OBJECTIFS DU COURS DE Chapitre 1 : INTRODUCTIONthual.perso.enseeiht.fr/otmmc/PDFS/TomeII/00slides-four.pdf · Loi de comportement • Loi de Fourier • Loi de Hooke • Loi de comportement

OBJECTIFS DU COURS DE

MECANIQUE

DES

MILIEUX CONTINUS

1. Place du cours dans la formation

2. Plan du cours

3. Organisation pratique

4. Des experiences a la modelisation

1 Mecanique des milieux continus deformables, Chapitre 1

Chapitre 1 : INTRODUCTION

Equations d’evolutions des milieux continus

Experiences sur les fluides

• Pression hydrostatique et force d’Archimede

• Velocimetre de Venturi dans une conduite

• Ecoulement de Couette et viscosite

Experiences sur les solides deformables

• Experience de traction d’un barreau

• Immersion d’un barreau elastique dans un fluide

• Experience de cisaillement d’un barreau

Eperience sur la chaleur

• Diffusion de la chaleur a travers un milieu

Loi de comportement

• Loi de Fourier

• Loi de Hooke

• Loi de comportement des fluides newtoniens


Chapitre 2 : GRANDES DEFORMATIONS

X

e(1)e(2)

e(3)

Ω0 Ω

a x

X : Ω0 −→ IR3

a 7−→ x = X(a)

a =

a1

a2

a3

x =

x1

x2

x3

Exercice 2.1 :

x1 = ka1

x2 = a2

x3 = a3 + β a21


Ex 2.1 : Deformation de ma gomme

x1 = X1(a1, a2, a3) = ka1

x2 = X2(a1, a2, a3) = a2

x3 = X3(a1, a2, a3) = a3 + β a21

avec k = 2 et β = 1 cm−1.

Cube : Ω0 = [0, l]3 et l = 2 cm

O I

E

K J

O

K

S

R

H

L

M

U

A

B

C

D

X

Z

Y

V

T

x2a2x1

x3a3

a1


Matrice Jacobienne F (a) autour de a

F (a) : δa → δx = F δa

Y1

1.01

1.01

1

1

0.99

0.99

1 A

B

C

DZ

2.

2.01

T2

1,99

0

0.01

0.01

0

0

−0.01

−0.01

0δa

δa’

δa’’

δa’’’

X

F

O O

x a

X2.02

2.0201

1.98

1.9801

0.

−0.01δx’’’

δx 0.02

0.02

−0.02

−0.02δx’’

0

0.01δx’

X(a + δa) = X(a) + F (a) δa + O[

(δa)2]


Matrice gradient de la deformation :F (a)

x’a’

X

Fe(1)

e(2)

e(3)

x

δx

a δa

x′ = X(a′) = X(a + δa) = X(a) + F (a) δa + O[(δa)2]

Fij(a) =∂Xi

∂aj

(a)

δx = F (a) δa + O[(δa)2]

δxi = Fij(a) δaj + O[(δa)2] =∂Xi

∂aj

(a) δaj + O[(δa)2]


Calcul de F (E) pour ma gomme :

x1 = X1(a1, a2, a3) = ka1

x2 = X2(a1, a2, a3) = a2

x3 = X3(a1, a2, a3) = a3 + β a21

F (a) =

k 0 0

0 1 0

2βa1 0 1

Pour k = 2 et β = 1 cm−1 et dans le plan (e(1), e(3)) :

F (1, 1) =

(

2 0

2 1

)

δx =

(

0.02

0.02

)

=

(

2 0

2 1

) (

0.01

0

)

= F (a)δa


Tenseur des dilatations

x’’

x’

δx’

δx

xa

a’a’’

δaδa’

X

F e(1)e(2)

e(3)

C(a ; δa, δa′) = δx · δx′ =tδx δx′ = δxi δx′i

=(

F δa)

·(

F δa′)

=t(

F δa) (

F δa′)

= tδa tFF δa′ = δai Fni Fnj δa′j

C(a) =t F (a) F (a)

Cij(a) = Cji(a) = Fni(a)Fnj(a)

En conclusion :

δx · δx′ = C(a ; δa, δa′) =t δa C(a) δa′ = δai Cij δa′j


Tenseur des dilatations pour ma gomme

tF (1, 1) =

(

2 2

0 1

)

F (1, 1) =

(

2 0

2 1

)

C =t F F =

(

2 2

0 1

) (

2 0

2 1

)

=

(

8 2

2 1

)

0

0.01

0.01

0δa

δa’F

O O

δx 0.02

0.02

0

0.01δx’

γ13

δx · δx′ = (0.02, 0.02)

(

0

0.01

)

= 0.0002

tδa C δa′ = (0.01, 0)

(

8 2

2 1

) (

0

0.01

)

= 0.0002


Dilatation relative des longueurs : Λ(a ; δa)

Λ(a ; δa) =‖δx‖‖δa‖ =

√

C(a ; δa, δa)

‖δa‖

Λ(a ; δa) =

√

tδa C(a) δa

‖δa‖2=

√

δai Cij δaj

δan δan

0

0.01

0.01

0δa

δa’F

O O

δx 0.02

0.02

0

0.01δx’

γ13

‖δx‖ = .02√

2 ‖δa‖ = .01 Λ =‖δa‖‖δa‖ = 2

√2

Λ2 = (1, 0)

(

8 2

2 1

) (

1

0

)

= 8


Glissement des vecteurs orthogonaux

γ(a ; δa, δa′) avec δa · δa′ = 0

x’ δx

x

a

a’

δa

X

F e(1)e(2)

e(3)

a’’δx’x’’

δa’

θ

γ

δx · δx′ = ‖δx‖ ‖δx′‖ sinγ(a ; δa, δa′)

sin γ(a ; δa, δa′) =C(a ; δa, δa′)

√

C(a ; δa, δa)√

C(a ; δa′, δa′)

=tδa C(a) δa′

√

tδa C(a) δa√

tδa′ C(a) δa′

=δai Cij δa′

j√

δam Cmn δan

√

δa′p Cpq δa′

q


Transport de la base canonique

ax

X

F e(1)

e(2)

e(3)

δa(2)

δa(1)

δx(3) δx(2)

δx(1)

δa(3)

Dilatations relatives des vecteurs de base :

Λ2[

a ; δa e(1)]

=‖δx(1)‖2

‖δa(1)‖2

=t(

δa e(1))

C(

δa e(1))

(δa)2= C11

Glissement des vecteurs de base :

δx(1) · δx(2) = ‖δx(1)‖ ‖δx(2)‖ sin γ12

= t(

δa e(1))

C(

δa e(2))

= (δa)2 C12

sin γ12 =C12√

C11 C22

=C21√

C11 C22


Exemple de ma gomme

0

0.01

0.01

0δa

δa’F

O O

δx 0.02

0.02

0

0.01δx’

γ13

C =

(

8 2

2 1

)

C11 = Λ2[

a ; δa e(1)]

= 8

d’ou√

C11 = 2√

2.

sinγ13 =C13√

C11 C33

=2√8

=1√2

d’ou γ13 = π/4.


Transport des volumes

δV0 = |(δa, δa′, δa′′)|

(δa, δa′, δa′′) = δa · (δa′ ∧ δa′′) = εijk δai δa′j δa′′

k

X

a

xF δa(2)

δa(1)

δx(3)δx(2)

δx(1)

δa(3)

e(1)e(2)

e(3)

δV = |(δx, δx′, δx′′)| = |(F δa, F δa′, F δa′′)|

= |detF | |(δa, δa′, δa′′)| = |detF | δV0

δVδV0

= J(a) = |detF (a)|


Integrale volumique

x = X(a), F (a) = grad X(a)

δV = J(a) δV0, J(a) = |detF (a)|

X

a

x

BBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBδV0

δV

F e(1)e(2)

e(3)

∫∫∫

D

f(x) d3x =

∫∫∫

D0

f [X(a)] J(a) d3a


Deformation inverse : A

A : Ω −→ Ω0

x 7−→ a = A(x)

Ω0

a x

A Ω

X

e(1)e(2)

e(3)

Representations eulerienne et lagrangienne

B(L)(a) = B(E)[X(a)] ⇐⇒ B(L)[A(x)] = B(E)(x)

Ω0

a x

Ω

X

A

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

BB

( L)( a )

B( E )

( x)

e(1)e(2)

e(3)

B(L)(a) = B(E)(x) avec x = X(a)


Representation particulaire

f (L)(a) = f (E)(x) avec x = X(a)

X

F f(E)(x) d3x

x

f(L)(a) J(a) d3a

f(P)(a) d3aa

F(D) =

∫∫∫

D

f (E)(x) d3x

=

∫∫∫

D0

f (E)[X(a)] J(a) d3a

=

∫∫∫

D0

f (L)(a) J(a) d3a

=

∫∫∫

D0

f (P )(a) d3a

f (P )(a) = f (L)(a)J(a) .


Conservation de la masse

X

F f(E)(x) d3x

x

f(L)(a) J(a) d3a

f(P)(a) d3aa

m(D) =

∫∫∫

D

ρ(E)(x) d3x

=

∫∫∫

D0

ρ(L)(a) J(a) d3a

=

∫∫∫

D0

ρ(P )(a) d3a .

Loi de conservation de la masse

Il existe un champ ρ(P ) tel que pour toute

deformation X le champ ρ est determine par :

ρ(E) [X(a)] J(a) = ρ(L)(a) J(a) = ρ(P )(a) .

Cas homogene dans Ω0 : ρ(P )(a) = ρ0


Chapitre 3 : CINEMATIQUE

Description lagrangienne du mouvement

Ω0

a

Xx ( t )

Ω( t )Ω( t ’)

Ω( t ’’)

X : Ω0 × IR −→ IR3

(a , t) 7→ x = X(a, t)

F (a, t) = grad X(a, t), J(a, t) =∣

∣det[

F (a, t)] ∣

∣

C(a, t) =tF (a, t)F (a, t), etc.


Ex 3.1 : Mouvement de ma gomme

x1 = k(t)a1

x2 = a2

x3 = a3 + β(t) a21 ,

avec k(t) = k0 − c0 cos 2ωt = 3 − 2 cos 2ωt

β(t) = β0 sin ωt = 1cm−1 sin ωt

tF =

k(t) 0 2β(t)a1

0 1 0

0 0 1

F =

k(t) 0 0

0 1 0

2β(t)a1 0 1

C =tF (a, t) F (a, t) =

k2 + 4β2a21 0 2βa1

0 1 0

2βa1 0 1


Deformations inverses

A : IR3 × IR −→ Ω0

(x , t) 7→ a = A(x, t)

A [X(a, t), t] = a ⇐⇒ X [A(x, t), t] = x

Exo 3.1 : Mouvement de ma gomme

x1 = k(t)a1

x2 = a2

x3 = a3 + β(t) a21 ,

Deformations inverses :

a1 = x1/k(t)

a2 = x2

a3 = x3 − β(t) x21/k2(t)


Representations des champs

B(E) [X(a, t), t] = B(L)(a, t)

B(L) [A(x, t), t] = B(E)(x, t)

Exemple :

soit B(E)(x, t) = γ x21 t3 un champ

Mouvement de ma gomme :

X(a, t)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 = k(t) a1

x2 = a2

x3 = a3 + β(t) a21

Deformation inverse :

A(x, t)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 = x1/k(t)

a2 = x2

a3 = x3 − β(t) x21/k(t)2

Representation lagrangienne :

B(L)(a, t) = γ k2(t) a21 t3



m [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

ρ(E)(x, t) d3x

=

∫∫∫

D0

ρ(L)(a, t) J(a, t) d3a

ρ(L)(a, t) J(a, t) = ρ0

Exemple du mouvement de ma gomme :

F =

k(t) 0 0

0 1 0

2β(t)a1 0 1

=⇒ J(a, t) = k(t)

ρ(L)(a, t) = ρ0/k(t) = ρ(E)(x, t)

Car ρ est homogene en espace


Champs de vitesse

a

Ω0U(E)( x* , t* )

x ( t)

U(L)(a , t* )

x* = x ( t*)

U (L)(a, t) =∂X

∂t(a, t)

U (E) [X(a, t), t] = U (L)(a, t)

U (L) [A(x, t), t] = U (E)(x, t)

Exemple : mouvement de ma gomme

X(a, t) =

k(t) a1

a2

a3 + β(t) a21

U (L)(a, t) =

k′(t) a1

0

β′(t) a21

, U (E)(x, t) =

k′(t)k(t) x1

0β′(t)k2(t) x2

1


Trajectoires

x(t) = X(a, t)

a

Ω0U(E)( x* , t* )

x ( t)

U(L)(a , t* )

x* = x ( t*)

d

dt[x(t)] = U (E) [x(t), t] .

Exemple : mouvement de ma gomme

x(t) = X(a, t) =

k(t) a1

a2

a3 + β(t) a21

Condition initiale x(0) = a si k(0) = 1 et β(0) = 0

d

dt[x(t)] =

k′(t)k(t) x1

0β′(t)k2(t) x2

1


Derivee partielle eulerienne d’un champ

Soit B(E)(x, t)

la representation eulerienne d’un champ B.

a

Ω0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

x*

CCCCCC

CCCCCCCCC

x ( t)

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

B(E)

t

B(E)[ x* , t ]

Interpretation de∂B

∂t

(E)

(x, t) :

Pour x∗ fige,

on mesure le signal B(E)(x∗, t).

Sa derivee est∂B

∂t

(E)

(x∗, t).


Derivee particulaire d’un champ

Soit B(L)(a, t)

la representation lagrangienne d’un champ B.

Ω0

a

Xx ( t )

Ω( t )Ω( t ’)

Ω( t ’’)

La derivee particulairedB

dtest definie par sa

representation lagrangienne

(

dB

dt

)(L)

(a, t) =∂B(L)

∂t(a, t) .


Theoreme de la derivee particulaire

Soit X(a, t) un mouvement defini par la vitesse U :

U (L)(a, t) (lagrangienne) et U (E)(x, t) (eulerienne)

Soit B un champ defini par ses representations

B(L)(a, t) (lagrangienne) ou B(E)(x, t) (eulerienne)

a

x (t)

BBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

dB(E)

dt

Ω0

b(t) = B(E)[ x (t), t ]

La derivee particulaire de B definie par(

dB

dt

)(L)

(a, t) =∂B(L)

∂t(a, t)

admet la representation eulerienne(

dB

dt

)(E)

(x, t) =∂B(E)

∂t(x, t)+U

(E)i (x, t)

∂B(E)

∂xi

(x, t)


Demonstration :

B(L)(a, t) = B(E) [X(a, t), t]

D’ou

∂B(L)

∂t(a, t) =

d

dt

B(E) [X(a, t), t]

=∂B(E)

∂t[X(a, t), t] +

∂Xi

∂t(a, t)

∂B(E)

∂xi

[X(a, t), t]

=∂B(E)

∂t[X(a, t), t] + U

(L)i (a, t)

∂B(E)

∂xi

[X(a, t), t]

=∂B(E)

∂t[X(a, t), t]+U

(E)i [X(a, t), t]

∂B(E)

∂xi

[X(a, t), t]

Car∂Xi

∂t(a, t) = U

(L)i (a, t)

et U(L)i (a, t) = U

(E)i [X(a, t), t]


Demonstration (suite) :

On a vudB(L)

dt(a, t) =

∂B(E)

∂t[X(a, t), t] + U

(E)i [X(a, t), t]

∂B(E)

∂xi

[X(a, t), t]

Par definitiondB

dt

(L)

(a, t) =dB

dt

(E)

[X(a, t), t]

On a doncdB

dt

(E)

[X(a, t), t] =

∂B(E)

∂t[X(a, t), t] + U

(E)i [X(a, t), t]

∂B(E)

∂xi

[X(a, t), t]

D’ou l’on tire

dB

dt

(E)

(x, t) =∂B(E)

∂t(x, t) + U

(E)i (x, t)

∂B(E)

∂xi

(x, t)


Interpretation geometrique

Soit b(t) = B(E) [x(t), t] ou x(t) est une trajectoire.

a

x (t)

BBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBBBB

dB(E)

dt

Ω0

b(t) = B(E)[ x (t), t ]

b(t) = B(E) [X(a, t), t] = B(L)(a, t)

d

dt[b(t)] =

∂B(L)

∂t(a, t) =

dB

dt

(E)

[x(t), t]

d

dt[b(t)] =

d

dt

B(E) [x(t), t]

=∂B(E)

∂t[x(t), t] +

d

dt[xi(t)]

∂B(E)

∂xi

[x(t), t]

=∂B(E)

∂t[x(t), t] + U

(E)i [x(t), t]

∂B(E)

∂xi

[x(t), t]


Description eulerienne du mouvement

U(x, t) = U (E)(x, t) champ de vitesse

Notations : grad , div , ∆ ou grad

dB

dt(x, t) =

∂B

∂t(x, t) + Uj(x, t)

∂B

∂xj

(x, t)

dB

dt=

∂B

∂t+ U · grad B

dB

dt=

∂B

∂t+tU grad B

dVi

dt=

∂Vi

∂t+ Uj

∂Vi

∂xj

dV

dt=

∂V

∂t+ (U · grad )V =

∂V

∂t+ [grad V ] U


Determination des trajectoires

d

dt[x(t)] = U [x(t), t]

avec la condition initiale x(0) = a

a

Ω0=Ω( t0 )X

a’

a’’

U [x’( t), t ]

U [x’’( t), t ]

U [x( t), t ]

x’( t)x (t)

x ’’(t)

L’ensemble de toutes les trajectoires determine

X(a, t) = x(t) ou x(0) = a

Exemple : k(0) = 1 et β(0) = 0

d

dtx(t) = U [x(t), t] =

k′(t)k(t) x1

0β′(t)k2(t) x2

1

X(a, t) = x(t) =

k(t) a1

a2

a3 + β(t) a21


Lignes de champ du champ de vitesse

Definition :

A l’instant t fixe les lignes de champ de U(x, t) sont

d

ds

[

y(s)]

= φ(s) U[

y(s), t]

avec φ(s) fonction strictement positive

Exemple 1 : φ(s) = 1

Exemple 2 : φ(s) = ‖U[

y(s), t]

‖−1

Definitions equivalentes :

d

ds

[

y(s)]

∧ U[

y(s), t]

= 0

dy1

U1=

dy2

U2=

dy3

U3


Gradient du champ de vitesse

Soit x et x′ deux points tres proches

On note δx = x′ − x

A l’instant t,

on compare leur vitesse eulerienne :

U(x′, t) − U(x, t) = K(x, t) δx + O[

(δx)2]

La matrice K

est le gradient du champ de vitesse en x et t :

K(x, t) = grad U(x, t)

ou encore

Kij(x, t) =∂Ui

∂xj

(x, t)


Vecteurs transportes par le mouvement

Soit x(t) et x′(t) deux trajectoires tres proches

On note δx(t) = x′(t) − x(t)

x ’( t)

x ( t* )

a’ x ’( t* )

a

x ( t)

Ω0δx ( t)

δx ( t* ) U [ x ’( t

* ), t* ]

U [ x ( t* ), t* ]

K U δx ( t* )

δx ( t)

d

dt[δx(t)] =

d

dt[x′(t)] − d

dt[x(t)]

= U [x′(t), t] − U [x(t), t]

= K [x(t), t] δx(t) + O[

(δx)2]

Un vecteur δx(t) transporte par le mouvement

verifie donc

d

dt[δx(t)] = K [x(t), t] δx(t)


Vecteur rotation

K(x, t) = D(x, t) + Ω(x, t)

avec

D =1

2

(

K +t K)

et Ω =1

2

(

K −t K)

.

Tenseur des taux de rotation :

Ωij(x, t) =1

2

[

∂Ui

∂xj

(x, t) − ∂Uj

∂xi

(x, t)

]

.

Vecteur rotation : ω(x, t) = 12 rot [U(x, t)]

ωi(x, t) =1

2εijk

∂Uk

∂xj

(x, t)

On montre que

Ω(x, t)δx = ω(x, t) ∧ δx

Formules pratiques a retenir :

ω1 + Ω23 = 0, ω2 − Ω13 = 0 et ω3 + Ω12 = 0


Cas particulier K(x, t) = Ω(x, t)

Supposons que D(x, t) = 0 pour un x et un t

d

dt[δx(t)] = Ω(x, t)δx(t) = ω(x, t) ∧ δx(t)

Dans le voisinage de x on a

U(x′, t) ∼ U(x, t) + ω(x, t) ∧ [x′ − x] + O[

(δx)2]

Interpretation :

Mouvement solide autour de x et au temps t

(voir complement sur les distributeurs)

Cas general : K = Ω + D

Mouvement solide local plus deformation locale !


Transport du produit scalaire

Soit x(t), x′(t) et x′′(t) trois trajectoires tres proches

δx(t) = x′(t) − x(t) et δx′(t) = x′′(t) − x(t)

x ’( t)

a’

aa’’

x ’( t* )

x ’’( t* )

δx ( t* )x ( t* )

δx ’( t* )

x ( t)

x ’’( t)

δx ( t)

δx ’( t)

Ω0

d

dt[δx] = K [x(t), t] δx et

d

dt[δx′] = K [x(t), t] δx′

On a ddt

[δx(t) · δx′(t)] =

= δx(t) · d

dt[δx′(t)] +

d

dt[δx(t)] · δx′(t)

=t δx(t) K [x(t), t] δx′(t) + tδx(t) tK [x(t), t] δx′(t)

= 2 tδx(t) D [x(t), t] δx′(t)

avec D = 12

(

K +t K)


Tenseur des taux de deformations

D =1

2

(

K +t K)

Dij(x, t) =1

2

[

∂Ui

∂xj

(x, t) +∂Uj

∂xi

(x, t)

]

.

Pour δx(t) et δx′(t) transportes par le mouvement

d

dt

[

δx(t) · δx′(t)]

= 2 tδx(t) D(x, t) δx′(t)

Taux d’allongement relatif :

En appliquant δx(t) = δx′(t) on obtient

2 ‖δx(t)‖ d

dt‖δx(t)‖ = 2 tδx(t) D(x, t) δx(t)

1

‖δx(t)‖d

dt‖δx(t)‖ =

tδx(t) D(x, t) δx(t)

‖δx(t)‖2


Taux de glissement

Soit δx(t) et δx′(t) du voisinage de x(t) tels que

δx(t∗) · δx′(t∗) = 0 au temps t∗.

x ’( t)

a’

aa’’

x ’( t* )

x ’’( t* )

δx ( t* )x ( t* )

δx ’( t* )

x ’’( t)

δx ( t)

δx ’( t)

Ω0

x ( t)

θ(t)

γ( t )

tt*

0

γ(t)d

dtγ( t* )

Si θ(t) est leur angle

l’angle de glissement est γ(t) = π/2 − θ(t)

Il verifie γ(t∗) = 0

En derivant par rapport au temps

δx(t) · δx′(t) = ‖δx(t)‖ ‖δx′(t)‖ sinγ(t) ,

On obtient au temps t∗

dγ

dt(t∗) = 2

tδx(t∗) D(x∗, t∗) δx′(t∗)

‖δx(t∗)‖‖δx′(t∗)‖


Composantes de D

Soit[

δx(1)(t), δx(2)(t), δx(3)(t)]

tels que

[

δx(1)(t∗), δx(2)(t∗), δx(3)(t∗)]

= δx[

e(1), e(2), e(3)]

e(1)e(2)

e(3)

Ω0δx ’’( t*)

δx ’’’( t*)

δx ’( t )

δx ’’( t )

x* δx ’( t*)

a

a’’

a’

a’’’

δx ( t )

x ( t)

Les angles de glissement γij(t) sont definis par

δx(1)(t) · δx(2)(t) = ‖δx(1)(t)‖ ‖δx(2)(t)‖ sin γ12(t)

Theoreme :

D11(x∗, t∗) =1

‖δx(1)(t∗)‖d

dt‖δx(1)(t∗)‖

D12(x∗, t∗) =1

2

dγ12

dt(t∗)


Taux de dilatation des volumes

Theoreme :

si δV(t) transporte par le mouvement U(x, t)

1

δV(t)

d

dt[δV(t)] = tr

[

D(x, t)]

= div U(x, t)

Demonstration :

Soit[

δx(1)(t), δx(2)(t), δx(3)(t)]

tels que[

δx(1)(t∗), δx(2)(t∗), δx

(3)(t∗)]

= δx[

e(1), e(2), e(3)]

Comme ddt

δx(i)(t) = K [x(t), t] δx(i)(t) le volume

δW(t) =(

δx(1)(t), δx(2)(t), δx(3)(t))

se derive de la maniere suivante :

d(δW)

dt(t) =

(

K [x(t), t] δx(1)(t), δx(2)(t), δx(3)(t))

+(

δx(1)(t), K [x(t), t] δx(2)(t), δx(3)(t))

+(

δx(1)(t), δx(2)(t), K [x(t), t] δx(3)(t))


Taux de dilatation des volumes (suite)

A l’instant t = t∗ on a

d(δW)

dt(t∗) = (δx)3

(

K(x∗, t∗)e(1) , e(2), e(3)

)

+ (δx)3(

e(1), K(x∗, t∗) e(2), e(3))

+ (δx)3(

e(1), e(2), K(x∗, t∗) e(3))

= (δx)3 [K11(x∗, t∗) + K22(x∗, t∗) + K33(x∗, t∗)]

Comme δW(t∗) = (δx)3, on a

1

δW(t∗)

d(δW)

dt(t∗) = tr

[

K(x∗, t∗)]

= tr[

D(x∗, t∗)]

= div U(x∗, t∗)

D’ou1

δV(t)

d(δV)

dt(t) = div U(x, t)


Theoremes de transport

Domaine fixe :

C [Dfix] =

∫∫∫

Dfix

c(x, t) d3x

d

dtC(Dfix) =

∫∫∫

Dfix

∂c

∂t(x, t) d3x

Domaine transporte par le mouvement :

aΩ0

D( t )

D0

x ( t)

C [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

c(x, t) d3x

C [D(t)] =

∫∫∫

D0

c(L)(a, t) J(a, t) d3a

ou J(a, t) = |det [grad X(a, t)] | est le Jacobien


Derivee avec un domaine en mouvement

Cas 1D :

d

dt

∫ xmax(t)

xmin(t)

c(x, t) dx =

∫ xmax(t)

xmin(t)

∂c

∂t(x, t) dx

+dxmax

dt(t) c [xmax(t), t] − dxmin

dt(t) c [xmin(t), t]

Cas general :

Si D(t) est transporte par un mouvement U(x, t)

d

dtC [D(t)] =

d

dt

∫∫∫

D(t)

c(x, t) d3x

=

∫∫∫

D(t)

(

dc

dt+ c div U

)

d3x

=

∫∫∫

D(t)

∂c

∂td3x +

∫∫

∂D(t)

c U · n dS


Demonstration : C [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

c(x, t) d3x =

∫∫∫

D0

c(E) [X(a, t), t] J(a, t) d3a

=

∫∫∫

D0

c(L)(a, t) J(a, t) d3a .

Comme∂J

∂t(a, t) = div U [X(a, t), t] J(a, t) ,

on ad

dtC [D(t)] =

∫∫∫

D0

∂c(L)

∂t(a, t) J(a, t) d3a

+

∫∫∫

D0

c(L)(a, t) div U [X(a, t), t] J(a, t) d3a

=

∫∫∫

D0

dc

dt[X(a, t), t] J(a, t) d3a

+

∫∫∫

D0

c [X(a, t), t] div U [X(a, t), t] J(a, t) d3a ,

D’oud

dtC [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

(

dc

dt+ c div U

)

d3x


Flux d’advection c U

dc

dt+ c div U =

∂c

∂t+ U · grad c + c div U

=∂c

∂t+ div (c U)

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

n

U ( x , t)

x ( t )

D( t)

D( t)

d

dtC [D(t)] =

d

dt

∫∫∫

D(t)

c d3x

=

∫∫∫

D(t)

(

dc

dt+ c div U

)

d3x

=

∫∫∫

D(t)

[

∂c

∂t+ div (c U)

]

d3x

=

∫∫∫

D(t)

∂c

∂td3x +

∫∫

∂D(t)

c U · n dS


Conservation de la masse

m [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

ρ(x, t) d3x

Si m [D(t)] est invariant :

d

dtm [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

(

dρ

dt+ ρ div U

)

d3x = 0

Expressions locales de la conservation de la masse :

dρ

dt+ ρ div U = 0

∂ρ

∂t+ U · grad ρ + ρ div U = 0

∂ρ

∂t+ div (ρ U) = 0 .

Ecoulement isochore :

div U = 0 =⇒ dρ

dt= 0


Theoreme de transport de Reynolds

On pose c(x, t) = ρ(x, t) φ(x, t)

Theoreme : si la masse est conservee, on peut ecrire

d

dtC [D(t)] =

d

dt

∫∫∫

D(t)

ρ φ d3x =

∫∫∫

D(t)

ρdφ

dtd3x

Demonstration :

d

dtC [D(t)] =

d

dt

∫∫∫

D(t)

ρ(x, t) φ(x, t) d3x

=d

dt

∫∫∫

D0

ρ(L)(a, t) J(a, t) φ(L)(a, t) d3a

=d

dt

∫∫∫

D0

ρ0(a) φ(L)(a, t) d3a

=

∫∫∫

D0

ρ0(a)∂φ(L)

∂t(a, t) d3a

=

∫∫∫

D0

ρ(L)(a, t) J(a, t)dφ

dt

(L)

(a, t) d3a

=

∫∫∫

D(t)

ρ(x, t)dφ

dt(x, t) d3x


Cas des integrales de champs de vecteurs

d

dtF [D(t)] =

d

dt

∫∫∫

D(t)

F d3x

=

∫∫∫

D(t)

(

dF

dt+ Fdiv U

)

d3x

=

∫∫∫

D(t)

(

∂F

∂t+ U · grad F + Fdiv U

)

d3x

=

∫∫∫

D(t)

[

∂F

∂t+ div (F ⊗ U)

]

d3x

=

∫∫∫

D(t)

∂F

∂td3x +

∫∫

∂D(t)

F (U · n) dS

F (x, t) ⊗ U(x, t) tenseur d’ordre 2

dont les composantes sont Fi(x, t) Uj(x, t).

Complements : champ d’acceleration

Γ =∂U

∂t+ rot U ∧ U +

1

2grad U2


Complements : Torseurs

M(x) = M(0) + R ∧ x

M(0) : moment en 0 | R : resultante du torseur

On montre que pour tout x et tout y on a

M(x) = M(y) + R ∧ (x − y)

Elements de reduction : (∆, M∆, R)

Il existe une droite ∆ parallele a R telle que

M(y) = M∆ parallele a R pour tout y ∈ ∆

Théorie des torseurs

R

M∆M(x)

!!!!!!!!!x

y

M(x) =M (0) + R x

M(x) = M∆ + R ( x − y ) M (0)!!!!!!

0

!!!!!!

∆

On a donc pour x et tout y ∈ ∆

M(x) = M∆ + R ∧ (x − y)


Distributeurs et Torseurs

Distributeur : U(x) = U(0) + Ω ∧ x

U(0) : vitesse en 0 | Ω : vecteur rotation

Torseur : C(x) = C(0) + F ∧ x

C(0) : moment en 0 | F : resultante du torseur

Decompositions des torseurs et distributeurs

Distributeur = mouvement de rotation + mouvement uniforme

U∆y

!!!!!!!!!

Ω Ω

U∆x

!!!!!!!!!

Torseur = force pure + couple uniforme

C∆y

!!!!!!!!!

F

C∆x!!!

!!!

F

∆ ∆

∆∆

(Distributeur) = (Mvt rotation) + (Mvt uniforme)

(∆, U∆, Ω) = (∆, 0, Ω) + (∅, U∆, 0)

( Torseur ) = ( Force pure ) + ( Couple uniforme)

(∆, C∆, F ) = (∆, 0, R) + (∅, C∆, 0)


Dualite Torseurs / Distributeur

Notation pour un Torseur :

[C] = [0, F , C(0)]

Notation pour un Distributeur :

U = 0, U(0), Ω

Puissance du couple Torseur / Distributeur

P = [C]U = F · U(0) + C(0) · Ω

On montre que pour tout x on a

P = [C]U = F · U(x) + C(x) · Ω


Complements : Systemes dynamiques

Trajectoires du champs de vitesse U(x, t) :

dx

dt(t) = U [x(t), t]

Systeme dynamique autonome :

dx

dt(t) = U [x(t)]

Si xe est un equilibre : U(xe) = 0

On pose x(t) = xe + y(t). Tant que y est petit

dy

dt(t) = A y(t)

avec A = K(xe) = grad U(xe)

valeurs propres

s1 > 0 et s2 < 0

xexe

valeurs propres

s= r + i ω avec r <0

xe

bloc de

Jordan0 1

0 0


Complements : Surface de discontinuite

c (x, t) = c(b)(x, t) − c(a)(x, t) ,

D(a)

D(b)

D(b)

D(a)

ΣΩ

W

U

n(a)

n(b)

W

U

d

dt

∫∫∫

D(t)

c d3x =

∫∫∫

D(t)

[

∂c

∂t+ div (c U)

]

d3x

+

∫∫

Σ(t)

c(U − W ) · n dS


Chapitre 4 : HYPOTHESE DU CONTINU

Domaines Dh emboıtes de volume V(Dh) = h3

convergeant vers le point x quand h → 0

Grandeur physique extensive F(D)

verifie l’hypothese du continu si

Log h

Log | F (Dh) |

pente +3

h mic h mac

Nombre de Knudsen Kn =hmic

hmac<< 1

On definit alors la densite volumique f(x) par

F(Dh) = f(x) V(Dh) = f(x) h3 pour hmic < h < hmac

On ecrit alors F(D) =

∫∫∫

D

f(x) d3x


Champs de surface directionnels

q : Ω × n ∈ IR3 | ‖n‖ = 1 −→ IR

(x, n) 7−→ q(x, n)

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

n q(x, n)dS

D

x

On suppose que q est integrable sur tout ∂D

F(D) = −∫∫

∂D

q(x, n) dS

Exemple : q(x, n) = −1 definit

Surface(D) =

∫∫

∂D

dS

Ce champ ne verifie pas l’hypothese du continu.


Theoreme des champs de surface directionnels

Si F(D) = −∫∫

∂D

q(x, n) dS

verifie l’hypothese du continu, il existe Q(x) tel que

q(x, n) = Q(x) · n

La dependance avec n est lineaire

On a donc (theoreme de la divergence)

F(D) = −∫∫

∂D

Q(x) · n dS = −∫∫∫

D

div Q(x) d3x

Demonstration :

++++++++++++

h(1)

h(2)

h(3)

n(1)

n(2)

n(3)

n(4)

Famille de tetraedres emboıtes convergeant vers x


Vecteur flux de chaleur

On modelise la “puissance thermique fournie a D”

par

Pthe(D) = −∫∫

∂D

q(x, n, t) dS +

∫∫∫

D

r(x, t) d3x

Le champ r(x, t) modelise tous les apports de

chaleurs identifies par le physicien comme etant

volumiques (e.g. rayonnement)

On suppose que Pthe verifie l’hypothese du continu

On en deduit que

q(x, n, t) = Q(x, t) · n

Le flux de chaleur Q modelise les apports de chaleur

par conduction

On peut alors ecrire

Pthe(D) = −∫∫

∂D

Q(x, t) · n dS +

∫∫∫

D

r(x, t) d3x


Theoreme de la divergence des tenseurs

Si σ(x) =

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ23

on definit

div σ(x) =

∂σ11

∂x1+ ∂σ12

∂x2+ ∂σ13

∂x3

∂σ21

∂x1+ ∂σ22

∂x2+ ∂σ23

∂x3

∂σ31

∂x1+ ∂σ32

∂x2+ ∂σ33

∂x3

=

∂σ1j

∂xj

∂σ2j

∂xj

∂σ3j

∂xj

Generalisation du theoreme de la divergence :∫∫

∂D

σ(x)n dS =

∫∫∫

D

div σ(x) d3x

Demonstration :∫∫

∂D

σij nj dS =

∫∫∫

D

∂σij

∂xj

d3x


Complements : Modele particulaire

Equation de la chaleur

x (i+1/2)

x (i) x (i+1)

x (i−1/2)

x (i−1)

x (i+3/2)

O x

ρ Cp

∂T

∂t= k

∂2T

∂x2

Deformations et cinematique

O x

O a

x (i+1)x (i)x (i−1)

a (i+1)a(i)a (i−1)

ξ (i)x (i+1/2)

L0/N

Forces de contact

−m g

σ (x (i+1/2))F

(i+1, i)IF

(i, i+1)I

Τ(x (i+1/2), 1)Τ(x (i+1/2), −1) −m g

F(i, i−1)

I F(i+1, i+2)

I

x (i) x (i+1/2) x (i+1)


Chapitre 5 : TENSEUR DES

CONTRAINTES

Mise en evidence des forces de contact

F F

Fcont

On decoupe un morceau de matiere occupant le

sous-domaine D a l’interieur du milieu

On remplace la matiere par une distribution

surfacique de forces −F cont(x, ∂D)

On en deduit que l’exterieur de D exerce sur sa

frontiere ∂D une distribution de forces de contact

F cont(x, ∂D).

Meme raisonnement en presence d’un champ de

gravite g


Enumeration des forces :

Forces Resultante Moment Puissance

ext vol Fextvol(D) Mextvol(D) Pextvol(D)

ext cont Fextcont(D) Mextcont(D) Pextcont(D)

int vol F intvol(D) Mintvol(D) Pintvol(D)

int cont F intcont(D) Mintcont(D) Pintcont(D)

Modelisations des forces :

Fextvol(D) = Mextvol(D) = Pextvol(D) =

∫∫∫

Df(x) d3x

∫∫∫

Dx ∧ f d3x

∫∫∫

Df · U d3x

Fextcont(D) = Mextcont(D) = Pextcont(D) =

∫∫

∂DF cont(x, ∂D) dS

∫∫

∂Dx ∧ F cont dS

∫∫

∂DF cont · U dS

F intvol(D) = 0 Mintvol(D) = 0 Pintvol(D) = 0

F intcont(D) = 0 Mintcont(D) = 0 Pintcont(D) 6= 0


Forces exterieures de volume

Fextvol(D) =

∫∫∫

D

f(x) d3x

Mextvol(D) =

∫∫∫

D

x ∧ f d3x

Pextvol(D) =

∫∫∫

D

f · U d3x

Exemple : forces de gravite

f(x) = −ρ(x) g e(3)


Forces de contact exterieures a D

Fextcont(D) =

∫∫

∂D

F cont(x, ∂D) dS

Mextcont(D) =

∫∫

∂D

x ∧ F cont dS

Pextcont(D) =

∫∫

∂D

F cont · U dS

Densite surfacique de forces de contact F cont(x, ∂D) :

D

D

D

Fcont ( x , D )

− Fcont ( x , D )

Fcont

Interactions de courte portee entre les molecules

proches de la frontiere ∂D


Forces interieures de volume

On neglige les interactions volumiques entre les

particules du domaine

F intvol(D) = 0

Mintvol(D) = 0

Pintvol(D) = 0

Forces interieures de contact

Consequence du principe de l’action et de la reaction

F intcont(D) = 0

Mintcont(D) = 0

Pintcont(D) 6= 0 (chapitre 6)


Hypothese sur les forces de contact

champ de surface directionnel :

F cont(x, ∂D) = T (x, n)

D

D

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

T(x, n)dS

D

n

T-T x

Fextcont (D) = Fcont (D) =

∫∫

∂D

T (x, n) dS

Mextcont(D) = Mcont(D) =

∫∫

∂D

x ∧ T (x, n) dS

Pextcont(D) =

∫∫

∂D

T (x, n) · U(x) dS


Tenseur des contraintes

On suppose que la resultante des forces de contact

Fcont(D) =

∫∫

∂D

T (x, n) dS

verifie “l’hypothese du continu”, i.e. tend vers zero

comme V(D) lorsque ce volume tend vers zero.

Le “theoreme des champs de surface directionnels”

(chapitre 4) entraıne alors la dependance lineaire

T (x, n) = σ(x) n

Ti (x, n) = σij (x) nj pour i = 1, ..., 3

e(1)e(2)

e(3) σ13

σ23

σ33

σ12σ22

σ32

T [x,e(3)]

T [x,e(1)]

T [x,e(2)]

e(1)

e(3)

e(2)

σ11

σ21

σ31x


Densite volumique fcont

de la resultante des forces de contact definie par

Fextcont(D) = Fcont(D) =

∫∫

∂D

T (x, n) dS

=

∫∫

∂D

σ(x) n dS =

∫∫∫

D

fcont

(x) d3x

Theoreme de la divergence des tenseurs (chapitre 4) :

fcont

(x) = div σ(x)

Peut-on ecrire le tableau suivant ?

Fextcont(D) = Mextcont(D) = Pextcont(D) =

∫∫

∂DT (x, n) dS

∫∫

∂Dx ∧ T dS

∫∫

∂DT · U dS

∫∫

∂Dσ(x)n dS

∫∫

∂Dx ∧

(

σ n)

dS∫∫

∂D

(

σ n)

· U dS

∫∫∫

Df

cont(x) d3x

∫∫∫

Dx ∧ f

contd3x ?

∫∫∫

Df

cont· U d3x ??


Symetrie du tenseur des contraintes

On a T (x, n) = σ(x)n et fcont

(x) = div σ(x)

Le tenseur σ(x) est symetrique si et seulement si∫∫

∂D

x ∧ T (x, n) dS =

∫∫∫

D

x ∧ fcont

(x) d3x

Demonstration :

∫∫

∂D

x ∧ [σ (x) n] dS =

∫∫∫

D

x ∧ [div σ (x)] d3x

∫∫

∂D

εijk xj σkl(x) nl dS =

∫∫∫

D

εijk xj

∂σkl

∂xl

(x) d3x

(theo. de la div.) =

∫∫∫

D

∂

∂xl

[εijk xj σkl (x)] d3x

d’ou∂

∂xl

[εijk xj σkl (x)] = εijk xj

∂σkl

∂xl

(x)

(derivation) = εijk δjl σkl (x) + εijk xj

∂σkl

∂xl

(x)

d’ou εijk δjl σkl (x) = εijk σkj (x) = 0

Pour i = 1, 2, 3 : σ23−σ32 = σ31−σ13 = σ12−σ21 = 0


Expressions de Pextcont(D)

On a T (x, n) = σ(x)n et fcont

(x) = div σ(x)

∫∫

∂D

T ·U dS =

∫∫∫

D

fcont

·U d3x+

∫∫∫

D

σ : tK(x) d3x

ou A : B = tr (A B) = tr (B A) = Aij Bji

Dans le cas ou σ est symetrique :

Pextcont(D) =

∫∫∫

D

div σ · U d3x +

∫∫∫

D

σ : D d3x

Demonstration∫∫

∂D

T · U dS =

∫∫

∂D

(σ n) · U dS

=

∫∫

∂D

σij nj Ui dS =

∫∫∫

D

∂ (σij Ui)

∂xj

d3x

=

∫∫∫

D

∂σij

∂xj

Ui d3x +

∫∫∫

D

σij

∂ Ui

∂xj

d3x

=

∫∫∫

D

div σ · U d3x +

∫∫∫

D

σ : tK d3x


Chapitre 6 : LOIS DE CONSERVATION

Soit D(t) transporte par le mouvement U(x, t)

Formulation integrale :

Une equation de bilan est la donnee de

c(x, t), Qc(x, t) et fc(x, t) tels que

d

dt

∫∫∫

D(t)

c d3x +

∫∫

∂D(t)

Qc· n dS =

∫∫∫

D(t)

fc d3x

Formulation conservative :

De maniere equivalente, on a

∫∫∫

D

∂c

∂td3x +

∫∫

∂D

(

c U + Qc

)

·n dS =

∫∫∫

D

fc d3x

et donc

∂c

∂t+ div

(

c U + Qc

)

= fc




d

dtm [D(t)] =

d

dt

∫∫∫

D(t)

ρ(x, t) d3x = 0

Pas de flux (Qρ

= 0)

Pas de production volumique (fρ = 0)


∂ρ

∂t+ div (ρ U) = 0

Autres ecritures :

∂ρ

∂t+ U · grad ρ + ρ div U = 0

dρ

dt+ ρ div U = 0


Equation de bilan (suite)

On pose c = ρ φ

d

dt

∫∫∫

D(t)

ρ φ d3x+

∫∫

∂D(t)

Qc·n dS =

∫∫∫

D(t)

fc d3x

Si la masse est conservee on a (Reynolds)∫∫∫

D(t)

ρdφ

dtd3x +

∫∫

∂D(t)

Qc· n dS =

∫∫∫

D(t)

fc d3x

Formulation avec masse conservee :

ρdφ

dt+ div Q

c= fc ,

Autre demonstration :

∂c

∂t+ div (c U) =

∂

∂t(ρ φ) + div (ρ φ U)

= ρ

(

∂φ

∂t+ U · grad φ

)

+

(

∂ρ

∂t+ div ρ U

)

φ

= ρdφ

dt


Trois formulations d’une equation de bilan

Une equation de bilan est la donnee de[

c(x, t) = ρ(x, t) φ(x, t), Qc(x, t), fc(x, t)

]

et de l’une des formulations equivalentes :

Formulation integrale

d

dt

∫∫∫

D(t)

ρφ d3x +

∫∫

∂D(t)

Qc· n dS =

∫∫∫

D(t)

fc d3x

Formulation conservative

∂(ρ φ)

∂t+ div

(

ρ φ U + Qc

)

= fc

Formulation avec masse conservee

ρdφ

dt+ div Q

c= fc


Principe fondamental de la dynamique

Loi de conservation de la quantite de mouvement

d

dt

∫∫∫

D

ρ U d3x = Fcont(D) + Fextvol(D)

=

∫∫

∂D

σ n dS +

∫∫∫

D

f d3x


d

dt

∫∫∫

D(t)

ρ U d3x −∫∫

∂D(t)

σ n dS =

∫∫∫

D(t)

f d3x


∂

∂t(ρ U) + div (ρ U ⊗ U − σ) = f

Formulation avec masse conservee :

ρdU

dt= f + div σ


Equation de bilan de l’energie cinetique

K(D) =

∫∫∫

D

1

2ρ U2 d3x .

La puissance des efforts interieures est definie par

d

dtK [D(t)] = Pext [D(t)] + Pint [D(t)] .

Pext = Pextvol + Pextcont Pint = Pintvol + Pintcont

Pextvol(D) =∫∫∫

Df · U d3x Pintvol(D) = 0

Pextcont(D) = Pintcont(D) =

∫∫

∂D

(

σ n)

· U dS∫∫∫

D(t)πint(x, t) d3x

d

dtK [D(t)] = [Pextvol + Pextcont + Pintcont] [D(t)]

=

∫∫∫

D(t)

f ·U d3x+

∫∫

∂D(t)

(σn)·U dS+

∫∫∫

D(t)

πint d3x

NB : (σn) · U = (σU ) · n car σ est symetrique.


Expression de πint

La loi de conservation de la quantite de mouvement

ρdU

dt= f + div σ

permet d’ecrire

d

dtK [D(t)] =

d

dt

∫∫∫

D

1

2ρ U2 d3x =

∫∫∫

D(t)

ρdU

dt·U d3x

=

∫∫∫

D(t)

f · U d3x +

∫∫∫

D(t)

div σ · U d3x .

La definition de la puissance interieure

d

dtK [D(t)] = Pext [D(t)] + Pint [D(t)]

∫∫∫

D(t)

f ·U d3x+

∫∫

∂D(t)

σ U ·n dS+

∫∫∫

D(t)

πint d3x

entraıne alors∫∫∫

D(t)

πint d3x =

∫∫∫

D

div σ·U d3x−∫∫

∂D(t)

σ U ·n dS


Expression de πint (suite)

On a trouve :∫∫∫

D(t)

πint d3x =

∫∫∫

D(t)

div σ·U d3x−∫∫

∂D(t)

σ U ·n dS

L’identite :

div (σU) = (div σ) · U + σ : D

permet d’ecrire :∫∫

∂D(t)

σ U ·n dS =

∫∫∫

D

div σ·U d3x+

∫∫∫

D

σ : D d3x .

On en deduit donc :∫∫∫

D(t)

πint d3x = −∫∫∫

D(t)

σ : D d3x

La densite volumique de la puissance interieure est :

πint = −σ : D

Exemple : si σ = −p I alors

πint = p div U = pd

dt(δV)/δV


Equation de bilan de l’energie cinetique

d

dtK [D(t)] = [Pextvol + Pextcont + Pintcont] [D(t)]

=

∫∫∫

D(t)

f ·U d3x+

∫∫

∂D(t)

σ n·U dS+

∫∫∫

D(t)

πint d3x


d

dt

∫∫∫

D(t)

1

2ρ U2 d3x −

∫∫

∂D(t)

(σ U) · n dS =

∫∫∫

D(t)

(

f · U − σ : D)

d3x


∂

∂t

(

1

2ρ U2

)

+div

(

1

2ρ U2 U − σ U

)

= f ·U − σ : D


ρd

dt

(

1

2U2

)

− div (σ U) = f · U − σ : D .


Premier principe de la thermodynamique

Energie interne

Eint(D) =

∫∫∫

D

eint d3x =

∫∫∫

D

ρ e d3x

Energie totale

Etot(D) = K(D) + Eint(D) =

∫∫∫

D

ρ

(

1

2U2 + e

)

d3x

Premier principe

d

dtEtot [D(t)] = Pext [D(t)] + Pthe [D(t)]

Puissance thermique

Pthe [D(t)] = −∫∫

∂D(t)

Q(x, t)·n dS+

∫∫∫

D(t)

r(x, t) d3x

Puissance des efforts exterieurs

Pext [D(t)] =

∫∫

∂D(t)

σ U · n dS +

∫∫∫

D(t)

f · U d3x


Loi de conservation de l’energie totale

d

dtEtot [D(t)] = Pext [D(t)] + Pthe [D(t)]


d

dt

∫∫∫

D(t)

(

1

2ρU2 + ρe

)

d3x

+

∫∫

∂D(t)

(

−σ U + Q)

·n dS =

∫∫∫

D(t)

(f ·U + r) d3x


∂

∂t

(

1

2ρ U2 + ρe

)

+div

(

1

2ρ U2 U + ρe U − σ U + Q

)

= f · U + r


ρd

dt

(

1

2U2 + e

)

+ div(

−σ U + Q)

= f · U + r


Equation de bilan de l’energie interne

Premier principe de la thermodynamique

d

dtEtot =

d

dtEint +

d

dtK = Pext + Pthe

Definition de la puissance des efforts interieurs

d

dtK = Pext + Pint

Par soustraction :d

dtEint = Pthe − Pint


d

dt

∫∫∫

D(t)

ρ e d3x

+

∫∫

∂D(t)

Q · n dS =

∫∫∫

D(t)

(r + σ : D) d3x


∂

∂t(ρe) + div (ρe U + Q) = r + σ : D ,


ρd

dte + div Q = r + σ : D


Recapitulatif des equations de bilan

d

dt

∫∫∫

D(t)

c d3x +

∫∫

∂D(t)

Qc· n dS =

∫∫∫

D(t)

fc d3x

Grandeur Densite Flux Production

C [D(t)] c Qc

fc

m [D(t)] ρ 0 0

p [D(t)] ρ U −σ f

Eint [D(t)] ρ e Q r + σ : D

K [D(t)] 12ρU2 −σ U f · U − σ : D

Etot [D(t)] 12ρU2 + ρ e −σ U + Q f · U + r

(Eint, K) : equations de bilan

(m, p, Etot) : lois de conservation


Equations du mouvement

1) Loi de conservation de la masse

∂ρ

∂t+ U · grad ρ = −ρ div U

2) Loi de conservation de la quantite de mouvement

ρ

(

∂U

∂t+ U · grad U

)

= f + div σ

3) Equation de bilan de l’energie interne

ρ

(

∂e

∂t+ U · grad e

)

= r − div Q + σ : D

4) Conditions aux limites et conditions initiales

5) Lois d’etat

p = P(ρ, e) et e = E(ρ, T )

6) Lois de comportement

Thermique : Q ? Rheologique : σ ?


Loi de comportement thermique

Loi de Fourier :

Q = Q(T ) = −k grad T

Exemple : equation de la chaleur stationnaire

Equation de bilan de l’energie interne

ρ

(

∂e

∂t+ U · grad e

)

= r − div Q + σ : D

Si U = 0 (repos) et∂e

∂t= 0 (stationnaire) on a

div Q(x) = r(x) pour x ∈ Ω

Conditions aux limites :

Q(x) · n = qlimit(x, ∂Ω) pour x ∈ ∂Ω

On en deduit

−k ∆T (x) = r(x) pour x ∈ Ω

avec − k∂T

∂n(x) = qlimit(x, ∂Ω) pour x ∈ ∂Ω


Lois de comportement rheologiques

Chapitre 7 : materiaux elastiques

σ = Gelast

(ǫ) ,

tenseur des petites deformations :

ǫ =1

2

(

∂ξi

∂aj

+∂ξj

∂ai

)

champ de deplacement (Ω0 non contraint) :

ξ(a) = X(a) − a

Chapitre 8 : milieux fluides

σ = Gfluide(p, D) ,

tenseur des taux de deformation

D =1

2

(

∂U i

∂xj

+∂U j

∂xi

)

pression thermodynamique (loi d’etat)

p = P(ρ, e)


Cplts : lois de conservation et discontinuites

D(a)

D(b)

D(b)

D(a)

ΣΩ

W

U

n(a)

n(b)

W

U

Forme integrale de l’equation de bilan :

d

dtC [D(t)] −Fflux [D(t)] = Fvolum [D(t)]

Modelisation du terme de flux :

d

dt

∫∫∫

D(t)

c d3x +

∫∫

∂D(t)

Qc· n dS

+

∫∫

Σ(t)∩D(t)

Qc

· n dS =

∫∫∫

D(t)

fc d3x

En explicitantd

dt

∫∫∫

D(t)

c d3x (chapitre 3) :

∂c

∂t+ div

(

c U + Qc

)

= fc pour x ∈ Ω(t) − Σ(t)

c (U − W ) + Qc

· n = 0 pour x ∈ Σ(t)


Cplts : 2nd principe de la thermodynamique

d

dt

∫∫∫

D(t)

ρ s d3x ≥ −∫∫

∂D(t)

Q

T·n dS+

∫∫∫

D(t)

r

Td3x

Taux de production d’entropie irreversible I [D(t)] :

LHS − RHS = I [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

i(x, t) d3x ≥ 0

Equation de bilan de l’entropie :

ρds

dt+ div

(

Q

T

)

=r

T+ i avec i(x, t) ≥ 0

Puissances reversibles : thermique et efforts internes :

d

dtEint [D(t)] = P(rev)

the [D(t)] − P(rev)int [D(t)]

= Pthe [D(t)] − Pint [D(t)]

Thermodynamique :

P(rev)the [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

ρ Tds

dtd3x

Modelisation :

P(rev)int [D(t)] =

∫∫∫

D(t)

π(rev)int d3x


Second principe (suite)

La definition des puissance reversibles s’ecrit

P(rev)the [D(t)] − P(rev)

int [D(t)] = Pthe [D(t)] − Pint [D(t)]

=⇒ ρ Tds

dt− π

(rev)int = −div Q + r + σ : D

La formulation du second principe s’ecrit

ρds

dt+ div (

Q

T) =

r

T+ i avec i(x, t) ≥ 0

On en deduit (quelques calculs) :

i = −grad T · Q

T 2+

σ : D

T+

π(rev)int

T

Puissance reversible pour les fluides :

π(rev)int = ρ p

d

dt

(

1

ρ

)

= p div U

Puissance reversible pour les solides elastiques :

π(rev)int = −1

2

d

dt

(

σ : ǫ)

Consequences : k > 0, κe > 0, ν ∈ [−1, 1/2], etc.


Chapitre 7 : ELASTICITE LINEAIRE

x’

x

a

a’

e(1)e(2)

e(3)ξ ’ ( a’ )

δxδa

ξ ( a )

Champ de deplacement : ξ

X(a) = a + ξ(a)

Le champ de deplacement ξ(a) = ξ(L)(a) est toujours

decrit dans sa representation lagrangienne.

Dans ce chapitre, les operateurs differentiels

grad , grad , div , div , rot et ∆

portent sur la variable a.

Ω0 est la configuration de reference.


Gradient du champ de deplacement : H

x’

x

a

a’

e(1)e(2)

e(3)ξ ’ ( a’ )

δxδa

ξ ( a )

ξ(a + δa) = ξ(a) + H(a)δa + O[(δa)2]

La matrice H(a) a pour composantes

Hij(a) =∂ξi

∂aj

(a)

Si x = X(a), x′ = X(a′), δa = a′ − a, δx = x′ − x :

δx − δa = ξ(a′) − ξ(a) = H(a) · δa + O[(δa)2]

La definition X(a) = a + ξ(a) entraıne

F (a) = I + H(a)


H(a) = ǫ(a) + φ(a)

Composante symetrique du gradient : ǫ

ǫ =1

2(H +tH)

ǫij(a) =1

2

[

∂ξi

∂aj

(a) +∂ξj

∂ai

(a)

]

Produit scalaire : tδa′ ǫ(a) δa = δa′i ǫij(a) δaj

Composante antisymetrique du gradient : φ

φ =1

2(H −tH)

φij(a) =1

2

[

∂ξi

∂aj

(a) − ∂ξj

∂ai

(a)

]

Vecteur φ : φ(a) δa = φ(a) ∧ δa


Hypothese des petites deformations

Petits deplacements :

Longueur caracteristique lcar donnee

ηdep = Supa∈Ω0

‖ξ(a)‖lcar

≪ 1

Petites deformations :

ηdef = Supa∈Ω0‖H(a)‖ ≪ 1

Representations des champs peu deformes :

Longueur caracteristique definie par

l−1B = Supx∈Ω

‖grad B(E)(x)‖∣

∣B(E)(x)∣

∣

ηB = Supa∈Ω0

‖ξ(a)‖lB

≪ 1

Hypothese des Petites Pertubations :

ηdep ≪ 1, ηdef ≪ 1 et ηB ≪ 1


Tenseur des petites deformations : ǫ

Comme F = I + H , on peut ecrire

C =t F F = (I +tH) (I + H) = I +tH + H +tH H

Hypothese des petites deformations :

H = O(η) avec η ≪ 1

On a donc

C = I + 2 ǫ + O(η2)

ou le tenseur des petites deformations est

ǫ =1

2(tH + H)

NB : le tenseur des (grandes) deformations de

Green-Lagrange L est defini par C = I + 2 L.

Dans le cadre des petites deformations, on a donc

L = ǫ + O(η2)


Allongement relatif : ∆(a; δa)

x’

x

a

a’

e(1)e(2)

e(3)ξ ’ ( a’ )

δxδa

ξ ( a )

Petit vecteur δa = a′ − a dont l’image est le petit

vecteur δx = x′ − x = X(a′) − X(a)

Allongement relatif en a dans la direction δa :

∆(a; δa) =‖δx‖ − ‖δa‖

‖δa‖

Comme C = I + 2ǫ + O(η2), on a

‖δx‖ =√

tδaCδa =√

‖δa‖2 + 2 tδa ǫ δa + O(η2)

D’ou‖δx‖‖δa‖ = 1 +

tδa ǫ δa

‖δa‖2+ O(η2)

A l’ordre dominant en η, on a donc

∆(a; δa) ∼tδa ǫ(a) δa

‖δa‖2


Glissement des vecteurs orthogonaux

x’ δx

x

a

a’

δa

X

F e(1)e(2)

e(3)

a’’δx’x’’

δa’

θ

γ

L’angle de glissement en a des petits vecteurs δa et

δa′ orthogonaux est γ(a; δa, δa′) defini par

sin γ(a; δa, δa′) =tδa C(a) δa′

√

tδa C(a) δa√

tδa′ C(a) δa′

Comme C = I + 2ǫ + O(η2), on a

sin γ(a; δa, δa′) = 2tδa′ ǫ(a) δa

‖δa‖‖δa′‖ + O(η2)

En approximant le sinus par l’angle, on en deduit

γ(a; δa, δa′) ∼ 2tδa′ ǫ(a) δa

‖δa‖‖δa′‖ = 2δa′

i ǫij δaj√δanδan

√

δa′mδa′

m


Deformation de la base canonique

a

δa(3) ε22 δa

δa(2)

δx(3)

δx(2)

γ23=ε23

Base orthonormale δa(1), δa(2), δa(3) ou

δa(i) = δa e(i)

On considere les images δx(1), δx(2), δx(3) avec

δx(i) = F (a)δa(i) =[

I + H(a)]

δa(i)

Pour le petit vecteur δa(1) = δae(1), on peut ecrire

∆(a; δa(1)) =tδa(1)ǫ(a)δa(1)

‖δa(1)‖2= ǫ11

En notant γij = γ(a; δa(i), δa(j)), on a

γij ∼ 2tδa(i) ǫ(a) δa(j)

‖δa‖2= 2 ǫij


Transport des volumes

Base orthonormale δa(1), δa(2), δa(3) de volume

δV0 = δa3

Le volume du parallelepipede δx(1), δx(2), δx(3) est

δV =∣

∣

∣

(

δx(1), δx(2), δx(3))∣

∣

∣

∼ ‖δx(1)‖ ‖δx(2)‖ ‖δx(3)‖

Comme ‖δx(1)‖ ∼ δa(1 + ǫ11), etc..., on a

δV = (δa)3(1 + ǫ11)(1 + ǫ22)(1 + ǫ33)

∼ (δa)3(1 + ǫ11 + ǫ22 + ǫ33) = δV0(1 + tr ǫ)

Un petit volume de forme quelconque δV0 en a est

deforme en un petit volume δV tel que

δV − δV0

δV0∼ tr [ǫ(a)] = div ξ(a)

NB : on a δV = δV0 J(a) pour les grandes

deformations. On a fait ici le developpement

J(a) = 1 + tr [ǫ(a)] + O(η2)


Loi de Hooke generalisee

Hypothese des Petites Perturbations

Petites deformations H(a) ≪ 1 et champs peu

deformes B(E)(x) = B(L)(a) = B(a).

Comportement elastique (mce)

Le tenseur des contraintes σ = Gmce

X ne depend

que de la deformation.

Principe de localisation spatiale (pls)

Le tenseur des contraintes σ(a) = Gpls

[

F (a)]

ne

depend que des derivees premieres ∂Xi

∂aj(a).

Principe de l’indifference materielle (pim)

L’invariance du comportement par changement de

referentiel entraıne σ(a) = Gpim

[

ǫ(a)]

.

Principe de superposition

La relation σ(a) = Gelast

[

ǫ(a)]

est lineaire.

La loi de Hooke generalisee s’ecrit donc :

σij(a) = Cijkl(a) ǫkl(a) .


Comportement homogene et isotrope

Si le comportement elastique est homogene, les 81

(ou 36) champs Cijkl(a) sont independants de a.

Si le comportement est isotrope, le comportement est

donnee par la loi de Hooke

σ = λ tr (ǫ) I + 2µ ǫ

ou λ et µ sont les 2 coefficients d’elasticite de Lame.

Demonstration :

Les invariants polynomiaux de ǫ sont tr (ǫ), ǫ : ǫ,

det (ǫ) et toutes les fonctions de ces trois invariants.

La quantite (on demontre que c’est l’energie interne)

Φ[

ǫ(a)]

= 12 σ(a) : ǫ = 1

2 Cijkl(a) ǫkl(a) ǫij(a)

doit etre invariant polynomial de ǫ(a).

Comme Φ est une fonction quadratique de ǫ, on a

Φ(ǫ) =1

2λ [tr (ǫ)]2 + µ ǫ : ǫ

En utilisant la relation σij =∂Φ(ǫ)

∂ǫij, on a

σij(a) = λ ǫkk(a) δij + 2µ ǫij(a)


Module d’Young et coefficient de Poisson

La loi de Hooke

σ = λ tr (ǫ) I + 2µ ǫ

s’inverse en

ǫ = − ν

Etr (σ) I +

1 + ν

Eσ

Les coefficients de Lame λ et µ s’ecrivent

λ =ν E

(1 + ν) (1 − 2ν)et µ =

E

2(1 + ν)

avec E module d’Young et ν coefficient de Poisson :

E =(3 λ + 2 µ ) µ

(λ + µ )et ν =

λ

2 (λ + µ )

Demonstration : en projettant ces relations sur

leur parties speriques (1/3 trace multipliee par I) et

deviatoriques (tenseur de trace nulle).

NB : le module de compression elastique κe s’ecrit

κe = λ +2

3µ =

E

3 (1 − 2 ν)


Equations de Lame


Comme J(a, t) = 1 + O(η), la loi de conservation de

la masse J(a, t) ρ(a, t) = ρ0 entraıne ρ(a, t) ∼ ρ0.

Conservation de la quantite de mouvement

ρ0

∂2ξ

∂t2(a, t) = f(a, t) + div σ(a, t)

Comme σ(a, t) = λ tr (ǫ) I + 2 µ ǫ, on a

div σ = λ grad(

tr ǫ)

+ 2 µ div ǫ

= (λ + µ ) grad(

div ξ)

+ µ ∆ξ

Conditions aux limites

en contraintes (Neumann) :

σ(a, t)n = F cont(a, t, ∂Ω0) pour a ∈ ∂Ω0

en deplacement (Dirichlet) :

ξ(a, t) = ξlimit

(a, t) pour a ∈ ∂Ω0


Chapitre 8 : MECANIQUE DES FLUIDES

Loi de Fourier

Q = −k grad T

Fluides parfaits

σ = Gparfait

(p) = −p I

Fluides newtoniens

σ = Gvisq

(p, D) = −p I + τ (D)

Tenseur des contraintes visqueuses :

τ (D) = λn tr (D) I + 2 µn D

Loi d’etat pour la pression

1)Fluides compressibles : p = P(ρ, e)

la pression est une grandeur thermodynamique

2) Fluides incompressibles : div U = 0

la pression n’est plus une grandeur thermodynamique !


Fluides parfaits

σ = −p I

Equations d’Euler :

dρ

dt= −ρ div U

ρdU

dt= −grad p + f

ρde

dt= r + k∆T − p div U

Conditions aux limites

U(x, t) · n = Ulimit(x, t, ∂Ω) pour x ∈ ∂Ω(t)

Fluides parfaits compressibles

Lois d’etat : p = P(ρ, e) et e = E(ρ, T )


Fluides parfaits incompressibles

div U(x, t) = 0 ,

ρ

p

c 2 infinic 2 =

d p

dρ

ρ

p

ρ0

p0

ρ0

p

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

div U = 0

ρ0dU

dt= −grad p + f

La pression n’est plus une grandeur thermodynamique

C’est un “multiplicateur de Lagrange”

associe a la contrainte d’incompressibilite

Decouplage avec l’energie interne

ρde

dt= r + k ∆T


Lois de conservation des fluides parfaits

d

dt

∫∫∫

D(t)

c d3x +

∫∫

∂D(t)

Qc· n dS =

∫∫∫

D(t)

fc d3x

Grandeur Densite Flux Production

C [D(t)] c Qc

fc

m [D(t)] ρ 0 0

p [D(t)] ρ U pI f

Eint [D(t)] ρ e −k grad T r − p div U

K [D(t)] 12ρ U2 p U f · U + p div U

Etot [D(t)] 12ρ U2 + ρ e pU − k grad T f · U + r

Pint(D) =

∫∫∫

D

p div U d3x


Fluides newtoniens

σ = −p I + τ (D)

Tenseur des contraintes visqueuses :

τ (D) = λn tr (D) I + 2 µn D

σ(x, t) = −p(x, t) I + λn div U(x, t) I + 2 µn D(x, t)

Equations de Navier-Stokes :

dρ

dt= −ρ div U

ρdU

dt= −grad p+f +(λn +µn ) grad div U +µn ∆U

ρde

dt= r + k∆T − p div U + λn (div U)2 + 2 µn D : D

Conditions aux limites :

U(x, t) = U limit(x, t, ∂Ω) pour x ∈ ∂Ω(t)

Fluides newtoniens compressibles :

Lois d’etat : p = P(ρ, e) et e = E(ρ, T )


Fluides newtoniens incompressibles

div U = 0

ρ0dU

dt= −grad p + f + µn ∆U

La pression n’est plus une grandeur thermodynamique

C’est un “multiplicateur de Lagrange”

associe a la contrainte d’incompressibilite

Aucune loi p = P(ρ, e) n’est permise !

Decouplage avec l’energie interne

ρ0de

dt= r + k∆T + 2 µn D : D .


Lois de conservation des fluides newtoniens

m ρ 0 0

p ρ U pI f

−λn (div U) I

−2µn D

Eint ρ e −k grad T r − p div U

+λn (div U)2

+2µn D : D

K 12ρ U2 p U f · U + p div U

−λn (div U) U −λn (div U)2

−2µn D U −2µn D : D

Etot12ρ U2 + ρ e pU − k grad T f · U + r

−λn (div U) U

−2µn D U


Cas inviscide

m ρ 0 0

p ρ U pI f





Cas inviscide et incompressible

m ρ 0 0

p ρ U pI f

Eint ρ e −k grad T r

K 12ρ U2 p U f · U



Cas incompressible

m ρ 0 0

p ρ U pI f

−2µn D

Eint ρ e −k grad T r

+2µn D : D

K 12ρ U2 p U f · U



−2µn D U


Lois de conservation des fluides newtoniens

m ρ 0 0

p ρ U pI f

−λn (div U) I

−2µn D


+λn (div U)2

+2µn D : D


−λn (div U) U −λn (div U)2



−λn (div U) U

−2µn D U


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OBJECTIFS DU COURS DE Chapitre 1 : INTRODUCTIONthual.perso.enseeiht.fr/otmmc/PDFS/TomeII/00slides-four.pdf · Loi de comportement • Loi de Fourier • Loi de Hooke • Loi de comportement