Chapitre 22 : Les oscillateurs mécaniques

1. Les oscillateurs mécaniques ( TP n°20)

Définitions

- Un oscillateur mécanique est un système animé d’un mouvement périodique de part et d’autre d’une position d’équilibre ;

- Si le système oscillant est abandonnée à lui-même, les oscillations sont dites libres ;

- La durée d’une oscillation (un aller-retour) est appelée période propre de l’oscillation et souvent notée T0 ;

- Pour décrire le mouvement d’un oscillateur autour de sa position d’équilibre, on étudie l’évolution temporelle de son élongation et l’amplitude est la valeur maximale de l’élongation.

Exemples :

Pour un pendule simple (ci-dessus), l’élongation

angulaire est l’angle orienté formé par le fil et sa position d’équilibre à la verticale.

Pour un pendule élastique (ressort notamment, ci-dessus), l’élongation xG est la position prise par le centre d’inertie du pendule repérée par rapport à sa position d’équilibre.

1.1. Le pendule simple

Un pendule pesant est un objet en oscillation dans un plan vertical sous l’effet de la pesanteur. On le modélise par un pendule simple (ci-contre) qui est un système ponctuel G, de masse m, accroché à un fil de longueur ℓ.

À l’équilibre, le fil est vertical et la position du pendule est repérée par l’écart (ou l’élongation) angulaire.

Pour de petites oscillations, la période propre T0 d’un pendule simple de longueur ℓ est :

1

0

0

valeur du champ de pesanteur ( 9,81 N.kg )

longueur du fil (en m)

T période propre du pendule

T 2π

(en s)

g

g

L’objet est soumis à son poids P , à la tension du fil T et aux frottements de l’air f . La poussée d’Archimède est

négligée. T est perpendiculaire à la direction du mouvement : elle ne travaille pas (W( T ) = 0).

A RETENIR :

- Pour un pendule simple, si l’amplitude des oscillations est suffisamment faible ( < 20°) alors sa période propre

T0 est indépendante de l’amplitude : on parle d’isochronisme des petites oscillations ;

- Pour de faible oscillations ( < 20°), la période propre T0 d’un pendule simple ne dépend pas de la masse.

1.2. Le pendule élastique

Un pendule élastique est composé d’un objet de masse m accroché à l’extrémité d’un ressort de constante de raideur k. À l’équilibre, le ressort n’est ni allongé, ni étiré. La position de l’objet est repérée par l’élongation x du ressort.

Lorsque le ressort subit une déformation (ci-dessus), il exerce une force, appelée force de rappel, qui tend à le ramener dans sa position d’équilibre (voir document 1 du TP n°21). Elle est donnée par :

0

1

allongement ou raccourcissement du ressort (en m)

F k constante de raideur du ressort (en N.m )

F force de rappel (en N)

x

k

La période propre T0 d’un pendule élastique (ressort) de constante de raideur k et auquel est accrochée, à son extrémité, une masse m est :

1

0

0

masse accrochée au ressort (en kg)

constante de raideur du ressort (en N.m )

T période propre du pendule

T

(

π

s)

2

en

mm

kk

1.3. Transferts d’énergie ( TP n°21) 1.3.1. Oscillations non amorties

Lorsqu’il est en mouvement, un oscillateur est le siège d’une succession d’échanges énergétiques : l’énergie potentielle emmagasinée est transférée sous forme d’énergie cinétique et inversement. Évolution des énergies potentielle, cinétique et mécanique au cours du temps :

A RETENIR :

En l’absence de frottement, l’énergie mécanique garde une valeur constante, elle se conserve. L’énergie potentielle (de pesanteur ou élastique) est intégralement transférée en énergie cinétique et inversement.

Em = EC + EP = cste

L’oscillateur est dit non amorti.

Remarque : pour un pendule élastique vertical, il faut tenir compte de la contribution de pesanteur à l’énergie potentielle.

EP = EPE + EPP

1.3.2. Dissipation d’énergie

Même lorsque les frottements sont faibles, ils entrainent un amortissement des oscillations du pendule, au bout d’un temps assez long, par transfert thermique entrainant l’échauffement du milieu : l’énergie mécanique diminue progressivement.

On montre, à partir du théorème de l’énergie cinétique (cf. chapitre 21), que la variation de l’énergie mécanique

entre deux positions A et B d’un oscillateur est égale au travail de la force f qui modélise l’action mécanique des

frottements entre ces deux positions :

Em(A B) = WAB( f )

Évolution des énergies au cours du temps :

A RETENIR :

En présence de frottements, l’énergie mécanique diminue à chaque oscillation. Il y a transfert partiel de l’énergie potentielle en énergie cinétique ; une partie de l’énergie est dissipée, du fait des frottements, sous forme d’énergie thermique au milieu extérieur (dont la température s’élève).

L’oscillateur est dit amorti.

Remarques :

- Lorsqu’un oscillateur mécanique subit un faible amortissement, son mouvement est toujours oscillatoire mais l’amplitude des ses oscillations diminue au cours du temps, ce mouvement est dit pseudo-périodique. La période T de ces oscillations est appelée pseudo-période et est proche de T0 ;

- Dans le cas de frottements importants, il n’y a plus d’oscillations : on parle de régime apériodique ;

Régime périodique Régime pseudo-périodique Régime apériodique

- Le travail des forces de frottement étant résistant, (WAB( f ) < 0) alors Em(A B) < 0 donc l’énergie mécanique

diminue.

2. La mesure du temps

Les phénomènes astronomiques périodiques servent de référence à la mesure du jour et de l’année depuis la Préhistoire (cadran solaire).

Pour des durées plus petites, on utilisa, à partir du XVIIe siècle, des dispositifs mécaniques perfectionnés utilisant des oscillateurs mécaniques :

- Balanciers (pendules pesants) pour des horloges mécaniques ;

- Des systèmes masse-ressort dans les montres mécaniques ;

- Un cristal oscillant dans les montres à quartz.

L’inconvénient de ces dispositifs est qu’ils sont soumis à des forces de frottements qui dissipent leur énergie mécanique au cours du temps et donc l’amplitude de leurs oscillations. Il faut donc entretenir ces oscillations par un apport d’énergie mécanique (balancier, masse-ressort, électricité,...).

La dépendance des périodes d’oscillations de ces dispositifs aux conditions d’utilisation (usure des mécanismes, frottements, conditions météorologiques) les rendent incompatibles pour des mesures de grande précision.

Mécanismes d’une horloge à balancier Mécanisme utilisant un ressort spiral dans les montres

mécaniques Un petit morceau de cristal de quartz

2.1. Définition actuelle de la seconde

La seconde (symbole : s) est l’unité de mesure d’une durée dans le Système International (SI).

La dernière définition de la seconde a été établie lors de la 13e conférence générale des poids et mesures en 1967 et découle de la précision atteinte par les horloges atomiques (voir §2.2) :

« La seconde est définie comme la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux de l’état fondamental de l’atome de césium 133. »

2.2. Le temps atomique

Un atome peut subir une transition électronique de l’état fondamental vers un état excité (niveau d’énergie

supérieur) lorsqu’il reçoit un photon d’énergie suffisante : il faut que la fréquence de la radiation qui lui est associée corresponde exactement à la différence d’énergie entre les deux états précédents.

E h

C’est la course à la précision qui a permis le développement des horloges atomiques, basées, comme les montres à quartz, sur un étalon de fréquence. Ces dispositifs ont permis de mesurer le temps avec une très grande précision : les horloges atomiques actuelles ne retardent que d’une seconde tous les 4 milliards d’années ! L’atome ne « s’use » pas.

L’horloge atomique de référence est celle au césium :

Schéma de principe d’une horloge atomique au césium Horloge atomique embarquée dans un GPS

Le choix du césium est justifié par le fait que la transition utilisée est facilement réalisable et très stable.

A RETENIR :

Le temps atomique international (TAI) est établi en effectuant la moyenne des informations provenant de plusieurs centaines d’horloges atomiques réparties en différents endroits du globe.

Le temps universelle atomique est communiqué par l bureau international des poids et mesures.

Le temps universel atomique est l’échelle de temps la plus précise jamais réalisée.