CHAPITRE 3 : COMPORTEMENT

CHAPITRE 3 :

COMPORTEMENT

Chapitre 3 : Comportement___________________________________________________________________________

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CHAPITRE 3 :

COMPORTEMENT

Pour obtenir les solutions complètes décrivant l'équilibre d'un solide déformable nonlinéaire, il faut introduire une loi de comportement caractérisant les propriétés physiques dumatériau. Le but de ce chapitre est de définir les équations constitutives reliant le tenseur desdéformations plastiques au tenseur des contraintes et d'expliciter l'intégration de ces équationsau sein d'un logiciel d'éléments finis.

Etant donné la diversité des domaines d'application et des procédés de fabrication denos partenaires industriels, il convient de choisir une approche suffisamment générale etsouple. Suivant la géométrie et le matériau (aluminium, uranium, inconel 718 etc..) du produità forger, les températures peuvent varier de 20°C à 1300°C et les vitesses de forgeage sontcomprises entre 1 mm/s (presses lentes) et 8m/s (marteau pilon).

Pour améliorer la qualité des pièces transformées, une demande relative à la prédictiondes limites de forgeabilité apparaît et, pour y répondre, la modélisation de l'endommagementductile et son implantation dans certains algorithmes de plasticité est une première réponse. Ilexiste un grand nombre d'ouvrages sur les mécanismes macroscopiques et microscopiquesrégissant ce phénomène. Le recueil de DODD and BAI [DOD 87], les travaux deTHOMASON [THO 90] et le dernier congrès "Advanced method in Material ProcessingDefects" [PRE 97] rassemblent les travaux de recherche sur ce thème.

Le phénomène d'endommagement ductile est décomposé en trois phases distinctes. Lapremière, appelée nucléation, est sans aucun doute la plus complexe à modéliser en raison dela diversité des sites d'amorçages et de son caractère aléatoire. Les sollicitations extérieurescréent des contraintes engendrant de grandes déformations plastiques au voisinage deséléments d'addition dans les alliages, des inclusions, des précipités de mise en solution par


78

traitement thermique, des empilements de dislocations et des joints de grains. Il apparaît alorsune décohésion à l'interface ou une rupture de la particule créant ainsi une micro-fissure ouune cavité. CHU et NEEDLEMAN [CHU 80] décrivent cette étape à partir d'une loistatistique stipulant que la germination des cavités suit une distribution normale autour d'unevaleur critique de la déformation plastique équivalente cumulée. Une telle prise en compte dela naissance des cavités dans un modèle demande une connaissance statistique desphénomènes physiques et nécessite l'identification de trois paramètres.

Dans un premier temps, on se contentera de modéliser la seconde phase, dite decroissance des cavités en supposant que le matériau est déjà poreux avant le procédé de miseen forme [BEC 88], ou que la décohésion entre la matrice et l'inclusion apparait pour defaibles déformations plastiques. Ceci est le cas, par exemple, des aciers non alliés avec desinclusions de MnS [PIN 97].

Le critère de forgeabilité est défini à partir d'une valeur critique de la fractionvolumique des cavités, ainsi la dernière phase, dite de coalescence, où se forment des macro-fissures n'est pas admissible lors d'un procédé de fabrication par déformation plastique et nesera pas modélisée.

Il existe deux approches différentes qui permettent de prédire l'évolution del'endommagement ductile [GEL 95], [PIN 97]. La première consiste à supposer que leséquations constitutives ne sont pas affectées par l'endommagement. Dans cette approche noncouplée c'est un critère d'endommagement local qui sera utilisé en post-traitement.

La deuxième approche consiste à utiliser un milieu homogène équivalent au matériauendommagé. L'endommagement est couplé aux équations constitutives en introduisant d'unepart une réduction du seuil d'écoulement (effet adoucissant), et d'autre part une déformationvolumique caratéristique du milieu faiblement compressible. Les paramètresd'endommagement sont identifiés soit via leur couplage au comportement ou soit directementà partir du phénomène modélisé. Les premières simulations ont été effectuées pour desprocédés d'extrusion avec le modèle de Gurson [GUR 77].

La première partie de ce chapitre détaille les étapes permettant, à partir d'un critère devon Mises, de construire une loi de comportement suffisamment élaborée pour tenir comptede la dépendance à la vitesse et à la température du matériau à partir de la variable isotroped'une formulation élasto-plastique. L'équation reliant le tenseur des déformations plastiques autenseur des contraintes est entièrement déterminée à partir de la fonction (surface de charge)délimitant le domaine élastique dans l'espace des contraintes. Suivant le type de matériau, onpeut aussi bien assister à un accroissement de ce domaine (durcissement) qu'à une diminution(restauration ou recristallisation), et il convient avant chaque simulation de repérer lesphénomènes prépondérants afin d'identifier la contrainte d'écoulement correctement.

La démarche employée pour le critère de von Mises reste valable pour les modèlesd'endommagement ductile présentés en deuxième partie à savoir : le modèle de Picart etOudin et les deux modèles proposés par le laboratoire de mécanique des solides de l'I.N.S.A.de Lyon.

La troisième partie décrit l'intégration numérique des différentes équationsconstitutives et leur implantation dans les schémas globaux de résolution de l'équationd'équilibre.

La programmation des algorithmes de gestion du comportement est ensuite validée surdeux exemples : un collar test et un écrasement de tore. Les trois modèles d'endommagementductile introduits dans le code de simulation POLLUX sont comparés


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I. EQUATIONS CONSTITUTIVES INCOMPRESSIBLES

I.1. Critère de plasticité

Le passage entre un état élastique et un état plastique est gouverné par une surfacelimite dans l'espace des contraintes, modélisée par une fonction f, appelée surface de charge :

si f

f

0 l'état des contraintes est élastique

si > 0 l'état des contraintes est plastique

≤[3.1]

L'historique de la déformation, des variables d'écrouissage Ai, de la température T etdes variables d'endommagement Fi (variables d'état) caractérisent à un instant donné lematériau. Le domaine élastique est alors défini par ( ){ }0,,, ≤= TFAfquetelD iiijije σσ où σ ij

représente le tenseur des contraintes. La condition ( ) 0,,, =TFAf iiijσ symbolise quant à elle

la frontière du domaine d'élasticité. La surface de charge s'écrit en général sous la forme :

f eq y= −σ σ [3.2]

où : σy est la contrainte d'écoulement du matériau

σeq est la contrainte équivalente

Pour un matériau qui respecte le critère de von Mises, elle prend la forme :

yvmyijij ssf σσσ −=−

= ..

2

3[3.3]

où : sij est le déviateur des contraintesσy est la contrainte d'écoulement du matériau

σvm est la contrainte équivalente de von Mises

I.2. Lois d'écoulement

Dans ce paragraphe, les étapes permettant d'aboutir à l'écriture générale du tenseur desvitesses de déformations plastiques sont exposées puis appliquées au critère de von Mises. Ladépendance du comportement du matériau à la vitesse n'est pas introduite à partir d'unesimulation élasto-visco-plastique. Les équations constitutives découlent directement de lasurface de charge choisie pour une formulation élasto-plastique en utilisant la loi de normalitéet la condition de cohérence, ainsi l'étape d'identification de la fonction de viscosité [OWE80], [PER 84] est supprimée. La prise en compte des variables d'état par l'intermédiaire de lacontrainte d'écoulement laisse une grande liberté à l'utilisateur sans toutefois demander uneconnaissance approfondie des procédures d'intégration et d'identification de la loi decomportement.


80

I.2.1. Décomposition de la déformation

Quelle que soit la formulation en petites déformations adoptée, élasto-plastique ouélasto-visco-plastique, le tenseur des déformations totales dij

Tε est décomposé en une partie

linéaire élastique réversible dijeε et une partie non linéaire irréversible d ij

pε :

d d dijT

ije

ijpε ε ε= + [3.4]

Remarque : prise en compte des déformations d'origine thermique

Au moment du calcul du tenseur des déformations, le tenseur des déformationsthermiques est introduit sous la forme :

d d d dijT

ije

ijp

ijthε ε ε ε= + + [3.5]

avec : d dTijth

ijε α δ= . . [3.6]

où :α représente le coefficient de dilatation du matériaudT est la variation de températureδ ij

est le symbole de Kronecker

I.2.2. Comportement élastique

Les composantes du tenseur des contraintes dijσ associées au champ de déformations

élastiques dijeε pendant le temps dt, découlent des équations de Hooke :

d d dij kke

ij ijeσ λ ε δ µ ε= +. . . .2 [3.7]

où :

δij est le symbole de Kronecker

λ et µ sont les coefficients de Lamé définis par : ( )( )νννλ

211 −+= E

et ( )νµ

+=

12

E

E représente le module d'Young du matériau et ν le coefficient de Poisson

Pour une formulation axisymétrique, le tenseur des contraintes ainsi que le tenseur desdéformations se réduisent à quatre composantes et l'expression [3.15] devient :


81

=

erz

ezz

ett

err

rz

zz

tt

rr

d

d

d

d

D

DDD

DDD

DDD

d

d

d

d

εεεε

σσσσ

3

122

212

221

000

0

0

0

[3.8]

avec : ( )( )ννν

ν 21111 −++

+= EE

D , ( )( )ννν

2112 −+= E

D et DE

32

1=

+ ν les termes de la matrice

de comportement élastique D.

Le tenseur des contraintes total à t+dt s'écrit :

σ σ σijt dt

ij ijtd+ = + [3.9]

où σijt a été réactualisé à partir de la dérivée de Jaumann pour assurer l'objectivité de la dérivée

par rapport au temps du tenseur des contraintes.

I.2.3. Comportement inélastique

I.2.3.1. Travail maximal

Le principe du travail maximal énoncé par Hill découle du second principe de lathermo-dynamique et stipule que le travail des contraintes réelles �σ ij associées aux vitesses de

déformations plastiques réelles ��ε ij est supérieur au travail de tout autre tenseur des contraintes

�*σ ij admissible associé à ��ε ij :

( ) 0~.~~ * ≥− ijijij εσσ � [3.10]

Deux conséquences découlent de ce principe :- la vitesse de déformation plastique est normale à la surface de charge nij .

- la surface de charge est convexe.

I.2.3.2. Définition de l'écoulement plastique

Dans le cas de la plasticité associée, l'expression même de la surface de charge

détermine le tenseur des vitesses de déformations plastiques �ε ijp. La direction de l'écoulement

est donnée par la normale à la surface de charge nij et son intensité est fixée par la condition

de cohérence �f = 0 obligeant le point représentatif de l'état des contraintes à rester sur lasurface de charge lors de l'écoulement plastique :

� � . � .ε λ ∂∂σ

λijp

ijij

fn= = [3.11]


82

où �λ est le multiplicateur plastique obtenu à partir de la condition de cohérence

I.2.3.3. Direction d'écoulement associée au critère de von Mises

En dérivant l'expression de la surface de charge de von Mises on obtient :

nf

sijij vm

ij= =∂∂σ σ

3

2

1. . [3.12]

I.2.3.4. Recherche du multiplicateur plastique

a. Matériau élastique parfaitement plastique

Pour un matériau parfaitement plastique, la surface de charge s'écrit :

f eq= − =σ σ0 0 [3.13]

avec σ0 la contrainte d'écoulement constante

Le multiplicateur plastique est obtenu à partir de la condition de cohérence :

dff

dij

ij= =0∂

∂σσ. [3.14]

Pour un état de contrainte σ ij plastiquement admissible auquel on ajoute le tenseur des

contraintes incrémentales dijσ , il faut vérifier que :

( ) ( ) 0=+=+ dffdf ijijij σσσ [3.15]

Le tenseur des contraintes incrémentales s'écrivant :

( )kl

ijklTklijkl

pkl

Tklijklij

fDddDddDd

∂σ∂λεεεσ ... −=−= [3.16]

avec Dijkl la matrice de comportement élastique du matériau

on peut substituer cette expression dans l'équation [3.14] pour obtenir :

d

fD d

fD

fij

ijkl klT

rsrstu

tu

λ

∂∂σ

ε

∂∂σ

∂∂σ

=. .

. .[3.17]


83

d'où : d

fD d

fD

ff

mnp ij

ijkl klT

rsrstu

tu

mn

ε

∂∂σ

ε

∂∂σ

∂∂σ

∂∂σ

=. .

. .. [3.18]

b. Généralisation

La surface de charge d'un matériau élasto-plastique avec écrouissage isotrope s'écrit :

( ) 00 =−−= peqeq Rf εσσ [3.19]

où :

R est la variable d'écrouissage isotrope

εeqp

la déformation plastique équivalente cumulée

σ0 la contrainte d'écoulement initiale

Il en découle une condition de cohérence de la forme :

dff

df

RdR

ijij= = +0

∂∂σ

σ ∂∂

. . [3.20]

et le multiplicateur plastique prend la forme :

d

fD d

Hf

Df

ijijkl kl

T

rsrstu

tu

λ

∂∂σ

ε

∂∂σ

∂∂σ

=+

. .

. .[3.21]

où HdR

d eqp

=ε

[3.22]

L'expression [3.21] est largement utilisée dans les codes de simulation par élémentsfinis [MGU 97], [RON 94], [SAB 96], [BRU 97], et est particulièrement performante quandl'écrouissage est défini à partir d'une expression analytique (de type Swift ou Ludwick).

Dans le cas du logiciel de forgeage POLLUX, la particularisation de la loi decomportement au matériau est réalisée par l'intermédiaire du seuil d'écoulement σy . Le

nombre de variables d'écrouissage n'est pas à priori limité (vitesse de déformation plastiqueéquivalente, température, fraction volumique ou tout autre paramètre d'endommagement) et lemultiplicateur plastique est écrit à partir de la condition de cohérence d'un matériauparfaitement plastique [3.17].


84

II. CRITERES DE PLASTICITE COMPRESSIBLES

Afin de prendre en compte la déformation volumique du milieu, les approchescouplées utilisent un critère de plasticité compressible endommageable. La majorité desmodèles , [LEB 95], [GEL 86], [GEL 85], [KNO 93], [BEC 88], [NEE 91], [PIC 92], et [GEL95], [PIN 97] sont respectivement des extensions des modèles de GURSON [GUR 77] etROUSSELIER [ROU 80]. Ils formulent une relation entre la croissance des cavités et lacontrainte moyenne en introduisant une variable caractérisant l'endommagement irréversibledans le potentiel plastique. Cette variable, notée fv, représente la fraction volumique descavités, c'est à dire le volume occupé par les cavités par rapport au volume total matrice (oumatériau sain) + cavités (Figure 3.1). En pratique, elle se mesure à partir des variations de lamasse volumique du matériau [BRE 97] ou par l'intermédiaire du module d'Young [COG 91],[LEM 92] ou encore directement par analyse d'images [SHI 97].

Dans le premier cas on a :

( ) 01 ρρ vc f−= [3.23]

ρ0 étant la masse volumique du matériau sans cavitéρc étant la masse volumique du matériau avec cavité

Matériau sain

Cavités

fvVV

cavités

total

=

Figure 3.1 : Représentation schématique d'un matériau contenant des micro-cavités

La variation de fraction volumique est liée à la partie volumique du tenseur des

vitesses de déformations plastiques �ε ijp par la relation :

( ) 1 pkkvv ff ε�� −= [3.24]

avec étant la fraction volumique minimale qui correspond à 0f f fv vi

vi≥ min min, ρ


85

II.1. Modèle de Picart et Oudin

Le modèle proposé par PICART et OUDIN [PIC 92], [OUD 95], [PIC 97] est uneextension du modèle de Gurson. Pour tenir compte des différences observées suivant le signede la contrainte moyenne, la surface de charge proposée par Gurson est conservée uniquementpour les contraintes moyennes positives. Le potentiel plastique du matériau contenant lescavités s'écrit :

( ) 0.12

3cosh...2 2

32

12

2

=+−

+= v

M

mv

M

vm fqq

fqfσ

σσσ

si σm ≥ 0 [3.25]

( ) 0.1..2 2312

2

=+−+= vv

M

vm fqfqfσσ

si σm < 0 [3.26]

où σM représente la contrainte d'écoulement du matériau non endommagé.

Les coefficients q1, q2, et q3 ont été ajoutés par TVERGAARD [TVE 81] au modèled'origine [GUR 77] pour tenir compte des phénomènes d'interaction entre les cavités(habituellement, q1=1.5, q2= 1 et q3= 2.25).

Lors d'un état de pression hydrostatique où σm < 0, la surface de charge est similaire àcelle de von Mises altérée de l'effet d'endommagement comme le montre la Figure 3.2.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

fv = 0.01

f v= 0.001

σσ

m

M

σσ

vm

M

fv = 0.1

Figure 3.2 : Surface de charge du modèle de Picart et Oudin

La normale à la surface de charge correspondante est :


86

ijM

mvij

ij

qfqqs

f δσσ

σ∂σ∂

..2

3sinh.....3 2

021

+= pour m σ ≥ 0 [3.27]

∂∂σ

fs

ijij= 3. pour m σ < 0 [3.28]

II.2. Modèles d'endommagement ductile proposés par le LMSo del'I.N.S.A. de Lyon

Le caractère irréversible du modèle de Picart et Oudin n'autorise pas la fermeture descavités, bien que dans certaines gammes de fabrication, l'étape de mise en forme permette dedensifier le matériau. Afin d'étudier l'évolution des cavités pour un état de pressionhydrostatique et l'interaction avec les inclusions, des travaux de recherche au sein dulaboratoire de Mécanique des Solides de L'I.N.S.A. de Lyon (LMSo) ont été menés et ont faitl'objet de 5 publications [STA 95], [STA 96], [STA 97a], [STA 97b] et [BOY 97].

Les premières études ont été réalisées :- à partir de la méthode des éléments finis en supposant que le matériau pouvait être

modélisé par une cellule unité composée d'une matrice incompressible et d'une cavitééventuellement remplie par une inclusion (détaillées en annexe 2).

- en adaptant le modèle analytique de RICE et TRACEY [RIC 69] au cas d'un matériaucontenant des inclusions et en l'utilisant pour identifier les variables d'endommagementintroduites dans les modèles présentés aux paragraphes II.2.2. et II.2.3.

II.2.1. Modèle analytique de Rice et Tracey

RICE et TRACEY [RIC 69] ont développé un modèle analytique permettant d'évaluerles vitesses d'évolution des rayons Rk d'une cavité vide, initialement sphérique (Figure 3.3),

soumise, par l'intermédiaire de la matrice infinie, à un taux de déformation plastique �ε ijp.

R1

R2

R3

�εIIIp

�εIp

�εIIp

Figure 3.3 : modèle de Rice et Tracey


87

Dans les axes principaux (I, II, III) du tenseur des vitesses de déformations plastiquesla variation des rayons s'écrit d'après [RIC 69] :

RR p

M

mpkk

+= ε

σσε ��

4

3

3

5[3.29]

avec : �εkp les composantes du taux de déformation dans les axes principaux

�εp le taux de déformation plastique équivalentσM la contrainte d'écoulement de la matrice supposée incompressibleσm la contrainte moyenne

La variation de volume de la cellule unité �V

VT

T s'écrit alors :

�

.�V

Vf

V

VT

Tc

c

c= [3.30]

où : fc représente la fraction volumique�V

Vc

c est la variation de volume de l'ellipsoïde

� � � �V

V

R

R

R

R

R

Rc

c= + +1

1

2

2

3

3[3.31]

La relation [3.29] peut être particularisée à des états simples de chargement pourexprimer la variation de volume de la cavité uniquement en fonction de la déformationplastique équivalente.

Pour un état de traction uniaxiale suivant la direction I, on obtient :

σ σ σI = =M m3 [3.32]

En négligeant la variation de volume du milieu infini, le tenseur des vitesses dedéformations plastiques s'écrit :

� � � � � /ε ε ε ε εIp p

IIp

IIIp

Ip= = = −, 2 [3.33]

et l'expression [3.31] devient :

��

V

Vc

c

p= 9

12ε [3.34]

La même démarche appliquée à un état de cisaillement pur donne :

�V

Vc

c

= 0 [3.35]


88

Pour une matrice avec une inclusion supposée parfaitement rigide, il est nécessaired'ajouter des conditions supplémentaires pour empêcher la fermeture de la cavité (Figure 3.4).

�εIp

�ε2p

R2=0.

Figure 3.4 : matrice avec inclusion

En posant � �R R3 2 0= = , la variation de volume dans le cas d'un état de tractionuniaxiale suivant I s'écrit alors :

��

V

Vc

c

p= 23

12ε [3.36]

Dans le cas d'une matrice avec inclusion, un état de cisaillement pur conduit à unaccroissement du volume de la cavité et :

��

V

Vc

c

p= 5 3

6ε [3.37]

L'évolution des fractions volumiques obtenues avec et sans inclusion est tracée pourdifférents cas de chargement aux Figures 3.5 et 3.6. Sous un chargement uniaxial de tractionsuivant l'axe III, la fraction volumique augmente systématiquement avec la déformationplastique équivalente et la présence d'une inclusion accentue ce phénomène en empéchant ladiminution du rayon de la cavité dans les directions perpendiculaires au chargement. Souscompression, la fraction volumique diminue pour une cellule sans inclusion, alors qu'elle croîtpour la cellule avec inclusion. Comme pour la traction, l'inclusion empêche la cavité de serefermer. Des résultats analogues sont obtenus pour le cas d'un chargement de cisaillementcylindrique où le tenseur des contraintes dans les axes principaux prend la forme :

[ ]

−−=

ττ

τσ

00

00

002

[3.38]


89

Sans inclusion, la fraction volumique est constante quelle que soit la valeur de ladéformation plastique équivalente, en revanche, le volume des cavités augmente en présenced'une inclusion. Ces résultats sont en bon accord avec les simulations numériques par laméthodes des éléments finis d'une cellule unité avec ou sans inclusion soumise à unchargement simple [STA 95], [STA 96], [BOY 97].

CAVITE SANS INCLUSION

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Déformation plastique équivalente

Fra

ctio

n vo

lum

ique

(%

)

Rice et Tracey Traction pureRice et Tracey Compression pureCisaillement cylindrique

Figure 3.5 : modèle de Rice et Tracey sans inclusion

CAVITE AVEC INCLUSION

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Déformation plastique équivalente

Fra

ctio

n vo

lum

ique

(%

)

Rice et Tracey Traction pure

Rice et Tracey Compression pure

Rice et Tracey Cisaillement cylindrique

Figure 3.6 : modèle de Rice et Tracey modifié avec inclusion


90

II.2.2 Extension du modèle de Drucker Prager

Comme proposé par BOIVIN [BOI 70], l'expression générale de la surface de charge fest modifiée pour tenir compte des effets de la contrainte moyenne et s'écrit :

f a I J k= + − =. 12

22 0 k est la variable isotrope du matériau endommagé [3.39]

avec :I ij ij1 = σ δ le premier invariant du tenseur des contraintes

J2 le second invariant du déviateur des contraintesδ ij le symbole de Kronecker

a un coefficient prenant en compte l'endommagement

La contrainte équivalente correspondante σeq, identifiée à partir d'un état de traction

uniaxiale est :

2

12

2

31.

31

27

+

++

=aa

a vmmeq

σσσ [3.40]

avec σ vm la contrainte équivalente de von Mises

Le taux de déformation plastique est calculé à partir de la loi de normalité :

( ) [ ]ijijmeq

ppij sa

a+

+= δσ

σεε ..6.

312

3.

�� [3.41]

où �εp est le taux de déformation plastique équivalent associé à la contrainted'écoulement σy du matériau compressible tel que l'équivalence énergétique soit respectée :

σ ε σ εij ijp

yp.� . �= [3.42]

La partie déviatorique �ε ijdev et la partie volumique �εkk

p du tenseur des vitesses de

déformations plastiques peuvent être facilement identifiées dans [3.41] :

� � � . /ε ε ε δijp

ijdev

kkp

ij= + 3 [3.43]

d'où � .εµij

devijs= 1

2[3.44]

avec µ le coefficient de viscosité de cisaillement défini par : µσε

= +eqp

a�

.1 3

3[3.45]

et � .εκ

σkkp

m= 1[3.46]


91

où κ est le module de compressibilité plastique défini par κσε

= +eqp

a

a�.1 3

27[3.47]

Comme l'énergie dissipée plastiquement doit rester positive, (inégalité de Clausius-Duhem) , les paramètres µ et κ doivent être positifs :

( ) 0...2...2

≥+=+= devij

devij

pkk

devijij

pkkm

pijij s εεµεκεεσεσ �� [3.48]

Il faut que µ et κ soient positifs, mais il intéressant de noter que le deuxième principe dela thermodynamique permet une diminution du volume des cavités aussi bien qu'uneaugmentation.

La variable d'endommagement est identifiée à partir du modèle de Rice et Traceyparticularisé à un chargement de traction uniaxiale [3.30] et [3.34] :

��

. .� . �ε ε εkkp T

Tc

p pV

Vf

a

a= = =

+9

12

9

1 3[3.49]

avec VT le volume total de la cellule unité

D'où : af

fc

c

=−12 3

[3.50]

Cette expression de a permet bien de vérifier la condition [3.48] quel que soit0 1≤ ≤fc .

II.2.3 Extension du critère de von Mises aux matériaux compressibles

Le modèle de von Mises est étendu au cas des matériaux plastiquement compressibles,en considèrant l'équivalence de l'énergie de changement de forme entre un état quelconque decontrainte défini par le déviateur du tenseur de Cauchy sij et l'état de traction simple pour un

élément infinitésimal de masse dm. L'équivalence des énergies spécifiques de changement deforme peut être formulée en introduisant les masses volumiques courantes ρc pour l'étatquelconque de contraintes et ρt pour la traction simple. Si on tient compte du changement demasse volumique, la surface de charge s'écrit :

f kij ij

c

= − =s s.

202

ρk est la variable d'écrouissage isotrope du matériau endommagé [3.51]

La contrainte équivalente σeq correspondante est identifiée à partir d'un état de traction :

σ ρρeq

t

c

ij ij2 32

= . ..s s

[3.52]


92

Cette forme spécifique du critère de von Mises impose lors de l'identification de k laprise en compte de la variation de la masse volumique du matériau en fonction de ladéformation plastique à mesurer parallèlement pendant les essais de torsion ou de tractionuniaxiale.

La surface de charge permet de définir le tenseur des vitesses de déformations plastiquesavec la loi de normalité pour un matériau plastiquement compressible en supposant la massevolumique ρc fonction du tenseur des contraintes σ ij :

−==

ij

c

tc

eq

c

ij

ij

pij

sf

∂σ∂ρ

ρρσ

ρλ

∂σ∂λε ..

3

12

��

[3.53]

avec �λ le multiplicateur plastique identifié à partir de la puissance spécifique dedissipation P en introduisant une vitesse de déformation plastique équivalente �εp

énergétiquement conjuguée à la contrainte équivalente choisie :

−

=⇒===

ij

c

c

ijy

pc

ijij

cc

pijij

t

py f

∂σ∂ρ

ρσσ

ερλ∂σ∂σ

ρλ

ρεσ

ρεσ

.2

1

1..

2

3 .

..P

��

��

[3.54]

Dans le cas général, ceci conduit au tenseur des vitesses de déformations plastiquessuivant:

−

−

=ij

c

t

y

ij

ij

c

c

ijy

ppij s

∂σ∂ρ

ρ

σ

∂σ∂ρ

ρσσ

εε ..

3

1

.2

1

1

2

32

�� [3.55]

Ce résultat montre que la variation de la masse volumique ou de tout autre paramètrephysique lié à la conservation de la masse pourrait être déterminée par un tenseur duquatrième ordre, une telle définition est à envisager pour un modèle d'endommagementanisotrope, pour tenir compte de la présence de particules dans des cavités.

II.2.3.1 Endommagement isotrope

Dans le cas simple d'un modèle d'endommagement isotrope (modèle actuellementprogrammé dans POLLUX), on peut limiter la dépendance de la masse volumique ρc au seul

effet de la contrainte moyenne σm. En séparant la partie déviatrice �ε ijdev et la partie volumique

�εkkp du tenseur des vitesses de déformations plastiques (à partir de [3.55]) on obtient :

m

c

m

c

c

mt

pyp

kk ∂σ∂ρ

∂σ∂ρ

ρσρ

εσε .

.2

1

1.

..

2

1

−

−=�

� [3.56]


93

L'identification de la variation de la masse volumique dans le cas particulier del'endommagement isotrope fait appel à la modélisation analytique de Rice et Tracey dans lecas de la traction simple (démarche analogue à celle utilisée pour l'identification de la variabled'endommagement du modèle de Boivin):

� .�

. .�ε εkkp

cc

cc

pfV

Vf= = 9

12[3.57]

La masse volumique ρc étant liée par la conservation de la masse à la fractionvolumique fc des cavités dans la matrice de masse volumique ρM , leurs vitesses respectivesdoivent aussi respecter ce principe :

( )c

c

c

cMcc f

dfdf

−−=⇒−=

11

ρρρρ [3.58]

Par ailleurs le passage de la contrainte d'écoulement du matériau σy avec cavités à la

contrainte d'écoulement de la matrice sans cavité σM , peut se faire à énergie spécifiqueconstante pour la même déformation plastique équivalente puisque seule la matrice dissipel'énergie :

( ) MtyM

pM

t

py f σσ

ρεσ

ρεσ

−=⇒= 1.. ��

[3.59]

L'identification en traction de la vitesse de variation de la masse volumique ou de lafraction volumique de cavités avec le modèle de Rice et Tracey [3.30] et [3.34] donnefinalement :

( ) mM

m

M

m

c

c

c

c df

f

f

df σσσ

σσ

..2

9.

1.

4

91.

2

2

=

−

− [3.60]

L'équation différentielle [3.60] peut être résolue numériquement, et pour des fractionsvolumiques inférieures à 0.01 et des taux de triaxialité inférieurs à 1.5, elle se réduit à uneforme intégrable :

2

2 2

3exp...

2

9

=⇒=

M

mcm

M

m

c

c Aff

f

σσ∂σ

σσ∂

avec 2

2

1exp

−

=t

t

f

fA [3.61]

La constante A est identifiable avec la fraction volumique f t de la traction uniaxiale.L'identification de la fonction d'écoulement proposée avec le modèle de Rice et Tracey pourl'endommagement isotrope pour les hypothèses précédentes permet donc d'écrire lesdéformations plastiques sous la forme :


94

( )

−+= ijmt

cij

y

ppij f

fs δσ

σεε ..1.

2..

2

3 �� [3.62]

Ce modèle de comportement plastique satisfait la forme forte de l'inégalité de Clausius-Duhem; la production locale spécifique d'entropie doit être positive ou nulle. Les dissipationsde changement de forme et de changement de volume sont chacunes positives car la contrainteéquivalente et la déformation plastique équivalente sont des quantités positives par définition,et la fraction volumique est une fonction positive comprise entre 0 et 1.

3

20

�. � .

εσ

ε σp

yij ij

pys s = ≥ et ( ) 0.1...

4

9 2 ≥− mtcy

p

ff σσε�

[3.63]

Ce modèle de plasticité compressible qui est une extension de la plasticité de von Misesne fait appel à aucune variable cachée ou interne, respecte le second principe de lathermodynamique et permet des vitesses de variation de volume unitaire positive ou négativeen fonction du signe de la contrainte moyenne. Son développement permet d'entrevoir desextensions à un endommagement sous contrainte moyenne nulle [BOY 97].

II.2.3.2 Perspectives : modèle anisotrope

Toute la démarche présentée au début du paragraphe II.2.3 reste valable, mais ladépendance de la masse volumique ρc ne va plus se limiter au seul effet de la contraintemoyenne σm. Le raisonnement est repris à partir de l'expression du tenseur des vitesses dedéformations plastiques :

−

−

=ij

c

t

eqij

ij

c

c

ijeq

ppij s

∂σ∂ρ

ρσ

∂σ∂ρ

ρσσ

εε ..3

1.

.2

1

1..

2

32

�� [3.64]

L'origine de la déformation plastique provient à la fois de la partie déviatrice dutenseur des contraintes et de la dépendance de la masse volumique courante aux sixcomposantes du tenseur des contraintes pour un phénomène complètement anisotrope.Comme la modélisation par éléments finis suggère un comportement orthotropique de lacavité (voir annexe 2) dans les directions principales du taux de déformations, cette hypothèseest utilisée pour l'identification de l'évolution de la masse volumique courante. Dans le butd'identifier entièrement le taux des déformations plastiques, l'expression [3.64] est reformuléeà partir de la fraction volumique et de la contrainte d'écoulement du matériau nonendommagé. En isolant la partie volumique du taux de déformation on obtient :

( )ij

ij

cM

p

ij

c

c

ij

pkk

f

f

f

δ∂σ∂σε

∂σ∂σ

ε ....

.12

12

1��

−

+= [3.65]


95

Comme pour un chargement en traction dans une direction principale K du taux dedéformation, le modèle de Rice et Tracey modifié conduit à un taux de déformationvolumique de la forme :

pc

M

KK

pK fa ε

σσε �� ..

4

3

+= [3.66]

l'évolution de la fraction volumique est gouvernée par :

KKM

KKK

MM

KKKc

M

KK

c

c aaff

f∂σ

σσ

σσσ

σσ∂

..4

3.

2.

4

3..1.

+=

+− [3.67]

Dans les procédés de forgeage, la fraction volumique ne dépasse pas 1% et le taux detriaxialité et souvent inférieur à 1.5 Une approximation du premier ordre, vérifiée en intégrantnumériquement l'expression [3.67], permet de réduire cette formule à une fonctionexponentielle et le taux de déformation plastique dans les axes principaux s'écrit alors :

( )

−++= Kt

Keq

cKeq

ppK

fafs σ

σσεε .

2

1.

3..

2

3 �� [3.68]

Les coefficients aK restent à identifier avec le modèle de Rice et Tracey modifié pourprendre en compte la présence d'inclusions dans les cavités.

III. INTEGRATION ET IMPLANTATION DANS UNCODE ELEMENTS FINIS DES LOIS DECOMPORTEMENT

Deux phases distinctes doivent être considérées pour l'introduction d'une loi decomportement au sein d'un logiciel d'éléments finis : la résolution du système non linéaire deséquations d'équilibre globales (dans notre cas par une méthode implicite de type Newmark ouune méthode explicite de différences finies centrées), et la détermination de l'état decontraintes locales du matériau. Cette dernière étape constituant une procédure indépendantede l'algorithme d'intégration temporelle choisi est commune aux deux versions dynamiques etsera exposée en premier.

Soit σ ijt l'état de contraintes à l'instant t plastiquement admissible, l'intégration du

comportement consiste à trouver σ ijt dt+ compatible avec l'incrément de déformation totale dij

Tεtel que ( ) 0≤+dtt

ijf σ .

III.1. Prédiction élastique et correction radiale

La méthode d'intégration de la loi de comportement est une méthode implicite deprédiction élastique avec correction radiale. On suppose dans un premier temps que la


96

variation de déformation totale dijTε est entièrement élastique. La variation du tenseur des

contraintes dijσ est estimée à partir des formules de Hooke et ajoutée au tenseur des

contraintes de l'incrément précédent. La comparaison de la valeur équivalente caractéristiquede cet état de contrainte avec le seuil d'écoulement du matériau permet de vérifier la validitéde l'hypothèse à t+dt :

- si y eqσ σ≤ , le point reste ou retourne dans le domaine élastique

- si y eqσ σ> , le point a plastifié et il faut estimer la partie plastique du tenseur des

déformations à partir de la condition de cohérence

Une fois la partie non linéaire des déformations incrémentales calculée, le tenseur descontraintes est réactualisé par la relation :

σ σ δεijt dt

ijt dt

ijkl klpD+ += − [3.69]

La même démarche est reprise (boucle itérative indicée par k en Figure 3.7) jusqu'àl'obtention d'une contrainte équivalente à t+dt égale à la contrainte d'écoulement à 0.1 % près.


97

- Le point reste dans le domaine élastique- Le point repasse dans le domaine élastique

OUI NONLe point est dans le domaineplastique

NON

OUI

Début de l'incrément de calcul

Résolution de l'équilibre

Estimation du champ de contraintes en supposant quele point de Gauss est resté dans le domaine élastique

Calcul de la contrainte équivalente

Calcul de la normale à la surface de charge

Calcul de la déformation plastiqueincrémentale

Nouvelle estimation des contraintes

Calcul de la normale à la surface de charge

Calcul de la contrainte équivalente

k=k+1

σ ε σ σ εijt

ijt dt

ijt, , , d dij

pijT= = =+0 0

{ } Tijdd ε⇒∆

Tklijkl

tij

dttij dD εσσ +=+

)1(

)1(

=

=

kij

keq

n

σ

yk

eq σσ >= )1(

)1()()(

)( )()()(

)()(

−

+=

=⇒=

kkk

k

pij

pij

pij

kij

kpijk

mnijmnkij

kk

dd

ndnDn

dfd

εδεε

λδελ

)(

)(

kij

keq

n

σ

epsiloyk

eq ≤−σσ )(

)()1()( kkk pmnijmn

dttij

dttij D δεσσ −=

−++

Figure 3.7 : schéma récapitulatif de l'intégration de la loi de comportement.

Remarques :

1- Le multiplicateur plastique utilisé dans l'algorithme ( )kdλ n'est pas explicitementcelui proposé dans l'expression [3.17]. Pour un état des contraintes sur la surface de charge à


98

l'instant t, on suppose que la variation de déformation totale est entièrement élastique pourobtenir une première estimation de la variation des contraintes:

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )kmnijmn

kij

k

kmnijmn

kij

rsk

rs

kmnijmn

kij

Tturstu

krsk

nDn

df

nDn

dn

nDn

dDnd

....

.

..

..===

σελ [3.70]

Au cours du procédé itératif dkλβγ va diminuer et les corrections à apporter au tenseurdes contraintes pour vérifier la condition de cohérence seront de plus en plus faibles.

2- L'algorithme d'intégration ainsi défini peut entraîner des décharges élastiques (f<0)au cours du procédé itératif de recherche de la solution. En effet, si le pas de temps estimportant, une nouvelle estimation du tenseur des contraintes peut conduire à une valeuréquivalente inférieure à la contrainte d'écoulement. Cette erreur est alors corrigée par unevaleur négative du multiplicateur plastique (Figure 3.8).

f=0

σeq(t)

σeq(t+dt)k=1

σeq(t+dt)k=2

σeq(t+dt)k=4

σeq(t+dt)k=3

Domaine élastique

dλ>0k=1 k=2

dλ<0k=2 k=3

f>0

Figure 3.8 : Décharge numérique

3- Le tenseur des déformations plastiques dijpε est calculé directement à partir de la

variation incrémentale du tenseur des contraintes dijσ en conservant le seuil d'écoulement σy


99

constant pendant tout l'incrément. Une réactualisation de celui-ci au cours du processus itératifd'intégration de la loi de comportement peut être envisagée pour une meilleure description del'écrouissage du matériau. En cas de non convergence, il faudrait opter pour un schémad'intégration incrémental en découpant la variation dijσ en plusieurs

δσ σ δσij ij ijtel que d =k

∑ . Le problème différentiel associé à l'intégration du comportement

peut également être résolu par une méthode explicite de type Runge et Kutta. Par exemple,SABOURIN [SAB 94] découpe l'incrément de déformation totale en n incréments et calculela variation des déformations plastiques en réactualisant explicitement l'état de contraintes etles variables internes. De façon analogue à l'intégration implicite, les décharges numériquessont autorisées et entrainent une diminution de la déformation plastique.

III.2. Spécificités de l'algorithme explicite

Dans le cas d'une formulation explicite du schéma d'intégration temporel, la prise encompte du comportement du matériau dans l'équation d'équilibre à t intervient parl'intermédiaire des forces internes :

{ } [ ] { }∫=eV

eT

éléments

dVBF A ..int σ [3.71]

où les composantes du tenseur des contraintes plastiquement admissible σ ij , stockées

sous forme vectorielle, proviennent de l'incrément précédent.Une fois les déplacements { }dttd + connus, le processus de recherche des contraintes et

des déformations plastiques est enclenché. La Figure 3.9 résume les différents enchaînementsde l'algorithme global de résolution pour un calcul avec prise en compte de l'endommagement.


100

Résolution de l'équation d'équilibre

Calcul du tenseur dedéformations totales

Estimation élastique

f > 0

OUI

NON

Estimation itérative du tenseur de déformationplastique Correction

Réactualisation de fv

Calcul des forces internesd ij

Tε

d D d dij ijkl klT

ijt dt

ijt

ijσ ε σ σ σ= ⇒ = ++.

d d nijp

ijε λ= .

d ijpε = 0

σ σ εijt dt

ijt dt

ijkl klpD d+ += −

{ } { }{ }{ }{ }{ } { } { }tdtt

dtttext

dtt

ddd

ddffhd

−=∆⇒=

+

−+ ,,,( int

{ }intf

vt

vdtt

v

pkk

tvv

dfff

fdf

+=⇒

−=+

.

)1( ε

Figure 3.9 : algorithme de plasticité et équation d'équilibre globale - explicite

III.3. Spécificités de l'algorithme implicite

Pour l'algorithme implicite, le couplage entre l'algorithme de résolution global et lecomportement du matériau est plus complexe. Si pour des raisons de simplification d'écritureon développe uniquement les termes relatifs au comportement plastique du matériau,l'équation d'équilibre peut s'écrire :

[ ]{ }( ) { }( ) [ ] [ ]{ }( )e

V

ipT

éléments

ii dVDBfdKe

A ...* ∫+= δεδδ [3.72]

La résolution de cette équation par une méthode implicite de type Newmark permetd'obtenir à chaque itération (i) une variation { }dδ du champ de déplacements et ce n'est qu'à lafin de l'incrément, après convergence, que l'équation d'équilibre est vérifiée.


101

La variation des contraintes dijσ est calculée à partir du cumul des déplacements

itératifs { } { }∑=∆i

dd δ . Cette stratégie, retenue pour la version dynamique implicite, est

différente de celle adoptée dans l'ancienne version statique implicite du logiciel POLLUX.Comme le remarquent CAO et TEODOSIU [CAO 92], il est préférable de repartir de l'étatconnu à l'instant t à chaque itération plutôt que d'intégrer la loi constitutive le long du trajet derésolution itératif de l'équilibre. Une telle méthode provoque en effet des oscillations de parl'utilisation de chemins de recherche trop complexes et peut entraîner une dissipation d'énergienégative pour des lois tenant compte de l'endommagement ductile.

Une fois la variation de déformation incrémentale connue, il convient d'évaluer leterme itératif pour le second membre de l'équation d'équilibre :

( ) ( ) ( )1−−= ipij

ipij

ipij dd εεδε [3.73]

La Figure 3.10 résume les différents enchaînements de l'algorithme global derésolution pour un calcul avec prise en compte de l'endommagement.


102

NON

Estimation itérative du tenseur de déformation plastique Correction

Réactualisation de fv

Résolution de l'équation d'équilibre

Calcul du tenseur dedéformations totales

Estimation élastique

f > 0

Calcul du second membreà partir de :

OUI

Processus itératif (i)

fin de l'incrément

[ ]{ } { }{ } { }i

i

i

ii

dd

fdK

∑=∆⇒

=

δ

δδ *)(*

)( iTijdε

)()()()( iij

tij

idttij

iTklijkl

iij ddDd σσσεσ +=⇒= +

)1()()( −−= ipij

ipij

ipij dd εεδε

0)( =ipijdε

)()()( ipklijkl

idttij

idttij dD εσσ −= ++)()( i

ijiip

ij ndd λε =

tvv

dtfv

p

kkt

vv

fdff

fdf

+=⇒

−=+

.

)1( ε

Figure 3.10 : algorithme de plasticité et équation d'équilibre globale - implicite

IV. EXEMPLES

Les deux exemples suivants ont pour objectifs de comparer les modèlesd'endommagement ductile implantés au sein du logiciel dynamique POLLUX et d'observer :

- l'emplacement des zones les plus endommagées- les valeurs des fractions volumiques- l'influence de la contrainte moyenne


103

IV.1 Collar test

La compression d'un cylindre circulaire est un essai souvent utilisé pour tester laforgeabilité d'un matériau, mais dans le cas de matériaux ductiles les forces nécessaires pourfaire apparaître une fissure peuvent être extrêmement élevées. On lui préférera la compressiond'un lopin cylindrique muni d'un collier (connue sous le nom de collar test), où l'amorçage desfissures se produit à des déformations bien plus faibles à cause des niveaux de tensionhydrostatique plus élevés dans la zone du collier.

IV.1.1. Mises en données

Les caractéristiques géométriques du lopin, détaillées en annexe 3, sont tracées enFigure 3.11.

Début de Simulation Fin de Simulation

Nombre de noeuds 1118 - Nombre d'éléments 523

Figure 3.11 : Géométrie du lopin avant et après écrasement

Les caractéristiques du matériau sont celles du cuivre :

E MPa

kg m

==

=

99000

0 3

8900 3

ν

ρ

.

/

Le seuil d'écoulement σy est obtenu à partir d'un essai de traction uniaxiale présenté à

la Figure 3.12 (courbe expérimentale issue de [LEM 92]). Il va pouvoir être utilisédirectement pour l'extension du critère de Drucker Prager. En revanche, pour l'extension ducritère de von Mises et le modèle de Picart et Oudin, il est nécessaire de quantifierl'endommagement lors de l'essai, afin d'évaluer la masse volumique du milieu homogèneéquivalent pour le premier, et la contrainte d'écoulement de la matrice pour le second.


104

Figure 3.12 : Evolution du module d'Young au cours d'un essai de traction [LEM 92]

La masse volumique du matériau endommagé est reliée à l'évolution du moduled'Young à partir de la modélisation du comportement élastique endommageable proposée parLEMAITRE [LEM 92].

Supposons que le volume élémentaire représentatif de la matrice non endommagée soitune sphère de rayon R et de masse m (Figure 3.13), sa masse volumique est :

ρπ

Mm

R=

43

3[3.74]

Au cours de la phase de croissance, la cavité supposée sphérique de rayon r va occuper

un volume 4

33πr et la matrice étant incompressible, la masse volumique du matériau

endommagé peut s'écrire :

( )33

3

4rR

mt

+=

πρ [3.75]

La variation de masse volumique au cours de l'essai de traction prend alors la forme :

( )33

3

rR

r

M

Mt

+−=−

ρρρ

[3.76]


105

X

Y

Z

R, mr

X Y

Z

Figure 3.13 : Volume élémentaire réprésentatif de la matrice

On peut, d'autre part, calculer la variation du module d'Young en fonction des mêmesparamètres R et r, en introduisant la variable d'endommagement D définie par Lemaitre quitraduit la réduction de la section effective liée à la présence de la cavité :

32

33

3

1

+

=−==rR

r

E

E

S

SD

M

tC [3.77]

où :

EM représente le module d'Young du matériau non endommagéEt représente le module d'Young du matériau endommagéSC est la surface définissant l'intersection entre la cavité et le plan z=0S est la surface définissant l'intersection entre l'ensemble cavité+matrice et le plan z=0

d'où :

−−=

23

11M

tMt E

Eρρ [3.78]

L'expression [3.78] permet ainsi de calculer en fonction de la déformation plastiqueéquivalente cumulée la contrainte d'écoulement du matériau non endommagé nécessaire aumodèle proposé par Picart et Oudin à partir de l'équivalence énergétique :

σ ρρ

σ0 = M

ty [3.79]

et définit également la courbe ( )ερ gt = introduite dans l'extension du critère de von Mises

au cas des matériaux compressibles (Figure 3.14).


106

Evolution de la masse volumique du cuivre au cours d'un essai de traction

0

1500

3000

4500

6000

7500

9000

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00

Déformation plastique équivalente (%)

Mas

se v

olum

ique

(kg

/m3)

Figure 3.14 : Evolution de la masse volumique au cours de l'essai de traction uniaxiale

Afin de mettre en évidence les différences entre les trois modèles d'endommagementductile de façon plus significative, la fraction volumique initiale est choisie à 4%, même sicette valeur n'est pas caractéristique des fractions volumiques observées dans le domaine duforgeage. La vitesse de descente de l'outil est de 5 m/s et l'interface outil-lopin respecte une loide Coulomb-Orowan avec les coefficients µ=0.1 et m=1.

IV.1.2. Résultats

Les Figures 3.15 à 3.17 rassemblent les fractions volumiques obtenues avec les troismodèles pour une course de 4 mm, soit 27% d'écrasement.

Pour chaque modèle d'endommagement, la région la moins dense en fin dedéformation est systématiquement la zone du collier, avec cependant des valeurs de fractionsvolumiques assez différentes. Cette répartition de l'endommagement est conforme auxobservations expérimentales de ZHU, CESCOTTO et HABRAKEN [ZHU 95] pour des"collar test" réalisés sur des lopins en aluminium. Les photographies des résultatsexpérimentaux montrent que les fissures apparaissent systématiquement en surface sur lagéométrie de l'échantillon, à la périphérie du collier.

La fraction volumique augmente uniquement dans la région du collier, zone quicorrespond à une pression hydrostatique négative (Figure 3.18). Comme le modèle de Picart etOudin est irréversible, les diminutions de fraction volumique ne sont pas autorisées sous unchargement où la contrainte moyenne est négative et l'ensemble du coeur du lopin reste à lafraction volumique initiale. Les deux modèles proposés par le laboratoire de Mécanique desSolides de l'I.N.S.A. de Lyon (LMSo) autorisent la fermeture des cavités et le lopin se densifieau centre.


107

4.324.063.793.523.252.992.722.452.191.92

Figure 3.15 : Fraction volumique obtenue pour l'extension du modèle de Prager (%)

4.814.353.893.432.972.512.051.601.140.68

Figure 3.16 : Fraction volumique obtenue pour l'extension du modèle de von Mises (%)

4.434.384.334.284.234.194.144.094.044.00

Figure 3.17 : Fraction volumique obtenue pour le modèle de Picart et Oudin (%)


108

267229191153114 76 38 0-38-76

Figure 3.18 : Pression hydrostatique (MPa)

IV.2 Ecrasement d'un barreau cylindrique

Le deuxième exemple est inspiré de la littérature, et a été utilisé par ZHU etCESCOTTO [ZHU 92] pour comparer différents modèles. A l'origine, il consiste à simulerl'écrasement d'un barreau cylindrique de 20 mm à partir d'une modélisation en déformationplane. Ne disposant pas d'une telle formulation, le spécimen est remplacé par un tore avec unrayon important.

IV.2.1 Mise en données

La Figure 3.19 montre la géométrie de la pièce à forger.

20 mm

600 mm

Figure 3.19 : Géométrie de la pièce

Le maillage utilisé est représenté à la Figure 3.20 : il est constitué de 472 élémentssoient 1994 degrés de liberté.


109

Figure 3.20 : Maillage de la pièce

Les simulations sont réalisées avec les propriétés matériaux du cuivre (lescaratéristiques sont détaillées dans le premier exemple) avec la version explicite duprogramme POLLUX, à une vitesse de descente de 20 m/s.

IV.2.2. Résultats

Les fractions volumiques obtenues pour les différents modèles sont tracées en Figures3.21, 3.22 et 3.23 pour une course de 8 mm (soit 40 % d'écrasement).

On peut distinguer deux régions présentant un comportement totalement différent. Lapremière est le centre du disque. Les cavités se sont refermées pour les deux modèles duLMSo alors que la fraction volumique est passée de 4% à 4.24 % pour le modèle de Picart etOudin. Cette différence de comportement s'explique à partir du suivi de la contrainte moyenneau cours de la simulation. La zone centrale est tout d'abord sous tension (jusqu'à 7%d'écrasement) et les volumes des cavités augmentent quel que soit le modèle. Elle repasseensuite sous pression, provoquant ainsi une diminution de la taille des cavités pour l'extensiondu modèle de Drucker-Prager et l'extension du modèle de von Mises, alors que celles ciconservent la même taille pour le modèle de Picart et Oudin.

La seconde zone est la surface libre du tore. Dans toutes les simulations, la fractionvolumique augmente, même si là encore, les valeurs des fractions volumiques finales sontdifférentes suivant le type de modèle utilisé. Cette zone est très rapidement sous tensionhydrostatique mais la fraction volumique croît peu car la déformation plastique n'apparait quetardivement à la périphérie.

4.23.93.63.33.02.82.52.21.91.6

Figure 3.21 : Fraction volumique obetnue pour l'extension du modèle de Prager (%)


110

4.524.083.643.192.752.311.871.430.990.55

Figure 3.22 : Fraction volumique obtenue pour l'extension du modèle de von Mises(%)

4.744.654.574.494.414.324.244.164.084.00

Figure 3.23 : Fraction volumique obtenue pour le modèle de Picart et Oudin (%)

V. CONCLUSIONS

Les équations constitutives reliant le tenseur des vitesses de déformations plastiques autenseur des contraintes sont obtenues à partir d'une approche élasto-plastique. La fonctiondéfinissant la limite entre le domaine élastique et le domaine plastique suffit à construire la loide comportement :

- la direction de l'écoulement plastique est imposée par la normale à la surface decharge.

- l'intensité de l'écoulement est estimée à partir de la condition de cohérence établie pourun matériau élastique parfaitement plastique. Les paramètres influençant lecomportement non linéaire du matériau tels que les variables d'écrouissage ou latempérature, ne sont pas pris en compte directement dans l'expression dumultiplicateur plastique mais par l'intermédiaire du seuil d'écoulement réactualisé àchaque incrément.

L'algorithme de recherche de l'état de contraintes locales est commun aux versionsdynamiques implicite et explicite du logiciel POLLUX. La méthode employée dans la versionstatique implicite du logiciel est abandonnée. Elle consistait à suivre le trajet de résolutionitératif de l'équation d'équilibre pour le calcul des contraintes au lieu de repartir


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systématiquement de l'instant t connu et aboutissait à l'utilisation de chemins de recherche tropcomplexes pouvant entrainer des oscillations, voir des énergies dissipées négatives pour leslois de comportement endommageable.

La recherche du taux de déformation plastique directement à partir de la variationincrémentale du tenseur des contraintes impose des pas de temps suffisamment faibles pourpouvoir prendre en compte les non linéarités matérielles correctement. Dans l'optique d'uneaugmentation du pas de temps, il faudrait réactualiser le seuil d'écoulement au cours duprocessus de recherche des contraintes locales.

La prise en compte des phénomènes d'endommagement ductile est réalisée à partir d'unvéritable couplage où la surface de charge diminue avec l'augmentation de la fractionvolumique. Trois modèles sont actuellement disponibles au sein du logiciel de mise en formedynamique POLLUX :

- le modèle de Picart et Oudin (extension du modèle de Gurson)- l'extension du modèle de Drucker Prager (LMSo)- l'extension du modèle de von Mises aux matériaux compressibles (LMSo)

Dans les deux derniers cas, les paramètres d'endommagement sont identifiés à partir dumodèle analytique de Rice et Tracey. L'extension du critère de von Mises au cas des matériauxcompressibles laisse entrevoir de nouveaux horizons pour la prise en compte del'endommagement ductile anisotrope des matériaux avec inclusions.

Les exemples présentés dans ce chapitre montrent que les trois modèles localisent lesmaximums d'endommagement de façon similaire avec une disparité importante au niveauquantitatif. Une série de mesures expérimentales sur des échantillons soumis à des historiquesde chargement simples permettrait de tester les modèles mis au point par le laboratoire.


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CHAPITRE 3 : COMPORTEMENT