Chapitre 1: Ondes et lumière - Accueil - EDIP Sup cours.pdf · La sinusoïde de l'espace progresse au cours du temps, avec une vitesse égale à la célérité: ... de vibration

Chapitre 1: Ondes et lumière 1. Propagation d’une onde mécanique a) Signal et onde

Un signal mécanique est une déformation de courte durée d’un milieu élastique. Cette déformation ne reste pas localisée à l’endroit où elle est produite, mais elle se déplace dans le milieu élastique: elle se propage. Après le passage du signal le milieu reprend son état initial.

Le point de départ du signal est la source; la direction et le sens dans lesquels il se déplace constituent la direction et le sens de propagation.

Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent perpendiculairement à la direction de propagation, la déformation est un signal transversal.

Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent dans la direction de propagation, la déformation est un signal longitudinal.

Une onde est une série de signaux qui se suivent à des intervalles de temps réguliers; elle peut être transversale ou longitudinale.

b) Célérité

Définition: On appelle célérité c la vitesse de propagation d’un signal ou d’une onde.

Propriétés: * La célérité ne dépend pas de la forme du signal.

* Dans un milieu homogène donné la célérité est constante.

* Pour atteindre le point M, l’onde met un temps ∆t tel que OM = c⋅∆t. Le point M reproduit le mouvement de la source avec un retard

OMtc

∆ =

Le mouvement de M à la date t est identique au mouvement de S à la date (t − ∆t).

* Dans un milieu homogène à 2 ou 3 dimensions, la célérité est la même dans toutes les directions.

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* La célérité dépend de la nature et de l’état du milieu de propagation.

* Le long d’une corde tendue, la célérité augmente avec la tension FT de la corde et diminue avec la masse linéaire µ (ou masse linéaire = masse par unité de longueur) suivant la relation:

TFc =µ

Signal Milieu de propagation Célérité en m/s

Son air à 0°C air à 20°C air à 40°C eau de mer à 15°C acier (ondes transversales) acier (ondes longitudinales) hydrogène à 20°C

330,7 342,6 354,1 1500 3240 5880 1300

Lumière vide eau verre ordinaire

c 0,75 c 0,66 c

c) Propagation d’une onde sinusoïdale le long d’une corde Supposons que le mouvement de la source S est sinusoïdal de période T.

Pour comprendre comment la corde se déforme progressivement, il est commode de la représenter à différentes dates:


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* t = 0: la source commence son mouvement vers le haut;

* t = T/4: la source a fait un quart d’oscillation; le front d’onde atteint le point M1 , tel que

1TOM c4

= ⋅

* t = T/2: la source a fait une demi-oscillation; le front d’onde atteint le point M2 , tel que

2TOM c2

= ⋅

* t = T: la source a effectué une oscillation complète; la déformation atteint une longueur de corde qu’on appelle longueur d’onde: c Tλ = ⋅

La longueur d’onde λ est la distance parcourue par l’onde en une période T.

La longueur d'onde dépend à la fois de T, donc de la source, et de c, donc du milieu de propagation. d) Double périodicité du phénomène de propagation

* Périodicité dans le temps: Un point M donné du milieu exécute, comme la source, une vibration sinusoïdale qui se reproduit identiquement à elle-même après le temps T: T est la période temporelle.

On peut représenter, pour tout point d'abscisse x, l'élongation y en fonction du temps (yS pour la source S, yM pour tout autre point M): on obtient les sinusoïdes du temps.

La sinusoïde du temps du point M d’abscisse x se déduit de la sinusoïde du temps de la source par une translation ∆t = x/c le long de l’axe du temps.

* Périodicité dans l’espace: A un instant t

donné, on retrouve le même état vibratoire le long de la corde après une distance égale à la longueur d’onde λ: λ est la période spatiale.

On peut représenter, pour tout instant t, l'élongation y des points du milieu en fonction de leur abscisse: on obtient les sinusoïdes de l'espace.

(La sinusoïde de l'espace se confond avec l'image qu’on obtiendrait en photographiant la corde à un instant donné.)

La sinusoïde de l'espace progresse au cours du temps, avec une vitesse égale à la célérité: la vibration de la source engendre dans le milieu une onde progressive.


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e) Points vibrant en phase et points vibrants en opposition de phase

Deux points M et N de la corde, séparés des distances λ, 2λ, ... ,nλ ( n∈Z ) ont à tout instant même élongation: ils vibrent en phase.

N Mx x x n 2n2λ

∆ = − = ⋅λ = ⋅

La longueur d’onde λ représente donc aussi la distance entre 2 points voisins qui vibrent en phase, en particulier la distance entre 2 crêtes voisines.

Deux points M et P de la corde, séparés des distances λ/2, 3λ/2, ... ,(2n+1)λ/2 ont à tout instant des élongations opposées: ils vibrent en opposition de phase.

( )P Nx x x 2n 12λ

∆ = − = + ⋅

f) Equation d’onde

Considérons une source S en train d'effectuer un mouvement harmonique (amplitude Ym, pulsation ω).

L'élongation de la source S s'écrit: S my (t) Y sin( t )= ω +ϕ

Nous supposons que la propagation se fait sans amortissement dans le sens des x positifs. Pour atteindre le point M situé à la distance x de la source, l’onde met le temps

xtc

∆ =

M reproduit donc le mouvement de S avec un retard de ∆t!

L’élongation du point M à la date t, est donc égale à celle que la source avait à la date t − ∆t!

( )M S

m

m

m

m

y (t) y (t t)

Y sin t t

xY sin tc

2 xY sin tT c

t xY sin 2T T c

= −∆

⎡ ⎤= ω −∆ +ϕ⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞= ω − +ϕ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤π ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ϕ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞= π − +ϕ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅⎝ ⎠⎣ ⎦

M mt xy (t) Y sin 2T

⎡ ⎤⎛ ⎞= π − +ϕ⎜ ⎟⎢ ⎥λ⎝ ⎠⎣ ⎦ (équation d'onde)

Tous les points ont même amplitude et même pulsation que la source, mais ils n’effectuent pas le même mouvement en même temps.


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g) Interprétation de l'équation d'onde: double périodicité

yM reprend la même valeur chaque fois que la phase t x2T

⎛ ⎞π − +⎜ ⎟λ⎝ ⎠ϕ change de 2kπ (k

entier). De quelle durée t' faut-il augmenter t pour qu’en un point M donné (x fixe), la phase augmente de 2π?

t t ' x t x2 2T Tt t ' x t x2 2 2 2 2

T Tt t ' t2 2 2 2T T T

t '2 2Tt ' T

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞π − + ϕ = π − +ϕ+⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

π − π = π − π + πλ λ

π + π = π + π

π = π

2π

=

T est la période temporelle.

De quelle distance x' faut il augmenter x pour qu'à un instant donné la phase diminue de 2π?

t x x ' t x2 2T T

x x ' x2 2 2

x '2 2

x '

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞π − +ϕ = π − +ϕ−⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

π = π + πλ λ

π = πλ

2π

= λ

λ est la période spatiale.


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2. Interférence mécanique a) Définitions. Condition d’interférence

Deux sources d'ondes sont synchrones si elles sont en phase.

Deux sources d'ondes sont cohérentes si elles présentent une différence de phase constante l'une par rapport à l'autre.

L’interférence est un phénomène qui résulte de la superposition de deux ondes de même nature et de même fréquence. Les sources émettrices de ces ondes doivent être cohérentes. b) Superposition des petits mouvements

Quand deux signaux se rencontrent, ils se croisent sans se gêner; leur propagation et leur forme ne sont pas modifiées après le croisement.

Pendant le croisement l’élongation résultante est donnée par la règle de superposition des petits mouvements:

Lorsque deux signaux colinéaires de faible amplitude se superposent en un point M, l’élongation résultante y est égale à la somme algébrique des élongations y1 et y2 que provoqueraient en M les deux signaux en se propageant seuls.

y = y1 + y2

Les deux signaux peuvent ainsi se renforcer lors de leur croisement ou bien se détruire. c) Réflexion d’un signal à l’extrémité d'une corde

Lors de la réflexion sur une extrémité fixe, l’élongation change de signe; la réflexion à l’extrémité libre se fait sans changement de signe.


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d) Interférence dans un milieu à une dimension. Expérience de Melde

* Dispositif expérimental

Un vibreur anime l’extrémité A d’une corde tendue d’un mouvement vibratoire sinusoïdal. À l’extrémité B, au contact de la poulie, prend naissance une onde réfléchie de même fréquence qui se propage en sens inverse. On peut varier la longueur utile AB = de la corde, la tension FT de la corde mesurée par un dynamomètre et la fréquence f du vibreur.

* Observations

Pour un réglage convenable, la corde vibre en plusieurs fuseaux d’égale longueur. Les extrémités des fuseaux sont appelés nœuds, les milieux des fuseaux sont appelés ventres de vibration. L’extrémité fixée au vibreur peut être assimilée à un nœud; l’extrémité fixe est un nœud.

Vu de loin, le système paraît immobile; il n’y a pas de progression le long de la corde: le phénomène est appelé onde stationnaire.

L’éclairage stroboscopique permet de voir que la corde se déforme sur place. L’amplitude de vibration est nulle aux nœuds, elle est maximale aux ventres. La longueur d’un fuseau est égale à λ/2. L’aspect de la corde dépend

• de la tension FT de la corde;

• de la longueur de la corde;

• de la fréquence f du vibreur.

L’apparence en fuseaux n’est obtenue que pour des valeurs discrètes de ces paramètres.


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Le nombre n de fuseaux

• diminue quand on augmente la tension de la corde (sans modifier sa longueur ni la fréquence);

• augmente quand on augmente la longueur utile de la corde (sans modifier sa tension ni la fréquence);

• augmente lorsqu’on augmente la fréquence du vibreur (sans modifier ni la longueur ni la tension).

* Interprétation Une onde stationnaire résulte de l’interférence entre deux ondes qui se propagent suivant la même direction, mais en sens contraires: l’onde incidente issue de la source et l’onde réfléchie qui prend naissance à l’extrémité fixe. Ces deux ondes ont même fréquence et même amplitude. Aux ventres ces deux ondes arrivent constamment en phase: il y a interférence constructive. L’amplitude résultante est égale à la somme des amplitudes des ondes composantes.

Aux nœuds ces deux ondes arrivent constamment en opposition de phase: il y a interférence destructive. L’amplitude résultante est égale à la différence des amplitudes des ondes composantes, donc elle est nulle.

* Application aux instruments à cordes La corde, tendue entre deux points fixes, vibre en un nombre entier de fuseaux, donc sa longueur est égale à un multiple de la demi-longueur d’onde:

Tc n Fn n2 2f 2fλ

= ⋅ = ⋅ = ⋅µ

avec n = nombre de fuseaux

c = célérité le long de la corde f = fréquence de la vibration FT = tension de la corde µ = masse linéaire de la corde

Pour FT, c et µ donnés, on obtient une onde stationnaire seulement pour les fréquences vérifiant la relation:

*Tn Ff , n2

= ⋅ ∈µ

(fréquences propres de la corde)

La valeur n = l correspond au son le plus grave que la corde puisse émettre: c’est le son fondamental. La corde vibre alors en un seul fuseau.

Aux valeurs n = 2, 3 ... correspondent des sons plus aigus, appelés harmoniques.


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La formule des cordes vibrantes montre que • la fréquence du son fondamental augmente avec la tension de la corde, propriété

utilisée pour accorder les instruments; • plus la masse linéaire est grande, plus la fréquence du son émis est faible, donc plus le

son est grave, pour une tension et une longueur données; • plus la corde est courte, plus la fréquence est élevée, donc plus le son émis est aigu,

pour une tension et une masse linéaire données.

* Remarque intéressante

Tout système élastique limité dans l'espace peut être considéré comme oscillateur mécanique présentant un nombre (presque) infini de fréquences propres.

Le système vibre avec amplitude maximale si la fréquence excitatrice correspond à l'une des fréquences propres. (Il y a résonance!)


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e) Interférence dans un milieu à deux dimensions

* Dispositif expérimental Une fourche munie de deux pointes est fixée à l’extrémité d’un vibreur. Les pointes O1 et O2 ont ainsi même fréquence et constituent deux sources cohérentes. Elles font naître à la surface de l’eau des ondes circulaires.

* Observations A la surface libre du liquide on observe des rides fixes, bien nettes entre O1 et O2. Elles ont la forme d’arcs d’hyperboles dont les foyers sont O1 et O2. On les appelle des lignes ou des franges d’interférence. Elles disparaissent si l’une des pointes vibre sans toucher l’eau.

* Interprétation Supposons que les deux pointes frappent l’eau exactement au même instant: O1 et O2 constituent alors deux sources synchrones. Si elles pénètrent à la même profondeur dans l’eau elles constituent des sources synchrones de même amplitude.

Avec un choix convenable de l’origine des temps (pour que ϕ = 0) leur équation horaire peut s’écrire:

my Y sin t= ω


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Soit M un point de la surface de l’eau situé à la distance d1 de O1 et à la distance d2 de O2.

Si ces distances sont petites on pourra négliger l'amortissement des ondes.

L’onde venant de O1 impose au point M une élongation

1⎛ ⎞−⎜ ⎟λ⎝ ⎠1 m

t dy Y sin 2T

= π

L’onde venant de O2 impose au point M une élongation

22 m

t dy Y sin 2T

⎛ ⎞= π −⎜ ⎟λ⎝ ⎠

L'élongation résultante en M est y = y1 +y2 (superposition des petits mouvements)

* Interférence constructive

L’amplitude du mouvement résultant est maximale et égale à 2Ym aux points où les 2 vibrations y1 et y2 sont en phase.

sin a sin b a b n 2 , n= ⇔ = + ⋅ π ∈Z

1 21 2

t d t dy y 2 2 n 2 , nT T

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ π − = π − + ⋅ π ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Z

2 1d d n 2n , n2λ

− = ⋅λ = ⋅ ∈Z

A chaque valeur de n correspond une hyperbole.

Les points qui obéissent à la condition n = 0 sont ceux appartenant à la médiatrice de O1O2.

Les points qui obéissent à la condition n ≠ 0 appartiennent à une famille d’hyperboles de foyers O1 et O2.

* Interférence destructive

L’amplitude du mouvement résultant est minimale et nulle aux points où les 2 vibrations y1 et y2 sont en opposition de phase.

sin a sin b a b (2n ' 1) , n'= − ⇔ = + + π ∈Z

( )1 21 2

t d t dy y 2 2 2n ' 1 , n'T T

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇔ π − = π − + + π ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Z

( )2 1d d 2n ' 1 , n'2λ

− = + ⋅ ∈Z


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Les points qui obéissent à cette condition appartiennent à une autre famille d’hyperboles de foyers O1 et O2 qui s’intercalent entre les précédentes. A chaque valeur de n’ correspond une hyperbole.

* Points intermédiaires L’état vibratoire en un point M dépend donc de la différence des distances de ce point aux deux sources:

2 1d d− = δ est appelée différence de marche.

* Conclusions

Il y a interférence constructive en M, si la différence de marche est égale à un nombre pair de demi-longueurs d’onde. L’amplitude en M est alors maximale, égale à 2Ym.

Il y a interférence destructive en M, si la différence de marche est égale à un nombre impair de demi-longueurs d’onde. L'amplitude en M est alors minimale, égale à 0.

Si aucune de ces conditions n’est remplie, l’amplitude en M est comprise entre 0 et 2Ym.


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f) Interférence dans un milieu à trois dimensions

* Détection des ondes acoustiques Les ondes sonores ou acoustiques sont des ondes longitudinales qui se propagent dans tout milieu élastique, en particulier dans l’air. L’onde se propage dans toutes les directions de l’espace à partir de la source.

L’oreille mise à part, le détecteur de choix est le microphone. Sa pièce maîtresse est une membrane élastique que l’onde sonore met en vibration. Les vibrations mécaniques de la membrane sont ensuite transformées en vibrations électriques, c.-à-d. en tension alternative qu’on peut visualiser sur l’écran d’un oscilloscope.

* Expérience

Deux haut-parleurs P1 et P2, alimentés par un même générateur basse fréquence (f = 1500 Hz), sont placés l’un à côté de l’autre. Un microphone mobile est relié à un oscilloscope.

* Observations

Quand on déplace le microphone parallèlement à l’alignement des deux haut-parleurs, l’amplitude de la vibration sonore qu’il détecte passe alternativement par un minimum et par un maximum. Ces variations de l’amplitude du son détecté peuvent être observées non seulement dans le plan des deux haut-parleurs, mais dans tout l’espace compris entre eux.

* Interprétation

L’onde sonore détectée résulte de l’interférence entre les deux ondes acoustiques cohérentes émises par les deux haut-parleurs.

Il y a interférence constructive (amplitude maximale) en tout point M pour lequel la différence de marche des deux ondes acoustiques est telle que

1 2P M P M 2n , n2λ

− = ⋅ ∈Z

Il y a interférence destructive (amplitude minimale) en tout point N pour lequel la différence de marche des deux ondes acoustiques est telle que

( )1 2P N P N 2n ' 1 , n'2λ

− = + ⋅ ∈Z


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g) Diffraction des ondes mécaniques Deux lames L1 et L2 placées dans une cuve à ondes constituent un obstacle pour les ondes qui s'y propagent: la largeur de l'ouverture entre les deux lames est réglable. * 1er cas: la largeur de l'ouverture est grande comparée à la longueur d'onde de l'onde

incidente.

Les ondes se propagent dans la seconde partie de la cuve sans perturbation importante. Les ondes rectilignes restent rectilignes, mais l'ouverture limite leur propagation sur une largeur qui est égale à sa propre largeur. On dit que l'ouverture a diaphragmé l'onde incidente.

* 2e cas: la largeur de l'ouverture est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde de l'onde

incidente. (La mince ouverture est encore appelée fente.)

Au contact de la fente, l'onde rectiligne donne naissance à une onde circulaire centrée sur la fente. Celle.ci se comporte comme une source secondaire qui émet des vibrations vers la seconde partie de la cuve sur toute sa largeur: l'onde est diffractée par la fente.

* Propriétés de l'onde diffractée

L'onde diffractée a même fréquence que l'onde incidente. Les deux milieux de propagation étant identiques, les deux ondes ont même célérité. Les deux ondes ont donc aussi même longueur d'onde.


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3. Interférences lumineuses a) Expérience des fentes de Young

* Dispositif expérimental Ce dispositif a permis au physicien britannique Thomas Young (1773-1829) de démontrer la nature ondulatoire de la lumière. Une source monochromatique intense éclaire un écran percé d’une fente O. Cette fente donne naissance à un faisceau divergent qui éclaire un second écran percé de deux fentes très fines et parallèles, O1 et O2, distantes de quelques millimètres. Un écran E, placé parallèlement au plan des fentes, recueille la lumière issue de O1 et O2.

* Observations

Sur l’écran, on observe une série de raies parallèles, de même largeur, alternativement brillantes et sombres: ce sont des franges d’interférence. Elles sont observables quelle que soit la position de l’écran E, à condition qu’il traverse la partie commune aux faisceaux issus de O1 et O2.

* Interprétation

II est surprenant de voir qu’en certains points de l’espace:

lumière + lumière → obscurité

Cette expérience rappelle l’expérience des interférences mécaniques où en certains points de l’espace:

mouvement + mouvement → immobilité son + son → silence

Par analogie il faut admettre qu’la lumière monochromatique est une vibration sinusoïdale qui se propage à partir de la source lumineuse. La fréquence de l’onde lumineuse est caractéristique de la couleur de la lumière.

La lumière issue de O éclaire les deux fentes fines O1 et O2. Celles-ci se comportent comme deux nouvelles sources cohérentes de lumière. Dans la région où les deux faisceaux divergents se superposent, les ondes lumineuses interfèrent. Il y a lumière en M si l’interférence y est constructive. Il y a obscurité en M si l’interférence y est destructive.


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b) Etude théorique

* Calcul de la différence de marche L’état vibratoire en un point M dépend de la différence de marche de ce point aux deux sources O1 et O2:

2 1 2 1d d O M O Mδ = − = −

D = distance séparant le plan des fentes du plan de l’écran a = distance séparant les deux fentes x = abscisse du point M de l’écran repéré par rapport à la médiatrice IJ de O1O2. Compte tenu de ces notations, et en appliquant le théorème de Pythagore pour les triangles (O1KM) et (O2LM), on peut écrire:

22 21

ad D x2

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

22 22

ad D x2

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

En remplaçant dans la différence des carrés on obtient:

2 22 2 2 22 1

a ad d D x D x2 2

⎛ ⎞ ⎛− = + + − − −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

( )( )

⎞⎟⎠

( )( )

2 22 2

2 1 2 1

2 1 2 1

a ad d d d x ax x ax4 4

d d d d 2ax

⎛ ⎞ ⎛− + = + + − + −⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝− + =

⎞⎟⎠

Or, a et x sont des distances très faibles devant D (a et x sont de l’ordre du mm, tandis que D est de l’ordre du m). Les rayons O1M et O2M sont donc peu inclinés par rapport à la médiatrice IJ. On pourra faire l’approximation suivante: 1 2d d 2D+ ≈ . En introduisant dans la dernière relation, on obtient:

2 11 2

2ax 2axd dd d 2D

− = =+

et axD

δ =


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* Position des maxima et des minima

Franges brillantes: il y a luminosité maximale en M si l'interférence y est constructive, c.-à-d. si:

2n , n2

ax nD

λδ = ⋅ ∈

= ⋅λ

Z

Dx naλ

= ⋅

Les abscisses des franges brillantes sont donc: D 2 D0, , ,...a aλ λ

± ±

La frange centrale est donc brillante.

Franges obscures: il y a obscurité en M si l’interférence y est destructive, c.-à-d. si:

( )

( )

2n ' 1 , n'2

ax 2n ' 1D 2

λδ = + ⋅ ∈

λ= + ⋅

Z

( )2n ' 1 Dx2 a+ λ

= ⋅

Les abscisses des franges brillantes sont donc: D 3 D 5 D, , ...2a 2a 2aλ λ λ

± ± ±

* Interfrange et longueur d’onde de la lumière

L’interfrange i est la distance constante qui sépare deux franges voisines de même nature: Diaλ

=

Pour une lumière monochromatique donnée les franges sont d’autant moins serrées que les fentes sont rapprochées ou que l’écran se trouve loin des fentes.

L’interfrange dépend de la longueur d’onde de la lumière. La mesure de l’interfrange permet de déterminer la longueur d’onde de la lumière utilisée. On trouve des longueurs d’onde comprises entre 0,40 µm (lumière bleue) et 0,80 µm (lumière rouge).


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Exercices 1. Une lame vibrante, de fréquence f = 100 Hz, est munie d’une pointe qui produit en un

point O de la surface d’une nappe d’eau une perturbation transversale, sinusoïdale, d’amplitude 1 mm, se propageant dans toutes les directions du liquide à la vitesse constante de 36 cm/s. A l’origine des temps la source commence à vibrer en se déplaçant vers le haut.

a) Ecrire l’équation du mouvement de O en fonction du temps, puis l’équation du mouvement des points M et N, situés respectivement à 6,3 et à 9 mm de O. (On négligera la variation d’amplitude au cours de la propagation).

b) Comparer le mouvement des deux points considérés au mouvement de la source.

c) Représenter graphiquement le mouvement de O, de M et de N en fonction du temps.

d) Représenter graphiquement à l’instant t = 0,02 s, puis à l’instant t = 0,025 s l’aspect de la surface de l’eau en fonction de la distance à la source.

2. Une source effectue un mouvement harmonique de période 8 s. La trajectoire est un

segment vertical de 12 cm de longueur. A l’origine des temps, la source passe par sa position d’équilibre et se déplace vers le bas.

Calculer:

a) les valeurs de l'amplitude, de la pulsation et de la phase initiale;

b) l’élongation, la vitesse et l’accélération de la source après 1 s;

c) le temps au bout duquel la source se trouve déplacée pour la première fois de 3 cm vers le haut.

On suppose maintenant que le mouvement vibratoire se propage sans amortissement dans le milieu environnant, la période dans l’espace (où longueur d’onde) étant égale à 320 cm.

Calculer:

d) la célérité dans le milieu considéré;

e) l’élongation, à l’instant t = 6 s, d’un point M du milieu situé à 20 cm de la source. 3 a) Par quelle force faut-il tendre une corde de longueur 0,5 m et de masse 0,8 g pour que

le son fondamental émis soit le la3 de fréquence 220 Hz?

b) Quelles sont les fréquences des deux premiers harmoniques après le fondamental émis par cette corde dans les mêmes conditions?


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4 La corde ré d’une guitare a pour fréquence fondamentale 293,7 Hz; la corde sol voisine vibre à 392 Hz. La longueur des parties vibrantes des deux cordes est R = 65 cm. On souhaite raccourcir la partie vibrante de l’une des deux cordes de manière qu’elle sonne à la même fréquence que l’autre.

a) Quelle corde faut-il raccourcir?

b) De combien faut-il la raccourcir?

c) Quelle est la longueur d’onde de la vibration sonore produite alors par les deux cordes? (La célérité du son dans l’air est 340 m/s.)

5 Dans l'expérience des fentes de Young, les bords des raies brillantes sont irisés (c.-à-d.,

colorés, un bord est bleu, l’autre est rouge), lorsqu’on utilise une source de lumière blanche au lieu d’utiliser la source monochromatique. Expliquer!

6 Une expérience d’interférences en lumière verte conduit aux résultats de mesure suivants:

* distance séparant 11 franges brillantes consécutives: 10,0 mm * distance entre les fentes: 1,5 mm * distance entre le plan des fentes et l’écran: 2,80 m

Calculer la longueur d’onde de la lumière verte.


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2 Cinématique du Point 1. Position par rapport à un référentiel a) Repère cartésien (0, kji , , ) (lié au référentiel)

La position du mobile M est repérée par son vecteur position : O M⎯⎯→

kzjyixOM zyx

OM ++=⇔⎯→⎯⎯→⎯

b) Repère de Frenet (M, N ,T ) (lié au mobile)

Nous utiliserons ce repère si la trajectoire est circulaire/elliptique ou hélicoïdale.

M T

Os Sens +

Sens N

La trajectoire est munie d’une origine O. Elle est orientée (si possible dans le sens du mouvement).

Le mobile M se déplace sur sa trajectoire. Sa position est repérée par son abscisse curviligne s. Le repère de Frenet est lié au point M. Il comporte deux vecteurs unitaires et T N : • est tangent à la trajectoire au point M et orienté dans le sens de l’orientation de la

trajectoire. T

• N est perpendiculaire à T et dirigé vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.


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2. Vitesse par rapport à un référentiel a) Définition

dtOMd

tOMlimv

0t

⎯→⎯⎯→⎯

→∆=

∆∆

= (1)

La vitesse instantanée v est la dérivée de la position par rapport au temps. ⎯→⎯

OM

La vitesse exprime la rapidité avec laquelle la position varie.

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire. v

b) Coordonnées cartésiennes

kvjvivv vvv

v zyx

z

y

x

++=⇔ (2)

kzjyixOM zyx

OM ++=⇔⎯→⎯⎯→⎯

(3)

(1) et (3) ⇒ )kzjyix(dtdv ++=

kdtdzj

dtdyi

dtdxv ++= (4)

(2) et (4) ⇒ dtdxv x =

dtdyv y =

dtdzvz =


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c) Coordonnées de Frenet

NvTvv vv

v NTN

T +=⇔

Comme est tangent à la trajectoire vv N = 0 ⇒ Tv v T= ⋅

Définition de la vitesse : 1 2

t 0 t 0

OM M Mv lim limt t∆ → ∆ →

∆= =

∆ ∆ avec ∆t = t2 – t1

∆t → 0 ⇒ ⇒ 1 2M M sT→∆t 0

sv lim Tt∆ →

∆⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟∆⎝ ⎠

Finalement Tdtdsv = ⇒

dtdsvT = et vN = 0

d) Vitesse linéaire et vitesse angulaire dans le cas du mouvement circulaire uniforme

Un mobile M se déplace à vitesse constante v sur une trajectoire circulaire de rayon R.

Origine des temps et des espaces: à t = 0 M se trouve à l'origine O de la trajectoire circulaire que l'on oriente dans le sens du mouvement.

La position du mobile peut être repérée soit par son abscisse curviligne s, soit par son abscisse angulaire θ qui mesure l'angle de la rotation depuis l'origine O sur le cercle. A l'instant t1, son abscisse curviligne est s1, à l'instant t2, il est s2. Son déplacement pendant la durée ∆t = t2 − t1 est ∆s = s2 − s1. A l'instant t1, son abscisse angulaire est θ1. (C'est l'angle entre CO et CM1.) A l'instant t2, il est θ2. Son angle de rotation pendant la durée ∆t = t2 − t1 est ∆θ = θ2 − θ1.

La mesure de l'abscisse angulaire θ est positive si la trajectoire du point a été orientée dans le sens du mouvement ! Cette mesure s'exprime en radians (rad) dans le Système International d'unités.


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• Relation entre l’arc et l’angle:

s R∆ = ⋅∆θ , où ∆θ est exprimé en rad

Le radian est donc l'angle pour lequel l'arc est égal au rayon.

Pour 1 tour complet, ∆s = 2πR. On a donc: 1 tour = 360° = 2π rad.

• Vitesse linéaire v (instantanée):

C'est la vitesse instantanée de M: dtdsvv T == .

Dans le cas du mouvement uniforme svt

∆=∆

(formule vue en classe de 2e)

• Vitesse angulaire ω (instantanée):

C'est l'angle duquel M tourne par unité de temps: t 0

dlimt dt∆ →

∆θ θω = =

∆

Dans le cas du mouvement uniforme t

∆θω =

∆ (formule à retenir)

Unité S.I.: 1 rad/s.

• Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire d'un point:

s Rv Rt t t

∆ ⋅∆θ ∆θ= = = ⋅ = ⋅ω∆ ∆ ∆

R

Finalement: v R= ⋅ω (formule à retenir)

• Période de rotation T

C'est la durée d'1 tour: t T si 2∆ = ∆θ = π

2Tπ

ω = ⇔ Période 2T π

=ω

(formule à retenir)

• Fréquence de rotation f C'est le nombre de tours par seconde.

En T secondes il y a 1 tour

En 1 seconde il y a 1/T tours

Fréquence 1fT

= exprimée en hertz (Hz) (formule à retenir)


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3. Accélération par rapport à un référentiel a) Définition

dtvd

tvlima

0t=

∆∆

=→∆

(1)

L’accélération a est la dérivée de la vitesse v par rapport au temps.

L'accélération exprime la rapidité avec laquelle la vitesse varie.

Comme 2

2

dtOMd

dtOMd

dtda ,

dtOMdv

⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

L’accélération a est la dérivée seconde de la position par rapport au temps. ⎯→⎯

OM b) Coordonnées cartésiennes

kajaiaa aaa

a zyx

z

y

x

++=⇔ (2)

kvjvivv vvv

v zyx

z

y

x

++=⇔ (3)

(1) et (3) ⇒ )kvjvi(vdtda zyx ++=

kdt

dvjdt

dvi

dtvda zyx ++= (4)

(2) et (4) ⇒ dtvda x

x = ; dtvd

a yy = ;

dtvda z

z =


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Or dtdxvx = ⇒ 2

2

x dtxda =

De même pour ay et az ⇒ 2

2

z2

2

y2

2

x dtzda ;

dtyda ;

dtxda ===

c) Coordonnées de Frenet

NaTaa aa

a NTN

T +=⇔

a exprime la rapidité avec laquelle v varie

- en norme ; - en direction.

• Mouvement rectiligne: (résultat de la classe de 2a v e) ⇒ Ta a T= et aN = 0

Montrons que TT

dvadt

=

tvlima

0t ∆∆

=→∆

Ttvvlima T1T2

0t ∆−

=→∆

Tt

vlima T

0t ∆∆

=→∆

Tdt

dva T= ⇒ TT

dvadt

= ( Tv v= ± )

La composante tangentielle de l'accélération exprime la rapidité avec laquelle la norme de la vitesse varie.


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• Mouvement circulaire uniforme de rayon R: v constant ⇒ Ta 0= et Na a N=

Montrons que 2

2N

va RR

v= = ω = ω

* Détermination de la direction de a :

tvlima

0t ∆∆

=→∆

∆t → 0 ⇒ 0v →∆ et : direction de v∆ → direction de N

Donc : de même direction et de même sens que a N (aN > 0) ⇔ a est centripète

* Calcul de aN :

tv

limtvlimaa

0t0tN ∆

∆=

∆∆

==→∆→∆

∆t → 0 ⇒ ∆θ → 0 ⇒ v AB v∆ → = ⋅ ∆θ (v1 = v2 = v)

N t 0

t 0

va lim

t

v limt

v

∆ →

∆ →

⋅ ∆θ=

∆∆θ

= ⋅∆

= ⋅ω

(∆θ abscisse angulaire entre 1v et 2v = abscisse angulaire entre les vecteurs positions

et OM !) 1OM 2

Comme v = Rω

ω=ω== vRRva 2

2

N


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Conclusions:

1) Au cours d'un mouvement circulaire uniforme de rayon R et de vitesse v (de vitesse angulaire ω), l'accélération est centripète et de norme

22

N RRvaa ω=== .

2) L'accélération normale exprime la rapidité avec laquelle la direction de la vitesse varie.

d) Exemples

rapide plusen plus demvt augmente vaigu aet v entre angle0av ⇔⇔⇔>⋅

(freinage)lent plusen plus demvt diminue vobtu aet v entre angle0av ⇔⇔⇔<⋅

uniformemvt constant vaet v entre rectangle angle si 0av ⇔⇔=⋅

uniformeet rectilignemvt constant v0a si 0av ⇔⇔==⋅


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4. Mouvements rectilignes Nous les étudions dans un repère cartésien comportant un seul axe Ox parallèle au mouvement.

Nous établirons les formules vues en classe de 2e beaucoup plus aisément à l'aide des relations avec les dérivées.

a) Mouvement rectiligne uniforme (MRU) C'est un mouvement à vecteur accélération nul!

* Conditions initiales (C.I.)

t = 0 ⇒ x = x0 (1) vx = v0x (2)

* Accélération

⇒= 0a 0a x = ∀t

* Vitesse

Kvdt

dva xx

x =⇒= (K = constante d'intégration) (3)

Déterminons K : t = 0 : (2) ⇒ vx = v0x

(3) ⇒ vx = K D'où : K = v0x !

Finalement : x0x vv = ∀t

* Position

Or 'Ktvxdtdxv x0x +=⇒= (K' = constante d'intégration) (4)

Déterminons K' : t = 0 (1) ⇒ x = x0

(4) ⇒ x = K’ D'où : K' = x0 !

Finalement : 0x0 xtvx += ∀t


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b) Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) C'est un mouvement à vecteur accélération constant!

* Conditions initiales (C.I.)

t = 0 ⇒ x = x0 (1) vx = v0x (2)

* Accélération

a constant ⇒ ax constant ∀t

* Vitesse

Ktavdt

dva xxx

x +=⇒= (K = constante d'intégration) (3)

Déterminons K : t = 0 : (2) ⇒ vx = v0x

(3) ⇒ vx = K D'où : K = v0x !

Finalement : x0xx vtav += ∀t (4)

* Position

Or 'Ktvta21x

dtdxv x0

2xx ++=⇒= (K' = constante d'intégration) (5)

Déterminons K' : t = 0 (1) ⇒ x = x0

(5) ⇒ x = K' D'où : K' = x0 !

Finalement : 0x02

x xtvta21x ++= ∀t (6)

En éliminant t entre (4) et (6) on obtient une relation entre les vitesses et les abscisses :

)xx(a2vv 0x2

x02x −=− ⇔ ( ) xa2v x

2x ∆=∆


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3 Dynamique. Principes de Newton

* Les principes de Newton ne peuvent pas être démontrés. Ils sont tout simplement validés

par le fait qu’ils sont confirmés quotidiennement par l’expérience.

* Les principes de Newton ne sont valables que dans certains référentiels appelés référentiels galiléens. (En première approximation la Terre est en tel référentiel. Par suite, tous les référentiels en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à la Terre sont également des référentiels galiléens.)

1. Principe d’inertie (Newton I)

Si un système de masse m n’est soumis à aucune force, ou s’il est soumis à un ensemble de forces dont la résultante est nulle, alors le centre d’inertie G du système décrit un mouvement rectiligne et uniforme.

En particulier : si un tel corps est au repos il restera au repos.

2. Principe fondamental (Newton II)

Si un système de masse totale m est soumis à plusieurs forces extérieures dont la résultante n’est pas nulle, alors le centre d'inertie G du système prend une accélération a liée à la

résultante et à la masse m d'après la relation : FΣ

FΣ

amF ⋅=Σ

3. Principe de l’action et de la réactions (= principe des actions réciproques) (Newton III)

Si un corps A exerce une force B/AF sur un corps B, alors le corps B exerce également une force A/BF sur le corps A tel que :

A/BB/A FF −= .


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4 Mouvement dans un champ de force constant

1. Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur a) Données

Un projectile, de masse m est lancé dans le champ de pesanteur g avec une vitesse initiale de lancement . Ce vecteur fait avec l'horizontale un angle aigu α appelé angle de tir.

0v

Dans la suite on n'étudiera que des mouvements de vitesse initiale faible. Les dimensions de la trajectoire restent alors négligeables par rapport au rayon de la Terre ce qui permet de considérer le champ de pesanteur comme uniforme : g est constant en direction, sens et intensité.

Caractéristiques du champ de pesanteur uniforme g : direction: verticale sens: vers le bas norme g = 9,8 m/s2 = constant

(Pour des mouvements de longue portée il faudra tenir compte: - du changement de direction de g en raison de la courbure de la Terre - de la variation de l'intensité de g avec l'altitude.)

De plus, si la vitesse du projectile reste faible on pourra négliger le frottement de l'air par rapport au poids.

b) Système. Référentiel. Repère * Le système est le projectile de masse m.

* Le référentiel est celui de la Terre.

* L’origine du repère cartésien ne coïncide pas forcément avec le point de lancement du projectile. L’axe Ox (défini par ) est horizontal et est contenu dans le plan vertical contenant i 0v . L’axe Oy (défini par ) est vertical et dirigé vers le haut. jOn n’a pas besoin de troisième axe car le mouvement se déroule dans un plan.

c) Conditions initiales * Position initiale :

A t = 0 : : x0OM 0 = 0 y0 ≠ 0 (le projectile part à une altitude quelconque)

* Vitesse initiale :

A t = 0 : forme avec l'horizontale un angle de tir α tel que 0 < α < 0v2π

0v : α= cosvv 0x0 α= sinvv 0y0


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d) Forces extérieures

Seule force extérieure : poids du projectile. P(Nous avons négligé le frottement !)

e) Accélération

Appliquons le principe fondamental de Newton (Newton II) :

amgmamP

amF

==

=∑

ga =

Conclusion :

L’accélération est un vecteur constant dont la norme est indépendante de la masse du projectile. Sa norme est égale à l’intensité de la pesanteur.

Projection de l’équation vectorielle sur l’axe Ox : 0a x = (1)

Projection de l’équation vectorielle sur l’axe Oy : ga y −= (2)


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f) Vitesse

Comme dt

dvaet

dtdva y

yx

x == , les coordonnées de la vitesse sont les primitives des

coordonnées de l’accélération.

En prenant la primitive de la relation (1), on obtient : Cvx = (3) Condition initiale : t = 0 ⇒ α= cosvv 0x Remplaçons dans (3) ⇒ α= cosvC 0 . Donc : α= cosvv 0x (4) Conclusion :

La projection du mouvement sur l’axe Ox est un mouvement uniforme.

En prenant la primitive de la relation (2), on obtient : Cgtv y +−= (5) Condition initiale : t = 0 ⇒ vy = v0sinα. Remplaçons dans (5) ⇒ C = v0sinα. Donc : α+−= sinvgtv 0y (6)

Conclusion :

La projection du mouvement sur l’axe Oy est un mouvement uniformément varié. g) Position (équations paramétriques du mouvement)

Comme dtdyet v

dtdxv yx == , les coordonnées de la position sont les primitives des

coordonnées de la vitesse.

En prenant la primitive de la relation (4), on obtient : ( ) Ctcosvx 0 +⋅α= (7) Condition initiale : t = 0 ⇒ x = x0 = 0. Remplaçons dans (7) ⇒ C = 0. Donc : ( ) tcosvx 0 ⋅α= (8)

En prenant la primitive de la relation (6), on obtient : ( ) Ctsinvgt21y 0

2 +⋅α+−= (9)

Condition initiale : t = 0 ⇒ y = y0.

Remplaçons dans (9) ⇒ C = y0. Donc : ( )20 0

1y gt v sin t2

y= − + α ⋅ + (10)

h) Equation cartésienne de la trajectoire

(8) ⇒ α

=cosvxt

o

Dans (10) ⇒ 202 2

o

gy x x tan2v cos

= − + ⋅ α +α

y (11)

C'est l'équation d'une parabole.


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i) Position du point d'impact P sur le sol

Pour P, y = 0. Remplaçons dans l'équation (11): 202 2

o

g x x tan y2v cos

0− + ⋅ α + =α

(12)

Cette équation du deuxième degré a en principe deux racines dont il faut choisir celle qui convient.

j) Position du point d'impact P au cas particulier où y0 = 0

L'équation (12) s'écrit maintenant: 0cossinx

cos2vgx 22

o

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛αα

+α

−

Il faut donc que: soit x = 0, soit 0cossinx

cos2vg

22o

=αα

+α

−

1ére solution: x1 = 0 (point de lancement)

2e solution 2 2o o

2 P2v sin cos v sin 2x x

g gα α

= = =α (13)

* Remarque 1

La relation (13) permet de calculer α pour une valeur donnée de v0!

( ) 2o

P

vxg2sin ⋅

=α

Cette équation trigonométrique admet deux solutions α1 et α2 telles que : 2α2 = π − 2α1

ou bien : α2 = 2π

− α1

Conclusion : Pour une valeur donnée de v0, une même portée est atteinte pour deux angles de tir différents (si α est différent de 0o, 45o et 90o). Ces deux angles sont complémentaires.

* Remarque 2

La portée du tir dépend de l'angle de tir; pour une valeur donnée de v0 elle est maximale si : sin 2α = 1

2α = π2

α = π4

Conclusion : Pour une valeur donnée de v0, la portée est maximale pour α = 45o.


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k) Position du sommet S (altitude maximale atteinte) En S, la coordonnée verticale du vecteur vitesse est nulle :

0y S 0 S

v sinv (S) 0 gt v sin 0 tg

α= ⇔ − + α = ⇔ =

Remplaçons dans (10): ( )2S S 0 S

1y gt v sin t2

= − + α ⋅ + 0y

Lorsqu'on dispose de valeurs numériques, le calcul est en général simple!

l) Position du sommet S au cas particulier où y0 = 0

Dans ce cas: 0S

v sintg

α= ⇒ ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α⋅α+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−=

gsinv

sinvgsinv

g21y 0

0

20

S

Finalement: 2gsinv

y22

oS

α=

m) Tir réel

En présence du frottement de l’air, la trajectoire n’est plus symétrique et les valeurs de la portée et de la flèche sont nettement inférieures à celles qu’on vient de calculer.

α

y

x

S

S'

parabole

trajectoire réelle

P' PO


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2. Mouvement d'une charge dans un champ électrique uniforme a) Données A l’instant initial, une particule de masse m et de charge électrique q > 0 pénètre avec la vitesse dans l'espace compris entre les armatures d’un condensateur plan, auxquelles on a appliqué une tension constante U = V

0v+ − V− > 0.

Entre ces plaques s'établit un champ électrique uniforme E : direction: perpendiculaire aux plaques sens: de la plaque + vers la plaque − (vers les potentiels décroissants)

norme constant dUE == (d: distance entre les plaques)

Le mouvement a lieu dans le vide afin d’éviter les chocs avec d’autres particules. b) Système. Référentiel. Repère Le système étudié est la particule chargée. Le référentiel est celui du condensateur qui crée le champ électrique uniforme. Choisissons l’origine O du repère: par exemple le point par lequel la charge entre dans le champ.

On choisit les directions des axes de façon que Oy soit parallèle à E et Ox soit perpendiculaire à . E

c) Conditions initiales * Position initiale :

A t = 0 : Position: x0 = 0 y0 = 0


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* Vitesse initiale :

A t = 0 : 0v forme avec l'horizontale un angle α tel que 0 < α < 2π

0v : α= cosvv 0x0 α= sinvv 0y0

d) Forces extérieures

Force électrique EqF =

Le poids est négligeable devant . Il n’y a pas de frottement car le mouvement se fait dans le vide.

F

e) Accélération Appliquons le principe fondamental de Newton (Newton II) :

amEq

amF

=

=∑

mEqa =

Champ uniforme ⇒ accélération E a constante Projection de l’équation vectorielle sur l’axe Ox : 0a x = (1)

Projection de l’équation vectorielle sur l’axe Oy : yqam

= − E (2)

e) Vitesse

Comme dt

dvaet

dtdva y

yx

x == , les coordonnées de la vitesse sont les primitives des

coordonnées de l’accélération.

En prenant la primitive de la relation (1), on obtient : Cvx = (3) Condition initiale : t = 0 ⇒ α= cosvv 0x Remplaçons dans (3) ⇒ α= cosvC 0 . Donc : α= cosvv 0x (4) Conclusion :

La projection du mouvement sur l’axe Ox est un mouvement uniforme.

En prenant la primitive de la relation (2), on obtient : yqEv tm

C= − + (5)


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Condition initiale : t = 0 ⇒ vy = v0sinα.

Remplaçons dans (5) ⇒ C = v0sinα. Donc : y 0qEv t v sim

n= − + α (6)

Conclusion :

La projection du mouvement sur l’axe Oy est un mouvement uniformément varié. f) Position (équations paramétriques du mouvement)

Comme dtdyet v

dtdxv yx == , les coordonnées de la position sont les primitives des

coordonnées de la vitesse.

En prenant la primitive de la relation (4), on obtient : ( ) Ctcosvx 0 +⋅α= (7) Condition initiale : t = 0 ⇒ x = x0 = 0. Remplaçons dans (7) ⇒ C = 0. Donc : ( ) tcosvx 0 ⋅α= (8)

En prenant la primitive de la relation (6), on obtient : ( )20

1 qEy t v sin t2 m

C= − + α ⋅ + (9)

Condition initiale : t = 0 ⇒ y = 0.

Remplaçons dans (9) ⇒ C = 0. Donc : ( )20

1 qEy t v sin2 m

t= − + α ⋅ (10)

g) Equation cartésienne de la trajectoire

(8) ⇒ α

=cosvxt

o

Dans (10) ⇒ 22 2o

qEy x2mv cos

= − + ⋅ αα

x tan (11)

C'est l'équation d'une parabole.

h) Particule au point de sortie S du champ : position, date, vitesse

* Abscisse du point S: (12) =sx

(12) dans (11) ⇒ 2

S 2 20

qEy t2mv cos

= − + α ⋅α

an

* (12) dans (8) ⇒ date tS de sortie du champ: S0

tv cos

=α

(13)


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* (13) dans (4) et (6) ⇒ vitesse Sv de la charge à la sortie du champ :

Coordonnées: Sx 0v v cos= ⋅ α

Sy 00

qEv vmv cos

= − + αα

sin

Direction de par rapport à l’axe Ox : Sv Sy

Sx

vtan

vθ =

k) Position du point le plus haut H En H, la coordonnée verticale du vecteur vitesse est nulle :

0y H 0 H

v msinqEv (H) 0 t v sin 0 tm qE

α= ⇔ − + α = ⇔ =

Remplaçons dans (10): ( )2S H 0

1 qEy t v sin2 m

= − + α ⋅ Ht

Lorsqu'on dispose de valeurs numériques, le calcul est en général simple! 3. Remarques importantes

1) Dans un champ de force constant, le mouvement d'un corps est en général parabolique. L'étude du mouvement se fait de la même manière aussi bien pour une masse m dans un champ de pesanteur g que pour une charge q dans un champ électrique . E

2) Si la vitesse initiale est dirigée obliquement vers le bas, il faudra introduire un angle α négatif dans toutes les formules! Pour cosα rien ne change, par contre sinα deviendra négatif.

3) Dans le cas particulier où α = ±90°, le mouvement est rectiligne et uniformément varié suivant l'axe Oy. Etablir les formules à titre d'exercice!

4) Dans le cas d'une charge négative, toutes les formules restent valables. Il suffit de remplacer q par sa valeur négative. Dans ce cas l'accélération est dirigée vers le haut et la parabole est ouverte vers le haut.


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5 Mouvement d'une particule soumise à une force centrale. Gravitation

1. Particule en mouvement circulaire uniforme Il a été établi plus haut que:

Un corps de masse m, en mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v (de

vitesse angulaire ω), a une accélération centripète a de norme 2

2 va rr

= ω = .

D'après le principe fondamental de Newton, ce corps est soumis à une seule force ou à un ensemble de forces, colinéaire à l'accélération, suivant la relation:

F maΣ =

Conclusion:

La résultante de toutes les forces s'exerçant sur un corps en mouvement circulaire uniforme

est centripète et de norme 2

2 vF ma mr mr

Σ = = ω =

Exemple:

Masse m suspendu à un fil en mouvement circulaire uniforme; soumis à deux forces, la tension du fil et le poids . (Le fil fait un angle α constant avec la verticale.) La résultante de ces deux forces est constamment centripète, colinéaire à l'accélération de la masse m.

T P


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2. Loi de Newton de la gravitation a) Force d’interaction gravitationnelle

En analysant les mouvements planétaires, Newton a pu montrer que la forme elliptique des trajectoires observées résulte d'une force

* dirigée vers le centre du soleil * d'intensité inversement proportionnelle au carré de la distance à ce centre.

Cette constatation l'a amené à généraliser cette conclusion et à formuler la loi d'attraction des masses qui est une propriété universelle de la matière :

Deux particules matérielles ponctuelles A et B de masses respectives mA et mB, situées l'une de l'autre à la distance r, s'attirent mutuellement avec une force d'intensité

2BA

Asur BBsur A rmmKFF ==

* F A sur B est la force gravitationnelle que A exerce sur B F B sur A est la force gravitationnelle que B exerce sur A

d'après le principe de l'action et de la réaction : Asur BBsur A FF −=

* K est la constante de gravitation universelle qui vaut K = 6,67⋅10−11 Nm2/kg2

* Remarque : Cette formulation de la loi de Newton ne s’applique qu’à des masses ponctuelles ; cependant on démontre qu'une sphère de masse m et de rayon R équivaut à un point matériel se trouvant au centre de la sphère et dont la masse est égale à m. Ceci est notamment le cas pour la plupart des corps célestes.

b) Forme vectorielle

Soit ABu un vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B. Les forces attractives qui s’exercent entre les deux masses ponctuelles s’expriment par

AB2BA

Asur BBsur A urmmKFF −=−=


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3. Champ de gravitation a) Qu’est-ce qu’on entend par champ de gravitation ?

Un champ de gravitation est une portion de l'espace où une masse m est soumise à une force de gravitation . F

b) Définition du vecteur champ de gravitation G

Le champ de gravitation en un point de l’espace est caractérisé par un vecteur égal à la force de gravitation qui s'exerce sur une masse ponctuelle m = 1 kg placée en ce point.

G

mFG =

m > 0, donc a même direction et sens que G F.

Le vecteur champ G est une caractéristique du point considéré ; il est indépendant de la masse m qui est placée en ce point.

c) Champ de gravitation créé par une masse ponctuelle (ou par un corps sphérique)

Considérons une grande masse ponctuelle M située en un point A (ou bien un corps sphérique de rayon R, de masse M et de centre A). La masse M crée un champ de gravitation autour d’elle !

Plaçons (par la pensée) dans ce champ une petite masse m en un point B situé à la distance r du point A. La masse m se trouve dans le champ créé par la masse M et subit une force de gravitation : F

AB2 ur

MmKF −= ( ABu un vecteur unitaire dirigé de A vers B)

Le vecteur champ G au point B s’obtient par : mFG = ⇒ AB2 u

rMKG −=


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d) Champ de gravitation de la Terre L’intensité du champ de gravitation de la Terre (ou de tout autre corps céleste) diminue lorsqu’on s’éloigne du centre C de la Terre. Soit R le rayon et M la masse de la Terre ; considérons un point P situé à l’altitude z au-dessus de la surface terrestre.

En P: r = R + z

G = K⋅( )2z + R

M (1)

A la surface de la Terre, z = 0 : G0 = K⋅ 2RM (2)

(1) et (2) ⇒ 2

2

0 z)(RRGG+

=

e) Remarques

1) On ne fait généralement pas de distinction entre la force d'attraction de la Terre : F = m G (G: intensité du champ de gravitation) et le poids : P = m g (g: intensité du champ de pesanteur

ou accélération de chute libre) La détermination de g par la chute libre se fait dans un repère terrestre, qui, à cause de la rotation de la Terre, n'est pas galiléen ; il s’en suit qu’en toute rigueur G ≠ g . Mais comme la vitesse angulaire de la Terre est relativement faible (1 tour en 24 h), ces deux forces sont pratiquement identiques et on peut écrire en première approximation :

g = go 2

2

z)(RR+

2) Comme la Terre n’est pas rigoureusement sphérique, go varie avec la latitude du lieu. A l’équateur : g0 = 9,78 m/s2; aux pôles g0 = 9,83 m/s2.


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4. Mouvement des planètes et satellites : Lois de Kepler Partisan du système de Copernic qu’il voulait démontrer en le confrontant à des observations précises, Kepler constata que les trajectoires des planètes ne sont pas circulaires mais elliptiques.

a) Première loi

Les trajectoires planétaires sont des ellipses dont le soleil occupe l’un des foyers.

b) Deuxième loi En des durées égales, les aires balayées par le segment qui joint le centre de la planète au centre du soleil sont égales.

2 1 4 3 1Si t t t t alors A A− = − = 2 . c) Troisième loi

Le carré de la période de révolution T d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe a de son orbite.

2 21 23 31 2

T T constantea a

= =

(T1 : période d’une première planète de demi-grand axe a1 ; T2 : période d’une deuxième planète de demi-grand axe a2)


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d) Remarque Comme une trajectoire non rectiligne implique nécessairement la présence d’une force (principe d’inertie), Newton a pu déduire des lois de Kepler l’expression de la force d’interaction gravitationnelle. Il en déduisit d’ailleurs que sous certaines conditions des trajectoires paraboliques ou hyperboliques sont également possibles (ce qui est p.ex. le cas pour les comètes non périodiques).

5. Satellite en mouvement circulaire et uniforme a) Données

Le cercle peut être considéré comme une ellipse particulière où les deux foyers sont confondus. Dans ce cas le grand axe et le petit axe sont égaux et correspondent au diamètre.

L’étude suivante se limite aux trajectoires circulaires, ce qui correspond en première approximation • aux orbites des satellites artificiels de

la Terre dans le référentiel géocentrique C'est le référentiel constitué par le centre de la Terre et trois étoiles fixes bien déterminées. à la plupart des orbites planétaires dans le référentiel héliocentrique de Copernic. C'est le référentiel constitué par le centre du Soleil et les trois mêmes étoiles fixes.

On considère un satellite de masse m tournant autour d’un astre (Terre) de masse M sur un cercle de rayon r = R + z, avec R = rayon de l’astre et z = altitude.

Le centre de la trajectoire coïncide avec celui de l’astre.

b) Système. Référentiel. Repère * Le système étudié est le satellite de masse m évoluant, avec une vitesse v, à la distance r

par rapport au centre C de l'astre.

* Le référentiel dépend du cas qu'on étudie :

• Cas d'un satellite artificiel de la Terre : référentiel géocentrique.

• Cas d'une lune en mouvement autour d'une planète : référentiel constitué par le centre de la planète et les mêmes étoiles fixes que celles du référentiel géocentrique.

• Cas d'une planète en mouvement autour du Soleil : référentiel héliocentrique de Copernic.

* Pour les mouvements circulaires on utilise de préférence le repère de Frenet (expressions mathématiques plus simples)


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c) Forces extérieures

Uniquement la force gravitationnelle F dirigée vers le centre de l'astre : ur

MmKF 2−=

d) Accélération

Principe fondamental : amF =∑ ⇒ amur

MmK 2 =−

⇒ GurMKa 2 =−=

Projection sur l'axe tangentiel : 0a T = (1)

Projection sur l'axe normal : 2N rMKa = (2)

e) Vitesse

(1) ⇒ 0dt

dvT = ⇒ vT = v = constant

Conclusion 1 : Le mouvement d'un satellite en orbite circulaire est uniforme.

Comme r

va2

N = , (2) ⇒ GrMK

rv

2

2

==

⇔ rGr

KMv ⋅==

Or : 2

2

0 z)(RRGG+

= et : zRr +=

On obtient : zR

GR

zRKMv 0

+=

+=

Conclusion 2 :

La vitesse d'un satellite est indépendante de la masse du satellite. Elle dépend par contre de la masse de l'astre central et de la distance du satellite par rapport au centre de cet astre.

zRG

RzR

KMv 0

+=

+=


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f) Période de rotation La période de révolution est le temps que met le satellite pour effectuer une révolution complète sur sa trajectoire; la distance parcourue vaut s = 2πr = 2π(R+z)

( )v

zR2v

r2T +π=

π=

Finalement : ( )

0

33

G)zR(

R2

KMzR2T +π

=+

π=

g) Cas particulier : satellite géostationnaire

Pour un satellite terrestre tournant dans le plan de l'équateur, on peut calculer l'altitude z pour que T = 23 h 56 min 4 s (période de rotation terrestre = jour sidéral). Dans ce cas, la période de révolution du satellite est égale à la période de rotation de la Terre. Alors le satellite reste toujours à la verticale d’un point de l’équateur et paraît donc immobile dans le référentiel terrestre. Le satellite est dit géostationnaire.

2 2703

2

T R GR z 4,22 10 m4

+ = = ⋅π

( )7 6z 4, 22 10 6, 4 10 m 3,58 10 m= ⋅ − ⋅ = ⋅ 7

On trouve pour l'altitude z du satellite à peu près 36000 km.

Pourquoi n’y a-t-il pas de satellite géostationnaire placé à la verticale de Luxembourg ? (Quel doit être le centre de sa trajectoire circulaire ?)

h) La troisième loi de Kepler est valable pour les satellites

Elevons la relation précédente au carré :

( )KMr4

KMzR4T

32

322 π=

+π= ⇔

KM4

rT 2

3

2 π= =constante

o2

32

o2

322

GRr4

GR)zR(4T π=

+π= ⇔

02

2

3

2

GR4

rT π

= = constante

Le carré de la période de révolution d'un satellite est proportionnel au cube du rayon de son orbite.

Cette formule s'utilise en astronomie pour déterminer la masse M d'un astre à partir de la période de révolution d'un satellite.


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Chapitre 6: Oscillations libres d’un pendule élastique horizontal

1. Définitions a) Oscillateur mécanique

Un système mécanique qui effectue un mouvement d'aller-retour de part et d'autre de sa position d'équilibre est dit oscillateur mécanique. Une oscillation est un aller-retour autour de la position d'équilibre.

Exemples: mouvement des marées, battements du cœur,...

b) Oscillateur libre C'est oscillateur abandonné à lui-même après excitation extérieure.

Exemples: pendule simple, pendule élastique,... c) Oscillateur harmonique

C'est un oscillateur dont l'évolution dans le temps suit une loi sinusoïdale du temps.

Exemples: pendule élastique sans frottement (cas idéalisé) d) Oscillateur forcé

C'est un oscillateur excité par un dispositif extérieur imposant le rythme d'oscillation.

Exemples: mouvement des marées, haut-parleurs,... e) Oscillateur amorti

C'est un oscillateur dont les oscillations s'affaiblissent au cours du temps.

Exemples: pendule élastique réel, mouvement d'une corde de piano,...


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2. Expérience fondamentale: pendule élastique horizontal a) Description du pendule élastique

Disposons sur un rail à coussin d’air un chariot pouvant glisser pratiquement sans frottement. Il est attaché à l’une des extrémités d’un ressort. L’autre extrémité du ressort est fixe. Les spires du ressort sont non-jointives, de sorte que le ressort peut également être comprimé.

b) Observations

Ecartons légèrement le chariot de sa position d’équilibre et lâchons-le sans vitesse initiale.

Le solide effectue des oscillations libres autour de sa position d’équilibre. Ces oscillations sont légèrement amorties à cause de la résistance de l’air freinant le chariot.

2. Etude cinématique du pendule élastique horizontal a) Données

Un pendule élastique horizontal est constitué d’un ressort de raideur k et d’un solide de masse m. On néglige tout frottement (idéalisation !). Tirons le chariot, à partir de sa position d’équilibre, d’une distance d vers la droite. Lâchons le corps sans vitesse initiale.

b) Système. Référentiel. Repère

Le système étudié est le corps de masse m.

Le référentiel est celui de la Terre (= celui où le pendule est au repos).

L’origine O du repère est le centre d’inertie G du solide lorsque le ressort n’est pas déformé.

L’axe Ox est parallèle au ressort et orienté dans le sens de l’étirement du ressort. L'axe Oy est vertical. (On n’a pas besoin du 3e axe Oz car il n'y a pas de force ni de mouvement selon cet axe.)


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b) Conditions initiales Le corps est lâché à l’instant initial. t = 0 ⇒ x0 = d > 0 v0x =0

c) Forces extérieures

* Poids P Pmg= x = 0 Py = -P

* Force pressante du coussin d'air R Rx = 0 Ry = R

* Tension du ressort TT x = -kx Ty = 0 En effet: si le ressort est étiré Tx = -kx < 0

si le ressort est comprimé Tx = -kx >0


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d) Accélération Appliquons le principe fondamental de Newton (Newton II) :

F ma=∑ ⇔ P R T ma+ + = (1)

Projection de l’équation vectorielle (1) sur l’axe Ox : xkam

= − x (2)

G effectue un mouvement rectiligne. L'accélération est donc parallèle à l'axe Ox. ya 0= (3) L'accélération n'est donc pas constante. Elle dépend de la déformation x du ressort (= écartement du solide par rapport à sa position d'équilibre = élongation du solide). Elle est constamment dirigée vers la position d'équilibre du solide.

e) Equation différentielle du mouvement

Comme 2

x 2

d xadt

= , l'équation (2) donne: 2

2

d x k xdt m

= −

C'est l'équation différentielle du mouvement! f) Relation entre P et R

Projection de l’équation vectorielle (1) sur l’axe Oy : y yP R ma y+ =

P R 0− + =

R P=

g) Solution de l'équation différentielle du mouvement Résoudre une telle équation revient à chercher la fonction du temps x(t) qui possède une dérivée seconde telle que:

2

2

d x k xdt m

= −

L'étude mathématique de cette équation fournit comme solution m 0x X cos( t )= ω +ϕ

Vérifions sa validité! Dérivons: m 0 0dx X sin( tdt

)= − ω ω +ϕ

2

2 2m 0 0 02

d x X cos( t )dt

x= − ω ω +ϕ = −ω

Remplaçons dans l'équation différentielle: 20

kx xm

−ω = −


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La fonction convient si on pose mx X cos( t )= ω +ϕ 20

km

ω = , ce qui est possible car m et

k sont positifs! Conclusion:

L'équation 2

2

d x k xdt m

= − peut s'écrire 2

202

d x xdt

= −ω , avec 0k 0m

ω = > .

La solution générale de ce type d'équation est alors une fonction sinusoïdale de la forme

m 0x X cos( t )= ω +ϕ . (4)

0tω +ϕ est appelé phase de l'oscillateur, ϕ est la phase initiale.

Un oscillateur dont l'équation horaire du mouvement est une fonction sinusoïdale du temps est un oscillateur harmonique.

Remarque: De la même façon on montre que m 0x(t) X sin( t )= ω +ϕ est solution de l'équation différentielle.

h) Amplitude du mouvement

Comme , l'élongation x varie entre −X01 cos( t ) 1− < ω +ϕ < m et +Xm.

La valeur maximale Xm que l'élongation peut prendre est l'amplitude du mouvement.

Par convention Xm > 0

i) Période propre, fréquence propre et pulsation propre du mouvement

* Une fonction sinusoïdale de la forme mx X cos( t )= ω +ϕ est périodique. Sa période est

donnée par 2T π

=ω

et sa fréquence par 1fT 2

ω= =

π. ω est appelée pulsation.

* Pour le pendule élastique horizontal effectuant des oscillations libres

la période propre est donnée par: 0mT 2k

= π

la fréquence propre est donnée par: 01 kf

2 m=

π

la pulsation propre est donnée par: 0km

ω =


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j) Vitesse et accélération du solide

* x x m 0 0dxv v X sin( tdt

= ⇒ = − ω ω +ϕ) (5)

* 2 2xx x m 0 0

dva a X cos( t )dt

= ⇒ = − ω ω +ϕ = −ω0x

h) Détermination de l'amplitude et de la phase initiale

Nous déterminons ces constantes à l'aide des conditions initiales: t = 0 ⇒ x0 = d > 0 v0x =0

Remplaçons dans les équations (4) et (5):

md X cos= ϕ

m 00 X sin= − ω ϕ

Solution: ϕ = 0 et Xm = d


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i) Equations finales de l'élongation, de la vitesse et de l'accélération L'élongation de l'oscillateur est donnée par l'équation suivante:

( )0kx(t) d cos t d cos tm

⎛ ⎞= ω = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Les expressions de la vitesse et de l'accélération deviennent:

( ) ( )x 0 0 xmv (t) d sin t V sin t= − ω ω = − ω0 où Vxm est l'amplitude de la vitesse

( ) ( )2x 0 0 xma d cos t A cos= − ω ω = − ω0t où Axm est l'amplitude de l'accélération

i) Applications Déterminer l'amplitude et la phase initiale pour les conditions initiales suivantes:

* t = 0 ⇒ x0 = -d < 0 v0x =0

* t = 0 ⇒ x0 = 0 v0x = v > 0

* t = 0 ⇒ x0 = 0 v0x = -v < 0

k) Energie mécanique de l'oscillateur

* Energie cinétique du solide: 2 2

2 2m 0c x 0

mX1E mv sin ( t2 2

ω )= = ω +ϕ

0km

ω = ⇒ 2

2mc 0

mX kE sin ( t2m

= ω )+ϕ

Finalement: 2

2mc 0

X kE sin ( t2

= ω )+ϕ

* Energie potentielle élastique du ressort:

22 2m

p élastique 01 kXE kx cos ( t )2 2

= = ω +ϕ

* Energie mécanique de l'oscillateur:

c p élastique

2 22 2m m

0 0

22 2m

0 0

E E E

kX kXsin ( t ) cos ( t )2 2

kX (sin ( t ) cos ( t ))2

= +

= ω +ϕ + ω +ϕ

= ω +ϕ + ω +ϕ


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2m

1E kX2

=

Conclusion: L'énergie mécanique d'un oscillateur harmonique est conservée.

l) Etablissement de l'équation différentielle à partir de la conservation de l'énergie mécanique

* En classe de 2e, nous avons montré que l'énergie mécanique d'un oscillateur harmonique est conservée:

2 2x

1 1E kx mv constant2 2

= + =

* Dérivons par rapport au temps cette expression de l'énergie mécanique:

2 2x

dE d 1 d 1( kx ) ( mv ) 0dt dt 2 dt 2

= + = (la dérivée d'une constante est nulle)

On obtient en appliquons les règles de dérivation établies en mathématiques:

2 2x

xx

x x x

1 d 1 dk (x ) m (v ) 02 dt 2 dt

1 dx 1 dvk 2x m 2v 02 dt 2 dt

k x v m v a 0

+ =

⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

Comme2

x 2

d xadt

= , on obtient: 2

2

d xkx m 0dt

+ =

Finalement, on retrouve l'équation différentielle du mouvement: 2

2

d x k xdt m

= −


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3. Etude qualitative du pendule élastique amorti L'amplitude diminue au cours du temps à cause des frottements.

L'énergie mécanique diminue au cours du temps et se transforme en énergie calorifique.

L'oscillateur n'est donc pas périodique. On parle quand-même de sa pseudo-période T.


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4. Oscillations forcées. Résonance a) Expérience

Observations: * Le résonateur effectue des oscillations de même fréquence que celle de l'excitateur: il

effectue des oscillations forcées.

* L'amplitude A du résonateur dépend de la fréquence de l'excitateur et de l'intensité de l'amortissement.

* A passe par un maximum: c'est la résonance. La fréquence de résonance est presque égale à la fréquence propre du résonateur.

* Si l'amortissement est faible, on peut avoir A >> a (catastrophe de résonance)


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La courbe A(f) est appelée courbe de réponse du résonateur.


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Documents

Chapitre 1: Ondes et lumière - Accueil - EDIP Sup cours.pdf · La sinusoïde de l'espace progresse au cours du temps, avec une vitesse égale à la célérité: ... de vibration