Chapitre 3 La fonction de Green prenant en compte les effets …docinsa.insa-lyon.fr/these/2000/premat/chap3.pdf · 2001-02-19 · description approfondie sous la forme d'un problème

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Chapitre 3

La fonction de Green prenant en compte les effets

météorologiques

3.1 Introduction

La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène a été présentée en détail

dans les paragraphes qui précèdent. Comme on l'a souligné, les méthodes BEM mettent en

jeu une fonction capitale, la fonction de Green, ainsi que ses dérivées première et seconde

par rapport à la normale. L'utilisation d'une fonction de Green judicieuse permet en effet de

prendre en compte un certain nombre de conditions aux limites et de restreindre ainsi le

domaine d'intégration des formules intégrales qui interviennent.

Cette approche des éléments finis de frontière n'a été jusqu'à ce jour appliquée qu'en

milieu homogène, or les effets météorologiques (gradients de vitesse du son et de vent,

turbulence) sont importants en propagation acoustique en milieu extérieur, en particulier à

longue distance. Dans ce chapitre, on va donc s'attacher à chercher des solutions de

l'équation d'onde en milieu inhomogène susceptibles de fournir des fonctions de Green

intéressantes sur le plan numérique, en vue de les utiliser dans le nouveau modèle Météo-

BEM, intégrant les effets météorologiques, qui sera développé au chapitre 6. Un point

important doit être souligné à cet égard : les solutions recherchées pour la pression

acoustique doivent prendre en compte le rayonnement cylindrique de sources linéiques,

dans le but d'être incorporées dans des méthodes d'éléments finis de frontière 2D, comme

Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques

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c'est le cas pour BEMAS2D. Dans le cas d'une BEM 3D, la fonction de Green recherchée

doit décrire le cas du rayonnement sphérique d'une source ponctuelle.

Notons que l'on n'abordera pas dans ce travail le phénomène de la turbulence, qui joue

également un rôle non négligeable notamment dans la propagation acoustique dans les

zones d'ombre. On se concentrera ici sur les phénomènes de réfraction. L'idée de ce

chapitre est de s'appuyer sur des modèles récents de propagation en milieu inhomogène

prenant en compte les effets météorologiques aussi bien que les effets de sol. Ces modèles

récents pouvant décrire des gradients de vitesse du son proviennent d'autres domaines de la

physique : optique, sismique, acoustique sous-marine (voir par exemple [Jensen, et al.,

1994]) et ont été développés à l'origine pour des milieux au repos. Ce sont principalement,

outre les méthodes de rayons, la méthode de l'équation parabolique (P.E. pour Parabolic

Equation) et le Fast Field Program (F.F.P.) dans les deux cas de réfraction, la solution des

modes normaux pour la réfraction vers le bas, la série des résidus pour la réfraction vers le

haut. On peut trouver une bonne synthèse des principaux modèles pour la propagation

acoustique en milieu extérieur dans l'article de référence [Attenborough, et al., 1995]. On

pourra également se reporter aux ouvrages de Brekhovskikh [Brekhovskikh et Godin,

1992, Brekhovskikh et Godin, 1992], dont découlent bon nombre de développements

ultérieurs.

Dans un premier temps quelques rappels sont effectués dans ce chapitre sur la

formalisation mathématique du problème propagatif en milieu inhomogène, puis les

principaux modèles vont être rappelés et commentés, notamment en vue de leur application

dans une méthode d'éléments finis de frontière.


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3.2 L'équation de propagation en milieu inhomogène

Rappelons tout d'abord l'équation de propagation qui décrit les phénomènes en milieu

inhomogène au repos. En partant des équations de conservation de la masse et de la

quantité de mouvement, et de l'équation d'état pour un fluide parfait, on obtient, pour

l'équation en dehors des sources, en se plaçant sous les hypothèses de l'acoustique linéaire

(cf [Filippi, 1994]) :

0)pgrad1

(divt

p

c

12

2

20

=ρ

ρ+∂∂− eq. 3-1

ou encore :

0pgradgrad

t

p

c

1p

2

2

20

=ρ

ρ−∂∂−∆ eq. 3- 2

c0 désigne une valeur moyenne de la célérité locale. En régime sinusoïdal, l'équation eq.

3- 2 devient (la dépendance temporelle en exp(-iωt) est sous-entendue ainsi que dans toute

la suite du chapitre) :

0pgradgrad1

pnkp 220 =ρ

ρ−+∆ eq. 3- 3

L'indice variable de réfraction n et le nombre d'onde k0 sont donnés par :

c

ket c

cn

00

0 ω== eq. 3- 4

Dans la grande majorité des calculs de propagation atmosphérique, l'équation utilisée au

départ est l'équation de Helmholtz à indice variable qui est en fait une approximation haute

fréquence de l'équation eq. 3- 3, obtenue en négligeant l'effet des gradients de masse

volumique :

0pnkp 220 =+∆ eq. 3- 5

Notons que rigoureusement cette dernière équation est valable dans deux cas (cf

[Filippi, 1994]) : celui des milieux "lentement" variables (i.e dont les caractéristiques sont


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pratiquement constantes sur une longueur d'onde) et celui des milieux "faiblement"

variables (i.e dont les caractéristiques ont des fluctuations faibles autour d'une valeur

moyenne).

D'autre part, lorsque le milieu n'est plus au repos, à cause du vent, d'autres effets

complexes se manifestent, comme le phénomène de convection de l'onde par la vitesse

locale de l'écoulement. Dans ce cas, en se limitant au premier ordre par rapport au nombre

de Mach M et en négligeant l'effet des gradients, on a, toujours pour l'équation en dehors

des sources :

00

20 c

VM avec 0

r

pMik2pkp ==

∂∂++∆ eq. 3- 6

V est la vitesse de l'écoulement supposée horizontale (suivant la coordonnée r qui

représente la portée horizontale). Généralement, le dernier terme mettant en jeu la dérivée

de p par rapport à la portée n'est pas correctement pris en compte, sauf dans la théorie

géométrique. On se ramène en fait au cas de la propagation en milieu inhomogène au

repos, en introduisant un indice équivalent neff donné par :

θ+== cosVccest effective vitesselaoù c

cn 0eff

eff

0eff eq. 3- 7

θ désigne l'angle formé par la direction du vent et la direction initiale de propagation. Il

faut souligner dans ce cas que la présence d'un gradient de vent rend le milieu de

propagation non seulement inhomogène, à l'instar du cas de la réfraction due à un gradient

de température, mais aussi anisotrope (voir par exemple [Pridmore-Brown, 1961]). Ainsi le

champ de pression n'est plus symétrique, selon que l'on se trouve sous le vent, ou dans une

configuration où le trajet source-récepteur est opposé à la direction du vent. Le cas de la

propagation acoustique en présence de vent doit donc être considéré avec précaution – la

direction source-récepteur est en particulier importante - si l'on veut utiliser une fonction

de Green dans le but de décrire ces effets dans une méthode d'éléments finis de frontière.

De plus la présence d'obstacles dans l'écoulement perturbe celui-ci, aussi la fonction de

Green de ce problème n'est-elle pas simple, de manière générale, et nécessite-t-elle une

description approfondie sous la forme d'un problème complexe de mécanique des fluides.


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Concernant la turbulence, qui sera laissée de côté par la suite, ajoutons tout de même

que la prise en compte des fluctuations du milieu se fait classiquement en considérant que

l'indice de réfraction n est une variable aléatoire dans l'équation eq. 3- 5 et en effectuant

une moyenne d'ensemble pour calculer les moments successifs du champ de pression :

partie cohérente de l'onde, corrélation, fluctuations d'intensité. Le système n'étant pas

"fermé", il est nécessaire d'introduire une hypothèse a priori, sur la corrélation

microscopique selon la direction moyenne de propagation, entre la fluctuation d'indice et

l'onde acoustique (cf [Juvé, 1992]). Cependant cette hypothèse, bien que donnant de bons

résultats pour les premiers moments, reste discutable pour le calcul des fluctuations

d'intensité. C'est pourquoi une approche nouvelle a été suivie récemment pour s'affranchir

de l'hypothèse de corrélation microscopique, consistant à résoudre une équation d'onde non

moyennée (déterministe) pour chaque réalisation du champ turbulent et à n'effectuer les

moyennes statistiques que sur le résultat de ces calculs sur un ensemble de réalisations.

Cette nouvelle approche, bien que coûteuse en temps de calcul permet de s'accommoder

assez facilement de conditions moyennes inhomogènes comme les gradients thermiques, la

présence d'un sol... Quoi qu'il en soit, le phénomène complexe de la turbulence fait

toujours l'objet de nombreux travaux de recherche ainsi qu'en attestent les recueils de

conférence des symposiums sur le thème "Long Range Sound Propagation", auxquels le

lecteur est invité à se référer pour plus de précision sur l'état d'avancement des études en ce

domaine.

Après ce bref paragraphe dédié à la formulation mathématique du problème physique de

la propagation acoustique en milieu inhomogène, la partie suivante passe en revue les

principaux modèles existant à l'heure actuelle, en soulignant leurs avantages et

inconvénients respectifs en vue de les utiliser comme fonction de Green de la méthode des

éléments finis de frontière.


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3.3 Les principaux modèles de propagation acoustique en milieu

inhomogène

3.3.1 Les méthodes de rayon

La méthode des rayons est une description lagrangienne de la propagation acoustique

qui consiste à suivre au cours du temps les déplacements d'une surface d'onde. On appelle

alors rayon acoustique la trajectoire complète d'un point donné issu de la source.

Mathématiquement, il s'agit de chercher une solution de l'équation de Helmholtz de la

forme (voir [Jensen, et al., 1994] par exemple) :

inconnues fonctions dessont )r(Aet )r(où )i(

)r(Ae)r(p

1jjj

j)r(i &&

&

&&

∑∞

=

ωτ τω

= eq. 3- 8

r est le vecteur position. En substituant cette expression de la pression acoustique dans

l'équation de Helmholtz et en égalant les termes du développement en ω, l'on obtient les

équations suivantes :

)r(c

1)r(grad

2

2

&

&

=τ eq. 3- 9

( )( )

=∆−=τ∆+τ=τ∆+τ

− 1,2,...jpour AA)r(Agrad).r(grad2

0A)r(Agrad).r(grad2

1jjj

00&&

&&

eq. 3- 10

La première équation eq. 3- 9 aux dérivées partielles non linéaire est connue sous le

nom d'équation eikonale et permet de déterminer la trajectoire des rayons ainsi que la

phase du champ de pression associée à chaque rayon. Les équations eq. 3- 10 aux dérivées

partielles linéaire sont appelées équations de transport et permettent de déterminer quant à

elles l'amplitude associée à chaque rayon. A ce stade, il peut apparaître abscons d'avoir

transformé le problème originel de l'équation de Helmholtz, qui est une équation aux

dérivées partielles linéaire, en une équation aux dérivées partielles non-linéaire et une série

infinie d'équations aux dérivées partielles linéaires. Cependant les modèles de rayon


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reposent sur la simplification suivante : seul le premier terme de la série eq. 3- 8 est

conservé, ce qui constitue en fait une approximation haute fréquence. Le concept physique

de front d'onde est associé aux courbes de niveau de τ(r) où τ est une constante, et les

rayons sont les courbes perpendiculaires aux fronts d'ondes. Ainsi :

)r(grad cds

rd &

&

τ= eq. 3- 11

Le facteur c est introduit pour normaliser le vecteur tangent, le paramètre s représente

l'abscisse curviligne le long du rayon. Moyennant quelques manipulations mathématiques,

l'on peut réécrire cette équation sous la forme suivante :

c grad c

1

ds

rd

c

1

ds

d2

−=

&

eq. 3- 12

L'équation eq. 3- 12 représente l'équation vectorielle pour la trajectoire des rayons qui

est résolue par des techniques numériques classiques. Il est nécessaire, pour ce faire, de

définir les conditions initiales comme les angles sous-lesquels les rayons sont lancés ainsi

que la position de la source.

De façon pratique, il existe deux méthodes classiques de calcul des trajectoires des

rayons acoustiques : la loi de Snell et la méthode des caractéristiques. Dans les deux cas,

on fait l'hypothèse que le milieu propagatif est faiblement inhomogène et que les effets de

diffraction sont négligeables.

La loi de Snell provient de l'optique géométrique. On suppose que le milieu de

propagation est composé de couches horizontales caractérisées par une célérité du son c(z)

et une composante horizontale du vent V(z) dans une direction donnée. On exprime alors

que la propagation à la traversée de chaque plan horizontal se fait suivant un invariant égal

à :

tec)z(V)z(sin

)z(c =+θ eq. 3- 13

θ est l'angle d'incidence du rayon. A l'aide de eq. 3- 13, on peut suivre la trajectoire d'un

rayon acoustique pas à pas : en se fixant un incrément horizontal dx, on peut déterminer la

nouvelle incidence et l'incrément vertical dz. Attenborough et al. citent le modèle

ASOPRAT [Attenborough, et al., 1995], [Anonymous, 1991] basé sur cette méthode de


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Snell, pour un profil de vitesse du son qui varie linéairement avec la hauteur dans chaque

couche horizontale de l'atmosphère.

La méthode des caractéristiques peut se déduire directement des équations de

conservation en milieu lentement variable. On peut montrer que l'on aboutit, après

linéarisation et quelques opérations algébriques au système vectoriel suivant :

−−=

+=

∑=

3

1iii V gradkc gradk

dt

kd

Vk

kc

dt

rd

&

&

&

&

&

&

eq. 3- 14

k est le vecteur d'onde local, orthogonal aux surfaces équiphases. On résout ce système

simplement, en fixant un incrément de temps dt, le vecteur d'onde initial et la position

initiale de la source. La trajectoire complète du rayon est ainsi obtenue de proche en proche

par incrémentation du pas de temps dt. Notons que le système eq. 3- 14 peut également

s'écrire sous la forme :

−−=

+=

∑=

3

1iii V gradk

c

1c grad

c

1k

ds

kd

c

V

k

k

ds

rd

&

&

&

&

&

&

eq. 3- 15

Au système eq. 3- 15 ou eq. 3- 14, il faut ajouter une information supplémentaire pour

calculer l'amplitude du champ de pression associé à chaque rayon. Ceci se fait en

considérant la section droite d'un tube de rayons infinitésimal et en écrivant que l'énergie

transportée par ce tube est constante. Ainsi si p0, ∆l0, sont respectivement la pression

acoustique, la distance entre les deux rayons très proches limitant le tube à l'abscisse

curviligne s0, et p1, ∆l1 les valeurs correspondantes en s1 alors on peut écrire la relation

suivante, exprimant la conservation de l'énergie dans le tube :

11

0001 ls

lspp

∆∆= eq. 3- 16

L'équation eq. 3- 16 signifie que la variation d'amplitude le long d'un tube de rayons est

inversement proportionnelle à la section droite de ce tube. Pour finir le calcul de la

pression acoustique en un point récepteur, tous les rayons atteignant ce point sont

déterminés et leurs contributions en amplitude et phase sont sommées en ce point.


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La méthode des rayons offre l'avantage de donner lieu à des calculs relativement

simples et permet également de prendre en compte des profils quelconques de célérité et de

vitesse du vent, une topographie complexe et des effets tridimensionnels. En revanche, elle

souffre de deux limitations importantes, d'une part, en conditions de réfraction vers le haut,

la création de caustiques et de zones d'ombre pose problème, et d'autre part lors de la

réfraction vers le bas sur de grandes distances la présence de multiples chemins de

propagation n'est pas prise en compte. En ce qui concerne les caustiques qui apparaissent

lorsque des rayons adjacents se croisent, situation qui peut intervenir dans un milieu

homogène mais aussi surtout lors de la réfraction vers le haut et vers le bas, la section du

tube de rayons tend alors vers zéro et l'énergie acoustique devient infinie. Cette limitation

intervient dans la pratique également au voisinage de ces caustiques où la pression

acoustique devient très grande. De plus, survient également un changement de phase (π/2

selon Pierce [Pierce, 1991]) à la traversée d'une caustique, qui n'est pas, en général pris en

compte dans les modèles de rayon. Dans les cas de réfraction vers le haut, apparaît en outre

une zone d'ombre qui n'est pas prise en compte par la théorie des rayons puisqu'en-dessous

d'un rayon limite tangent au sol, aucun rayon ne pénètre dans cette zone où la pression

acoustique vaudrait alors zéro. La théorie des rayons prévoit donc une transition abrupte

lors du passage de la zone éclairée à la zone d'ombre, ce qui se traduit par une discontinuité

du champ de pression lors de cette transition. Le même problème se produit lorsqu’un

rayon à réflexions multiples apparaît.

Dans le cas de forts gradients positifs de vitesse du son, lorsque source et récepteur sont

près du sol et pour des distances de propagation importantes, certains rayons sont réfléchis

plusieurs fois par le sol. L'onde sonore suit ainsi différents trajets sous différentes

conditions atmosphériques et il est alors difficile de sommer toutes les contributions en un

point récepteur, qui plus est en ajoutant que des questions de cohérence et d'incohérence

des différentes ondes acoustiques doivent être prises en considération dans la somme

énergétique. C'est ainsi que le modèle ASOPRAT [Anonymous, 1991] ne prend en compte

dans ce cas que le rayon dont le chemin réfléchi est le plus court et qui normalement

représente l'amplitude la plus forte, dans le cas où le sol est absorbant.

Pour pallier ces limitations inhérentes aux modèles de rayons, deux nouvelles approches

ont été suivies. Tout d'abord, L'Espérance et al. [L'Espérance, et al., 1992] ont développé

un modèle de rayons heuristique qui prend en compte les effets combinés de la réfraction,


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la turbulence, de la surface du sol d'impédance finie et de l'absorption atmosphérique. Ce

modèle part de l'hypothèse que la plupart des profils réels de vitesse du son peuvent être

approchés par un profil linéaire et utilise la différence de temps de parcours plutôt que de

chemin parcouru pour déterminer les interférences entre les rayons directs et réfléchis. De

plus, un indice de réfraction fluctuant permet de prendre en compte la cohérence partielle

des rayons causée par la turbulence atmosphérique. Dans des conditions de forte réfraction

vers le bas, le modèle heuristique décrit aussi la propagation des rayons subissant de

multiples réflexions. Lorsque l'on est en situation de réfraction vers le haut cependant, il

est nécessaire de recourir à une solution analytique dans la zone d'ombre : la série des

résidus [Pierce, 1991], [Berry et Daigle, 1988], qui sera décrite ultérieurement.

Toujours pour remédier aux limitations de la théorie des rayons, quelques auteurs ont

utilisé la méthode des faisceaux gaussiens [Gabillet, et al., 1993], issue du domaine de la

géophysique [Cerveny, et al., 1982], et reprise en acoustique sous-marine [Porter et

Bucker, 1987]. Cette méthode cherche en fait à cumuler les avantages de la théorie

géométrique et de l'approximation parabolique (voir le paragraphe concernant l'équation

parabolique). On donne une épaisseur aux rayons sous la forme d'une répartition

d'amplitude gaussienne selon la normale et on effectue une approximation paraxiale dans

un système local lié à chaque rayon. En pratique, on résout d'abord le système classique

eq. 3- 15 pour obtenir le rayon central du faisceau, puis deux autres équations permettent

de déterminer la largeur du faisceau et la courbure du front de phase. Ainsi le faisceau

gaussien obtenu s'écrit sous la forme suivante, en reprenant les notations de [Gabillet, et

al., 1993] :

[ ]{ }2n))s(q/)s(p(5.0)s(iexp)s(rq/)s(cA)n,s(u +τω−= eq. 3- 17

où u est la pression acoustique, A une constante arbitraire, s l'abscisse curviligne, n

l'abscisse curviligne selon la normale au rayon soit la distance par rapport au rayon, et τ(s)

le temps de parcours donné par :

∫=τs

0ds

)s(c

1)s( eq. 3- 18

Les fonctions p et q sont données par le système d'équations qui suit :


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∂∂−=

=

)s(c

)s(q

n

)s(c

ds

dp

)s(p)s(cds

dq

22

2 eq. 3- 19

Le champ total est alors reconstitué par sommation des contributions des différents

faisceaux résultant de la décomposition de la source et passant au voisinage du récepteur.

Le gros avantage de cette méthode est qu'elle permet de lisser les singularités du champ

acoustique et que notamment le calcul de la pression est possible au voisinage des

caustiques et dans les zones d'ombre dans le cas de la réfraction vers le haut. En revanche,

cette méthode convient mal aux cas où le récepteur est situé près du sol, cas de propagation

acoustique rasante.

On constate donc que les méthodes de rayons offrent l'avantage de conduire à des

calculs relativement simples et rapides, et peuvent permettre de prendre en compte des

profils de vitesse du son qui varient à la fois avec la distance et la hauteur. Cependant les

techniques de rayons souffrent en revanche de limitations au voisinage des caustiques,

dans les zones d'ombre, lors de multiples réflexions... Ces méthodes ont donné naissance à

de nombreuses applications ou extensions et sont toujours à l'ordre du jour. Notons que

bien que la plupart des travaux publiés portent sur des cas de propagation à partir de

sources ponctuelles, les mêmes concepts sont aisément adaptables au cas de sources

linéiques, en prenant garde de prendre en compte la déformation du tube d'énergie dans le

plan (cf eq. 3- 16), qui régit l'amplitude du signal, et en décrivant dans les conditions

initiales que la source émet des ondes cylindriques.

Dans le contexte de cette étude, il s'agit de s'appuyer sur un modèle susceptible de servir

de base à la fonction de Green utilisée dans la méthode d'éléments finis de frontière. La

pression acoustique calculée par ce modèle doit donc être une fonction bien définie en tout

point de l'espace ainsi que ses dérivées première et seconde par rapport à la normale. En

effet si l'on prend l'exemple d'un écran acoustique plongé dans un milieu inhomogène, elle

intervient trois fois dans la pratique, dans la BEM : d'une part elle fournit le champ

incident en l'absence de l'écran i.e le terme p0 dans eq. 4-6 et 4-9, d'autre part sa dérivée

seconde par rapport à la normale entre en jeu dans le calcul des éléments de la matrice (cf

eq. 4-9), et la dérivée première par rapport à la normale intervient dans le calcul final de la

pression en tout point de l'espace de l'équation eq. 4-24. Par conséquent, la méthode des

rayons apparaît limitée pour servir de noyau de Green à la formulation aux éléments finis


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de frontière utilisée, puisque l'on assiste à des discontinuités brutales du champ de pression

dans certaines régions particulières mises en évidence ci-dessus, ce qui pose des problèmes

insurmontables pour la dérivation. En outre, les dérivées par rapport à la normales qui

interviennent ne peuvent être calculées que de façon numérique par l'emploi de méthodes

classiques de type différences finies (cf [Press, et al., 1992] par exemple). Or d'une part ces

méthodes peuvent être coûteuses sur le plan du calcul, d'autre part la dérivation numérique

reste une opération délicate sur le plan de la précision pouvant aboutir à des résultats

complètement erronés. Une solution pourrait toutefois consister à utiliser la théorie des

dipôles pour tenter de modéliser ces dérivées normales du champ de pression, qui sont en

fait similaires à la pression acoustique due au rayonnement d'un dipôle. Quoi qu'il en soit,

la théorie des rayons ne semble donc pas susceptible de fournir une fonction de Green

intéressante sur le plan de son utilisation numérique dans une méthode d'éléments finis de

frontière.


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3.3.2 L'Equation Parabolique

La méthode de l'équation parabolique a été utilisée pour résoudre des problèmes de

propagation d'ondes dans de nombreux domaines, depuis le domaine de l'optique et de

l'électromagnétisme [Dockery, 1988] jusqu'à celui de la propagation acoustique dans

l'atmosphère [Gilbert et Di, 1992, Gilbert et White, 1989, Myers et McAninch, 1978,

White et Gilbert, 1991], en passant par les disciplines de la sismique [Claerbout, 1976] et

de l'acoustique sous-marine [Tappert, 1977]. Cette méthode repose sur l'hypothèse qu'il

existe un système de coordonnées dans lequel la pression acoustique est une fonction de

variables séparables, et une direction de propagation privilégiée. De plus on suppose que

l’onde émise par une source se propage toujours en s’éloignant de la source et que

l’énergie rétrodiffusée est négligeable. Cette hypothèse constitue déjà en soi une limitation

puisque dans le cas d’une source très proche d’un écran vertical par exemple, la

contribution du champ réfléchi par l’écran dans le champ diffracté ne peut être négligée.

En revanche, la méthode de l’équation parabolique permet de résoudre un certain

nombre de problèmes de propagation en présence de conditions météorologiques variées :

propagation au-dessus de sols d’impédance variable [Craddock et White, 1992],

d’obstacles de type colline, propagation à travers des zones de turbulence de grande échelle

[Noble, et al., 1990], ou encore à travers des milieux aléatoirement hétérogènes [Gilbert, et

al., 1990].

En termes mathématiques, il s’agit de transformer l’équation de Helmholtz qui est une

équation aux dérivées partielles elliptique, en une équation aux dérivées partielles

parabolique : l’équation d’onde parabolique. On a donc transformé un problème aux

conditions limites en un problème aux conditions initiales, ce qui est intéressant dans le cas

de la propagation d’ondes à travers des environnements complexes où il n’est que rarement

possible d’obtenir des solutions analytiques du problème aux conditions limites. A partir

de la connaissance d’un champ de pression initial, un algorithme de marche est suivi pour

propager de proche en proche le champ de la source au récepteur.

Décrivons les grandes étapes de la méthode de l’équation parabolique. Généralement on

suppose qu’il y a symétrie cylindrique du champ de pression c’est-à-dire que l’on néglige


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les effets tridimensionnels représentés par les termes dépendant de la coordonnée

azimuthale θ dans un repère cylindrique dont l'origine est la source ponctuelle. Cela

signifie physiquement que la diffusion du champ d'un plan θ=cte à un autre est négligée. Il

faut cependant noter que quelques études ont été effectuées pour inclure ces termes

dépendant de θ (voir [Delrieux, 1991] par exemple). De plus, l'équation dépend tout de

même toujours de la direction du plan de propagation (r,z) par l'intermédiaire de l'indice n

fonction de r, θ et z de manière générale. On part donc de l'équation de Helmholtz à indice

variable (eq. 3- 5) que l'on réécrit en coordonnées cylindriques en tenant compte de la

symétrie azimuthale :

0pnkz

p

r

p

r

1

r

p 2202

2

2

2

=+∂∂+

∂∂+

∂∂

eq. 3- 20

où r représente la portée horizontale et z la hauteur. En faisant l'hypothèse que la

propagation se fait suivant une direction privilégiée autour de l'axe r, on cherche la

pression sous la forme d'une onde cylindrique divergente, représentée par une fonction de

Hankel, et une fonction enveloppe ϕ(r,z) que l'on suppose faiblement variable avec la

distance :

)z,r()rk(H)z,r(p 010 ϕ= eq. 3- 21

En utilisant l'approximation, en champ lointain, de la fonction de Hankel :

)4/rk(i

00

10

0erk

2)rk(H π−

π≈ eq. 3- 22

On obtient l'équation d'onde elliptique simplifiée qui suit, valable pour k0r << 1 :

0)1n(kzr

ik2r

2202

2

02

2

=ϕ−+∂

ϕ∂+∂ϕ∂+

∂ϕ∂

eq. 3- 23

Notons qu'en prenant en compte les effets tridimensionnels, l'équation de Helmholtz

(eq. 3- 20) s'écrirait :

0pnkz

pp

r

1

r

p

r

1

r

p 2202

2

2

2

22

2

=+∂∂+

θ∂∂+

∂∂+

∂∂

eq. 3- 24

Et l'on aboutirait alors, au lieu de eq. 3- 23 à :


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0)1n(kr

ik2zr

1 22002

2

2

2

2=ϕ−+

∂ϕ∂+

∂ϕ∂+

θ∂ϕ∂

eq. 3- 25

Dans l'équation eq. 3- 23, on peut écrire que la dérivée seconde du champ de pression

par rapport à la portée est négligeable devant le produit du nombre d'onde et de la dérivée

par rapport à la portée de la pression, ce qui revient à supprimer les ondes rétrodiffusées (cf

[Delrieux, 1991]). Cette approximation est connue sous le nom d'approximation paraxiale

et permet d'aboutir de manière simple à l'équation parabolique standard de Tappert (cf

[Tappert, 1977]) valable pour des petits angles d'ouverture (voir annexe 3).

Il faut mentionner également que quelques auteurs [Gilbert et White, 1989], [Craddock

et White, 1992], [West, et al., 1992] ont récemment introduit une factorisation plus simple

du champ de pression que l'expression eq. 3- 21, basée sur les mêmes considérations

physiques :

)z,r(r

e)z,r(p

rik 0

ϕ= eq. 3- 26

A l'aide de cette expression, on aboutit à la même équation d'onde elliptique simplifiée

que eq. 3- 23.

En définissant deux opérateurs P et Q de la manière suivante :

2

2

20

2

zk

1nQet

rP

∂∂+≡

∂∂≡ eq. 3- 27

On réécrit l'équation eq. 3- 23 :

( ) 0)1Q(kPik2P 2200

2 =−++ eq. 3- 28

qui peut se mettre sous la forme :

[ ][ ] [ ] 0Q,PikQikikPQikikP 00000 =ϕ−ϕ++−+ eq. 3- 29

Le premier terme entre crochets représente l'onde divergente, le second l'onde

convergente et [P,Q] est le commutateur des opérateurs P et Q :

[ ] ϕ−ϕ=ϕ QPPQQ,P eq. 3- 30


- 88 -

Pour des milieux de propagation où l'indice de réfraction n'est fonction que de la

hauteur, les deux opérateurs P et Q commutent et le terme eq. 3- 30 est nul. Généralement

on fait l'hypothèse que la dépendance de l'indice de réfraction selon la portée r est faible,

de telle sorte que l'on peut négliger le terme du commutateur. En ne retenant que l'onde

progressive, l'on obtient alors l'équation aux dérivées partielles parabolique suivante :

ϕ

−

∂∂+=

∂ϕ∂

1zk

1nik

r 2

2

20

20 eq. 3- 31

On peut trouver dans [Galindo Arranz, 1996] une discussion sur l'erreur réalisée en se

plaçant sous les trois hypothèses classiques énoncées ci-dessus pour effectuer la

transformation de l'équation de Helmholtz en l'équation d'ondes parabolique :

l'approximation champ lointain de la fonction de Hankel, l'hypothèse que le commutateur

est négligeable et le fait de ne retenir que l'onde progressive. Dans le cas de la propagation

acoustique en milieu extérieur à longue distance, la première approximation est pertinente ;

la deuxième hypothèse est exacte pour les milieux de propagation stratifiés verticalement,

et de second ordre en ∆r et dépendant de la valeur du gradient de vitesse du son dans le cas

général ; quant à la dernière hypothèse, elle est correctement vérifiée dans les cas de

propagation à longue distance. On peut d'ailleurs trouver dans le domaine de l'acoustique

sous-marine des travaux incluant la rétrodiffusion en s'appuyant sur une équation

parabolique dans les deux sens [Collins et Evans, 1992].

Les différents modèles d'équation parabolique qui découlent de l’écriture de l’opérateur

du membre de droite de l’équation eq. 3- 31, présentés dans l’annexe I, décrivent la

propagation acoustique pour une source ponctuelle, ce qui présente un intérêt dans le but

d'insérer l'un de ces modèles dans une méthode d'éléments finis de frontière 3D. Dans le

cas d'une BEM bidimensionnelle comme BEMAS2D, il convient tout d'abord d'examiner

la possibilité d'adapter la théorie qui précède au cas d'une source linéique. Dans ce cas, il

est plus commode d'écrire l'équation de Helmholtz de départ en coordonnées cartésiennes.

On suppose que la source linéique est positionnée selon l'axe (Oy), ce qui signifie que le

problème a lieu dans le plan (x,z). On peut alors écrire l'équation de Helmholtz à indice

variable eq. 3- 5, en dehors des sources, dans le système de coordonnées cartésiennes, de la

manière suivante :

0pnkz

p

x

p 2202

2

2

2

=+∂∂+

∂∂

eq. 3- 32


- 89 -

De la même manière que pour eq. 3- 21, on peut alors chercher cette fois-ci à

représenter la pression sous la forme du produit d'une exponentielle et d'une fonction

enveloppe faiblement variable avec la distance :

)z,x(e)z,x(p xik 0 ϕ= eq. 3- 33

En reportant cette expression dans l'équation eq. 3- 32, on peut montrer très facilement

que la fonction enveloppe ϕ est solution de l'équation d'onde elliptique simplifiée qui suit :

0)1n(kzx

ik2x

2202

2

02

2

=ϕ−+∂

ϕ∂+∂ϕ∂+

∂ϕ∂

eq. 3- 34

On constate que cette équation est la même que eq. 3- 23, la variable x prenant la place

de la portée r. Par conséquent en suivant la même méthodologie que ci-dessus pour le cas

de la source ponctuelle, on peut aisément construire la solution pour une source linéique.

Ce résultat important permet de conclure que les codes de calcul basés sur la méthode de

l'équation parabolique pour une source ponctuelle sont très facilement adaptables au cas du

rayonnement cylindrique d'une source linéique, moyennant un changement dans le calcul

final de la pression, la formule eq. 3- 33 venant remplacer eq. 3- 21.

Au travers de ce paragraphe et de l’annexe I, on constate donc la variété d'équations

paraboliques existant ainsi que la puissance de cette approche pour résoudre les problèmes

de propagation acoustique en milieu extérieur, qu'il soit homogène ou inhomogène. Cette

méthode permet de plus de pouvoir décrire la propagation acoustique dans le cas plus

réaliste d'un milieu dont les propriétés varient avec la distance (c'est-à-dire que l'indice

variable n n'est plus fonction seulement de la hauteur mais aussi de la portée r – ou x dans

le cas d’une source cylindrique). Le lecteur est invité à se reporter aux références citées

pour plus de détails. Cependant dans l'optique d'une utilisation en tant que fonction de

Green d'une méthode d'éléments finis de frontière, cette formulation pose, de même que la

méthode des rayons, le problème des dérivées première et seconde par rapport à la

normale. En effet, ces dérivées ne peuvent, dans ce cas, qu'être numériques, avec les

inconvénients soulevés dans le paragraphe précédent. De plus, pour pouvoir utiliser des

méthodes basées sur des différences finies pour calculer la valeur des dérivées en jeu, on

doit nécessairement connaître les valeurs du champ de pression en des points très proches,

ce qui peut soit être très coûteux en temps de calcul, tout en étant très imprécis, soit

impossible à réaliser à cause de l'échantillonnage imposé par la transformée de Fourier


- 90 -

rapide dans le cas de la GFPE par exemple. En revanche, il semblerait qu'un couplage

judicieux entre une équation parabolique et une méthode d'éléments finis de frontière

pourrait permettre d'allier les avantages des deux méthodes : en effet, l'utilisation d'une

BEM permettrait de décrire n'importe quel type de topographie accidentée et de propriété

d'absorption de la frontière du domaine de propagation, par exemple un obstacle ou objet

diffractant de type écran acoustique de forme complexe, et la valeur du champ de pression

calculée par cette BEM pourrait servir de champ initial à l'équation parabolique utilisée,

grâce à laquelle la solution pourrait être "propagée" de pas en pas, très rapidement, via la

GFPE par exemple.


- 91 -

3.3.3 Le Fast Field Program

Le Fast Field Program, communément appelé FFP, est une technique numérique

développée à l'origine en acoustique sous-marine (cf [Di Napoli et Deavenport, 1980]) et

adaptée ensuite aux problèmes de propagation acoustique dans l'atmosphère (voir [Raspet,

et al., 1985]). L'idée repose sur des techniques de transformations intégrales mettant à

profit le fait que les coefficients de l'équation de Helmholtz et les conditions aux limites

sont indépendants d'une ou plusieurs coordonnées spatiales. L'utilisation d'une

transformation intégrale permet alors de diminuer de un la dimension de l'équation d'onde

et des conditions aux limites. Dans le cas de milieux stratifiés horizontalement, cette

méthode est désignée sous le nom général de technique d'intégration du nombre d'onde

(wavenumber integration technique), on peut également rencontrer le terme de méthode du

nombre d'onde discret (discrete wavenumber method) en sismique. Le champ acoustique se

présente sous la forme d'une intégrale dans le domaine spectral des solutions de l'équation

d'onde séparée dépendant de la hauteur (depth-separated wave equation). En acoustique

sous-marine, les approches basées sur l'intégration dans le domaine du nombre d'onde sont

appelées FFP à cause de l'utilisation de transformées de Fourier rapides (Fast Fourier

Transforms en anglais) pour le calcul numérique des intégrales spectrales en jeu.

La FFP permet en fait de calculer la pression acoustique au-dessus d'un sol plan

d'impédance finie, due à une source ponctuelle, en n'importe quel point récepteur, dans une

atmosphère stratifiée horizontalement. Grâce à cette dernière hypothèse de stratification de

l'atmosphère, la vitesse du son et la composante horizontale de la vitesse du vent peuvent

être prises en compte arbitrairement en fonction de la hauteur. On suppose toutefois que le

vent est invariant avec la coordonnée azimuthale θ et radial à partir de la source sonore.

Ceci signifie qu'il n'y a pas de variation d'aucune grandeur avec l'azimuth, et aucune

variation non plus de la vitesse du son et du vent, ni de l'absorption du sol radialement à

partir de la source. Ces hypothèses permettent de réduire de un la dimension géométrique

du problème. On effectue en effet une transformation de Bessel de l'équation de Helmholtz

à indice variable (eq. 3- 20), exprimée en coordonnées cylindriques et en négligeant la


- 92 -

dépendance azimuthale. On obtient alors l'équation d'onde transformée dépendant de la

hauteur, que l'on peut résoudre dans chaque couche atmosphérique horizontale.

Détaillons la méthode de la FFP. On part de l'équation de Helmholtz en coordonnées

cylindriques avec terme source dans le cas d'une source ponctuelle :

)zz()r(r

2pnk

z

p

r

p

r

1

r

pS

2202

2

2

2

−δδ−=+∂∂+

∂∂+

∂∂

eq. 3- 35

qui correspond à l'équation de départ suivante :

)zz,r(4)z,r(pnkp S22

0 −πδ−=+∆ eq. 3- 36

En effectuant la transformation de Bessel d'ordre zéro de l'équation eq. 3- 35, il est

possible de supprimer la dépendance en r. La transformée P(K,z) de p(r,z) s'écrit :

∫∞

=0 0 rdr)Kr(J)z,r(p)z,K(P eq. 3- 37

Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(r,z) par la transformation inverse :

∫∞

=0 0 KdK)Kr(J)z,K(P)z,r(p eq. 3- 38

Après application de la transformation de Bessel, l'équation eq. 3- 35 devient :

[ ] )zz(2PK)z(kdz

PdS

222

2

−δ−=−+ eq. 3- 39

où K est le nombre d'onde horizontal. L'équation eq. 3- 39 est connue sous le nom

d'équation d'onde transformée dépendant de la hauteur. Elle permet de réduire le problème

à un problème monodimensionnel et forme en fait le point de départ de la FFP.

La solution de l'équation eq. 3- 39 est la somme d'une solution particulière )z,K(P̂ et de

n'importe quelle combinaison linéaire des deux solutions indépendantes P-(K,z) et P+(K,z)

de l'équation homogène correspondant (i.e dont le membre de droite vaut zéro). On peut

donc écrire :

)z,K(P)K(A)z,K(P)K(A)z,K(P̂)z,K(P ++−− ++= eq. 3- 40

où A-(K) et A+(K) sont des coefficients à déterminer grâce aux conditions aux limites, à

savoir continuité de la pression et de la composante verticale de la vitesse particulaire à


- 93 -

l'interface entre chaque couche horizontale. Pour la solution particulière, il est commode de

choisir le champ de pression produit par la ou les sources en l'absence de frontières. Une

fois que les coefficients inconnus ont été calculés, le champ total à fréquence donnée peut

être reconstruit par la transformation de Bessel inverse eq. 3- 38. La figure 3. 1 illustre la

stratification de l'atmosphère en couches à l'intérieur desquelles il faut chercher la solution

de eq. 3- 39 sous la forme de eq. 3- 40.

figure 3. 1 : Stratification horizontale de l'atmosphère.

Les différentes variantes de la méthode FFP se distinguent selon la manière dont la

vitesse du son est prise en compte dans chaque strate horizontale de l'atmosphère, ce qui

conditionne l'écriture de la solution analytique exacte pour le champ de pression (eq. 3- 40)

dans chacune de ces strates. Ces différentes variantes sont présentées plus précisément

dans l’annexe II.

La dernière étape commune à toutes les méthodes FFP consiste, après détermination des

coefficients inconnus de eq. 3- 40, à évaluer les intégrales des transformées de Bessel eq.


- 94 -

3- 38. Pour ce faire, la fonction de Bessel est remplacée par la somme de deux fonctions de

Hankel :

[ ])Kr(H)Kr(H2

1)Kr(J 2

0100 += eq. 3- 41

où H01 et H0

2, fonctions de Hankel d'ordre zéro de première et de deuxième espèce,

représentent respectivement, avec la convention temporelle en e-iωt, les ondes progressives

s'éloignant de la source et se dirigeant vers la source. On ne conserve que le premier terme,

pour l'onde quittant la source, et on le remplace par son développement asymptotique :

1Krpour r

e

K

2)Kr(H

)4/Kr(i10 >>

π≈

π−

eq. 3- 42

On obtient donc à la place de eq. 3- 38, l'intégrale suivante :

∫∞π−

π≈

0

iKr4/i dKKe)z,K(Per2

1)z,r(p eq. 3- 43

Notons que Li [Li et White, 1994] a récemment critiqué cette approximation. Cet auteur

considère que le terme représentant l'onde arrivant vers la source et faisant intervenir la

fonction de Hankel d'ordre zéro et de deuxième espèce ne doit pas être négligé, en

particulier pour le calcul à basse fréquence de la pression acoustique au-dessus d'une

surface d'impédance nulle. Bien que cette dernière condition ne corresponde pas à des cas

rencontrés dans la réalité, le calcul supplémentaire du second terme n'augmente de toutes

façons que de très peu le coût numérique.

Après avoir écrit la pression sous la forme eq. 3- 43, on remplace l'intégrale indéfinie

par une somme discrète en utilisant la théorie des transformées discrètes de Fourier. Si la

valeur maximale du nombre d'onde est Kmax et que N valeurs discrètes de K sont utilisées

alors les intervalles de nombre d'onde sont donnés par :

)1N/(KK max −=∆ eq. 3- 44

et correspondent aux intervalles suivant la portée :

KN/2r ∆π=∆ eq. 3- 45

Ainsi l'on a :


- 95 -

∑−

=

π∆π

−=1N

0n

N/mni2nn

m

m eK)K(PKr

1

2

)i1()z,r(p eq. 3- 46

avec Kn=n∆K et rm=m∆r (ou r0+ m∆r). L'expression eq. 3- 46 peut être calculée par un

algorithme de type transformée de Fourier rapide (FFT).

Généralement il n'est pas très facile de tronquer l'intégrale eq. 3- 43 en une somme finie

selon le comportement de l'intégrande (voir à ce sujet les discussions dans [Güdesen, 1990]

et [Richards et Attenborough, 1986]). De plus dans les modèles CERL-FFP, SAFARI ou

FFLAGS (cf annexe II), il n'est pas possible de spécifier le nombre de points désirés

indépendamment de la taille du pas utilisé pour les nombres d'onde horizontaux K à cause

de la relation ∆K∆r=2π/N. En revanche, le modèle CFFP utilise les intervalles suivant

selon la portée : ∆r=2nπ/Kmax où n peut être n'importe quel nombre réel. Ce modèle, qui

calcule la somme eq. 3- 46 par le biais d'une transformation appelée chirp-z transform [Li,

et al., 1991], permet ainsi de choisir à la fois les distances voulues et de faire décroître

l'intervalle ∆K de façon adaptative, pour évaluer avec précision les intégrales des

transformations de Hankel sans pour autant changer les valeurs des distances en sortie du

code de calcul.

L'expression eq. 3- 38 montre en outre, dans le cas d'une source ponctuelle, que les

variables de portée, selon r, et les variables de hauteur, selon z, sont découplées dans la

représentation de la pression. L'allure de la solution sous cette forme est donc

particulièrement intéressante, puisque la fonction de Green intervient dans la BEM, outre

dans l'expression du champ incident, à travers ses dérivées première et seconde par rapport

à la normale (voir les chapitres 2 et 4). Or la dérivée d'une fonction par rapport à la

normale est en fait le produit scalaire du gradient de cette fonction et de la normale, et le

gradient met en jeu les dérivées par rapport à la portée et la hauteur (cf eq. 4- 44 et eq. 4-

45). On constate donc que l'expression eq. 3- 38 permet de calculer les dérivées normales

de la fonction de Green nécessaires au déroulement de la méthode des éléments finis de

frontière. On a ainsi, pour la dérivée du champ de pression par rapport à la portée :

dKK)Kr(J)z,K(Pr

p 210∫

∞−=

∂∂

eq. 3- 47

Les propriétés de la fonction J1, fonction de Bessel d'ordre 1 (cf [Abramowitz et Stegun,

1972]) et le fait que la pression dépendant de la hauteur P reste bornée physiquement,


- 96 -

assurent la convergence de l'intégrale ci-dessus. Pour la dérivée selon la variable z, on a, de

la même manière :

KdK)Kr(J)z,K(z

P

z

p00∫

∞

∂∂=

∂∂

eq. 3- 48

Là encore, le comportement des fonctions J0 et P assure que l'intégrale est bien définie

de même que pour l'expression de eq. 3- 38.

Les dérivées secondes suivantes interviennent aussi dans le calcul des éléments de la

matrice impliquée dans la BEM (cf eq. 4- 54 à 4- 57) :

dKK)Kr('J)z,K(Pr

p 3102

2

∫∞

−=∂∂

eq. 3- 49

KdK)Kr(J)z,K(z

P

z

p00 2

2

2

2

∫∞

∂∂=

∂∂

eq. 3- 50

dKK)Kr(J)z,K(z

P

zr

p 210

2

∫∞

∂∂−=

∂∂∂

eq. 3- 51

Pour le calcul de l'expression eq. 3- 49, on peut se rapporter au calcul d'intégrales déjà

effectuées en utilisant une propriété de la dérivée des fonctions de Bessel [Abramowitz et

Stegun, 1972] :

)z(Jz

1)z(J)z('J 101 −= eq. 3- 52

On peut également vérifier aisément que toutes les expressions (eq. 3- 49, eq. 3- 50 et

eq. 3- 51) sont bien définies et permettent donc de calculer les dérivées premières et

secondes par rapport à la normale en tout point en revenant à la définition basée sur le

produit scalaire du gradient et de la normale.

Pour calculer ces dérivées première et seconde par rapport à la normale (eq. 3- 47, à eq.

3- 51) on peut alors adopter la même démarche que la méthodologie suivie dans la FFP

pour calculer le champ de pression p(r,z). En effet, en utilisant dans chaque strate

horizontale de l'atmosphère, la solution P(K,z) ou sa dérivée première ou seconde par

rapport à la hauteur z, et en remplaçant toujours les fonctions de Bessel J0 et J1 par une

somme de fonctions de Hankel puis par le développement asymptotique du terme

correspondant à l'onde s'éloignant de la source, on peut se rapporter aussi à l'écriture d'une

transformée de Fourier discrète calculée efficacement par un algorithme FFT.


- 97 -

En gardant présent à l'esprit le but de cet examen des modèles propagatifs existants, à

savoir que l'on cherche à s'appuyer sur une solution suffisamment efficace sur le plan

numérique pour l'introduire en tant que fonction de Green dans une méthode d'éléments

finis de frontière, une première remarque importante s'impose : la théorie des modèles FFP

présentée ci-dessus considère, comme pour le modèle de l'équation parabolique, le

rayonnement de sources ponctuelles. Ceci est intéressant pour des méthodes d'éléments

finis de frontière tridimensionnelles, cependant en vue d'utiliser la FFP dans une BEM 2D,

il faut d'abord chercher la solution du problème à géométrie plane pour une source

cylindrique. Ainsi dans le cas d'une ligne source parallèle à la stratification de

l'atmosphère, comme pour la théorie de l'équation parabolique exposée au paragraphe

précédent, il est plus naturel de choisir un système de coordonnées cartésiennes (x,y,z),

dans lequel la source linéique est parallèle à l'axe (0,y). Le champ de pression étant alors

indépendant de la coordonnée y, la dimension de l'équation de Helmholtz est réduite à

deux (variables x et z), et l'on peut réécrire l'équation eq. 3- 36, pour une ligne source en

(x,z)=(0,zS) :

)zz()x(4pnkz

p

x

pS

2202

2

2

2

−δπδ−=+∂∂+

∂∂

eq. 3- 53

En effectuant la transformation de Fourier de l'équation eq. 3- 53, il est possible de

s'affranchir de la dépendance en x. La transformée P(K,z) de la fonction p(x,z) se présente

sous la forme :

∫∞

∞−

−

π= dxe)z,x(p

2

1)z,K(P iKx

eq. 3- 54

Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(x,z) par la transformation inverse :

∫∞

∞−= dKe)z,K(P)z,x(p iKx

eq. 3- 55

Après application de la transformation de Fourier, l'équation eq. 3- 53 devient :

[ ] )zz(2PK)z(kdz

PdS

222

2

−δ−=−+ eq. 3- 56

Cette dernière équation, similaire à l'équation eq. 3- 39 obtenue pour une source

ponctuelle en échangeant les variables r et x, montre que la solution du problème pour une

source linéique s'obtient facilement à partir des résultats précédents dans le cas d'une

source ponctuelle. En effet, les transformées des conditions aux limites sont également


- 98 -

semblables, aussi la solution de l'équation eq. 3- 39 peut-elle être utilisée comme noyau

pour la transformée inverse eq. 3- 55, ce qui permet de calculer aisément le champ de

pression rayonnée par une ligne source. L'utilisation d'une solution de type FFP comme

noyau de Green d'une BEM 2D ne pose donc, à ce stade, pas de problème a priori.

Les formules eq. 3- 38, eq. 3- 47 à eq. 3- 52 concernent le cas d'une source ponctuelle

et sont susceptibles de servir de base au calcul de la fonction de Green d'une méthode

d'éléments finis de frontière tridimensionnelle. Dans le but d'utiliser une BEM 2D, on peut

écrire ainsi, pour une source linéique, à la place de l’équation eq. 3- 38 la formule eq. 3-

55, et les expressions eq. 3- 47 à eq. 3- 51 deviennent :

dKe)z,K(iKPx

p iKx∫∞

∞−=

∂∂

eq. 3- 57

dKe)z,K(z

P

z

p iKx∫∞

∞− ∂∂=

∂∂

eq. 3- 58

dKKe)z,K(Px

p 2iKx2

2

∫∞

∞−−=

∂∂

eq. 3- 59

dKe)z,K(z

P

z

p iKx2

2

2

2

∫∞

∞− ∂∂=

∂∂

eq. 3- 60

dKe)z,K(z

PiK

zx

p iKx2

∫∞

∞− ∂∂=

∂∂∂

eq. 3- 61

On constate que le calcul des dérivées normales première et seconde ne pose pas non

plus de problème dans le cas d'une source linéique. De la même manière que ci-dessus

pour une source ponctuelle, on peut alors adopter aussi la même démarche que la

méthodologie suivie dans la FFP pour calculer le champ de pression p(x,z). Ainsi il semble

que les codes de calcul FFP peuvent être adaptés au calcul de la fonction de Green et de ses

dérivées par rapport à la normale entrant en jeu dans une BEM.

Cependant plusieurs problèmes peuvent se poser. Considérons le cas simple d'un écran

droit rigide sur un sol plan, cas résolu en milieu homogène dans le chapitre 4, présentant la

méthode d'éléments finis de frontière utilisée dans ce travail. D'une part la valeur de la

dérivée par rapport à la normale de la fonction de Green doit être connue en plusieurs

points situés sur l'écran (cf eq. 4- 10), à cause du terme impliquant la source dans la

formulation intégrale de départ eq. 4- 6, et également du terme calculé au récepteur dans

l'expression intégrale finale de la pression eq. 4- 24 ; d'autre part les coefficients de la


- 99 -

matrice mettent en jeu les dérivées secondes par rapport à la normale de la fonction de

Green entre deux points courants situés sur l'écran (voir eq. 4- 11 et 4- 12). Dans le cas où

deux points sont très proches, le calcul par la FFP doit alors être remplacé par des

expressions approchées valables en champ proche. On verra comment une approximation

correcte peut être effectuée pour s'affranchir du problème de la dérivée seconde de la

fonction de Green sur l'écran dans le chapitre 6 qui présentera le modèle Météo-BEM. En

revanche un problème épineux se posera concernant la possibilité ou non, évoquée ci-

dessus, de choisir la position des points à cause de la relation imposée entre les pas ∆K et

∆r (eq. 3- 45), or on veut pouvoir choisir des distances arbitraires entre les points, ce qui

exclut les approches CERL-FFP, SAFARI et FFLAGS, seule la méthode CFFP pouvant

conduire à un tel degré de liberté sur la position des points. De plus, même si grâce à la

technique de la matrice globale, présentée dans l'annexe II, il est possible de calculer

simultanément le champ total à des hauteurs différentes, ce qui est particulièrement

attractif pour évaluer les termes incluant des dérivées par rapport à la normale sur un

certain nombre de points situés sur l'écran, le temps de calcul global pour la méthode

d'éléments finis de frontière en milieu inhomogène risque de devenir prohibitif et les

erreurs numériques se cumulant peuvent conduire à des incertitudes importantes dans le

résultat. Une tentative a été effectuée pour essayer d'incorporer une solution de type FFP

dans une formulation BEM [Taherzadeh, et al., 1998] mais n'a pas, semble-t-il, donné

entièrement satisfaction, et n'a pas donné suite à d'autres développements. Par conséquent,

à ce stade de l'étude, la solution FFP du problème en milieu inhomogène n'est pas non plus

retenue parmi les candidats à la fonction de Green recherchée pour l'introduction des effets

météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière.


- 100 -

3.3.4 Les solutions analytiques

Les solutions analytiques sont présentées rapidement dans ce paragraphe (voir l'article

de référence [Attenborough, et al., 1995], elles seront exposées en détail dans une partie

ultérieure. L'obtention de ces solutions est rappelée brièvement ainsi que leurs limitations

et avantages. Cette partie présente tout d'abord une solution analytique classique pour

l'effet de sol en milieu homogène, qui servira de base à un modèle géométrique valable en

situation de réfraction vers le haut. Puis les deux grandes solutions analytiques des modes

normaux pour la réfraction vers le bas et de la série des résidus pour la réfraction vers le

haut seront passées en revue.

3.3.4.1 La solution analytique de l'effet de sol en milieu homogène

La propagation d'ondes sphériques au-dessus d'un sol d'impédance finie a fait l'objet de

nombreuses recherches, depuis les premiers résultats théoriques obtenus au début du siècle

par Sommerfeld [Sommerfeld, 1909] et Weyl [Weyl, 1919]. De nombreux développements

théoriques ont ensuite été effectués [Rudnik, 1947], [Ingard, 1951], suivis par des travaux

débouchant sur des solutions approchées [Thomasson, 1976], [Chien et Soroka, 1975],

[Thomasson, 1976], [Donato, 1976], [Chien et Soroka, 1980], [Kawai, et al., 1982],

[Rasmussen, 1982], [Di et Gilbert, 1993] et [Delany et Bazley, 1970], qui se sont avérées

très précises dans le cadre de la propagation acoustique en milieu extérieur. C'est ainsi que

les chercheurs ont abouti à différents modèles caractérisant les propriétés acoustiques du

sol [Delany et Bazley, 1970], [Chessell, 1977], [Thomasson, 1977], [Attenborough, 1985],

[Attenborough, 1992], permettant de bien connaître aujourd'hui les mécanismes de la

propagation en milieu homogène au-dessus d'un sol absorbant.

Considérons le problème de la propagation d'une onde sphérique issue d'une source

ponctuelle S en milieu homogène. Dans ce cas, les trajectoires des rayons sont rectilignes.

Le son se propage vers le récepteur R le long d'un rayon direct de longueur R1 et d'un

rayon réfléchi par le sol, de longueur R2, avec un angle d'incidence θ (voir figure 3. 2).


- 101 -

figure 3. 2 : Propagation acoustique au-dessus d'un sol plan absorbant en milieu homogène.

En utilisant une formulation de Weyl-Van der Pol, la pression acoustique peut alors se

mettre sous la forme [Chien et Soroka, 1980] :

21 ikR

2

2ikR

1

1 eR

)R(AQe

R

)R(A)z,r(p += eq. 3- 62

L'amplitude A(R) prend en compte l'absorption atmosphérique et Q est le coefficient de

réflexion modifié pour décrire la réflexion d'une onde sphérique sur un sol plan absorbant.

Une bonne approximation de Q dans le cas d'une surface à réaction localisée est donnée

par :

( ) )w(F)(R1)(RQ pp θ−+θ=eq. 3- 63

avec Rp(θ) le coefficient de réflexion pour une onde plane et la fonction F faisant

intervenir la distance numérique w et la fonction erreur complémentaire. On a :

1cosZ

1cosZ)(Rp +θ

−θ=θ eq. 3- 64

22

2 )Z/1(cosikR2

1w +θ= eq. 3- 65

)iw(erfcwei1)w(F w −π+= −eq. 3- 66

Z représente l'impédance acoustique normalisée du sol. On peut trouver dans

[Attenborough, et al., 1980] des expressions appropriées correspondant à eq. 3- 64 et eq. 3-

65 pour le cas d'un sol à réaction étendue.

Dans le cadre de ce travail, il faut tout d'abord adapter la solution au cas d'une source

cylindrique. Ceci peut être fait aisément en considérant que le rayonnement se fait non plus

selon une loi en eikR/R, mais selon une loi en H0(kR). Il faut cependant prendre garde au


- 102 -

fait que la formule eq. 3- 63 du coefficient de réflexion est, de manière rigoureuse, valable

pour une onde sphérique. On pourra, en première approximation, considérer que ce

coefficient pour une onde cylindrique est proche de celui de l'onde sphérique, en

s'appuyant sur les travaux de Chandler-Wilde [Chandler-Wilde, 1988]. En outre, la

solution eq. 3- 62 peut poser des problèmes en incidence rasante, ce qui est gênant pour le

calcul de la fonction de Green et de ses dérivées en deux points proches, au voisinage du

sol. De plus, il faut également évidemment modifier cette solution pour pouvoir prendre en

compte des effets météorologiques. Ceci peut se réaliser, notamment dans le cas de la

réfraction vers le haut, en utilisant l'idée astucieuse (voir [Berry et Daigle, 1988] par

exemple) selon laquelle il existe une analogie entre la propagation dans un milieu

inhomogène au-dessus d'un sol plan et la propagation en milieu homogène au-dessus d'une

surface courbée, qui simule de fait la courbure des rayons occasionnée par la réfraction.

Cette analogie sera présentée plus en détail au chapitre 5. Il faut alors, dans ce cas de

réfraction vers le haut, prendre en compte en outre la déformation du tube de rayons (cf eq.

3- 16) due à la courbure de la surface. On constate donc que la solution adaptée à partir de

eq. 3- 62 n'est plus purement analytique et fait intervenir des approximations. En outre, le

calcul des dérivées normales ne semble pas réalisable sous une forme "analytique"

intéressante pour la fonction de Green de la méthode d'éléments finis de frontière. Par

conséquent, il semble qu'il faille dans ce cas recourir à une dérivation numérique de type

différences finies avec les problèmes que cela implique en précision et temps de calcul,

problèmes déjà évoqués dans les paragraphes précédents.

3.3.4.2 Les solutions analytiques de type techniques spectrales

Ces solutions font en fait partie avec la FFP de méthodes appelées techniques

spectrales, puisqu'elles s'appuient au départ sur une formulation semblable du champ de

pression, faisant intervenir, pour une source ponctuelle, une transformation de Hankel.

Dans le cas de la réfraction vers le bas, la solution analytique correspondant est connue

sous le nom de solution des modes normaux tandis que pour le cas de la réfraction vers le

haut, on parle de série des résidus.

En supposant que le milieu est à symétrie cylindrique i.e qu'il n'y a aucune variation

avec l'angle azimuthal θ, on part ainsi de l'équation de Helmholtz à indice variable écrite


- 103 -

en coordonnées cylindriques eq. 3- 35, et l'on applique une transformation intégrale de

Hankel pour réduire de un la dimensionalité du problème.

La transformée P(K,z) de p(r,z) s'écrit :

∫∞

∞−−= rdr)Kr(H)z,r(p)z,K(P 1

0 eq. 3- 67

Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(r,z) par la transformation inverse :

∫∞

∞−−= KdK)Kr(H)z,K(P)z,r(p 1

0 eq. 3- 68

Après application de la transformation de Hankel, l'équation eq. 3- 35 devient :

[ ] )zz(PK)z(kdz

PdS

222

2

−δ=−+ eq. 3- 69

La fonction P(K,z) doit satisfaire une condition aux limites d'impédance sur le sol, elle

doit être continue à la source, avoir une discontinuité de sa dérivée avec la hauteur à la

hauteur de la source, et doit également remplir la condition de rayonnement de

Sommerfeld à des grandes hauteurs.

Si l'on peut représenter la variation de la vitesse du son avec la hauteur sous la forme

suivante, dans le cas de la réfraction vers le bas :

)az1)(0(caz21

)0(c)z(c +≈

−= eq. 3- 70

ou, en situation de réfraction vers le haut :

)az1)(0(caz21

)0(c)z(c −≈

+= eq. 3- 71

on peut trouver des solutions analytiques pour P(K,z) faisant intervenir des fonctions de

Airy. Cette écriture est intéressante puisque ces fonctions de Airy ne présentent pas de

coupures dans le plan complexe, ce qui simplifie l'analyse et la recherche des pôles. On

reporte alors la solution en termes de fonctions de Airy dans l'intégrale spectrale de départ

eq. 3- 68, que l'on peut calculer de différentes manières. Ainsi Rasmussen [Rasmussen,

1986] obtient-il la solution de l'équation d'onde transformée dépendant de la hauteur eq. 3-

69 sous la forme de fonctions de Fock, reliées directement aux fonctions de Airy, et cet

auteur calcule alors l'intégrale par des techniques numériques. Pierce [Pierce, 1991] évalue

cette intégrale dans le cas de la réfraction vers le haut en recourant à une intégration de


- 104 -

contour dans le plan complexe et en calculant l'intégrale sous la forme de la somme des

résidus en chaque pôle. Puis d'autres auteurs [Berry et Daigle, 1988] ont amélioré la

précision des calculs en éliminant quelques approximations effectuées par Pierce.

La série des résidus obtenue est considérée comme une solution analytique exacte (cf

[Attenborough, et al., 1995]), bien que rigoureusement elle constitue une approximation,

très bonne, de l'intégrale de départ eq. 3- 68. A cette série des résidus dans le cas de la

réfraction vers le haut, correspond, de la même manière, une solution approchée de

l'équation d'onde dépendant de la hauteur et basée sur la théorie des modes normaux,

valable en situation de réfraction vers le bas.

Ce qui précède est valable pour une source ponctuelle. Dans le cas du rayonnement

cylindrique d'une source linéique, on part de l'équation eq. 3- 53. Pour réduire la

dimensionalité du problème, on utilise cette fois une transformation de type Fourier définie

par les deux expressions suivantes :

∫∞

∞−

−

π−= dxe)z,x(p

4

1)z,K(P iKx

eq. 3- 72

Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(x,z) par la transformation inverse :

∫∞

∞−−= dKe)z,K(P2)z,x(p iKx

eq. 3- 73

Après application de cette transformation à l'équation eq. 3- 53, on trouve que la

fonction z)(K,P est solution de eq. 3- 69, ce qui signifie que les résultats pour une source

ponctuelle sont aisément transposables au cas d'une source cylindrique, en utilisant la

même fonction de Green dépendant de la hauteur et la formule eq. 3- 73.

3.3.4.3 La solution des modes no rmaux pour la réfraction vers le bas

Cette méthode a été utilisée depuis de nombreuses années en acoustique sous-marine (cf

[Buckingham, 1992], [Jensen, et al., 1994]) puis dans le domaine de la sismique [Aki et

Richards, 1980]. L'idée en est que le problème possède un ensemble de modes de vibration

semblables aux modes d'une corde vibrante. Le champ acoustique total est alors construit

en sommant tous les modes pondérés selon la position de la source. La théorie sous-jacente

est en fait le problème aux valeurs propres classique de Sturm-Liouville, dont les

propriétés sont bien connues (cf [Jensen, et al., 1994]) : l'équation modale possède un


- 105 -

nombre infini de solutions appelées modes, ces modes sont caractérisés par une fonction

définissant la forme du mode et une constante horizontale de propagation. Dans le cas de

conditions aux limites impliquant une surface parfaitement rigide z=0 (sol) et une surface

parfaitement absorbante à la hauteur z=D donnée, on peut montrer que les modes sont

orthogonaux et forment une base complète. On peut alors représenter n'importe quelle

fonction sous la forme d'une somme de modes normaux. Dans le cas général, les modes

normaux ne forment pas une base complète, et l'on obtient un spectre "mixte" composé

d'une partie discrète et d'une partie continue, et une intégrale de branche vient s'ajouter,

dans la représentation du champ de pression, à la somme des modes discrets.

Dans le cas de la réfraction vers le bas, donné par le profil de vitesse du son eq. 3- 70, la

fonction de Green dépendant de la hauteur P(z,k), solution de eq. 3- 69, peut s'exprimer en

termes de fonctions de Airy et de leurs dérivées de la manière suivante :

( )[

+τ

τ+ττ+τ−

+τ+τπ−=

<

ππ

π<>

π

)y(Ai)(qAi)('Ai

)e(qAi)e('Ai

e)y(Ai)y(lAie2)z,K(P3/i23/i2

3/i26/i

eq. 3- 74

où( ) ( )

)z,zmin(z),z,zmax(z,l/zy,l/zy,l)kk()dz/dc/(cR,k2/Rl,Z/clikq),0(c/f2k

rsrs22

02

c

3/120c00

====−=τ==ρ=π=

<><<>>

eq. 3-

75

Rc est le rayon de courbure des rayons acoustiques (dont les trajectoires sont des arcs de

cercle dans le cas d'un profil linéaire de célérité), zs et zr les hauteurs de la source et du

récepteur.

En reportant cette expression dans l'intégrale eq. 3- 68, et en calculant cette dernière

grâce à sa série des résidus, on obtient (cf [Raspet, et al., 1992]) :

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑

τ−ττ+τ+τπ=

n2

n'2

nn

nsnn10

AiAi

l/zAil/zAirkH

l

iz,rp eq. 3- 76

avec ( ) 220

2nn lkk −=τ eq. 3- 77

les zéros de ( ) ( ) 0qAi'Ai nn =τ+τ eq. 3- 78

kn représente le nombre d'onde horizontal du nième mode. L'expression eq. 3- 76 néglige

en fait la contribution du premier terme de eq. 3- 74 représentant le champ direct, ce qui

selon Raspet [Raspet, et al., 1992] conduit à une erreur minime à grande distance. En effet,


- 106 -

à cette distance les contributions les plus importantes de l’intégrale eq. 3- 68 résultent des

pôles de P(K,z) qui proviennent du terme réfléchi par le sol. Le terme dû à l’onde directe

est alors négligeable en regard de la somme des résidus de l’intégrale et l’on considère que

l’expression eq. 3- 76 donne une valeur précise du champ de pression.

La série des résidus eq. 3- 76 dans le cas de la réfraction vers le bas, ne converge pas

rapidement du fait que la plupart des pôles sont situés près de l'axe des réels. Le nombre de

modes nécessaires pour évaluer le champ de pression avec une précision correcte peut être

approché par :

=

0max dz

dc/f

3

2n eq. 3- 79

où f représente la fréquence. Cette valeur est en fait déterminée en imposant à la

composante horizontale du nombre d’onde d’être imaginaire pour une surface d’impédance

infinie. Ainsi le nombre de termes est directement proportionnel à la fréquence et à

l’inverse du gradient de vitesse du son.

Notons que le profil de vitesse du son eq. 3- 70 n’est pas physique puisqu’à la hauteur

z=1/2a la célérité devient infinie. Par conséquent le profil de vitesse du son doit être

tronqué à une certaine hauteur. En général, la hauteur du nième rayon peut être approchée

par :

l)2/n3(h 3/1n π= eq. 3- 80

L'expression eq. 3- 76 du champ acoustique est particulièrement attractive puisqu'elle

offre l'avantage de présenter une formulation analytique où les variables de portée r et de

hauteur z sont découplées et par conséquent sous cette forme le champ de pression est

aisément dérivable par rapport aux deux variables. Cette solution apparaît donc très

intéressante en vue de l'insérer dans une méthode d'éléments finis de frontière 3D. On

obtient alors, pour le calcul des dérivées normales de la fonction de Green :

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑

τ−ττ+τ+τπ−=

∂∂

n2

n'2

nn

nsnn11n

AiAi

l/zAil/zAirkHk

l

i

r

peq. 3- 81

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑

τ−ττ+τ+τπ=

∂∂

n2

n'2

nn

nsnn10

2AiAi

l/z'Ail/zAirkH

l

i

z

peq. 3- 82


- 107 -

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑


∂∂

n2

n'2

nn

nsnn11

2n

2

2

AiAi

l/zAil/zAirk'Hk

l

i

r

peq. 3- 83

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑

τ−ττ+τ+τ+τπ=

∂∂

n2

n'2

nn

nnsnn10

32

2

AiAi

l/zAil/zl/zAirkH

l

i

z

peq. 3- 84

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑


∂∂∂

n2

n'2

nn

nsnn11n

2

2

AiAi

l/z'Ail/zAirkHk

l

i

zr

peq. 3- 85

Pour le calcul de eq. 3- 83, on peut utiliser la relation suivante pour la dérivée de la

fonction de Hankel d'ordre un [Abramowitz et Stegun, 1972] :

)z(Hz

1)z(H)z('H 101 −= eq. 3- 86

Notons qu'on a utilisé dans eq. 3- 84 la relation qui suit, pour la dérivée seconde de la

fonction de Airy [Abramowitz et Stegun, 1972] :

)z(zAi)z(''Ai = eq. 3- 87

Dans le cas du rayonnement d'une source cylindrique, en reportant l'expression eq. 3-

74 pour la fonction de Green dépendant de la hauteur dans l'intégrale eq. 3- 73, et en

calculant cette dernière toujours grâce à sa série des résidus, on obtient, avec les mêmes

notations que pour eq. 3- 76, eq. 3- 77 et eq. 3- 78 :

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑

τ−ττ+τ+τπ=

n2

n'2

nnn

nsnxik

AiAik

l/zAil/zAie

l

i2z,xp

n

eq. 3- 88

Les formules eq. 3- 81 à eq. 3- 85 deviennent :

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑


∂∂

n2

n'2

nn

nsnxik

AiAi

l/zAil/zAie

l

2

x

p n

eq. 3- 89

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑

τ−ττ+τ+τπ=

∂∂

n2

n'2

nnn

nsnxik

2AiAik

l/z'Ail/zAie

l

i2

z

p n

eq. 3- 90

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑


∂∂

n2

n'2

nn

nsnxik

n2

2

AiAi

l/zAil/zAiek

l

i2

x

p n

eq. 3- 91

( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑

τ−ττ+τ+τ+τπ=

∂∂

n2

n'2

nnn

nnsnxik

32

2

AiAik

l/zAil/zl/zAie

l

i2

z

p n

eq. 3- 92


- 108 -

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑


∂∂∂

n2

n'2

nn

nsnxik

2

2

AiAi

l/z'Ail/zAie

l

2

zx

p n

eq. 3- 93

Les équations ci-dessus prouvent que la solution des modes normaux peut donc être

adaptée simplement pour servir de fonction de Green pour l'introduction des effets

météorologiques dans une BEM bidimensionnelle, dans le cas de la réfraction vers le bas.

3.3.4.4 La série des résidus pour la réfraction vers le haut

De la même manière que pour la réfraction vers le bas, dans le cas de la réfraction vers

le haut, donné par le profil de vitesse du son eq. 3- 71, la fonction de Green dépendant de

la hauteur P(K,z), solution de eq. 3- 69, peut également s'exprimer en termes de fonctions

de Airy et de leurs dérivées (voir [Raspet, et al., 1991]). On peut alors écrire en conservant

les notations eq. 3- 75 :

( ) ( )[( )

−τ

τ−ττ−τ−

−τ−τπ−=

π<ππ

<π

>π

3/i23/i23/i2

3/i26/i

e)y(Ai)e(qAi)e('Ai

)(qAi)('Ai

yAie)y(Aile2)z,K(P

eq. 3- 94

En reportant cette expression dans l'intégrale eq. 3- 68, et en calculant cette dernière

grâce à sa série des résidus, on obtient (cf [Berry et Daigle, 1988]) :

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π=πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2snn

10

6/i

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(bAirkH

l

ez,rp eq. 3- 95

avec ( ) 3/i2220

2nn elkkb π−= eq. 3- 96

les zéros de ( ) ( ) 0bAiqeb'Ai n3/i2

n =+ πeq. 3- 97

L'expression eq. 3- 95, négligeant en fait la contribution du champ direct, est une

excellente approximation du champ acoustique à grande distance (voir [Raspet, et al.,

1991]). Dans le cas de la réfraction vers le haut, la convergence de la série est rapide

puisque l'absorption croît très rapidement pour les pôles d'ordre élevé. Cette solution

apparaît très puissante en situation de réfraction vers le haut, pour la prévision des niveaux

de bruit dans la zone d'ombre, car la propagation est alors presque entièrement régie par le

gradient de vitesse du son dans un intervalle de quelques mètres au-dessus du sol et n'est

que peu affectée par les effets météorologiques à des hauteurs plus élevées.


- 109 -

L'expression eq. 3- 95, à l'instar de eq. 3- 76, offre l'avantage de présenter une

formulation analytique du champ de pression où les variables de portée r et de hauteur z

sont découplées. Elle permet par conséquent, sous cette forme, de dériver aisément le

champ de pression par rapport aux deux variables. Cette solution apparaît donc également

très intéressante pour servir de fonction de Green à une méthode d'éléments finis de

frontière 3D. On obtient alors, pour le calcul des dérivées normales de la fonction de

Green :

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2snn

11n

6/i

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(bAirkHk

l

e

r

peq. 3- 98

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2snn

10

2

6/i5

bAibb'Ai

e)l/z(b'Aie)l/z(bAirkH

l

e

z

peq. 3- 99

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2snn

11

2n

6/i

2

2

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(bAirk'Hk

l

e

r

peq. 3- 100

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2n

3/i2snn

10

32

2

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(be)l/z(bAirkH

l

i

z

peq. 3- 101

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π=∂∂

∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2snn

11n

2

6/i52

bAibb'Ai

e)l/z(b'Aie)l/z(bAirkHk

l

e

zr

peq. 3- 102

Ces formules peuvent être adaptées au cas du rayonnement d'une source cylindrique en

recourant à la même méthode que pour la réfraction vers le bas. En reportant ainsi

l'expression eq. 3- 94 pour la fonction de Green dépendant de la hauteur dans l'intégrale

eq. 3- 73, et en calculant cette dernière toujours grâce à sa série des résidus, on obtient,

avec les mêmes notations que pour eq. 3- 95, eq. 3- 96 et eq. 3- 97 :

( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −

−−π=πππ

n2

nn2

nn

3/i2n

3/i2sn

xik6/i

bAibb'Aik

e)l/z(bAie)l/z(bAie

l

e2z,xp

n

eq. 3- 103

Les formules eq. 3- 98 à eq. 3- 102 deviennent :

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2sn

xik6/i

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(bAie

l

ei2

x

p n

eq. 3- 104

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −

−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

nn

3/i2n

3/i2sn

xik

2

6/i5

bAibb'Aik

e)l/z(b'Aie)l/z(bAie

l

e2

z

p n

eq. 3- 105


- 110 -

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π−=∂∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2sn

xik2n

6/i

2

2

bAibb'Ai

e)l/z(bAie)l/z(bAiek

l

e2

x

p n

eq. 3- 106

( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −

−−−π=∂∂ πππ

n2

nn2

nn

3/i2n

3/i2n

3/i2sn

xik

32

2

bAibb'Aik

e)l/z(bAie)l/z(be)l/z(bAie

l

i2

z

p n

eq. 3- 107

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −

−−π−=∂∂

∂ πππ

n2

nn2

n

3/i2n

3/i2sn

xik

2

6/i52

bAibb'Ai

e)l/z(b'Aie)l/z(bAie

l

ei2

zx

p n

eq. 3- 108

De même que pour la réfraction vers le bas, on constate donc que la solution de la série

des résidus peut être modifiée simplement pour pouvoir être insérée dans une BEM

bidimensionnelle dans le but d'introduire des effets météorologiques.


- 111 -

3.4 Conclusion : évaluation et comparaison des différents modèles

Ce paragraphe vise à résumer les limites et avantages des modèles présentés dans ce

chapitre. De manière générale, les modèles de prévision de la propagation acoustique en

milieu extérieur sont basés sur différentes approximations mathématiques qui induisent

chacune des hypothèses avec les limitations qui s'ensuivent. Le schéma de la figure 3. 3

montre la hiérarchie des principaux modèles existants. Les modèles souffrant de limitations

plus draconiennes en ce qui concerne le traitement de profils de vitesse du son, sont situés

en haut de la figure, les modèles capables de prendre en compte progressivement des

conditions de propagation de plus en plus complexes étant situés vers le bas.

Au premier niveau de cet échelle (en haut de la figure 3. 3), on retrouve les modèles

classiques qui considèrent l'atmosphère comme étant homogène (modèles de rayon et

apparentés comme la TGD, modèles dits d'effet de sol, BEM ...). Dans un ordre croissant

de complexité, on trouve alors les solutions basées sur les techniques spectrales comme le

Fast Field Program, la solution des modes normaux et de la série des résidus, reposant sur

l'hypothèse de milieux de propagation dont les propriétés ne varient pas avec la portée.

Parmi ceux-ci, la FFP offre l'avantage de pouvoir prendre en compte de profils de vitesse

du son plus compliqués, en fonction de l'altitude. Enfin, arrivent les méthodes capables de

prendre en compte des profils de vitesse du son quelconques : les méthodes de rayons et la

théorie de l'équation parabolique. Cependant, les méthodes de rayon sont limitées à haute

fréquence, c'est-à-dire pour des fréquences telles que la vitesse du son et l'amplitude de

l'onde ne varient pas de façon significative sur une distance de l'ordre de grandeur de la

longueur d'onde. Soulignons toutefois que l'efficacité de ces méthodes, lorsqu'il est

possible de les utiliser, n'est plus à démontrer.

Pour rendre l'exposé plus complet, bien que ce phénomène ne sera pas étudié par la

suite, il convient de garder présent à l'esprit que de nombreux modèles ont tenté de décrire

la turbulence (les modèles d'effet de sol cf [Daigle, 1979, Daigle, et al., 1978], la FFP

[Raspet et Wu, 1995], le modèle heuristique [L'Espérance, et al., 1992]), en introduisant


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figure 3. 3 : Les principaux modèles de propagation acoustique en milieu extérieur.


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des facteurs dans le calcul du niveau de pression moyen, qui prennent en compte la

décorrélation en phase et amplitude entre les rayons directs et réfléchis par le sol.

Seule l'approche de l'équation parabolique [Gilbert, et al., 1990] repose sur un modèle

de turbulence bidimensionnel où l'indice de réfraction est divisé en une partie déterministe

et une partie stochastique. Le son se propage à travers une réalisation "gelée" de

l'atmosphère turbulente. Pour obtenir des effets moyens de turbulence, il faut effectuer

plusieurs calculs pour différentes réalisations aléatoires de l'atmosphère. Dans la figure 3.

3, l’astérisque représente les solutions pouvant prendre en compte ce phénomène physique

de la turbulence.

En ce qui concerne la modélisation des phénomènes intervenant dans la propagation

acoustique en milieu extérieur, Galindo [Galindo Arranz, 1996] souligne par ailleurs que :

"The noise control researches point in the direction of new hybrid methods, where different

techniques are coupled to avoid limitations of the particular methods". C'est le cas de la

méthode des faisceaux gaussiens [Gabillet, et al., 1993], qui est une approche hybride entre

les modèles de rayon et l'équation parabolique ; le modèle heuristique [L'Espérance, et al.,

1992] est un autre exemple de méthode hybride, qui repose quant à lui à la fois sur la

théorie des rayons et la solution de la série des résidus. La nouvelle approche Météo-BEM

présentée au chapitre 6, procède de cette même idée.

Un certain nombre d'études ont été réalisées pour comparer les résultats de différentes

méthodes entre eux [White et Raspet, 1989] [Raspet, et al., 1995] [Attenborough, et al.,

1995] et aussi à des résultats de mesures expérimentales [Rasmussen, 1994], [Berry et

Daigle, 1988]. On peut globalement résumer les conclusions de ces travaux en soulignant

que généralement les algorithmes de type Fast Field Program et équation parabolique

donnent des résultats très voisins sous de nombreuses conditions différentes, et qu'ils sont

en accord avec les solutions analytiques, lorsque celles-ci existent.

En gardant le fil directeur de cette analyse critique des modèles existants, à savoir que

l'on cherche une solution susceptible de fournir une fonction de Green suffisamment

efficace sur le plan numérique en vue de l'insérer dans une méthode d'éléments finis de

frontière, il faut rappeler que parmi toutes les approches présentées, le modèle analytique

d'effet de sol, qui ne prend pas en compte à l'origine une vitesse du son qui varie avec la

position doit donc être modifié pour inclure la courbure des rayons due à la réfraction. On


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est également contraint dans ce cas de recourir à des techniques de dérivation numérique

pour calculer les dérivées première et seconde de la fonction de Green. Les méthodes de

rayon ainsi que la théorie de l'équation parabolique ne semblent pas non plus offrir une

solution intéressante en vue de l'inclure dans une BEM, du fait du recours nécessaire, là

encore, à des techniques de dérivation numérique. Les modèles basés sur des techniques

spectrales paraissent quant à eux jouir de propriétés attractives : les variables de portée et

de hauteur sont découplées, permettant d'accéder de manière relativement aisée à la valeur

des dérivées normales première et seconde. La formulation analytique de la solution, i.e la

solution des modes normaux pour la réfraction vers le bas et de la série des résidus pour la

réfraction vers le haut, semble toutefois plus avantageuse que le modèle de la FFP qui

implique un calcul numérique pour évaluer les dérivées en jeu, bien que cette dernière

approche permette de prendre en compte des profils quelconques de vitesse du son en

fonction de la hauteur, contrairement aux deux premières solutions, valables pour des

profils linéaires de célérité. On verra cependant au chapitre 5 que d'une part il est possible

de linéariser des profils de vitesse du son réels, et d'autre part, certains travaux ont été

effectués pour surmonter cette hypothèse de profils linéaires de vitesse du son sous

laquelle ont été initialement développées les solutions analytiques, en étendant la théorie à

des profils quelconques. Par conséquent, à ce stade de l'étude, on retiendra, parmi tous les

candidats admissibles à la fonction de Green de la méthode d'éléments finis de frontière,

les deux solutions analytiques que sont les modes normaux dans le cas de la réfraction vers

le bas, et la série des résidus pour la réfraction vers le haut. La figure 3. 3 fait apparaître en

gras les modèles utilisés dans ce travail : éléments finis de frontière en milieu homogène ;

modèle d’effet de sol avec courbure de rayons, série des résidus et modes normaux en

milieu inhomogène. Rappelons que le but de ce travail est de montrer qu'il est possible de

manière générale d'inclure des effets météorologiques dans une formulation de type BEM

et que par conséquent les résultats sont généraux et ne dépendent pas du choix de la

fonction de Green retenue en milieu inhomogène. A ce titre, d'autres modèles discutés

précédemment pourraient également servir de base à la fonction de Green de la BEM, en

intégrant les remarques de la partie 3.3. Pour finir, notons que le cas de la pression

acoustique en un point récepteur très proche de la source devra être traité avec précaution,

seule la FFP donnant exactement le champ proche alors que la solution des modes

normaux ou de la série des résidus est dans ce cas une approximation, le terme continu dû à

l'intégrale de branche ne pouvant plus, comme en champ lointain, être systématiquement

négligé.

Documents

Chapitre 3 La fonction de Green prenant en compte les effets …docinsa.insa-lyon.fr/these/2000/premat/chap3.pdf · 2001-02-19 · description approfondie sous la forme d'un problème