1212Chapitre

LA FONCTION LOGARITHMENÉPÉRIENLA FONCTION LOGARITHMENÉPÉRIEN

Capitaine Haddock, ObjectifLune

Alors qu'il travaillait à simpli�er les calculs trigonométriques des astronomes, John Neper 1 futamené à généraliser les travaux de Nicolas Chuquet 2 et Michael Stifel 3 sur les liens entreprogressions arithmétique et géométrique. Neper inventa ainsi les logarithmes (du grec logos :raison et arithmos : nombre), il publia sa méthode ainsi qu'une table de sinus d'angles en 1614,dans son traité Miri�ci logarithmorum canonis descriptio.

En 1624, son ami anglais Henry Briggs 4 compléta ce travail avec une table de logarithmedécimaux. Les logarithmes représentèrent une révolution dans le monde du calcul. Képler 5

notait en 1624 :

� Je résous la question par le bienfait des logarithmes, je ne pense pas que quelque chose soitsupérieur à la théorie de Neper... �.

Plus tard, avec Descartes puis Euler, le logarithme prendra son statut de fonction.

De nos jours on utilise le logarithme dans des calculs concernant l'intensité du son, la magnitudedes séismes, le pH d'une substance, le gain lié à une fonction de transfert, etc.

1 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

La fonction exponentielle est dé�nie et continue sur R, et ayant pour limite 0 en −∞ et+∞ en +∞, alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

1. John Napier, mathématicien et théologien écossais né en 1550 à Merchiston Castle (près d'Edimburg) etmort en 1617 est plus connu sous son nom francisé : John Neper.

2. Nicolas Chuquet, médecin né à Paris en 1445 et mort à Lyon en 1500 environ.3. Michael Stifel, moine allemand né en 1486 à Esslingen et mort en 1567 à Iena.4. Henry Briggs, mathématicien anglais né en 1561 à Warley-wood dans le Yorkshire, et mort en 1630 à

Oxford.5. Johannes Képler, né en 1571 à Weil der Stadt (Wurtemberg) et mort en 1630 à Ratisbonne.

LYCÉE BLAISE PASCAL

1S.DELOBEL

M.LUITAUD

2 Chapitre 12. La fonction logarithme népérien

Pour tout réel x de]0 ; +∞

[, il existe un unique réel y tel que ey = x.

Proposition 1.

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction dé�nie sur]0 ; +∞

[qui à

tout réel x > 0 associe le réel y, noté ln(x), dont l'exponentielle est x.

Dé�nition 2.

On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction expo-nentielle.

Quand il n'y a pas d'ambiguïté, on note souvent lnx au lieu de ln(x).

Exercice 1

Compléter :

1. ey = 7⇔ y = ... 2. ey =√2⇔ y = ...

Exercice 2

Résoudre dans R l'équation 2e2x − 9ex − 5 = 0.

Voici quelques conséquences directes de la dé�nition :

1. Pour tout réel x > 0 et tout réel y, x = ey équivaut à y = lnx.

2. Pour tout réel x > 0, elnx = x.

3. Pour tout réel x, ln(ex) = x.

4. ln(1) = 0.

5. ln(e) = 1.

Proposition 3.

1. Se déduit directement de la dé�nition.

2. Se déduit directement de la dé�nition.

3. Pour tout réel x, si y = ln(ex), alors d'après 1, ex = ey, et donc x = y.

4. Puisque e0 = 1, alors d'après la dé�nition ln(1) = 0.

5. Puisque e1 = e, alors d'après la dé�nition ln(e) = 1.

Preuve

Cours de Terminale S 3

Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle etdu logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

Proposition 4.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

0

y = ex

y = lnx

y = x

e

e

On note C et C ′ les courbes représentatives des fonctions exp et ln. À l'aide de la dé�nition de la fonctionexponentielle, on peut dire que M(x ; y) appartient à C ′ équivaut à dire que y = ln(x), ce qui équivaut àx = ey, ce qui équivaut �nalement à dire que M(y ; x) appartient à C . C et C ′ sont donc symétriques parrapport à la droite d'équation y = x.

Preuve

Pour tous réels a et b de]0 ; +∞

[:

1. ln a = ln b⇐⇒ a = b 2. ln a < ln b⇐⇒ a < b

Proposition 5.

À faire. Idée : utiliser les propriétés analogues déjà démontrées pour la fonction exponentielle.

Preuve

La fonction ln est strictement croissante sur]0 ; +∞

[.

Corollaire 6 (Sens de variation de la fonction logarithme népérien).

Exercice 3

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

1. lnx = −52. ln(2x− 1) > −2

3. ln(1 + x) 6 100

4. ln(x2 − 4) < lnx

4 Chapitre 12. La fonction logarithme népérien

2 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Commençons par donner la propriété fondamentale, concernant le logarithme d'un produit :

Pour tous réels a et b de]0 ; +∞

[:

ln(ab) = ln a+ ln b

Théorème 7 (Relation fondamentale).

Le logarithme � transforme les produits en sommes �.

Idée : comparer les exponentielles des deux membres.

Preuve

De cette relation fondamentale découlent les résultats suivants :

Pour tous réels a et b de]0 ; +∞

[:

ln

(1

b

)= − ln b

ln(ab

)= ln a− ln b

ln (an) = n ln a où n ∈ Z

ln(√

a)=

1

2ln a

Propriété 8.

À faire. (Utiliser la relation fondamentale.)

Preuve

Attention à ne pas confondre ln(an) et (ln a)n.

Exercice 4

1. Exprimer en fonction de ln 3 :

ln 27 ; ln

(1

9

); ln 63− ln 7 ; ln

(9√3)

; 2 ln 6− ln 4

2. Simpli�er l'écriture de :

a =ln(√

5 + 1)+ ln

(√5− 1

)2

; b = ln(2 +√3)5

+ ln(2−√3)5

3. Simpli�er S =99∑n=1

ln

(n

n+ 1

).

Cours de Terminale S 5

Exercice 5

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

1. 2 lnx = ln 3 + ln(2x+ 3)

2. ln(x2) = ln 3 + ln(2x+ 3)

3. ln(x2 − 3) 6 lnx+ ln 2

4. (lnx)2 − 3 lnx+ 2 = 0

Exercice 6

Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison 32 .

1. À partir de quel rang a-t-on un > 1000 ?

2. Et si q = 12 , à partir de quel rang a-t-on un 6 0, 1 ?

3 ÉTUDE DE LA FONCTION ln

3.1 Limites

limx→+∞

lnx = +∞

limx→0

lnx = −∞

Propriété 9.

À faire.Pour la limite en +∞, revenir à la dé�nition de limite in�nie. Pour la limite en 0, on pourra poser X = 1

x.

Preuve

Exercice 7

Déterminer la limite en +∞ de :

1. f(x) = ln

(x+ 1

x2 − 4

)2. g(x) = x (lnx)2 − 3 lnx

3.2 Continuité et dérivabilité

La fonction ln est continue et dérivable sur]0 ; +∞

[, et pour tout x dans

]0 ; +∞

[,

on a :

ln′(x) =1

x

Propriété 10.

On admet la continuité et la dérivabilité de la fonction ln.Pour ensuite déterminer la dérivée de ln, on peut dériver les deux membres de l'égalité : eln x = x.

Preuve

6 Chapitre 12. La fonction logarithme népérien

En conséquence, grâce au théorème de dérivation des fonctions composées (chapitre 1) :

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonctionlnu est dérivable sur I et on a :

(lnu)′ =u′

u

Propriété 11.

Exercice 8

Dériver les fonctions f, g, h et k dé�nies par :

1. f(x) = x lnx sur]0 ; +∞

[2. g(x) = ln

(√1 + x2

)sur R

3. h(x) = ln(x−1x+1

)sur

]1 ; +∞

[4. k(x) = ln

(x−1x+1

)sur

]−∞ ; −1

[3.3 Représentation graphique

De toutes les informations précédentes on tire le graphe de la fonction ln (on a également repré-senté la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 et celle au point d'abscisse e) :

−1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1

1

2

0

y = lnx

e

y = x− 1 y = 1ex

3.4 D’autres limites à connaître

Quelques limites supplémentaires sont à connaître a�n de lever certaines indéterminations :

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

Proposition 12.

Idée : reconnaître un taux d'accroissement...

Preuve

Cours de Terminale S 7

limx→+∞

lnx

x= 0+

limx→0+

x lnx = 0−

Proposition 13 (Croissances comparées).

À faire. (Indication : poser X = lnx et utiliser les croissances comparées concernant la fonction exponen-tielle...)

Preuve

Exercice 9

Calculer :

1. limx→+∞

(x− lnx)

2. limx→+∞

lnx

5x+ 7

3. limx→0

x ln(2x)

4. limx→+∞

x ln

(1 +

3

x

)

4 LA FONCTION LOGARITHME DÉCIMAL

La fonction logarithme décimal est la fonction notée log, dé�nie sur]0 ; +∞

[par

log x =lnx

ln 10.

Dé�nition 14.

La fonction log a les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln.De plus, ln 10 étant positif, la fonction log a le même sens de variation et les mêmes limitesaux bornes de

]0 ; +∞

[que la fonction ln.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1

1

2

0

y = lnx

y = log x

e

8 Chapitre 12. La fonction logarithme népérien

Pour tout n entier relatif :log(10n) = n.

En particulier, log(10) = 1.

Proposition 15.

À faire. Facile.

Preuve

Exercice 10 Le nombre de chi�res d'un nombre...

1. Avec combien de chi�res le nombre 720 s'écrit-il ?

Vous pourrez ensuite véri�er votre réponse à l'aide d'un logiciel de calcul formel.

2. En 2011, le plus grand nombre premier 6 était : 243112609 − 1.

Combien de chi�res comporte son écriture décimale ?

Pouvez-vous véri�er à l'aide d'un logiciel de calcul formel ? 7

Exercice 11 En acoustique : intensité d'un son

Si l'intensité sonore d'une guitare électrique est de 62 dB (� décibels �), quelle sera l'intensitésonore de deux guitares électriques ?Si vous avez répondu 124 dB, alors vous avez franchi le seuil de douleur, vous êtes peut-êtredevenu sourd... et cet exercice est fait pour vous !L'intensité I d'un son (en dB) est reliée à sa puissance de réception (en watt par m2) de façonque l'on ait, pour deux sons quelconques 1 et 2 :

I2 − I1 = 10 log

(P2

P1

).

1. À quelle variation d'intensité correspond un doublement de puissance ?

2. Que signi�e une augmentation de 10 dB en termes de puissance sonore ?

5 LES AUTRES FONCTIONS LOGARITHME

Pour tout réel a strictement positif et di�érent de 1 :

On appelle fonction logarithme de base a la fonction notée loga dé�nie sur]0 ; +∞

[par : loga(x) =

lnx

ln a.

Dé�nition 16.

Pour tout n entier relatif : loga(an) = n. En particulier, loga(a) = 1.

La fonction ln est la fonction logarithme de base e.

6. Un nombre entier naturel est dit premier lorsqu'il n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.7. Ehoui!VousêtesplusfortqueWiris!Maythepowerbewithyou!