Chapitre 2 Calculs et représentations graphiques

Chapitre 2

Calculs et représentationsgraphiques

2.1 Introduction2.2 Erreurs assistées par ordinateur2.3 Représentation interne des nombres2.4 Arrondi2.5 Erreurs d’arrondi2.6 Ensemble des nombres gérés par

une machine2.7 Vecteurs2.8 Vecteurs « colonne »

2.9 Tableur2.10 Interprétation géométrique du

produit scalaire2.11 Solution graphique d’équations2.12 Résumé2.13 Exemples2.14 Exercices2.15 Annexe – les séries de Fourier

2.1 IntroductionCe chapitre continue là où la section 1.2 s’était arrêtée. Le chapitre 1 est une introductionrapide à MATLAB dans laquelle les exemples utilisent des mathématiques simples. Le cha-pitre 1 ne contient pas d’applications d’ingénierie, et nous supposons que le lecteur sera fami-liarisé avec les concepts utilisés. Les chapitres 2 à 10 constituent une introduction détailléeà MATLAB destinée à un public d’ingénieurs. Ils comportent des exemples exclusivementempruntés à des cas réels d’ingénierie. Certaines des notions mathématiques utilisées sontrapidement introduites dans la partie principale des chapitres ou sont résumées à la fin deschapitres correspondants.

2.2 Erreurs assistées par ordinateurL’apparition des ordinateurs dans de nombreux domaines, aussi bientechnologiques, scien-tifiques que privés, développe et alimente le mythe de ces machines capables de résoudretous les problèmes. Certaines personnes, et pas seulement des profanes, considèrent l’ordina-teur comme un outil infaillible. D’autres trouvent en lui un parfait bouc émissaire. Vous avezfait une erreur ? Mettez la faute sur le compte de l’ordinateur ; il ne se défendra pas de cetteaccusation.

La plupart des erreurs informatiques sont assurément des erreurs dues à l’utilisateur. Lesordinateurs fonctionnent selon le principe ditGIGO (garbage in, garbage out - mauvaiseentrée égale mauvais résultats). Si vous alimentez l’ordinateur avec des données erronées,vous obtenez de mauvais résultats. D’autres erreurs sont dues à une mauvaise programmation.

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90 CHAPITRE 2 CALCULS ET REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

Pour une écriture incorrecte de fonctions ou de commandes, on parle d’erreurs desyntaxe,mais, heureusement en général, l’ordinateur en détecte la plupart. Pour des calculs erronés, onparle d’erreurslogiques, ou, plus familièrement, de bugs. Enfin, une autre source d’erreurs sesitue au niveau de la représentation des nombres dans l’ordinateur (voir sections suivantes).

Un exemple simple va nous aider à introduire le sujet. Nous savons que 1− 5× 0.2 = 0.Cependant, essayez ceci

format long, 1 - 0.2 - 0.2 - 0.2 - 0.2 - 0.2

ans =

5.551115123125783e-017

Le résultat est un nombre très petit, mais n’est pas exactement zéro. Nous nous conten-terons pour l’instant d’expliquer ce phénomène par une erreur machine due à l’utilisationdu système binaire, qui nécessite une infinité de bits pour la représentation du nombre 0.2.Comme l’ordinateur ne peut stocker qu’un nombre limité de bits, il utilise une approximationdu nombre 0.2. Celle-ci multipliée par cinq, cette approximation n’est pas égale à 1. De telleserreurs restent minimes, mais elles peuvent s’avérer désastreuses si elles s’accumulent dansles calculs. Ne pas prendre en considération les propriétés des nombres dans un ordinateurpeut provoquer l’échec de très coûteux projets, en envoyant par exemple un vaisseau spatialsur une mauvaise orbite.

2.3 Représentation interne des nombresDans la vie de tous les jours, nous utilisons lesystème décimalpour la représentation desnombres. Dans ce système, la valeur de chaque chiffre dépend de sa position par rapport à lavirgule, par exemple, le nombre 124,32 correspond à

1× 102 + 2× 101 + 4× 100 + 3× 10−1 + 2× 10−2

On dit alors que ce nombre est représenté selon le format à virgule fixe1. Cette notation,avec quatre chiffres après la virgule, est utilisée sous MATLAB comme visualisation pardéfaut. Nous connaissons également la notation scientifique qui représente le nombre 124,32par 1.2432× 102. Les ordinateurs d’aujourd’hui utilisent une adaptation de ce format scien-tifique appelé représentation àvirgule flottante qui s’utilise comme suit avec MATLAB

format short e, x = 124.32

x =

1.2432e+002

Nous pouvons revenir à la notation à virgule fixe par

format short, x

x =

124.3200

1. Dans la version française de l’ouvrage, et pour éviter tout risque d’erreurs dû aux plates-formes d’installation deMATLAB, nous avons conservé la notation anglo-saxonne et doncutilisé des points au lieu des virgules habituelles.

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REPRÉSENTATION INTERNE DES NOMBRES 91

Pour obtenir plus de chiffres, utilisez

format long, x

x =

1.243200000000000e+002

ou encore

format long e, x

x =

1.243200000000000e+002

Les ordinateurs utilisent la représentation à virgule flottante, et non le système décimal. Ilsutilisent pour la plupart lesystème binaire. D’autres, comme les calculateurs IBM, utilisentle système hexadécimal. Le système binaire ne dispose que de deux nombres 0 et 1. Commedans le système décimal, la valeur de chaque chiffre dépend de sa position par rapport àla virgule – qu’il vaudrait mieux appelerpoint partiel – et utilise les puissances de 2. Parexemple, la décomposition du nombre binaire 101.101 est

1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 1× 2−1 + 0× 2−2 + 1× 2−3

La principale raison d’utiliser des nombres binaires réside dans leur correspondance directeavec les étatsmarcheetarrêt de composants physiques, comme par exemple 1 pour désignerun circuit fermé et 0 un circuit ouvert, ou alors 1 pour « magnétisé », 0 pour « démagnétisé ».

En résumé, les nombres sont représentés dans l’ordinateur sous la formeσmbe , oùσ estle signe, soit + ou−, m, la partie fractionnaire, oumantisse, b, labasedu système numériqueet e l’exposant. Le nombre de chiffres qui composentm et b dépend des caractéristiques dela machine.

En 1985, l’Institut des ingénieurs en électricité et électronique – un institut américainplus connu sous le nom d’ IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) – publial’ IEEE Standard for Binary Floating Point Aritmetic(voir bibliographie, ANSI/IEEE Std754-1985). Ce standard est entièrement implémenté sur la plupart des ordinateurs et partiel-lement sur quelques autres. Par exemple, le VAX de DEC est un ordinateur qui n’utilise pasl’arithmétique de l’IEEE. Dans le standard IEEE double précision, la mantisse est codée sur53 bits et l’exposant sur 11.

Les deux fonctions MATLAB,realmax etrealmin, nous permettent d’obtenir respecti-vement le plus grand et le plus petit nombre pouvant être manipulé par l’ordinateur. Pour unordinateur qui utilise le standard IEEE, le résultat de ces fonctions est

realmax

ans =

1.7977e+308

realmin

ans =

2.2251e-308



La variable MATLABeps fournit une indication sur la précision en virgule flottante. Pardéfaut, elle correspond à la distance entre 1.0 et le plus grand nombre à virgule flottantesuivant. La commande suivante renvoie la valeur deeps

eps

eps =

2.2204e-016

Cette valeur dépend également des caractéristiques de la machine. La valeur deeps peut êtremodifiée par l’utilisateur, mais perd, dans ce cas, sa signification initiale décrite précédem-ment.

A présent, nous pouvons expliquer pourquoi l’ordinateur ne renvoie pas zéro lorsqu’ilsoustrait cinq fois 0.2 à 1. La raison réside dans la traduction en binaire de la fraction 0.2 quiest

0.00110011001100. . . (2.1)

Cette représentation nécessite une infinité de chiffres. En conséquence, l’ordinateur fonc-tionne avec une valeur approchée de 0.2. Soustraire cinq fois la valeur approchée de 0.2 à 1ne peut donc donner exactement 0.

L’utilisation par l’ordinateur des nombres binaires peut mener à d’autres résultats inatten-dus. D’autres erreurs peuvent être introduites par la conversion d’une représentation binairearrondie en une représentation décimale. Convertissons le nombre binaire de l’équation 2.1en décimal pour illustrer cela

format long

a = 1/2ˆ3 + 1/2ˆ4 + 1/2ˆ7 + 1/2ˆ8 + 1/2ˆ11 + 1/2ˆ12

a =

0.19995117187500

2.4 ArrondiLes opérations arithmétiques peuvent mener àun résultat comportant de nombreuses déci-males. Par exemple, pour un cercle de diamètre,d = 1.2866, si l’on utilise l’approximationπ = 3.1416 on obtient un périmètre de

πd = 3.1416× 1.2866 = 4.04198256 (2.2)

soit un nombre à huit décimales. Nous obtiendrons encore plus de décimales si nouscherchons l’aire du cercle par

πd2

4=

3.1416× 1.28662

4= 1.30010369042400

En fait,π comporte une infinité de décimales, ce qui est également le cas pour les résultatsd’opérations simples telles que 1/3, 1/9, ou

√2. Lorsque nous réalisons un calcul numérique,

nous ne pouvons utiliser qu’un nombre fini de décimales. Pour d’évidentes raisons pratiques,on utilise peu de décimales dans les calculs manuels. Par exemple,π ≈ 3.1416, et plus


ERREURS D’ARRONDI 93

souventπ ≈ 3.14. Les ordinateurs peuvent prendre en compte plus de chiffres, mais toujoursen quantité finie. Par exemple, l’approximation deπ donnée par MATLAB au format long est

π ≈ 3.14159265358979

Pour utiliser une approximation avec seulement quatre décimales, nous pouvons éliminer leschiffres à droite de la quatrième décimale, et ne retenir que 3.1415. Cette technique s’appellechopping (coupe) . Elle génère de grosses erreursqui, accumulées dansune longue séquencede calcul, peuvent aboutir à des résultats catastrophiquement erronés. Pour minimiser ceserreurs, la plupart des ordinateurs utilisent l’arrondi au lieu de la coupe, par exempleπ =3.1416 au lieu de 3.1415. Les règles d’arrondi utilisées pour les ordinateurs sont les mêmesque pour les calculs manuels, la plus simple est la suivante :

Pour arrondir un nombre àn chiffres, ajoutez la moitié de la base, soitb/2, au chiffreen position (n + 1) et supprimez tous les chiffres à droite de la positionn.

Dans le système décimal, la règle de l’arrondi àn chiffres devient : si le chiffre (n+ 1)est strictement inférieur à 5, on conserve leniemechiffre, sinon on l’incrémente.

Voici quelques exemples avec MATLAB

1/9, 2.2222222222222222/4, 2/3, -2/3

ans =

0.1111

ans =

0.5556

ans =

0.6667

ans =

-0.6667

Essayez de refaire ces exemples en utilisant le format long.

2.5 Erreurs d’arrondiArrondir un nombre àn décimales, en suivant la règle décrite dans la section précédente,produit une erreur de valeur absolue inférieure àb/2×b−n. Par conséquent, la valeur absoluede l’erreur dans l’approximation deπ = 3.1416 est inférieure àρ = 0.5× 10−4. En fait, ensupposant que la valeur de MATLAB deπ est correcte, l’erreur vaut

E = pi - 3.1416

E =

-7.3464e-006

L’erreur est en effet plus petite que l’erreur montrée ci-dessus. On utilise ici la définition

erreur = valeur réelle− valeur calculée



Certains auteurs appellent cette erreur l’erreur absolue; d’autres réservent le qualificatifabsoluà la valeur absolue de l’erreur définie ci-dessus. Il est intéressant de comparer l’erreur,ou erreur absolue, à la valeur réelle du nombre considéré, en calculant l’erreur relative parla formule

erreur relative= erreur/(valeur réelle)

ou

erreur relative absolue= (erreur absolue)/(valeur réelle)

Dans notre exemple, on calcule l’erreur relative comme suit

E/pi

ans =

-2.3384e-006

L’erreur relative s’exprime fréquemment en pourcentage, dans notre cas

100*E/pi

ans =

-2.3384e-004

Il est facile de montrer que l’erreur absolue d’une somme ou d’une différence de deuxnombres est au plus égale à la somme des erreurs respectives des deux nombres. Considéronsdeux nombres arrondis àn décimales près ; l’erreur absolue de leur somme ou différence estinférieure à

0.5 ∗ 10−n + 0.5 ∗ 10−n = 10−n

L’analyse de produits ou quotients tient essentiellement compte de l’erreur relative. Nouspouvons montrer que l’erreur relative absolue du produit ou du quotient de deux nombres estinférieure à la somme de leurs erreurs relativesrespectives. Considérons encore l’exemple del’équation 2.2

πd = 3.1416× 1.2866 = 4.04198256

ou, avec MATLAB

format long, circum = 3.1416*1.2866

circum =

4.04198256


ERREURS D’ARRONDI 95

Avec le formatshort, les erreurs relatives respectives des deux facteurs sont

E1 = 0.5*10ˆ(-4)/3.1416

E1 =

1.5915e-005

E2 = 0.5*10ˆ(-4)/1.2866

E2 =

3.8862e-005

L’erreur relative respective du produit est donnée parE1 + E2 et l’erreur par

(E1 + E2)*circum

ans =

2.2141e-004

Il s’ensuit que seuls les trois premiers chiffres du produit sont fiables, les autres doiventêtre éliminés. Une erreur particulièrement importante se produit par le mécanisme de l’annu-lation c’est-à-dire en additionnant deux nombres quasiment égaux, mais de signes différents.Entrez, par exemple, les nombres suivants

format long e

b = 0.543210987654321*10ˆ2

b =

5.432109876543210e+001

c = -0.543210987650001*10ˆ2

c = -5.432109876500009e+001

Et maintenant testez l’addition

d = b + c

d =

4.320028779147833e-010

Le résultat vrai est 4.3199× 10−10. Les chiffres communs àb et àc s’annulent entreeux. Les deux nombresb, c possèdent 16 chiffres significatifs, le résultat seulement 5. Leschiffres commençant à la cinquième décimale ded sont donc « fabriqués » par l’ordinateur.La simple analyse suivante montre qu’ils doivent être éliminés. L’erreur maximale attenduepour les nombresb, c est de 0.5× 10−15, et donc de 10−15 pour le résultat. On en conclutque le chiffre 5, à la cinquième place de la représentation en virgule flottante, ainsi que lessuivants ne sont pas fiables. Les erreurs relatives sont

0.5*10ˆ(-15)/b

ans =

9.2045e-018



0.5*10ˆ(-15)/c

ans =

-9.2045e-018

10ˆ(-15)/d

ans =

2.3148e-006

L’erreur relative du résultat est plus grande que celles des nombresb et c d’un ordre degrandeur 12.

2.6 Ensemble des nombres gérés par une machineComme nous l’avons expliqué dans les sections précédentes, l’ordinateur ne peut représenterqu’un ensemble fini de nombres. Nommons cet ensembleM. Ces nombres n’étant pas uni-formément distribués, il est possible de démontrer que la distance entre 2 nombres machineconsécutifs est plus faible au voisinage de zéro.

L’ordinateur ne peut accepter que les données appartenant à l’ensembleM. Pour tout autrenombre, il utiliseradonc comme approximation le nombre deM le plus proche. Un fait moinsévident est que des opérations effectuées sur des nombres deM peuvent donner un résultatn’appartenant pas à cet ensemble. Dans ce cas encore, l’ordinateur approche le résultat par lenombre machine le plus proche. En fonction du logiciel et de l’arithmétique de l’ordinateur,certaines propriétés des nombres réels ne sont plus valables dans M. Nous le démontreronspar quelques exemples lancés dans MATLAB, avec un ordinateur qui implémente l’arithmé-tique IEEE. Entrons les nombres suivants

format long e, a = 0.123456789012345*10ˆ(-4)

a =

1.234567890123450e-005

b = 0.543210987654321*10ˆ2

b =

5.432109876543210e+001

c = -0.543210987650001*10ˆ2

c =

-5.432109876500009e+001

Pour montrer que la commutativité n’est pas vérifée, essayez

d = a + b + c

d =

1.234611090411242e-005

e = c + b + a

e =

1.234611090411242e-005


ENSEMBLE DES NOMBRES GÉRÉS PAR UNE MACHINE 97

d - e

ans =

2.834290826125505e-015

Le calcul suivant montre que l’associativité n’est pas vérifiée.

d = (a + b) + c

d =

1.234611090411242e-005

e = a + (b + c)

e =

1.234611090411242e-005

d - e

ans =

2.834290826125505e-015

Enfin, la distributivité est testée par

d = a*(b + c)

d =

5.333368815145124e-015

e = a*b + a*c

e =

5.333298906673445e-015

d - e

ans =

2.220446049250313e-016

Si a+ ε = a, nous en déduisons habituellement queε = 0. Cela ne reste pas forcément vraidans l’ensemble des nombres machine, par exemple

format long, eps

eps =

2.220446049250313e-016

1 + eps

ans =

1.00000000000000

Nous en resterons là pour les erreurs de calculs générés par l’ordinateur. Tout au longde ce livre, nous indiquerons, si nécessaire, les sources d’erreurs potentielles. Pour appro-fondir ce sujet, le lecteur peut se référer aux livres traitant d’analyse numérique, commepar exemple Hartley et Wynn-Evans (1979), Hultquist (1988), Rice (1993) ou Gerald etWheatley (1994). Dans les sections précédentes,nous voulions alerter le lecteur sur les fai-blesses de l’ordinateur et sur les pièges à éviter. Nous conclurons maintenant cette analyse



sur une note rassurante : une programmation prudente produit de bons résultats. Remarquonsaussi que MATLAB – combiné à l’arithmétique IEEE – s’avère beaucoup plus efficace pourminimiser les erreurs numériques que certains logiciels plus anciens. Nous avons traité avecMATLAB plusieurs problèmes cités dans les ouvrages d’analyse numérique comme produi-sant des erreurs machine. MATLAB donne les résultats corrects. Précisons que les résultatsdonnés précédemment ont été obtenus avec MATLAB 5.2, sur un PC équipé d’un processeurPentium. S’il utilise une autre configuration matérielle, le lecteur peut obtenir des résultatslégèrement différents.

2.7 VecteursNous avons déjà utilisé la notion de vecteur en tant que segment de ligne orienté. Nous allonsdésormais examiner les vecteurs dans le plan. Ainsi,F dans la figure 2.1 représente uneforce, un déplacement, une vitesse ou uneaccélération (en général, nous utiliseronsF pourdes forces et d’autres lettres pour des déplacements, vitesses ou accélérations). Les tableauxpeuvent être considérés comme la plus simplereprésentation de vecteurs. Par exemple, onpeut scinder le vecteurF de la figure 2.1 en deux composantes orthogonales,Fx et Fy.

On peut les définir dans MATLAB sous la forme d’un tableau dont les éléments sont les deuxcomposantes précédentes

F = [ Fx Fy ]

Comme nous l’avons montré à la Figure 2.2, la somme de deux vecteurs,P = [Px Py] etQ = [Qx Qy], est un vecteurR = [Rx Ry] tel que

Rx = Px + Qx

Ry = Py + Qy

A titre d’exercice, entrez

P = [ 6 2 ] ;

Q = [ 2.3 5 ] ;

R = P + Q

R =

8.3000 7.0000

Les sommes de vecteurs peuvent avoir une signification physique. Par exemple, lorsqueplusieurs forces agissent en un point d’un corps solide, on peut les remplacer par leur somme,appelée larésultante. La vitesse réelle d’un avion en vol – c’est-à-dire la vitesse relative ausol – correspond à la somme de sa vitesse relative à l’air et de la vitesse du vent. D’autresexemples proviennent de l’ingénierie électrique avec l’utilisation des vecteurs pour représen-ter les sommes de tensions et d’intensités.


VECTEURS 99

Figure 2.1 – Le vecteurF et ses composantes,Fx etFy.

Figure 2.2 – Addition de vecteurs.

Le module du vecteur R se calcule selon le théorème de Pythagore

magn_R = sqrt(R(1)ˆ2 + R(2)ˆ2)

Le résultat obtenu est 10.8577. Si le vecteur est une vitesse, son module a pour valeur lavitesse. L’angle entre l’horizon et le vecteurF s’obtient par

angle_R = atan2(R(2), R(1))

qui donne 0.7006 radians, c’est-à-dire 40.1434 degrés. Pour retrouver la composante hori-zontale deR, entrez

R(1)

Procédez de même pour la composante verticale.Comme vous pouvez le constater à la figure 2.3, le produit d’un vecteurF par un scalaireλ

donne un vecteur dont les composantes sont celles deF multipliées parλ ; entrez par exemple

2*F, 3*F, 4*F



et observez les résultats. Nous pouvons sans hésiter généraliser aux vecteurs à 3 dimensionscar nous vivons dans un monde tridimensionnel. Le termevecteur est souvent utilisé pourdécrire des tableaux ; dans ce livre, on l’utilisera parfois de cette manière.

Figure 2.3 – Multiplication d’un vecteur par un scalaire.

2.8 Vecteurs « colonne »Dans la section 1.2.1, nous avons défini les tableaux par une ligne contenant leurs éléments.Dans la section précédente, nous avons introduit des vecteurs représentés par de tels tableaux :on les appelle desvecteurs ligne. Les tableauxverticaux ont été introduits dans la sous-section 1.2.3 ; voici un exemple

B = [ 7

2

4

6.9

10 ] ;

Des structures de ce type sont utilisées par exemple dans le transfert de mesures provenantd’un système d’acquisition de données.

En algèbre linéaire, on utilise les tableaux verticaux pour la notation des systèmesd’équations linéaires (voir chapitre 6).De plus, les tableaux « verticaux » commeB serventégalement à représenter les composantes d’autres sortes de vecteurs que ceux mentionnés pré-cédemment. Considérons tout d’abord un exemple de vecteur ligne ayant toutes ses compo-santes de même nature. Par exemple, les composantes d’un vecteur de déplacement sont desdéplacements ; celles d’un vecteur vitesse sontdes vitesses. Afin d’exploiter pleinement lespossibilités fournies par le calcul vectoriel (et également matriciel, comme nous le verronsplus tard), il est pratique d’accepter aussi les vecteurs dont les composantes sont de naturesdifférentes. Ainsi, il devient naturel de considérer la vitesse et l’accélération d’un pointmatériel comme les composantes d’un vecteur d’état de ce point[

x_x

]

oùx est la vitesse.


TABLEUR 101

Un autre exemple vient de l’analyse de la résistance à la flexion d’une poutre élastique.Dans ce cas, les valeurs de « déflexion », de « pente », de « force de cisaillement » et de« moment de flexion » pour une partie donnée de la poutre sont considérées comme leséléments d’un vecteur d’état qui caractérise cette partie. Les vecteurs, représentés par destableaux verticaux sont, à juste titre, appelés vecteurs colonne. Pour construire un vecteurcolonne, procédez comme cela est indiqué dans la sous-section 1.2.3 pour les tableaux verti-caux. Il est possible de convertir les vecteurs ligne en vecteurs colonne, et inversement, partransposition, comme mentionné à la sous-section 1.2.3. Les vecteurs de nombres complexespossèdent deux transposées différentes (voir sous-section 1.4.6).

Tableau 2.1 – Une liste d’achats.

Numéro d’article Prix Quantité Sous totaux

1 3.00 3 9.002 1.99 2 3.983 10.99 1 10.994 9.15 5 45.755 1.29 2 2.58

Totaux – 13 72.30

2.9 TableurSupposons que nous voulions acheter un ensemble d’objets (voir tableau 2.1). Combiendevons-nous payer ? Ce calcul du prix total représente tout à fait le genre de tâches réaliséespar un tableur. MATLAB peut également le résoudre rapidement. Pour cela, nous devons toutd’abord définir deux vecteurs

price = [ 3.00 1.99 10.99 9.15 1.29 ] ;

quantity = [ 3 2 1 5 2 ] ;

Nous pouvons trouver le prix par objet en utilisant leproduit vectoriel

subtotals = price.*quantity

subtotals =

9.0000 3.9800 10.9900 45.7500 2.5800

Remarquez l’utilisation du point suivi du signe de multiplication, ‘.*’.La fonction MATLAB sum permet d’obtenir le coût total. En effet, appliquée à un vecteur,

elle retourne la somme de ses composantes

total = sum(subtotals)

total =

72.3000



La même fonction permet d’obtenir le nombre total d’objets achetés

tot_quantity = sum(quantity)

tot_quantity =

13

A présent, nous pouvons compléter le tableau 2.1. Le résultat principal correspond au coûttotal. Nous l’avons obtenu en combinant deux opérations : un produit vectoriel et la sommedes composantes (fonctionsum ). Il est possible d’obtenir le même résultat en une seule étape

total = price*quantity’

total =

72.3000

Ici, nous avons multiplié le vecteur ligneprice par la transposée du vecteurquantity,c’est-à-dire, par un vecteur colonne. Cette opération se nomme unproduit scalaire et cor-respond à

total = 3.00× 3 + 1.99× 2 + 10.99× 1 + 9.15× 5 + 1.29× 2

Le produit scalaire a une signification importante en géométrie et en mécanique. Quelquesexemples vous sont donnés dans ce qui suit.

2.10 Interprétation géométrique du produit scalaireLe produit scalaire de deux vecteurs,A = (a1, a2), B = (b1, b2), est défini par

A · B = a1b1 + a2b2 (2.3)

Il est facile (voir exemple 2.2 et Fuller et Tarwater 1992, Pedoe 1988 ou Akivis et Goldberg1972, page 12) de montrer que

A · B = |A||B| cosθ, (2.4)

où |A| est le module du vecteurA, |B| celui du vecteurB etθ, l’angle entre les deux vecteurs.Dans MATLAB, le produit scalaire de deux vecteurs ligneA et B se calcule en multi-

pliantA par la transposée deB, soit

inner_product = A*B’

ou en multipliantB par la transposée deA

inner_product = B*A’

La commutativité du produit scalaire se déduit de sa définition. Le fait d’utiliser la trans-posée d’un vecteurB, et non pas directement le vecteurB dans le produit scalaire, est évident


INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DU PRODUIT SCALAIRE 103

pour ceux qui sont familiers de l’algèbre linéaire. Pour les autres, les choses s’éclaircirontaprès la lecture du prochain chapitre. A titre d’exemple, calculons le produit scalaire deA = (2, 3), B = (5, 4) ; soit

A · B = 2× 5 + 3× 4 = 22 (2.5)

Nous obtenons ce produit en écrivant

A = [ 2 3 ] ;

B = [ 5 4 ] ;

A*B’

Vérifiez que vous obtenez le même résultat en entrant

B*A’

Voici le détail du calcul

A · B =[

2 3] [

54

]= 22 (2.6)

Que se passe-t-il pour le produit scalaire de deux vecteurs colonne, par exemple le produitscalaire deAt = A′ etBt = B′ ? Afin d’obtenir le même type de calcul que pour l’équation 2.6,nous devrons calculer le produit en entrantAt’*Bt.

D’après les équations 2.3 et 2.4, nous constatons que le module d’un vecteur est égal à laracine carrée du produit scalairedu vecteur multiplié par lui-même. Puis, de l’équation 2.4,que l’angle entre les deux vecteursA et B définis ci-dessus peut s’obtenir avec

theta = acos(A*B’/(sqrt(A*A’)*(sqrt(B*B’)))

avec pour résultat 0.3081 radians.Le passage aux vecteurs tridimensionnels est évident, et pourC = (c1, c2, c3), D =

(d1, d2, d3), le produit scalaire devient

C · D = c1d2 + c2d2 + c3d3 = |C||D| cosθ (2.7)

où |C| est le module deC, |D| celui deD et θ l’angle entre les deux vecteurs (Pedoe 1988).Prenons comme exemple de vecteurs à trois dimensionsC = (2, 2, 2) et D = (3, 4, 5) etcalculons

C = [ 2 2 2 ] ;

D = [ 3 4 5 ] ;

theta = acos(C*D’/(sqrt(C*C’)*sqrt(D*D’)))

Le résultat est 0.2014 radians, soit 11.5370 degrés. Vérifiez que vous pouvez aussi bien écrireD*C’ à la place deC*D’. Pouvez-vous trouver d’autres utilisations au produit scalaire ? Quepourrait être la signification du produit scalaire de vecteurs qui ont plus de trois composantes ?



2.11 Solution graphique d’équationsOn appelleéquations transcendantalesles équations dont l’inconnue apparaît comme l’ar-gument d’une fonction transcendantale, tellequ’une fonction exponentielle, un logarithme ouune fonction trigonométrique. En voici quelques exemples simples

ex + x = 0

ln x + x = 0

sinx + cosx = 0

Les problèmes d’ingénierie mènent souvent àdes équations transcendantales qui échappentaux solutions analytiques. Parfois, il est même impossible de formuler l’équation, et tout cequi peut être fait se limite soit à calculer les points d’une courbe pour faire l’approximationde son point de passage à la valeur zéro, soit à calculer les points de deux courbes et àrechercher leur intersection. Les outils MATLAB présentés jusqu’à présent nous permettentde trouver facilement les solutions graphiques d’équations transcendantales ou de problèmesqui ne pouvent être définis que numériquement.

Prenons l’exemple d’un problème qui mène à une équation transcendantale, soit le seg-ment de cercle de la figure 2.4. Etant donné le rayon du cercle,r = OA = OB, et l’angle aucentre,Φ = AOB, nous calculons l’aire du segment fermé par l’arcACBet la cordeAB par

A =r2

2(φ− sinφ) (2.8)

Figure 2.4 – Un segment de cercle.


SOLUTION GRAPHIQUE D’ÉQUATIONS 105

Etant donné une aireA et un rayonr , supposons que l’on cherche une méthode généralepour trouver l’angleφ. Une bonne façon de faire consiste à diviser les deux membres del’équation 2.8 parr2 : les deux côtés n’ont alors plus de dimension.

Ar2

=φ− sinφ

2(2.9)

Pour obtenir graphiquement toutes les solutions de l’équation 2.9, entrez la séquence decommandes suivante

phi = 0 : pi/180 : 2*pi ;

x = 180*phi/pi;

y = (phi - sin(phi))/2;

plot(x, y), grid

xlabel(’Angle at centre, \phi, degrees’)

ylabel(’A/rˆ2’)

Ci-dessus,\phi est une commande LATEX qui affiche la lettre grecqueφ.

Figure 2.5 – Calcul de l’aire d’un segment de cercle.

La figure 2.5 nous montre le graphique obtenu. Remarquez que, bien que l’aire dessegments soit une fonction de deux variables, l’utilisation de paramètres non dimension-nels nous permet de représenter la relation entreA, r et φ par une simple courbe. Si nous



nous intéressons à un cas particulier, nous pouvons procéder différemment. Soitr = 2 m etA = 0.0472 m2 ; traçons le graphe des deux courbes

y1 = (Φ− sinΦ)/2

y2 = A/r2

et cherchons leur intersection, via les instructions suivantes

r = 2 ; A = 0.0472;

phi = 0 : pi/360 : pi/4 ;

x = 180*phi/pi;

y1 = (phi - sin(phi))/2;

y2 = A/rˆ2*ones(size(y1));

plot(x, y1, x, y2), grid

xlabel(’Angle at centre, \phi, degrees’)

Pour étiqueter les courbes, utilisez la fonctiongtext

gtext(’(\phi - sin(\phi))/2’)

Avec la souris (ou les touches de déplacement), déplacez la flèche jusqu’à l’endroit désirépour placer l’étiquette et appuyez surEntrée. Procédez de même pour l’autre courbe avec

gtext(’A/rˆ2’)

Voyez le résultat à la figure 2.6.Vous pouvez à présent lire la solution à l’intersection des deux courbes. Une meilleure

solution repose sur l’utilisation de la fonctionginput. Avec la souris (ou les touches dedéplacement), déplacez la flèche jusqu’à l’intersection et tapezEntrée.

[phi0 y0 ] = ginput(1)

phi0 =

29.8669

y0 =

0.0119

Le résultat peut être légèrement différent, il dépend de votre appréciation propre du pointd’intersection. La fonctionginput retourne deux valeurs[ phi0 y0 ]. Vérifiez la solutionpar

A0 = y0*rˆ2

A0 =

0.0477


RÉSUMÉ 107

Figure 2.6 – Recherche de solution à l’intersection de deux graphes.

Avec ces valeurs, l’erreur en pourcentage par rapport à la valeur juste, est

error = 100*(A - A0)/A

error =

-0.9577

Le résultat peut être amélioré en agrandissantles graphiques, c’est-à-dire en tracanty1

et y2 pour des valeurs deΦ qui appartiennent à un intervalle restreint au voisinage de lasolution précédente.

2.12 RésuméNous pouvons utiliser l’ordinateur comme un calculateur avec les opérateurs listés dans letableau 2.2.

Nous allons décrire comment modifier les commandes et les rappeler. Sous UNIX, cer-taines commandes peuvent être différentes,l’utilisateur devra donc consulter le manuelapproprié. La toucheEffacement permet de corriger immédiatement les erreurs lors de lasaisie d’une expression.

Les expressions entrées précédemment peuvent être rappelées par les touches de dépla-cementFlèche haute↑ et Flèche basse↓. Les touchesFlèche droite→ et Flèche gauche←



permettent de déplacer le curseur sur la lignecourante. L’éditeur est normalement enmodeinsertion, ce qui signifie que le caractère entré s’insère à l’endroit où est positionné le curseur.Sur les PC, on utilise la toucheInsert pour passer dumode insertionaumode écrasement.Enfin la toucheSuppr. efface le caractère à l’endroit où est positionné le curseur.

Tableau 2.2 – Opérateurs élémentaires.

Operateur Utilisation Exemple

+ Addition 2 + 2 = 4

− Soustraction 2 - 2 = 0

* Multiplication 2*2 = 4

/ Division droite 2/2 = 1

\ Division gauche 2\4 = 2

^ Puissance 2^2 = 4

MATLAB possède de nombreuses fonctions scientifiques dont un extrait est présenté autableau 2.3. Dans une expression, le nom d’une fonction doit être suivi de son argumentplacé entre parenthèses. Les arguments de fonctions trigonométriques doivent être donnés enradians.

Tableau 2.3 – Quelques fonctions scientifiques.

Nom de la fonction Signification Exemple

sin sinus sin(0.5) = 0.4794cos cosinus cos(0) = 1tan tangente tan(pi/4) = 1.0000asin arcsinus asin(sqrt(2)/2) = 0.7854acos arccosinus acos(sqrt(2)/2) = 0.7854atan arctangente atan(1) = 0.7854atan2 arctangente complexe (4-quadrants)atan2(1,0) = 1.7508exp exponentielle exp(1) = 2.7183log logarithme népérien log(2.7183) = 1.0000log10 logarithme de base 10 log10(350) = 1.5441

Il est préférable de donner un nom aux valeurs d’utilisation fréquente. Ce nom devracommencer par une lettre et pourra comporter autant de chiffres et de lettres que vous lesouhaitez. Seuls les 19 premiers caractères sont significatifs. Si aucun nom n’est attribué àune expression, son résultat est stocké dans la variableans, qui peut ainsi être employé pourle calcul suivant. Le contenu deanschange à chaque nouvelle exécution de commande.

On peut définir unvecteur lignede dimensionn en entrant

vector_name = [ a1 a2 ... an ]

oùa1, a2, . . . , ansont les composantes.


RÉSUMÉ 109

Un vecteur colonnese définit par

vector_name = [ a1

a2

...an ]

ou par

vector_name = [ a1; a2; ...; an ]

La transpositionest une opération qui transforme un vecteur ligne en un vecteur colonneet vice versa. Pour calculer la transposée d’un vecteur dans MATLAB, on utilise l’opérateurapostrophe(’)

[ a1 a2 ... an ]’ = a1

a2

...an

Reportez-vous au chapitre 4 pour la transposition de vecteurs de nombres complexes.

Deux vecteurs,A et B, de mêmes dimensions, peuvent être additionnés (ou soustraits)en écrivantA+B (ou A-B), et un vecteurA peut être multiplié par un scalairelambdaenentrantlambda*A. Un vecteur ligneA peut être multiplié par un vecteur colonneB de mêmetaille : A*B. Le résultat est leurproduit scalaire. Leproduit élément par élément, A.*B, dedeux vecteurs de même longueurn, est un vecteur de longueurn dont les composantes sontles produitsaibi des composantes deA et B. Le tableau 2.4 décrit les opérateurs vectorielsutilisés dans MATLAB.

Tableau 2.4 – Opérateurs élément par élément.

Opérateur Utilisation Exemple

.* Multiplication [ 2 3 ] .* [ 2 4] = [ 4 12 ]

./ Division [ 2 3 ] ./ [ 2 4 ] = [ 1 0.7500 ]

.^ Puissance [ 2 3 ] . ^ 2 = [ 4 9 ]

Enfin, MATLAB dispose de fonctionnalités graphiques. Le graphe d’une variabley enfonction d’une variablex s’obtient par la commande

plot(x, y)

Nous pouvons ajouter une grille, un titre et étiqueter les axes du graphe par les commandesgrid, title(’t’), xlabel(’xl’) et ylabel(’yl’), oùt, xl et yl sont desvariablesde type chaîne de caractèresde votre choix. Les variables de type chaîne de caractèresdoivent être placées entre quotes.



2.13 Exemples

EXEMPLE 2.1 Vecteurs

Un vecteur peut définir un point, dans le sens où chaque composante représente une coordon-née de ce point. Ainsi, pour la figure 2.7, nous pouvons écrire

A = [ 2 3 ] ;

B = [ 4.1 4.5 ] ;

Figure 2.7 – Deux points dans le plan.

La distance entre les deux points A et B s’obtient par

d(AB) =√

(2− 4.1)2 + (3− 4.5)2 = 2.5807 (2.10)

qui se calcule avec MATLAB avec

dist_AB = sqrt(sum((A - B).ˆ2))

ou, de manière plus élégante, avec

dist_AB = sqrt((A - B)*(A - B)’)

EXEMPLE 2.2 Vecteurs

Considérez les deux vecteurs suivants– A de module 5 et d’un angle de 15 avec l’horizontale– B de module 8 et d’un angle de 45 avec l’horizontale


EXEMPLES 111

Nous décomposons ces vecteurs selon leurs composantes horizontales et verticales enentrant

alpha = pi*15/180; beta = pi*45/180;

A(1) = 5*cos(alpha);

A(2) = 5*sin(alpha);

B(1) = 8*cos(beta);

B(2) = 8*sin(beta);

Le produit scalaire de deux vecteursA et B est égal à

A · B = 5 · cosα · 8 · cosβ

+5 · sinα · 8 · sinβ

= |A||B| cos(β − α) .

Ce résultat, de valeur numérique 34.6410, est identique à celui de l’équation 2.4. L’angleentre les deux vecteurs est de 45− 15 = 30. Avec MATLAB, nous obtenons ce résultat entapant

(180/pi)*acos(A*B’/(sqrt(A*A’)*sqrt(B*B’)))

ce qui donne bien 30 degrés.

EXEMPLE 2.3 Bases orthonormales

Considérons les trois vecteurs suivants

e1 = [ 1 0 0 ] ;

e2 = [ 0 1 0 ] ;

e3 = [ 0 0 1 ] ;

Le produit scalaire de deux de ces vecteurs, nommései et ej , est égal à 1 sii = j, et 0 sii = j. Nous pouvons vérifier cette propriété avec les commandes

e1*e1’, e2*e2’, e3*e3’

ans =

1

ans =

1

ans =

1



et

e1*e2’, e2*e3’, e3*e1’

ans =

0

ans =

0

ans =

0

On dit que les trois vecteurse1, e2, e3 forment unebase orthonormaleou orthonorméed’un espace à trois dimensions. La figure 2.8 donne une interprétation géométrique d’unetelle base.

Figure 2.8 – Bases orthonormales.

N’importe quel vecteurA de l’espace à trois dimensions peut être représenté de manièreunique comme la combinaison linéaire des vecteurs de basee1, e2, e3 où le signe ‘+’ signifiel’addition de vecteurs.

A = a1e1 + a2e2 + a3e3

Le produit scalaire du vecteurA par un vecteur de baseei donne laprojection deA selonla direction deei. Par exemple, en utilisant la base définie ci-dessus.

A = [ 2 3 4 ] ;

A*e1’, A*e2’, A*e3’

ans =

2

ans =

3

ans =

4

La généralisation de ces notions à un espace àn dimensions est simple. Cet exemple peutaider à comprendre la signification des projections géométriques et celle de la transforméediscrète de Fourier.


EXEMPLES 113

EXEMPLE 2.4 Probabilités

Lançons une paire de dés. Le nombre de combinaisons possibles est de 62 = 36. Intéressons-nous à la somme des nombres obtenus. C’est unevariable aléatoire discrète, X, qui peutprendre les valeurs 2, 3, . . . , 12. Il existe seulement une possibilité d’obtenir la somme 2 : enlançant 1, 1. Ainsi, la probabilité d’obtenir 2 estp(1) = 1/36. La somme 3 peut être obtenueen lançant soit 1, 2, soit 2, 1. La probabilité correspondante estp(2) = 2/36. En continuant ceraisonnement, nous obtenons les valeurs du tableau 2.5 (voir, par exemple, Lipschutz 1965).La moyennedeX, également appeléeespérancedeX, est, par définition,

E(X) =12∑i=1

Xip(Xi) . (2.11)

Tableau 2.5 – Somme de deux dés.

Somme ProbabilitéX p(X)

2 1/363 2/364 3/365 4/366 5/367 6/368 5/369 4/36

10 3/3611 2/3612 1/36

Nous entrons le vecteur des sommes par

X = 2 : 12 ;

et le vecteur de probabilités est le suivant

p = [ 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 ]/36 ;

La moyenne se calcule comme un « produit scalaire »

X*p’

ans =

7

Nous savons que nous devons obtenir un des résultats du vecteurX. Ainsi, la sommede toutes les probabilités est 1, la probabilité est alors certaine. Essayezsum(p). Il seraitintéressant de tracer ladistribution deX. La fonctionplot renvoie un graphe continu bienqueX ait une distribution discrète. La fonctionbar crée unhistogrammedont la hauteur des



colonnes, respectives pour chaque valeur deX, est proportionnelle àp. Essayez la commandebar(X, p) et observez le résultat.

EXEMPLE 2.5 Séries de Fourier

Etant soumise aux conditions décrites dans l’annexe de ce chapitre, une fonction périodiquesur l’intervalle−∞ à +∞ peut être développée en séries de Fourier (Baron Joseph Fourier,1768-1830). Les séries de Fourier (voir, par exemple, Wylie et Barrett 1987 ou Ramirez 1985)possèdent un nombre infini de termes. Sur un ordinateur, cependant, on ne peut générer qu’unnombre fini de termes. Par conséquent, on peutsynthétiseruniquement des approximationsde fonctions périodiques. Considérons une onde carrée, symétrique au voisinage det = 0.Elle se décompose en séries de Fourier de la manière suivante

x(t) =4Aπ

(cosωt − 13

cos 3ωt +15

cos 5ωt − 17

cos 7ωt + · · ·) (2.12)

où A est l’amplitude de l’onde etω sa fréquenceangulaire. Il est également habituel dedéfinir A comme la moitié de l’amplitudepic à pic. Nous pourrons approcher l’onde carréesymétrique par unesérie tronquéecontenant seulement trois termes. L’erreur générée parl’utilisation d’un nombre fini de termes d’une série infinie est nomméeerreur de troncature.Soit A = 1, ω = 2π, la période d’onde est alors égale àT = 2π/ω = 1. Les commandesMATLAB correspondantes sont

t = -2 : 0.05 : 2 ;

omega = 2*pi ;

x1 = cos(omega*t);

x2 = -cos(3*omega*t)/3;

x3 = cos(5*omega*t)/5;

x = 4*(x1 + x2 + x3)/pi;

plot(t, x), grid

title(’Three-term approximation of the square wave’)

xlabel(’t’)

Après avoir écrit l’expression pourx1, vous pouvez obtenir facilement les deux termessuivants en utilisant la touche direction(flèche haute)↑ pour récupérer l’expression précé-dente et l’éditer. Lancez les commandes etobservez la forme, l’amplitude et la période del’onde résultante. La figure 2.9 montre le graphe obtenu. Vous pouvez améliorer l’approxi-mation en ajoutant plus de termes mais à ce stade, cette opération est fastidieuse. Avecquelques notions de programmation, vous pourrez facilement réaliser ces calculs, en écri-vant par exemple uneboucle FOR, pour utiliser autant de termes que vous le désirez, maistoujours en nombre fini.

Un autre élément remarquable concerne le graphe qui semble « cassé », car il est constituéde segments de droites connectant les points calculés. On peut améliorer la résolution enprenant plus de points, par exemple en utilisant

t = - 2 : 0.01 : 2 ;

et en relançant les autres commandes.


EXEMPLES 115

Figure 2.9 – Séries de Fourier tronquées.

Essayez d’autres formes d’onde en utilisant les séries décrites dans divers ouvrages,comme par exemple Ramirez (1985) ou Spiegel (1968). Pour plus de détails, voir égale-ment Churchill et Brown (1990). Nous avons traité ici la synthèse d’une fonction périodique ;le problème inverse, la décomposition d’une fonction périodique en termes trigonométriquessimples, peut également s’étudier avec MATLAB.

EXEMPLE 2.6 Définition de constantes, ingénierie mécanique

Supposons que dans un projet, nous ayons besoin d’un élément tubulaire et que nous choi-sissions, à partir du BS 6323 (abréviation deBritish Standard 6323, voir bibliographie), untube de diamètre extérieurD = 139.7 mm, et d’épaisseurt = 6.3 mm. La plupart des pro-priétés de ce tube sont standards. Calculons-les cependant avec MATLAB. En se référant àla figure 2.10, nous définissons les constantes

D = 139.7 ;

t = 6.3 ;

Par conséquent, le diamètre intérieur, exprimé en mm, vaut

d = D - 2*t

d =

127.1000



Figure 2.10 – Section d’un tube.

Si nous utilisons le tube comme tuyau, pour déterminer le débit correspondant, nous cal-culons l’aire de la section interne, en mm2, par

A = pi*dˆ2/4

A =

1.2688e+04

Si nous nous intéressons au transfert de chaleur à travers la paroi du tuyau, nous avonsbesoin de la surface externe, que nous obtenons, en mm2, en calculant la circonférence exté-rieure

p = pi*D

p =

438.8805

et en la multipliant par la longueur du tuyau. Sinous utilisons le tuyau comme élément d’unestructure, chargé en tension ou en compression, nous nous intéressons à lasurface de sectionde la paroi, que nous obtenons, en mm2, par l’opération suivante

a = pi*(Dˆ2 - dˆ2)/4

a =

2.6403e+03

Pour vérifier les paramètres de sécurité relatifs à la déformation, nous calculons lemomentd’inertie , en mm4, par

I = pi*(Dˆ4 - dˆ4)/64

I =

5.8862e+06

La résistance en flexion est obtenue par lemodule de résistance, en mm3

Z = 2*I/D

Z =

8.4269e+04


EXEMPLES 117

Remarquez le symboleW utilisé dans beaucoupde pays européens pour désigner lemodule de résistance. Finalement, la masse du tuyau en kilogrammes par mètre de longueurs’obtient par

m = (a/1000)*7.85

m =

20.7260

Pourquoi divisera par 1 000 ? En voici une explication

a mm2×(

1103

mmm

)2

× 7.85t

m3× 1 000

kgt

=a

1 000× 7.85× kg

m

EXEMPLE 2.7 Moment, centres de gravité

La figure 2.11 montre, à l’échelle, un système de masses colinéaires. Les masses sont donnéesen kg et les distances en mm, mesures standards des dessins de mécanique. Nous voulonsobtenir le centre de gravité de ce système.Nous commençons par définir les vecteurs

mass = [ 35 65 45 75 ] ;

distance = [ 400 580 800 1000 ] ;

Figure 2.11 – Un système de masses colinéaires.

Le produit du tableau ci-dessous donne le vecteur de moments par rapport aux axes deréférence de la figure

moments = mass.*distance



avec les éléments 14 000 ; 37 700 ; 36 000 ; 75 000. Le produit scalaire permet d’obtenir lemoment total

t_moment = mass*distance’

de résultat 162 700 kg mm. La masse totale s’obtient à l’aide de la fonctionsum

M = sum(mass)

soit 220 kg. Le centre de gravité du système de la figure 2.11 correspond, par définition, aupoint de concentration de la masse totaleM, de moment égal à la somme des moments desmasses données, soit

cg = t_moment/M

ce qui donne 739.5455 mm. Nous aurions obtenu le même résultat directement avec

cg = mass*distance’/sum(mass)

ou

cg = distance*mass’/sum(mass)

EXEMPLE 2.8 Ouverture d’une porte fermée par un cylindre pneumatique

Dans la section 2.11, nous avons vu commentutiliser MATLAB pour la résolution d’équa-tions transcendantales. L’exemple suivant représente une application de cette méthode à l’in-génierie mécanique. La figure 2.12 montre une porte fermée par un cylindre pneumatique. Legond est en H. Si la surface de section du cylindre estA et la pression initialep0, la forcep0As’exerce sur la porte par le biais d’un roulement monté à l’extrémité de la tige du piston.

Supposons que quelqu’un tire la porte avec une forceF de direction donnée par la figure,et que la porte s’ouvre alors d’un angleα. Nous voulons obtenir la valeur de cet angle. LaforceF pousse le piston à une distance

c = b tanα

Le volume d’air dans le cylindre est réduit àV = A(l0−c). Le mouvement est trop rapide pourpermettre des échanges de chaleur. Les processus qui ne génèrent aucun transfert de chaleursont ditsadiabatiques. La propagation du son, le démarrage d’un moteur Diesel et l’onde dechoc produite par une explosion en sont quelques exemples. La relation entre la pressionp etle volumeV dans un processus adiabatique est

pVχ = cad

avecχ appeléexposant adiabatiqueetcad constante.


EXEMPLES 119

Figure 2.12 – Une porte fermée par un cylindre pneumatique. (a) Porte fermée ; (b) porte ouverte.

Si nous appliquons ces notions à notre exemple, nous pouvons établir la relation suivanteentre le nouveau volumeV et la pressionp, et les valeurs initiales,V0 etp0

pVχ = p0Vχ0

et

p = p0

(l0

l0 − c

)χ

Le moment « d’ouverture » correspond à

MO = Facosα

et le moment « redresseur » à

MR = Apb

Au point d’équilibre statique, les moments d’ouverture et redresseur sont égaux. Ce phéno-mène se produit quand l’équation suivante est satisfaite

Facosα = bAp0

(l0

l0 − b tanα

)χ

(2.13)

Cette équation enα peut paraître plutôt décourageante. Cependant, elle peut être résolueassez facilement. Pour le démontrer, prenons les valeurs suivantes

a = 0.8 ; % m, largeur de la porte

b = 0.25 ; % m, bras de levier du piston

A = pi*0.04ˆ2; % mˆ2, section du piston

p0 = 0.1*10ˆ5; % N/mˆ2

l0 = 0.50 ; % m, longueur du cylindre ouvert

chi = 1.4 ; % exposant adiabatique



Nous traçons à présent séparément les courbes des moments d’ouverture et redresseur

alpha = 0 : pi/90 : pi/6; % angle d’ouverture, rad

c = b*tan(alpha); % mouvement du piston, m

p = p0*(l0*ones(size(alpha))./(l0 - c)).ˆchi

P = 25 ; % N, force manuelle

left = P*a*cos(alpha).ˆ2; % moment d’ouverture

right = b*A*p; % moment redresseur

angle = 180*alpha/pi; % angle d’ouverture, degrés

h = plot(angle, left, angle, right, ’ :’), grid

xlabel(’angle, degree’), ylabel(’Moments, Nm’)

legend(h, ’Opening moment’, ’Restoring moment’)

Ci-dessus, nous avons utilisé deux commandes MATLAB introduites dans la version 5.2.Nous avons assigné à la variableh le handle de l’objet graphiqueproduit par la commandeplot. Nous utilisons ce handle comme premier argument de la commandelegend. Les autresarguments représentent des chaînes de caractères identifiants des diverses courbes du tracé.Passées en arguments, elles apparaissent dans le même ordre de courbes que dans la com-mandeplot.

La figure 2.13 montre les deux courbes produites par les commandes ci-dessus.

Figure 2.13 – Courbes des moments d’ouverture et de restauration.


EXEMPLES 121

L’angle d’équilibre se trouve à l’intersection des deux courbes. Nous pouvons le lire soitdirectement sur le graphe, soit en utilisant la fonctionginput (voir section 2.11). Nous de-vons également vérifier la pression à l’équilibre, en réalisant un deuxième tracé

plot(angle, p), grid

xlabel(’angle, degree’)

ylabel(’Cylinder pressure, N/mˆ2’)

Essayez ces dernières commandes.

EXEMPLE 2.9 Stabilité d’un bateau sous le vent

L’exemple précédent concernaitla résolution graphique d’une équation transcendantale. Nousallons à présent montrer que la même méthode reste applicable même quand il n’est paspossible d’établir une telle équation. Dans ce cas, il faut déterminer deux courbes sur deuxensembles définis et en rechercher l’intersection. L’exemple proposé ici est tiré de l’architec-ture navale, domaine dans lequel cette méthode fut appliquée pendant longtemps. Bien quecela ne soit pas mentionné dans les ouvrages, on peut considérer ce problème comme celuid’un ressort non linéaire, activé par une force ou un moment non linéaire. Ainsi la méthodepeut être facilement applicable à d’autres exemples de ressorts non linéaires chargés par desforces ou moments non linéaires.

Figure 2.14 – Forces agissant sur un navire ayant du gîte.



La figure 2.14 montre la coupe transversale d’un bateau. Afin d’orienter le dessin, sup-posons que nous regardions de la poupe vers la proue.W0L0 représente la ligne de flottaisonen condition verticale. La projection du centre de gravité sur le plan transversal donné estG,et celle du centre du volume de coque submergée estB. La résultante des pressions hydro-statiques passe parB ; ce point est appelécentre de carène. K est un point de référence aumilieu de la quille.

Supposons maintenant que le bateau gîte àtribord d’un angleφ. Pour éviter de redessi-ner le bateau incliné d’un angleφ, on considère le bateau comme fixe, et la nouvelle lignede flottaisonWφLφ est dessinée avec un angle d’inclinaison deφ à bâbord. Le poids dunavire,W, agit enG verticalement, soit perpendiculairement à la ligne de flottaisonWφLφ.Puisque le poids du bateau est invariant, une partie du volume submergé émerge à bâbord –c’est-à-dire à gauche – tandis que le même volume submerge à tribord – c’est-à-dire à droite.Il en découle un déplacement du centre de carène vers la droite en un nouveau pointBφ.La poussée∆, traverse verticalementBφ et coupe perpendiculairement la ligne de flottai-sonWφLφ. D’après le principe d’Archimède

W = ∆ (2.14)

on utilise le motdéplacementpour désigner leur valeur commune. Les deux forcesW et ∆forment un couple dont le bras de levier estGZ, la longueur de la perpendiculaire extraitedeG sur la ligne d’action∆. Le moment∆ · GZ est lecouple de stabilité. Si le navire eststable, le moment redressant renvoie le vaisseau à son état initial, c’est-à-dire en conditionverticale.GZ s’appelle lebras de levier du couple de redressement.

La distance deK à la ligne d’action de la poussée se mesure parw, une fonction dudéplacement∆ et de l’angle de gîteφ. Le bras de redressement est calculé par

GZ = w− KG · sinφ (2.15)

La courbe deGZ en fonction deφ est appelée courbe de stabilité statique. On l’emploierapour évaluer la stabilité du bateau sous le vent. La pression du vent qui agit sur la surfacedu bateau au-dessus de la ligne de flottaisonW0L0 produit une forceFW (voir figure 2.14).Cette force dépend de la projection latérale de la partie de l’aire exposée du bateau,F. Sousl’influence de la forceFW, le bateau a tendance à dériver. Cette tendance à dériver est opposéeà une réaction hydrodynamique ,RW, qui agit sur la surface opposée de coque submergée.Les forcesRW et FW sont égales, et constituent uncouple de gîtedont le bras de levier ducouple de redressement est. La plus simple façon de calculer est fondée sur l’hypothèsequeFW agit au centre de l’aireF et queRW agit à demi tirant d’eau.

La figure 2.14 montre la force du vent,FW, et la réaction hydrodynamique,RW, qui cor-respond à l’état de condition verticale. Lorsquele bateau gîte sous l’influence du vent, lesdeux forces demeurent horizontales, c’est-à-dire, pour un angle de gîteφ , FW et RW sontparallèles àWφLφ. Le bras redressant et l’aireF diminuent à mesure que l’angle de gîteaugmente. Pour considérer ces effets, on utilisera dans cet exemple, une formule adoptéepar la marine fédérale allemande – et ultérieurement par d’autres corps de marine – quiest

FW = pF(0.25 + 0.75 cos3 φ) (2.16)

oùp est la pression du vent.


EXEMPLES 123

Le moment de gîte du vent étant

MH = FW (2.17)

La position d’équilibre statique sous le vent est celle pour laquelle le couple de redressementégale le couple d’inclinement, soit

MH = ∆ ·GZ (2.18)

En divisant les deux parties de l’équation 2.18 par∆, on en déduit qu’il faut comparerle bras de redressementGZ avec le bras du couple inclinant MH/∆. Si l’on combine cerésultat avec les équations 2.16 et 2.17, on peut calculer le bras de gîtekw, par

kw =p · F · (0.25 + 0.75 cos3 φ)

∆(2.19)

Appliquons ces quelques théories à un véritable bateau de pêche dont les caractéristiques sont

Déplacement,∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 402.490 kNHauteur du centre de gravité,KG . . . . . . = 2.161 mAire exposée au vent,F . . . . . . . . . . . . . . . = 35.46 m2

Bras de redressement de la force du vent = 2.120 m

Les valeurs dew sont données dans le tableau 2.6.

Tableau 2.6 – Bateau de pêche, extrait des courbes du brasw.

Angle de gîteφ Bras de redressementw Angle de gîteφ Bras de redressementwdeg m deg m

0 0.000 35 1.4795 0.262 40 1.592

10 0.519 50 1.75415 0.767 60 1.83820 0.989 70 1.85825 1.182 75 1.84730 1.344

Supposons maintenant que nous voulions tracer la courbe de stabilité statique, pourinclure la courbe du vent gîtant extrait d’un vent de 70 noeuds, et trouver l’angle d’équilibrestatique dans ces conditions. On commence en saisissant les caractéristiques définies

delta = 402.49; l = 2.12 ;

KG = 2.161; F = 35.460;

phi = [ 0 ; 5 ; ... 75 ] ;

w = [ 0 ; 0.262; ... 1.847 ] ;



On convertit les angles de gîte en radians et oncalcule le bras de redressement en suivantl’équation 2.15

heel = pi*phi/180;

GZ = w - KG*sin(heel);

La pression du vent correspondant à une vitesse de vent de 70 noeuds est de 11 kN/m2.Le bras du couple du vent est calculé selon l’équation 2.19

kw = 1*F*l*(0.25 + 0.75*cos(heel).ˆ3 )/delta;

Notez l’utilisation de l’opération de la puissance cube ‘.^ ’. On obtient le graphique avecles commandes

h = plot(phi, GZ, phi, kw), grid

title(’Fishing vessel, static stability, 70 knot wind’)

xlabel(’Heel angle, degrees’), ylabel(’Lever arms, m’)

legend(h, ’Righting arm, GZ’, ’Wind arm’)

Le schéma 2.15 nous montre le résultat. L’angle d’équilibre statique est approximative-ment de 12,2 degrés.

Figure 2.15 – Courbe de stabilité statique.


EXEMPLES 125

EXEMPLE 2.10 Echelle de températures

Peu avant 1720, le physicien allemand Daniel Gabriel Fahrenheit (1686–1736) choisit commezéro de son échelle de température, la température d’un mélange glace-sel qui correspondaità la plus basse température rencontrée à Danzig (aujourd’hui Gdansk) en 1709. Dans cetteéchelle, la température de fusion de la glace correspond à 32F. Dans la même échelle, latempérature d’ébullition de l’eau, au niveau de la mer, correspond à 212F.

En 1742, l’astronome suisse Anders Celsius (1701–1744) proposa une autre échelle detempérature dans laquelle le point de fusion de l’eau correspond à zéro degrés, et le pointd’ébullition à100. Ces températures sont notées respectivement 0C et 100C.

Construisons un graphe qui facilite la conversion d’une échelle à l’autre. Dans les deuxéchelles, on divise en parts égales l’intervalle entre le point de fusion et le point d’ébullition. Ils’ensuit que chaque échelle est linéaire ; le graphe consistera donc en une ligne droite. Soit Fl’axe de Fahrenheit et C celui de Celsius. Un point sur la ligne possède les coordonnées 32pour F et 0 pour C. Le second point possède les coordonnées 212 pour F et 100 pour C.

Le graphe s’obtient dans MATLAB avec

plot([32 212], [0 100])

xlabel(’Degrees Fahrenheit’)

ylabel(’Degrees Celsius’)

grid

Figure 2.16 – Relation entre les échelles Fahrenheit et Celsius.



On nomme un graphe qui remplace un calcul comme celui-ci unnomogramme : vouspouvez le voir à la figure 2.16. Fahrenheit indiquait 96F pour la température du corpshumain. Cette valeur fut corrigée plus tard pour 98.6F. Utilisez le graphe pour trouverles températures Celsius qui correspondent aux valeurs précédentes et comparez-les à vosconnaissances de la température du corps humain. Utilisez également la fonctionginput àl’aide de la souris.

La figure 2.16 représente la relation à l’intérieur de l’intervalle défini par les deux pointsdonnés. L’exercice 3.3 traite d’une expression qui décrit également cette relation en dehors decet intervalle.Remarque : La définition de l’échelle internationale de température impliquel’utilisation dupoint triple de l’eau au lieu de sonpoint de fusion. Nous pouvons, dans notrecas, négliger la différenceentre les deux définitions.

EXEMPLE 2.11 Augmentation de la résistance électrique avec la température

La résistanceR d’un conducteur électrique est directement proportionnelle à sa longueurL,et inversement proportionnelle à sa surface de sectionA :

R = ρLA

On appellerésistivité le facteur de proportionnalitéρ. La résistivité du cuivre à 20C estdeρ = 0.0170. . . 0.0178Ωmm2/m. La résistivité est fonction de la température et l’on peutdécrire sa variation par

ρθ = ρ(1 +α∆θ) (2.20)où

ρθ est la résistivité àθ C,α un coefficient de température, pour le cuivreα = 0.0039K−1

∆θ est la différence de température au-delà de 20C.

Wiesemann (1989) donne une relation plus détaillée

ρθ = ρ20(1 + α20∆θ + β20∆θ2) (2.21)où

ρ20 = 0.017Ωmm2/m

α20 = 4.3× 10−3 K−1

β20 = 0.6× 10−6 K−2

Pour comparer graphiquement les deux relations, entre 20C et 100C, nous les traçonspar les commandes suivantes

rho = 0.0178; alpha = 0.0039;

theta = 20 : 0.5 : 100 ;

delta = theta - 20 ;

rho1 = rho*(1 + alpha*delta);

rho_20 = 0.017 ; alpha_20 = 0.0043; beta_20 = 0.6*10ˆ(-6);

rho2 = rho_20.*(1 + alpha_20*delta + beta_20*delta.ˆ2);

h = plot(theta, rho1, theta, rho2)

xlabel(’Temperature, deg C’)

ylabel(’Copper resistivity, \Omega*mmˆ2/m’) legend(h, ’Equation 2.20’, ’Equation 2.21’)


EXEMPLES 127

Essayez l’affichage. Remarquez que l’on note souvent la résistivité enΩm. Dans cetteunité, la limite haute de la résistivité du cuivre est

0.0178Ωmm2

m×

(10−3 m

mm

)2

= 1.78× 10−8Ωm

EXEMPLE 2.12 Définition de constantes, ingénierie électrique

Supposons que nous devions connecter une source continue de 12 V à une charge de 25Ω

située à 100 m, et que nous choisissions un conducteur en cuivre de 1 mm de diamètre. Pourêtre sûr d’avoir fait le bon choix, nous devons vérifier la chute de tension générée par leconducteur. La résistivité du cuivre à 20C est de 0.0178Ωmm2/m. Dans MATLAB, il estplus efficace de nommer les différentes valeurs et les résultats intermédiaires, puis d’utiliserces noms dans les calculs. Si nous cherchons à préparer une note ou un rapport sur les calculssuivants, nous commençons par ouvrir un fichier journal

diary resist.dia

Ensuite, nous entrons les données

V = 12 ; % V

RL = 25 ; % ohm

l = 2*100 ; % m

rho = 0.0178; % ohm.mmˆ2/m

d = 1 ; % mm

La surface de section du conducteur est

A = pi*dˆ2/4 % mmˆ2

A =

0.7854

et la résistance

R = rho*l/A % ohm

R =

4.5327

La résistance totale du circuit est

RT = RL + R % ohm

RT =

29.5327



et l’intensité

I = V/RT % A

I =

0.4063

On en déduit la chute de tension dans le conducteur

Vc = R*I % V

Vc =

1.8418

Soit un résultat supérieur à 15 % du voltage disponible. Si la situation n’est pas acceptable,on peut réitérer les calculs avec la plus grande taille de conducteur suivante. Les donnéesd’entrée étant déjà définies, cela permet de réaliser immédiatement une seconde itération.

Nous pouvons traiter le fichier journalresist.dia à l’aide d’un éditeur ou d’un traite-ment de texte et produire ainsi un rapport technique.

EXEMPLE 2.13 Un circuit de diode

La figure 2.17 montre un circuit continu qui contient une résistance et une diode à semi-conducteur. Siv correspond à la tension aux bornes de la diode, on calcule l’intensité corres-pondante avec

i = I0(e40v − 1) (2.22)

où I0 est une constante nomméecourant inverse de saturation, pour de faibles valeursnégatives dev, i ≈ −I0. L’équation 2.22 est non linéaire ; elle est valable pour des valeurs detensions supérieures à une valeur négative connue sous le nom declaquage sous polarisationinverse ou claquage inverse(voir par exemple, Carlson et Gisser 1990). Etant donnée lavaleur deI0, nous pouvons utiliser MATLAB pour visualiser la courbei − v de la diode.

Figure 2.17 – Circuit contenant une diode à semi-conducteur.


EXEMPLES 129

En supposantI0 = 10−6mA, valeur donnée par les auteursprécédemment mentionnés. Nousentrons

I0 = 1.0E-6;

v = -0.05 : 0.005 : 0.05;

i = I0*(exp(40*v) - 1) ;

plot(v, i), grid

title(’Characteristic of semiconductor diode’)

xlabel(’Voltage v, V’), ylabel(’Current i, mA’)

Figure 2.18 – Caractéristique d’un diode à semi-conducteur.

La figure 2.18 nous montre le résultat. Nous obtenons ainsi la courbe caractéristique dela diode à semi-conducteur dans un étroit domaine de tension et nous pouvons voir que pourtoute tension négative, une intensité négative très faible circulera, alors que pour des tensionspositives, l’intensité sera positive et augmentera rapidement avecv. L’image change si noustraçons la courbe dans un plus large domaine de tension, par exemple, pour

v = -1.0 : 0.05 : 0.25 ;

et également pour

v = -10 : 0.05 : 0.8 ;



Renouvelez les tracés avec les vecteursv ci-dessus et vous verrez que la diode est pra-tiquement en arrêt (off) pour des valeurs de tension négatives, et en marche (on) pour desvaleurs positives. La diode agit comme unredresseur.

Afin de calculer les valeurs actuelles de tension et d’intensité du circuit, c’est-à-dire lepoint de fonctionnement, nous devons considérer la résistance du circuit, en écrivant uneseconde équation basée sur la loi de Kirchhoff

Ri = Vs− v (2.23)

Nous disposons à présent de deux équations à deux inconnues,i et v, et nous devons trou-ver un couple de valeursi, v qui les satisfont toutes les deux. Il y a quelques années, detels calculs n’étaient pas considérés commeune tâche aisée. Dans un ouvrage récent paru en1981, nous pouvons lire que, « analyser ne serait-ce qu’un simple circuit avec une vraie diode(ou un autre élément non linéaire), est un problème complexe ». Les auteurs recommandentd’approcher la diode réelle par une diode idéale. Cette méthode produit effectivement desrésultats moins précis, mais nettement plus rapides. Aujourd’hui, avec des logiciels commeMATLAB, trouver la solution exacte devient plus simple que d’utiliser des modèles appro-chés. Ainsi, pour une solution exacte, nous pouvons combiner les équations 2.22 et 2.23 afind’obtenir une équation non linéaire simple que des techniques numériques permettent de ré-soudre. Pour l’instant, nous allons décrire une solution graphique légèrement moins précise,mais plus facile à comprendre. Nous allons tracer les lignes définies par les équations 2.22et 2.23, et chercher leur intersection qui correspondra au point de fonctionnement. Les valeursde i et v lues sur la courbe satisfont les deux équations. Pour notre exemple, nous utilisonsles valeurs que donnent Carlson et Gisser (1990)

Vs = 10 ; R = 2000 ;

Ensuite, grâce aux commandes suivantes, nous obtenons le graphe de la figure 2.19

v = 0 : 0.05 : 0.4 ; i = I0*(exp(40*v) - 1) ;

vr = [ 0 0.39 ] ;

ir = 1000*(Vs - vr)/R ;

h = plot(v, i, vr, ir), grid

title(’Operating point of resistor-diode circuit’)

xlabel(’Voltage v, V’), ylabel(’Current i, mA’)

legend(h, ’Diode characteristic’, ...

’Circuit characteristic’)

Dans la partie droite de l’expression devr, les deux tensionsVs et vr sont expriméesenV, et la résistanceR enΩ. Ainsi

(Vs - vr)/R

retourne une valeur d’intensité enA. Nous convertissons ce résultat en mA, unité utilisée dansl’expression de l’intensitéi, en le multipliant par 1000.


EXEMPLES 131

Figure 2.19 – Trouver le point de fonctionnement dans un circuit de diode.

Il est possible de lire le point de fonctionnement sur le graphe en utilisant

[ v i ] = ginput(1)

Une flèche ou une croix apparaîtra à l’écran, vous pourrez la déplacer soit avec les touchesde direction, soit à l’aide de la souris. Placez la flèche aussi précisément que possible surl’intersection et cliquez sur la souris, ou appuyez surEntrée. Les valeurs cherchées s’affi-cheront alors à l’écran.

Pour une bonne résolution graphique, le graphedoit couvrir un intervalle aussi petit quepossible, mais doit inclure le point de fonctionnement. Cela requiert une connaissancea prioride l’intervalle qui contient la solution. Une personne débutante pourra trouver le bon inter-valle à force d’essais et d’erreurs, alors que l’estimation de l’utilisateur expérimenté se baseraessentiellement sur son expérience pratique.

Si on remplace la source continue par une source alternative, il devient possible de dé-montrer la fonction de redressement de la diode. Par exemple,

v = 0.4 sin(2π × 50t) (2.24)

Nous pouvons obtenir le graphe de l’intensitépassant dans le circuit en traçant le graphedes coordonnées des points de fonctionnement trouvés pour plusieurs valeurs det. Réaliser



un tel graphique s’avèrerait fastidieux ; il nous faut donc écrire un programme pour le réa-liser. Cependant, pour avoir une idée de ce qui se passe, nous pouvons négliger l’effet de larésistanceR et tracer l’intensité redressée par

t = 0 : 0.0001 : 0.05 ;

v = 0.4*sin(2*pi*50*t);

i = I0*(exp(40*v) - 1) ;

plot(t, i), grid

title(’The diode as a half-wave rectifier’)

xlabel(’Time, s’), ylabel(’Current, mA’)

La figure 2.20 représente le résultat.

Figure 2.20 – La diode à semi-conducteur en tant que redresseur.

MATLAB 7 offre une autre manière de lire les données sur le graphique. Cliquez surla dixième icône en partant de la gauche de la barre d’outils dont le ballon d’aide indiqueData cursor. Puis cliquez sur le point du graphique qui vous intéresse. Un petit cadre quicontient les coordonnées enx-y du point apparaît alors (voir figure 2.21). Cependant, alorsque la fonctionginput permet d’importer les coordonnées dans l’espace de travail, ce n’estpas possible avecData cursor.


EXERCICES 133

Figure 2.21 – Utilisation deData cursor pour récupérer les valeurs des coordonnées.

2.14 ExercicesLes solutions des exercices 2.3, 2.4, 2.6, 2.9 et 2.11 se trouvent à la fin de l’ouvrage.

EXERCICE 2.1 Tracé d’une ellipseLes équations paramétriques d’une ellipse centrée à l’origine des coordonnées, le grand axe 2Aet le petit axe 2B sont

x = Acost (2.25)

y = Bsint (2.26)

où 0≤ t ≤ 2π.Tracez une ellipse, par exemple avecA = 2, B = 1, et essayez de comprendre le sens deA

etB. Essayez avec d’autres courbes, par exemple avec celles de Spiegel (1968).

EXERCICE 2.2 Onde triangulaireSynthétisez une onde triangulaire, symétrique au voisinage det = 0, à l’aide des séries de Fourier

x(t) =8Aπ2

(cosωt +19

cos 3ωt +125

cos 5ωt · · ·) , (2.27)

où A est la demi-amplitude de l’onde, etω sa fréquence angulaire. Essayez, par exemple,A = 1,ω = 2π.



EXERCICE 2.3 BattementsLa superposition de deux ondes de fréquences légèrement différentes forme une onde de lentesvariations d’amplitude. Une manière simple de démontrer ce phénomène consiste à appuyersimultanément sur deux touches de piano voisines. Pour plus de simplicité, considérons deuxondes de même amplitude

x1 = Asinω1t

x2 = Asinω2t

En additionnant ces deux ondes et en utilisant une formule trigonométrique quitransformeune somme de deux sinus en un produit (voir Spiegel 1968), on peut écrire

x = Asinω1t + Asinω2t = 2Acos(ω1 − ω2)t

2sin

(ω1 + ω2)t2

(2.28)

Le résultat représente une onde de fréquence angulaire (ω1 + ω2)/2 et d’amplitude variantavec une fréquence angulaire (ω1−ω2)/2 (voir De Facia 1992). Générez les deux ondes suivantesà titre d’exercice

x1 = sin 2πt

x2 = sin 2.2πt

et simulez leur superposition. Identifiez les deux fréquences prédites par l’équation 2.28 ainsique l’amplitude maximale. Choisissez le vecteurt de manière à pouvoir visualiser au moinsdeux périodes de l’enveloppe.

EXERCICE 2.4 Erreurs de mesureOn considère un instrument de mesure avec une échelle graduée de 0 à 1000. Voici quelquesexemples possibles

Instrument Echelle

Thermomètre 0–1000 CBaromètre 0–1000 mm HgAmpèremètre 0–1000 mAVoltmètre 0–1000 V

Si l’instrument appartient avec certitude à laclasse3%, l’erreur maximale envisageable est±3% pour la gamme de mesure, c’est-à-dire dans notre cas±30. Ainsi, une valeur indiquéede 1000 correspond en fait à une valeur comprise entre 970 et 1030. Si l’instrument de mesureindique 500, la valeur réelle peut se trouver n’importe où entre 470 et 530. L’erreur relative cor-respondante est égale à 30× 100/500 = 6. Ce calcul simple montre que la gamme de mesure del’instrument ne devrait pas être beaucoup plus étendue que celles des valeurs à mesurer. D’aprèsl’une des méthodes empiriques lesplus utilisées pour éviter d’importantes erreurs relatives etcelles dues à la surcharge, la valeur à mesurer doit se situer dans un intervalle compris entre 1/2et 2/3 de la gamme de mesure totale.

Afin d’illustrer ces considérations, continuez l’exemple de l’instrument à 3% ayant unegamme de mesure égale à 1000 et effectuez les opérations suivantes :

1. Calculez et affichez le pourcentage d’erreur pour des valeurs mesurées de 100, 200, . . ., 1000.

2. Tracez le pourcentage d’erreur, en fonction des valeurs mesurées, dans l’intervalle 0-1000.Pour le tracé, utilisez des intervalles plus faibles qu’en (1), par exemple 10.


EXERCICES 135

EXERCICE 2.5 Calibration d’instrumentSupposons que l’on veuillecalibrer un instrument de mesure, tel qu’un baromètre, un thermo-mètre, un ampèremètre ou un voltmètre. On mesure quelques valeurs standard et on compare lesrésultats avec les valeurs connues. Par exemple, pour calibrer un voltmètre, on peut mesurer unensemble de sources de tension standard. Alors, on peut tracer la courbe des valeurs lues en fonc-tion des valeurs standard et utiliser cette courbepour corriger les valeurs mesurées. Le tableausuivant en est un exemple.

Lues Standard

0.500 00.633 10.767 21.167 51.833 102.500 15

Construisez unecourbe de calibration en tracant les valeurs lues en fonction des valeursstandard (c’est-à-dire les valeurs réelles). Utilisez alors ce diagrammepour déterminer la valeurréelle correspondant à une lecture de 1.5.

EXERCICE 2.6 Traversée d’une rivière à la nageA la figure 2.22, un nageur traverse une rivière de 1.1 km de large. La vitesse de nage moyenneest deV = 0.9 km/h et la vitesse du courant deS = 1.5 km/h. Le nageur part de A, avec pourobjectif d’atteindre le point opposé B, mais il rejoint l’autre rive au point C.

(a) Ecrivez le vecteurV, vitesse du nageur par rapport à l’eau, le vecteurS, vitesse du courantpar rapport au fond, et calculez le vecteur vitesse réelleT, vitesse par rapport au fond, dunageur. Trouvez la valeur de la vitesse et l’angledBAC.

(b) Calculez la distanceBC.

Figure 2.22 – Traversée d’une rivière à la nage.

EXERCICE 2.7 Dérive d’un avionLa figure 2.23(a) représente un avion volant vers l’est. Sa vitesse par rapport à l’air est de1 000 km/h. Le vent souffle du sud-ouest au nord-est avec une vitesse au sol de 100 km/h.

(a) Ecrivez le vecteurP, vitesse de l’avion dans l’air, et le vecteurA, vitesse au sol du vent.Trouvez le vecteur vitesse réelleT, vitesse au sol de l’avion.



(b) Comme indiqué à la figure 2.23(b), en navigation, il est naturel d’exprimer les directions sousla forme d’angles en degrés par rapport au méridien, mesurés dans le sens des aiguilles d’unemontre. Calculez la trajectoire réelle du vol de l’avion en tenant compte de cette convention.

(c) Comment l’avion devrait-il modifier sa trajectoire afin de continuer son vol vers l’est ? Nom-mezTc le vecteur vitesse corrigée et exprimez la direction en fonction de la convention de lafigure 2.23(b).

(d) Calculez le vecteurTc et vérifiez vos résultats en additionnant les vecteursTc et A.

Figure 2.23 – Dérive d’un avion due au vent.

EXERCICE 2.8 Dérive d’un bateauA la figure 2.24, un bateau navigue selon une direction de 315, soit vers le nord-ouest – voirfigure 2.23(b), à une vitesse de 20 noeuds. Le courant local dû aux marées est de 2 noeuds etde direction 6730′ (soit une direction est-nord-est). Le bateau dérive au vent dans une directionde 180 (soit vers le sud) à la vitesse de 0.5 noeuds.

(a) Représentez le vecteurS, vitesse du bateau, le vecteurC, vitesse du courant, et le vecteurA,vitesse du vent. Calculez le vecteur vitesse réelleT (vitesse au fond).

(b) Calculez la vitesse réelle du bateau, soit la vitesse au fond du bateau.

(c) Calculez la trajectoire réelle du bateau, soit la direction de navigation par rapport au fond,mesurée par rapport au méridien dans le sens des aiguilles d’une montre.

Figure 2.24 – Dérive d’un bateau due au vent et au courant.


EXERCICES 137

EXERCICE 2.9 Travail mécanique

A la figure 2.25, la forceF déplace un corps selon le chemin rectiligneS. Cette force produit,par définition, untravail correspondant au produit de la projection deF surS et de la longueurdu cheminS, soit le produit scalaire deF et S (voir Edward 1964). En fonction du problème, lecheminSpeut être n’importe quelle droite dans le plan ou l’espace. Alors, afin de calculer le tra-vail, nous devons diviser le chemin en plusieurs segments de droite, calculer le travail produit surchacun d’eux et additionner tous les résultats partiels. Dans le cas général considérant le chemincomme une courbe, le processus mène à uneintégrale curviligne. Si la force remplit certainesconditions, le travail produit sera indépendant duchemin, soit une fonction des points initiauxet finaux simplement (voir Piskunov 1960 ou Spiegel 1972). Le cas le plus simple consiste àconsidérer une force constante.

Figure 2.25 – Définition du travail.

A titre d’exemple, considérez, à la figure 2.26, une forceF de composante horizontale 2N, etde composante verticale 3N. Cette force agit selon des chemins directs du pointA, de coordon-nées (1.5, 1) m, en passant par les points B, de coordonnées (3.5, 1.5) m et C, de coordonnées(6.5, 3.5) m jusqu’au point D de coordonnées (11.5, 3.5) m. Pour calculer le travail avec MAT-LAB, nous commençons par définir la force et les coordonnées des quatre points

F = [ 2, 3 ] ;

A = [ 1.5 1 ] ; B = [ 3.5 1.5 ] ;

C = [ 6.5 3.5 ] ; D = [ 11.5 3.5 ] ;

Figure 2.26 – Calcul de travail.

Puis nous calculons les chemins et le travail affecté à chaque chemin

P1 = B - A ; W1 = F*P1’ ; % travail affecté au chemin AB

P2 = C - B ; W2 = F*P2’ ; % travail affecté au chemin BC

P3 = D - C ; W3 = F*P3’ ; % travail affecté au chemin CD



work = W1 + W2 + W3 % travail total

W =

27.5000

soit, 27.5 Nm. Le même travail est produit si la forceF agit selon le chemin reliant directementA à D

P = D - A ; W = F*P’

W =

27.5000

On considère à présent une force également inclinée selon les trois plans de coordonnéesxOy,yOzet zOx, définie parF = (2, 2, 2) en newtons. Supposons que cette force déplace un corps del’origine O(0, 0, 0) au pointP(2, 3, 5), de coordonnées exprimées en mètres – voir figure 2.27(a)– et suive l’un de ces trois chemins :

1. directement à partir de l’origineO jusqu’au pointP, soit selon le chemin représenté par levecteur (2, 3, 5) (figure 2.27(b)) ;

Figure 2.27 – Chemins pour le calcul du travail.


EXERCICES 139

2. le long de l’axeOx, soit le chemin (2, 0, 0), puis parallèle à l’axeOy, soit parallèle au vecteur(0, 3, 0), et enfin parallèle à l’axeOz, soit parallèle au vecteur (0, 0, 5) (figure 2.27(c)) ;

3. de l’origine au pointP1(4, 6, 6) et jusqu’au pointP (figure 2.27(d)).

Calculez avec MATLAB le travail produit dans chacun des trois cas et montrez que le résultatest identique.

EXERCICE 2.10 Centre de gravité d’une barre chargée de deux poidsLa figure 2.28 représente une barre chargée d’un poids à chaque extrémité. La longueur y estexprimée en mm, et les poids en N. Si vous voulez soulever la barre, la manière la plus simpleconsiste à la tenir proche de son centre de gravité G. La barre restera alors horizontale. En utilisantle produit scalaire et la fonctionsum, trouvez la coordonnée enx du centre de gravité G.

Figure 2.28 – Barre avec deux poids.

EXERCICE 2.11 Réactions d’une poutre soutenue simplementLa figure 2.29 représente une poutre soutenue simplement, chargée de deux forces. Les leviersdes forces sont exprimés en mm, les forces en N. Enutilisant le produit scalaire, déterminez levecteur de réactions [R1, R2]. Vérifiez vos résultats en comparant la somme des réactions à celledes forces.

Figure 2.29 – Réactions d’une poutre soutenue simplement.



EXERCICE 2.12 Réactions d’une poutre soutenue simplement

La figure 2.30 représente une poutre soutenue simplement, chargée de trois forces. Les leviersdes forces sont exprimés en mm, les forces en N. Enutilisant le produit scalaire, déterminez levecteur de réactions [R1, R2]. Vérifiez que la somme des réactions égale celle des forces agissantsur la poutre.

Figure 2.30 – Réactions d’une poutre soutenue simplement.

EXERCICE 2.13 Equilibrage d’une bascule atypique

La figure 2.31 montre la scène de deux enfants jouant sur une balançoire à bascule. La basculeconsiste en deux planches formant un angle de 120. L’enfant de gauche pèse 500 N et se tientassis à une distance de 1 500 mm. L’autre enfant pèse 400 N et se tient assis à 2 000 mm.

Figure 2.31 – Equilibrage d’une bascule atypique.

Trouvez graphiquement l’angle d’équilibreα, entre la planche de gauche et l’horizontale.Conseil: Tracez les courbes des moments produits par les deux enfants en fonction deα. Ce pro-blème admet une solution analytique. Essayez de la trouver et utilisez-la pour vérifier la solutiongraphique.


EXERCICES 141

EXERCICE 2.14 Température et résistivité de l’aluminiumAvec la même notation que dans l’exemple 2.11, les valeurs de l’aluminium sont

ρ = 0.0286Ωmm2/m

α = 0.0038K−1

ρ20 = 0.027Ωmm2/m

α20 = 4.3× 10−3K−1

β20 = 1.3× 10−6K−2

Comparez graphiquement les résultats obtenus avec les équations 2.20 et 2.21.

EXERCICE 2.15 Figures de Lissajous – introductionSoit un point décrit décrivant un mouvement dans le planx, y tel que

x = Asin(ωA + φA) (2.29)

y = Bsin(ωB + φA) (2.30)

Si le rapportωA/ωB est le rapport de deux entiers, la courbe résultantey = f (x) prend cer-taines formes caractéristiques connues sous le nom defigures de Lissajous(Jules Antoine Lissa-jous, français 1822-1880). Les premières figures de Lissajous furent réalisées par des dispositifsmécaniques, le premier étant lependule de Blackburn, inventé en 1844. L’appareil consistait enun pendule suspendu à un second pendule oscillant d’un angle de 90 avec le premier. Plus tard,les figures de Lissajous furent obtenues en combinant optiquement deux vibrations. Les figuresde Lissajous trouvèrent une importante application avec l’arrivée des oscilloscopes à rayon catho-dique. Ces instruments appliquent le signalx, c’est-à-dire une tension de la forme de la variablexde l’équation 2.30 – aux plaques de déviation horizontale, tandis que le signaly s’applique auxplaques de déviation verticale (équation 2.30).

MATLAB permet de simuler la réponse de l’oscilloscope. A titre d’exemple, supposez

A = 1, B = 1, ωA = 2π, ωB = 2π, φA = π/2, φB = 0

et essayez les commandes suivantes

t = 0 : 0.01 : 1 ;

x = sin(2*pi*t + pi/2) ; y = sin(2*pi*t) ;

plot(x, y), axis(’square’)

Expliquez pourquoi vous obtenez un cercle.

EXERCICE 2.16 Figures de Lissajous – mesures de fréquenceLes figures de Lissajous peuvent servir à déterminer la fréquence d’un signal en comparant celui-ci à un signal de référence généré par l’utilisateur. Supposons, par exemple, que le signal àanalyser

y = AsinωAt

alimente les plaques de déviation verticale d’un oscilloscope. Supposons également que l’utili-sateur essaie plusieurs signaux connus sur les plaques de déviation horizontale jusqu’à s’arrêtersur le signal

x = Asin 2ωAt



Figure 2.32 – Mesure de fréquences avec figures de Lissajous.

Remarquez que, durant un cycle dey, x exécute deux cycles. Cela signifie que, lorsqueyatteint une fois les déviations verticales maximale et minimale,x atteint les déviations horizon-tales maximale et minimale deux fois. La figure 2.32 représente le résultat de l’affichage del’oscilloscope.

Au lieu d’un oscilloscope, on peut utiliser MATLAB pour analyser unsignal obtenu par unsystème d’acquisition de données.

Pour ce faire :

1. Convertissez le signal échantillonnéen un vecteur nommé, par exempley. Ce travail peuts’effectuer en éditant le fichier des valeurs mesurées.

2. Générez un vecteur des valeurs d’un signal sinusoïdal et nommez-le, par exemplex.

3. Tracezy en fonction dex.

4. Si le schéma tracé ne mène pas à l’information désirée, répétez les étapes 2 et 3 avec un autremultiple deωA.

La règle permettant de comparer les fréquences de deux signaux de même phase est la sui-vante :

Soit ωx et ωy les fréquences angulaires du signal alimentant respectivement les plaques dedéviation horizontale et verticale. Soitnh le nombre de minima horizontaux – c’est-à-direle nombre de fois où la figure est tangentielle sur la gauche de la droite verticale – etnv lenombre de maxima verticaux – c’est-à-dire, le nombre de fois où la figure est tangentielle audessus de la ligne horizontale. Alors, le rapport des fréquences est égal à

ωy/ωx = nv/nh (2.31)

Si la figure de Lissajous est ouverte à une extrémité, comme dans la figure 2.33, ajoutezseulement 0.5 ành ou ànv.


EXERCICES 143

Par exemple, à la figure 2.33, la figure de Lissajous est 0.5 fois tangentielle au-dessus de ladroite horizontale, et 3.5 fois tangentielle à gauche de la droite verticale. Cela mène au rapportde fréquence 0.5 :3.5, ou 1 :7.

Figure 2.33 – Figure de Lissajous pour un rapport de fréquences 1 :7.

Vérifiez la règle pour les rapports de fréquence 1 :1, 2 :1, . . ., 5 :1.

EXERCICE 2.17 Figures de Lissajous – mesures de fréquenceDans l’exercice 2.16, les deux signauxx et y possédaient la même amplitudeA. Répétez cetexercice en considérant des rapports d’amplitudes différents, soit

x = Ax sinωxt

y = Ay sinωyt

où

ωx/ωy = 1:1, 2:1, . . . , 5:1

et

Ax/Ay = 1:2, 2:1, 3:1

Essayez d’en tirer une conclusion sur l’influence du rapport d’amplitudes sur la forme desfigures de Lissajous.

EXERCICE 2.18 Figures de Lissajous – mesures de phaseDans les exercices 2.16 et 2.17, on a constaté que les figures de Lissajous peuvent servir à mesurerla fréquence d’un signal reçu. Dans cet exercice, on verra qu’elles peuvent également servir àmesurer la phase d’un signal. Dans cette application, cependant, la solution ne sera pas unique.Comparez les signaux

x = Asin(ωt + φx) (2.32)

y = Asin(ωt + φy) (2.33)



En traçanty en fonction dex. La valeur maximale de y, atteinte pourωt + φy = π/2, est de

yM = A (2.34)

La figure croise l’axey pourx = 0, soit lorsqueωt + φy = 0. Pour cette valeur

yI = Asin(φy − φx) (2.35)

En divisant l’équation 2.35 par l’équation 2.34, on obtient

yI

yM=

Asin(φy − φx)A

(2.36)

D’après l’équation 2.36, on peut en conclure que la différence de phase est

φy − φx = arcsinyI

yM(2.37)

Bien sûr, siyI correspond à la distance entre deux jonctions de l’axey, et yM à la distanceentre les valeurs minimale et maximale dey (soitymax− ymin), le résultat obtenu restera le même.

Figure 2.34 – Mesure de phase avec les figures de Lissajous.

A titre d’exemple, on considère la figure 2.34. Le graphe correspond aux équations

x = sinωt

y = sin(ωt + φ)

oùφ = π/4.


ANNEXE – LES SÉRIES DE FOURIER 145

On mesure sur la figure

– La déviation verticale entre le minimum et le maximum,V1V2 est égale à 2.

– La distance verticale entre les deux jonctions de l’axey estI1I2. Elle est approximativementégale à 1.4.

On calcule la phase par

sinφ =I1I2

V1V2

qui donneφ ≈ π/4. La valeur exacte estπ/4.Construisez les graphes à partir des différences de phase de 0, 45, 90 et 135, et vérifiez

que l’équation 2.37 reste valable dans tous les cas. Vérifiez également que l’équation donne lemême résultat pour 180 et pour 0, pour 225 et 45, pour 270 et 90, pour 315 et 135.

Il existe des méthodes pour résoudre cette ambiguïté qui ne seront pas abordées dans cetouvrage.

2.15 Annexe – Les séries de FourierConsidérons une fonctionf (t). S’il existe un nombreT = 0 tel que

f (t + T) = f (t) (2.38)

pour toutt, nous disons quef estpériodique de périodeT. Le plus petit nombre positifTpour lequel l’équation 2.38 est vérifiée est appelé lapériode fondamentaleou, par abus delangage, lapériode.

Supposons que la fonctionf (t) satisfasse les conditions de Dirichlet (Peter Gustav Lejeune,né en Allemagne de parents français, 1805-1859) qui sont les suivantes

1. f (x) est continue dans un intervalle [θ, θ + T] excepté la possibilité d’avoir un nombre finide discontinuités finies ;

2. La dérivéef (t) est continue de la même manière.

Alors, il existe un nombrea0 et deux sériesan, bn tels que

f (t) =12

a0 +∞∑n=1

(an cos 2π

ntT

+ bn sin 2πntT

)(2.39)

converge versf (t) en tous points de continuité, et vers

f (x + 0) + f (x− 0)2

pour les points de discontinuité (voir Bronshtein et Semendyayev, 1985). Icif (x + 0) signifiela limite de f (x) lorsquex approche de la discontinuité par la gauche, etf (x − 0) la limitelorsquex approche de la discontinuité par la droite.

Il existe d’autres formulations équivalentes des conditions de Dirichlet. Une bonne ana-lyse des séries de Fourier peut être trouvée dans Churchill et Brown (1990).


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Chapitre 2 Calculs et représentations graphiques