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Chamoa_3D - JustificationsJanvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
Collection « Les Outils » 2/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
CHAMOA_3D - Justifications
CHaîne Algorithmique Modulaire Ouvrages d’Art
Calcul des ouvrages de type Pipo/ Picf/ Psida/ Psi dp
Collection « Les Outils » 3/41 24 janvier 2014
Document édité par le Céréma dans la collection « les outils ».
Cette collection regroupe les guides, logiciels, supports
pédagogique, catalogue, données documentaires et annuaires
Collection les outi ls
Chamoa_3D - Justifications
Collection « Les Outils » 4/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
La CHaîne Algorithmique Modulaire Ouvrages d’Art (Chamoa) a été développée sous le pilotage du
Céréma par :
Jean GUAL
Philippe LEVEQUE
Marie Aurélie CHANUT
Claude SIMON
Florent BACCHUS
Florent BOURHIS
Nicolas VIGNEAUD
Angel-Luis MILLAN
Gaël BONDONET
L'application est désignée sous le sigle "CHAMOA" pour Chaîne Algorithmique Modulaire de calcul des
Ouvrages d'Art. Ce nom et ce sigle ont été déposés à l'Institut National de la Propriété industrielle dans les
classes suivantes :
9 : logiciels (programmes enregistrés)
42 : programmation pour ordinateur.
Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle de cette documentation et/ou du logiciel, faite sans le
consentement du Ministère de l'Écologie, de l’Énergie, du Développement Durable et de l'Aménagement du
Territoire est illicite (loi du 11 mars 1957, alinéa 1er de l'article 40).
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Chamoa_3D - Justifications
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Chamoa_3D - Justifications
SOMMAIRE
SOMMAIRE..............................................................................................................................................3
Chapitre I - Introduction.............................................................................................................................4
Chapitre II - Calculs aux état limites sous sollicitations normales...........................................................6
Chapitre III - Calculs d'ouverture de fissure............................................................................................11
Chapitre IV - Calculs sous sollicitations tangentes.................................................................................13
Chapitre V - Dimensionnement des aciers passifs à la non fragilité .....................................................21
Chapitre VI - Calculs de non rupture fragile des aciers de précontrainte...............................................24
Chapitre VII - Calculs hors état limite : aciers longitudinaux et transversaux.........................................28
Chapitre VIII - Calculs hors état limite : aciers d’effort tranchant et de torsion.......................................31
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Chamoa_3D - Justifications
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Chamoa_3D - Justifications
Chapitre I - Introduction
L'objectif est d'expliciter les calculs mis en œuvre pour les justifications et les dimensionnements des
aciers passifs dans Chamoa_3D. Les justifications et dimensionnements sont conduits sur une
sélection plus ou moins fine des nœuds du maillage.
I.1 - Présentation des différents calculs
Pour chaque section d’étude, les vérifications et dimensionnements suivants sont réalisés :
• Calcul des aciers passifs longitudinaux et transversaux assurant la résistance de la section
sous sollicitations normales.
• Calcul des aciers passifs résistants sous les efforts tranchants et de torsion.
• Calcul des aciers nécessaires à la limitation des ouvertures de fissure.
• Calcul des aciers passifs nécessaires au respect du critère de non fragilité.
• Calcul des aciers passifs nécessaires pour vérifier le critère de non rupture fragile des aciers
de précontrainte.
• Vérification des dispositions constructives relatives aux aciers longitudinaux et transversaux.
• Vérification des dispositions constructives relatives aux aciers de tranchant et de torsion.
Chacune de ces vérifications est détaillée ci-dessous.
Remarque : La justification au poinçonnement n’est pas traitée par Chamoa_3D.
I.2 - Calculs effectués selon la forme de la sectio n
Dans le cas de vérifications sous sollicitations normales, les sections traitées présentent une forme
circulaire ou polygonale , rectangles inclus, alors que sous sollicitations tangentes, la forme se restreint
à circulaire ou rectangulaire.
Pour les sections circulaires, on suppose l'existence d'un seul lit de ferraillage désigné par le terme
extrados. Les sections rectangulaires possèdent, quant à elles, deux nappes d'aciers : extrados et
intrados. Par contre, dans le cas des sections polygonales, il existe potentiellement quatre lits de
ferraillage : extrados, intrados, intrados_membrure_gauche et intrados_membrure_droite.
Les aciers des sections circulaires et rectangulaires doivent tous satisfaire les différentes vérifications.
Par contre, concernant les sections strictement polygonales, tous les aciers ne sont pas soumis à
toutes les vérifications :
• Calcul de résistance : on raisonne sur la section réelle et on ne dimensionne/justifie que les
aciers des nappes extrados et intrados même si les valeurs des contraintes dans les aciers
situés en intrados_membrure_gauche et en intrados_membrure_droite peuvent être calculées.
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Chamoa_3D - Justifications
• Calcul d'ouverture de fissure réalisé pour toutes les nappes. Pour cela, on raisonne sur une
section en Té équivalente au sens où la surface et l'inertie sont conservées.
• Calcul de non fragilité des aciers passifs effectué sur la section en té équivalente et ne
concerne que les aciers positionnés en extrados et en intrados.
• Vérification de non rupture des aciers de précontrainte : seuls les aciers en intrados et en
extrados sont concernés et les calculs sont effectués sur la section réelle globale.
• Vérification des dispositions constructives réglementaires pour tous les aciers : extrados,
intrados, intrados_membrure_gauche, intrados_membrure_droite et on raisonne ici avec la
section en té équivalente.
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Chamoa_3D - Justifications
Chapitre II - Calculs aux état limites sous sollicitations normales
II.1 - Hypothèses de calcul
II.1.1 - Sollicitations
Dans Chamoa_3D, une sollicitation est décomposée en :
• Charges permanentes G concomitantes à la précontrainte,
• Sollicitations isostatiques de précontrainte.
• Sollicitations hyperstatiques de précontrainte Phyper, j ,
• Charges variables instantanées Q ,
On constate donc que la précontrainte isostatique n'est pas incluse dans les efforts mais est gérée par
l'intermédiaire des tensions des câbles de précontrainte.
A noter que si les câbles sont inclinés par rapport à la fibre moyenne d'un angle , il faut raisonner
avec une section d'armatures de précontrainte réduite Apcos au lieu de Ap et modifier le
calcul des efforts repris par les aciers de précontrainte lors des surcharges. En effet, si le béton se
déforme de b alors la déformation associée dans l'armature est bcos2 et c'est cette
déformation qui doit être utilisée pour calculer les contraintes dans l'armature de précontrainte et non
la déformation du béton adjacent.
II.1.2 - Etats de la structure considérés pour lesjustifications et les dimensionnements
Les dates d'étude considérées sont les suivantes :
• date de mise en tension 1 (section BP),
• date de mise en tension 2 (section BP),
• date de mise en service pour chantier (section BP),
• date de mise en service (section BP),
• date de mise en service au temps infinie (sections BA et BP).
Dans les cas où il existe un échelonnement dans la mise en tension des lits d'armatures de
précontrainte, on raisonne sur une charge permanente totale appliquée à un instant « moyen » du
phasage. En effet, considérer plusieurs dates de chargements permanents dans un même calcul
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Chamoa_3D - Justifications
pose le problème de la superposition d’états permanents en section fissurée avec prise en compte des
effets différés. Pour l'étude sous plusieurs chargements permanents, on effectuera donc des calculs
séparés avec pour chacun, une seule charge permanente cumulée, une force de précontrainte et une
date moyenne d'application.
II.1.3 - Module du béton
Les calculs aux Eurocodes dépendent de deux dates :
• l'âge t du béton lors de l'étude (qui correspond à la date où on applique les surcharges). On
utilise cet instant pour calculer f ck t , f cmt et Ecmt .
• l'âge t 0 du béton lors de l'application des charges permanentes. Cette date permet
notamment de calculer le coefficient de fluage ,ce qui permet de calculer
Ec , eff=Ecmt
1t ,t0.
Pour un calcul en section fissurée avec pondération de la loi de comportement du béton, on utilise le
module pondéré Ebt défini selon Ebt =Ecm t 1Ec ,eff t =1t , t0
1t , t0Ecmt
où le coefficient dépend du rapport entre charges permanentes appliquées à t 0 et surcharges
appliquées à t . Le module du béton serait Ec , eff t s'il n'y avait que des charges permanentes
et Ecmt s'il n'y avait que des charges variables. Le coefficient est fixé égal à 0.25
conformément à la valeur moyenne constatée sur la plupart des ouvrages concernés.
La variable t prend successivement toutes les valeurs précisées dans la liste des dates d'étude ci-
dessus. En particulier :
• pour t=t0 , on effectue un calcul court terme avec Ebt =Ecmt puisque le coefficient
de fluage est nul. On utilise donc le module instantané du béton.
• pour t=∞ , on effectue un calcul long terme avec Ebt =1∞ , t 0
1∞ , t0Ecm∞ .
Remarque : le module Ecmt se calcule à l'aide de f cmt :
• en mode dimensionnement : f cmt =es[128/t 1/2 ] f cm si t28 et f cmt = f cm
sinon.
• en mode vérification de pathologie, f cmt se calcule par la formule
f cmt =es[128/ t 1 /2] f cm.
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Chamoa_3D - Justifications
II.1.4 - Précontrainte
Dans Chamoa_3D, les câbles sont précontraints par post-tension. Une fois injectées, on tient compte
de leur adhérence imparfaite avec le béton en pondérant leur section par un coefficient =0,5 .
II.2 - Méthodes mises en oeuvre
II.2.1 - Calcul BA fissuré
Dans une section BA, l'état final est calculé directement à partir de l'état initial : l'équilibre est obtenu
sous les efforts totaux : charges permanentes plus surcharges. Le béton tendu est négligé et on prend
en compte la participation des aciers passifs à la résistance de la section. Le calcul est effectué avec
la loi instantanée du béton.
En résumé : 0inst
GQ
II.2.2 - Calcul BP
La logique du calcul aux Eurocodes de justification d'une section BP est la suivante : on effectue un
calcul non fissuré et si la fissuration se produit alors on procède à un second calcul fissuré si l’état
limite l’autorise.
Deux méthodes de calcul BP sont proposées :
➔ la méthode de la pondération de la loi : de la même façon cette méthode permet de réaliser le
calcul non fissuré puis en changeant de loi le calcul fissuré . C’est la méthode par défaut.
➔ la méthode de l'addition des états de contraintes pour le calcul non fissuré puis si requis, le
calcul fissuré avec la méthode du retour à l'état zéro.
Le tableau ci après résume les méthodes possibles qui sont ensuite détaillées.
ELS ELU
Calcul
Non Fissuré
Loi du béton : prise en compte du béton tendu mais
non fissuré. Deux solutions:
➔ Pondération de la loi,
➔ Addition des états de contrainte (loi
linéaire).
Cas non prévu.
Calcul
Fissuré (ELS
caractéristiqu
Loi du béton : non prise en compte du béton tendu. Deux solutions :
➔ Pondération de la loi,
➔ Retour à l’état zéro.
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Chamoa_3D - Justifications
e ou ELU)
II.2.3 - Calcul BP - Pondération de la loi
Ce calcul utilise une loi de comportement du béton intermédiaire entre la loi instantanée et la loi
différée : ces deux lois sont pondérées à l'aide d'un coefficient égal au rapport entre charges
permanentes et charges d'exploitation.
Alors un calcul direct de l'état final est conduit à partir de l'état permanent :
• L'état de contrainte déformations existant dans le béton et les aciers passifs à l'état permanent
résulte de la recherche de l'équilibre sous G : les armatures de précontrainte ne participent
pas à la reprise des efforts permanents dans le cas de la précontrainte étudiée: précontrainte
par post-tension.
• A partir de cet état, on recherche les variations de déformations et de contraintes dans le
béton, les aciers passifs et les armatures de précontrainte qui permettent d'équilibrer la
surcharge Q.
En résumé : 0 pond
G pond
GQ
II.2.4 - Calcul BP non fissuré - Superposition des états decontrainte
Dans ce calcul non fissuré, l'état final résulte de la superposition des deux états :
• Equilibre à long terme sous charges permanentes uniquement par calcul linéaire : La
résistance des aciers passifs peut être prise en compte ou non dans le calcul (section
homogénéisée ou nette). Les aciers de précontrainte ne participent pas à la reprise des
efforts, ils sont présents par leur tension initiale.
• Equilibre à court terme sous surcharges uniquement via un calcul linéaire : La résistance des
aciers passifs et de précontrainte est prise en compte.
En résumé : 0diff
G0inst
Q=0GQ
II.2.5 - Calcul BP fissuré - Méthode du retour à l 'état zéro
La méthode du retour à l'état zéro est la méthode de calcul des sections BP requise par le BPEL. Un
équilibre sous charges permanentes à l'aide de la loi différée du béton est conduit. A partir de cet état
permanent, une décompression linéaire et instantanée du béton et des aciers passifs est appliquée
avant de déterminer l'équilibre final sous charges totales de façon instantanée.
En résumé : 0diff
G decompression inst
0inst
GQ
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Chamoa_3D - Justifications
II.3 - Justification sous sollicitations normales
II.3.1 - Toutes les sections
Pour ces justifications de section sous effort normal, Chamoa3D utilise l’algorithme général d’équilibre
qui permet de déterminer l'équilibre de la section moyennant la définition de la géométrie, les lois de
comportement des matériaux qui la composent et les efforts sollicitants.
La vérification des contraintes limites réglementaires s'effectue lors du calcul d'équilibre puisque ces
limites sont intégrées aux lois de comportement des matériaux.
II.3.2 - Sections circulaires
Le calcul de justification des sections circulaires est spécifique car la répartition des aciers passifs sur
le lit de ferraillage influe sur le résultat.
Les N groupes d'aciers sont répartis uniformément sur le lit de ferraillage. Dans ce cas, il existe
une infinité de configurations à investiguer : l'ensemble des sections obtenues par rotation d'un angle
compris entre 0 et2N
. L'algorithme mis en place consiste donc à raisonner sur un
ensemble de Nconfig configurations et si l'ensemble des sections images d'une section référence
par la rotation d'angle 2N
iconfig
Nconfig
, iconfig=1..Nconfig est justifié alors la section est justifiée.
Pour l'implémentation de cet algorithme, une rotation du repère des sollicitations est effectuée plutôt
qu'une rotation de la géométrie dans un soucis de simplicité.
II.3.3 - Détails de l'implémentation d'une justificatio n BPfissuré avec la méthode de la pondération de la loi dubéton
• Une section est composée de plusieurs zones géométriques. Un matériau est associé à
chaque zone et définit ses lois de comportement. Plusieurs zones géométriques peuvent avoir
le même matériau si elles ont même loi de comportement. Notamment, pour les câbles de
précontrainte, il est nécessaire de créer une zone pour chaque acier mais tous ces aciers
suivent la même loi de comportement. On leur affecte donc le même matériau.
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Chamoa_3D - Justifications
• Tensions des câbles de précontrainte associées à la sollicitation : pour cela, les numéros de
zones d'acier à tendre ainsi que les valeurs de tension définie par la sollicitation sont
indiquées.
• Equilibre permanent - calcul d'équilibre BA : les aciers de précontrainte sont tendus à leur
valeur de mise en tension.
• Injection des câbles : si les câbles doivent être injectés : le câble est désormais lié à la matrice
de béton et ses variations de déformations sont égales à celles du béton adjacent. Pour
chaque zone de précontrainte, les coefficients modificatifs de loi sont mis en place , en
particulier, la déformation du béton adjacent sous sollicitations permanentes.
• Equilibre total : lors du calcul de l'équilibre de la section sous charges totales et de la
participation de chaque zone de précontrainte, les coefficients modificatifs de zone sont
utilisés et le calcul des contraintes est effectué avec la loi modifiée.
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Chamoa_3D - Justifications
Chapitre III - Calculs d'ouverture de fissure
Le calcul d'ouverture de fissure est effectué pour les sections de BA - nécessairement fissurées - et
pour les sections BP si la fissuration à l'ELS fréquent est acceptée, ce qui n’est pas le cas dans
Chamoa_3D. Il n'est réalisé que pour les sollicitations fréquentes.
La justification consiste à calculer l'ouverture de fissure sous les sollicitations et à vérifier que la valeur
déterminée est inférieure à la valeur maximale réglementaire.
Quant au dimensionnement des aciers passifs vis à vis de l'ouverture de fissure, il consiste en une
itération du calcul de justification en augmentant les sections d'aciers jusqu'à vérification du critère. La
section d'aciers passifs fournie est minimale car une procédure d'optimisation par dichotomie est mise
en place.
III.1 - Section rectangulaire
La méthode implémentée pour les sections rectangulaire est celle proposée dans l'Eurocode EN1992-
1-1 §7.3.4. L'ouverture de fissure se calcule de la façon suivante :
wmax=sr , maxsmcm où sr ,max est l'espacement maximal des fissures, sm déformation
moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée et cm
déformation moyenne du béton entre les fissures.
Avec :
• sr , max=min{k3c+k1k2k4ϕρ p, eff
1.3(hx)
au lieu de celle proposée par l’Eurocode :
• sr , max={k3c+k1k2 k4ϕρ p ,eff
si sadh<5(c+ϕ2)
1.3(hx) si sadh>5(c+ϕ2)
car de toute façon la valeur est bornée par le deuxième terme.
où
➢ sadh est l'espacement des aciers passifs
➢ désigne le diamètre des aciers passifs (même diamètre pour tous les aciers d'une
même section)
➢ c est l'enrobage des armatures passives longitudinales
➢ k1 vaut 0.8 (barres HA) ou 1.6 (armatures lisses)
Collection « Les Outils » 17/41 24 janvier 2014
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➢ k2 vaut 0.5 (flexion) ou 1 (traction pure).
➢ k3 vaut 3.4 (modifiable par l'AN)
➢ k4 vaut 0.425 (modifiable par l'AN)
➢ hx est la hauteur de la zone tendue
➢ p, eff=As1
2 A' p
Ac , eff
avec
• Ac , eff=b heff=b min2.5hd ,hx
3,h2
• As : surface des armatures de béton armé dans la zone de béton tendue.
• A' p : aire de la section des armatures de précontraintes incluses dans Ac , eff
• 1 : rapport de la capacité d'adhérence des armatures de précontrainte à la
capacité d'adhérence des armatures de béton armé corrigé du rapport de leur
diamètre : 1= s
p
, rapport des deux capacités d'adhérence (tableau
6.2 dans 6.8.2), s= diamètre de la plus grosse armature passive, p
diamètre équivalent de l'armature de précontrainte
• hd est la distance entre le centre de gravité des armatures passives et la fibre la
plus tendue.
• smcm=max skt
f ct , eff
p , eff1e p, eff
Es
,0.6 s
Es
où
➢ s contrainte dans les armatures de béton armé tendues en section fissurée
➢ e=E s
Ecm
, rapport des modules d'acier et de béton
➢ k t : facteur dépendant de la durée de la charge 0.6 : chargement de courte durée et
0.4 :chargement de longue durée.
III.2 - Section circulaire
On utilise dans le cas des sections circulaires un critère simplifié qui permet de calculer la valeur de
l'ouverture de fissure liée à la sollicitation selon :
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Chamoa_3D - Justifications
wmax=maxaciers passifs
1000
• wmax : ouverture de fissure en mm
• max : valeur absolue maximale de contrainte dans les aciers passifs sous la sollicitation
concernée en Mpa.
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Chapitre IV - Calculs sous sollicitations tangentes
IV.1 - Section rectangulaire
Les vérifications dépendent de l'état limite ELS ou ELU.
IV.1.1 - Vérification à l'ELS
A l'ELS, les justifications ne concernent que le béton et sont calquées sur le règlement français :
• Critère à vérifier : torsion≤ torsion,limite
• Calcul de la contrainte de torsion qui s'exercent dans le béton :
torsion=6M t
h2
où
➢ M t désigne le moment de torsion
➢ h la hauteur de la section
• Calcul de la contrainte limite :
torsion ,limite=10.8min n ,0.6 f ck
f ck f ctk
avec
➢ n=N
Sbrute contrainte normale
➢ f ctk résistance moyenne en traction
IV.1.2 - Vérification à l'ELU sous effort tranchant
IV.1.2.1 - Notations
V Rd, c : effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armatures d'effort tranchant.
V Rd, s : effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d'effort tranchant travaillant
à la limite d'élasticité.
V Rd, max : effort tranchant maximal repris par l'élément avant écrasement des bielles de
compression.
Collection « Les Outils » 20/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
V Ed : effort tranchant agissant de calcul qui résulte de l'application des charges extérieures et de la
précontrainte.
IV.1.2.2 - Principe de la vérification
Si V Ed≤V Rd ,c , alors aucune armature d'effort tranchant n'est requise par le calcul mais mise en
place d'un ferraillage minimal §9.2.2 requis par les dispositions constructives.
Sinon, les armatures d'effort tranchant doivent permettre de vérifier : V Ed≤minV Rd, s,V Rd, max
avec V Ed≤V Rd, s résistance des aciers passifs et V Ed≤V Rd, max non écrasement du béton par
les bielles de compression.
IV.1.2.3 - Calcul de l'effort tranchant résistant e n l'absence
d'armatures V Rd , c
V Rd, c=(νmin+k1σcp)bw d
au lieu de :
V Rd , c=max[CRd , ck1001 f ck1/3k1cp]bw d ,mink1 cpbw d
car cette dernière formule fait intervenir les aciers de flexion longitudinale qui ne sont pas fixés lors du
calcul du cisaillement. La formule utilisée est plus défavorable que la formule complète puisqu’elle
sous estime le moment résistant.
où
• V Rd, c en [N]
• f ck résistance caractéristique du béton [Mpa]
• d distance entre la fibre de béton la plus comprimée et le lit d'armature tendu [mm] si aciers
tendus, sinon on prend d=h
• k=min1 200d ,2 avec d en mm
• 1=min Asl
bw d,0.02 avec Asl aire des armatures longitudinales tendues [mm²] et bw la
plus petite largeur de la section droite tendue [mm]
• cp=NEd
Ac
≤0.2 f cd avec N Ed effort normal [N] agissant sur la section droite dû aux
charges extérieures et à la précontrainte et Ac section brute du béton en [mm²]
• les grandeurs CRd, c , k1 et min sont des données réglementaires :
Collection « Les Outils » 21/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
➢ CRd , c=0,18c
➢ k1=0.15
➢ min=0.34c
f ck1/2
pour les dalles (dalle BA ou BP, traverse et semelle) avec
redistribution totale. Ce n’est pas le cas de Chamoa_3D sous G ou P.
➢ min=0.053c
k3/2 f ck1/2
pour les poutres (barrettes) ou pour les dalles en l’absence
de redistribution. C’est le cas pour Chamoa_3D.
➢ min=0.35c
f ck1/2
pour les voiles (piedroits).
• bw se déduit de la valeur b de la largeur de la section droite selon la règle :
Si la gaine de précontrainte est injectée et de diamètre tel que b8
: bw=b0.5∑ où
∑ est déterminé à l'endroit le plus défavorable.
Si la gaine de précontrainte est injectée et de diamètre tel que ≤b8
: bw=b
si la gaine est non injectée : bw=b1.2∑ .
IV.1.2.4 - Calcul de l'angle de bielle de compressi onHypothèse d'un modèle de treillis défini par :
: angle entre la bielle de compression et la fibre moyenne de l'élément pour des armatures d'effort
tranchant perpendiculaires à la fibre moyenne de l'élément.
bw : même expression que ci-dessus.
Domaine de valeur de l'angle tranchant : 0,4≤tan(θtranchant)≤1
Pour le Calcul de tranchant à partir de N et V selon l’Eurocode, on recherche l’angle le plus grand
possible tel que :
1≤cot(θtranchant)≤2.5
V Ed≤V Rd , max=αcwbw zv1 f cd
cot(θtranchant)+ tan(θtranchant)
Collection « Les Outils » 22/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
IV.1.2.5 - Calcul de l'effort tranchant repris par les armatur es
travaillant à la limite d'élasticité V Rd, s
V Rd , s=Asw
slong
z f ywdcotantranchant
où
• Asw est l'aire du cours d'armature d'effort tranchant : Asw=2
4b
strans
• slong espacement des cadres et des étriers
• f ywd limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant f ywd=f ywk
s
➢ z : bras de levier z=0.9d
IV.1.2.6 - Calcul de l'effort tranchant repris par l'élément a vant
écrasement des bielles de compression V Rd , max
V Rd , max=cwbw z1
f cd
cotantranchanttantranchant
où
• 1 : coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant :
1=0.61 f ck
250 avec f ck en Mpa.
• cw : coefficient tenant compte de l'état de la contrainte dans la membrure comprimée :
➢ cw=1 si structure non précontrainte
➢ cw=1 cp
f cd si 0cp≤0.25 f cd
➢ cw=1.25 si 0.25 f cd cp≤0.5 f cd
➢ cw=2,51cp
f cd si 0.5 f cd cp≤ f cd
avec cp=NEd
Sbrute
.
En résumé, la quantité maximale d'aciers qui peut être mise en place de façon utile est égale à :
Collection « Les Outils » 23/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
( Asw
s )max=αcwbw ν1
f cd
f ywd
11+(cotanθ tranchant)
2 obtenue en égalant V Rd , s et V Rd , max .
IV.1.3 - Vérification à l'ELU sous effort de torsio n
Cette vérification est spécifique aux bords libres et est à faire en plus de la vérification à l'effort
tranchant dans cette zone.
Dans le cadre de la vérification de la torsion, les sections pleines sont modélisées par des sections
fermées à parois minces. L'épaisseur eparoi de cette paroi se calcule pour les sections pleines selon
eparoi=maxAu
,2distancelit , armatures , parement
où
• A désigne l'aire totale( A=bh ) de la section délimitée par le contour externe.
• u le périmètre extérieur de la section ( u=2bh ).
IV.1.3.1 - Notations
• T Ed le moment de torsion agissant de calcul
• T Rd, c désigne le moment de fissuration en torsion
• T Rd, max est le moment de torsion résistant
IV.1.3.2 - Principe de la vérification
SiT Ed
T Rd ,c
V Ed
V Rd ,c
≤1 , alors les sections pleines rectangulaires ne requièrent qu'un ferraillage minimal
(Critère EN1992.1.1§6.3.2(5)).
Sinon, la résistance dans chacun des matériaux doit être satisfaite :
• dans le béton, afin de ne pas dépasser la résistance limite des bielles de compression, on doit
vérifier T Ed
T Rd ,max
V Ed
V Rd ,max
≤1
• les aciers passifs doivent pouvoir reprendre la contrainte de cisaillement en torsion.
IV.1.3.3 - Calcul du moment de fissuration en torsion T Rd, c
T Rd , c=2Ak eparoi f ctd
où
Collection « Les Outils » 24/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
• Ak aire intérieure au contour moyen : Ak=beparoiheparoi . Le feuillet moyen est
défini par sa distance au contour externe égale à eparoi
2.
• f ctd limite de calcul de la contrainte de traction du béton
IV.1.3.4 - Calcul de l'angle des bielles de compres sion
On calcule l'angle tranchanttorsion des bielles de compression dans le béton de la même façon que
lors de la vérification de l'effort tranchant dans la dalle mais ici on cumule les effets de la torsion à
ceux de l'effort tranchant. La contrainte supplémentaire due aux effets de torsion se calcule selon
torsion=T Ed
2Ak eparoi
et tranchanttorsion=12
arctan2tranchant2 torsion
x
Les valeurs limites de cet angle sont les mêmes :
0.4≤tantranchanttorsion≤1
IV.1.3.5 - Calcul du moment de torsion résistant T Rd , max
T Rd, max=2 cw f cd Ak eparoi sintranchanttorsion costranchanttorsion
où
• et cw ont été définis dans le calcul sous effort tranchant.
IV.1.3.6 - Calcul de la résistance des aciers passifs On applique ici le calcul de la contrainte de cisaillement en torsion pure décrit dans EN1992.2 §6.3.2
(102) et le critère d'équilibre de cette contrainte par les aciers passifs EN1992.1.1 §6.3.2.
D'après la règle de cumul des efforts :
V EdV Ed ,i ≥Asw
slong
z f ywd cotantranchanttorsion
où
• V Ed , i est la sollicitation tangente dans la paroi du fait de la torsion et se calcule selon
V Ed , i=T Ed
2Ak
zi où zi=heparoi est la longueur de la paroi
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Chamoa_3D - Justifications
IV.1.4 - Armatures longitudinales de torsion
Il s’agit de la mise en place d'armatures longitudinales supplémentaires et spécifiques à la torsion. En
effet, ces aciers ne sont pas pris en compte pour les calculs de résistance sous sollicitations normales
ou pour l'ouverture de fissure.
Leur section Al est calculée selon :
Al f yd
uk
=T Ed
2A k
cotan[AcmoyenAp p]
uk
avec
• T Ed , uk , Ak désignant respectivement le moment de torsion, le périmètre du
contour moyen et l'aire de ce contour.
• l'angle des bielles de compression sous la somme des efforts tranchants et de torsion
• Acmoyen=P= Ap p : force de précontrainte isostatique
• Ap p : accroissement de contrainte de la précontrainte restant disponible jusqu'au
plafond. Terme annulé dans notre composant.
IV.2 - Section circulaire
Dans Chamoa_3D, les pieux sont supposés non précontraints et ne sont pas soumis aux efforts de
torsion.
Les vérifications vis à vis de l'effort tranchant sont similaires à celles relatives aux sections
rectangulaires. Les différences concernent les aires de cisaillement et sont présentées dans la suite.
IV.2.1 - Vérification à l'ELS
Aucune vérification n’est requise.
IV.2.2 - Vérification à l'ELU
Mêmes notations et principe de vérification.
IV.2.2.1 - Calcul de l'effort tranchant résistant en l'absence
d'armatures V Rd, c :
V Rd , c=max[CRd ,ck 1001 f ck1/3k1 cp]
d1.4
,mink1cpd1.4
où
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Chamoa_3D - Justifications
• V Rd, c en [N],
• f ck résistance caractéristique du béton [Mpa],
• d plus grande distance entre un point du lit d'acier et le contour externe de béton [mm],
• k=min1 200d ,2 avec d en mm,
•1=min Asl
d1.4
,0.02 avec Asl=0 car ceci va dans le sens de la sécurité,
• diamètre de la section circulaire [mm],
• cp=NEd
Ac
≤0.2 f cd avec N Ed effort normal [N] agissant sur la section droite dû aux
charges extérieures et à la précontrainte et Ac section brute du béton en [mm²],
• les grandeurs CRd, c , k1 et min sont des données réglementaires :
➢ CRd , c=0,18c
➢ k1=0.15
➢ min=0.053c
k3/2 f ck1/2
IV.2.2.2 - Calcul de l'angle des bielles de compres sion
La contrainte de cisaillement se calcule selontranchant=
Vd1.4
d'après le règlement français. La
détermination de tranchant est inchangée : tranchant=12
arctan2 tranchant
x avec σx=
NSbrute
.
La valeur de l'angle est comprise entre les deux mêmes bornes :
tranchant=maxarctan0.4 , min12
arctan2tranchant
x ,arctan1
IV.2.2.3 - Calcul de l'effort tranchant repris par les armatur es
travaillant à la limite d'élasticité V Rd, s
V Rd , s=Asw
slong
z f ywdcotantranchant
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Chamoa_3D - Justifications
où
• Asw l'aire du cours d'armature d'effort tranchant est modifiée selon :
Asw=acier
2
4contour
,
• slong espacement des cerces,
• f ywd limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant f ywd=f ywk
s
,
• z : bras de levier z=0.9d .
IV.2.2.4 - Calcul de l'effort tranchant repris par l'élément a vant
écrasement des bielles de compression V Rd, max :
V Rd , max=cw
1.4z1
f cd
cotantranchanttantranchant
où
• 1 : coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant :
1=0.61 f ck
250 ( f ck en Mpa),
• cw=1 : puisque structure non précontrainte.
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Chamoa_3D - Justifications
Chapitre V - Dimensionnement des aciers passifs à la non fragilité
Le calcul de non fragilité des aciers passifs vise à prévoir un ferraillage minimal dans les zones
susceptibles d'être tendues sous combinaisons caractéristiques. Dans le cadre de Chamoa, la
vérification de la non fragilité des aciers passifs est réalisée selon la méthode décrite dans l'EC 1992-
1-1 §7.3.2. Nous nous limitons cependant aux valeurs d'effort normal appliqué à la section Ned
telles que la contrainte moyenne s'exerçant dans la section soit supérieure à la contrainte de
fissuration ( f ctmbh≤Ned et f ctm0 ).
Rappel : pour les sections polygonales, ce calcul est effectué sur la géométrie en té équivalente et ne
concerne que les aciers positionnés en extrados et en intrados. Dans le cas où l'étude concerne les
aciers en extrados, ils sont alors tendus, on effectue un calcul pour les aciers en extrados situés dans
les membrures puis un calcul pour ceux appartenant à la nervure. Puis on prend le maximum des
deux quantités déterminées au ml.
Que nous nous trouvions dans une section circulaire, une section rectangulaire, une âme de section
polygonale ou une membrure de section polygonale, la valeur minimale de non fragilité est donnée par
la formule : As , min non fragilité=kc k f ctm
Act
f yk
.
• Le coefficient k de réduction des efforts dus aux déformations gênées vaut k=1 ,
• f ctm désigne la valeur moyenne de la limite en traction du béton,
• f yk est la limite d'élasticité des aciers passifs,
• En revanche, le coefficient kc et la section Act sont calculés spécifiquement et leurs
valeurs sont définies dans la suite.
Remarque : dans le composant de dimensionnement vis à vis de la non-fragilité, les calculs d'aciers
passifs minimaux sont directs et ne reposent pas sur le module de justification.
V.1 - Section rectangulaire ou âme des sections avecmembrures
V.1.1 - Valeur du coefficient kc
Calcul initial de la contrainte moyenne c=Ned
bhlimitée à f ctm .
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Chamoa_3D - Justifications
Détermination de kc :
• si c≥0 , kc=0.41c
1.5h/ h f ctm
avec h=h si h1m et h=1 sinon
• si f ctm≤c0 , kc=min0.41c
2/3 f ctm
,1
V.1.1.1 - Valeur de l'aire de la section tendue Act
L'aire de la section tendue se calcule selon Act=bhcr où hcr désigne la hauteur tendue avant
fissuration : hcr=minh2
f ctm
f ctmc
,h
V.2 - Membrures
Quelle que soit la forme de la membrure, on se ramène dans tous les cas à une section rectangulaire
équivalente de largeur l membrure et de hauteur hmembrure . Rappel : la section équivalente est
déterminée en conservant l'aire et l'inertie par rapport à l'axe horizontal.
V.2.1.1 - Valeur du coefficient kc
Dans ce cas, kc est égal à kc=max0.9F cr
Act f ctm
,0.5 où F cr est la force de traction dans
l'élément rectangulaire. Elle se calcule ainsi : aire tendue fois contrainte moyenne de traction , soit
F cr=Act
∣minbeton extrados,0∣∣minbeton intrados,0∣2
. Si le calcul sous sollicitations normales
est réalisé avec l'hypothèse d'une section fissurée (cas BA), on néglige souvent la tension dans le
béton et la valeur fournie pour beton extrados et/ou beton intrados est nulle. Pour prendre cependant
en compte des valeurs de traction : si betonextrados=0 , alors on minimise betonextrados= f ctm et
de même pour betonintrados : si betonintrados=0 , alors on minimise betonintrados= f ctm
V.2.1.2 - Valeur de l'aire de la section tendue Act
L'aire tendue de l'élément rectangulaire équivalent est déterminé par : Act=l membrurehcr
La formule suivante de calcul de la hauteur tendue permet de couvrir tous les cas (extrados comprimé
et intrados comprimé, extrados comprimé et intrados tendu, extrados tendu et intrados comprimé,
extrados tendu et intrados tendu) :
Collection « Les Outils » 30/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
hcr=∣minbeton extrados, betonintrados, betonextradosbetonintrados,0∣
∣beton extrados∣∣betonintrados∣hmembure
V.3 - Section circulaire
La section est caractérisée par son diamètre pieu .
V.3.1.1 - Valeur du coefficient kc
Calcul initial de la contrainte moyenne c=Ned
2/4limitée à f ctm .
Détermination de kc :
• si c≥0 , kc=0.41 c
1.5pieu/ pieu f ctm
avec pieu=pieu si pieu1m et
pieu=1 sinon
• si f ctm≤c0 , kc=min0.41c
2/3 f ctm
,1
V.3.1.2 - Valeur de l'aire de la section tendue Act
L'aire de béton tendue se déduit par différence de deux aires : celle du secteur circulaire défini par
l'angle au centre égal à arccospieu
2hcr
pieu
2 moins celle de la zone constituée de deux triangles
rectangles :
Act= pieu
2 2
arccospieu
2hcr
pieu
2 pieu
2hcrpieu
2 2
pieu
2hcr
2
.
Dans ce cas, la hauteur tendue avant fissuration vaut hcr=minpieu
2
f ctm
f ctmc
,pieu .
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Chamoa_3D - Justifications
Chapitre VI - Calculs de non rupture fragile des aciers de précontrainte
Dans Chamoa_3D, les pieux ne sont pas précontraints. La vérification de non rupture fragile des
aciers de précontrainte ne concerne donc que les sections polygonales et au sein de celles-ci,
uniquement les aciers en intrados et en extrados.
Dans le règlement français BAEL ou BPEL, la rupture fragile des aciers passifs ou de précontrainte est
empêchée uniquement avec le ferraillage minimal réglementaire. En revanche, dans l'Eurocode, une
vérification spécifique doit être effectuée afin d'éviter une rupture fragile causée par la ruine des
armatures de précontrainte (EN 1992-1-1 §5.10.1 (5) et (6), EN 1992-2 §5.10.1 (106), §6.1 (109) et
(110) + annexe nationale).
Cette vérification est réalisée pour l'état limite ELS fréquent et vise à mettre en place une quantité
minimale d'aciers passifs en zones tendues sous ces sollicitations pour éviter la rupture fragile des
aciers de précontrainte. Les armatures concernées sont uniquement celles dites résistantes (voir le
paragraphe relatif à leur caractérisation).
Dans CHAMOA_3D, la méthode A du règlement concernant la vérification de la rupture fragile est
préférée mais la méthode B est également implémentée.
VI.1 - Algorithme de la méthode A
• Les lois utilisées pour tous les matériaux à l'ELS freq pour lequel se fait la vérification sont les
lois linéaires sans bornes : ni contrainte limite, ni déformation limite.
• Vérification qu'il existe des câbles de précontrainte résistants par rapport à la sollicitation ELS-
fréquente étudiée. S'il n'en existe pas : il ne se produira pas de rupture fragile des aciers de
précontrainte.
• Détermination du nombres de câbles résistants à enlever pour atteindre la fissuration sur
la fibre du béton coté armatures résistantes. Pour cela, on enlève les câbles un par un et on
détermine à nouveau l'équilibre de la section. Dans ce calcul, on néglige le travail des aciers
passifs dans cette zone. D'une part, c’est plus défavorable ce qui est du côté de la sécurité,
d'autre part, cela rend ce calcul de détermination du nombre de câbles à détendre
indépendant de la section d'aciers passifs dimensionnée.
• Dans Chamoa_3D, les sollicitations n'englobent pas les efforts isostatiques de précontrainte. Il
n'y a donc pas de mises à jour des sollicitations s'exerçant sur la section réduite des
câbles.
• Vérification de la résistance à l'ELU de la section réduite dans laquelle on a enlevé les câbles
rompus : calcul ELU accidentel.
Collection « Les Outils » 32/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
• Si le critère n'est pas vérifié, on en déduit que les quantités d'aciers passifs ne sont pas
suffisantes.
VI.2 - Algorithme de la méthode B
• Calcul du moment fléchissant de fissuration : M rep=f ctmI y
'où ' : distance entre le
centre de gravité et la fibre la plus tendue. Les effets de la précontrainte sont donc ignorés.
• Ferraillage minimal de BA à mettre en place dans les zones où le béton est tendu sous les
sollicitations issues des combinaisons caractéristiques : As,min=M rep
zs f yk
où zs est le bras
de levier des armatures de béton armé tendues :cote du lit des aciers passifs tendus dans le
repère du centre de gravité.
VI.3 - Remarques
Quelle que soit la méthode employée :
• La section la plus défavorable est située autour de ¼ de la travée.
• La valeur de la précontrainte considérée est la précontrainte moyenne Pm et non la
précontrainte caractéristique Pk=0.9Pm ou Pk=1.1Pm .
• Les chargements conduisant à la rupture des câbles s'appliquent à long terme,
l’endommagement est supposé progressif, d'où la valeur du coefficient cc : cc=0.85 .
VI.4 - Caractérisation des câbles de précontrainterésistants
Dans une section comportant un ou plusieurs lits d'aciers de précontrainte, les câbles de précontrainte
intéressants pour le calcul de non rupture fragile sont les câbles résistants vis à vis de la sollicitation.
En effet, si on supprime un câble de précontrainte non résistant : l'effet est plutôt bénéfique pour les
fibres tendues qui le seront moins et par conséquent, en ôtant les câbles non résistants, la fissuration
du béton ne se produira pas.
Quel critère pour la détermination des câbles résistants ?
On considère une sollicitation de flexion à l'ELS fréquent (N, My) qui ne prend pas en compte l'effet
isostatique de la précontrainte et on étudie les différents cas : que ce soit en flexion compression,
flexion pure ou traction flexion, les armatures précontrainte résistantes sont celles développant un
moment de flexion M y , prec=N prec zprec de signe opposé au moment de flexion appliqué à la section
M y .
Collection « Les Outils » 33/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
Cas limite :
• M y=0 . Dans ce cas, les câbles de précontrainte ne sont plus résistants et le phénomène
de rupture fragile ne se produit pas.
• Lit d'armatures de précontrainte à la côte du centre de gravité : ils ne développent plus de
moment de flexion et dans ce cas, la fibre extrême la plus tendue est celle située à la côte de
signe opposé au moment de flexion. Remarque : dans ce cas, M y≠0 sinon on se reporte
au premier cas limite.
VI.5 - Remarque
Le calcul de dimensionnement est réalisé à partir d'une section initiale comportant les quantités
d'aciers passifs As, ini , intrados et As, ini , extrados . Les valeurs minimales d'aciers passifs qui permettent
d'assurer la non rupture fragile des armatures de précontrainte sont calculées pour chaque sollicitation
à partir des valeurs initiales citées ci-dessus. Puis, on détermine les quantités As,min ,nonrupt frag , intrados
et As,min ,nonrupt frag ,extrados en prenant le max des valeurs d'aciers passifs déterminées en intrados et
en extrados et des valeurs initiales.
La question posée est donc la suivante : les calculs de non rupture fragile des armatures de
précontraintes réalisés pour la section comportant les aciers passifs As, ini , intrados et As, ini , extrados
restent-ils valables avec As,min ,nonrupt frag , intrados et As,min ,nonrupt frag ,extrados ?
Collection « Les Outils » 34/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
La réponse est heureusement oui et nous la détaillons dans la suite.
En effet, considérons une sollicitation S telle que la rupture fragile concerne les aciers passifs en
intrados. A partir des données initiales, on détermine As,nonrupt frag ,S,intrados1 . On vérifie ensuite que la
section finale comportant As,min ,nonrupt frag , intrados et As,min ,nonrupt frag ,extrados n'est pas soumise à la
rupture fragile.
On remarque que As,min ,nonrupt frag ,extrados≥As, ini , extrados (et aussi
As,min ,nonrupt frag ,extrados≥{As,nonrupt frag ,extrados}S ). Le calcul fournit alors pour la section comportant
As,min ,nonrupt frag ,extrados et As,nonrupt frag ,S,intrados1 , une valeur minimale d'acier passif
As,nonrupt frag ,S,intrados2 telle que As,nonrupt frag ,S,intrados
2 As ,nonrupt frag ,S, intrados1 . Ainsi dans la section
finale constituée de As,min ,nonrupt frag ,extrados et As,min ,nonrupt frag ,extradosAs,nonrupt frag ,S,intrados2 la non
rupture fragile des armatures de précontrainte est vérifiée.
Cette remarque assure la convergence de l'algorithme.
Collection « Les Outils » 35/41 24 janvier 2014
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Chapitre VII - Calculs hors état limite : aciers longitudinaux et transversaux
Les vérifications à effectuer dépendent de la localisation des aciers c'est à dire de l'élément d'ouvrage
dans lequel ils se trouvent. Dans le tableau suivant, sont répertoriés tous les critères à satisfaire pour
les aciers en fonction donc de l'élément où ils prennent place et de leur orientation longitudinale ou
transversale.
Quatre types de critères sont à vérifier :
• l'espacement transversal des aciers d'un même lit doit être supérieur à la valeur minimale
réglementaire.
• il doit être également inférieur à la valeur maximale réglementaire.
• les lits de ferraillage doivent posséder une section minimale d'acier, valeur pouvant résulter de
plusieurs critères : critère ferraillage de peau, critère ferraillage minimal de poutre et/ou critère
plancher.
• cette section d'acier est d'autre part majorée par une valeur maximale réglementaire.
Notation :
As : section totale d'aciers passifs
As, E : section d'aciers passifs du lit situé en extrados
As, I : section d'aciers passifs du lit situé en intrados
Ac : section brute de béton
max : diamètre du groupe d'aciers
d g : diamètre du plus gros granulat entrant dans la composition du béton
Remarque : Les deux composants de justification et de dimensionnement sont indépendants.
Les vérifications sont synthétisées dans le tableau suivant :
Collection « Les Outils » 36/41 24 janvier 2014
Chamoa_3D - Justifications
s_min s_max As,min As,max
Pie
u
long maxmax,dg0.005,0.02,0.1 0.2 minimale plancher :
As≥k Acmin Ac ,1
k Ac=0.005 si Ac0.5
k Ac=0.0025 sinon
minimale poutre :
As≥0.26f ctm
f yk
×0.9Ac
As≤0.02Ac
Bar
rette
long maxmax,dg0.005,0.02,0.1 0.2 minimale plancher :
As≥k Acmin Ac ,1
minimale poutre :
As≥0.26f ctm
f yk
0.9Ac
As≤0.02Ac
Pou
tre
dalle
long maxmax,dg0.005,0.02 min 3h,0.4 minimale peau :
As, E et As, I≥k peaulargeur
k peau=0.0005si classe XS|XD
k peau=0.0003sinon
minimale plancher :
As, tendu≥0.0013×0.9Ac
minimale poutre :
As, tendu≥0.26f ctm
f yk
0.9Ac
As, EAs , I≤0.04Ac
tran
s maxmax,dg0.005,0.02 min3.5h,0.45 minimale peau :
As, E et As, I≥k peaulargeur
∅
Pie
droi
t
long maxmax,dg0.005,0.02 min3h,0.4 minimale plancher :
As, tendu≥0.002Ac
minimale poutre :
As, tendu≥0.26f ctm
f yk
0.9Ac
As, EAs , I≤0.04Ac
tran
s maxmax,dg0.005,0.02 0.4 minimale plancher : ∅
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As, tendu≥0.001Ac
Sem
elle
long maxmax,dg0.005,0.02 ∅ minimale poutre :
As, tendu≥0.26f ctm
f yk
0.9Ac
As, EAs , I≤0.04Ac
tran
s maxmax,dg0.005,0.02 ∅ minimale plancher :
As, E≥kAs,min , plancher,E ,semelleAc
kAs ,min , plancher , E , semelle=0.001
As, I≥kAs ,min , plancher , I , semelleAc
kAs,min, plancher, I ,semelle=0.0005
∅
Tableau 1: Vérifications hors états limites aciers sollicitations normales
Collection « Les Outils » 38/41 24 janvier 2014
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Chapitre VIII - Calculs hors état limite : aciersd’effort tranchant et de torsion
Les dispositions constructives relatives aux aciers de tranchant et de torsion dépendent également de
l'élément d'ouvrage dans lequel est situé l'acier.
Pour cette vérification, trois critères sont à vérifier :
• espacement minimal longitudinal entre cours et espacement minimal transversal entre aciers
d'un même cours,
• espacement maximal longitudinal entre cours et espacement maximal transversal entre aciers
d'un même cours,
• taux de ferraillage minimal de la section.
Remarque : Les deux composants de justification HEL ST et de dimensionnement HEL ST sont
indépendants.
La synthèse des vérifications figure ci-dessous.
s_min s_max W ,min
Pieu slong,min=maxST ,d g0.005,0.02,0.1 slong,max=max0.35,15long ∅
Barrett
e
slong,min=maxST ,d g0.005,0.02,0.1 slong,max=max0.35,15long ∅
Poutre
dalle
slong ,min=maxST ,dg0.005,0.02
strans ,min=maxST ,dg0.005,0.02
si verification de la torsion
slong ,max=min0.75d ,uk
8
strans,max=1.5d
sinon
slong,max=0.75d
strans,max=1.5d
où d : minimum des
distances entre lits d'aciers et
fibre
beton opposée
et uk : contour moyen
W ,min=0.08 f ck
f yk
Collection « Les Outils » 39/41 24 janvier 2014
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Piedroit slong ,min=maxST ,dg0.005,0.02
strans ,min=maxST ,dg0.005,0.02
si As, EAs , I≥0.02Ac
slong ,max=min20long ,evoile ,0.4
W ,min=0.08 f ck
f yk
Semell
e
slong ,min=maxST ,dg0.005,0.02
strans ,min=maxST ,dg0.005,0.02
∅ ∅
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