C

1,47a

1,43aa43,1

a01,11

a74,15

L

yL

y2

n

1i

n

1ii

C

a47,1a01,11

a17,16

L

xL

x2

n

1i

n

1ii

C

COPIAT

DE PE

SIT

E


67

a4

2

12a4

4cosCOy 111

a5,1a3a2

1A3

a3

8a

3

2a2x3

aa33

1y3

le tableau

Corps iA ix iy ii xA ii yA

I 7,065 a2

1,726 a 1,274 a 12,194 a3

9,0 a3

II - 7,065 a2

1 a 0,425 a - 1,57 a3

- 0,667 a3

III - 1,5 a2

2,667 a 1 a - 4,0 a3

- 1,50 a3

3,995 a2

6,624 a3

6,833 a3

le résultat

a66,1a995,3

a62,6

A

xA

x2

3

n

1i

n

1ii

C

y

x

C2

x2

y2

O2

y

2a

x

C3

x3

y3

y

x

C

1,66a

1,71a

a71,1a995,3

a833,6

A

yA

y2

3

n

1i

n

1ii

C

aRx2

3

a4

2

90sina

3

2COy

0

222

2

RA

2

2

COPIAT

DE PE

SIT

E


68

APPLICATION 3.2. : Déterminer la position de centre de gravité de la plaque homogène, fig. A.3.2.

Fig. A.3.2

Solution :

Observation : la plaque a un axe de symétrie ; on choisit l’axe y comme cet axe,

donc 0xC

21 a8a4a2A

0x1

ay1

2

a4

2

RA

22

2

3

a8a2CORy 222

23 a2a4a

2

1A

a3

1y3

le tableau

Corps iA iy ii yA

I 8 a2 a 8 a3

II - 6,28 a2

1,151 a - 7,228 a3

III 2 a2

- 0,333 a - 0,667 a3

3,72 a2

0,105 a3

y

x

aa aa

a

a

a

C2

C1

C3

aa aa

a

a

a

2a

4a

2a a

4a

y

x

C1y1

y

x

C2

y2

O2

y

xC3y3

COPIAT

DE PE

SIT

E


69

a028,0a72,3

a105,0

A

yA

y2

3

n

1

i

n

1

ii

C

y

x

0,028aC

COPIAT

DE PE

SIT

E

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