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Chapitre III:
Système à un degré de liberté
Documents à remettre aux étudiants
- Tableau : déplacement statique, raideur et pulsation de quelques systèmes
- Tableau de quelques valeurs du coefficient d'amortissement
- La plupart des figures rencontrées durant le cours (chapitre 3)
Classification des problèmes de la DDS
Nombre
de DOF
SDOF (1 DDL)
MDOF (N DDL)
Système
dissipatif
ou
conservatif
Vibration
amortie
C 0
Vibration
non amortie
C = 0
Si aucune énergie n'est perdue dans
le frottement ou autre résistance pendant
l'oscillation.
Si n'importe quelle énergie est perdue
dans le frottement ou autre résistance
pendant l'oscillation.
Système dissipatif
Système
conservatif
Système à un degré de liberté (1 DDL)
Système à plusieurs degrés de liberté (N DDL)
Causes
produisant
la vibration
Vibration
libre
Vibration
forcée Si un système est soumis à une force externe
(souvent une force répétitive).
Si un système, après une 1ère perturbation (excitation) est
laissé vibrer seule, la vibration suivante est connue en tant
que vibration libre. Aucune force externe n'agit sur le système.
Meilleur exemple d’une vibration libre est le pendule
Type
d’excitation
Périodique
Apériodique
Harmonique
Périodique quelconque
Transitoire
impulsive
Déjà vu au chapitre 1
Si toutes les composantes
de base d'un système
vibratoire (le ressort, la
masse, et l'amortisseur),
se comportent linéairement,
Par conséquent, le principe
de superposition s’applique.
Vibration linéaire Vibration
linéaire ou
non Vibration
non linéaire Si toutes les composantes de base
d'un système vibratoire
(le ressort, la masse, et l'amortisseur),
se comportent non linéairement,
Par conséquent, le principe de
superposition ne s’applique pas.
Ne fait pas partie du programme
Considérant une structure à un étage que l’on représente de façon idéalisée à la
figure ci-dessous.
Système élémentaire en DDS
Un tel système est dit à un degré de liberté, car un seul déplacement suffit à décrire
la position de la masse relativement à sa position d’origine.
Bien que tous les éléments de la structure contribuent à la masse, à la rigidité et à
l’amortissement du système, ces propriétés sont dans le système idéalisé,
concentrées dans 3 composantes pures :
a) Une composante de masse indéformable,
b) Une composante de rigidité
c) Une composante d’amortissement
La réponse d’un système à 1 degré de liberté (1 DDL)
Mise en équation de mouvement
L'équation d'équilibre dynamique peut être obtenue à partir de trois méthodes :
méthode directe, méthode énergétique et principe des puissances virtuelles .
On va utiliser la méthode directe :
déplacement
Système à 1 degré
de liberté (SDOF)
Méthode directe
Le principe d’Alembert permet d’écrire l’équilibre dynamique du système masse-ressort
Les forces s'exerçant sur l'oscillateur de la figure ci-dessus sont :
La force de liaison reliée à la vitesse de la masse; dans le cas d'un
amortisseur visqueux linéaire, cette force est donnée par l'équation ci-dessous :
L’amortisseur visqueux s’oppose à la vitesse par cette force
La force de liaison reliée au déplacement u de la masse; dans le cas d'un
système linéaire, cette force est donnée par l'équation ci-dessous :
Le ressort s'oppose au déplacement par cette force
La force extérieure appliquée
La force d'inertie s'exerçant sur la masse m égale au produit de celle-ci par
l'accélération de la masse.
(1)
Équation du mouvement
d’un système à 1 DDL
Cette force s’oppose au sens du mouvement.
(1)
Interprétation mathématique de l’équation du mouvement (1) :
Il s’agit d’une équation différentielle
dérivées principe
de
superposition
2 constantes
d’intégration
2 conditions initiales
Linéaire d’Ordre 2
Vibration libre
Réponse à un système à
un seul degré de liberté
sous oscillations libres
et non amorties
Réponse à un système à
un seul degré de liberté
sous oscillations libres et
amorties
Réponse à un système
à un seul degré de
liberté sous oscillations
libres et non amorties
Rappel : oscillation libre : application d’un choc
initial d’une durée très courte.
Système sans amortissement (non amorti) : le
système est conservatif (C = 0)
C’est-à-dire sans dissipation d’énergie vers
l’extérieur.
L’équation (2) devient : (3)
(4)
La solution de l’équation (3 )est une fonction harmonique pour le déplacement :
Système à 1 degré de liberté (SDOF)
et sont l’amplitude et la phase qui dépendent des conditions initiales :
est la pulsation (ou fréquence angulaire).
L’équation (3) suivante :
La pulsation naturelle (propre) est la valeur de qui satisfait la relation :
peut s’écrire :
ne dépend que des constantes mécaniques du système.
Les constantes et dépendent des conditions initiales.
( est intégré deux fois pour obtenir , d’où deux constantes d’intégration)
Les conditions initiales sont le déplacement et la vitesse à l’instant
:
donc :
La principale caractéristique d’un système oscillant ayant un seul degré de liberté
dynamique, sans amortissement est la valeur propre du système représentée par la
pulsation, la fréquence ou la période.
Le déplacement :
La réponse à un système à un seul degré de liberté sous oscillations libres et
non amorties
C’est une fonction harmonique à la pulsation naturelle dont l’amplitude est imposée
par les conditions initiales.
Réponse libre du système à un degré de liberté non-amorti
(déplacement et vitesse) de pulsation propre
.
Cette amplitude reste constante car la modélisation n’a pas pris en compte le
phénomène de dissipation d’énergie présent dans tout le système.
Dans la réalité, une décroissance de l’amplitude avec le temps sera observée.
Au terme d’inertie est associée l’énergie cinétique :
et au terme de raideur est associée l’énergie potentielle de déformation :
Au cours du mouvement de l’oscillateur, la somme est constante,
le système est dit conservatif.
Preuve :
Remarques :
La solution de l’équation différentielle peut aussi s’exprimer par la somme d’une
fonction sinus et d’une fonction cosinus :
En utilisant cette forme de solution, les conditions initiales conduisent à :
Il est aussi possible d’exprimer la solution à l’aide d’une seule fonction cosinus :
A partir de l’expression précédente : et
Ce qui permet de retrouver la même amplitude que précédemment :
et conduit à la phase :
La solution de l’équation différentielle peut aussi s’exprimer par la forme
exponentielle complexe suivante :
En utilisant la formule d’Euler :
Les expressions des principales caractéristiques d’un système oscillant (la pulsation,
la fréquence ou la période), ayant un seul degré de liberté dynamique, sans
amortissement sont données par :
Afin de faciliter les calculs, quelques cas de poutres sont indiqués dans le tableau
ci-dessous :
Tableau
Ust, k et
la pulsation
Réponse à un système
à un seul degré de
liberté sous oscillations
libres et amorties
L’oscillateur est dit dissipatif quand l’amortissement n’est pas nul (c 0).
On a montré précédemment que l’équation du mouvement d’un système à 1 DDL
est de la forme :
(1)
Sous oscillation libre et amortie, l’équation (1) devient :
(2)
En posant
L’équation (2) devient :
Puisque ne peut pas être nul quel que soit ,
C’est l’équation caractéristique suivante qui doit être vérifiée :
(3)
Posons : et
L’équation caractéristique devient :
Les solutions de l’équation caractéristique (3) sont :
(4)
D’après l’équation 4, la forme de la solution dépend du signe de la racine carrée.
On doit distinguer 3 cas possibles :
a) Système sur-amorti
Dans ce cas, les racines de l’équation 4 sont des valeurs négatives et réelles.
On peut écrire également l’équation 4 de la manière suivante :
où
Ce qui donne comme solution générale :
(cas d’un fort amortissement)
La figure ci-dessous montre graphiquement la solution.
Réponse typique d’un système sur-amorti.
On constate qu’aucune
vibration n’est possible.
D’ailleurs, ce cas n’a pas d’importance pratique dans l’analyse dynamique des
structures de génie civil.
b) Système à amortissement critique
Dans ce cas, on a 2 racines égales et la solution générale devient :
Avec les conditions initiales et à , on obtient :
Réponse typique d’un système avec amortissement critique.
La figure ci-dessous montre graphiquement la solution.
Il n’y a aucune vibration.
Mais ce cas représente la limite entre une réponse oscillatoire et une réponse monotone
(sans vibration).
On définit pour ce cas :
Le cas de l’amortissement critique ne possède pas de valeur pratique. On considère
toujours les structures de génie civil comme des systèmes sous-amortis avec un
amortissement visqueux équivalent inférieur à 20 % critique .
c) Système sous-amorti
Dans ce cas, les racines de l’équation (4) sont des valeurs complexes.
où
(Cas d’amortissement faible)
La solution générale est donc :
En utilisant les relations d’Euler, la solution s’écrit plus simplement :
Pour évaluer les constantes A et B, on pose les conditions initiales (à t = 0) :
On obtient alors :
On peut également écrire l’équation précédente comme suit :
où U représente l’amplitude de la réponse et l’angle de phase :
La figure ci-dessous montre graphiquement la solution.
et
Réponse typique d’un système sous-amorti.
Le mouvement est
harmonique avec
une fréquence
circulaire .
L’amplitude va en
décroissant à cause
du terme .
On définit :
Remarque :
En pratique, il n’est pas nécessaire de distinguer la pulsation non amortie et amortie.
Exemple :
un système avec
un amortissement
de 20 % critique
Pour un amortissement < 20 % critique (représente la borne sup pour la majorité
des structures de génie civil, donc la fréquence naturelle n’est pas essentiellement
modifiée par l’amortissement.
La pseudo-pulsation
La pseudo-période
La pseudo-fréquence
Mesure du taux d’amortissement
Une approche consiste à mesurer la décroissance de l’enveloppe pour un système
sous-amorti :
L’amortissement des structures est souvent exprimé en terme d’un amortissement
visqueux équivalent obtenu à partir d’essais de vibration libre, après un lâcher initial.
Essai par lâcher initial pour la détermination de l’amortissement
par décrément logarithmique
Les déplacements et mesurés à un cycle d’intervalle lors d’un
essai de vibration libre.
Le rapport de ces deux déplacements nous donne :
L’équation précédente devient :
Prenons le logarithme des deux membres de l’équation précédente, nous obtenons :
Où la quantité est appelée décrément logarithmique.
L’amortissement d’un système peut être calculé en mesurant les déplacements du
système à un cycle d’intervalle, l’amortissement étant donné par la relation suivante :
Pour des valeurs faibles d’amortissement , une approximation de est
donnée par :
La valeur de la fraction ou du taux d’amortissement critique dépend en principal
du type de structure et des matériaux utilisés. Le tableau ci-dessous donne
quelques valeurs du taux de l’amortissement critique :
Différentes valeurs de en fonctions du type de constructions
Le tableau suivant donne les valeurs de (%) page 26 du RPA 99 / version 2003
Réponse d’un
système à une
excitation
harmonique
Vibration forcée
Réponse d’un
système à une
excitation
périodique
Réponse d’un
système à
une charge
arbitraire
(ou quelconque)
Système
dissipatif
Système
Non
dissipatif
Système
dissipatif
Système
Non
dissipatif
Réponse d’un système
à une excitation
harmonique
Système
dissipatif
Système
Non
dissipatif
Un chargement harmonique est typiquement celui
engendré par exemple par une machine tournantes,
ventilateurs, moteurs, pompes, …..
Elle est décrite par une fonction sinusoïdale :
: la pulsation de
la force excitante
La solution de l’équation précédente est :
On a montré précédemment que l’équation du mouvement d’un système à 1 DDL
est de la forme :
(1)
solution complémentaire solution particulière
de la de l’équation
homogène avec F(t) = 0
de l’équation non homogène,
donc liée à la charge F(t)
Solution générale = superposition de deux mouvements
Réponse transitoire (ou libre)
Solution de l’équation homogène :
Réponse stationnaire (ou forcée)
Solution particulière de l’équation complète :
Réponse d’un système
à une excitation
harmonique
Système non-amorti (non dissipatif ou conservatif) (C = 0)
L’équation du mouvement sera :
On va s’inspirer de la forme de la force extérieure
- On suppose que le mouvement est harmonique de même fréquence que la force
extérieure harmonique et en phase avec elle.
- On suppose que la pulsation naturelle du système n’est pas présente dans
l’expression de la solution particulière.
Trouvons la constante d’intégration C.
Dérivant deux fois l’expression de :
On remplace
dans l’équation
du mouvement
précédente
L’expression de C devient :
Rapport de pulsation
ou des fréquences
Changement de notation :
pulsation
relative
L’expression de C devient : Multiplie la statique pour
donner la dynamique
La variation de C en fonction de
On remarque que C change de signe
brusquement de valeurs infiniment
grandes positives à des valeurs
infiniment grandes négatives, en
passant par .
Quand la force agit vers la droite,
le système se déplace aussi vers
la droite (déplacement est en
phase avec la force appliquée.
Quand la force agit vers la droite, le
système se déplace vers la gauche
(déplacement est en opposition de
phase avec la force appliquée.
Phénomène de résonnance
Il est à mentionner que le coefficient d’amplification dynamique D donne aussi la
possibilité de calculer une force statique équivalente à l’effet dynamique :
(le système va se casser)
Remarques :
La solution générale devient :
Réponse transitoire
Réponse stationnaire
Réponse
statique
amplification
dynamique
harmonique
excitatrice
La réponse transitoire s’amortit
rapidement et la réponse totale tend
vers la solution stationnaire d’autant
plus vite que le facteur
d’amortissement est fort.
La réponse statique est
amplifiée par le « facteur
d’amplification dynamique »
Pour les conditions initiales à , et , on déduit les
constantes d’intégration et .
La solution complète devient :
Composante du déplacement
total ayant la fréquence de la
charge appliquée (appelée
régime forcé harmonique.
Composante du déplacement
total ayant la fréquence naturelle
du système (appelée régime libre
transitoire).
Le facteur de réponse dynamique
Quand , il y a résonnance d’amplification cad et
Réponse d’un système
à une excitation
harmonique
Système amorti (dissipatif) (C 0)
La solution complémentaire est la réponse
en régime dissipatif libre de l’équation
homogène sans second membre.
est la pseudo-pulsation
ou pulsation amortie
de l’oscillateur amorti.
(a)
La solution particulière est de la forme :
(b)
(c)
(d)
Remplaçant l’expression (b) , (c) et (d) dans l’équation du mouvement (a) on aura :
Par identification des termes en et , on obtient les deux
équations suivantes :
d’où les constantes d’intégration :
Régime forcé ou permanent ou encore stationnaire
Régime transitoire s’amortit au cours du temps , d’autant plus
rapidement que le pourcentage d’amortissement critique est élevé et la
réponse tend vers la solution stationnaire à cause du terme .
Cette réponse s’effectue alors avec une période égale à celle
de la sollicitation.
Régime libre ou transitoire
Les constantes A et B de la partie transitoire de la réponse totale peuvent être
évaluées pour des conditions initiales à l’instant t = 0.
Soit le déplacement initial et la vitesse initiale, les constantes A et B
valent :
Réponse d’un système amorti à une force harmonique : , et
Dmax = 1/(2 )
(pas d’amortissement)
(cas de résonnance) 1
Variation du facteur d’amplification dynamique du déplacement
en fonction de la fréquence relative et du taux d’amortissement .
Le facteur d’amplification dynamique du déplacement :
Si le système entre en résonance, les conséquences peuvent être graves. On peut
citer deux cas connus :
Remarque :
Le 18 avril 1850 à Angers, un régiment traversant au pas cadencé (harmonieux)
un pont suspendu enjambant le Maine provoqua sa destruction.
Le 7 novembre 1940, six mois après son inauguration, le pont suspendu de
Tacoma (Etats-Unis) était détruit par les effets des rafales de vent qui sans être
particulièrement violentes (60 km/h) étaient régulières.
Réponse d’un système à
une excitation harmonique
produite par une masse
non-équilibrée en rotation
Machine rotative avec masse excentrée
Excentricité de la masse
Soit une masse me à excentricité e tournant à une vitesse angulaire .
Soit u(t) le déplacement de la masse non rotative (m - me) de la position d’équilibre
statique.
Le déplacement de la masse rotative me est .
L’équation du mouvement est :
Masse non rotative Masse rotative
d’où
avec
Le problème devient comme un système (machine sans excentricité de masse
étudiés auparavant.
Remarque :
Réponse d’un système
à une excitation
périodique
Rappel (voir chapitre 1)
Chargement périodique quelconque
Une charge périodique est une charge dont la variation durant une période se répète
indéfiniment.
Nous allons étudier la réponse dynamique d’un système soumis à une force
périodique quelconque.
Toutes les fonctions de chargement périodiques rencontrées en DDS peuvent être
développées en série de fonctions trigonométriques (appelées série de Fourier).
La réponse dynamique d’un système à une charge périodique revient donc à la
sommation des réponses du système à des forces d’amplitudes différentes mais
variant toutes suivant des fonctions harmoniques.
Représentation d’une fonction périodique en série de Fourier
Rappel :
On peut représenter une fonction périodique en série de Fourier sous forme trigonométrique
Théorème de Fourier :
N’importe quelle fonction périodique peut être exprimée par un premier terme constant
plus une série infinie de sinus et cosinus avec une augmentation de fréquence.
Tenant compte de , nous pouvons écrire la série précédente sous la forme
suivante :
La pulsation est appelée pulsation fondamentale et les pulsations sont
appelées harmoniques pour n 2.
()
ou bien :
En combinant les cosinus et les sinus de même fréquence, l’équation () peut se
mettre sous la forme suivante :
où et est l’amplitude de la nième harmonique
est l’angle de phase :
( )
Représentant la charge moyenne
Ces intégrales peuvent avoir des bornes de n'importe quelle période :
Remarque :
En utilisant le principe de superposition, la solution finale sera la somme des
solutions
Réponse à un chargement périodique
La réponse permanente de l’oscillateur conservatif à un chargement décomposé en série
de Fourier est donnée par les sommes suivantes :
La réponse permanente de l’oscillateur dissipatif à un chargement décomposé en série
de Fourier est donnée par les sommes suivantes :
En exprimant le chargement par l’expression ( ), la réponse de l’oscillateur dissipatif
s’exprime par :
où est l’angle de phase de la réponse par rapport à la nième harmonique du
chargement, est donné par l’équation suivante :
Si on néglige les termes transitoire, la réponse de l’oscillateur conservatif s’exprime par :
Réponse d’un système
à une charge arbitraire
(ou quelconque)
On s’intéressent maintenant à la solution de l’équation du mouvement pour un système
linéaire à un seul degré de liberté soumis à une force dynamique arbitraire F(t).
Dans le but de
développer une
méthode générale pour
résoudre l’équation
précédente sous une
charge dynamique
arbitraire, on considère
tout d’abord la réponse
du système sous une
impulsion de courte
durée (impact).
Excitation arbitraire
Réponse à un système à un seul degré de liberté sous une
force d’impulsion de courte durée
Impulsion, impact ou choc : application soudaine d’une force F(t) d’une courte durée.
Une force peut être considérée comme impulsionnelle si :
En pratique :
La durée d’application de la force est
beaucoup inférieure à la période propre du
système.
Alors l’impulsion peut être traitée comme
changement soudain de vitesse.
En d’autres termes, le système n’a pas le temps
pour réagir pendant l’intervalle de temps
(intervalle d’application de la force arbitraire).
10 -3 s < < 10 -2 s
D'après l'équation fondamentale de la dynamique, la variation de la quantité de
mouvement de la masse m est égale à la résultante des forces appliquées, soit :
On peut négliger les forces élastiques et d’amortissement, il n’y a pas de
changement notable du déplacement durant le temps d’application de la charge
impulsive mais seulement un changement de vitesse
En intégrant de part et d’autre de l’équation précédente
Après l’application de l’impulsion , le système est en vibration libre avec les
conditions initiales suivantes :
La réponse du système est donnée par l’expression
Slide 34
Système libre amorti (sous amorti)
Réponse à un système à un seul degré de liberté sous une
force arbitraire (quelconque) intégrale de Duhamel
On peut utiliser la réponse d’un système à 1 DDL sous une impulsion de courte durée
pour la déduire sous une charge dynamique quelconque.
On peut représenter toute charge dynamique arbitraire par une succession
d’impulsions figure ci-dessous.
Charge dynamique
arbitraire représentée
par une succession
d’impulsions rectangulaires
Maintenant, si on considère une impulsion particulière qui se termine au temps
après le début de l’application de la charge et a une durée petite d.
L’aire sous l’impulsion correspond à F() d.
Cette impulsion seule produit une réponse unitaire en vibration libre au temps t
donnée par l’équation précédente :
Réponse d’un système
sous chargement
sismique
(notion de spectre)
Spectres de réponses :
Pour un oscillateur qui a les caractéristiques et .
Accélérogramme :
On décompose en 1/10 de seconde.
On général on prend T/10
Pour déterminer le déplacement
max, on calcule l’intégrale (1) 300 fois :
Comme ça, on détermine le déplacement max, après on déduit la force maximale :
Pour déterminer les spectres, on fixe l’un des caractéristiques ( , ) et on varie l’autre. On fixe par exemple :
On répète la même chose pour déterminer les autres courbes de = 5% et 10%.
Ces courbes nous donnent le déplacement max de n’importe quel oscillateur de taux
d’amortissement (0%, 5% et 10%) soumis d’un séisme donné.
On défini :
Spectre de réponse en vitesse
Spectre de réponse en accélération
donc :
Si on dérive l’équation (1), on trouve une vitesse comparable avec mais
n’est pas la vitesse maximale et on note « ». la même chose avec l’accélération
et on note « » avec :
On note :
Remarques :
- Quand l’amortissement :
- On peut trouver les spectres de réponse sous :
Un spectre de réponse en est une famille
de courbe qui donne pour chaque couple de valeurs ( , ) ou ( , T)
le d’une structure soumise à un séisme
donné « accélérogramme ».
