Chapitre 2 : les oscillateurs1 IntroductionEn physique, un oscillateur est un système manifestant une variation périodique dans le temps(ou pseudo‐périodique s'il existe une dissipation d'énergie).

1 Introduction

Les exemples les plus courants sont utilisés en mécanique classique (pendule, masse au boutd'un ressort,...) et en électricité.

En acoustique, la production, le transport, et la perception des sons mettent en jeu desoscillateurs mécaniques, acoustiques et électriques.

Dans ce chapitre, nous étudions d’abord les oscillateurs mécaniques avant de transposer lesrésultats aux autres types d’oscillateurs.

Lemouvement oscillatoire harmonique sert à décrire les oscillations d'un corps en mouvement.Dans ce cas simple, le mouvement oscillant est décrit par une fonction sinusoïdale du temps t ;

Exemple : le mouvement oscillatoire harmonique

p p psoit :

2 Les oscillateurs mécaniques, présentation généraleOn rencontre trois composants principaux dans les oscillateurs mécaniques :

un élément amortisseur,un élément de masse ,un élément élastiqueun élément élastique.

Si on applique une force F(t) à un élément, on observe une variation de la position x(t) (undéplacement) de celui‐ci La variation de position de l’élément par rapport au temps définitdéplacement) de celui ci. La variation de position de l élément par rapport au temps définitune vitesse de déplacement v(t)=dx/dt.

La force mécanique est la CAUSE de la variation, la vitesse de la masse est l’EFFET.

Détaillons, pour chaque composant de l’oscillateur mécanique la relation entre la cause etl’effet.

q ,

ff

2.1 élément amortisseur (ou résistant)

Un élément amortisseur est un composant mécanique qui présente un frottement fluide (d’unsolide dans un fluide, par opposition au frottement solide/solide), comme par exemple unp pp ) p ppiston se déplaçant dans un cylindre d’huile ou une masse en mouvement dans l’air.

Nous le symboliserons par l’élément :

Pour un amortisseur, la relation entre cause et effet est donnée par la loi du frottement fluide :la force de frottement créée par le déplacement du système est proportionnelle à la vitesse dedéplacement :déplacement :

( ) . ( )fF t f v t=

Le facteur de proportionnalité (f) est appelé résistance mécanique ou coefficient de frottementfluide. Il se mesure en ohm mécanique (Ω ou N.s.m‐1).

Si la vitesse de déplacement de l’oscillateur est une fonction sinusoïdale (v=vmax.sinωt), laforce de frottement sera aussi une fonction sinusoïdale (Ff=f.vmax.sinωt = Fmax.sinωt) en phaseavec la vitesseavec la vitesse.

Un amortisseur est un élément de dissipation d’énergie mécanique. À cause du frottement, ily a une perte d’énergie mécanique sous forme de chaleur. La puissance moyenne dégagée enchaleur vaut :

( ù l’ tili é l l ffi d l it )

2.P f v=

(où l’on a utilisé la valeur efficace de la vitesse).

Résumé :

La force d’amortissement est proportionnelle à la vitesse du déplacement et est donc enphase avec la vitesse ; cette force dissipe l’énergie mécanique du système.

Un élément de masse est une quantité de matière, présentant une certaine inertie vis‐à‐visdu mouvement.

2.2 élément de masse

Nous le symboliserons par l’élément :

Lors du mouvement, la relation de cause à effet est donnée par le principe fondamental dela dynamique : la force appliquée à une masse inertielle en mouvement est proportionnelle àson accélération :

dv( )idvF t ma mdt

= =

Le facteur de proportionnalité (m) est appelé masse inerte ou inertance de l’élément et semesure en kilogramme (kg).

Si la vitesse de déplacement de l’oscillateur est une fonction sinusoïdale (v=vmax.sinωt), laforce d’inertie sera aussi une fonction sinusoïdale, mais en avance de π/2 sur la vitesse(Fi=m.ω.vmax.cosωt = Fmax.cosωt = Fmax.sin[ωt+ π/2]).

La masse est un élément d’accumulation de l’énergie mécanique sous forme réactive. Ellerestitue entièrement l’énergie mécanique qui a été emmagasinée en la mettant enmouvement. La masse est donc un facteur d’inertie, qui s’oppose aux changements deposition.

L’é i é i i t t é lé d t t fL’énergie mécanique instantanée accumulée dans une masse en mouvement est sous formecinétique et vaut : 2

2mmvW =

2Résumé :

La force d’inertie est proportionnelle à l’accélération du déplacement et est donc en avanceLa force d inertie est proportionnelle à l accélération du déplacement et est donc en avancede 90° sur la vitesse ; cette force ne dissipe pas l’énergie mécanique du système mais lastocke sous forme cinétique.

2.3 élément élastiqueUn composant élastique est un matériau présentant une certaine capacité de déformation(ressort, caoutchouc, mousse, etc.).( )

Nous le symboliserons par l’élément :

Si on écarte un ressort de sa position d’équilibre, la relation entre la cause et l’effet dup q ,mouvement est donnée par la loi de Hooke : le ressort est ramené vers sa position d’équilibrepar une force proportionnelle à l’élongation x appelée force de rappel :

.kF k x=L f t d ti lité (k N/ ) t lé id i tili tLe facteur de proportionnalité (k, en N/m) est appelé raideur, mais on utilise souvent soninverse 1/k=Cm qui est alors appelé élasticité ou encore compliance mécanique. Lacompliance se mesure en mètre par Newton (m.N‐1).

Si la vitesse du déplacement est une fonction sinusoïdale, la force de rappel sera aussi unefonction sinusoïdale mais en retard de π/2 sur la vitesse.

max( ) sinkF kx k v t dt kv tdtω= = =∫ ∫En effet :

( ) ( )

max

maxmax

( ) s

cos sin / 2

k

kv t F t

ω

ω ω πω

= − = −

∫ ∫

U t él ti t élé t d’ l ti d’é i é i fUn composant élastique est un élément d’accumulation d’énergie mécanique sous formeréactive. Lors de sa détente, l’élément libère entièrement l’énergie potentielle d’élasticitéqu’on y a emmagasiné en le tendant ou le comprimant.

L’énergie potentielle d’élasticité instantanée accumulée dans un élément élastique vaut :2 2

kkx xW = =2 2k

mCRésumé :

La force de rappel d’un élément élastique est proportionnelle au déplacement et est donc enretard de 90° sur la vitesse ; cette force ne dissipe pas l’énergie mécanique du système mais lastocke sous forme potentielle.

3 Système non dispersif : mouvement oscillatoire harmonique (MOH)

U ill t idé l é t d f tt t O l d tè tif (

3.1 Etude dynamique générale

Un oscillateur idéal ne présente pas de frottement. On parle de système conservatif (ou nondispersif) car son énergie mécanique est conservée.

L’équation du mouvement de la masse est donnée par le principe fondamental de laLéquation du mouvement de la masse est donnée par le principe fondamental de ladynamique :

.F m a=∑c’est‐à‐dire ici :

∑2d xm kx2m kx

dt= −

C’est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constantsdont l’inconnue est l’élongation x(t).

( )( ) cosx t x tω ϕ= +Sa solution générale est de la forme :

( )0( ) cosmx t x tω ϕ= +avec :

1k0

1. m

km m C

ω = =

et donc :0 1 1 1kf ω0

0 2 2 2 m

fm mCπ π π

= = =

En conclusion, un oscillateur harmonique, mis enmouvement par une impulsion unique, vibrenaturellement, sinusoïdalement, avec unefréquence qui lui est propre et qui ne dépend quedes caractéristiques de masse et d’élasticité dusystème.

La fréquence du mouvement est indépendante de la façon dont il a été initié. Elle vaut :

00

1 1 12 2 2

kf ω= = =0 2 2 2 m

fm mCπ π π

3.2 Exemples d’oscillateurs harmoniques

Une masse oscillant librement à l’extrémité d’un ressort ou un pendule simple sont des

Masse attachée à un ressort horizontal

Une masse oscillant librement à l extrémité d un ressort ou un pendule simple sont dessystèmes proche de cette situation idéale.

Masse attachée à un ressort vertical

Pendule simple

La période du mouvement est donc :

Application de l’analyse dimensionnelle au pendule simple :

Les oscillations libres de faible amplitude sont quasi sinusoïdales.

A priori, la période propre To peut dépendre de la longueur L du fil, de la masse M de la billeet de la pesanteur g.

Déterminer, à une constante près, l’expression de cette période To.

Solution :

Illustration : le pendule simple idéal, un oscillateur harmonique

Le mouvement harmonique simple sert à décrire les oscillations d'un corps en mouvement.Dans les cas simples, le mouvement oscillant est décrit par une fonction sinusoïdale ; soit

3.3 Cinématique de l’oscillateur harmonique

p p

Un déphasage positif déplace la courbe vers lagauche.

La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps.

L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au tempsL accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.

Des relations utiles permettent de relier l'amplitude et la constante de phase à la position et vitesse initiales. 

Ces relations utiles sont :

3.4 Rapport entre oscillateurs harmoniques et mouvement circulaire uniforme

Le mouvement circulaire uniforme d’un point et l’oscillation harmonique d'une masseaccrochée à un ressort présentent de grandes similitudes.

L i l ti d d hé è llèl t é id l li i i t tLa simulation de ces deux phénomènes en parallèle met en évidence les liens qui existententre ces deux types de mouvement.

Un solide se déplace sans frottements sur un disque en rotation uniforme Le mouvement duUn solide se déplace sans frottements sur un disque en rotation uniforme. Le mouvement ducorps peut être décomposé en deux mouvements oscillatoires périodiques non amortis,correspondant à ceux de deux masses accrochées à deux ressorts, l'un vertical, l'autrehorizontal que l'on a écartées de leur position d'équilibre et pour lesquelles on néglige leshorizontal, que l on a écartées de leur position d équilibre et pour lesquelles on néglige lesforces de frottement.

Chacun des systèmes masse‐ressort constitue un oscillateur harmonique non amorti :Chacun des systèmes masse ressort constitue un oscillateur harmonique non amorti :l'équation horaire du mouvement de chaque système par rapport à sa position d'équilibre estune fonction sinusoïdale du temps.

Cf. applet java « Oscillateur harmonique » de l’Encyclopaedia Universalis.

4 Systèmes dispersifs : oscillations amortiesLe mouvement oscillatoire harmonique n’existe pas dans la réalité : tout système mécaniqueréel présentant un frottement une partie de l’énergie mécanique est dissipée en chaleur et lesréel présentant un frottement, une partie de l’énergie mécanique est dissipée en chaleur, et lesoscillations du système sont amorties.

L’équation du mouvement de la masse est donnée par leprincipe fondamental de la dynamiqueprincipe fondamental de la dynamique :

c’est à dire ici :

.F m a=∑c est‐à‐dire ici :

ou encore :

2

2

d x dxm kx fdt dt

= − −

2

2 0d x dxm f kxdt dt

+ + =dt dt

C’est à nouveau une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficientsconstants, mais elle est complète dans ce cas. L’inconnue est toujours l’élongation x(t)., p j g ( )

Sans discuter la résolution de cette équation, on peut noter qu’il existe trois types de solutions,selon le signe du discriminant de l’équation caractéristique de l’équation différentielle :

2 4f kmΔ = −

4.1 Amortissement sous‐critique 2 4 0f km− <Ce cas correspond aux valeurs faibles du frottement. Le mouvement n’est pas périodique, (onne repasse jamais par les mêmes points avec la même vitesse) mais il présente encore unne repasse jamais par les mêmes points avec la même vitesse) mais il présente encore uncaractère oscillant autour de la position d’équilibre.L’amplitude des oscillations est toutefois décroissante, elle est pondérée au fil du temps parun facteur exponentiel décroissant dépendant du frottement fun facteur exponentiel décroissant dépendant du frottement f.

On appelle pseudo‐période le temps nécessaire pour que le système parcoure un cycle. Elleest plus longue que la période propre de l’oscillateur non amortiest plus longue que la période propre de l oscillateur non amorti.

Ce type de mouvement oscillant correspond à celui des portes de saloon d’un western oud’un amortisseur de voiture usagé.

Illustration : le pendule simple réel, un oscillateur amorti en régime sous‐critique

Pendule amorti (applet)

http://www univ lemans fr/enseignements/physique/02/meca/pendule htmlhttp://www.univ‐lemans.fr/enseignements/physique/02/meca/pendule.html

Illustration : masse attachée à un ressort avec amortissement visqueux

4.2 Amortissement sur‐critique 2 4 0f km− >Dans le cas d’un frottement fort, le mouvement ne présente plus de caractère oscillant. Lesystème revient lentement (d’autant plus lentement que le frottement est fort) à sasystème revient lentement (d’autant plus lentement que le frottement est fort) à saposition d’équilibre sans effectuer autour de celle‐ci des oscillations. Le mouvement estdonc apériodique.

Ce type de mouvement est illustré par les systèmes de fermeture automatique des portes.

4.3 Amortissement critique 2 4 0f km− =C’est le cas intermédiaire entre les deux cas précédents ; pour cette valeur particulière dufrottement le retour à l’équilibre est le plus rapide possible Le système ne présente pasfrottement, le retour à l’équilibre est le plus rapide possible. Le système ne présente pasnon plus d’oscillations, mais revient très rapidement à sa position d’équilibre.

De nombreux instruments de mesure (balances, galvanomètres, etc.) sont configuréspour avoir un amortissement critique. On utilise aussi ce type d’amortissement enélectroacoustique (microphones, haut‐parleur, etc.).

5 Systèmes dispersifs : oscillations forcées, notion d’impédancemécanique et phénomène de résonanceSi l’on soumet un oscillateur non plus à une impulsion unique, mais à une action extérieurepériodique qui le force à osciller, on constate que cet oscillateur ne vibre plus avec safréquence propre mais, après une courte période transitoire, il oscille avec la fréquence del’l’action externe.

Ce régime d’oscillations forcées se retrouve notamment dans les microphones, les haut‐l t l tparleurs, et le tympan.

L’équation du mouvement de la masse est donnée par le principe fondamental de ladynamique :

F∑y q

c’est‐à‐dire ici :

.F m a=∑2

2 sin( )md x dxm kx f F td d

ω ε= − − + +

ou encore :

2 ( )mfdt dt

2

2 sin( )md x dxm f kx F td d

ω ε+ + = +2 ( )mfdt dt

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants, complète avecsecond membre (équation inhomogène).La solution générale de cette équation est la somme de la solution générale de l’équation sanssecond membre (c’est‐à‐dire la solution générale de l’oscillateur amorti) et d’une solutionparticulière de l’équation avec second membre.Comme la solution générale de l’équation sans second membre s’amortit, au bout d’uncertain temps, la solution générale de l’équation avec second membre se ramène à la solutionparticulière. Comment construire une solution particulière ?

Une solution particulière peut être trouvée par la méthode des vecteurs tournants deFresnel :

on essaie de trouver une solution particulière sous la forme d’une solution oscillanteharmonique : cos , . sin sinmx A t v A t v tω ω ω ω= − = =

chaque terme de l’équation de la dynamique est alors une fonction oscillanteharmonique de même pulsation.

on associe à chaque force un vecteur tournant de Fresnel.

la force excitatrice externe est la somme vectorielle des forces d’inertie, d’amortissement,t d let de rappel.

par rapport à la vitesse qui sert de vecteur de référence, la force d’inertie est en avancede π/2 la force d’amortissement est en phase et la force de rappel est en retard de π/2de π/2, la force d amortissement est en phase, et la force de rappel est en retard de π/2.

la force excitatrice est déphasée d’une quantité ε par rapport à la vitesse.

le déphasage entre la cause (la force externe périodique) et l’effet (la vitesse del’oscillation forcée) est donc donné par ε.

On définit l’impédance mécanique Zm del’oscillateur forcé par :Fi p

causeff t

m mm

F FZ = = =

i

Fi+Fk

Fm=

effetmm mv v

L’amplitude du mouvement oscillatoire forcé vaut :

Fi+Fk

m mv FAZω ω

= =Ff

mZω ωFk=

( )22 2 22 2 2 2 21k m fZ f m f mω ω ω ω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟

A l’aide du diagramme vectoriel, on trouve pour l’impédance :

( )02mm

fZ f m f mC m

ω ω ω ω ωω ω ω

= + − = + − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

12 2

0

1

tan m

mC m

f f

ωω ω ωε

ω

−−

= =et pour le déphasage :

Résumé :

Pour une force excitatrice périodique du type : ( ) sin( )mF t F tω ε= +

L’oscillation forcée se fait selon : ( ) cos sin2

m mF Fx t t tZ Z

πω ω⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

( ) sin

m m

m

Z Z

Fv t t

ω ω

ω

⎜ ⎟⎝ ⎠

=

où le facteur Z(ω) est appelé impédance mécanique de l’oscillateur forcé et vaut :

( ) sinm

v t tZ

ω=

( )22 2 22 2 2 2 2

02

1m

m

k m fZ f m f mC m

ω ω ω ω ωω ω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − = + − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Pour un système mécanique donné, le coefficient de frottement visqueux, la masse, etl’élasticité sont constants. La pulsation ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur.

Par conséquent, l’impédance est fonction uniquement de la fréquence de l’action extérieure.

La vitesse est en retard par rapport à l’excitation d’un angle ε, et l’élongation est en retard parrapport à l’excitation de ϕ=ε+π/2 avec ε donné par :

2 20

1

tan m

mC m

f f

ωω ω ωε

ω

−−

= =

Une manière simple d’exercer une force périodique externe sur l’oscillateur mécanique estp p q qde mettre en oscillation le point d’attache du ressort, en lui donnant un mouvementharmonique du type : ( )( ) sinext extx t A tω ε= +

La force d’excitation exercée sur le système vaut alors :

Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est petite par rapport à la pulsation propre ω0 de

( )( ) ( ) sinext mF t kx t F tω ε= = +

l’oscillateur, l’impédance se réduit à Zm=m ω02 /ω, l’amplitude de l’oscillation forcée est

presqu’égale à l’amplitude de l’oscillation de l’excitateur [définie ici par Aext=Fm/k=Fm /(mω02)].

l l dé h l f l’él i l i l (f i iDe plus, le déphasage entre la force et l’élongation est alors quasi nul (force excitatrice etélongation sont en phase, donc la vitesse de l’oscillation forcée est en avance de π/2 surl’excitation).E ff t l t → → /2 t l’ it ti t d d éEn effet, on a alors tan ε→‐∞ ε→‐π/2, et l’excitation est donc donnée par :

( ) sin cos2m mF t F t F tπω ω⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠qui est bien en phase avec l’élongation de l’oscillation forcée :

2⎝ ⎠

cos sinx A t v A tω ω ω= − =

Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est grande par rapport à la pulsation propre ω0 del’oscillateur, l’impédance vaut Zm=m ω, l’amplitude de l’oscillation forcée vaut A=Fm/(mω2) etp m p f m ( )est donc plus petite que celle de l’excitateur Aext=Fm/k=Fm /(mω0

2) ; de plus, elle diminuequand ω augmente, et tend rapidement vers zéro.

De plus, le déphasage entre la force et l’élongation tend alors vers π (force excitatrice etélongation sont en opposition de phase, donc la vitesse de l’oscillation forcée est en retard deπ/2 sur l’excitation).

En effet, on a alors tan ε→+∞, donc ε→+π/2, et l’excitation est donc donnée par :

( ) sin cos2m mF t F t F tπω ω⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

qui est bien en opposition de phase avec l’oscillation forcée :

cos sinx A t v A tω ω ω= − =cos sinx A t v A tω ω ω

Voici, pour différentes valeurs du coefficient de frottement, les courbes donnant l’amplitudede l’oscillation forcée en fonction de la fréquence.

On a posé :

2 2 / m

f fkm m C

β = =m

On peut vérifier toutes les déductions précédentes sur ces courbes.

Évolution du déphasage entre la force excitatrice et l’élongation pour des amortissementsdifférents. L’angle ‐ϕ du graphique vaut ε+π/2 du texte et donne donc le retard de l’élongationpar rapport à l’excitation ; le facteur λ du graphique est l’équivalent de β dans le texte et estdonc proportionnel au coefficient de frottement.

Si, pour une même cause, on veut obtenir un effet maximal, il faut que l’impédance soitminimale.

On voit, sur les formules générales précédentes ou sur les courbes que lorsque la fréquencede l’excitateur externe ω est égale à la fréquence propre ω0 de l’oscillateur, l’impédance a savaleur minimale.

C’est le phénomène de résonance. L’amplitude de l’oscillation forcée peut alors devenir trèsgrande.

Lors de la résonance, tan ε=0 et l’élongation est donc en retard de π/2 sur la force excitatrice(quadrature de phase), et la vitesse d’élongation (la conséquence) est en phase avec la force

( )excitatrice (la cause) :

( ) sin ; cos sin( / 2) et sinmF t F t x A t A t v A tω ω ω π ω= = − = − =

En fait, à la résonance, seul le terme de frottement fixe l’impédance, et par conséquent, let d l’ ill t ti ti ti t è ti l lmouvement de l’oscillateur sera non amorti, peu amorti, amorti, ou très amorti selon la

valeur de f (et donc de β ici). La résonance associée est alors infinie, aiguë, large ou nulle.

Illustration des phénomènes d’oscillation forcée et de résonance

http://www.sciences.univ‐nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/ressort_rsf.html

Observations :

Q est l’inverse du facteur de frottement f ; Q grand correspond donc à un petit ff éfrottement et réciproquement.

Dans cette animation, l’excitation résulte du mouvement oscillant imprimé au pointd’ tt h d tè t Ell t d dé it it ti él tid’attache du système masse‐ressort. Elle est donc décrite par une excitation en élongationde la forme :

La force externe qui s’exerce sur le système masse ressort est de la forme :

( )sinextx A tω ε= +La force externe qui s exerce sur le système masse ressort est de la forme :

( )sinmF F tω ε= +

On a représenté ici sur les diagrammes l’élongation de l’oscillation forcée, et non savitesse. Pour l’oscillateur forcé, l’oscillation en élongation est en retard de π/2 sur la vitessed’élongation. Il faut tenir compte de ce décalage supplémentaire pour relier les résultats desd élongation. Il faut tenir compte de ce décalage supplémentaire pour relier les résultats desobservations sur l’animation aux équations générales de l’oscillateur forcé écrite plus haut.

Lors de la mise en route de l'excitation ou de toute variation de l’excitation, la masse,oscille de manière plus ou moins chaotique (d'autant plus que le facteur d’amortissement Qest grand), puis son mouvement se « stabilise » à une oscillation sinusoïdale de mêmepulsation que l'excitation, mais d'amplitude différente, et déphasée. On observe un régimetransitoire chaotique, qui ne dure que peu de temps, suivi d'un régime sinusoïdal forcé.

En faisant varier la fréquence, on constate que les deux oscillations diffèrent dans le temps(elles ne sont pas en phase), tout en restant de même fréquences. L'amplitude et la phase dumouvement forcé de la masse dépendent de la fréquence de l’excitateur.

Lorsque l'excitation est de fréquence très basse, les deux oscillations en élongation sontidentiques en amplitude et sont aussi en phase.

Lorsque l'excitation est de fréquence « grande », l'oscillation en élongation de la masse aune petite amplitude, et elle est en opposition de phase avec celle de l'excitation.

Lorsque le facteur d’amortissement Q est « grand » (supérieur à 0,7) il existe une fréquence(1,3 Hz) pour laquelle l'amplitude de la masse passe par un maximum, les deux oscillationsd’élongation sont alors déphasées de π/2 (plus précisément l’élongation de l’oscillateur forcéd élongation sont alors déphasées de π/2 (plus précisément l élongation de l oscillateur forcéest en retard de π/2 sur celle de l’excitation). La cause de l’excitation (l’élongation du pointd’attache) et l’effet (la vitesse de l’oscillateur forcé, en avance de π/2 sur l’élongation) sontdonc en phase.donc en phase.

On constate que cette fréquence correspond à la fréquence propre du régime d’oscillationlibre de la masse. C’est le phénomène de résonance, l’élongation et la vitesse de la massep , gdeviennent grandes.

Résumé :

L'amplitude et la phase du mouvement forcé de la masse dépendent de la fréquence deL amplitude et la phase du mouvement forcé de la masse dépendent de la fréquence del’excitateur.

Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est petite par rapport à la pulsation propre ω deLorsque la pulsation de l excitateur ω est petite par rapport à la pulsation propre ω0 del’oscillateur, l’amplitude de l’oscillation forcée est presqu’égale à l’amplitude de l’oscillationde l’excitateur ; force excitatrice et élongation sont en phase, donc la vitesse de l’oscillationforcée est en avance de π/2 sur l’excitation.forcée est en avance de π/2 sur l excitation.

Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est grande par rapport à la pulsation propre ω0 del’oscillateur, l’amplitude de l’oscillation forcée tend rapidement vers zéro ; force excitatrice et, p f p ; félongation sont en opposition de phase, donc la vitesse de l’oscillation forcée est en retard deπ/2 sur l’excitation.

Lorsque la fréquence de l’excitateur externe ω est égale à la fréquence propre ω0 del’oscillateur, l’impédance a sa valeur minimale et on obtient l’effet maximal (l’amplitude del’oscillation forcée peut alors devenir très grande) ; C’est le phénomène de résonance..

Lors de la résonance, l’élongation est donc en retard de π/2 sur la force excitatrice et lavitesse d’élongation (la conséquence) est en phase avec la force excitatrice (la cause).

Illustration du phénomène de résonance pour des ondes mécaniques : le pont de Tacoma

Illustration du phénomène de résonance pour des ondes acoustiques : le verre brisé

Verre briséVerre brisé

6 Analogie électro‐mécano‐acoustiqueBien que les phénomènes mécaniques, électriques et acoustiques soient de natures trèsdifférentes ils sont régis par une formulation mathématique identique il existe une profondedifférentes, ils sont régis par une formulation mathématique identique : il existe une profondeanalogie entre ces trois phénomènes et le regard s’un l’un peut éclairer les autres.

6.1 éléments constitutifs des systèmes électriques

Dans un circuit électrique, les trois composants principaux que l’on rencontre sont lesrésistances, les selfs et les condensateurs. Ce sont ces éléments qui vont respectivementjouer le rôle de l’élément amortisseur, de l’élément de masse et de l’élément élastique.

Si aux bornes d’un de ces composants on applique une différence de potentiel U(t), la chargeélectrique q(t) qui traverse le composant va être modifiée. La variation instantanée de chargeélectrique par rapport au temps dq/dt correspond à un courant électrique i(t).

La différence de potentiel est la CAUSE Le courant électrique est l’EFFETLa différence de potentiel est la CAUSE. Le courant électrique est l EFFET.

Détaillons pour chaque composant du circuit électrique, comme nous l’avons fait pourchaque composant de l’oscillateur mécanique la relation entre la cause et l’effet c’est‐à‐chaque composant de l oscillateur mécanique, la relation entre la cause et l effet, c est àdire entre la tension et le courant.

si le composant est une résistance électrique (conducteur qui laisse passer plus ou moinsbien le courant ou s’y oppose), la relation entre cause et effet est donnée par la loi d’Ohm : ladifférence de potentiel aux bornes d’une résistance est proportionnelle au courant électriquedifférence de potentiel aux bornes d une résistance est proportionnelle au courant électriquequi la traverse :

( ) . ( )RU t R i t=

Le facteur de proportionnalité est appelé résistance du composant (R) et se mesure en Ohmélectrique (Ω).

Elle est symbolisée par : ou par :

La résistance électrique est un élément de dissipation de l’énergie électrique en chaleur (effetq p g q ( ffJoule). La puissance électrique moyenne (P) dissipée par une résistance vaut :

2P Ri

(où l’on a utilisé la valeur efficace du courant).

RP Ri=

si le composant est une self (c’est‐à‐dire un conducteur électrique bobiné), la relation decause à effet est donnée par la loi de l’induction électrique : la différence de potentiel auxbornes d’une sels est proportionnelle à la dérivée par rapport au temps du courant électriquequi la traverse : ( )( )L

di tU t Ldt

=

Le facteur de proportionnalité est appelé coefficient de self‐induction, ou inductance (L) dela bobine. Il se mesure en Henry (H).

Elle est symbolisée par :

La self est un élément d’accumulation d’énergie électrique sous forme réactive. Elle restitueentièrement l’énergie qui y a été emmagasinée. La self est donc un facteur d’inertie,s’opposant aux variations (de courant ici). L’énergie emmagasinée dans une self est unevéritable énergie cinétique électrique dont la valeur est :

2LiW2LW =

si le composant est un condensateur (élément constitué de deux conducteurs séparés parun isolant), on montre que le condensateur se charge lorsqu’on applique à ses deux armaturesune différence de potentiel, et que la charge emmagasinée est proportionnelle à la différencede potentiel (U) appliquée entre ses bornes :

( ) . ( )q t C U t=( ) ( )qLe facteur de proportionnalité est la capacité du condensateur (C) qui se mesure en farad (F).

Il est symbolisée par

Pour un condensateur, puisque i(t)=dq(t)/dt, la relation entre cause et effet devient : ladifférence de potentiel est proportionnelle à l’intégrale de la différentielle de la charge

Il est symbolisée par :

ff p p p g ff gélectrique dq(t)=i(t)dt, et donc :

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )CU t q t dq t i t dtC C C

= = =∫ ∫C C C∫ ∫Le condensateur est un élément d’accumulation de l’énergie électrique sous forme réactive.Lors de sa décharge, il restitue entièrement l’énergie qu’il a emmagasinée lors de sa charge. Ilse comporte donc comme un élément élastique qui rend en se détendant l’énergiepotentielle d’élasticité qu’on y avait accumulée en le tendant. L’énergie électriqueinstantanée accumulée dans un condensateur vaut :

2 2

2 2CCU qW

C= =

6.2 éléments constitutifs des systèmes acoustiques

Dans un système acoustique, les trois composants principaux sont les résistancesacoustiques lesmasses acoustiques et les cavités acoustiques Ce sont ces éléments qui vontacoustiques, lesmasses acoustiques et les cavités acoustiques. Ce sont ces éléments qui vontrespectivement jouer le rôle de l’élément amortisseur, de l’élément de masse et del’élément élastique.

Si à un système acoustique on applique une pression acoustique p(t), on observe unevariation du volume V(t) de la masse acoustique. La variation instantanée de ce volume par( ) q prapport au temps correspond à un débit D(t)=dV/dt qui est égal au produit de la section Spar la vitesse v (D(t)=S.v).

La pression acoustique est la CAUSE. Le débit est l’EFFET.

Détaillons pour chaque composant du système acoustique, comme nous l’avons fait pourchaque composant de l’oscillateur mécanique, la relation entre la cause et l’effet, c’est‐à‐dire entre la pression acoustique et le débit.dire entre la pression acoustique et le débit.

si le système est une résistance acoustique (c’est‐à‐dire un milieu à caractère visqueux,fibreux ou poreux comme de la laine de verre), la propagation de l’onde acoustiques’accompagne d’une dissipation de l’énergie acoustique. La résistance acoustique de

l ù l’é ’ f é h lrayonnement est un cas particulier où l’énergie acoustique n’est pas transformée en chaleurmais rayonnée à l’extérieur du système.

L é i t ti t t é té é d f t fi t llèlLa résistance acoustique est souvent représentée par un réseau de fentes fines et parallèles :

L l i d f tt t fl id t l f d f tt t éé l dé l t dLa loi du frottement fluide montre que la force de frottement créée par le déplacement dufluide dans le réseau de fentes de la résistance acoustique est proportionnelle à la vitesse dedéplacement du fluide : .fF f v=Si dans cette relation on fait apparaître la pression acoustique (p=Ff/S) et le débit (D=v.S),on obtient pour une résistance acoustique la relation directe entre cause et effet :

D f f2 2. . donc c'est-à-dire ( ) . ( ) avec a a

D f fp S f p D p T R D t RS S S

= = = =

Pour une résistance acoustique, la pression acoustique est proportionnelle au débit.Le facteur de proportionnalité entre pression acoustique et débit est la résistance acoustiqueLe facteur de proportionnalité entre pression acoustique et débit est la résistance acoustiquede l’élément. Elle se mesure en Ohm acoustique (Ω ou N.s.m‐5).

La résistance acoustique est un élément de dissipation de l’énergie acoustique.a résistance acoustique est un élément de dissipation de l énergie acoustique.La puissance moyenne dissipée en chaleur vaut :

(où l’on a utilisé la valeur efficace du débit).

2

aP R D=

si le système est une masse acoustique (c’est‐à‐dire un tube ou un conduit de longueur l etde section S, où le fluide en mouvement oscillatoire se comporte comme un solideindéformable), on considère que le fluide en mouvement est incompressible et que tous les

d l l êpoints de la masse acoustique ont lamême vitesse.

Une masse acoustique est symbolisée par :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse d’air m=ρ.S.l contenue dans lamasse acoustique donne :

d l f î l ( / ) l déb ( )

. . dvF ma S ldt

ρ= =

Si dans cette relation, on fait apparaître la pression acoustique (p=F/S) et le débit (D=v.S) onobtient pour la masse acoustique la relation directe entre cause et effet :

. . ( ) .et donc ( ) avecS l dD dD t lp S p t m mρ ρ. et donc ( ) avec a ap S p t m mS dt dt S

= = =

Pour une masse acoustique, la pression acoustique appliquée à la masse acoustique estproportionnelle à la dérivée du débit par rapport au tempsproportionnelle à la dérivée du débit par rapport au temps.Le facteur de proportionnalité est appelé inertance acoustique (ma=ρ.l/S) et se mesure enkilogramme par mètre à la puissance quatre (kg.m‐4).

La masse acoustique est un élément d’accumulation d’énergie acoustique sous formeréactive. La masse acoustique restitue entièrement l’énergie qui a été emmagasinée pour lamettre en mouvement. La masse acoustique est donc un facteur d’inertie, qui s’oppose auxq q ppvariations de position. Il s’agit d’une véritable énergie cinétique acoustique, dont la valeurinstantanée est : 2

2a

am DW =

si le système est une cavité acoustique de section fixe S (c’est‐à‐dire une cavité quelconqueremplie de fluide comme une bouteille, un caisson de baffle), une variation de pressionacoustique engendre une variation relative de volume de la cavité qui lui est proportionnelle(loi de la compressibilité d’un fluide) : dV dp

Vχ− =

où χ est le module de compressibilité en volume du fluide et s’exprime en Pa‐1.

Une cavité acoustique est symbolisée par :

Comme la variation de volume se produit uniquement dans le sens du déplacement , lavariation de volume dV de la cavité est égale au produit de la section S par l’élongation x deg p p gla particule de fluide : dv=S.x. Il s’ensuit, en faisant apparaître la pression acoustique (p=F/S)et le débit (D=v.S) que pour la cavité acoustique, on peut écrire :

2 2 ( )dV S S S D2 2. ( ). . . ( )dV S x S S D tF dp S S S v t dt dtV V V V Sχ χ χ χ

= = = = =∫ ∫et par conséquent, la relation directe entre cause et effet pour la cavité acoustique est :

1 1( ) ( ) avec a ap t k D t dt kC Vχ

= = =∫aC Vχ

Pour une cavité acoustique, la pression acoustique appliquée à la cavité est proportionnelle àl’intégrale de la différentielle du volume dV=D(t)dt.

Le facteur de proportionnalité est la raideur ka=1/χV mais on utilise souvent son inverse Caappelé élasticité de la cavité ou capacitance acoustique ; la capacitance acoustique se

3 1mesure enmètres cubes par pascal (m3Pa‐1).

La cavité acoustique est un élément d’accumulation d’énergie acoustique sous forme réactive.L d dé i l ité tit tiè t l’é i ’ ll i é lLors de sa décompression, la cavité restitue entièrement l’énergie qu’elle a emmagasinée lorsde sa compression. La cavité se comporte donc comme un élément élastique qui restitue, ense détendant, l’énergie potentielle d’élasticité qu’il a accumulée lorsqu’il a été tendu.L’énergie acoustique instantanée accumulée dans la cavité acoustique vaut :Lénergie acoustique instantanée accumulée dans la cavité acoustique vaut :

2 2

2 2a

aa

C p VWC

= =a

7 Oscillations harmoniques des oscillateurs électrique et acoustiqueComme pour l’oscillateur mécanique harmonique, lorsqu’il n’y a pas d’énergie électrique ouacoustique dissipée, la présence d’un composant générateur d’inertie en couplage avec unq p p p g p gcomposant générateur d’élasticité engendre pour une cause linéaire, un effet périodique.7.1 oscillateur harmonique électrique : circuit RL

Si on couple une self et un condensateur chargé, la décharge dup f g , gcondensateur dans la self va provoquer la charge ducondensateur en sens inverse. L’énergie potentielle contenuedans le condensateur va se transformer en énergie cinétiquedans la self qui, à son tour, va la rendre sous forme d’énergiepotentielle au condensateur. Le circuit électrique présente doncdes oscillations harmoniques.

L’équation qui régit l’évolution de ce circuit électrique est la loi d’Ohm :

c’est‐à‐dire ici :( ) 1 ( ) 0di tL i t dt

dt C+ =∫

0U Ri= =∑dt C

Comme i(t)=dq/dt, cette équation peut être réécrite en terme de la charge électrique q(t) :2

2

1 ( ) 0d qL q tdt C

+ =

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre, dont la solution générale est :

dt C

( ) 1

qui est une oscillation harmonique de fréquence propre : 

( ) 1( ) cos avec .mq t q t

L Cω ε ω= + =

1 12 .

fL Cπ

=

7.2 oscillateur harmonique acoustique

Si on couple un tuyau (masse acoustique) et une cavitéacoustique où l’air est comprimé une détente de l’airacoustique où l air est comprimé, une détente de l airdans la cavité va provoquer (à cause de l’inertie de lamasse acoustique), une recompression de l’air dans lacavité.cavité.

Il s’ensuit une oscillation acoustique où l’énergie potentielle contenue dans la cavitéacoustique se transforme en énergie cinétique dans la masse acoustique qui, à son tour, larestitue sous forme d’énergie potentielle à la cavité acoustique : le système acoustiquerestitue sous forme d énergie potentielle à la cavité acoustique : le système acoustiqueoscille.L’équation qui régit ce système acoustique est :

c’est‐à‐dire ici :

adDp mdt

=∑1 ( )( ) adD tD t dt m

C dt− =∫c est à dire ici :

ou, comme le débit est relié au volume V(t) de la cavité par D(t)=dV/dt :

aC dt∫2

2

1

a a

d V Vdt m C

= −

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre, dont la solution générale est :

( ) 1( ) cos avec mV t V tC

ω ε ω= + =

Il s’agit donc d’une oscillation harmonique, et le système oscille avec la fréquence propre : 

a am C

1 1 1S lρ1 1 . 1 puisque , , et 2 2 . a a

a a

c S lf C V m cl V Sm C

ρχπ π χρ

= = = = =

Résumé : oscillateurs harmoniques électrique, mécanique et acoustique

8 Oscillations amorties des systèmes électriques et acoustiquesComme dans le cas mécanique, il n’existe pas de système électrique ou acoustique qui nedissipe pas une partie de l’énergie Pratiquement on observe une diminution progressive de ladissipe pas une partie de l énergie. Pratiquement, on observe une diminution progressive de lavaleur maximum du courant électrique et du débit acoustique (comme on observait unediminution progressive de la vitesse mécanique de l’oscillateur mécanique).8 1 Oscillateur électrique amorti : circuit RLC8.1 Oscillateur électrique amorti : circuit RLC

∑

Soit un circuit comprenant un condensateur chargé, une self, et unerésistance.

2 1 0d q dqL R q+ + =

L’équation qui régit ce circuit est la loi d’Ohm :

qui se ramène à l’équation différentielle :

U Ri=∑

2 0L R qdt dt C

+ + =8.2 Oscillateur acoustique amorti

Soit un système mécanique comprenant une cavitéacoustique une masse acoustique et une résistanceacoustique, une masse acoustique et une résistanceacoustique.L’équation qui régit ce système est : a

dDp mdt

=∑

Cette équation se ramène à l’équation différentielle :2

2

1 0a aa

d V dVm R Vdt dt C

+ + =a

Ces équations différentielles sont analogues à l’équation décrivant l’évolution de l’oscillateurmécanique amorti. La solution générale du problème correspond donc à l’un des trois régimesd’amortissement étudiés.

9 Oscillateurs électrique et acoustique forcés : calcul des impédancesAu lieu d’étudier les systèmes oscillants librement (avec ou sans amortissement), on peutétudier l’évolution de ces systèmes sous l’action d’une action extérieure périodique Il s’ensuitétudier l évolution de ces systèmes sous l action d une action extérieure périodique. Il s ensuit,après une courte période transitoire, des oscillations forcées, dont la périodicité est celle del’action extérieure, mais pour lesquelles les oscillations du système (l’effet) ne sont pas enphase avec l’action extérieure (la cause).phase avec l action extérieure (la cause).9.1 Oscillateur électrique forcé : circuit RLC avec générateur

Si on connecte un générateur délivrant une tension alternativeU=Umsin(ωt+ε) à un circuit composé d’une résistance, d’une selfet d’un condensateur, le circuit va être parcouru après lestransitoires par un courant alternatif i=imsin ωt. L’équation quirégit le circuit est :

( ) 1d ( )( ) 1( ) ( ) sinmdi tL Ri t i t dt U tdt C

ω ε+ + = +∫En appliquant les résultats obtenus pour l’oscillateur mécanique forcé, on peut directement

221 1 avec e

e

i U Z R LZ C

ωω

⎛ ⎞= = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

pp q p q , pécrire :

e ⎝ ⎠Le déphasage entre la tension aux bornes du circuit et le courant est donné par la relation :

1

tL

Cω

ω⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠tan

Rε ⎝ ⎠=

À nouveau, le phénomène de résonance se produit lorsque la fréquence de l’action extérieureest égale à la fréquence propre du circuit. Le déphasage cause‐conséquence est alors nul.

9.2 Oscillateur acoustique forcé : résonateur de HelmholtzSi on soumet à une pression acoustiqueextérieure périodique p=pmsin(ωt+ε) unp q p pm ( )système acoustique composé d’unerésistance acoustique, d’une masseacoustique et d’une cavité acoustique, il vase produire après une période transitoiredes oscillations forcées de débit D=Dmsin ωt.L’équation qui régit ce système acoustique est :

( ) 1dD t∫ ( )( ) 1( ) ( ) sina a m

a

dD tm R D t D t dt p tdt C

ω ε+ + = +∫En appliquant les résultats obtenus pour l’oscillateur mécanique forcé, on peut directementécrire la solution après la période transitoire :

221 1 avec a a aD p Z R m ω

⎛ ⎞= = + −⎜ ⎟avec a a a

a a

p mZ C

ωω⎜ ⎟

⎝ ⎠

Le déphasage entre la pression extérieure exercée sur le système et le débit est donné par larelation 1⎛ ⎞relation : 1

tana

a

a

mC

R

ωω

ε

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠=a

À nouveau, le phénomène de résonance se produit lorsque la fréquence de l’actionextérieure est égale à la fréquence propre du système. Le déphasage cause‐conséquence estalors nul.

Résumé :