Chapitre 2 : étude sommaire de quelques instruments d'optique

1.1 Notion d’objet et de système optique

En optique, on désigne simplement par « objet » tout dispositif émettant oudiffusant de la lumière.

La flamme d'une bougie peut être considérée comme un objet lumineux, untrou percé dans un écran et éclairé par derrière, une diapositive éclairée, unepréparation sur lamelle pour mettre sur la platine d'un microscope, la Lune,etc., sont des objets.

1 Système optique, points objets, images, espace objet, espace image

Chapitre 2 : étude de systèmes optiques simples et des images par réflexion et réfraction

L'observation de ces objets passe généralement parl'usage d'instruments d'optique : loupe, microscopeoptique, lunette astronomique, télescope, jumelles,appareil photo, etc. De tels instruments sont des systèmesde lentilles et miroirs qui guident par réflexion etréfraction la lumière jusqu'à l'œil, l'écran, la pellicule...

De façon générale, on parle alors de « système optique ».

Un système optique est dit centré s’il possèdeune symétrie de révolution autour d’un axe(cet axe est alors appelé axe optique).

Tout point objet O de l’objet est donc un pointjouant le rôle de source de lumière pour unsystème optique.

L'œil est également un système optique qui peut êtremodélisé par une lentille (le cristallin) et un écran (larétine).

Exemples de systèmes optiques (centrés)

Télescope de type Newton, formés de deux miroirs et d’un oculaire

Lunette astronomique, formée deplusieurs lentilles.

1.2 Notion d’image

L'analyse de la formation des images d'objets par des instruments d'optique repose sur lamodélisation de tout objet comme un ensemble de points lumineux : de chaque point del'objet partent ainsi des rayons lumineux dont une partie est interceptée par le systèmeoptique.

On dit obtenir l'image d'un point objet, lorsque tous les rayons issus de ce point et passés parle système optique, convergent en un point unique, ou bien semblent provenir d'un pointunique. On parle alors de point image ou de l'image du point objet.

1.3 Stigmatisme rigoureux et points conjugués

Si un système optique possède la propriétéd’associer à un point objet A un et un seul pointimage A’ on parle de stigmatisme rigoureux.

Une telle propriété des systèmes optiques estrare. Nous verrons que seul le miroir plan eststigmatique pour tout point objet.

D'autres systèmes ne sont rigoureusementstigmatiques que pour quelques pointsparticuliers. Dans de nombreux cas (enparticulier pour les lentilles) on doit secontenter d'un stigmatisme approché (voir plusloin).

D’après le principe du retour inverse de la lumière, si le point A’ est considéré comme un pointobjet du système optique renversé, alors le point image de A’ est le point A.

On dit aussi que les points objet A et image A’ sont conjugués pour le système optique.

Le rôle des instruments d’optique est de fournir des représentations, appelées images,d’ensembles de points lumineux appelés objets.

Les rayons lumineux issus de chaque point de l’objet subissent dans l’instrument unesuccession de réfractions ou de réflexions et interagissent avec un détecteur (œil ou systèmed’enregistrement photosensible).

Lorsque les rayons issus d’un point objet A émergent de l’instrument en convergeant vers unpoint A’ unique, on dit que A’ est l’image conjuguée de A ou que l’instrument estrigoureusement stigmatique pour le couple de points A et A’.

1.4 Types de systèmes optiques�Un système optique constitué uniquement de dioptres transparents séparant des milieuxhomogènes transparents d’indices différents est appelé système optique dioptrique. Unsystème dioptrique ne comporte donc que des surfaces réfringentes. Le phénomèneréfraction contrôle la propagation de la lumière. C’est le cas des systèmes rencontrés dansbeaucoup d’instruments (loupes, microscopes, lunettes astronomiques, jumelles, objectifsphoto, etc.). Ces systèmes ont une face d’entrée et une face de sortie distinctes.

�Un système ne comportant que des surfaces réfléchissantes est appelé système catoptrique.Le phénomène contrôlant la propagation de la lumière est la réflexion. De tels systèmes sontsouvent réalisés par une combinaison de miroirs, par exemple dans certains télescopes.

�Un système comportant à la fois des surfaces réfléchissantes et réfringentes est appelésystème catadioptrique. La lumière subit un certain nombre de réfractions, une réflexion puisune nouvelle série de réfractions en sens inverse. La face d’entrée et la face de sortie sont dessurfaces dioptriques confondues. Par exemple, la réalisation d’objectifs de très grandeouverture (ou de très longue focale) peut nécessiter l’introduction de miroirs.

Objectif photographique catadioptriqueTélescope de type Newton, système

catoptrique (sauf l’oculaire)

Objectif photographique dioptrique Nikkor AF 20 mm f/2.8D réglé sur l’infini.

1.5 Espace objet et espace image

Pour chaque système optique on définit, en fonction du sens d’utilisation par rapport à ladirection de propagation de la lumière, un dioptre d’entrée et un dioptre de sortie.

Pour un système dioptrique, on définit comme espace objet l’espace se trouvant avant ledioptre d’entrée et l’espace image, l’espace qui se trouve au-delà du dioptre de sortie.

Pour les systèmes catadioptrique et catoptrique, on définit comme espace objet et l’espaceimage, l’espace se trouvant avant le dioptre d’entrée.

Une image est dite réelle si ellepeut être observée sur un supportphysique (écran, pellicule, rétine,…)dans l’espace image du système ;les rayons peuvent donc être reçussur un écran placé au bon endroit.

Une image est dite virtuellelorsqu’elle se forme avant ledioptre de sortie du système (loupe,lame à faces parallèles) : on peut lavoir en plaçant directement son œildans le faisceau émergent (l'œilaccommode automatiquement).

1.6 Types d’imagesUn point image ou plus simplement, « une image » peut être qualifié(e) de réel(le) ou devirtuel(le).

Une image réelle se forme donc après la face de sortied'un instrument d'optique (dans le sens de parcours dela lumière).

On détermine alors la position d’une image réelle enconstruisant le point d'intersection des directions desrayons lumineux sortants du système.

Une image virtuelle se forme donc avant la face desortie d'un instrument d'optique (dans le sens deparcours de la lumière) et ne peut donc pas êtrevisualisée sur un écran.

On détermine alors la position d’une image virtuelle enconstruisant le point d'intersection des prolongements(vers le système) des directions des rayons lumineuxsortants du système.

C'est parfois la position de l'objet par rapport au système optique qui détermine si l'imageobtenue est virtuelle ou réelle (cf. dioptre sphérique ou lentille mince).

1.7 Types d’objetsSi l’objet est effectivement situé dans le milieu objet, on dit qu’il est un objet réel (cf. figure2.9a et 2.9b après) mais s’il est situé après la face d’entrée du système, on dit qu’il est unobjet virtuel.

Un objet virtuel est toujours une image produite par un autre système optique Σ0 et cetteimage joue le rôle d’objet pour le système considéré Σ (cf. figure 2.10a). Son image à travers Σpeut-être réelle (cf. figure 2.10b) ou virtuelle (cf. figure 2.10c).

Un point objet réel est donc un point situé avant la faced’entrée du système d’où émergent les rayons lumineux(faisceau divergent à partir de O).

Un objet est réel si il existe physiquement. Pour qu’un systèmeoptique puisse en donner une image il doit se trouver dansl’espace objet.

Un point objet virtuel est un point situé après la face d’entréedu système et vers où convergent les prolongements (àl’intérieur du système) des rayons lumineux entrants (faisceauconvergent en O).

Un objet est virtuel si il se trouve au-delà du dioptre d’entréedu système. Un tel objet peut-être obtenu lorsque que cetobjet est une image produite par un autre système optique.

Le rétroprojecteur, une illustration de la formation par un miroir de l’image réelle d’un objet virtuel (lui-même image d’un objet

réel, le transparent éclairé, par une lentille convergente, l’objectif).

En guise de résumé :

Si les rayons entrants dans le système divergent du point objet A, l’objet est dit réel.

Si les prolongements dans le système des rayons entrants dans le système convergent au point objet A, l’objet est dit virtuel.

Si après traversée du système, les rayons sortants convergent au point image A’, l’image estdite réelle.

Si les prolongements vers le système des rayons sortants divergent du point image A’, l’imageest dite virtuelle.

Si D est petit, les rayons issus d’un point de l’objet(appelé B sur le schéma) arrivent sur le systèmeoptique avec des angles très différents.

Si D augmente (l’objet s’éloigne), les rayonsissus de B qui arrivent sur le système optiqueont des angles qui deviennent comparables les unsaux autres.

Si D est très grand, les rayons issus de B qui arriventsur le système optique sont presque parallèles (ilsfont tous le même angle avec l’axe optique). On ditalors que l’objet est à l’infini : en pratique, celasignifie qu’il est assez loin pour que les rayonsprovenant de cet objet soient quasi-parallèleslorsque ils atteignent le système optique.

1.8 Notion d’objet ou d’image à l’infini

On parlera souvent d’objet ou d’image « à l’infini ». Que signifie ce terme ? Voyons ce qui sepasse quand un objet est situé à une distance D d’un système optique

Remarque : attention! Les rayons partant du point B sont toujours émis dans toutes lesdirections, quel que soit D ! Mais quand D est grand, seul quelques rayons atteignent lesystème optique, et sont alors parallèles entre eux. Les autres passent « à côté » du systèmeoptique.

Pour repérer les dimensions transversales, des objets etimages, on utilise des mesures algébriques repérées surun axe perpendiculaire à l'axe optique, donc vertical,généralement orientée vers le haut.

2.1 Orientation des distances pour un système optique

Les distances horizontales (par rapport à l’axe optique)sont comptées positivement dans le sens de parcours dela lumière.

2 Etude du stigmatisme pour un système optique

Le miroir parabolique est stigmatique pour le couple de points formé du point à l’infini et du foyer

Applet présentant le stigmatisme ou l’astigmatisme des miroirs

Seul quelques systèmes optiques sont rigoureusement stigmatiques et en général uniquementpour des couples de points particuliers :

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/miroirs.html

Un miroir parabolique est stigmatique pourun point situé à l’infini sur l’axe et pour sonfoyer.

Un miroir elliptique est stigmatique pour unpoint objet et son image situés en ses foyers Fet F´.

Le plus souvent, un système n’est rigoureusement stigmatique que pour quelques points objets.

2.2 Condition de stigmatisme en termes de chemin optiquePour un système optique donné, le stigmatisme implique la stationnarité du cheminoptique entre le point objet et son image quel que soit le trajet suivi par les rayonslumineux issus du point objet.

Soit :

Il suffit pour démontrer ceci de considérer deux rayons proches issus de A : la conditionde stigmatisme nous dit qu'ils passeront par A', et le principe de Fermat que la variationde chemin optique est nulle. De proche en proche, on montre donc que tous les rayonsissus de A correspondent au même chemin optique entre A et A'.

( ')

ste

AAL c=

En termes de rayons, le système optique est dit rigoureusement stigmatique lorsquetous les rayons utiles issus de A passent par A´ (l’image d’un point sujet est un pointimage).

Nous avons vu qu’une surface d'onde est perpendiculaire, en chaque point, au rayonlumineux. Une surface d'onde correspondant à un point objet A est donc une sphère Scentrée en A. Une surface d'onde image issue d'un système stigmatique est unesphère S´ centrée en A´. La surface d'onde émergente n'est plus une sphère dès que lesystème perd ses qualités de stigmatisme. Les déformations de la surface d'ondeentraînent une baisse de la qualité de l'image : on parle d’aberrations géométriques (cf.cours de B2).

2.3 Stigmatisme du point de vue de l’optique ondulatoire

2.4 Surfaces rigoureusement stigmatiques pour un couple de points 2.4.1 Stigmatisme par réflexionSoit I le point d'incidence et n l'indice du milieu où se trouvent l'objet A et l'image A'. On a :

où AI et IA' sont mesurés positivement dans le sens de la lumière.

Deux cas se présentent :

� A et A‘ sont de même nature (tous deux réels ou tous deux virtuels)

Dans ce cas, les valeurs algébriques des distances orientées AI et IA' sont de même signe et lacondition de stigmatisme s'écrit :

La somme des distances (non orientées) de I aux deux points A et A’ est donc une constantelorsque I parcourt la surface réfléchissante, et cette surface réfléchissante est donc unellipsoïde de révolution de foyers A et A'.

( ') constante ou encore ' constanten AI IA AI IA+ = + =

' constanteAI IA+ =

De plus, on remarquera que la normale en un point quelconque de l'ellipse trace dans le pland'incidence de l'ellipsoïde, est la bissectrice de l'angle obtenu enjoignant ce point aux deuxfoyers.

� A et A' sont de natures différentes (l'un réel et l'autre virtuel)

Les valeurs algébriques des distances orientées AI et IA' sont de signes contraires et lacondition de stigmatisme devient :

La différence des distances (non orientées) de I aux deux points A et A’ est donc une constantelorsque I parcourt la surface réfléchissante, et la surface réfléchissante est donc une napped'hyperboloïde de révolution de foyers A et A'.

' constanteAI IA− =

Cas particuliers importants

� Si AI - IA' = 0 , ou autrement dit si la constante est nulle, I est dans le plan médiateur de AA'et la surface réfléchissante est un miroir plan. A tout point A on peut faire correspondreson symétrique A' par rapport au miroir.

� Si l'un des points A ou A' s'éloigne indéfiniment, la surface réfléchissantestigmatique devient un paraboloïde de révolution de foyer A‘ ou A et d'axe AA'.

2.4.2 Stigmatisme par réfractionSoit un système optique constitué par un dioptre séparant deux milieux homogènes d'indices n et n'. Le même raisonnement que précédemment nous conduit à la condition

avec les mêmes conventions de signe.

Cette condition définit une famille de courbes qui délimitent en général des surfaces duquatrième degré appelées « ovales de Descartes ».

Il existe des cas particuliers où les surfaces sont du deuxième degré. C'est le cas où laconstante est nulle , A et A' sont alors de natures différentes :

Et la surface stigmatique par réfraction est une sphère et les points A et A' sont appelés pointsde Weierstrass du dioptre sphérique. Nous y reviendrons.

' ' constanten AI n IA± =

- ' ' 0nAI n IA =

Exemples de surfaces stigmatiques

Rappel géométrique

Le lieu des points M du plan vérifiant :

est (sauf pour k = 1) le cercle (dit d'Apollonius) de diamètre [I J] où I et J sont les deux points de la droite (AB) vérifiant également :

Les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle AMB.

MAk

MB=

MAk

MB=

2.5 Conditions de Gauss et stigmatisme approché

La plupart des instruments ne sont pas rigoureusement stigmatiques ; toutefois souscertaines conditions appelées « conditions de Gauss », les instruments seront considéréscomme fonctionnant avec un stigmatisme approché.

Pour la plupart des autres systèmes qui ne sont pas rigoureusement stigmatiques, laformation d’une image de bonne qualité implique :

�que ces systèmes vérifient les conditions de stigmatisme approché ;

�que ce stigmatisme approché se conserve dans l’espace.

2.5.1 Conditions de stigmatisme approché

L’approximation de Gauss consiste à limiter physiquement l’étendue des faisceaux lumineuxavec des trous (ou diaphragmes) afin de limiter les angles d’incidence et de conserver lesrayons proches de l’axe : on parle alors de rayons paraxiaux.

Un rayon lumineux est donc paraxial s’il est incliné faiblement sur l’axe optique (sin i ≃ i), ets’il frappe le système à une distance h faible devant son rayon de courbure.

Pour que le stigmatisme soit approché il faut se placer dans les conditions dites de Gaussc'est-à-dire avoir :

�des faisceaux peu ouverts,

�des angles d’incidence petits.

L’approximation de Gauss consiste en l’étude des systèmes centrés, limitée aux rayonsparaxiaux. Il s’agit de l’approximation linéaire de l’optique géométrique : sin i ≃ i.

2.5.2 Conservation du stigmatisme dans l’espace pour des points voisins

Réaliser le stigmatisme pour un couple de points AA´ conjugués situés sur l'axe d'unsystème optique est généralement insuffisant.

Il est souhaitable d'étendre le stigmatisme à des points voisins de A. Le stigmatisme étantréalisé pour les points A et A´, on cherche les conditions pour que le stigmatisme soitconservé pour un couple de points B et B´ situés perpendiculairement à l’axe optique(condition d’Abbe ou d’aplanétisme) et un couple de points C et C’ situéslongitudinalement selon l’axe optique (condition d’Herschell).

2.5.3 Condition des sinus d’Abbe et notion d’aplanétisme

La conservation du stigmatisme approché dans l’espace implique une conservation dustigmatisme approché dans un plan perpendiculaire à l’axe du système.

Cette considération appliquée au principe de Fermat permettent d’établir d’une part la loi dessinus d’Abbe :

Démonstration :

Pour un point objet B, voisin de A,situé dans un plan perpendiculairepassant par A, la condition destigmatisme s’écrit :

L(BB’)=cste.

quel que soit le point d’incidence I sur la face d’entrée du système.

. .sin '. ' 'sin 'n AB u n A B u=

Cette relation exprime la notion d’aplanétisme ; ce terme, dont l’étymologie grecque(aplanetos, formé de « planetes » et d’un alpha privatif) signifie « qui n’erre pas », « qui nedévie pas » traduit donc le fait que l’image d’un plan perpendiculaire à l’axe optique est unplan perpendiculaire à l’axe optique.

La différence des chemins optiques L(AA’) et L(BB’) doit donc être constante (chaque cheminétant constant).

Évaluons cette différence en la considérant comme la variation du chemin [AA’] lorsque lespoints A et A’ sont déplacés en B et B’ :

avec :

Finalement, on obtient :

Cette relation doit être nécessairement satisfaite pour que le système optique stigmatiquepour le couple (AA’) soit aussi stigmatique pour le couple (BB’). Elle doit être satisfaite pourtoutes les valeurs de u.

sin et ' ' ' ' ' ' ' 'sin 'AI BI AH AB u I A I B A H A B u− = = − = =

( ') ( ')- [ ' '] -[ ' '] .( - ) '( ' '- ' ')

AA BBL L AII A BII B n AI BI n I A I B= ≈ +

( ') ( ')- . .sin '. ' 'sin ' ste

AA BBL L n AB u n A B u c≈ − ≈

La relation précédente s’annule si u=0, car le rayon étant confondu avec l’axe n’est pas dévié ;AB est très petit et reste perpendiculaire à l’axe. Pour que la constante de la relation soitindépendante de u, il est nécessaire qu’elle reste nulle pour tout couple (u,u’). La conditiond’aplanétisme pour A, à distance finie, s’écrit donc :

. .sin '. ' 'sin ' n AB u n A B u u= ∀

En utilisant le grandissement, la loi des sinus d’Abbe peut s’écrire :

Dans l’approximation de Gauss le rapport :

s’appelle le grandissement angulaire ou encore le rapport de convergence. Il s’agit donc durapport algébrique de l’angle du rayon émergent sur l’angle du rayon incident.

L’équation précédente donne la relation dite de Lagrange-Helmholtz :

sin '.

sin 'T

u n

u nγ=

sin ' '

sin

u u

u uαγ= =

2.5.4 Grandissement linéaire, grandissement angulaire, relation de Lagrange-Helmholtz

On appelle grandissement linéaire ou encore grandissement transversalle rapport algébrique de la taille de l’image sur la taille de l’objet :

Comme les distances, les angles peuvent être orientés.

2.5.5 Condition d’HerschelLa conservation du stigmatisme approché dans l’espace implique aussi une conservation dustigmatisme approché le long de l’axe optique.

Si A1 est situé le long de l’axe, toujours grâce au principe de Fermat on établit la conditiondite d’Herschel telle que :

Démonstration :Quand le point A se déplace le long de l’axe jusque A1, son image se déplace le long de l’axejusque A’1 ; pour que le stigmatisme soit conservé, il faut que :

d’où :

Cette relation doit être vérifiée avec la même constante, pour tous les points d’incidencesur la face d’entrée du système optique. En choisissant comme cas particulier I sur l’axe, lesangles u et u’ sont nuls, la relation (1) conduit à :

En soustrayant membre à membre (2) et (1), on a :

c’est-à-dire encore, la relation annoncée :

1 1( ') ( ') 1 1 soit : [ ' '] [ ' ' ]ste ste

AA A AL L c AII A A II A c− = − ≈

1 1. cos ' ' ' cos ' (1)sten AA u n A A u c− ≈

1 1. ' ' ' (2)sten AA n A A c− ≈

1 1' ' ' (1 cos ') . (1 cos ) 0n A A u n AA u− − − =

2 2

1 1

'. sin ' ' ' sin 0

2 2

u un AA n A A− =

2 2

1 1

'. sin ' ' ' sin 0

2 2

u un AA n A A− =

2.5.6 Grandissement axialEn introduisant le grandissement longitudinal ou axial :

la condition d’Herschel s’écrit :

Dans le cadre de l’approximation de Gauss, en considérant les angles comme petits il vient :

Soit :

Les conditions d’Abbe et d’Herschel ne peuvent être simultanément réalisées ; elles sontgénéralement incompatibles, aussi un stigmatisme tridimensionnel est en général impossible .Pour qu’elles soient compatibles, il faut que :

C’est le cas, par exemple, au centre d’un miroir ou d’un dioptre sphérique (α=α’) et pour unmiroir plan (u=-u’)

22 2

2

2

sin' '2

' 'sin

2

L T

u

u n n

u u n nγ γ

≈ = =

2

2

sin'2

'sin

2

L

u

n

u nγ=

1

1

' ' 'L

A A z

zAAγ = =

'u u=

2.5.7 Autre démonstration des formules d’Abbe, de Lagrange-Helmholtz et d’Herschel

3 Systèmes optiques les plus simples : le miroir plan et le dioptre plan3.1 Miroir plan3.1.1 Stigmatisme et aplanétisme

Ceci montre que A' est le symétrique de A par rapport au plan du miroir quel que soit le rayonincident considéré.

Soit I le point d’incidence d’un rayonincident quelconque AI. Le rayon réfléchi IRd’un rayon incident quelconque AI est dansle plan d’incidence AIN qui contient aussiAH (puisque AH et IN sont parallèles,comme droites perpendiculaires à unmême plan, et que par définition Aappartient au plan d’incidence). Le supportde IR rencontre AH en un point A’.Dans le triangle AIA' la hauteur IH est aussila bissectrice, donc ce triangle est isocèle.Par conséquent IH est aussi la médiane eton a AH = HA'.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/miroirs/miroir_plan.php

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/mirplan.html

Au point A, choisi quelconque pour la démonstration, correspond toujours un point A' tel quetous les rayons issus de A qui arrivent sur la surface du miroir se réfléchissent en passant parA'. On dit que A' est l’image de A.

http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch01/co/simuler_ch01_03.html

�Mathématiquement, les positions des points objet et image sont liées par la relation deconjugaison du miroir plan :

que l’on peut écrire, sous une forme plus symétrique :

L'image de A est le symétrique orthogonal de A.

La symétrie de A et A’ par rapport au miroir entraîne que l’objet et son image sont toujours de nature opposée (un objet réel donne une image A’ virtuelle, et réciproquement).

Le miroir est donc rigoureusement stigmatique et on peut énoncer les trois propriétés :

�Le miroir plan réalise le stigmatisme rigoureux pour tout point de l’espace. L’image A’ d’unpoint A est le symétrique de A par rapport au plan du miroir.

'HA HA= −

' 0HA HA+ =


�Le miroir plan présente un aplanétisme exact : l'image d'un objet étendu plan vertical estverticale et plane.


3.1.2 Champ d'un miroir plan

Le champ d'un miroir plan désigne la région de l'espace quel'on peut « voir » à travers le miroir à partir d'une positiondonnée O de l'œil.

Il correspond à l'ensemble des points A susceptibles dedonner un rayon réfléchi passant par O.

On peut dire qu'inversement le champ d'un miroir plan estla région de l'espace que O éclairerait s'il était une sourcelumineuse.

3.1.3 Types de miroirs plans

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/retroviseur.html

Application : rétroviseur jour et nuit

En conduite de nuit, le reflet des phares dans le rétroviseur intérieur des véhicules provoqueun fort éblouissement du conducteur. Pour résoudre ce problème, les constructeurs ontadopté divers systèmes tous basés sur la différence de réflexion entre une glace sans tain etun miroir. Pour une glace sans tain, le coefficient de réflexion est de l'ordre de 4% alors quepour un miroir, il est pratiquement égal à 100 %.

Dans les rétroviseurs intérieurs, les miroirs sont plans ce qui permet une meilleureappréciation des distances.

Dans le système présenté ici, une glace sans tain est solidaire du corps du rétroviseur.Derrière cette glace, on place un miroir mobile.

En position jour, le miroir est parallèle à la glace. Le rétroviseur est réglé pour permettre auconducteur de voir vers l'arrière avec un champ maximum.

En position nuit, on bascule le haut du miroir vers l'avant du véhicule sans modifier la positionde la glace sans tain. Le conducteur voit dans cette glace une image non éblouissante à causedu faible coefficient de réflexion. L'image donnée par le miroir est envoyée hors du champvisuel du conducteur.

Ce que l'on voit en position « jour »

L'image de la route à travers la vitre arrière est en fait réfléchiedeux fois : par la vitre et par le miroir. Chaque rayon lumineuxtraverse la vitre et se réfléchit sur le miroir.

Mais il ne traverse pas entièrement la vitre : elle laisse passer une grande partie de la lumière (~90%) et réfléchit le reste (~10%).

Le rétroviseur donne donc deux images un peu décalées. Si on les voyait toutes les deux, onverrait une image floue. Mais notre œil ne voit que la plus lumineuse : celle renvoyée par lemiroir car elle est 9 fois plus forte que l'autre.

Ce que l'on voit en position « nuit »

L'image de la route à travers le coffre est toujours réfléchie deux fois : par la vitre et par lemiroir. Puisque le miroir a été basculé vers le haut, il renvoie maintenant la lumière des pharesvers le plafond.

Mais, la vitre du rétroviseur n'a pas bougé, elle continue de refléter une petite partie (10%) dela lumière qui arrive de la route et des phares. Le conducteur voit les phares comme s'ilséclairaient dix fois moins.Mais attention, le miroir est toujours là. Le conducteur continue donc de voir deux imagessuperposées : les phares qui se reflètent dans la vitre et... le plafond de sa voiture qui se reflètedans le miroir ! Là encore, notre œil ne voit que l'image la plus lumineuse. La nuit, on ne verradonc que l'image renvoyée par la vitre car le plafond de la voiture est sombre.

3.2 dioptre plan

Un dioptre plan est constitué par l’ensemble de deux milieux transparents d’indices deréfraction différents séparés par une surface plane. On dit aussi que les deux milieux sontinégalement réfringents.

C’est ainsi que, par exemple, l’air et l’eau calme d’une piscine ou d’un lac, réalisent un dioptreplan.

Les rayons issus du point objet A1 situé dans le milieu (1) d’indice n1 se réfractent en passantdans le milieu (2) d’indice n2.

3.2.1 Stigmatisme rigoureux du dioptre plan

On va chercher, en effectuant un raisonnement purement géométrique, s’il existe des pointsparticuliers qui réalisent le stigmatisme rigoureux : c’est-à-dire pour lesquels tous les rayonsissus du point objet passent par un même point image après réfraction.

Cas 1 : A1 est à l’infini

Tous les rayons incidents sont parallèles entre eux etforment un faisceau cylindrique.

D’après la 3ème loi de Descartes (n1 sin i1 = n2 sin i2)tous les rayons émergents sont eux aussi parallèles etdonc, pour un observateur, ils paraissent provenird’un point A2 unique qui est également à l’infini.

Le dioptre plan est donc stigmatique pour les points àl’infini.

Cas 2 : A1 est sur la surface du dioptre

Dans ce cas le stigmatisme rigoureux est évident. Mais ceci ne présente aucun intérêtpratique.

Cas 3 : A1 est à distance finie

Le système est de révolution autour de A1H. Lerayon A1H traverse la surface sans déviation. Si uneimage de A1 existe, elle est donc nécessairement surA1 H.Pour dessiner la figure on se place dans le pland’incidence correspondant à un rayon incidentquelconque A1I.

Le rayon réfracté coupe A1H en A2 .

On a :

donc :

Pour les différents rayons issus de A1, i1 varie et le rapport (tan i1/tan i2), et donc HA2/HA1 n’estpas constant lorsque i1 varie, puisque le rapport (sin i1/sin i2), lui, est constant (loi de Descartesde la réfraction).

Les rayons réfractés ne se rencontrent donc pas tous en un même point. On peut doncconclure : le dioptre plan n’est pas rigoureusement stigmatique pour les points situés àdistance finie.

1 1 2 2tan tanHI HA i HA i= =

222 1 1 2 2 1

12

2 1 2 1 1 21

tan sin cos. 1 sin

tan cos sin cos

HA i i i n ni

i i i n i nHA= = = −


3.2.2 Stigmatisme approché du dioptre plan, première condition de Gauss:

Si l’angle d’incidence i1 est faible il en est de même pour l’angle de réfraction i2 et on peutécrire :

On obtient alors avec une bonne approximation :

Dans cette approximation des rayons peu inclinés sur l’axe optique (dite des petits angles), quiconstitue la première condition de Gauss, le rapport tan i1/tan i2 devient alors constant et tousles rayons réfractés se rencontrent à présent en un point unique : le système est doncstigmatique dans cette approximation pour tous les points à distance finie : on parle destigmatisme approché et le point A1 a alors un seul point image A2, le couple (A1 A2) étantqualifiés de points conjugués :

La relation de conjugaison peut être mise sous la forme symétrique :

On verra lors de l’étude du dioptre sphérique qu’on peut considérer un plan comme le casparticulier d’une sphère de rayon infini et qu’on retrouve alors plus facilement la formule deconjugaison du dioptre plan sous la forme :

Cette relation porte le nom de formule de conjugaison du dioptre plan.

Les relations établies montrent que HA1 et HA2 sont de même signe et donc que A1 et A2

sont dans le même milieu et, par conséquent, de natures opposées (réels/virtuels) commele montrent les figures ci-dessous.

L’image A2 se déduit de A1 par une translation apparente, le long de la normale,d’amplitude :

Remarque :Lorsque l’angle i1 est grand (supérieur à 15°), la relation de conjugaison n’est plus valable. Le

point A2 n’est plus unique (il y a autant de points A2 que de rayons incidents issus de A1) : ledioptre plan n’est plus stigmatique (même de manière approchée). En conséquence, l’imagede A1 n’est plus ponctuelle, mais se présente comme une tache. Pour un objet étendu,l’ensemble des points objets donne lieu à des taches qui se recouvrent partiellement, donnantune sensation de flou.

Par exemple, si au fond d’une cuve contenant de l’eau il y a plusieurs objets A, B, C et D, l’œilverra une image nette de A voire de B car les rayons issus de ces deux objets sont à peu prèsparaxiaux. Par contre, les images de C et D seront floues.

A et B sont vus nettement, tandis que C et D sont flous.

3.2.3 Aplanétisme du dioptre plan, deuxième condition de Gauss

Jusqu’ici, nous n’avons considéré que l’image d’un objet ponctuel. Considérons à présentl’image d’un objet étendu.

Si les rayons émis par un objet situé dans un plan P et reçus par un observateur sont presquenormaux (première condition de Gauss) à la surface du dioptre son image est dans un plan P'dont chaque point A’ est l’image d’un point A de P située à une distance de la surface dudioptre égale à (n2/n1) fois celle de A (car le système est quasiment stigmatique si les rayonssont normaux).


L’image A’B’ d’un petit objet AB placéparallèlement au dioptre plan est plane,de taille égale à l’objet et de naturecontraire.

Le dioptre introduit une correspondance plan à plan. On dit que le système est aplanétique(l’image d’un plan est un plan).

Se placer dans l’approximation de Gauss revient donc à supposer que les rayons concernéspar la formation de l’image à travers l’instrument sont des rayons proches de l’axe (c’estpourquoi ils sont qualifiés de paraxiaux).

�Si P n’est pas parallèle à la surface du dioptre, les proportions ne sont pas conservées danstoutes les directions et l’image n’est plus semblable à l’objet.

�Mais, si l’objet AB est dans un plan P parallèle à la surface du dioptre (soit donc dans unplan perpendiculaire à AH) et si l’objet est petit (deuxième condition de Gauss), l’image A’B’est, parallèle à l’objet, égale en grandeur, de même sens et de nature opposée à celui-ci.

Le grandissement linéaire transversal du dioptre plan est égal à 1 :

La relation de Lagrange-Helmholtz s’applique au dioptre plan :

Le grandissement angulaire ou rapport de convergence est :

. . ' '. '. ' soit . '. 'AB n u A B n u n u n u= =

'

'

steu nc

u nαγ = = =

Le poisson paraît donc plus « gros » mais pas plus grand (son image est plus près du dioptre et occupe donc un angle plus grand)

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/dioptres/stig_dioptre_plan.php

Dioptre plan : étude du stigmatisme

Expérience des deux bougies

Sur ce film, la bougie rose semble allumée, quelle que soit la position de l’observateur.

Explication : la vitre est un miroir et est à la fois transparente : dans les conditions del’expérience (bougies de même taille, et placées symétriquement), l’image de la bougieblanche se superpose à la bougie rose.

http://phymain.unisciel.fr/experience-des-deux-bougies/

3.3 Exercices (miroir plan et dioptre plan)1. Si on incline un miroir d'un angle α par rapport à un axe passant par le point d'incidenced'un rayon lumineux, de combien tourne le rayon réfléchi ?

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/mirtournant.html

Résolution de l’exercice du miroir tournant

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/sextant.html

Application :

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/miroirs2.html

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/miroirs2.html

2. Un pêcheur aperçoit un poisson situé à 1 m sous lasurface de l’eau, sur la même verticale que son œil. Enconsidérant que ses yeux sont situés à 1,40 m au-dessus de l’eau :

� à quelle distance le pêcheur voit-il le poisson ?� à quelle distance de l’œil du poisson se trouvel’image du pêcheur ?� à quelle profondeur doit se trouver le poisson pourque l’image vue par le pêcheur soit décalée de 15 cmpar rapport à sa position réelle ?(Rép. : 2,15 m, 2,86 m, 0,6 m)

3. Un verre à fond épais est posé sur une table horizontale. Le fond du verre a une épaisseurconstante de 2 cm et un indice de 1,6. Le verre est rempli d’eau (indice 4/3) sur une hauteurde 7 cm. L’œil d’un observateur est situé à 25 cm au-dessus de la surface de l’eau. Le verre estposé sur un timbre de 3 cm de longueur. Calculer le diamètre apparent sous lequell’observateur voit le timbre à travers le verre. Indice : le fond du verre n’est pas considéré dansla chaîne d’images car le timbre étant en contact avec ce dioptre, son image est aussi sur ledioptre, on peut donc considérer que le timbre est dans la masse du verre. (Rép. : 5°26’25’’).

http://agregation.capes.free.fr/uniscielmrs/cabri/poisson/poisson_.htm

4. Soit un hublot de sous-marin composé de deux dioptres plans. Le premier sépare l’eau duverre (nverre =1,5), le second sépare le verre de l’air. Un poisson est situé dans l’eau à unedistance d1 du premier dioptre plan. L’épaisseur du hublot est e. Un observateur est placédans l’air à une distance d2 du second dioptre plan.

� Exprimer la distance entre le poisson AB et l’image du poisson A’B’ vue par l’observateur enfonction des indices et des distances.

� On donne e=15 mm, d1=200 mm. Sachant que le poisson mesure 5 cm, calculer en ° ‘ ‘’ lediamètre apparent sous lequel l’observateur voit le poisson. (nair=1 et neau=4/3)

(Rép. : AA’=d1(1-nair/neau)+e(1-nair/nverre) ; 6°12’12’’)

5. Un têtard est dans une marre d’eau, sous un nénuphar rond de diamètre 20 cm flottant à lasurface. L’œil du têtard est placé sur la normale passant par le centre du nénuphar horizontal.

� Calculer la distance minimale à laquelle le têtard doit être du nénuphar pour pouvoir voirl’extérieur de la mare.

� Les rayons du soleil sont inclinés de 40° par rapport à l’horizontale. Calculer la profondeurminimale du têtard pour que celui-ci puisse voir le soleil.

(Rép. : 8,82 cm ; œil à plus de 14,25 cm de profondeur)

A) Un rayon arrive parallèlement à la base BC du prisme et normalement à la paroi de lacuve. Construire sommairement la marche des rayons et calculer la déviation finale à la sortiede la cuve.B) En jouant sur les conditions de pression et de température sur le liquide on fait varierl’indice n1 d’une quantité dn1=+0.02. A l’aide d’un calcul différentiel dire de combien et dansquel sens varie l’angle de déviation à la sortie du prisme.C) La cuve est vidée et contient maintenant de l’air d’indice n1=1. Le rayon incident arrivetoujours dans les mêmes conditions. Calculer la nouvelle déviation finale D’. le rayon ressort-il par la même paroi de la cuve ?

6. Un prisme de verre d’indice n2=1.52dont la section principale est isocèlerectangle est placé dans une cuvecontenant du sulfure de carboned’indice n1=1.65.

7. Un miroir est placé au fond d’une cuve. L’œil d’un observateur est placé au-dessus de lasurface de l’eau à 1,2m de cette surface. La profondeur de la cuve est de 1,2m. À quelledistance l’observateur se voit-il dans le miroir ? (Rép. : 4,2m )

8. Une cuve contient de l'eau dont la surface libre est AB. Sur une même verticale OP setrouvent : en O, à 1.20 m au-dessus de AB, l'œil d'un observateur ; en P, à 0.80 m au-dessousde AB, l'œil d'un poisson.

� A quelle distance l'observateur croit-il voir le poisson ? A quelle distance le poisson voit-ill'observateur ? (Rép. 60 cm, 160 cm)

� Le fond de la cuve est un miroir plan horizontal CD. L'épaisseur de la couche d'eau est e =1.20 m. L'observateur O se regarde dans le miroir CD ; à quelle distance voit-il son image ?Dans quel sens et de combien se déplace-t-elle lorsqu'on fait écouler toute l'eau de lacuve ? (Rép. 420 cm, 60 cm vers le bas).

4 Lame à faces parallèles et prisme4.1 Lame à faces parallèles

Si un rayon lumineux tombe verticalement sur une lame à faces parallèles, le rayon la traversesans réfraction. S'il tombe obliquement, il subit un déplacement parallèle lors de son passage.

d = déplacement parallèle = déplacement latéral.

La loi de réfraction en A donne :

Du fait de la symétrie du problème, on a en C les mêmes angles qu'en A. On obtient donc iciégalement la loi de la réfraction :

Le rayon lumineux qui sort de la plaque est parallèle au rayon lumineux incident

Sur le schéma, on peut reconnaître une relation entre α, β et γ :

Dans le triangle ABC, on a le déplacement latéral :

Nous pouvons introduire l'épaisseur h de la plaque. Dans le triangle ACN :

(2) dans (1) donne :

Le déplacement latéral augmente avec l'épaisseur h de la plaque. Il dépend également del'angle d'incidence α et de l'angle de réfraction β, donc, via la loi de réfraction, des indices deréfraction n1 et n2.

A l'aide de la formule trigonométrique :

on peut exprimer la formule du déplacement parallèle :

Par ailleurs, on a la formule trigonométrique :

d’où :

Pour la réfraction, on a :

De la sorte, on obtient pour le déplacement parallèle :

Le déplacement parallèle peut être exprimé uniquement à l'aide de l'épaisseur h, de l'angled'incidence α et des indices de réfraction n1 et n2.

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/lamelle.html

4.2 Le prisme4.2.1 DéfinitionsLes prismes sont des corps fabriqués dans des substances transparentes qui sont limités pardeux plans sécants. L'arête de coupe des deux plans est appelée arête de réfraction C ouarête réfringente. L'angle γ à l'arête de réfraction est appelé l'angle réfringent ou angle duprisme.

Lorsqu'un rayon lumineux tombe sur une face d'un prisme, il est en général réfracté deux foiset sort ainsi dans une nouvelle direction de l'autre côté. L'angle entre les directions du rayonlumineux incident et du rayon lumineux sortant est appelé angle de déviation δ.

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/prismeasti.html

4.2.2 Astigmatisme du prisme

4.2.3 Déviation totaleEn général, le rayon lumineux est réfracté deux fois dans le même sens.

Réfraction à la face d'entrée (au point A) :

Lorsque le premier milieu est de l'air, on a n1 = 1 et nous posons n2 = n :

Réfraction à la face de sortie :

Dans le triangle ABC, la somme des trois angles (90°-β1) au point A, (90° - β2) au point B et γau point C est égale à 180°:

Dans le triangle ABK, la somme des trois angles (α1-β1) au point A, (α2-β2) au point B et (180°-δ) au point K est égale à 180°:

On a donc avec (1) :

4.2.4 Déviation minimaleLorsqu'on fait varier l'angle d'incidence α1 pour le même point d'entrée A, on peut montrerexpérimentalement la variation de la déviation δ. Lorsque l'angle d'incidence α1 augmente enpartant de zéro, la déviation δ diminue d'abord jusqu'à un minimum δmin et augmente ensuiteà nouveau.

Lorsque l'angle de déviation est minimum, le rayon traverse le prisme de manièresymétrique, on a ainsi α1 = α2 et β1 = β 2.

Pour les angles dans le prisme, on a ainsi pour la déviation minimale :

L'angle de déviation donne alors pour la déviation minimale :

L'angle d'incidence peut être réécrit sous la forme :

Si on introduit ces équations dans la loi de réfraction, on obtient :

La dernière équation peut être utilisée pour mesurer l'indice de réfraction n du prisme, car γet δmin sont facilement mesurables.

Lorsque tous les angles sont petits (par exemple pour les prismes à faible angle de réfraction)on peut remplacer sin α par la mesure de α (en radians !). On obtient alors :

valable uniquement pour les petits angles (en radians)

Remarque :

Afin que le rayon entrant sorte du prisme, ce dernier doit avoir un angle de réfractioninférieur à un maximum donné. Celui-ci est donné par :

4.2.5 Dérivation théorique de la déviation minimaleLa déviation δ est donnée par :

Afin de déterminer la plus petite déviation δmin, nous devons exprimer δ en fonction d'unevariable individuelle et en annuler la dérivée. Nous essayons pour cette raison d'exprimer δen fonction de β1.

Loi de réfraction à la face d'entrée :

donc :

Loi de la réfraction à la face de sortie :

donc :

Avec γ= β1+ β2, ceci donne :

donc pour la déviation δ =α1+ α2 -γ :

La déviation est minimale si :

Ce qui donne :

Ceci est valable uniquement si :

et simultanément :

Ces deux équations sont uniquement vraies simultanément si :

Il s'en suit que δ est minimal si :

Par ailleurs, on a : donc, on doit avoir :

Cela signifie que le trajet de la lumière est symétrique à travers le prisme.

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/prisme.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/prisme/prisme.php

5 Miroirs convexes et concaves (sphériques et paraboliques)5.1 HistoireL'usage des miroirs concaves pour projeter la lumière remonte à l'Antiquité. Ces miroirsfurent métalliques, en or, en bronze (airain), en argent. Les miroirs en verre étamésn'apparaissent qu'au XVIème siècle. Pour l'éclairage, bien avant les phares des automobiles,existèrent les lanternes à pétrole à réflecteur parabolique ou les lampes de mineurs.

Les célèbres miroirs ardents d'Archimède qu'il aurait utilisés pour brûler les vaisseauxattaquant Syracuse, étaient (auraient été ?) fabriqués par juxtaposition de miroirshexagonaux (à la façon des ballons de football d'aujourd'hui) afin d'obtenir une formeconcave assimilable à un paraboloïde de révolution. En 2005, des étudiants du MIT(Massachusetts Institut of Technology) tentèrent de renouveler l'exploit. Les résultats furentmitigés : un navire en bois résista vaillamment malgré la courte distance qui le séparait des129 miroirs installés.

Les Athéniens utilisaient des miroirs sphériques en or afin de concentrer les rayons du Soleilet rallumer le feu sacré de Hestia, déesse du Foyer (Vesta chez les Romains). Au Moyen Âge,les miroirs concaves furent nommés speculi ustori (miroirs crématoires), probablement parcequ'ils servaient à allumer les bûchers funéraires.

Les lois de la réflexion sur un miroir plan ou sphérique semblent connues depuis l'Écoleplatonicienne. Le célèbre Euclide, dans sa Catoptrique (du grec katoptron = miroir), étudie lesproblèmes de réflexion de la lumière et recense les résultats connus de l'époque. Quoi qu'ilen soit, il semble que la théorie précise de la réflexion et de ses lois soit l‘œuvre du physiciengrec Damianus qui vécut au IVème siècle.

5.2 Miroirs sphériques, définitionsLes miroirs sphériques sont des portions de surfaces sphériques de centre C renduesréfléchissantes par un dépôt métallique. Ce sont donc des calottes sphérique de sommet S etde rayon R = SC . La droite CS représente l'axe principal du miroir. Ils peuvent être concaves ouconvexes. Le miroir est dit concave lorsque la surface intérieure est réfléchissante et il est ditconvexe lorsque c'est la surface extérieure qui l'est.

Précisons tout d'abord ici le sens de convexe et concave : vu de l'extérieur, un miroir concavepossède un « creux » : du latin concavus, formé sur cum = avec au sens de qui possède, etcavea = cavité. Un miroir convexe est « bombé » (vu de l'extérieur) : du latin convexus.

Pour un miroir convexe (resp. concave), la surface réfléchissante est tournée vers l’extérieur(resp. l’intérieur) de la sphère.

On dit aussi d'un miroir, avec un sens évident qu'il est plan-convexe, biconcave, etc.

On remarquera que concave ou convexe pour un objet n'a guère de sens si on ne précise pas cequ'est l'intérieur ou l'extérieur de l'objet considéré, une courbe en particulier : un disque estconvexe, la surface d'un ballon aussi mais pour ce dernier (objet 3D équivalent à une sphère),une bestiole qui serait dedans verrait sa surface comme concave ! De même pour un cercle(convexe vu de l'extérieur, concave vu de l'intérieur).

Pour lever l'ambigüité un domaine D sera dit convexe si tout segment d'extrémités A et Bchoisies dans D est entièrement contenu dans D.

Hergé n’aurait-il pas commis une petite erreur ?

A gauche (face concave), le reflet est renversé. A droite (face convexe), il est dans le bon sens

Un rayon de lumière qui part des pieds (enrouge) est renvoyé vers le haut du fait de laforme du miroir concave, tandis qu'un rayon delumière qui part du sommet du crâne (en bleu)est renvoyé vers le bas. C'est de cette façonqu'un miroir concave reflète les objets. Enappliquant ce raisonnement à chaque point ducorps, on obtient l'image inversée représentéeen pointillés sur le schéma. Ce raisonnementexplique aussi pourquoi la gauche se retrouve àdroite et inversement.

Ici le miroir convexe qu'est la cuillèrereflète l’image dans le bon sens, et ladroite et la gauche sont conservées. Laseule chose qui change c'est la taille

La première chose que l'on peutremarquer est que l'image du centre estle centre, et l'image du sommet est lesommet.

En effet, un rayon issu de C est réfléchien direction de C, et tout rayon issu de Spasse automatiquement par ce mêmepoint. Cela est illustré par les quatreimages ci-contre :

On voit donc que le stigmatisme est rigoureux pour le centre et le sommet, mais ce n'est pas lecas pour les autres points !

Les lois de la réflexion sont identiques à celles du miroir plan.http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch03/co/simuler_ch03_01.htmlhttp://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/mirspher.html5.3 Centre et sommet des miroirs sphériques

On note souvent C le centre de la sphère et R son rayon.

Dans le cas d'un système centré, on peut placer un miroir sphérique dont le centre est surl'axe optique (on a ainsi la symétrie par révolution). L'intersection S entre le miroir et l'axeoptique est appelé sommet du miroir.

�Point à l’infini :

�Point à distance finie :

http://www.proftnj.com/miroirsp.htm

Applet montrant le manque de stigmatisme d’un miroir concave pour un objet à l’infini

5.4 Astigmatisme du miroir sphérique

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/miroirs/stig_miroir_spherique.php

Applet montrant le stigmatisme approché du miroir sphérique dans les conditions de Gauss

On se place dans le cas d'un miroir concave.

On considère un point objet A et son image A' comme lemontre l'image ci-contre.

On veut trouver les conditions pour que le système soitstigmatique, c'est-à-dire que quelle que soit la position dupoint I, le rayon passe toujours par le même point A' .

Dans les triangles AIC et CIA' , les sommes des angles donnent respectivement :

α + i + π − β = π et β + i + π − θ = π,

ce que l'on peut réécrire par :α + i = β et β + i = θ.

En soustrayant ces deux relations, on obtient :

α − β = β − θ d'où :

On va maintenant se placer dans les conditions de Gauss pour avoir un stigmatisme approché.

5.5 Stigmatisme approché, relation de conjugaison du miroir sphérique

D'autre part, on calcule les tangentes de ces trois angles :

Or lorsqu'on se place dans les conditions de Gauss les angles sont supposés petits.

Donc on sait que : (et même chose pour β et θ).

De plus, comme le point I est très proche de l'axe optique, on peut pratiquement assimiler H àS. Les relations précédentes deviennent donc :

Donc un utilisant la relation α + θ = 2 β, et en divisant le tout par

on obtient :

ou encore, en changeant tous les signes :

qui est la relation de conjugaison avec origine au sommet S du miroir (relation de Descartes).

1 1 2

'SA SA SC+ =

Cette relation permet de calculer la position de l'image à partir de la position de l'objet etréciproquement.

Cette relation est très importante et elle est identique pour un miroir sphérique convexe.

On a donc effectivement montré que dans les conditions de Gauss, les miroirs sphériquesprésentent un stigmatisme approché.

1 1 2

'

1 2 1 2

'

'2

p p R

p R

p R p Rp

Rpp

p R

+ =− − −

−= − =

=−

Comme A, S, C et A’ sont alignés, on peut aussi écrire :

Ce qui permet de transformer la relation de conjugaison en une relation de conjugaison avecorigine au centre C du miroir :

On notant p la distance orientée SA, p’ la distance orientée SA’ et R le rayon SC, cette relation s’écrit encore :

1 1 2

'CA CA CS+ =

et ' 'CA CS SA CA CS SA= + = +

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/mirspher.html

5.6 Foyers et distances focales du miroir sphérique5.6.1 Foyer objet

Le foyer objet F d’un miroir sphérique est par définition le point de l’axe optique dont l’imageest à l’infini, c’est-à-dire :

Or, le foyer F et son image F’ vérifient la relation de conjugaison, donc :

On déduit que le foyer objet F est équidistant du centre C et du sommet S comme l’indiquentles figures suivantes (miroir concave puis convexe) :

Sur ces figures, on remarque que les rayons issus de F sont bien renvoyés parallèlement à l’axeoptique (c’est la définition du foyer objet).

1' ou encore 0

'F S

F S→ −∞ →

Foyer objet d’un miroir concave et d’un miroir convexe

5.6.2 Foyer image

Le même raisonnement est applicable au foyer image F’ qui est l’image du point objet àl’infini sur l’axe optique ; on obtient alors aussi :

qui est exactement la même relation que celle obtenue pour F.

On en déduit que :

'2

CSF S =

les foyers objet et image d’un miroir sphérique sont confondus et situés à mi chemin entrele centre et le sommet du miroir.

Ils sont réels pour un miroir concave et virtuels pour un miroir convexe

Foyer image d’un miroir concave et d’un miroir convexe

5.6.3 Distances focalesPour un miroir sphérique, on définit :

� la distance focale objet f par :

� la distance focale image f’ par :

Les paragraphes précédents permettent donc d’écrire :

f SF=

' 'f SF=

'2

Rf f= = − '

2

Rf f= = + pour un miroir convexepour un miroir concave (convergent) et

On appelle vergence d’un miroir sphérique l’inverse de la distance focale. Elle est négativepour un miroir concave (qui est convergent, avec un foyer F réel) et positive pour un miroirconvexe (qui est divergent, avec un foyer F virtuel).

5.7 Image d’un objet plan, aplanétisme du miroir sphérique

Selon l’approximation de Gauss, un point objet B appartenant à un axe secondairequelconque, peu incliné par rapport à l’axe principal, a une image définie par la relation :

Un miroir sphérique donne d’un petit élément plan perpendiculaire à l’axe principal uneimage plane, perpendiculaire à cet axe et homothétique de l’objet par rapport au centre dumiroir. Dans le cadre de l’approximation de Gauss, les miroirs sphériques réalisent unstigmatisme et un aplanétisme approchés.

Le rapport de l’homothétie de centre C transformant A en A’ dépend de la position de A :

La relation de Lagrange-Helmholtz s’écrit : où les angles u et u’ sont très petits,donc :On en déduit le grandissement linéaire transversal γ et le grandissement angulaire ou rapportde convergence γα:

1 1 2

'CB CB CS+ =

' ' 'A B CA

AB CAγ = =

. ' '. 'AB u A B u= − et '

'SI SIu u

AS A S≈ ≈

' ' 'A B SA

AB SAγ = = −

' 1

' '

u AB

u A Bαγ

γ= = =

Dans les conditions de Gauss, le miroir sphérique vérifie un stigmatisme et un aplanétismeapprochés.

Considérons un objet transverse AB (A sur l’axe optique, et B dans un plan orthogonal à l’axeoptique et passant par A).

On commence par construire l’image de B. Pour cela, deux rayons, parmi les quatre suivants,passant par B suffisent à déterminer B’ (stigmatisme).

Règles de construction :

�tout rayon passant par (ou semblant se diriger vers) le centre du miroir n’est pas dévié ;�tout rayon passant par le sommet S du miroir est réfléchi symétriquement à l’axeoptique ;�tout rayon parallèle à l’axe optique est réfléchi en passant par le (ou semblant provenirdu) foyer F du miroir ;�tout rayon qui passe par (ou semble se diriger vers) le foyer F, est réfléchi parallèlementà l’axe optique.

Le point A’ est obtenu en projetant B’ sur l’axe optique (aplanétisme).

En appliquant ces quelques règles simples, on peut construire toutes les images trèssimplement.

5.8 Construction d’images pour le miroir sphérique

Animation flash : construction

d’images pour le miroir concave

Animation flash : construction

d’images pour le miroir convexe

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/miroirs/miroir_spherique.php

Applet montrant la construction d’images formées par un miroir sphérique dans les conditions de Gauss

http://www.slideshare.net/louisemichelchampigny/prsentation-miroirs-sphriques

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/rayonmiroir.html



En première approximation la cuillère constitue un miroir sphérique qui est concave ouconvexe, selon qu'on observe la réflexion sur la face creuse ou sur la face bombée.

Pour la cuillère photographiée, on évalue entre 2 et 4 cm la valeur du rayon R de lasphère équivalente et à environ 10 cm la distance de la flamme à la surfaceréfléchissante.

5.9 Retour à la petite cuillère…

Les constructions géométriques suivantes montrent la position de l'image de la bougie danschacun des cas, miroir concave ou convexe.

Les points C et F représentent le centre de courbure et le foyer du miroir sphérique desommet S (en valeur algébrique SC= + ou - R, si le rayon de courbure est R).

On constate que l'image est réelle et renversée dans le cas concave , et qu'elle est droite etvirtuelle dans le cas convexe.

L'image est plus petite que l'objet : si la bougie est à une distance 2R du miroir, on peutcalculer le grandissement qui est de -1/3 (cas concave) ou +1/5 (cas convexe).

Miroir sphérique concave ; l'objet est placé avant le centre de courbure C

Miroir sphérique convexe

Le cas du miroir sphérique convexe ou de la cuillère côté bombé correspond à la vision d'uneimage virtuelle, tout comme le miroir plan, plus usuel. L'observateur interprète les rayonslumineux réfléchis comme provenant de l'image de l'autre coté du miroir.

Les images prévues pour la vision oculaire sont généralement virtuelles et localisées àgrande distance, car l‘œil se fatigue moins s'il n'a pas à accommoder.

Comment peut-on voir une image réelle ?

La vision d'images réelles se fait usuellement par l'intermédiaire de la lumière diffusée par unécran (projection, cinéma...). Il est possible de regarder directement une image réelle si ellen'est pas trop lumineuse et en accommodant correctement. Lorsque l'on regarde la cuillèrecôté creux, l'image réelle et renversée d'un objet lointain se forme juste devant le foyer F, etl‘œil accommode sur cette image, à 1 ou 2 cm devant le miroir.

Il n'est pas toujours aisé de percevoir cette accommodation en avant de la cuillère. Elle estplus facilement perceptible si l'on regarde l'image d'un objet proche ou avec un miroir deplus grand rayon de courbure, parce que l'image est située plusieurs centimètres devant lemiroir.

Comment expliquer la netteté des images photographiées ?

Elle est étonnante, car les miroirs sphériques ne sont pas stigmatiques et encore moins lesfaces de la cuillère aux formes plus complexes.

On est dans le cas du stigmatisme approché grâce aux conditions de Gauss qui sont réaliséespour le système bougie-cuillère-appareil photo ci-dessus. La bougie de diamètre 4 cm est àpeu près centrée sur l'axe optique. L'appareil photo, situé à environ 1 m de la cuillère, estdans une direction faisant un angle d'une douzaine de degrés avec l'axe optique. Les rayonslumineux issus de l'objet, réfléchis par le miroir et atteignant l'objectif de l'appareil photos'écartent assez peu de l'axe, l'inclinaison est au maximum de 12 degrés(Arctan (2/10) ≃ 11°).

Pour des objets plus écartés de l'axe optique, les conditions de Gauss ne sont plus remplies.On observe de la distorsion (en barillet dans les deux cas photographiés) : les droites sontcourbées, les angles sont modifiés et les images sont déformées. On peut s'en convaincre enobservant un papier quadrillé par réflexion sur une cuillère ou une louche.

5.10 Formule de Newton avec origine au foyer pour le miroir sphérique

Dans le miroir sphérique, les foyerssont confondus et l’origine estunique. Nous pouvons directementdéduire de la construction unerelation de conjugaison et unerelation de grandissement. Lescouples de triangles semblables(FAB) et (FSJ), (FA’B’) et (FSI) sonthomothétiques, le centred’homothétie étant F :

' ' ' et

SJ FS A B FA

AB FA SI FS= =

On en déduit le grandissement transversal :

Cette dernière relation conduit à la formule de conjugaison de Newton, avec origine aufoyer :

' ' 'A B FS FA

AB FA FSγ = = =

2

. 'FA FA FS=

5.11 Champ d'un miroir sphériqueNous avons vu que le champ d'un miroir désigne la région de l'espace que l'on peut voir àtravers ce miroir à partir d'une position donnée O de l'œil et qu'il correspond donc àl'ensemble des points A susceptibles de donner un rayon réfléchi passant par O. Ce rayonsemble provenir de l'image O' de O donnée par le miroir. Le champ du miroir est alorsdélimité par le cône de sommet O' s'appuyant sur le contour du miroir.

Dans la figure ci-après, nous avons comparé les champs d'un miroir sphérique concave, d'unmiroir plan et d'un miroir sphérique convexe, l'observateur O occupant la même positiondevant les trois miroirs et les deux miroirs sphériques étant de même courbure.

La position de O est choisie de telle manière que, dans tous les cas, son image O' soit virtuelle.

La position du point O' est donnée par :� pour le miroir concave :

puisque l'on est dans le cas d'une image virtuelle, d'où :

' = =- avec 0, 0 et SF FS FS

SO SO SO SO SF SO SO SFSO SF OS FS FS OS

= < < >− − −

'SO SO>

� pour le miroir plan :

'SO SO=

� pour le miroir convexe :

d’où :

Soit :

' avec 0, 0SF

SO SO SF SOSO SF

= > <−

' SF

SO SOSF SO

=−

'SO SO<

Le champ le plus grand est donc celui du miroir convexe, puis vient celui du miroir plan, puisenfin celui du miroir concave. Ceci explique l'emploi de miroirs convexes comme rétroviseurs.

5.12 Applications des miroirs sphériques� Les miroirs concaves sont utilisés pour leur capacité à concentrer la lumière provenant

d'une source lointaine (télescope, four solaire...) ou à transmettre en faisceau quasiparallèle comme la lumière émise par une petite lampe (lampe de poche, phared'automobile).

Ils sont aussi utiles quand il est pratique d'obtenir une image plus grande que l'objet, parexemple comme miroir de toilette grossissant. Le rayon de courbure du miroir est suffisantpour que, naturellement, on place son visage entre le foyer et le sommet.

� Les miroirs convexes peuvent former des images petites d'un objet éloigné et sont alorsutiles pour leur grand champ de vision : miroirs de surveillance, rétroviseursd'automobiles, ou miroirs au coin de rues pour permettre de voir derrière un obstacle.

5.13 Exercices sur les miroirs sphériques

1. a) On utilise un miroir sphérique convexe de rayon R = 1,2 m. Quelle est la valeuralgébrique de son rayon ? Quelle est la distance focale du miroir ? Quelle est la position del’objet dont l’image est virtuelle, droite et deux fois plus petite que l’objet ? Quelle est lanature de l’objet ?b) On considère un miroir sphérique concave de rayon R = 1,2 m. Quelle est la valeuralgébrique de son rayon ? Quelle est la distance focale du miroir ? Quelle est la position del’objet dont l’image est réelle, droite et deux fois plus petite que l’objet ? Quelle est lanature de l’objet ?

2. (Miroir de dentiste) On imagine la scène chez un dentiste : un petit miroir placé à 1 cmd’une dent en donne une image agrandie cinq fois. Quelle est la nature de l’image ? Quelleest la nature du miroir ? Quel est son rayon ? (Rép. : R= -2,5cm)

3. On forme l’image du Soleil, de diamètre angulaire 32’ (32 minutes d’angle) grâce à unmiroir sphérique convergent de focale 900 mm. Où se trouve cette image ? Quelle est sataille ?

6 Miroir parabolique et miroir elliptiqueNous avons vu qu’un miroir sphérique ne focalise qu’approximativement un faisceau parallèle.L’approximation est d’autant plus mauvaise que l’ouverture du miroir est grande. Les miroirsparaboliques ne présentent pas cet inconvénient et sont pour cette raison abondammentutilisés en pratique (par exemple réflecteur de projecteur ou de phare d’automobile,télescope). En revanche les miroirs paraboliques sont plus difficiles à usiner que les miroirssphériques.

Le miroir parabolique est rigoureusement stigmatique de l’infini en son foyer. Cette propriété remarquable en fait un élément optique privilégié pour les applications

astronomiques

http://www.youtube.com/watch?v=Bn9tJ1YcRWM

Stigmatisme du miroir parabolique et principe de Huygens

Application : principe des phares automobiles

Sur les véhicules actuels, on trouve divers types de projecteurs. Le modèle le plus courantutilise un réflecteur parabolique équipé d'une lampe à iode de type H4. Sur les modèles hautde gamme, on utilise une lampe à xénon placé au foyer d'un réflecteur elliptique et équipéd'une lentille asphérique.

� Lampe à iodeC'est une lampe équipée de deux filaments. Le filament avant est muni d'une coupelle quiréfléchit la lumière vers le haut.La puissance consommée est de 55 W. Le flux lumineux de l'ordre de 1500 lumens. La duréede vie est de l'ordre de 500 heures.

En mode plein phare le centredu filament arrière est placé aufoyer d'un réflecteurparabolique. Dans ce cas lemiroir donne une image àl'infini : on obtient un faisceauparallèle dont l'axe est celui dela parabole.

Le filament n'est pas ponctuel et de ce fait le faisceau n'est pas parallèle. Les points en avantdu foyer donnent un faisceau convergent et ceux en arrière un faisceau divergent.Globalement on obtient un faisceau dont la portée minimale est de 100 m.

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/phareauto.html

En mode croisement le centre du filament est placé nettement devant le foyer et on obtient unfaisceau convergent dont l'axe est dirigé vers le bas.

En réalité le faisceau final doit avoir une forme imposée (portée maximum de 60 m pour leprojecteur droit et de 30 m pour le projecteur gauche, éclairage du bas côté droit ...) pour nepas éblouir les usagers qui arrivent en face.

Sur les anciens modèles le verre avant du projecteur comportait des éléments de lentille detype Fresnel. Sur les modèles récents, ce verre est neutre mais la forme des réflecteurs estplus complexe.

� Lampe à xénonC'est une lampe à décharge. Après amorçage d'un arc par une tension élevée (25 kV) il fautpour le maintenir appliquer une tension de l'ordre de 85 V entre les électrodes. L'arc secomporte comme une source pratiquement ponctuelle. La puissance consommée est de 35 W.Le flux lumineux de l'ordre de 3200 lumens. La durée de vie est de l'ordre de 2000 heures.

Il existe divers types de projecteurs utilisant cette lampe. On présente ici le modèle le plusévolué qui utilise un réflecteur elliptique.

Le brûleur est placé au foyer F1 de l'ellipsoïde. La lumière est réfléchie vers son foyer F2 qui estaussi le foyer objet d'une lentille convergente asphérique.

Le passage en mode croisement est obtenu par le basculement d'un volet qui occulte unepartie du faisceau.

7 Dioptre sphérique7.1 Définitions

Un dioptre sphérique est une surface sphérique ayant la forme d’une calotte sphérique,séparant un milieu d’indice n=n1 d’un milieu d’indice n’=n2.

Lois de la réfraction du dioptre sphérique

Les lois de la réfraction de Descartes s’appliquent telles quelles aux surfaces non planes.


http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/dioptres/dioptre_spherique.php

Lois de la réfraction du dioptre sphérique

L’air est en blanc, le verre en bleu ; on voit que le dioptre peut être convergent ou divergent,quelle que soit sa concavité, selon la nature des milieux qu’il sépare.

7.2 étude du stigmatisme du dioptre sphérique

Les images de différentsrayons lumineux issus d’unpoint P situé sur l’axe dudioptre ne se coupent pasen un même point : ledioptre sphérique estastigmate.

Si le point objet P (réel ou virtuel) a une image P’, celle-ci se trouve nécessairement sur l’axeprincipal (PSC), support d’un rayon lumineux non dévié lors de la réfraction.

P’ ne mérite le nom d’image de P que si P’ reste fixe lorsque le point d’incidence I décrit lasurface dioptrique.

À un rayon incident issu du point P, appartenant à l’axe principal, il correspond un rayonréfracté dans le plan d’incidence. Ce rayon recoupe l’axe principal en P’. Le point d’incidencesur la surface dioptrique est noté I. On suppose le dioptre convexe et n2>n1 (dioptreconvergent).

7.2.1 Astigmatisme du dioptre sphérique

S

Mise en évidence de l’astigmatisme du dioptre sphériquehttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/dioptres/stig_dioptre_spherique.php

Dioptre sphérique, stigmatisme approché

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/diopsher.html

7.2.2 stigmatisme approché du dioptre sphérique

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/dioptrespherique.html

Stigmatisme et aplanétisme approché du dioptre sphérique dans les conditions de Gauss



La loi de la réfraction appliquée au dioptre, donne :

Dans le triangle PIC, la relation des sinus s’écrit :

Dans le triangle P’IC, la relation des sinus donne :

En combinant ces trois relations, on obtient :

Ou encore :

Cette quantité K est conservée lors de la réfraction, c’est l’invariant fondamental du dioptresphérique (invariant de Möbius)

1 2sin sinn i n r=

( )sin sin donc sin sin

i PCi

PC PI PI

π ωω

−= =

( )sinsin ' donc sin sin

' ' '

r CPr

CP IP IP

π ωω

−= =

1 2

'

'

PC CPn n

PI IP=

1 2

' (1)

'

PC P Cn n K

PI P I= =

7.2.3 étude théorique du stigmatisme (rigoureux et approché) du dioptre sphérique

S

7.2.3.a Invariant de Möbius

Dans cette formule, n1, n2 et C sont fixés. Nous constatons que P’ dépend non seulement de Pmais aussi de I, c’est-à-dire du rayon incident considéré : c’est le phénomène d’astigmatismemis en évidence par la construction précédente : différents rayons incidents ne convergent pasau même point de l’axe optique et il n’y a en général pour P pas de point image proprement dit.

7.2.3.b Stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique

Il n’y a que trois cas pour lesquels la condition de stigmatisme rigoureux est satisfaite :

� Comme pour toutes les surfaces réfringentes, il y a stigmatisme rigoureux pour les points I dela surface dioptrique : P=I=P’, PI=0 entraîne P’I=0 ;

� Les rayons issus du centre C traversent le dioptre sans déviation : C est sa propre imagerigoureusement stigmatique : P=C=P’, PC=0 entraîne P’C=0 ;

�Pour un point P quelconque, le stigmatisme rigoureux ne peut être réalisé que si ladistance P’C est indépendante de l’angle ω, et donc du point I. D’après la relation (1), s’il ya stigmatisme, PC étant constant, le rapport P’I/PI doit être constant pour tout point I de lasurface dioptrique :

Si le stigmatisme rigoureux est réalisé pour P et P’, la surface dioptrique (correspondant aulieu des points I) coïncide nécessairement avec la sphère qui est le lieu des points dont lerapport des distances à P et P’ est constant et égal à :

Une telle condition ne peut pas être réalisée pour un couple de points (P,P’) quelconquemais peut être vérifiée pour un couple de points particuliers appelés points de Young-Weierstrass.

2

1

' 'nP I P C

nPI PC=

2

1

'n P C

n PC

Ce dernier cas est un cas particulier de stigmatisme rigoureux pour une surface réfractante.

Soit une surface (S) réfractante qui sépare deux milieux d'indices n et n’ et I le pointd'incidence sur la surface (S).

Deux points P et P’ sont stigmatiques si le chemin optique L(PP’) est indépendant de la positiondu point I (et donc constant). La condition de stigmatisme s'écrit donc :

Le signe - correspondant à une image virtuelle (IP’<0) et le signe + à une image réelle (IP’>0)de l’objet réel (PI>0).

En particulier, si le chemin optique L(PP’) est nul (condition nécessaire pour que la surfacedioptrique réfractante reste du second degré), on obtient :

c’est-à-dire :

Dans l’espace, le point I décrit donc une portion de sphère, qui est le lieu géométrique despoints dont le rapport des distances à deux points fixes (ici P et P’) est constant (ici égal aurapport des indices). Ce rapport étant positif, les points P et P’ doivent être du même côté dela surface (S), et ils sont donc de nature contraire (P réel et P’ virtuel par exemple).

( ') ' ' . ' 'ste

PPL nPI n IP n PI n IP c= + = ± =

' ' 0stenPI n IP c+ = =

'0

'

PI n

nP I= >

Rappel géométrique

Le lieu des points M du plan vérifiant :

est (sauf pour k = 1) le cercle (dit d'Apollonius) de diamètre [I J] où I et J sont les deux points de la droite (AB) vérifiant également :

Les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle AMB.

MAk

MB=

MAk

MB=

7.2.3.c position des points de Young-WeierstrassDésignons par C le centre de cette sphère, par S l’intersection de la surface dioptrique avec ladroite (PP’) et par S’ le point diamétralement opposé sur la sphère qui porte la surfacedioptrique (S), la relation précédente conduit à :

Soit :

ou :

On en déduit : et encore :

' '

' ' ' '

IP n SP S P

nIP SP S P= = = −

' '

' ' '

n SC CP S C CP

n SC CP S C CP

+ += = −

+ +

' '

' ' ' '

n CP CS CP CS CP CS

n CP CS CP CS CP CS

− − += = − =

− − − −

' et '

'

n nCP CS CP CS

n n= − = − ' '

et ''

n n n nSP SC SP SC

n n

+ += =

Les points satisfaisant à cette conditionsont appelés points de Young-Weierstrass (notés en général W et W’et A et A’ sur la figure) du dioptresphérique. Il existe un unique couplede points (W,W’) sur chaque droitepassant par C. Il y a quatre cas defigure selon le signe de CS et selon lesigne de n’-n. La figure suivantereprésente les deux cas où CS>0.

Points de Weierstrass du dioptre sphérique

L’existence des points de Weierstrass est exploitée dans la fabrication des objectifsd’instruments d’optique (microscope)

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/youngweir.html

Un exemple classique d’utilisation des points de Weierstrass est l’objectif de microscope,représenté sur la figure ci-dessus. Une première lentille a pour premier dioptre un dioptreplan collé contre la lame à observer. Le microbe W0 collé sur le dioptre en son centre est sapropre image (cf. supra les exemples simples de stigmatisme rigoureux) et le second dioptrea W0 comme point de Weierstrass objet dont il forme l’image en W1. Le premier dioptre de laseconde lentille a W1 comme centre qui est donc sa propre image (cf. supra) et son seconddioptre l’admet comme point de Weierstrass objet dont il forme l’image en W2. Unetroisième lentille peut être ajoutée sur le même principe que la seconde. Le but du jeu est, enrespectant le stigmatisme rigoureux, de diminuer progressivement l’angle maximal que faitavec l’axe le faisceau lumineux afin de l’amener dans le cadre d’un stigmatisme approché quisuppose des angles avec l’axe pas trop élevés. De nos jours, l’usage des lentilles asphériquespermet des solutions moins volumineuses mais plus onéreuses

Utilisation des points de Weierstrass pour un objectif de microscopie

Repartons de l’invariant de Möbius :

Élevons au carré les deux membres :

On peut écrire :

1 2

'

'

PC P Cn n K

PI P I= =

7.2.3.d Stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique : analyse générale

S

et ' 'IP IC CP IP IC CP= + = +uur uur uuur uuur uur uuuur

Le théorème de Pythagore généralisé (ou l’utilisation du produit scalaire de deux vecteurs)permet d’écrire :

On a donc :

Cette relation montre que pour un point P fixé (CP fixé), CP’ dépend de ω et donc la positionde P’ dépend de ω.

Pour alléger les calculs, notons :

La relation précédente devient :

2 2 2 2 2 2 2 2. 2 . cos et ' '. ' ' 2 . 'cos( ) ' 2 . 'cosIP IP IP IC CP IC CP IP IP IP IC CP IC CP IC CP IC CPω π ω ω= = + − = = + − − == + −uur uur uuur uuur

2 22 2

1 22 2

'

'

PC P Cn n

PI P I=

22 2 2 2

2

2 2 2 2 2

1

' ' ' 2 . 'cos

2 . cos

nIP CP IC CP IC CP

IP n CP IC CP IC CP

ω

ω

+ −= =

+ −

, ' ' et CP x CP x CS R= = =

2 2 2 2

2

2 2 2 2

1

' ' 2 . 'cos

2 . cos

n x R x R x

n x R x R x

ω

ω

+ −=

+ −

Il y aura stigmatisme rigoureux si CP’ est indépendant de ω, ce qui implique que le rapportprécédent soit indépendant de ω ; en particulier, il doit prendre la même valeur si cos ω=1 ousi cos ω=0 ; par conséquent, on doit avoir :

En appliquant la propriété générale des fractions :

On obtient :

soit encore :

La première équation a deux solutions possibles :

� La solution x = x’ est impossible puisqu’elle impliquerait n1=n2, sauf si P est sur la surface(P=I, donc x=R) et donc P’ est sur la surface (x’=R) ou si P est le centre du dioptre (x=0) et P’est aussi le centre du dioptre (x’=0). On retrouve donc le fait que le dioptre estrigoureusement stigmatique pour les points de la surface dioptrique et pour le centre dudioptre qui sont leurs propres conjugués.

� La solution :

redonne (au signe près) la position des points de Young-Weierstrass par rapport au centre Cdu dioptre.

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

1

' ' 2 . ' '

2 .

n x R x R x R x

n x R x R x R x

+ − += =

+ − +

a c a c a ck k

b d b d b d

+ −= = ⇒ = =

+ −

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

1

' ' 2 . ' ' 2 ' '

2 . 2

n x R x R x R x Rx x

n x R x R x R x Rx x

+ − += = = =

+ − +

( ) ( )2

2 2

2

1

n' ' 0 et :

n '

xx x R xx

x− − = =

2 22 2 2 1

2 2

1 2

' 0 qui implique : ' 'n n

R xx xx R x xn n

− = = = =

Si P est quelconque, pour que P’I varie le moins possible, il faut que PI varie le moins possible,donc que le point I soit proche du sommet S du dioptre, c’est-à-dire que le rayon incident soitfaiblement incliné par rapport à l’axe du dioptre. Le stigmatisme du dioptre sera aussiamélioré si le rayon de courbure du dioptre est grand. Ce sont les conditions de Gauss.

Dans ce cas, PI≈PS et P’I≈P’S et la formule (1) devient :

ou encore, comme S, P, P’ et C sont alignés :

Qui redonne bien la relation de conjugaison :

C’est la formule de conjugaison du dioptre sphérique, dans les conditions de stigmatisme deGauss.Si on introduit les notations habituelles SP=p, SP’=p’, SC=r, la formule se réécrit sous la forme :

Finalement, on obtient : ou encore :

1 2

'

'

PC P Cn n

PS P S=

1 2

'

'

PS SC P S SCn n

PS P S

+ +=

1 2 1 2

' ' ou encore 0

' '

p r p r p r r pn n n n

p p p p

− + − + − − += − =

− −

2 1 2 1

'

n n n n

p p r

−− = = Φ

2

1

'pn

pn p

=+ Φ

7.2.3.e stigmatisme approché du dioptre sphérique dans les conditions de GaussOn peut retrouver la relation entre la position p=SP de l’objet P et la position p’=SP’ del’image P’ dans les conditions de stigmatisme approché, ou conditions de Gauss.

1 2 2 1

'

n n n n

PS P S SC

−− =

1 2

' (1)

'

PC P Cn n K

PI P I= =

Le signe de la quantité Φ=V (vergence du dioptre) détermine le caractère convergent (Φ>0) oudivergent (Φ<0) du dioptre.

7.2.3.f principe de Fermat et stigmatisme approché du dioptre sphérique dans les conditionsde Gauss ; autre calcul de la position des points de Weierstrass

7.3 Foyers du dioptre sphérique

L’image du point objet situé à l’infini sur l’axe optique est appelé foyer image F’. La distance SF’est la distance focale image, notée f’.

Par définition, la distance focale image est la distance p’=SP’ obtenue en remplaçant p parl’infini dans la relation de conjugaison, donc :

( )2 2 2

2 1 1 2 1

' limp

n rp n r nf

p n n n r n n→∞= = =

− + − Φ

Il résulte de cette définition que tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte enpassant par le foyer image F'.

Le point objet de l’axe optique dont l’image se forme à l’infini sur l’axe optique s’appelle lefoyer objet F du dioptre sphérique. La distance SF s’appelle la distance focale objet, notée f.

Par définition, la distance focale objet est la distance p=SP conjuguée à une distance p’ infiniepar la relation de conjugaison, donc :

( )1 1 1

'1 2 2 2 1

'lim

'p

n rp n r nf

p n n n r n n→∞= = − = −

− + − Φ

Un rayon incident passant par le foyer objet dudioptre se réfractera en un rayon parallèle à l'axeoptique du dioptre.

Pour un dioptre concave et convergent (n’<n), on a donc les positions suivantes pour lesfoyers :

Foyers, plans focaux et distances focales d’un dioptre sphérique

n’<n n’>n

� On remarque :

Le rapport des distances focales d’un dioptre sphérique est égal au rapport des indiceschangé de signe. Les foyers F et F’ sont donc toujours de part et d’autre du sommet S

Si F’ est dans le milieu d’indice n2 (f’=SF’>0), donc réel, F est dans le milieu d’indice n1 (carf=SF est alors <0), donc également réel. De la même façon, si F’ est dans le milieu n1

(f’=SF’<0) il est virtuel et F qui est alors dans le milieu n2 (f=SF>0) est également virtuel. Lesdeux foyers sont de même nature : tous deux réels ou tous deux virtuels.

Cette relation montre aussi que f=-f’ lorsque les milieux extrêmes ont même indice deréfraction (n1=n2) ;

� On a aussi dans tous les cas :

Si on multiplie la relation de conjugaison par r/(n2-n1), on obtient :

Cette relation est aussi appelée formule de conjugaison de Descartes.

1

2' '

nf SF

f nSF= = −

'f f r+ =

'1

'

f f

p p+ =

Par définition, la vergence V d’un dioptre sphérique est :

Le grandissement linéaire γ est par définition le rapport de la dimension d’une image dans leplan de front en A2 à la dimension correspondante de l’objet en A1 :

7.4 Répertoire des formules relatives au dioptre sphérique

1 2 1 2

1 2

n n n n

SA SA SC

−− =

2 1 1 2

'

n n n nV

SC SF SF

−= = − =

Dans SA1B1 on a :A1B1 = SA1 tan i1 = SA1i1

dans les conditions de GAUSS (avec SA1 < 0, i1 < 0 et A1B1 > 0).

De même dans SA2B2 on a :A2B2 = SA2 tan i2 = SA2i2

dans les conditions de GAUSS (avec SA2 > 0, i2 < 0 et A2B2 < 0).

D’où l’expression pour γ :

2 2

1 1

A B

A Bγ =

2 2 1 2 1

1 21 1 2

' '

'

A B n SA n p fp

n p f pA B n SAγ = = = = −

7.4.1 Formules avec origine au sommet du dioptre

La relation de conjugaison établie ci-dessus, avecorigine au sommet du dioptre S s’écrit donc :

ou encore : '1

'

f f

p p+ =

7.4.2 Formules avec origine au centre du dioptreEn repartant de l’invariant fondamental du dioptresphérique appliqué au rayon axial (I=S) :

on obtient aussi :

Et donc :

Divisons par le produit des trois segments, il vient :

Ou enfin :

Cette formule est appelée relation de conjugaison avec origine au centre C du dioptre.

1 21 2

1 2

AC A Cn n

A S A S=

( ) ( )1 2 1 2 1 2n SC CA CA n SC CA CA+ = +

1 21 2

1 2

CA CAn n

SC CA SC CA=

+ +

1 2

2 1

1 1 1 1n n

CA SC CA SC

+ = +

1 2 1 2

2 1

n n n n

CA CA CS

−− =

La similitude des triangles B1A1C et B2A2C permet d’écrire directement :

2 2 2

1 1 1

A B CA

A B CAγ = =

L’objet et l’image sont homothétiques par rapport au centre C.

Cette dernière relation s’écrit aussi (en notant F1 et F2 les foyers):

Dans ce cas on repère la position de l’objet A1 par rapport au foyer objet F1 et la position del’image A2 par rapport au foyer image F2. La relation précédente donne :

Soit :

et finalement une relation parfaitement symétrique qui constitue la formule de conjugaisonde Newton:

7.4.3 Formules avec origine aux foyers'

1'

f f

p p+ =En repartant de la formule de conjugaison de Descartes :

Comme F2A2B2 et F2SI sont semblables et que A1B1 = SI, il vient alors :

et finalement, puisque F1A1.F2A2 = SF1.SF2 (par la formule de Newton):

2 2 2 2 2 2

1 1 2

A B A B F A

SI A B F Sγ = = =

2 2 1

2 1 1

F A SF

SF F Aγ = − = −

Sur cette figure on voit que :

-SI = SA1.α1 = SA2 α2

d’où, en utilisant l’une des expressionsprécédentes du grandissement linéaire :

Soit :

7.5 Relation de Lagrange-Helmholtz et aplanétisme du dioptre sphérique

L’égalité précédente connue sous le nom de relation de Lagrange-Helmholtz, exprimeévidemment la réalisation de l’aplanétisme dans les conditions simplificatrices de la limitationaux rayons paraxiaux.

Remarque : il s’agit du passage à la limite des petits angles d’une relation plus généraleconnue sous le nom de relation des sinus d’Abbe (n1 sin α1A1B1 = n2 sin α2A2B2).

Soit un rayon incident quelconque A1I : il fait l’angle α1 avec l’axe principal. Dans les conditionsde l’approximation de GAUSS, le réfracté correspondant passe par l’image A2 de A1 et faitl’angle α2 avec l’axe principal.

Pour construire le rayon réfractécorrespondant à un rayon incidentquelconque, on cherche l'intersection durayon incident avec le plan focal objet puis ontrace un rayon passant par le centre C dudioptre et le foyer secondaire précédemmentdéfini. Le rayon réfracté est parallèle à CFx.

On peut également tracer une parallèle aurayon incident passant par C et chercher sonintersection F’x avec le plan focal image ; lerayon réfracté semblera alors issu du foyersecondaire ainsi défini.

Ce type de construction est valable quel quesoit le dioptre sphérique, divergent ouconvergent , convexe ou concave.

7.6 Méthode générale de construction du rayon réfracté par un dioptre sphérique

7.7 Méthode générale de construction de l’image d’un objet formée par un dioptre sphériqueTout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en passant par le foyer image F'.

Un rayon incident passant par le foyer objet du dioptre se réfractera en un rayon parallèle àl'axe optique du dioptre.

Pour construire l'image d'un objet plan, on utilise 3 rayons particuliers :

� un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui-ci

� un rayon issu de B et passant par le foyer objet F : il est réfracté suivant une parallèle à l'axeprincipal

� un rayon issu de B et parallèle à l'axe principal : il est réfracté suivant un rayon qui passe parle foyer image F'.

Exemples de constructions

Objet à l’infini

Image d’un objet par un dioptre sphérique concave

Image d’un objet par un dioptre sphérique convexe



Dioptre convergent recevant la lumière sur sa face concave (n>n’) ; variation des caractéristiques de l’image (position, nature et grandeur) en fonction de la position

de l’objet décrivant la totalité de l’axe optique.

Dioptre divergent recevant la lumière sur sa face convexe (n>n’) ; variation des caractéristiques de l’image (position, nature et grandeur) en fonction de

la position de l’objet décrivant la totalité de l’axe optique

7.8 Exercices (dioptre sphérique)

1. Calculer les vergences des dioptres suivants :� n=1 ; n’ = 1,5 ; R=+100mm.� |n’-n|= 0,525 et R = - 175 mm, le dioptre est convergent.� n=1,7 ; n’ = 1 ; R=-8,5cm

2. La distance entre le sommet et le centre d'un dioptre concave est de 75 mm. Les indicessont 1,5 pour le milieu objet et 1,33 pour le milieu image.

� Calculer la vergence Φ.� Le dioptre est-il convergent ou divergent ? Justifier.� Calculer les distances focales f etf’ du dioptre.

3. Soit un dioptre sphérique d'indices n = 1 et n’ = 1,336, de vergence +60δ.� Calculer le rayon de courbure.� L'indice objet est maintenant égal à 1,33. Le rayon de courbure prend la valeur

déterminée précédemment. Calculer Φ, la nouvelle vergence.

4. La distance focale image d'un dioptre sphérique d'indices n = 1,33 et n' = 1,5 vaut +200mm. Calculer le rayon de courbure du dioptre. Est-il concave ou convexe ? Justifier.

5. Un dioptre sphérique de rayon 80 cm sépare l’air du verre (n=1,5). Son centre se trouvedans le verre. Trouvez les distances focales. Déterminer la position de l’image et legrandissement si l’objet est réel et se trouve à 200, 100 et 50 cm et si l’objet est virtuel etse trouve à 50, 100 et 200 cm de la surface. (Rép. : f=-160 cm, f’=240 cm ; si p=-100 cm,p’=-400 virtuelle, γ =2,67 ; si p=200 cm, p’=133,3 cm réelle, G=0,144)

6. Quel doit être l’indice d’une boule pour que le foyer image soit à son intérieur lorsque laboule est baignée dans l’air ? Les rayons solaires peuvent-ils converger à l’intérieur d’unaquarium sphérique et cuire un poisson qui s’y trouve ? Est-il possible de choisir la formede l’aquarium pour que cela arrive ? (Rép. : n>2 ; dans le cas de l’eau (n=1,33), f’=4,03 R,donc non).

7. Un dioptre sphérique de rayon de courbure r sépare deux milieux d’indice n=3/2 (espaceobjet) et n’=4/3 (espace image).

A) Exprimer les distances focales f et f’ ainsi que la vergence Φ en fonction de r.B) On donne r= -10cm. Calculer numériquement f, f’ et Φ. Quel est la nature dudioptre ?C) On place un objet AB à 50 cm en avant du dioptre. Calculer la position p’ del’image ainsi que son grandissement transverse γ.D) Sur une figure, placer les foyers F et F’ et l’objet A. Construire son image A’. Quelle est la nature de A’ ?

8. Dans cet exercice, on cherchera à comprendre comment une image se forme au fond d'unverre « chinois » s'il contient du liquide et disparaît lorsque le verre est vide.Habituellement, dans un tel verre, une photographie est collée dans le fond d'une cavitéremplie d'air. La cavité est fermée sur sa partie supérieure par une lentille épaisse de verred'indice n = 1,5 constituée d'un dioptre plan D1, de sommet S1, et d'un dioptre sphériqueD2, de sommet S2 et de centre C2. On se place dans les conditions de Gauss. On notera A0,le point de la photo sur l'axe optique. On prendra comme valeurs S1 S2 = 2 cm.

8.1 Afin de déterminer la courbure du dioptre D2, onextrait la lentille et on la place sur unbanc d'optique. On éclaire sa face plane avec unfaisceau de rayons incidents parallèlesà l'axe optique. On constate que les rayonsémergeant de la lentille se coupent en un point F' del'axe tel que S1F' = 4,5 cm.

a. Après avoir rappelé la séquence deformation des images par cette lentilleépaisse, donnez l'expression des relations deconjugaison du dioptre D1 et dudioptre D2.b. Dans le dispositif étudié ici, où sontsitués l'objet initial, Ao, l'imageintermédiaire, A1, et l'image finale, A2 ?c. A l'aide de la relation de conjugaison dudioptre D2, vérifiez que le rayon decourbure de ce dioptre vaut S2C2 = -1,25 cm.

8.2 On considère maintenant cette même lentille placée dans le verre chinois lorsque celui-ciest vide. Elle est donc entourée d'air de part et d'autre. L'objet (la photo) est placé devant lalentille, du côté de sa face plane, de sorte que A0S1 = 4/3 cm.

a. Donnez la position de l'image intermédiaire par rapport à S1 puis à S2.b. Déterminez la position de l'image finale par rapport à S2.c. Un observateur emmétrope placé à 25 cm du verre, donc de S2, peut-il voir cette

image ?

8.3 Le verre est maintenant rempli d'une épaisseur x d'un liquide d'indice n’=4/3. La lentillea donc de l'air du côté de sa face d'entrée et ce liquide du côté de sa face de sortie. D'unpoint de vue optique, cela revient à ajouter un dioptre plan D3 après la lentille. D3 est undioptre liquide/air de sommet S3 tel que S2S3 = x cm.

a. Réécrivez la séquence de formation des images et les relations de conjugaison destrois dioptres en tenant compte des nouveaux indices.

b. Déterminez les positions de l'image intermédiaire A1 par rapport à S1 puis à S2.c. Même question pour A2 par rapport à S2 puis à S3. Cette dernière sera donnée en

fonction de x.d. Quelle est l'expression de S3A3 en fonction de x ?e. En considérant le signe de cette expression, l'image est-elle visible pour un

observateur emmétrope placé à 25 cm du verre ?

8 Les lentilles minces8.1 Histoire

Les premières traces d'utilisation d'unelentille proviennent de la Grèce antique.Aristophane y fait notamment référencedans sa pièce Les Nuées écrite en 423 av.J.-C. en évoquant un verre à feu (unelentille convexe utilisée pour produire dufeu en focalisant les rayons solaires).

Le mathématicien arabe Alhazen (965-1038), a écrit le premier traité d'optique qui décritcomment le cristallin forme une image sur la rétine.

Les lentilles n'ont cependant pas été utilisées par le grand public avant la généralisation deslunettes de vue, probablement inventées en Italie dans les années 1280.

Les écrits de Pline l'ancien (23 - 79) montrent également qu'un tel dispositif était connu dansl'empire romain. Ils mentionnent ce qui peut être interprété comme la première utilisationd'une lentille pour corriger la vue en décrivant l'utilisation que fait Neron d'une émeraude deforme convexe lors des spectacles de gladiateurs (probablement pour corriger une myopie).

Sénèque le Jeune (3 av. J.-C. - 65) décrit l'effet grossissant d'un globe en verre rempli d'eau.

8.2 DéfinitionsUne lentille est un milieu transparent homogène, isotrope, dont au moinsl'une des faces n'est pas plane. Elle peut être limitée par deux dioptressphériques ou un dioptre sphérique et un dioptre plan.

L’axe optique ou axe principal est la droite passant par les deux centres des dioptressphériques C1 et C2 (ou perpendiculaire au dioptre plan et passant par le centre du dioptresphérique).

Une lentille mince correspond à une lentilledont l’épaisseur maximum est très petitedevant les rayons de courbure des deuxdioptres S1C1 et S2C2. La distance entre lesdeux sommets e=S1S2 est prise égale à 0 etles sommets S1 et S2 sont assimilés aumême point O (qui porte alors le nom decentre optique de la lentille mince).

Types de lentilles à bords minces

1 - lentille biconvexe (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situéschacun d'un côté du plan de la lentille ).2 - lentille plan-convexe (un des dioptres est sphérique, l'autre est plan)3 - ménisque convergent (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sontsitués du même côté du plan de la lentille, le premier dioptre a un plus petit rayon)

Types de lentilles à bords épais

4 - lentille biconcave (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situéschacun d'un côté du plan de la lentille)5 - lentille plan-concave (un des dioptres est sphérique, l'autre est plan)6 - ménisque divergent (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situésdu même côté du plan de la lentille, le premier dioptre a un plus grand rayon)

Il existe trois sortes de lentilles dites à bordsminces, et trois sortes de lentilles dites àbords épais.

http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch07/co/apprendre_ch07_01.html

Classification des lentilles suivant l'épaisseur de leur bord

8.3 Types de lentilles

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/lentepai.html

C2 C1S1 S2

+

Biconvexe

+ +

C1 C2S1S2

+

Ménisque convergent

C2S1 S2

Plan-convexe

C1S1 S2

Convexe-plan

S1

Les lentilles à bords minces sont convergentes :

Les lentilles à bords minces sont toutes convergentes

C1 C2S1 S2

+

Biconcave

+ +

C1C2S1 S2

+

Ménisque divergent

C2S1 S2

Plan-concave

C1 S1 S2

Concave-plan

Les lentilles à bords épais sont divergentes :

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/lentille_sorte.php

Une lentille à bords minces, donc

convergente, produit un effet d’agrandissement

(à gauche) et une lentille à bords épais, donc

divergente, produit un effet de rapetissement (à

droite).

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/conv_div.php

Si la lentille est convergente,l'image est grossie(grossissement>1), et lorsqu'ondéplace la lentille dans un sens,l'image défile dans l'autre sens.

Si la lentille est divergente,l'image est rétrécie(grossissement<1), et défile dansle même sens que le déplacementde la lentille.

8.4 Approximation de Gauss et schématisation des lentilles minces

Les lentilles minces sont étudiées dans l’approximation de Gauss :

� les points objets sont situés au voisinage de l’axe optique ;

� les rayons considérés sont limités aux rayons paraxiaux .

Dans ces conditions, les lentilles minces sont stigmatiques (tout point objet A admet un pointimage conjugué A’) et aplanétiques (l’image d’un petit objet plan est plane).

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/stigmatisme_lentille.php

Stigmatisme et aplanétisme des lentilles dans les conditions de Gauss

8.5 Formules de conjugaison des lentilles minces et formule du fabricant

Une lentille est limitée par deux dioptres d1 et d2. Soit une lentille, par exemple biconvexedonc convergente, et taillée dans un verre d’indice N ; le milieu d’entrée a un indice n et lemilieu de sortie un indice n’ ; si la lentille est en contact avec l’air, n=n’=1 et on peut alorsnoter N=n.

�L’image de P est P’ par le premier dioptre d1, de sommet O1 ; appliquons une première fois,pour le dioptre d1, la relation de conjugaison du dioptre :

�De la même manière, on peut écrire que P’’ est l’image de P’ par le dioptre d2 de sommetO2:

1 1 1

11 1

avec '

N n N nr O C

rO P O P

−− = =

2 2 2

22 2

' ' avec

'' '

n N n Nr O C

rO P O P

−− = =

�Si la lentille est mince, on peut assimiler O1 et O2, et donc O1P’ et 02P’ :

�La relation précédente devient donc :

�Dans cette formule, si OP’’→∞, P, point objet dont l’image est à l’infini, se confond pardéfinition avec le foyer objet F, donc on déduit :

�De la même manière, si OP→-∞, P’’ est l’image d’un point objet P situé à l’infini, seconfond par définition avec le foyer image F’, donc on déduit :

�Finalement, on a donc démontré la relation de conjugaison :

�En sommant membre à membre les deux relations de conjugaison, on obtient donc :

1 2 1 2 et ' 'O O O O P O P≈ ≈ ≈

1 22 2 1 1

' 1 1 '

'' ' '

n n N n n NN

r rO P O P O P O P

− −− − − = +

1 2

' '

''

n n N n n N

r rOP OP

− −− = +

1 2

'n n N n n N

f r rOF

− −= = − +

1 2

' ' '

' '

n n N n n N n

f r r fOF

− −= = + = −

' '

'' '

n n n n

OP OP OF OF− = = −

Et on a obtenu au passage les expressions suivantes pour les distances focales objet etimage:

Si la lentille est baignée dans l’air (n=n’=1), et que l’on note n l’indice du verre de la lentille, etP’ l’image du point objet P par la lentille, ces formules se simplifient en :

Les distances focales sont donc égales en valeur absolue et de signes opposés si les milieuxextrêmes sont identiques.

Et :

1 2

' '

'

n N n n N n

f r r f

− −= + = −

1 1 1 1

' 'OP OP OF OF− = = −

( ) 1 1 1 2 2 2

1 2 1 2

1 1 1 1 1 11 avec et

'

n nn r S C r S C

f f r r r r

− −== − = + = − − = =

Cette dernière formule, appelée formule desfabricants de lentilles montre comment la focalede la lentille est reliée à ses cambrures et àl’indice de réfraction du verre.

1 2

1 1 1( 1)

'V n

f r r

= = − −

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2

0

0

1 1 1( 1) 0

'

r S C R

r S C R

nf R R

= = >

= = − <

= − + >

La quantité V définie par :

est appelée vergence de la lentille mince ; la vergence est positive pour une lentille à bordsminces (convergente) ; elle vaut donc :

1

'V

f=

1 1 1

2 2 2 2

2

0

1 1( 1) 0

'

r S C

r S C R

nf R

= → +∞

= = − <

= − >

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2

1 2

0

0

1 1 1( 1) 0 si

'

r S C R

r S C R

n R Rf R R

= = − <

= = − <

= − − + > >


Convergence des lentilles à bords minces

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2

0

0

1 1 1( 1) 0

'

r S C R

r S C R

nf R R

= = − <

= = >

= − − − <

1 1 1 1

2 2 2

1

0

1 1( 1) 0

'

r S C R

r S C

nf R

= → − <

= → +∞

= − − <

La vergence est négative pour une lentille à bords épais (divergente) :

Divergence des lentilles à bords épais


8.6 Définition et propriété du centre optique d’une lentille mince

On a déjà dit que le centre optique O d’une lentille mince est confondu avec les sommets S1 etS2 des dioptres. Au voisinage de l’axe optique, la lentille est équivalente à une lame à faceparallèle.

Une application directe des lois de Descartes de laréfraction montre que le rayon émergent et lerayon incident sont parallèles.

De plus, le décalage latéral entre le rayon incidentet le rayon émergent devient négligeable si e estfaible.

Tout rayon passant par le centre optique d’unelentille mince n’est pas dévié.

Par conséquent, on peut en déduirel’importante propriété :

8.7 Définition et propriétés des foyers , des distances focales et des plans focaux

Comme on l’a dit, selon la forme de ses faces d'entrée et de sortie (bords minces ou bordsépais) , une lentille sera convergente ou divergente.

Une lentille convergente transforme un faisceau de rayons parallèles (provenant d’un pointobjet situé à l’infini sur l’axe optique) en un faisceau qui converge vers un point image réelsitué en aval de la lentille.

Une lentille divergente transforme un faisceau de rayons parallèles (provenant d’un pointobjet situé à l’infini sur l’axe optique) en un faisceau divergent qui semble provenir d'unpoint image virtuel situé en amont de la lentille.

8.7.1 Lentille convergente

On appelle foyer image F′ l'image d'un point objet situé à l'infini sur l’axe : c'est donc le pointoù focalisent des rayons qui se propagent parallèlement à l'axe optique.

On appelle foyer objet F le point de l’axe dont l'image est située à l'infini : les rayons issus de cepoint se propagent donc, après traversée de la lentille, parallèlement à l'axe optique.

Pour une lentille à bords minces ,les foyers objet F et image F’ sontréels.

Foyer principal image Foyer principal objet

Remarque : la position des foyerspar rapport à la lentille dépenddu sens de parcours de lalumière :

Si on choisit le sens gauche droit comme sens de parcours de la lumière, les foyers de lalentille convergente sont fixés comme suit :

On appelle distance focale objet f la distance orientée du centre optique O au foyer objet F :

On appelle distance focale image f’ la distance orientée du centre optique O au foyer image F ‘:

Ces distances sont égales en valeur absolue si les milieux incident et émergents sont les mêmes.

0f OF= <

' ' 0f OF= >

Remarque : on a adopté comme convention de signe que toute distance orientée dans lesens amont-aval est positive et que toute distance orientée dans le sens aval-amont estnégative.


Existence du foyer d’une lentille convergente

Tout rayon incident parallèle à l'axe principal d'une lentille divergente émerge en semblantprovenir du foyer principal image F'.

Tout rayon incident semblant passer par le foyer principal objet F d'une lentille divergenteémerge parallèlement à l'axe principal de cette lentille.

8.7.2 Lentille divergente

Pour une lentille à bords épais , les foyers objet F et image F’ sont virtuels.

Foyer principal image Foyer principal objet

Remarque : la position des foyers parrapport à la lentille dépend du sensde parcours de la lumière :

Si on choisit le sens gauche droit comme sens de parcours de la lumière, les foyers de lalentille divergente sont fixés comme suit :

On appelle distance focale objet f la distance orientée du centre optique O au foyer objet F :

On appelle distance focale image f’ la distance orientée du centre optique O au foyer objet F ‘:

Ces distances sont égales en valeur absolue si les milieux incident et émergents sont lesmêmes.

0f OF= >

' ' 0f OF= <

Remarque : on a adopté comme convention de signe que toute distance orientée dans le sensamont-aval est positive et que toute distance orientée dans le sens aval-amont est négative.

http://www.web-sciences.com/optique/optique2.php

8.7.3 Plans focaux

On appelle plan focal le plan passant par un foyer et orthogonal à l'axe optique.

Un point situé dans le plan focal (objet ou image) est appelé foyer secondaire (objet ouimage).

Sur les applets ci-dessous, on constate qu'il existe un unique foyer principal et une infinité defoyers secondaires.


Un faisceau issu d'un foyer secondaire objet Jd'une lentille convergente émerge parallèlementà l'axe secondaire JO.

Un faisceau semblant passer par un foyersecondaire objet J d'une lentille divergente émergeparallèlement à l'axe secondaire JO.

Un faisceau parallèle à un axe secondaire J’Od'une lentille convergente émerge en passantpar le point J', intersection du plan focal imageet de l'axe secondaire.

Un faisceau parallèle à un axe secondaire J'Od'une lentille divergente émerge en semblantprovenir du point J', intersection du plan focalimage et de l'axe secondaire.

8.8 Rayons remarquables et construction géométrique des images

Les foyers et le centre optique caractérisent complètement la lentille ; ces points permettenten effet de construire et de calculer la position de l’image de tout point objet en utilisant desrayons particuliers et les règles suivantes :

� un rayon incident passant par le centre optique de la lentille mincen’est pas dévié ;

� un rayon incident dont le prolongement dusupport passe par le foyer principal objet ressortparallèlement à l’axe optique ;

� un rayon émergent dont le prolongement dusupport passe par le foyer principal imageprovient d’un rayon incident parallèle à l’axeoptique.


8.9 Construction de l’émergent d’un rayon quelconque

Deux méthodes de construction peuvent être envisagées pour tracer le rayon émergentcorrespondant à un incident quelconque :

� la première méthode consiste à remarquer que tout faisceau issu d'un foyer secondaireFs appartenant au plan focal objet émerge en un faisceau de rayons parallèles à l'axesecondaire FsO

� la deuxième méthode utilise le fait qu'un faisceau de lumière parallèle incident sur lalentille converge en un foyer secondaire image F's appartenant au plan focal image; F'sest l'intersection de l'axe secondaire parallèle au faisceau incident avec le plan focalimage.

d'où les constructions suivantes pour un rayon incident quelconque ;

� Méthode 1

On cherche l'intersection du rayon incident avec le plan focal objet Fs ; le rayon émergentsera parallèle à FsO.

� Méthode 2 :

On trace une parallèle au rayon incident passant par le centre optique O qui coupe le planfocal image en F's; le rayon émerge en passant par le foyer secondaire F's.





Marche d'un rayon dans une lentille convergente

Marche d'un rayon dans une lentille divergente

Marche d'un faisceau dans une lentille convergente

Marche d'un faisceau dans une lentille divergente

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/lentille_mince.php

Lentille sphérique mince dans les conditions de Gauss

8.10 Rayons remarquables et images des objets

Expérience : disposons la flammed’une bougie au voisinage de l’axeoptique d’une lentille convergente,assez loin de celle-ci. Déplaçons unécran translucide de l’autre côté de lalentille parallèlement à lui-même, lelong de l’axe optique de la lentille(figure 1.28).

� Les triangles OAB et OA’B’ sont semblables :

� Les triangles F’OP et F’A’B’ sont semblables :

� Mais OP = AB, donc tous ces rapports sont égaux, en particulier :

� Décomposons A’F’ par rapport au point O :

� Notre relation (*) devient :

' ' ' '

OA OB AB

OA OB A B= =

' '

' ' ' ' ' '

OF OP F P

A F A B F B= =

' (*)

' ' '

OA OF

OA A F=

' ' ' 'A F A O OF= +

'

' ' '

OA OF

OA A O OF=

+

O

L’application de ces règles permet nonseulement de construire l’image d’unobjet mais aussi de retrouver les formulesde conjugaison et du grandissement.


� Développons :

On effectue les produits en croix :

On distribue :

On retourne une distance :

On change un terme de membre :

On factorise :

On résout :

On inverse :

On simplifie :

( )

( )

'

' ' '

'. ' . ' '

'. ' . ' . '

'. ' . ' . '

. ' '. ' . '

. ' ' '

. ''

'

1 '

' . '

1 1 1

' '

OA OF

OA A O OF

OA OF OA A O OF

OA OF OA A O OAOF

OA OF OA OA OAOF

OAOF OA OF OA OA

OAOF OA OF OA

OAOFOA

OF OA

OF OA

OA OAOF

OA OA OF

=+

= +

= +

= − +

= +

= +

=+

+=

= +

1 1 1

' 'OA OA OF− =

� On aboutit à la relation de conjugaison :

� Le grandissement linéaire G de la lentille est par définition le rapport :

� On peut écrire grâce aux similitudes des triangles OAB et OA’B’ :

' 'A BG

AB=

' ' 'OA A BG

OA AB= =

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/lentille.html

� Les triangles OAB et OA’B’ sont semblables :

� Les triangles A’F’B’ et OF’P sont semblables :

� Mais OP = AB, donc tous ces rapports sont égaux, en particulier :

� Décomposons A’F’ par rapport au point O :

� Notre relation (*) devient :

' ' ' '

OA OB AB

OA OB A B= =

' '

' ' ' ' ' '

OF OP F P

A F A B F B= =

' (*)

' ' '

OA OF

OA A F=

' ' ' 'A F A O OF= +

'

' ' '

OA OF

OA A O OF=

+

P

De la même manière, pour une lentille divergente :


� On aboutit à la même relation de conjugaison que pour les lentilles convergentes :

� Pour le grandissement G, on obtient aussi :

� Développons :

On effectue les produits en croix :

On distribue :

On retourne une distance :

En divise par le produit des distances

On trouve :

( )

'

' ' '

'. ' . ' '

'. ' . ' . '

'. ' . ' . '

. '. '

OA OF

OA A O OF

OA OF OA A O OF

OA OF OA A O OAOF

OA OF OAOA OAOF

OA OA OF

=+

= +

= +

= − +

1 1 1

' 'OA OA OF− =

1 1 1

' 'OA OF OA= − +

'OAG

OA=

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/lentille.html

8.11 Formule de conjugaison de Newton pour les lentilles (convergentes ou divergentes)

Au départ de la relation de conjugaison :

en multipliant les deux membres par la distance focale image

on obtient :

Tirons de cette équation une expression de la distance focale objet et une expression de ladistance focale image :

Multiplions ces relations membre à membre :

Finalement, on obtient donc :

C’est la relation de conjugaison de Newton.

1 1 1

' 'OA OA OF− =

'OF OF= −'

1'

OF OF

OA OA+ =

( )'. 1 . ' ' . ' '

' ' '

OF OA OAOF OA OA OF F A

OA OA OA

= − = − =

Considérons un point A quelconque de l’axe optique et son image A’.

( )' '' '. 1 . .

OF OA OAOF OA OA OF FA

OA OA OA

= − = − =

. ' ' '.OF OF F A FA=

( ) ( )2 2

. ' ' '. 'FA F A OF OF OF OF= = − = −

8.12 Construction de l’image d’un objet par une lentille convergente

http://streams.univ-lyon1.fr/videoStream/streams/lyon1/modules/207d4/web/52a4e/lentilles/Optique.html

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/images.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/construction_lentille.php

Construction de l’image d’un objet par une lentille

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/lentispher.html

Espaces objet et image pour une lentille convergente

http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=HGVUVFcyc6o

8.13 Construction de l’image d’un objet par une lentille divergente

Espaces objet et image pour une lentille divergente

8.14 Application à la projection sur un écran

Si l'on veut projeter sur un écran lointain une image très agrandie d'un objet (diapositive oupellicule par exemple), il faut utiliser une lentille convergente et positionner l'objet àproximité du foyer objet, formant ainsi une image proche de l'infini, à une distance D.

On aura donc approximativement :

Exemple : pour projeter sur un écran de 1,5 m une diapositive de 36 mm, il faut donc ungrandissement de :

Si l‘écran se trouve à D = 4 m, on doit donc utiliser une lentille de focale :

1,542

0,036γ = =

4' 0,096 m 96 mm

42

Df

γ= = = =

8.15 Exercices sur les lentilles minces

1. Un photographe désire photographier un sujet de 2m de haut situé à une distance de300m. Il veut en obtenir sur son film photographique une image de 1cm. Cette image estinversée. En considérant l’objectif comme une lentille mince, déterminer g le grandissementtransverse, la position p’ de l’image et la distance focale f’ de l’objectif. Quelle est la naturede l’image ?

2. a)Soit une lentille de distance focale f ’ = +3 cm. On considère un objet perpendiculaire àl’axe optique de taille 2 cm respectivement à 4 cm et 2 cm en avant du centre optique.Déterminer graphiquement l’image de l’objet dans chaque cas (échelle 1/1). Même questionavec un objet virtuel situé à 10 cm du centre optique.b) Soit une lentille de distance focale f ’ = -3 cm. Trouver l’image d’un objet réel de taille 2 cmsitué à 5 cm du centre optique. Même question avec un objet virtuel situé à 1,5 cm puis 5 cmdu centre optique.c) Retrouver les résultats précédents par le calcul algébrique.

3. Une lentille mince dont l’un des faces est plane donne d’un objet réel situé à 1m de sonsommet une image droite deux fois plus petite que l’objet. L’indice de la lentille vaut n=3/2.A) Calculer la vergence de la lentille.B) Quelle est la nature de la lentille ? Calculer le rayon de courbure de la seconde face.

4. Un timbre poste est observé à travers une lentille convergente de distance focale +8 cm,faisant office de loupe. Le timbre de dimensions (3 cm x 2 cm) est situé à 6 cm de la lentillesupposée mince.

a)Déterminer les caractéristiques de l’image (position, nature, grandeur et sens parrapport à l’objet).b)Tracer la marche du faisceau lumineux issu d’un point de l’objet et pénétrant dans lalentille de diamètre 4 cm (échelle ½).

5. Un objet est situé à une distance D d’un écran. Où faut-il placer une lentille de distancefocale f’ pour que l’image de l’objet se forme sur l’écran ? Quelle est alors la nature de lalentille et quelle condition sa distance focale doit-elle vérifier ? Quel est le grandissement pourchaque position possible de la lentille ? (Rép. : distance lentille-objet = 0.5(D±(D2-4Df’)1/2);lentille convergente et telle que D>4f’ ; G = (1-D/2f’) ±(D2/4f’2-D/f’)1/2)

6. Un objet lumineux est situé sur l’axe d’une lentille convergente à 16 cm de celle-ci. Si onéloigne l’objet de 2 cm, l’image se déplace de 12 cm. Quelle est la focale de lentille ? (Rép. : 12cm pour une image réelle; 28,8 cm pour une image virtuelle).

7. Calculer la vergence d’un ménisque divergent, d’indice 1,5 et dont les rayons de courburesdes faces valent 20 et 30 cm. (Rép. : -0,83 dioptries).

8. Construire l’image A’B’ d’un objet AB donnée par une lentille convergente de distancefocale OF’ = 3cm. A est sur l’axe optique avec AB = 1cm et OA = 6cm.� Préciser les caractéristiques et la position de cette image par exploitation graphique.� Retrouver OA’ et A’B’ par le calcul.

9. Une lentille mince de distance focale OF’ = 3cm donne d’un objet AB de hauteur AB =1cm, dont A est placé sur l’axe optique à une distance telle que OA = 2cm, une image A’B’.Trouver OA’ et A’B’ par le calcul. Quelles sont les caractéristiques de l’image ?

10. Une lentille convergente de distance focale OF’ = 50mm donne d’une tour, de hauteur AB= 50m, située à une distance de 250 m, une image A’B’ nette sur un écran.� Quelle est la distance lentille-écran ? Conclure.� Quelle est la taille de l’image de la tour sur l’écran ?

11. Une loupe est assimilable à une lentille mince convergente de vergence égale à 6δ. Pour voir des caractères quatre fois plus grands que ceux du texte, à quelle distance de la feuille l’observateur doit-il placer la loupe.

� a. 4,0 cm ; � b. 12,5 cm ; � c. 6,0 cm ; � d. 24,0 cm ?

� Considérons deux lentilles minces, de même axe, dont les centres optiques S1 et S2 sontséparés par un écartement e. Appelons interstice ∆ la distance orientée joignant le foyerimage de la première lentille au foyer objet de la seconde lentille :

1 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2

' '

' ' ' '

F F F S S S S F

S S S F S F e f f

∆ = = + +

= − − = − −

� Le foyer image F’ de l’ensemble est l’image de F’1 formée par la seconde lentille, donc onpeut écrire, d’après la relation de Newton appliquée à la lentille 2 :

� De la même manière, le foyer objet F de l’ensemble a pour image par la première lentillele foyer objet F2 de la seconde lentille, donc on peut écrire, grâce à la relation de Newtonappliquée à la première lentille :

2

2 1 2 2' . ' ' 'F F F F f= −

2

1 1 2 1. ' 'F F F F f= −

9 Association de deux lentilles minces

� On tire donc de ces relations :

et :

2 2

2 22

2 1

2 2

1 11

1 2

' '' ' (1)

'

' ' (2)

'

f fF F

F F

f fF F

F F

= − =∆

= − − = −∆

� D’autre part, F’2 est l’image par la deuxième lentille du point à l’infini sur l’axe, qui estlui-même l’image de F1 par la première lentille.

F1 a donc F’2 pour image par l’ensemble des lentilles (cf. schéma), et on peut appliquerune troisième fois la relation de Newton, à l’ensemble du système cette fois :

� On tire de ces trois relations l’égalité :

� Des deux solutions possibles :

seule celle correspondant au signe – est valable car il est clair que quand les lentillessont collées (e=0), les convergences des deux lentilles s’ajoutent simplement. De plus, ilfaut que f’→f’1 si f’2→∞ ou que f’→f’2 si f’1→∞.

� La relation finale est donc :

221. ' ' ' (3)FF F F f= −

2 22 1 2

2

' ''

f ff =

∆

1 2 1 2

1 2

' ' ' ''

' '

f f f ff

e f f= ± = ±

∆ − −

1 2 1 2 1 2

1 1 1

' ' ' ' ' ' '

e

f f f f f f f

∆= − = + −

Doublet de lentilles minces

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/doublet.php

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/doublet2.html

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/triplet.php

Triplet de lentilles minces

10 Lentilles sphériques épaisses

Une lentille épaisse est formée par l’association de deux dioptres sphériques ou un dioptresphérique et un dioptre plan. La distance e=S1S2 des sommets des deux dioptres sphériquesn’est pas négligeable par rapport aux rayons de courbures.

Le stigmatisme approché est réalisé dans les conditions de gauss, supposées satisfaites dansla suite.

10.1 Centre optique d’une lentille à milieux extrêmes identiques

Lorsque les milieux extrêmes sont identiques, la connaissance du centre optique facilitebeaucoup l’étude du système optique.

10.1.1 Définition

Le centre optique d’une lentille épaisse est un point de son axe principal tel que tout rayonpassant par ce point émerge parallèlement à sa direction incidente, plus précisément :

Le centre optique O d'une lentille est défini comme le point de l'axe « appartenant » au milieud'indice n tel qu'à tout rayon intérieur dont le support passe par O correspondent un incidentet un émergent parallèles entre eux.

Remarque :le point O « appartient » toujours au milieu d'indice n mais ceci n'implique pas qu'il soitobligatoirement situé entre S1 et S2.


Déviation d’un rayon lumineux passant par le centre optique d’une lentille convergente ou divergente

Pour déterminer O, on considère une normale arbitraire C1I1 au dioptre d'entrée et lanormale C2I2, au dioptre de sortie, qui lui est parallèle.

Suivant la loi de Descartes l'incident SI1 et l'émergent I2R qui correspondent au rayon intérieurI1I2 sont parallèles entre eux. Le support de I1I2 coupe l'axe qui joint les centres C1 et C2 desdeux faces de la lentille, c'est-à-dire l'axe principal, au point O conformément à la définitiondu centre optique.

Les triangles OC1I1 et OC2I2 sont semblables puisque tous leurs angles sont égaux. On endéduit :

d'où :

ou, de même :

ce qui fixe la position de O par rapport aux sommets des dioptres qui limitent la lentille.

Pour que le rayon incident (A1I1), passant par un point quelconque I1 de la face d’entrée, autreque le sommet S1, émerge selon une direction parallèle (I2A2), il faut et il suffit que les planstangents en I1 et I2 aux faces respectives de la lentille soient parallèles. Les normales à cesplans (C1I1) et (C2I2) sont alors parallèles. Le rayon intermédiaire (I1I2), intérieur à la lentilleépaisse, coupe l’axe en un point O. Pour ce rayon lumineux, la lentille joue le rôle d’une lameà faces parallèles.

Si cette condition est réalisée, le point d’intersection O de l’axe et du segment de droite (I1I2)est le centre optique.

Compte tenu du parallélisme (C1I1) et (C2I2), on peut écrire :

Le point O partage donc le segment (C1C2) dans un rapport algébrique déterminé. Le point Oainsi obtenu (intersection de (I1I2) avec l’axe) est indépendant du point I1 particulier choisi, ilest donc unique et fixe.

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

OC I C S C

OC I C S C= =

10.1.2 Existence et unicité du centre optique

10.1.3 Position du centre optique par rapport aux sommets

En transformant le rapport précédent, fixant la position du centre optique O, on obtient :

Soit :

D’après cette relation, le point O divise le segment (S1S2) dans le rapport algébrique des rayonsde courbure de la face d’entrée et de la face de sortie :

Le centre optique est rejeté à l’infini si les rayons de courbure sont égaux : S1C1=S2C2.

Les schémas suivants précisent la position du centre optique pour les six types de lentilles :

� si la lentille est symétrique, le centre optique O est le centre de symétrie ;� si la lentille n’est pas symétrique, le centre optique O est plus rapproché de la face la pluscourbe (de plus petit rayon de courbure) ;� si une des deux faces est plane, O est au sommet de la face courbe ;� dans le cas des ménisques, le centre optique est extérieur au segment (S1S2).

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 1 1 1 1 1 1

OC S C OC S C OC S C

OC S C OC S C OC S C

− += = =

− +

1 1 1 1

2 2 2 2

OS C S C O

OS C S C O= =

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

(*)S O S O S S

S C S C S C S C= =

−

10.2 Éléments cardinaux d’une lentille épaisse10.2.1 Points nodaux et points principaux

Si un rayon incident (A1I1) donne un rayon (I1I2) intérieur à la lentille passant par le centreoptique, le rayon émergent (I2A2) lui est parallèle (cf. figures précédentes). Les intersectionsrespectives avec l’axe sont donc les points nodaux objet N et image N’ : N admet O commeimage par le premier dioptre et N’ est l’image de O par le second dioptre (et O appartientoptiquement au verre de la lentille).

On a donc, en utilisant la relation de conjugaison du dioptre sphérique :

D’où, en utilisant (*) :

on obtient :

On obtient pareillement :

Comme les milieux extrêmes sont identiques, les points principaux objet et image sontrespectivement confondus avec les points nodaux N et N’.

La distance entre les points nodaux ou les points principaux (interstice) est :

En conclusion, le centre optique de la lentille O a pour conjugués, à travers les deux dioptres,les points nodaux de la lentille, confondus avec les points principaux.

1 1 1 1

1 1n n

S N S O S C

−− =

( )1 1 2 2

1 1 2 1 1 1 1

1 1

.

n S C S C n

S N S S S C S C

− −= −

( ) ( )1 2 1 1

1

1 1 2 2 1 2

.

1

S S S CS N

n S C S C S S n=

− − −

( ) ( )1 2 2 2

2

1 1 2 2 1 2

.'

1

S S S CS N

n S C S C S S n=

− − −

( ) ( )1 1 2 2

1 2

1 1 2 2 1 2

' 1 '1

S C S CNN S S HH

n S C S C S S n

− = + = − − −

10.2.2 Foyers, vergence et distances focales

Les foyers principaux images du dioptre {S1}, du dioptre {S2} et de la lentille sont notés F’1, F’2

et F’.

Par définition, le foyer image F’ est le point dont le conjugué objet est à l’infini ; ce point objetà l’infini a pour conjugué dans le premier dioptre le foyer image F’1 de ce dioptre. Latransformation de conjugaison transcrite en appliquant la relation de Newton conduit à :

On en déduit :

où ∆ est l’intervalle optique :

avec (cf. étude du dioptre sphérique):

Par définition, le foyer objet F est le point dont le conjugué image est à l’infini. Latransformation optique est :

d’où :

1 2{ } { }

1 2 1 2 2 2(1, ) ( ,1)' ' soit ' . ' ' . '

S S

n nA F F F F F F f f∞ → → =

2 2 2 22

2 1

. ' . '' '

'

f f f fF F

F F= =

−∆

1 2 1 1 1 2 2 2 2 1' ' 'F F F S S S S F f e f∆ = = + + = + −

1 1 2 21 1 2 2

. .' et

1 1

n S C n S CS F S F

n n= =

− −

1 2{ } { }

2 1 1 2 1 1(1, ) ( ,1)' soit . ' . '

S S

n nF F A F F F F f f∞→ → =

1 1 1 11

1 2

. ' . '

'

f f f fF F

F F= =

∆

Les vergences des deux dioptres étant :

L’application de la relation de Gullstrand à l’association de deux dioptres (avec H’1H2=S1S2=e)conduit à :

En tenant compte des relations précédentes, on obtient la vergence de la lentille dans l’air,inverse de la distance focale image :

Le premier terme est indépendant de l’épaisseur, le second (appelé terme d’épaisseur) estproportionnel à l’épaisseur e.

Les indices des milieux extrêmes étant égaux à 1, on a :

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 et

' '

n n n

S F S C S F S C

− −= = −

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1.

' ' ' ' ' '

n e n

nH F S F S F S F S F= + −

( )( )

2

1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

11 1 11

' '

n S Sn

nH F S C S C S C S C

−= − − +

−

' 'H F HF= −

11.1 Définitions et conditions de Gauss

Un système centré est un ensemble de milieux transparents homogènes et isotropes séparéspar des dioptres présentant un axe de révolution commun : l'axe principal ou axe optique.

On peut distinguer deux sortes de systèmes centrés : les systèmes dioptriques que la lumièretraverse de bout en bout par réfraction successive et les systèmes catadioptriques quicomportent un ou plusieurs dioptres réfléchissant et des dioptres réfractant et dans lequel lalumière sort par la face d'entrée.

Sauf cas très particulier un tel système ne permet pas de réaliser le stigmatisme rigoureux : oncherche donc le stigmatisme approché en se plaçant dans les conditions de l’approximation deGauss. La position des images est alors celle de l'imagerie paraxiale, même si les anglesd'incidence sur les surfaces optiques sont bien au-delà de l'approximation paraxiale.

11 Théorie des systèmes centrés

Si ces conditions sont satisfaites, à un point objet correspond un point image (stigmatisme) ;de plus, un élément d’un plan de front admet une autre portion d’un autre plan de frontcomme image à travers le système (aplanétisme) : les deux plans sont des plans conjugués.

Le premier dioptre donne du petit objet (AB) perpendiculaire à l’axe l’image paraxiale (A1B1)telle que A1B1=γ1AB. Le deuxième dioptre donne de (A1B1) l’image (A2B2) perpendiculaire àl’axe en A2 telle que et ainsi de suite pour le jème dioptre :

Le dernier dioptre fournit l’image définitive (A’B’) perpendiculaire à l’axe en A’. Compte tenudes propriétés des dioptres, ces images sont semblables deux à deux.

1 1

j j

j

j j

A B

A Bγ

− −

=

11.2 Grandissements et relation de Lagrange-Helmholtz

L’image d’un petit objet plan perpendiculaire à l’axe est plane, perpendiculaire à l’axe, etsemblable à l’objet, le rapport de similitude γ étant tel que :

Ce rapport γ est le grandissement linéaire transversal du système ; il est donc égal auproduit des grandissements transversaux successifs des dioptres.

( )1 2 3' ' . . ...m

A B AB ABγ γ γ γ γ= =

Les surfaces dioptriques du système séparent des milieux successifs dont les indices sont n,n1, n2, …, n’. Le support d’un rayon incident passant par le pied A de l’objet (AB) fait avec l’axeoptique un angle orienté u. Les rayons réfractés successifs présentent sur l’axe optique lesinclinaisons u1, u2, … et le rayon émergent passant par A’ (image de A) est incliné sur l’axe del’angle orienté u’.

La relation de Lagrange-Helmholtz est vérifiée pour tout couple de points conjugués sur l’axe,dans l’approximation de Gauss (les angles ui sont petits). Elle peut être appliquée de procheen proche ; la quantité n.AB.u est invariante à la traversée de chaque dioptre. En appliquantce résultat pour tout le système, on obtient :

Cette relation conduit, comme pour un dioptre unique à :

La symétrie de cette expression traduit la réciprocité des rôles joués par l’objet et l’image etmontre que le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens de parcours (principe deretour inverse de la lumière).

1 1 1 1 2 2 2 2. . . . . . ... '. ' '. 'n AB u n A B u n A B u n A B u= = = =

. . '. ' '. 'n AB u n A B u=

Avec d’autres notations, plus simples, pour chaque dioptre nous avons :

Par conséquent, pour tout système optique S, pour tout objet AB de dimension y ayant pourimage dans S A'B' de dimension y', et un rayon lumineux partant de A faisant l'angle α avecl'axe, arrivant en A' sous l'angle α’, nous avons :

Le rapport de convergence ou grandissement angulaire est le rapport des anglesd’inclinaison des rayons sur l’axe :

, compte tenu de la relation précédente :

Le produit des grandissements transversal et angulaire est constant et égal au rapport del’indice du milieu d’incidence à celui du milieu d’émergence.

31 2

1 2 1

' '. . ...

p

uu u u u

u u u u uαγ

−

= =

' . donc .

''. ' '

u n AB n

u nn A Bα αγ γ γ= = =

Un système centré est caractérisé en pratique par ses éléments cardinaux : les foyers, les planset les points principaux, les plans et les points nodaux.

Ce sont des points, des droites et des plans possédant des propriétés particulières, et définisseulement dans le domaine de l’optique paraxiale.

La connaissance de la position de ces éléments suffit à la détermination de la position et de lagrandeur des images en partant d'objets donnés.

Notamment quatre éléments cardinaux : F et F' (respectivement foyer objet et foyer image) etH et H' (respectivement points principaux objet et image), permettant de définir les distancesfocales et de construire les images.

11.3 éléments cardinaux des systèmes dioptriques

On appelle foyer tout point conjugué d’un point à l’infini. Si le conjugué est à l’infini dans ladirection de l’axe, le foyer est principal, sinon, il est secondaire.

Le lieu géométrique des points dont les conjugués paraxiaux sont rejetés à l’infini est un planfocal.

11.4 Foyers et plans focaux

L'image d'un point à l'infini sur l'axe est le foyer principal image F´ (tout rayon conjugué d'unrayon parallèle à l'axe passe par F´).

De même, le foyer principal objet F a pour image le point à l'infini sur l'axe (tout rayon incidentpassant par F émerge parallèlement à l'axe).

Le plan focal objet (PFO) est le lieu géométrique des foyers objets secondaires et le plan focalimage (PFI) est le lieu géométrique des foyers images secondaires.

La correspondance entre un point objet et son image étant unique dans le système centré, lefoyer conjugué à un point à l’infini est unique quand il existe.

De par leurs définitions, les points foyers objet et image ne sont pas des points conjugués l’unde l’autre.

Un troisième couple de points conjugués de l’axe est défini en imposant une valeur augrandissement (transversal ou angulaire).

En effet, à chaque valeur du grandissement transversal, il correspond un seul couple de plansde front conjugués.

Il est donc possible de choisir une valeur particulière de γ et de déterminer le couple de plansparticuliers associés à cette valeur. On choisit généralement le couple de plans pour lequel legrandissement transversal vaut γ = +1 : ce sont les plans principaux, tels que A’B’=AB.

11.5 Points et plans principaux

On appelle plan principal objet et plan principal image deux plans de front conjugués pour lesquels le grandissement transversal γ est égal à +1.

Leurs intersections avec l’axe principal sont respectivement le point principal objet H et le point principal image H ’.

11.5.1 Existence des plans principaux

Si un rayon incident est parallèle à l’axe optique, le support du rayon émergent correspondantrencontre celui de l’incident en I’. Lorsque le rayon incident s’éloigne de l’axe en lui restantparallèle, le point I’ décrit une surface [Σ’] ; par suite de la symétrie de révolution du systèmeet du faisceau incident, [Σ’] est une surface de révolution.

Pour rester dans les conditions de Gauss, le faisceau incident doit être suffisammentdiaphragmé ; les supports de tous les rayons émergents passent approximativement par lefoyer principal image F’ et la portion de surface [Σ’] peut être confondue avec un élément deplan de front [P’].

De même, des rayons sortants parallèles à l’axe du système optique ont des supports quirencontrent des rayons incidents conjugués en des points appartenant à une surface derévolution [Σ] réductible, dans l’approximation de Gauss à un élément de plan de front [P].

La figure représente la marche de trois rayons (R1), (R2) et (R3). Supposons que l’on connaissel’émergent d’un rayon parallèle à l’axe, comme (R1) et les incidents de rayons émergentsparallèles à l’axe.

Le rayon (R1) de support parallèle à l’axe est conjugué à un rayon émergent, supposé connu,dont le support passe par le foyer principal image F’. Les supports des deux rayons incident etémergent se coupent en un point I’.

Les rayons incidents (R2) et (R3) dont les supports passent par le foyer principal objet F donnentdes rayons émergents parallèles à l’axe optique, supposés connus aussi. Les supports des deuxrayons incidents et émergent se coupent en un point J pour (R2) ou I pour (R3).

Les supports des deux rayons incidents (R1) et (R3) se coupent au point I ; les supports desrayons émergents correspondants se coupent en un point I’.

Ces deux points sont conjugués puisque deux rayons incidents dont les supports passant par Idonnent des rayons émergents dont les supports passent par I’.

Par conséquent :� I’ est le point image du point objet I dans le système ;� les plans de front [P] et [P’] passant respectivement par I et par I’, perpendiculaires à l’axe enH et en H’, sont deux plans conjugués tels que HI=H’I’, donc le grandissement transversal vautγ=+1. Les plans [P] et [P’] forment donc un couple de plans principaux, et H et H’ sont lespoints principaux (Hauptpunkte selon Gauss).

11.5.2 Unicité des plans principaux

Ce couple de plans ou de points est unique. En effet, pour un autre couple de plans de frontqui répondraient à la définition des plans principaux, les points Q et Q’, intersection avec l’axeoptique doivent être conjugués, le grandissement pour ces plans doit être de γ=+1.

Le support du rayon (R1), parallèle à l’axe couperait en J et en J’ respectivement les plans [Q]et [Q’].

Par hypothèse, J’ serait l’image de J, donc J’ devrait appartenir au rayon émergentcorrespondant à (R1). Mais à un rayon incident ne peut correspondre qu’un seul rayonémergent ; par conséquent, J’ coïncide avec I’. Il en résulte que [Q’] coïncide avec [P’]. À unplan image ne peut correspondre qu’un plan objet, donc [Q] coïncide avec [P].

En conclusion, un système dioptrique à foyers possède un couple et un seul, de plansprincipaux [P] et [P’], un unique couple de points principaux H et H’ tels que γHH’=+1.

11.5.3 Propriété importante des plans principaux

� Le plan principal image [P’] est le lieu géométrique des points d’intersection dessupports des rayons incidents parallèles à l’axe avec les supports des rayons émergentscorrespondant qui passent par le foyer image F’.

� Le plan principal objet [P] est le lieu géométrique des points d’intersection des supportsdes rayons émergents parallèles à l’axe avec les supports des rayons incidentscorrespondants qui passent par le foyer objet F.

Il résulte de ce qui précède l’importante propriété suivante, qui permet de déterminerfacilement la position des plans et points principaux objet et image :

Points et plans principaux d’un objectif photographique

11.5.4 Résumé : propriétés des points principaux H et H’ :

�Les points principaux et les plans principaux sont conjugués.

� Tout rayon objet issu du foyer objet coupant le plan principal objet à une certaine hauteurressort du plan principal image parallèlement à l’axe optique et à la même distance de l’axeoptique.

� Tout rayon image passant par le foyer image coupant le plan principal image a une certainehauteur provient d’un rayon parallèle à l’axe optique coupant le plan principal objet à la mêmedistance de l’axe optique.

11.5.5 Points et plans antiprincipaux

Les plans antiprincipaux sont des plans de front conjugués tels que le grandissementtransversal est de γ=-1. Leurs intersections avec l’axe sont les points antiprincipaux, notés π etπ’.

Compte tenu de cette définition, l’expression du grandissement transversal conduit à :

Les points antiprincipaux objet et image sont respectivement symétriques des pointsprincipaux par rapport aux foyers.

' '1 donc et ' ' ' '

' '

FH F HF FH F F H

F Fγ π π

π π= = = − = − = −

On appelle distance focale image du système centré la distance entre le plan principal imageet le foyer image, c’est-à-dire :

On appelle distance focale objet du système centré la distance entre le plan principal objet etle foyer objet , c’est-à-dire :

' ' 'f H F=

f HF=

11.6 Distances focales

11.6.1 Rapport des distances focales

À l’objet (HI) du plan principal objet correspond l’image (H’I’) telle que H’I’=HI. Au rayonincident parallèle à l’axe et dont le support passe par I, il correspond le rayon émergent dontle support est (I’F’). Le rayon incident précédent rencontre le plan focal objet au foyersecondaire objet Φ dont l’image est à l’infini dans la direction de (I’F’) comme le décrit lafigure ci-dessous. Un rayon émergent parallèle à (I’F’) et dont le support passe par H’correspond au rayon incident de support (ΦH).

La relation de Lagrange-Helmholtz appliquée à (HI) et à (H’I’) donne :

Les angles u et u’ étant petits, u ≈ tan u et u’ ≈ tan u’ et on obtient :

Finalement :

Le rapport des distances focales d’un système centré est égal au rapport changé de signe desindices des milieux extrêmes : les distances focales sont donc toujours de signe opposé.

Toutes les dispositions des quatre points importants (H, H’, F et F’) dits points cardinauxpeuvent être rencontrées, mais dans tous les cas, la relation précédente doit être satisfaite.Notons que si les milieux extrêmes sont identiques, les distances focales sont égales en valeurabsolue mais de signe opposé : H’F’=-HF si n = n’.

. . '. ' '. ' avec ' ' donc . '. 'n HI u n H I u HI H I n u n u= = =

' ' ' ' ' ' ' et ' donc

'' '

F H I n u F H H Fu u

n uHF F H HF HF

Φ≈ ≈ = = = −

' ' ' 'H F f n

f nHF= = −

11.6.2 Vergence d’un système centré : convergence et divergence

Le sens positif choisi sur l’axe optique étant le sens de propagation de la lumière, la vergencedu système centré est la quantité algébrique :

Pour un système centré à foyers, deux possibilités se présentent :

� le système est convergent si la vergence est positive : V > 0 donc f’ > 0 ;� le système est divergent si la vergence est négative : V < 0 donc f’ < 0.

'

' '

n nV

H F HF= = −

11.7 Constructions géométriques

Un système centré est bien défini lorsque les points principaux conjugués H et H’ et les foyers Fet F’ sont connus. Leur connaissance permet de construire la marche de rayons lumineux et lesimages.11.7.1 Construction géométrique de la marche d’un rayon lumineux

La méthode pour construire la marche d’un rayon lumineux est la même que le systèmecentré soit convergent (figure 6.12) ou divergent (figure 6.13). On peut utiliser un foyersecondaire objet ou un foyer secondaire image.

Le support du rayon incident (RA) provenant d’un point A de l’axe optique, incliné d’un angle usur cet axe, rencontre le plan principal objet au point I. Le support du rayon émergent passepar le point I’ conjugué de I et appartenant au plan principal image : HI = H’I’. Il faut trouverl’image d’un second point du rayon (RA) pour tracer l’émergent. Pour cela, on peut utiliserl’une des deux possibilités suivantes.

Deuxième possibilité : utiliser un rayon parallèle à l’axe

Le rayon donné (RA) coupe le plan focal objet en un point foyer objet secondaire Φ. Soit (R2) unrayon incident parallèle à l’axe passant par ce foyer objet secondaire. Le support de ce rayonrencontre le plan principal objet en J et a pour image un rayon passant par l’image J’ de Jsituée dans PPI à la même hauteur que J. Le rayon conjugué de (R2) passe en plus par le foyerprincipal image F’ et on peut donc le tracer. Les deux rayons émergents, conjugués de (RA) etde (R2) doivent être parallèles puisque ces rayons passent par un foyer secondaire Φ dontl’image est à l’infini, ce qui permet de tracer le conjugué de (RA).

Un seul de ces deux tracés suffit pour déterminer l’image A’ d’un point objet A de l’axe.

Première possibilité : utiliser un rayon incident passant par F.

On trace le rayon incident (R1) passant par le foyer principal objet F et parallèle au rayondonné (RA). Le support de ce rayon coupe le plan principal objet en K ; le rayon émergentcorrespondant est parallèle à l’axe et passe par K’, image de K dans PPI et donc situé à lamême hauteur que K, et rencontre le plan focal image en un point foyer image secondaire Φ’.Tous les rayions parallèles à R1 (et donc RA) ont un conjugué qui passe par Φ’. L’émergentcherché, conjugué du rayon incident (RA) passe donc par Φ’ et on peut terminer laconstruction.

11.7.2 Construction de l’image d’un petit objet plan

Considérons un système optique, ses foyers F et F', ses points principaux H et H', ses plansprincipaux P et P', un objet AB de dimension y. Pour construire l'image B' de B faisons partirde B deux rayons lumineux.

Rayon 1 (Rouge) : Parallèle à l'axe, coupe P en I. Le rayon image passe par I' (image de I) et F'(Incident parallèle à l'axe), nous avons :

Rayon 2 (Bleu) : Passe par F, coupe P en J. Le rayon image passe par J' (image de J) et sortparallèle à l'axe (Issu de F), nous avons :

Ces rayons se recoupent en B', image de B. Le stigmatisme paraxial entraîne que tout autrerayon issu de B traversant le système optique passe par B'.

B' est parfaitement défini par la position de l'objet B et la position des 4 points (H, H', F, F'). Lesystème optique est parfaitement défini par les points cardinaux (H, H', F, F'). Le point A',image de A, est sur la perpendiculaire abaissée de B' sur l'axe.

11.8 Relations de conjugaison et de grandissement des systèmes centrés

11.8.1 Origine double aux foyers objet F et image F’

Le support d’un rayon incidentparallèle à l’axe optique etpassant par B (sommet del’objet) rencontre les plansprincipaux objet et imagerespectivement en I et I’.L’émergent correspondant passepar le foyer principal image F’.

' ' ' ' et

' ' ' '

HJ FH A B F A

AB FA H I F Hγ γ= = = =

Le support d’un second rayon incident passant par B et par le foyer principal objet Frencontre les plans principaux objet et image respectivement en J et J’. Il émerge du systèmeparallèlement à l’axe et rencontre le premier rayon en B’.

Avec les notations de la figure, l’homothétie des triangles (FAB) et (FHJ) d’une part, et celledes triangles (F’H’I’) et (F’A’B’) d’autre part donnent :

La relation de conjugaison de Newton se déduit de l’expression du grandissementprécédente :

( ) ( ). ' ' . ' ' . ' . ' 0FA F A FH F H f f f f= = − − = <

Et on obtient donc pour le grandissement transversal les expressions :

' ' ' '

' '

A B F A FH

AB F H FAγ = = =

11.8.2 Origine double aux points principaux

Avec les notations de la figure précédente, l’homothétie des triangles (BIJ) et (FHJ) d’unepart, celle des triangles (F’H’I’) et (B’I’J’) d’autre part, conduisent à :

L’addition membre à membre de ces deux relations conduit à :

En multipliant les deux membres de cette équation par la vergence, on obtient :

La formule de conjugaison avec origine double aux plans principaux du système centré dansl’approximation de Gauss est donc :

ou encore :

Comme dans les instruments les milieux extrêmes sont souvent identiques n=n’ (le systèmeétant baigné dans l’air), la formule de conjugaison se simplifie en :

Ces formules sont analogues à celles du dioptre mais le sommet S s’est dédoublé en H et H’.

' ' ' ' ' ' soit et soit

' ' ' ' ' '

HF JH HF JH H F I H H F HI

IB JI HA JI J B I J H A JI= = = =

' '1

' '

HF H F JH HI JI

HA H A JI JI

++ = = =

' ' ' '. .

' ' ' ' ' '

HF n H F n n n

HA HF H A H F H F HF

+ − = − =

' '

' ' ' '

n n n n

HA H A H F HF− = − =

1 1 1 1

' ' ' 'HA H A H F HF− = − =

' '1

' '

HF H F

HA H A+ =

La formule de conjugaison précédente permet d’obtenir une nouvelle expression pour legrandissement linéaire transversal :

Donc :

Soit :

On en déduit la nouvelle expression du grandissement transversal :

'

' '

n n n

HA H A HF− =

( )

'

' '

'

' '

'

' '

'.

' '

n n n

HA HF H A

nHF nHA n

HAHF H A

n FH HA n

HAFH H A

n FA n

HA FH H A

− =

−=

+=

=

1 '

' '

n n

HA H Aγ=

' ' ' '

'

A B n H A

nAB HAγ = =

' 1 puisque

' '' '

u n AB n

u n nA Bα αγ γ

γ= = =

Le rapport de convergence ou grandissement angulaire γα (qui est le rapport desinclinaisons sur l’axe du rayon émergent passant par le point image A’ et du rayon incidentcorrespondant passant par A) vaut, compte tenu de la relation de Lagrange-Helmholtz :

11.9 Dimension de l'image d'un objet non ponctuel à l'infini

Un objet AB de dimension θ à l'infini a une image F'B' dans le plan focal image dont ladimension est :

Connaissant les caractéristiques d'un système optique centré, à savoir les positions de sesfoyers et de ses points principaux (points cardinaux), on peut déterminer l'image d'unobjet AB soit par le calcul, soit graphiquement :

En effet, on démontre que les positions de A et de A´ sont liées par la formule deconjugaison :

Le grandissement du système est quant à lui donné par :

La formule de conjugaison de Newton quant à elle devient :

Remarque : cette dernière relation montre bien que H et H’ sont conjugués.

1 1 1

' ' ' 'H A HA H F− =

' ' ' 'A B H AG

AB HA= =

. ' ' ' '.FA F A H F HF=

11.10 Résumé : formules de conjugaison et du grandissement des systèmes centrés à foyers

Pour comprendre ces relations, onpeut partir de la correspondanceobjet-image dans une lentille mince etdécouper par la pensée le système enpassant par le milieu de la lentille, enécartant l'espace objet de l'espaceimage d'une certaine distance sansmodifier le tracé des rayons en entréeet en sortie.

11.11 Points nodaux

11.11.1 Définitions

Ces points ne sont pas indispensables pour définir un système centré, mais ils sont souventtrès utiles.

Les points nodaux d’un système centré à foyers sont deux points conjugués de l’axe pourlesquels le rapport de convergence ou grandissement angulaire γα(NN’) vaut +1, donc legrandissement linéaire transverse vaut γ (NN’) = n/n’, donc u = u’. Si n=n’, on voit que lespoints nodaux sont confondus avec les points principaux (puisque γ (NN’) =1).

Si N est le point nodal objet et N’ son conjugué, le point nodal image, tout rayon incident dontle support passe par le plan nodal objet N fournit un rayon émergent qui lui est parallèle etpasse par le point nodal image N’.

11.11.2 Existence et unicité des points nodaux

Si le support d’un rayon incident parallèle à l’axe rencontre le plan focal objet en un point B, leplan principal objet en I, le rayon émergent (I’F’) passe par le point I’ du plan image (HI=H’I’) etpar le foyer image F’ (propriété des plans principaux et des foyers).

À un rayon incident (BN) de support parallèle à (I’F’) (et qui définit la position du point N,intersection de l’axe avec la parallèle à I’F’ menée par B) correspond un rayon émergent(N’B’∞) parallèle à (I’F’) car B est un foyer secondaire.

Le couple de points N et N’ est tel qu’un rayon particulier (BN) donne un émergent (B’N’)parallèle à (BN).

Ces points ne dépendent pas du rayon incident (BN), c’est-à-dire de la position de B dans leplan focal objet. En effet, les triangles (BFN) et (I’H’F’) sont toujours égaux et semblablementorientés, donc :

Par conséquent, le point N est fixé indépendamment de la direction de l’incident (BN) choisi. Ilen est de même de son conjugué N’ et on a :

En supposant qu’une autre méthode de construction donne un autre couple de points nodaux,deux rayons incidents parallèles, l’un passant par M et l’autre par N, donneraient deux rayonsémergents parallèles passant par M’ et N’. Le système serait alors afocal, ce qui estcontradictoire.

' 'FN H F=

' 'F N HF=

11.11.3 Interstice du système optique centré

Un système optique focal possède toujours un couple unique de points nodaux positionnéspar rapport aux points focaux par :

On peut écrire :

On obtient donc :

Comme :

On a :

La distance entre les points nodaux est donc égale à la distance entre les points principaux :c’est une caractéristique du système optique centré, appelé l’interstice :

Cas particulier important

Lorsque les milieux extrêmes sont identiques (n=n’), la relation de Lagrange-Helmholtzconduit à :

Les points nodaux et les points principaux sont confondus.

' ' et ' 'FN H F F N HF= =

et ' ' ' ' ' 'HN HF FN H N H F F N= + = +

' ' '

' ' ' ' ' ' '

HN HF FN HF H F f f

H N H F F N f f

= + = + = +

= + = +

( ) ( )' ' ' ' ' ' ' 0 0 'NN HH H F FN F N HF HH HH= + − + − = + + =

' 'NN HH=

et ' 'N H N H≡ ≡

' ' ' 'NN NF FH HH H N= + + +

11.11.4 Résumé

Par construction, le point nodal objet N est un point de l’axe optique situé à unedistance égale à la distance focale image du foyer objet F :

De la même manière, le point nodal image N’ est un point de l’axe optique situé àune distance égale à la distance focale objet du foyer image F’ :

' ' '= =FN H F f

' ' = =F N HF f

C C’

Propriétés :

�Les points nodaux N et N' sont deux points conjugués de l'axe optique.

En effet, par définition des points nodaux :

qui n’est autre que la relation de conjugaison de Newton avec A=N et A’=N’.

�Les points nodaux sont tels qu'à tout rayon incident passant par N corresponde un rayonémergent passant par N' , parallèle au rayon incident.

En effet, sur la figure précédente ou la figure ci-dessous, on a :

Remarque : pour les systèmes optiques à milieux d'entrée et de sortie identiques (par exempledans l'air) les points nodaux sont confondus avec les points principaux, soit N=H, N'=H'.

. ' ' ' '.=FN F N H F HF

' '

' ' '

=

= = +

HC H C

HN H N f fC C’

donc les triangles CHN et C’H’N’sont semblables et les rayons CNet C’N’ sont parallèles.

11.12 Constructions à l'aide des trois rayons particuliersOn considère toujours un objet AB avec A sur l'axe optique et B en dehors, son image associéesera A'B'.

Pour diminuer les risques d'erreur, il est préférable de tracer les trois rayons particulierssuivants :

� Le rayon issu du point B parallèle à l'axe optique émerge à partir du plan principal image àla même hauteur, en passant par le foyer image F'.

� Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement àl'axe optique, à partir du point du plan principal image situé à la mêmehauteur que l'intersection du rayon incident avec le plan principal objet.

� Le rayon issu de B passant par le point nodal N ressort parallèlement àlui-même à partir du point nodal N'.

Exemples de constructions :

L’image est virtuelle.

L’image est virtuelle.

11.13 Points antinodaux

Les points antinodaux sont des points conjugués de l’axe optique, notés ν et ν’ pour lesquels lerapport de convergence est γα=-1 soit :

donc :

d’où on déduit :

et :

Les points antinodaux objet et image sont respectivement les symétriques des points nodauxobjet et image par rapport aux foyers correspondants.

' 11

'

u n

u nαγ

γ= = = −

' '

' ' '

n FH F

n F F H

νγ

ν= − = =

'' '

nF FH F H FN

nν = − = = −

' ' ' ' ' ''

nF F H FH F N

nν = − = = −

11.14 Application : propriétés et position des points cardinaux d’une lentille épaisse

Pour un système constitué d’une lentille unique, la distance focale image f’, ainsi que lespositions respectives du foyer principal F’ et du point principal H’ peuvent être aisémentdéterminées par les formules courantes données à la figure suivante. L’inversion du systèmepermet de calculer la distance focale objet f, la position du foyer principal F et celle du pointprincipal H.

Un système centré est une succession de systèmes élémentaires, des dioptres ou éven-tuellement un miroir (ou plus moyennant quelques astuces technologiques, comme un troudans le premier miroir). Chacun peut être décrit par la seule donnée de ses foyers et de sespoints principaux. Pour trouver les foyers et plans principaux du système entier, qui suffiront àle caractériser, l'on procède par récurrence en remplaçant deux systèmes par un seul ; c'est laproblématique des paragraphes qui suivent.

12.1 Recherche des foyers et points principaux. 12.1.1 NotationsSoient deux systèmes traversés successivement par la lumière ; le premier est caractérisé parses foyers objet et image F1 et F’1 et ses points principaux objet et image H1 et H’1, son espace-objet a un indice de réfraction noté n et son espace image, qui est l'espace objet du secondsystème, a un indice de réfraction noté N ; le second est caractérisé par ses foyers objet etimage F2 et F'2 et ses points principaux objet et image H2 et H'2, son espace-objet, qui estl'espace-image du premier système, a l'indice de réfraction N (cf juste avant) et son espace-image a un indice de réfraction noté n'. Ces huit points et trois indices, qui sont les donnéesdu problème, sont parfaitement arbitraires pourvu qu'ils vérifient (cf supra) :

12 Associations de deux systèmes centrés quelconques de même axe

La position relative des deux systèmes est repérée soit par la donnée de ∆=F’1F2 appeléeintervalle optique, soit par la donnée de e = H’1H2 appelée épaisseur optique (plus rarementinterstice optique). Tout ceci est résumé par la figure ci-dessous où une mini-légende indiqueles sens positifs sur l'axe transversal et angulaire. Par convention, sur cette figure, l'on aarrêté, pour chacun des deux systèmes, les rayons-objets au plan principal objet et non aupremier dioptre rencontré (et non dessiné) et commencé les rayons-images au plan principalimage et non au dernier dioptre rencontré (et non dessiné lui non plus).

12.1.2 Recherche des foyers.Le foyer-image F’ du système équivalent à l'association des deux systèmes élémentaires est,par définition, l'image du point-objet à l'infini dans la direction de l'axe, dont l'image par lepremier système est, par définition, F’1 ; F’ est donc l'image par le second système de F’1. Laformule de NEWTON relative à la conjugaison pour le second système donne alors :

En notant les distances focales objet et image du second système f2 = H2F2 et f’2 = H'2F2 etl'intervalle optique ∆= F’1F2, on arrive ainsi à :

ce qui donne la position du foyer-image du système équivalent.

Par un raisonnement symétrique, le foyer-objet F du système équivalent a pour image par le premier système le foyer-objet du second et la formule de NEWTON aboutit alors à :

12.1.3 Recherche des plans principaux.Pour trouver les plans principaux, nous allons nous servir de la propriété qui nous a servi à lesintroduire : un rayon-objet parallèle à l'axe recoupe le rayon émergent correspondant dans leplan principal image et un rayon-image parallèle à l'axe recoupe le rayon incidentcorrespondant dans le plan principal objet (cf supra).

Sur la figure précédente, le rayon-objet parallèle à l'axe coupe en I le plan principal objet dupremier système qui en donne donc un rayon-image, servant de rayon-objet au second,passant par I' (avec H1I = H’1I') et son foyer-objet F'1 et coupant en J le plan principal objet dusecond système qui en donne donc un rayon-image passant par J' (avec H2J = H'2J') et F',image de F'1 par le second système (donc le foyer objet du système équivalent, cf supra) etcoupant par construction le plan principal image du système équivalent en K' tel que H'K' =H’1I'.

Les égalités : entraînent que :

La formule de THALÈS appliquée aux droites H2F'H' et J'F'K' entre les parallèles H'K et H'2J'donne :

En confrontant les trois résultats précédents, on en déduit que :

qui donne de façon brute la position du point principal image H' du système équivalent cartous les autres points qui y figurent sont des données du problème, hormis F' qui en a étédéduit plus haut.

C'est d'autant plus agréable que cette position est donnée au travers de la distance focaleimage du système équivalent, soit f' = H'F'. Mettons en forme, après inversion de signegénérale :

On note f’1= H’1F’1[ (cf supra) ; on a :(avec, cf supra, H2F2 = f2 et F’1F2 = ∆) ; on a enfin, en reportant le résultat concernant la

position de F‘ :

En reportant dans le résultat brut qui précède, on arrive à :

On montre symétriquement que :

qui donne, pour le système équivalent dont on a déjà placé le foyer-objet F, la distancefocale-objet et la position du point principal objet.

Cette dernière formule, généralisant celle obtenue pour l’association de lentilles minces, porte le nom de formule de Gullstrand :

où l’interstice vaut cette fois : 1 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2

' '

' ' ' '

F F F H H H H F

H H H F H F e f f

∆ = = + +

= − − = − −

1 2 1 2 1 2

1 1 1

' ' ' ' ' ' '

e

f f f f f f f

∆= − = + −

12.2 Formule de Gullstrand

La distance focale f’ et la position des points cardinaux d’un système de deux lentilles peuventégalement être déterminées par des formules simples telles que celles qui sont rappelées à lafigure suivante :

12.3 Systèmes afocauxPar définition un système afocal ne possède pas de plans principaux et ses foyers sont àl’infini. C’est le cas lorsque on associe deux systèmes centrés tel que F’1 est confondu avec F2.Dans ce cas ∆=0.

Pour un tel système l’image d’un objet à l’infini est à l’infini. Pour un objet réel ou virtuel lesgrandissements sont indépendants de la position de l’objet :

et

Annexe : Imaging Equations and Their Related Coordinate Systems

There are different possibilities for the formulation of imaging equations and correspondingly different sets of coordinate systems related to them.

Reciprocity Equation

Here the object and image side coordinate systems are located in the principal planes.

From geometrical considerations and with the sign conventions one has :

Equating the right-hand sides of these equations gives :

and with f = −f’ :

With :

we get :

and :

and finally :

Newton’s EquationsHere the origins of the object and image side coordinate systems are located at the objectand image side focal points

From geometrical considerations we get :

And :

where z and z’ are the Newton coordinates of the conjugate points O and O’, respectively. The advantage of the Newton equations lies in the fact that there are no reciprocal quantities and one may perform algebraic calculations in a somewhat easier way.

The position of the positive principal points H+, H’+

For the conjugated points H+ and H’+ we have by definition β = +1. With Newton’s equationswe thus get for the position of these points :

Position of the negative principal points H−, H’−

The conjugate points for which the magnification ratio β is equal to −1 are called negativeprincipal points H−, H’− .

The image has thus the same size as the object, but is inverted. From Newton’s equations with β = −1,

Object and image are located in twice the focal length distances (2 f) and (2f ‘) respectively,counted from the corresponding principal planes H and H’. The image is real and inverted.

General Imaging EquationA more general applicable imaging equation is obtained when the origins of the object andimage side coordinate systems lie in two conjugate but elsewhere arbitrarily selected points Pand P’ in object and image space. We will use these equations with P and P’ lying in theentrance and exit pupil of the optical system. Here is now the general derivation

From figure :

This is the analogous version of the reciprocal equation where the origins of the coordinatesystems are now generalized to two conjugate, but otherwise arbitrary points P and P’.

If these points coincide with the positive principal points H+ and H’+ with βp = +1, then wecome back to the reciprocal equation:

With the notation p’ = a’, p = a, Eq. (4.43) changing to reciprocal equation. Later we will usethese imaging equations under the assumption P = entrance pupil, P’= exit pupil. Then βp willbe the pupil magnification ratio.

The Axial Magnification RatioThe axial magnification ratio is defined as the ratio of the axial displacement of an image, ifthe object is displaced by a small distance.

From Newton’s equation we have :

Documents

Chapitre 2 : étude sommaire de quelques instruments d'optique