Notes de cours de Mcanique du solide, SM3, SMI3, SMP4 1

Pr : H.FATMAOUI

Chapitre 1 Torseurs

1.1 Bases 1.1.1 Pointeur / Vecteur Glissant et moments Un Pointeur est un vecteur

V li un point A. on le note (A,

V ) .

On appelle Moment en P du pointeur (A,

V ) le vecteur

= VPAVAM P ),(rr

Un Vecteur Glissant est un vecteur

V li une droite //

V . on le note (,

V ) Pour une droite //

V fixe, on a :

BA,

==+== ),()(),( VBMVPBVVPBVPAVAM PPrrrr

pour A qcq

1.1.2 Relation fondamentale des moments

QP,

+== VPAVQPVQAVAM Q ),(rr

soit : QP,

+= VQPVAMVAM PQ ),(),(rrrr

Vr

P A

),( VAM Prr

A

B

),( VM Prr

Vr

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1.2 Torseurs

Etant donn un champ de pointeurs { }niVAM ii ...1),( == r

ou un champ de vecteurs glissants { }niVVAM iii ...1)),,(( == rr on dfinit le Torseur T associ au champ M au point P comme le couple dun vecteur et dun vecteur li P :

{ }

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Pen rsultant Moment

RsultanteR avec

),(1

1

1

1

PP

n

iiiP

n

ii

P

n

iiiPP

n

ii

P

MVPAM

VR

VAMM

VRT

r

rr

r

On appelle Rr

la Rsultante du torseur et PMr

le Moment rsultant en P, ce sont les 2 Elments de rduction en P.

1.2.1 Proprits

1.2.1.1 Dplacement

QP, Qn

ii

n

iii

n

ii

n

iiiP MVPQVQAVPQVPAM

rr+=+==

=

=

=

=

1111 soit :

QP,

+=+= QPRMRPQMM QQPrrr

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1.2.1.2 Invariant Scalaire

Le produit scalaire I =

RM P est indpendant du point P, on l'appelle Invariant Scalaire du Torseur.

Dmonstration : QP, I =

=+= RMRRPQRMRM QQP )(

Corollaire

La projection de

PM sur

R est donc indpendante du point P.

1.2.2 Somme

La somme de 2 torseurs revient la runion de leurs 2 champs de vecteurs, elle sobtient par sommes des lments de rduction au mme point P.

{ } { }

21

21

2

2

1

121

PPPPPPPP

PP

MMM

RRR

M

R

M

RTTP

+=

+==

+

=+

Dmonstration

{ } { } { } ),(),( 21

21

1 12211

1 121

2121

PPPPP

n

i

n

iiiPiiPP

n

i

n

iii

PPP

MMM

RRR

VAMVAMM

VVRTTTTP

+=

+==

+=

+=

==+

= =

= =

1.2.3 Comoment

Le Comoment de 2 torseurs est dfini par le calcul suivant.

1221

2

2

1

1

+=

= PP

PPPP

P MRMRM

R

M

RP ce calcul est indpendant de P !

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Dmonstration : PPP

PPQQQ

PRQPRRQPRPRQPRRQPRP

RQPMRRQPMRMRMRP

=

+

+=

+

+=

++

+=+=

12211221

1122211221

,,,,

1.2.4 Axe central

Thorme et dfinition Si

0R le lieu de tous les points Q tels que

QMR // existe et est une droite

R// appele Axe

central du torseur :

=

RQ ,0 Dmonstration

+=

+

=

+=

+=

+==

ROQOQ

RR

OQR

R

MROQ

ROQRMROQR

RQORQORMR

RQORMRMRMR

o

O

O

O

OQQ

22

2

20

0//

rr

r

r

ou : si un tel point Q0 existe les autres vrifient

+==

RQQRMRMR QQ 000 soit :

===

=

=

RQQRRR

QQRQQRQQRQQRRQQR ,0 02 00002

0 rr

- calcul de Q0 dans le plan

=

RO, soit tel que : 00

= OQR

0

2

000 0//

=

== OQRMRROQRMRMRMR OOQQ

r

On a donc :

+

=

= R

R

MROQR

MROQ OO 220 rr

Proprits

Le moment est constant sur laxe central, et sa norme y est minimum, plus prcisment il vient :

= RR

IMQ Q 2r et RIM Q r=

est le moment minimum du torseur

Dmonstration

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=+=

+=

+

+=+=

RR

IMRR

IM

MR

RRRR

MRMRR

MRRMRQOMMQ

OO

OO

OO

OOQ

22

222

rr

rrr

P

( ) 000

0 2

0

22

00

0

0et ,//QpQp

Q

QPMMRPQMM

RPQRRPQRMRPQMM

>+=

+=

1.2.5 Equiprojectivit

Un champ de vecteurs lis ( ){ }3, REPVP P est dit quiprojectif ssi il vrifie :

PM VMPVMPEPM = ,

Cela revient dire que EPM , les projections de MV et PV sur la droite (MP) sont gales.

Thorme Le champ ( ){ }3, RPMP P des moments dun torseur est quiprojectif :

PM MMPMMPPM = ,

Dmonstration : ( ) ( ) 0, === RMPMPMMMPMMPMMPPM PMPM

Thorme rciproque

Tout champ ( ){ }3, RPVP P quiprojectif est le champ des moments dun torseur.

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Lemme tout champ V quiprojectif vrifie ( ) ( ) OMVVOPVVPMO OPOM = ,,

Dmonstration du Lemme : ( ) ( ) ( )OPMOVVVVMPVVPMO POOMPM ++== 0,, Soit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OMVVOPVVOPVVOPVVMOVVMOVV opOMPOOMPOOM +=+++=0

Dmonstration du thorme :

Soit un repre orthonorm ( )ZYXO ,,, et 3 points ( )ZYX ,, tels que XOX = , YOY = , ZOZ = . Ce repre fix, posons par ailleurs OPP VVAP = . Avec cette notation le lemme devient :

OMAOPAPM PM = , Cherchons maintenant lexpression de PA dans la base ( )ZYX ,,

OP

A

A

A

OPA

OPA

OPA

OZA

OYA

OXA

A

Z

Y

X

Z

Y

X

P

P

P

P

=

=

=

posons maintenant

====

====

====

YAOYAOZAZAa

ZAOZAOXAXAa

XAOXAOYAYAa

ZZYYyz

XXZZzx

YYXXxy

Il vient

=

=

=

xy

zx

yz

xy

zx

yz

yzzx

yzxy

zxxy

P

a

a

a

POOPa

a

a

OPaa

aa

aa

A0

00

Soit RPOVVP OP += avec

=

xy

zx

yz

a

a

a

R

Ainsi V est bien le champ des moments du torseur dont les lments de rduction en O sont :

La rsultante ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

==

==

==

=

XVVYVVaZVVXVVaYVVZVVa

R

OYOXxy

OXOZzx

OZOYyz

ZYX ),,' et le moment en O : OV

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1.3 Classification et Dcomposition

Torseur Invariant Scalaire nul

. 0,0 == OMR : le moment est nul en tout point cest le Torseur Nul

. 0R : I tant nul 0, = QMQ le Torseur est un vecteur glissant ou Glisseur R sur son axe . 0,0 = OMR : R tant nul OP MMP = , le Torseur est un Couple.

Torseurs Gnraux Invariant Scalaire non nul

Dcomposition comme somme dun Glisseur sur son axe et dun Couple de moment parallle son axe :

QQ

Q

Q RR

IRRR

IM

R

Q

+

=

=

22

0

0,

Remerciement :

Mes remerciements vont au Professeur Y. Remion de lIUT Lonard de Vinci de Reims, pour la qualit des schmas dillustration ainsi que le contenu de ce cours.

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