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CHAPITRE 13 Systèmes de deux équations à deux inconnues. Objectifs:. Savoir si un couple de nombres est solution d’un système. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues admettant une et une seule solution. Mettre en équation et résoudre des problèmes conduisant - PowerPoint PPT Presentation
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CHAPITRE 13
Systèmes de deux équations à deux
inconnues
Objectifs:-Savoir si un couple de nombres est solution d’un système.
-Résoudre un système de deux équations à deux inconnues admettant une et une seule solution.-Mettre en équation et résoudre des problèmes conduisant à des systèmes.
I. Mise en équation d’un problèmeDans une boulangerie, Paul achète 3 pains au chocolat et 2 croissants ; il paie 2,80 €.Dans la même boulangerie, Juliette achète 1 pain au chocolat et 3 croissants ; elle paie 2,10 €.
Calculer le prix d’un pain au chocolat et d’un croissant.Choix des deux inconnuesx le prix d’un pain au chocolat
y le prix d’un croissant
Mise en équations
80,22310,23
yxyx
Les 2 équations
sont liées
Achat de Paul1ère équation
Achat de Juliette 2ème équation
Résoudre un système, c’est trouver un couple de nombres ( x ; y ) qui vérifie à la fois la 1ère équation et la 2ème équation du
système. Exemples : - Le couple ( 0,40 ; 0,80 ) est-il solution de ce système ?
On a 3 x 0,40 + 2 x 0,80 = 2,80 La 1ère équation est vérifiée
et 0,40 + 3 x 0,80 = 2,80 ≠ 2,10 Mais la 2ème équation n’est pas vérifiée
le couple ( 0,40 ; 0,80 ) n’est pas solution du système.
- Le couple ( 0,60 ; 0,50 ) est-il solution de ce système ?
On a 3 x 0,60 + 2 x 0,50 = 2,80 La 1ère équation est vérifiée
et 0,60 + 3 x 0,50 = 2,10 Et la 2ème équation également
le couple ( 0,60 ; 0,50 ) est solution du système.
II. Méthode de résolution par substitution
Résoudre le système suivant : 80,22310,23
yx
yx
80,223310,2
yxyx
On isole une inconnue dans une équation. (ici x dans la 2ème équation)
On substitue l’inconnue isolée dans l’autre équation.
( ici x par 2,10 - 3y dans la 1ère équation) 80,22310,23
310,2
yy
yx
80,22930,6310,2
yyyx
On résout cette équation pour trouver
une des deux inconnues. (ici y dans la première équation)
80,22930,6310,2
yyyx
On résout cette équation pour trouver
une des deux inconnues. (ici y dans la première équation) 50,37
310,2
y
yx
50,0310,2
yyx
50,050,0310,2
yx
On substitue l’inconnue trouvée dans l’autre équation.
( ici y par 0,50 dans la 2ème équation)
50,060,0
yx
On termine le calcul pour trouver
la valeur de la 2ème inconnue.( ici x dans la 2ème équation)
Le couple ( 0,60 ; 0,50 ) est solution du système.Un pain au chocolat coûte 0,60 € et un croissant 0,50 €.
III. Méthode de résolution par combinaison
linéaireRésoudre le système suivant : 1123
1654
yxyx
comme ligne 1
comme ligne 2 1123
1654
yxyx
l1
l2
1ère étape : élimination des x
Il faut obtenir le même nombre de x dans les 2 équations.On va donc multiplier par 4 et par 3 pour obtenir 12x dans chaque équation.
On soustrait maintenant les deux équations membre à membre afin d’éliminer les x .
481512
44812
yxyx
11231654
yxyx 44812
481512
yxyx
l1 l2
l1l2l1 x 4l2 x 3
Donc y = 4
2ème étape : élimination des y
Il faut obtenir le même nombre de y dans les 2 équations.On va donc multiplier par -5 et par 2 pour obtenir -10y dans chaque équation.
On soustrait maintenant les deux équations membre à membre afin d’éliminer les y .
32108
551015
yxyx
11231654
yxyx 551015
32108
yxyx
l1 l2
l1l2l1 x (-5)l2 x 2
Donc x = 1
Le couple ( 1 ; 4 ) est solution du système.