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CHAPITRE 21

Dynamique d'un système à un degré de liberté Analyse des vibrations

21.1 ÉQUATIONS GÉNÉRALES

21.1.1 Introduction

Les vibrations mécaniques sont généralement générées lorsqu'un système est déplacé d'une position d'équilibre stable. La plupart des vibrations dans les machines sont néfastes, du fait qu'elles génèrent des contraintes plus élevées et des énergies dont la dissipation peut conduire à une détérioration en fatigue des systèmes. Il est donc nécessaire de réduire les vibrations au mieux.

Le système mécanique vibratoire le plus simple à étudier est celui qui a un seul degré de liberté. L'importance de son analyse réside dans le fait que les résultats qui sont établis pour un système à un degré de liberté servent de base à l'analyse des vibrations de structures complexes. Comme système à un degré de liberté, nous considérons le système masse-ressort de la figure 21.1. Les résultats qui seront établis pour ce système peuvent être transposés à tout système vibratoire à un degré de liberté.

FIGURE 21.1. Système masse-ressort.

(T)

(R) (S) (∆)

OG x

y

310 Chapitre 21 Dynamique d'un système à un degré de liberté. Analyse des vibrations

Le système masse-ressort est constitué d'un solide (S) lié à un bâti (T) par l'intermédiaire d'un ressort (R). Le solide est par ailleurs en liaison glissière par rapport au bâti d'axe (∆) horizontal. Du fait de cette liaison, le centre de masse G du solide est assujetti à se déplacer sur l'axe (∆), également axe du ressort.

21.1.2 Paramètres de situation

Nous choisissons le trièdre (Oxyz) lié au bâti (T) tel que l'axe Ox soit confondu avec l'axe (∆), que le point O soit confondu avec la position d'équilibre du centre de masse G (dans le cas où il n'y a pas de frottement) et tel que l'axe Oy soit vertical ascendant. L'orientation du solide (S) est inchangée au cours du mouvement, et le mouvement possède un paramètre de situation, l'abscisse x de G sur l'axe Ox : OG x i= .

21.1.3 Cinématique

Les éléments de réduction au centre de masse G du torseur cinématique ( ){ }TSV

sont :

( ){ } ( )

( ){ } ( )

0,

( , ) .

T TS S

T TG S

R

G t x i

ω= =

= =M

VV v

(21.1)

Tous les points du solide ont même vecteur vitesse et même vecteur accélération :

( ) ( , )Ta G t x i= . (21.2)

21.1.4 Cinétique

Les éléments de réduction du centre de masse G du torseur cinétique sont :

( ){ } ( )

( ){ } ( )

( , ) ,

( ) 0.

T TS

T TG S G S

R m G t mx i

S ω

= =

= =

PPM

v

I (21.3)

De même, les éléments de réduction du torseur dynamique sont :

( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( ) ( )

( , ) ,

( ) ( ) 0.

T TS

T T T TG S G S S G S

R ma G t mx i

S Sω ω ω

= =

= + ∧ =M

DD I I

(21.4)

Enfin, l'énergie cinétique est :

( ) ( ){ } ( ){ } 2c

1 1( )2 2

T T TS SE S mx= =⋅P V . (21.5)

21.1 Équations générales 311

21.1.5 Actions mécaniques exercées sur le solide

Les actions mécaniques exercées sur le solide se réduisent à l'action de pesan-teur terrestre, l'action du ressort et l'action du bâti due à la liaison glissière.

1. Action de pesanteur Elle est représentée par le torseur { }e( )SP dont les éléments de réduction au

centre de masse sont :

{ }

{ }e( ) ,

e( ) 0.G

R S mg j

S

= −

=M

P

P (21.6)

La puissance développée par l'action de pesanteur est :

( ){ } { } ( ){ }e( ) e( ) 0T TSP S S= =⋅ VP P . (21.7)

2. Action du ressort L'action exercée par le ressort est une force dont le support est l'axe du ressort.

Elle est représentée par le torseur { }( )SR dont les éléments de réduction en G sont :

{ }

{ } ( ) ,

( ) 0,G

R S kx i

S

= −

=M

RR

(21.8)

où k est la constante de raideur ou rigidité du ressort. La puissance développée par l'action du ressort est :

( ){ } { } ( ){ } ( ) ( )T TSP S S k x x= = −⋅R R V . (21.9)

3. Action du bâti due à la liaison glissière L'action de liaison exercée par le bâti est représentée par le torseur { }( )SL

dont les éléments de réduction en G sont :

{ }

{ }

( ) ,

( ) .l l l

G l l l

R S X i Y j Z k

S L i M j N k

= + +

= + +

LLM

(21.10)

Les composantes Xl, Yl, ..., Nl, de l'action de liaison sont à déterminer. La puissance développée par l'action de liaison est :

( ){ } { } ( ){ } ( ) ( )T TlSP S S X x= =⋅L L V . (21.11)

21.1.6 Application du principe fondamental

Dans le cas où le bâti est un repère pseudo-galiléen (lié à la Terre), le principe fondamental appliqué au système masse-ressort s'écrit :


( ){ } { } { } { }e( ) ( ) ( )TS S S S= + +R LD P . (21.12)

Cette équation conduit à deux équations vectorielles, l'équation de la résultante et l'équation du moment en G :

( ){ } { } { } { }e( ) ( ) ( )TSR R S R S R S= + +R LD P , (21.13)

( ){ } { } { } { }e( ) ( ) ( )TG G G GS S S S= + +R LDM M M MP . (21.14)

Nous en déduisons les 6 équations scalaires :

,0 ,0 ,0 ,0 ,0 .

l

l

l

l

l

l

mx k x Xmg Y

ZLMN

= − += − +====

(21.15)

Le théorème de l'énergie-puissance :

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }

cd e( ) ( ) ( )d

T T T TE P S P S P St

= + +R LP (21.16)

conduit à l'équation : lmxx kxx X x= − + . (21.17)

Nous retrouvons la première des équations (21.15). Finalement, nous obtenons 6 équations pour 7 inconnues : Xl, Yl, Zl, Ll, Ml, Nl,

x. Une équation supplémentaire sera donnée par la nature physique de la liaison. Le problème pourra alors être entièrement déterminé.

En fait, cinq équations du système (21.15) sont déjà résolues :

lY mg= , (21.18) 0lZ = , (21.19)

{ }( ) 0G S =LM . (21.20)

Il en résulte que l'action de liaison est une force dont le support passe par le centre de masse G.

Il reste à résoudre la première équation de (21.15) :

lmx k x X= − + . (21.21)

L'hypothèse de la nature physique de la liaison permettra d'exprimer la composante Xl. La résolution de (21.21) conduira ensuite à l'expression du mouvement x en fonction du temps. L'équation (21.21) est appelée équation du mouvement.

Nous observons que dans le cas du système masse-ressort, le théorème de l'énergie-puissance conduit à l'équation du mouvement.

21.2 Vibrations en l'absence de frottement 313

21.2 VIBRATIONS EN L'ABSENCE DE FROTTEMENT

21.2.1 Équation du mouvement

Dans le cas où la liaison glissière est sans frottement (liaison parfaite), la puissance développée par l'action de liaison est nulle. Soit d'après (21.11) :

0lX = . (21.22) L'équation du mouvement se réduit à :

mx k x= − . (21.23)

Cette équation peut se mettre sous la forme réduite :

20 0x xω+ = , (21.24)

en posant :

20

km

ω = . (21.25)

La grandeur 0ω est la pulsation propre du système masse-ressort en l'absence de frottement.

21.2.2 Vibrations libres

Les vibrations libres sont les vibrations qui sont observées lorsque le solide (S) est écarté de sa position d'équilibre, puis abandonné à lui-même. Ces vibrations sont solutions de l'équation (21.24). Cette équation est satisfaite par :

1 0cosx C tω= et 2 0sinx C tω= ,

où C1 et C2 sont des constantes arbitraires. Par addition de ces solutions, nous obtenons la solution générale de l'équation (21.24) du mouvement. Soit :

1 0 2 0cos sinx C t C tω ω= + . (21.26)

Les constantes C1 et C2 dépendent des conditions initiales. Nous supposons qu'à l'instant initial ( 0)t = le solide est déplacé de x0 de sa position d'équilibre, puis abandonné avec une vitesse 0x . En substituant 0t = dans l'équation (21.26), nous obtenons :

1 0C x= . (21.27)

En dérivant l'équation (21.26) par rapport au temps, puis en substituant 0t = , nous avons :

02

0

xCω

= . (21.28)

L'expression des vibrations libres s'écrit donc :


FIGURE 21.2 Vibrations libres fonction du temps.

00 0 0

0cos sinxx x t tω ω

ω= + . (21.29)

Cette expression peut également se mettre sous la forme : ( )m 0cosx x tω ϕ= − , (21.30)

avec

2

2 0m 0

0

xx xω

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

, (21.31)

et

1 0

0 0tan x

xϕ

ω−= . (21.32)

Le déplacement en fonction du temps est reporté sur la figure 21.2. La valeur maximum xm du déplacement est appelée l'amplitude de la vibration. L'angle ϕ est appelé le décalage de phase ou l'angle de phase. L'intervalle de temps T0 pour lequel se répète le mouvement est appelé la période propre :

00

2T πω

= . (21.33)

Le nombre de cycles f0 décrits par unité de temps est la fréquence propre de vi-bration :

00

0

12

fT

ωπ

= = . (21.34)

21.2.3 Vibrations forcées en régime permanent

Dans de nombreuses applications pratiques, le solide est soumis à une force périodique ou un déplacement périodique est imposé au support du ressort. La réponse du système en régime permanent est connue sous le nom de vibrations forcées.

0

-0.00

temps t

dépl

acem

ent

x

x0 xm

T0


Considérons le cas où le solide (S) du système masse-ressort de la figure 21.1 est soumis à une force périodique f de composante horizontale m sinf tω . La force est alors dite harmonique. L'équation du mouvement (21.23) en l'absence de frottement s'écrit :

m sinmx kx f tω= − + . (21.35)

Cette équation s'écrit sous la forme réduite :

20 m sinx x q tω ω+ = , (21.36)

avec

mm

fqm

= . (21.37)

Une solution particulière de l'équation (21.36) est donnée par :

3 sinx C tω= , (21.38)

où C3 est une constante qui doit satisfaire l'équation (21.36). Nous obtenons :

3 2 20

mqCω ω

=−

. (21.39)

La solution particulière s'écrit donc :

2 20

sinmqx tωω ω

=−

. (21.40)

La solution générale de l'équation (21.36) s'obtient en ajoutant à cette solution particulière, la solution générale de l'équation (21.24) des vibrations libres. Nous obtenons :

1 0 2 0 2 20

cos sin sinmqx C t C t tω ω ωω ω

= + +−

. (21.41)

Les deux premiers termes de cette expression représentent les vibrations libres que nous avons considérées précédemment. Ces vibrations libres sont aussi appelées vibrations transitoires, puisque dans la pratique ces vibrations sont rapidement amorties par les forces de frottement (paragraphe 21.3.3.1). Le troisième terme dépendant de la force imposée représente les vibrations forcées du système, obtenues en régime permanent. Les vibrations forcées ont la même période 2 /T π ω= que la force imposée. Elles s'expriment sous la forme :

m2 2 20 0

1 sin1 /

qx tωω ω ω

=−

. (21.42)

Le facteur 2m 0/q ω est le déplacement que produirait la force statique qm. Le terme

( )2 201/ 1 /ω ω− rend compte de l'effet dynamique de la force. Sa valeur absolue :

2 20

1( )1 /

K ωω ω

=−

, (21.43)

est appelée le facteur d'amplification. Il dépend du rapport 0/ω ω , rapport de la


FIGURE 21.3 Variation du facteur d'amplification.

fréquence imposée et de la fréquence propre du système. La variation du facteur d'amplification en fonction de la fréquence est reportée sur la figure 21.3.

Dans le cas de faibles fréquences par rapport à la fréquence propre, le facteur d'amplification est pratiquement égal à 1. Les déplacements sont les mêmes que dans le cas d'une force statique imposée. Lorsque la fréquence de la force d'excitation s'approche de la fréquence propre, le facteur d'amplification et donc l'amplitude des vibrations forcées augmentent rapidement pour devenir infinis lorsque la fréquence coïncide avec la fréquence propre. On dit que le système entre en résonance. Dans la pratique il y a une dissipation d'énergie due aux frottements (paragraphe 21.3) et l'amplitude des vibrations reste finie. Toutefois, le système ne doit pas être excité au voisinage de sa fréquence propre.

Lorsque la fréquence d'excitation augmente au-delà de la fréquence propre, le facteur d'amplification décroît et tend vers zéro pour des valeurs élevées de la fréquence par rapport à la fréquence propre. Le système reste quasiment station-naire.

Si nous considérons le signe de l'expression ( )2 201/ 1 /ω ω− , nous observons que

lorsque 0ω ω> cette expression est négative. Le déplacement du solide a même signe que la force imposée. On dit que le système vibre en phase avec la force d'excitation. Dans le cas où l'expression précédente est négative, le déplacement est de signe opposé à la force d'excitation. On dit que le système vibre en opposition de phase.

Dans ce qui précède, nous avons considéré le cas d'une excitation du système par une force imposée. Il est également possible de produire des vibrations forcées en imposant un déplacement périodique au support du ressort (figure 21.4). Dans le cas où le déplacement est harmonique, nous avons :

m sins sx x tω= , (21.44)

où xs est le déplacement du support à partir de la position d'équilibre. Le dépla-cement du solide (S) dans le repère lié au bâti s'écrit :

s rx x x= + , (21.45)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

1

2

3

4

fréquence 0/ω ω

Fact

eur d

’am

plifi

catio

n K

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0,0


FIGURE 21.4. Déplacement imposé au support du ressort.

où xr est le mouvement relatif au repère lié au support. La résultante de la force exercée par le ressort est transposée de (21.8). Soit :

{ } ( ) rR S k x i= −R , (21.46)

et l'équation de mouvement (21.23) est modifiée suivant :

rmx k x= − . (21.47) Cette équation conduit à l'équation des vibrations forcées :

m sinsmx k x k x tω+ = − . (21.48)

Cette équation de mouvement s'écrit sous la forme réduite (21.36), en posant :

2m m 0 ms s s

kq x xm

ω= = . (21.49)

Nous sommes ramenés au cas d'une force imposée. Dans d'autres applications, il est plus intéressant de considérer le cas où une

accélération est imposée au support. Le système masse-ressort est alors utilisé comme accéléromètre, dispositif utilisé pour mesurer l'accélération du support. Dans le cas d'une accélération harmonique, nous avons :

m sinsx a tω= . (21.50)

Compte tenu des relations (21.45) et (21.47), l'équation de mouvement s'écrit sous la forme :

s r rmx mx k x+ = − , ou

m sinr rmx kx ma tω+ = − . (21.51) Soit sous forme réduite :

20 m sinr rx x q tω ω+ = , (21.52)

en posant m mq a= − . (21.53)

Nous sommes à nouveau ramenés à la forme (21.36) d'une force imposée.

y

(T)

(R) (S) (∆)

OG x

xs x


Il faut toutefois noter que l'équation (21.52) est l'équation de mouvement dans le repère relatif lié au support. Les vibrations forcées dans ce repère sont trans-posées de l'équation (21.42) :

m2 2 20 0

1 sin1 /

rax tωω ω ω

= −−

(21.54)

21.3 VIBRATIONS AVEC FROTTEMENT VISQUEUX

21.3.1 Équation du mouvement

Au cours des vibrations d'un système, l'amortissement peut provenir de diver-ses origines : frottement sec entre solides, frottement entre surfaces lubrifiées, résistance de l'air ou d'un fluide, frottement interne des matériaux, etc. Parmi ces divers phénomènes de dissipation d'énergie, le cas le plus simple à traiter est celui d'une force d'amortissement proportionnelle à la vitesse. Ce type d'amortissement est appelé amortissement visqueux. Les autres cas de natures plus complexes sont souvent remplacés, pour les besoins des analyses, par un amortissement visqueux équivalent. Cet amortissement équivalent est déterminé de manière à produire la même dissipation d'énergie par cycle que les forces réelles de frottement (para-graphe 21.5).

Dans le cas d'un frottement visqueux du système de la figure 21.1, la compo-sante Xl de la liaison introduite en (21.10) est opposée à la composante x de la vitesse. Soit :

lX cx= − . (21.55)

Le coefficient c est appelé coefficient d'amortissement visqueux. L'équation (21.21) de mouvement s'écrit alors :

0mx cx k x+ + = . (21.56) Cette équation s'écrit sous la forme réduite :

202 0x x xδ ω+ + = , (21.57)

en posant :

2cm

δ = . (21.58)

Le paramètre δ ainsi introduit est appelé coefficient d'amortissement. L'équation (21.57) constitue l'équation générale réduite des vibrations libres d'un système à un degré de liberté.


21.3.2.1 Introduction

Pour résoudre l'équation (21.57) des vibrations libres, nous utilisons la mé-

21.3 Vibrations avec frottement visqueux 319

thode usuelle de résolution des équations différentielles linéaires, en recherchant une solution de la forme :

rtx Ce= , (21.59)

où r est un paramètre déterminé en reportant la solution (21.59) dans l'équation (21.57). Ceci conduit à l'équation caractéristique :

2 202 0r rδ ω+ + = . (21.60)

Les solutions de cette équation sont :

1,2r δ ∆′= − ± , (21.61)

où ∆′ est le discriminant réduit de l'équation caractéristique :

2 20∆ δ ω′ = − . (21.62)

La solution finale de l'équation (21.57) dépend du signe de ∆′ .

21.3.2.2 Cas de faibles amortissements

Dans le cas de faibles amortissements tels que :

0δ ω< , (21.63)

le terme ∆′ est négatif et l'équation (21.60) a deux racines complexes conjuguées :

2

1,2 0 20

1r i δδ ωω

= − ± − . (21.64)

Ces deux racines peuvent se mettre sous la forme :

1,2 dr iδ ω= − ± , (21.65) en posant :

2

0 20

1dδω ωω

= − . (21.66)

Il est usuel d'introduire le rapport d'amortissement visqueux ξ, défini par :

00

ou δξ δ ξωω

= = . (21.67)

Il en résulte que :

20 1dω ω ξ= − , (21.68)

et les deux racines (21.65) s'expriment suivant :

21,2 0 0 1r iξ ω ω ξ=− ± − . (21.69)

Finalement, l'équation (21.57) des vibrations libres s'écrit sous la forme :


20 02 0x x xξω ω+ + = . (21.70)

Les deux racines complexes (21.65) s'écrivent donc :

1 2, .d dr i r iδ ω δ ω= − + = − − (21.71) ou d'après (21.69) :

( ) ( )2 21 0 2 01 , 1 r i r iω ξ ξ ω ξ ξ= − + − = − − − . (21.72)

En substituant ces racines dans l'expression (21.59), nous obtenons deux solutions de l'équation (21.57) ou (21.70). Toute combinaison linéaire de ces solutions est également solution. Par exemple :

( )

( )

1 2

1 2

11 1

12 2

cos ,2

sin .2

r t r t td

r t r t td

Cx e e C e t

Cx e e C e ti

δ

δ

ω

ω

−

−

= + =

= − =

En ajoutant ces solutions, nous obtenons la solution générale de (21.57) ou (21.70) sous la forme :

( )1 2cos sintd dx e C t C tδ ω ω−= + , (21.73)

où C1 et C2 sont des constantes qui dépendent des conditions initiales. Le facteur te δ− dans la solution (21.73) décroît avec le temps, et les vibrations

générées par les conditions initiales sont amorties progressivement. L'expression dans la parenthèse de l'équation (21.73) a la même forme que pour des vibrations libres sans amortissement. Elle représente une fonction périodique de fréquence angulaire, donnée par l'expression (21.66) ou (21.68). Cette fréquence angulaire est appelée la fréquence angulaire de vibration amortie. La variation 0/dω ω de cette fréquence rapportée à la fréquence propre est tracée sur la figure 21.5 en fonction de l'amortissement 0/ξ δ ω= . Il est à noter que la fréquence des vibra-tions amorties reste voisine de la fréquence non amortie, même pour des valeurs notables du rapport d'amortissement. Pour 0,1ξ = , la fréquence amortie est

00,995dω ω= , pour 0,2ξ = , elle est égale à 00,98 ω et pour 0,3ξ = , elle est encore 00,95 ω .

Les constantes C1 et C2 sont déterminées à partir des conditions initiales ( 0t = ) : le système est déplacé d'une valeur x0 de sa position d'équilibre et il est abandonné avec une vitesse initiale 0x . En reportant ces conditions initiales dans l'équation (21.73) et dans l'expression de sa dérivée par rapport au temps, nous obtenons :

0 01 0 2,

d

x xC x C δω+= = . (21.74)

L'expression (21.73) du mouvement des vibrations libres s'écrit finalement :

0 00 cos sint

d dd

x xx e x t tδ δω ωω

− +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

. (21.75)


amortissement ξ

0fr

éque

nce

/

dω

ω

1 0 0

1

FIGURE 21.5. Variation de la fréquence avec l'amortissement.

Cette expression peut être réécrite sous la forme :

( )m costdx x e tδ ω ϕ−= − , (21.76)

expression dans laquelle la valeur maximale est :

( )22 2 2 0 0

m 1 2 0 2d

x xx C C x δω+

= + = + , (21.77)

et l'angle de phase :

1 1 0 01

2 0tan tan

d

x xCC x

δϕω

− − +⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (21.78)

L'expression (21.76) représente l'équation d'un mouvement pseudo-périodique, ayant une amplitude m

tx e δ− décroissant exponentiellement, un angle de phase ϕ et une pseudo-période :

2d

dT π

ω= . (21.79)

Le graphe du mouvement est représenté sur la figure 21.6. La courbe déplacement fonction du temps est tangente aux enveloppes m

tx e δ−± aux points m1, 1m′ , m2, 2m′ , etc., à des instants séparés par un intervalle de temps /2dT . Du fait que les

tangentes à ces points ne sont pas horizontales, les points de tangence ne coïncident pas avec les déplacements extrema successifs. Dans le cas de faibles amortissements, ces points sont pratiquement confondus. Par contre dans tous les cas, l'intervalle de temps entre deux positions extrêmes successives est constant et égal à la demi-période. En effet, la dérivée par rapport au temps de l'expression (21.76) donne l'expression de la vitesse :

( ) ( )m mcos sint td d dx x e t x e tδ δδ ω ϕ ω ω ϕ− −= − − − − . (21.80)

La vitesse est nulle lorsque :

( )tan dd

t δω ϕω

− = − , (21.81)


FIGURE 21.6 Mouvement pseudo-périodique.

ce qui conduit bien à / /2d dt Tπ ω= = . Le rapport entre deux amplitudes successives mix et m 1ix + est :

( )m m

m 1 m

id

i d

tTi

t Ti

x x e ex x e

δδ

δ

−

− ++= = . (21.82)

La quantité l dTδ δ= est appelée le décrément logarithmique. Il est donné par :

m

m 1 0

2 2ln il d

i d

x Tx

πδ πδδ δω ω+

= = = ≈ . (21.83)

Cette équation peut être utilisée pour déterminer le coefficient d'amortissement δ. Toutefois, une meilleure précision est obtenue en mesurant les amplitudes séparées par n pseudo-cycles. Dans ce cas, l'équation (21.82) est exprimée par :

m

mdn Ti

i n

x ex

δ

+= , (21.84)

et le décrément logarithmique est :

m

m

1 ln il

i n

xn x

δ+

= . (21.85)

21.3.2.3 Cas de forts amortissements

Dans le cas de forts amortissements caractérisés par :

0δ ω> , (21.86)

le terme ∆′ est positif et l'équation caractéristique (21.60) a deux racines r1 et r2 réelles et négatives. La solution générale de l'équation de mouvement (21.57) est :

0

0

m1

m2

m3 m4

1m′

2m′

3m′

/ dϕ ω

m3x m4x

m1xm2x

dT

mx

0x

0

temps t

dépl

acem

ent

x

tmx e δ−


FIGURE 21.7 Courbes déplacement fonction du temps dans le cas d'un mouvement apériodique.

1 21 2

r t r tx C e C e= + . (21.87)

Dans ce cas, l'amortissement visqueux est tel que le solide, déplacé de sa position d'équilibre, ne vibre pas, mais revient progressivement à sa position d'équilibre. Le mouvement est dit apériodique.

Les constantes C1 et C2 sont déterminées à partir des conditions initiales :

( ) ( )0 00 , 0 ,x t x x t x= = = = (21.88) qui conduisent à :

1 2 0 1 1 2 2 0, .C C x r C r C x+ = + = Nous en déduisons :

0 2 0 1 0 01 2

1 2 1 2, ,x r x r x xC C

r r r r− −= =− −

(21.89)

et l'expression (21.87) s'écrit :

1 20 2 0 1 0 0

1 2 1 2

r t r tx r x r x xx e er r r r

− −= +− −

. (21.90)

Le mouvement dépend des valeurs de 0 0, et x xδ . La figure 21.7 donne des exemples des courbes déplacement fonction du temps pour une valeur donnée de x0 et différentes valeurs de la vitesse 0x (positives, nulles ou négatives).

21.3.2.4 Amortissement critique

Le passage entre le mouvement pseudo-périodique et le mouvement apériodique correspond à un amortissement appelé amortissement critique et défini par :

0cδ ω= . (21.91)

00

temps t

dépl

acem

ent

x x0

0 0x >

0 0x =

0 0x <


L'équation caractéristique (21.60) a une racine double :

1 2 0r r ω= = − , (21.92)

et l'équation de mouvement est dans ce cas particulier :

( ) 01 2

tx C C t e ω−= + . (21.93) En tenant compte des conditions initiales, nous obtenons :

1 0 2 0 0 0, ,C x C x xω= = + (21.94)

et la solution de l'équation (21.57) de mouvement s'écrit :

( )[ ] 00 0 0 0

tx x x x t e ωω −= + + . (21.95)

Les courbes déplacement fonction du temps sont comparables à celles obtenues (figure 21.7) pour le mouvement apériodique, le déplacement revenant plus rapidement à son état d'équilibre pour l'amortissement critique.

21.3.3 Vibrations forcées en régime harmonique

21.3.3.1 Domaine temporel

Comme au paragraphe 21.2.3, nous considérons le cas où le solide (S) du système masse-ressort de la figure 21.1 est soumis à une force harmonique de composante horizontale m cosf tω . L'équation de mouvement (21.56) des vibra-tions forcées est alors transformée suivant l'équation :

m cosmx cx k x f tω+ + = . (21.96)

Cette équation s'écrit sous la forme réduite :

20 m2 cosx x x q tδ ω ω+ + = , (21.97)

avec

mm

fqm

= . (21.98)

L'équation (21.97) constitue l'équation générale réduite des vibrations forcées harmoniques d'un système à un degré de liberté avec frottement visqueux.

Une solution particulière de l'équation (21.96) est de la forme :

cos sinx A t B tω ω= + , (21.99)

où A et B sont des constantes qui sont déterminées en reportant l'expression (21.99) de cette solution particulière dans l'équation générale (21.97) du mouve-ment. Nous obtenons :

( ) ( )2 2 2 20 m 02 cos 2 sin 0A B A q t B A B tω δω ω ω ω δω ω ω− + + − + − − + = .


Cette équation est satisfaite pour toutes les valeurs de t si :

2 2

0 m2 2

0

2 ,

2 0.

A B A q

B A B

ω δω ω

ω δω ω

− + + =

− − + =

D'où :

( )

( )

2 20

m22 2 2 20

m22 2 2 20

,4

2 .4

A q

B q

ω ω

ω ω δ ωδω

ω ω δ ω

−=− +

=− +

(21.100)

Ayant obtenu les constantes A et B, la solution finale de l'équation (21.97) est obtenue en additionnant la solution particulière (21.99) à la solution générale de l'équation (21.97) sans second membre, c'est-à-dire de l'équation (21.57) des vibrations libres.

Nous nous intéressons uniquement au cas de faibles amortissements, inférieurs à l'amortissement critique. La solution de l'équation (21.97) s'écrit alors :

( )1 2cos sin cos sintd dx e C t C t A t B tδ ω ω ω ω−= + + + . (21.101)

Le premier terme représente les vibrations libres amorties, alors que les deux der-niers termes représentent les vibrations harmoniques amorties. Les vibrations libres ont la fréquence angulaire dω déterminée dans le paragraphe 21.3.2.2, alors que les vibrations forcées ont la fréquence ω de la force imposée. Du fait de la présence du facteur te δ− , les vibrations libres décroissent, puis disparaissent, les vibrations forcées restant les seules effectives. Ces vibrations sont maintenues tant que la force harmonique reste appliquée. Nous étudions ces vibrations forcées.

La réponse (21.99) en régime permanent harmonique peut se mettre sous la forme :

( )m cosx x tω ϕ= − , (21.102)

avec

2 2 1m , tan .Bx A B

Aϕ −= + =

Soit :

( ) ( ) ( )

2m m 0

m 2 2 22 2 2 2 2 20 0 0

/

4 1 / 2 /

q qx ω

ω ω δ ω ω ω ξω ω= =

− + − +, (21.103)

et

1 1 02 2 2 20 0

2 /2tan tan1 /

ξω ωδωϕω ω ω ω

− −= =− −

. (21.104)

Dans le cas d'une charge statique de valeur fm, le déplacement statique xst est


donné d'après (21.96) par : st m mk x f mq= = .

Soit :

m mst 2

0

q fxkω

= = . (21.105)

L'amplitude xm du déplacement peut donc se mettre d'après (21.103) et (21.105) sous la forme :

m st( )x K xω= , (21.106)

où K(ω) est le facteur d'amplification exprimé par :

( ) ( )

2 22 20 0

1( )1 / 2 /

K ωω ω ξω ω

=− +

. (21.107)

Les vibrations harmoniques amorties s'écrivent donc :

( )st ( ) cosx x K tω ω ϕ= − . (21.108)

21.3.3.2 Domaine fréquentiel

Le régime entretenu des vibrations harmoniques forcées peut être étudié dans le domaine fréquentiel en représentant l'excitation ( )f t et la réponse ( )x t sous les

formes complexes respectives ( ) et ( ) .i t i tF e X eω ωω ω Les grandeurs ( )F ω et ( )X ω sont les amplitudes complexes respectivement de l'excitation et de la

réponse. Dans le cas des vibrations forcées harmoniques étudiées précédemment, les amplitudes complexes sont :

m m( ) , ( ) .iF f X x e ϕω ω −= = (21.109)

L'introduction dans l'équation de mouvement (21.97) des formes complexes repré-sentant ( )f t et ( )x t conduit à l'équation complexe du mouvement qui s'écrit sous l'une des deux formes :

( )2 20

12 ( ) ( )i X Fm

ω ω δω ω ω− + = , (21.110)

ou

( )2 20 0

12 ( ) ( )i X Fm

ω ω ξω ω ω ω− + = . (21.111)

La réponse s'exprime donc en fonction de l'excitation sous la forme complexe :

1( ) ( ) ( )X H Fm

ω ω ω= , (21.112)

en introduisant la fonction de transfert du système exprimée par :

2 20 0

1( )2

Hi

ωω ω ξω ω

=− +

. (21.113)


Cette fonction de transfert est parfois décomposée sous la forme :

( ) R RHi r i r

ωω ω

= +− −

, (21.114)

où

2

1 0 0

22 0 0

1 ,

1 ,

d

d

r r i i

r r i i

δ ω ξω ω ξ

δ ω ξω ω ξ

= = − + = − + −

= = − − = − − − (21.115)

et

1 1, .2 2d d

R Ri iω ω

= = − (21.116)

Les grandeurs conjuguées R et R sont alors appelées les résidus de la fonction de transfert et les grandeurs r et r les pôles de la fonction de transfert.

Lorsque la fréquence tend vers zéro, la fonction de transfert ( )H ω tend vers 0ω et la fonction X(ω = 0) s'identifie avec la réponse statique xst introduite en

(21.105). Il est alors intéressant de réécrire l'expression (21.112) de l'amplitude complexe X(ω ) sous la forme :

1( ) ( ) ( )rX H Fk

ω ω ω= , (21.117)

en introduisant la fonction de transfert réduite :

2 20 0

1( )1 / 2 /

rHi

ωω ω ξω ω

=− +

. (21.118)

L'expression de l'amplitude complexe X(ω) s'écrit alors simplement sous la forme

st( ) ( )rX H xω ω= . (21.119)

L'amplitude xm de la vibration entretenue harmonique est ensuite déduite de l'expression (21.119), en exprimant le module de X(ω ), soit :

m st( )rx H xω= , (21.120) avec

( )

22 2 2 2 20 0

1( )1 / 4 /

rH ωω ω ξ ω ω

=− +

. (21.121)

Le module de la fonction Hr(ω ) s'identifie avec le facteur d'amplification introduit en (21.107).

L'angle de phase ϕ est l'opposé de l'argument de la fonction de transfert H(ω ) ou de la fonction réduite Hr(ω ). Soit :

1 02 2

0

2 /arg ( ) tan1 /

rH ξω ωϕ ωω ω

−= − =−

. (21.122)

Nous retrouvons bien le résultat exprimé en (21.104).


FIGURE 21.8. Variation de l'amplitude réduite en fonction de la fréquence, pour diffé-rentes valeurs de l'amortissement.

21.3.3.3 Influence de la fréquence d'excitation

L'amplitude xm de la vibration forcée, rapportée au déplacement statique xst est simplement donnée soit par le facteur d'amplification (relation (21.106)), soit par le module de la fonction de transfert réduite (relation (21.120)) :

m

st( ) ( )r

x H Kx

ω ω= = , (21.123)

où K(ω ) est exprimé en (21.107). La figure 21.8 donne la variation du facteur d'amplification en fonction de la

fréquence réduite 0/ω ω pour différentes valeurs de l'amortissement. Les courbes montrent que, lorsque la fréquence angulaire est faible comparée à la fréquence angulaire propre, le facteur d'amplification est pratiquement confondu avec l'unité. L'amplitude des vibrations est alors sensiblement la même que celle produite par une force statique. Lorsque la fréquence angulaire de l'excitation est élevée comparativement à la fréquence propre, le facteur d'amplification tend vers zéro, quelle que soit la valeur de l'amortissement. Une force harmonique de fréquence élevée ne produit pratiquement pas de vibrations du système.

Les courbes de la figure 21.8 montrent que pour des faibles valeurs de l'amortissement, le facteur d'amplification croît rapidement lorsque la fréquence d'excitation s'approche de la valeur de la fréquence propre. En dérivant par rapport à la fréquence réduite 0/rω ω ω= l'expression dans la racine carrée du facteur d'amplification (21.107), nous trouvons que le facteur d'amplification passe par un

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

4

fréquence 0/ω ω

fact

eur d

’am

plifi

catio

n K

0ξ =

0,10

0,15

0,20

0,25

0,50

0.70 1.00

0,70 1,00

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0


maximum lorsque mr rω ω= défini par :

2mm

01 2r

ωω ξω

= = − . (21.124)

La valeur du maximum du facteur d'amplification est alors :

m m 21( ) ( )

2 1rK Hω ω

ξ ξ= =

−. (21.125)

Dans le cas de faibles amortissements, la fréquence du maximum est pratiquement confondue avec la fréquence propre non amortie et la valeur du maximum est :

m m1( ) ( )

2rK Hω ωξ

= ≈ . (21.126)

Par exemple, pour 0, 20ξ = , la fréquence maximum est 00,96 ω et la valeur du maximum est égale à 2,55. Lorsque l'amortissement augmente, la valeur de la fré-quence angulaire mω maximum décroît, pour atteindre la valeur zéro lorsque

1ξ = . Dans le cas de faibles amortissements, la largeur du pic peut être évaluée en

estimant la bande passant à –3 dB, correspondant à une réduction du maximum d'un facteur 1/ 2 . Cette réduction est observée pour les fréquences réduites rω telles que :

( )2 22 2 2

1 1 12 2 11 4r r

ξ ξω ξ ω=

−− +. (21.127)

Le développement de cette équation conduit à :

( )4 2 2 2 42 1 2 1 8 8 0r rω ξ ω ξ ξ− − + − + = . (21.128)

Cette équation a pour solutions :

( )( )

2 2 21

2 2 22

2 1 2 2 1 ,

2 1 2 2 1 .

r

r

ω ξ ξ ξ

ω ξ ξ ξ

= − + −

= − − − (21.129)

Une solution approchée peut être formulée dans le cas de faibles amortissements en écrivant que 1rω et 2rω sont pratiquement confondues avec la fréquence mrω du maximum. Soit :

2 21 2 1 2 1 2 m 1 2( )( ) 2 ( )r r r r r r r r rω ω ω ω ω ω ω ω ω− = + − ≈ − ,

ou en tenant compte de (21.124) :

2 2 21 2 2 1 2r r rω ω ξ ∆ω− ≈ − , (21.130)

où r∆ω est la bande passante à –3 dB centrée sur mrω . En explicitant 2 21 2r rω ω− à


l'aide de l'équation (21.129), nous obtenons finalement :

2

212

1 2r

ξ∆ω ξξ

−=−

. (21.131)

Dans le cas de faibles amortissements, l'expression de la bande passante s'écrit simplement suivant :

2r∆ω ξ≈ . (21.132)

La réponse en fréquence du système amorti est également caractérisée par son angle de phase ϕ exprimé en (21.104) et (21.122). La figure 21.9 montre les variations de ϕ en fonction de la fréquence pour différentes valeurs de l'amortis-sement. Pour des fréquences bien plus faibles que la valeur de la fréquence propre du système, les vibrations sont en phase avec la force imposée quelle que soit la valeur de l'amortissement. Le retard croît ensuite, différemment suivant la valeur de l'amortissement, pour atteindre un retard de /2π (soit un quart de cycle) lorsque la fréquence de la force d'excitation atteint la valeur de la fréquence propre. Le retard continue ensuite d'augmenter et tend vers la valeur π pour des valeurs élevées des fréquences. Cette valeur est atteinte d'autant plus vite que l'amortissement est faible FIGURE 21.9. Variation de l'angle de phase en fonction de la fréquence, pour différentes valeurs de l'amortissement.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0,1

0ξ =

0,2

0,5

1 2 4

fréquence 0/ω ω

angl

e de

pha

se φ

(°)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0


21.3.4 Vibrations forcées dans le cas d'une force périodique imposée

Dans le cas où le solide (S) du système masse-ressort de la figure 21.1 est soumis à une force de composante horizontale ( )f t fonction du temps, l'équation de mouvement (21.96) s'écrit :

( )mx cx kx f t+ + = . (21.133)

Si la force imposée ( )f t est périodique de période T, elle peut être décomposée suivant une série de Fourier sous la forme :

( )01

( ) cos sinn nn

f t a a n t b n tω ω∞

=

= + +∑ , (21.134)

avec 2 /Tω π= . Les coefficients a0, an et bn sont exprimés suivant :

00

1 ( ) dT

a f t tT

= ∫ , (21.135)

0

2 ( )cos dT

na f t n t tT

ω= ∫ , (21.136)

0

2 ( )sin dT

nb f t n t tT

ω= ∫ . (21.137)

L'équation de mouvement (21.133) s'écrit donc sous la forme réduite :

( )20 0 0

1

2 cos sinn nn

x x x q q n t p n tξω ω ω ω∞

=

+ + = + +∑ , (21.138)

avec

00 , , .n n

n na a bq q pm m m

= = = (21.139)

La solution générale de l'équation (21.138) est la somme des vibrations libres et des vibrations forcées. Les vibrations libres diminuent progressivement pour s'annuler, du fait de l'amortissement. L'équation de mouvement (21.138) étant linéaire, les vibrations forcées seront déterminées en superposant les vibrations forcées générées par chaque terme de la série du second membre. Les vibrations générées par chacun des termes seront obtenues en appliquant les résultats établis dans le paragraphe précédent 21.3.3. Dans la pratique, les termes de la série du second membre ont des coefficients qui diminuent lorsque n augmente. L'étude sera donc limitée à une valeur N de n pour laquelle les termes d'ordres supérieurs seront négligeables. D'après les résultats établis au paragraphe 21.3.3, les vibrations forcées auront des amplitudes élevées lorsque la période T/n de l'un des termes de la série ( )f t coïncidera avec la période propre du système, donc lors-que la période T de la force périodique imposée sera égale à la période Td ou à un multiple de cette période.


21.3.5 Vibrations dans le cas d'une force imposée quelconque

Nous considérons dans ce paragraphe, le cas où le système masse-ressort est soumis à une force quelconque ( )f t . L'équation réduite du mouvement est dé-duite de l'équation (21.133) et s'écrit :

20 02 ( )x x x q tξω ω+ + = , (21.140)

en introduisant la force q(t) imposée par unité de masse :

1( ) ( )q t f tm

= . (21.141)

La force q(t) est quelconque. Elle est schématisée sur la figure 21.10. À l'instant t′ , nous considérons (figure 21.10) l'impulsion de hauteur ( )q t q′ =

et de largeur dt′ . L'impulsion produit, sur l'unité de masse, une accélération à partir de t′ exprimée par :

dd

x x qt

= =′

. (21.142)

Soit un accroissement de vitesse à partir de t′ :

d dx q t′= . (21.143)

L'incrément de déplacement, à un instant t postérieur à t′ , est obtenu en subs-tituant dans l'expression (21.75) la vitesse initiale 0x par l'incrément de vitesse précédent (avec un déplacement initial nul) et en remplaçant t (dans l'expression (21.75) la force est exercée à 0t = ) par t t′− (la force ( )q t′ est exercée à t t′= ). D'où l'incrément de déplacement :

( ) dd sin ( )t td

d

q tx e t tδ ωω

′− − ′ ′= − . (21.144)

FIGURE 21.10. Force quelconque imposée par unité de masse, en fonction du temps.

t′ dt′ temps t

forc

e im

posé

e q

(t) q


Chaque impulsion ( ) dq t t′ ′ entre 0t′ = et t t′ = produisant un incrément de déplacement donné par l'expression précédente, le déplacement total résultant de la force q imposée est obtenu en intégrant de 0 à t :

0( ) ( )sin ( )d

ttt

dd

ex t e q t t t tδ

δ ωω

−′ ′ ′ ′= −∫ . (21.145)

Cette forme est appelée intégrale de Duhamel. Elle explicite à la fois les vibrations forcées et les termes transitoires. Cette intégrale pourra être obtenue soit par une méthode analytique, soit par une méthode numérique.

Pour tenir compte d'éventuelles conditions initiales de déplacement x0 et de vi-tesse 0x , il est nécessaire d'ajouter à l'expression (21.145) la solution (21.75) correspondant à ces conditions initiales. La réponse s'écrit sous la forme :

0 00

0 0

1( ) cos sin ( )sin ( )dt

t td d d

d

x xx t e x t t e q t t t tδ δδω ω ωω ω

′− ⎡ ⎤+ ′ ′ ′= + + −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

(21.146)

21.3.6 Vibrations forcées dans le cas d'un mouvement imposé au support

21.3.6.1 Équation du mouvement

Nous considérons le cas où un mouvement est imposé au support du ressort (figure 21.4). Le déplacement du solide (S) dans le repère lié au bâti est alors exprimée par la relation (21.45). La résultante de la force exercée par le ressort est donnée par l'expression (21.46), et la composante du frottement visqueux est exprimée en (21.55). L'équation de mouvement (21.56) est modifiée suivant :

( ) 0smx cx k x x+ + − = , (21.147) ou

smx cx kx kx+ + = . (21.148)

Cette équation montre que le système est soumis à la force imposée skx . L'équation (21.148) s'écrit sous la forme réduite :

20 02 sx x x qξω ω+ + = , (21.149)

en introduisant :

20s s s

kq x xm

ω= = . (21.150)

L'équation (21.149) est identique à l'équation de mouvement avec une force im-posée. Nous sommes ramenés aux cas étudiés dans les paragraphes 21.3.3 à 21.3.5.


y

(T)

(R) (S) G

xxs

FIGURE 21.11. Mouvement imposé à l'ensemble masse-ressort.

Dans le cas de la figure 21.4, le mouvement est imposé au support du ressort, le solide (S) restant en contact avec le bâti. Un autre cas peut être considéré (figure 21.11), où l'ensemble masse-ressort a un mouvement imposé par rapport au repère de référence (T). Dans ce cas, l'expression (21.55) de la composante Xl de frottement est modifiée suivant :

( )l sX c x x= − , (21.151)

et l'équation de mouvement (21.148) devient :

s smx cx kx kx cx+ + = + . (21.152)

Le système est alors soumis à deux forces imposées : l'une skx et l'autre scx . Le cas précédent est donc un cas particulier du cas présent plus général. L'équation (21.152) s'écrit sous la forme réduite :

20 0 1 22 s s sx x x q q qξω ω+ + = = + , (21.153)

avec

21 0s s s

kq x xm

ω= = , (21.154)

2 10

2s s s

cq x qm

ξω

= = . (21.155)

21.3.6.2 Cas d'un mouvement harmonique imposé au support

Nous considérons le cas où un mouvement harmonique est imposé au support :

m coss sx x tω= . (21.156)

Nous nous plaçons dans le cas plus général de l'équation de mouvement (21.153). Les forces imposées sont :

21 0 m coss sq x tω ω= , (21.157)

et

2 m0

2 sins sq x tωξ ωω

= − . (21.158)


La force globale imposée est :

21 2 m 0

0cos 2 sins s s sq q q x t tωω ω ξ ω

ω⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (21.159)

que nous pouvons mettre sous la forme :

( )m coss sq q tω α= − , (21.160) avec

2

2 2m m 0 2

01 4s sq x ωω ξ

ω= + , (21.161)

1

0tan 2 ωα ξ

ω− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠. (21.162)

L'équation de mouvement (21.153) s'écrit alors :

( )20 0 m2 cossx x x q tξω ω ω α+ + = − . (21.163)

Elle est identique à l'équation de mouvement (21.97) obtenue dans le cas d'une force imposée, qm étant remplacé par msq et l'angle de phase α étant introduit. Les résultats obtenus au paragraphe 21.3.3 peuvent alors être transposés au cas présent. En régime établi, la réponse est déduite de l'expression (21.102). Nous obtenons :

( )m coss sx x tω α ϕ= − − , (21.164)

avec

( ) ( )

2 2 2m 0

m 2 22 20 0

1 4 /

1 / 2 /

sxx ξ ω ω

ω ω ξω ω

+=

− +, (21.165)

1 02 2

0

2 /tan1 /

ξω ωϕω ω

−=−

. (21.166)

Cette façon de procéder peut également être appliquée au cas d'un mouvement quelconque imposé au support, en transposant les résultats obtenus au paragraphe 21.3.5.

21.3.6.3 Cas où une accélération est imposée au support

Nous considérons ici le cas où une accélération donnée sx est imposée à l'en-semble masse-ressort (figure 21.11). L'équation de mouvement est donnée par l'équation (21.152), qui s'écrit, en introduisant le déplacement relatif xr du solide (S), sous la forme :

r r r smx cx kx mx+ + = − . (21.167)

Le second membre est équivalent à une force imposée de valeur smx− . En


divisant l'équation (21.167) par la masse m, nous obtenons l'équation réduite du mouvement :

20 02r r r srx x x qξω ω+ + = , (21.168)

avec sr sq x= − . (21.169)

L'équation (21.169) est identique à l'équation de mouvement avec une force imposée. Nous sommes ramenés aux cas étudiés dans les paragraphes 21.3.3 à 21.3.5.

21.4 VIBRATIONS AVEC FROTTEMENT SEC

21.4.1 Équations du mouvement

Dans le cas général, le mouvement du solide (S) de la figure (21.1) est caractérisé par les deux premières équations (21.15) :

lmx kx X= − + , (21.170)

lY mg= . (21.171)

Dans le cas d'un frottement sec entre deux solides, les composantes Xl et Yl sont liées par la loi de Coulomb (chapitre 13), qui introduit le coefficient f de frottement. La loi de Coulomb stipule que si le solide (S) est en équilibre, les composantes Xl et Yl sont liées par :

l lX f Y< , Soit d'après (21.171) :

lX f mg< . (21.172)

Si le solide (S) est en mouvement, la loi de Coulomb énonce que les composantes Xl et Yl sont liées par l'égalité :

l lX f Y f mg= = , (21.173)

et que la composante Xl est opposée à la vitesse de glissement x . L'égalité (21.173) peut donc se mettre sous la forme :

signe( )lX x f mg= − . (21.174)

Dans le cas où le solide est en équilibre, l'équation de mouvement (21.170) devient :

lX kx= . (21.175)

Ce résultat associé à la condition (21.172) de frottement conduit à la relation :

kx f mg< . (21.176)

21.4 Vibrations avec frottement sec 337

Il y a donc équilibre du solide si :

2 20 0

1 1fg x fgω ω

− < < . (21.177)

Ces inégalités définissent la plage d'équilibre du solide (S). Dans le cas où le solide (S) est en mouvement, l'équation (21.170) et la

condition (21.174) de frottement conduisent à l'équation du mouvement :

signe( )mx kx x f mg+ = − , (21.178)

équation qui peut être réécrite sous la forme réduite : 2

0 signe( )x x x f gω+ = − , (21.179) où 0ω est la fréquence angulaire propre du système masse-ressort en l'absence de frottement.

Sur chaque intervalle de temps où x garde un signe constant, la solution générale de l'équation du mouvement est :

1 0 2 0signe( ) cos sinx x f g C t C tω ω= − + + . (21.180)

Les valeurs de C1 et C2 dépendent des conditions initiales de l'intervalle considéré. Il en résulte que des intervalles de temps correspondant à des signes différents de x vont se succéder avec continuité des fonctions x(t) et ( )x t : les valeurs finales des deux fonctions sur un intervalle fourniront les conditions initiales du mouvement pour l'intervalle de temps suivant.


Le mouvement des vibrations libres du solide (S) est donné par l'équation (21.180). De manière à illustrer ce mouvement, nous considérons le cas où à l'instant initial ( 0t = ), le solide est écarté de 0x de sa position d'équilibre et abandonné avec un vitesse 0x positive.

À la suite de ces conditions initiales, un épisode de mouvement se produit à 0x > . L'équation de mouvement est, d'après (21.180) :

1 0 2 0

0 1 0 0 2 0

cos sin ,sin cos .

x f g C t C tx C t C t

ω ωω ω ω ω

= − + += − +

(21.181)

Les conditions initiales imposent :

0 1 0 0 2, ,x fg C x Cω= − + =

et le mouvement (21.181) s'écrit :

( )

( )

00 0 0

0

0 0 0 0 0

cos sin ,

sin cos .

xx fg x fg t t

x x fg t x t

ω ωω

ω ω ω

= − + + +

= − + + (21.182)


Cet épisode de mouvement se poursuit jusqu'au moment où x s'annule, soit jusqu'au temps t1 tel que :

( )1 0

0 10 0

tan xtx fg

ωω

−=+

. (21.183)

Le déplacement du solide atteint alors la valeur x1 :

( ) 01 1 0 0 1 0 1

0( ) cos sinxx x t fg x fg t tω ω

ω= = − + + + . (21.184)

À ce premier épisode, succède un intervalle de temps avec 0x < , dont l'équation de mouvement à partir du temps t1 est :

1 0 1 2 0 1cos ( ) sin ( )x fg C t t C t tω ω= + − + − , (21.185)

avec pour conditions initiales à t1 : 1 1( )x t x= et 1( ) 0x t = . En tenant compte de ces conditions, les équations de mouvement sont :

( )

( )1 0 1

1 0 0 1

cos ( ),sin ( ).

x fg x fg t tx x fg t t

ωω ω

= + − −

= − − − (21.186)

Cet épisode de mouvement se poursuit jusqu'au temps 2 1 0/2t t T= + 0 0( 2 / ),T π ω= où la vitesse x s'annule. Le déplacement du solide atteint alors la valeur x2 donnée par :

2 1( 2 )x x fg= − − . (21.187)

Deux possibilités existent alors. Soit x2 appartient à la plage d'équilibre et le mou-vement s'arrête. Soit x2 est en dehors de cette plage, et un nouvel épisode de mou-vement se produit avec 0x > .

Dans le cas où le mouvement se poursuit, l'épisode suivant a pour équation de mouvement à partir de t2 :

1 0 2 2 0 2cos ( ) sin ( )x fg C t t C t tω ω= − + − + − , (21.188)

avec pour conditions initiales à t2 : 2 2( )x t x= et 2( ) 0x t = . D'où les équations de mouvement :

( )

( )2 0 2

2 0 0 2

cos ( ),sin ( ).

x fg x fg t tx x fg t t

ωω ω

= − + + −

= − + − (21.189)

Cet épisode se poursuit jusqu'au temps 3 2 0/2t t T= + , où la vitesse s'annule à nouveau. Le déplacement du solide atteint alors la valeur x3 donnée par :

3 2 1( 2 ) 4x x fg x fg= − + = − . (21.190)

À l'instant t3, on doit alors examiner si la valeur de x3 appartient ou non à la plage d'équilibre, et ainsi de suite.

21.5 Amortissement visqueux équivalent 339

FIGURE 21.12. Vibrations libres d'un système avec frottement sec. Le graphe du déplacement en fonction du temps est donc constitué, à partir du

temps t1, d'une succession d'arcs descendants de demi-sinusoïdes (équation (21.186)) dont les points d'inflexion ont pour ordonnée ,x fg= se raccordant avec une tangente horizontale à des arcs ascendants de demi-sinusoïdes (équation (21.189)) dont les points d'inflexion ont pour ordonnée ,x fg= − . Les élongations extrêmes atteintes à chaque alternance décroissent en progression arithmétique. Le nombre d'épisodes effectués à partir de t1 et avant l'arrêt du mouvement est le plus grand entier strictement inférieur à 10,5 /2x fg+ .

21.5 AMORTISSEMENT VISQUEUX ÉQUIVALENT

21.5.1 Introduction Comme nous l'avons indiqué au début du paragraphe 21.3.1, l'amortissement

des vibrations peut provenir de diverses origines. L'amortissement visqueux a été étudié en détail au paragraphe 21.3. Le frottement sec a été considéré au paragraphe 21.4. L'analyse effectuée a montré la complexité à prendre en compte ce frottement en considérant les lois du frottement sec. Cette complexité d'analyse se retrouve également pour les autres types de frottement : frottement interne des matériaux, frottement fluide, etc. Ces divers types d'amortissement peuvent être remplacés par un amortissement visqueux équivalent, pour les ramener à l'analyse effectuée au paragraphe 21.3. L'amortissement visqueux équivalent est alors déterminé de manière à produire la même dissipation d'énergie par cycle que les forces réelles d'amortissement.

0-1,5

0,0

1,5x1

1 4x fg−

1 8x fg−

1( 2 )x fg− −

1( 6 )x fg− −

1( 10 )x fg− −

t1

1 0/2t T+ 1 03 /2t T+ 1 05 /2t T+

1 0t T+ 1 02t T+

x0

0

20

1 fgω

20

1 fgω

−

temps t

dépl

acem

ent

x


21.5.2 Travail de la force imposée et énergie dissipée dans le cas d'un amortissement visqueux

Le travail sur un période T de la force m( ) cosf t f tω= imposée est :

0cos d

T

mW f x t tω= ∫ . (21.191)

La vitesse x est obtenue en dérivant l'expression (21.102) du déplacement. Soit :

m sin( )x x tω ω ϕ= − − . (21.192)

La combinaison des relations (21.191) et (21.192) conduit à l'expression du travail :

m m sinW x fπ ϕ= . (21.193)

De la même manière, l'énergie aU dissipée au cours d'une période par la force d'amortissement cx est :

0d

T

aU cxx t= ∫ . (21.194)

Soit en tenant compte de (21.192), puis en intégrant :

2maU cxπ ω= . (21.195)

En régime harmonique entretenu, le travail de la force imposée est égal à l'énergie dissipée, d'où l'expression de l'amplitude du déplacement :

mm sinfx

cϕ

ω= . (21.196)

Lorsque la fréquence angulaire est égale à la fréquence propre, l'angle ϕ est égal à /2π et l'amplitude est :

mm 0

0( ) fx

cω

ω= . (21.197)

Ce résultat coïncide pour les faibles amortissements avec le résultat obtenu en (21.126).

Le coefficient d'amortissement visqueux équivalent sera obtenu en égalant l'expression de l'énergie (21.195) avec celle de l'énergie dissipée par le frottement réel du phénomène physique considéré. Nous examinons divers cas dans les para-graphes suivants.

21.5.3 Amortissement structural

L'amortissement structural est attribué au frottement interne des matériaux, qui ne sont pas parfaitement élastiques. Pour ces matériaux, lors d'un cycle charge-décharge, la courbe contrainte déformation décrit une boucle d'hystérésis (figure 21.13) dont la surface représente l'énergie dissipée par unité de volume. On parle


FIGURE 21.13. Courbe contrainte-déformation dans le cas d'un frottement interne.

également d'amortissement hystérétique. Les résultats expérimentaux montrent que l'énergie dissipée par cycle est sensiblement proportionnelle au carré de l'amplitude de la déformation imposée. L'amplitude de la vibration étant proportionnelle à l'amplitude de la déformation, l'énergie sU dissipée par cycle du fait de l'amortissement structural peut s'écrire :

2ms sU xα= , (21.198)

où sα est une caractéristique de l'amortissement du matériau. L'identification des énergies dissipées (21.195) et (21.198) conduit au coefficient d'amortissement visqueux équivalent :

eqsc α

πω= . (21.199)

Le facteur sα a les dimensions d'une rigidité k et il est usuellement remplacé par kη , en introduisant le facteur sans dimension :

sk

αηπ

= . (21.200)

Ce facteur est appelé facteur d'amortissement structural. Les relations (21.199) et (21.200), associées aux relations (21.58) et (21.67) conduisent à l'expression du rapport d'amortissement visqueux équivalent :

eq eq0 0 0

1 1 12 2 2

kcm m

ωξ η ηω ω ω ω

= = = . (21.201)

En substituant cette expression dans l'équation (21.118), la fonction de transfert réduite s'écrit :

2 20

1( )1 /

rHi

ωω ω η

=− +

, (21.202)

charge

décharge

déformation

cont

rain

te


et le facteur d'amplification devient :

( )

22 2 20

1( ) ( )1 /

rK Hω ωω ω η

= =− +

. (21.203)

Pour la fréquence propre, le facteur d'amplification est :

0 01( ) ( )rK Hω ωη

= = , (21.204)

et l'amplitude de la vibration est déduite de (21.120) :

mm st

1 1 fx xkη η

= = . (21.205)

21.5.4 Frottement sec

Dans le cas d'un contact avec frottement sec entre deux solides, le frottement est généralement décrit par la loi de Coulomb (relations (21.172) à (21.174)). Cette loi introduit le coefficient f de frottement. L'expérience montre que, durant le mouvement, ce coefficient est sensiblement constant, et généralement plus faible que lorsqu'il y a équilibre.

Pour déterminer l'amortissement visqueux équivalent, nous calculons l'énergie dissipée par la composante de frottement Xl exprimée en (21.173). L'énergie dissipée fU par cycle est :

f m4 lU f Y x= . (21.206)

Dans le cas du système masse-ressort horizontal (figure 21.1), nous avons lY mg= . Dans le cas le plus général, lY pourrait être une composante de serrage

imposée au solide (S), orthogonale à la direction du mouvement. En égalant l'énergie (21.206) à l'énergie (21.195) dissipée par frottement

visqueux, nous obtenons le coefficient d'amortissement équivalent :

eqm

4 lf Ycxπ ω

= . (21.207)

Dans ce cas, le coefficient de frottement équivalent dépend de la composante lY normale de frottement et de ω , mais également de l'amplitude xm de la vibration.

Comme précédemment le rapport d'amortissement équivalent eqξ est déduit de l'expression (21.207), associée aux relations (21.58) et (21.67). Soit :

0eq eq

0 m

212

lf Ycm x k

ωξω π ω

= = . (21.208)

La fonction de transfert (21.118) réduite s'écrit :


2

2 m0

1( )1 4

rl

Hf Yix k

ωω

πω

=− +

. (21.209)

L'amplitude donnée par l'expression (21.120) conduit à :

stm 2 22

2 m0

41 l

xxf Yx k

ωπω

=⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

. (21.210)

De cette expression, nous tirons l'amplitude du mouvement :

2

mm st 2

20

41

1

lfYf

x xπωω

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= ±−

. (21.211)

Le deuxième terme de cette expression est le facteur d'amplification. Ce facteur a une valeur réelle si :

m 4

lf Yf

π≤ . (21.212)

Dans la pratique où de faibles forces de frottement sont mises en jeu, cette condition est vérifiée. Dans cette hypothèse, le facteur d'amplification devient infini lorsque la fréquence atteint la valeur de la fréquence propre (relation (21.211)). Ce résultat s'explique par le fait qu'à la valeur de la fréquence propre, l'énergie dissipée par cycle est plus faible que l'énergie apportée par la force imposée. En effet, les relation (21.206) et (21.212) conduisent à :

f m mU f xπ< . (21.213)

L'expression du travail fourni par la force imposée, montre que pour la fréquence propre 0ω le travail fourni est :

0 m m( )W x fω π= . (21.214)

Nous vérifions bien que pour la fréquence propre :

f 0( )U W ω< . (21.215)

21.5.5 Frottement fluide

Comme autre exemple de frottement, nous considérons le cas d'un solide immergé dans un fluide de faible viscosité, tel l'air par exemple. Dans le cas où la masse du solide est faible et son volume assez élevé, il est nécessaire de tenir compte de l'amortissement résultant de la résistance du fluide. La force de résis-tance (figure 21.14) exercée par le fluide sur le solide peut être évaluée suivant :


FIGURE 21.14. Frottement fluide.

2fl t p

12

R x C Sρ= , (21.216)

où ρ est la masse volumique du fluide, tC le coefficient de traînée et pS l'aire de la section du solide projetée sur un plan orthogonal à la direction du mouvement. La force de résistance exercée par le fluide est proportionnelle au carré de la vitesse et est opposée à cette vitesse. L'énergie Ufl dissipée par cycle par cette force est :

/4

fl fl fl0 0

d 4 dT T

U R x t R x t= =∫ ∫ . (21.217)

En introduisant les relations (21.102) et (21.216) dans l'expression précédente, puis en intégrant, l'énergie dissipée s'écrit :

3 2fl fl m

83

U C x ω= , (21.218)

en posant :

fl t p12

C C Sρ= . (21.219)

En identifiant l'énergie (21.218) avec celle de l'amortissement visqueux exprimée en (21.195), nous obtenons le coefficient d'amortissement équivalent :

eq fl m8

3c C x ω

π= . (21.220)

Comme précédemment, le rapport d'amortissement visqueux équivalent eqξ est déduit de l'expression précédente, associée aux relations (21.58) et (21.67) :

fl m 0eq

43

C xkω ωξ

π= . (21.221)

k

m

(S) Sp

x


La fonction de transfert réduite (21.118) s'écrit :

22fl m

20

1( )1 8

3

rHC xi

k

ωωω

πω

=− +

. (21.222)

L'amplitude des vibrations est exprimée par (21.120). Soit :

stm 22 22

fl m20

813

xxC x

kωω

πω

=⎛ ⎞⎛ ⎞

− + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

. (21.223)

Cette expression conduit à l'équation quadratique dont xm est solution :

2 22 2

4 2 2 2flm m m2

0

8 1 03

C x k x fω ωπ ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (21.224)

21.5.6 Conclusion

En conclusion, un amortissement visqueux équivalent peut toujours être déterminé, quel que soit le mécanisme dissipatif d'énergie. L'énergie dissipée RU par cycle est exprimée sous la forme :

0d

T

RU Rx t= ∫ , (21.225)

où R est la résultante de la force de résistance et x est la vitesse de déplacement déduite de l'expression (21.103).

Le coefficient d'amortissement visqueux équivalent est ensuite estimé en égalant l'énergie (21.225) dissipée à l'énergie (21.195) d'amortissement visqueux. Soit :

eq 2R

m

Ucxπ ω

= . (21.226)

Le rapport d'amortissement visqueux équivalent eqξ est ensuite déterminé en utilisant les relations (21.58) et (21.67) :

eqeq

02cm

ξω

= . (21.227)

Ce rapport d'amortissement visqueux détermine la fonction de transfert ( )rH ω par la relation (21.118), dont le module relie (21.120) l'amplitude des vibrations à l'amplitude de la réponse obtenue avec une force imposée statique.

Notons enfin qu'il est également possible de tenir compte simultanément de plusieurs types d'amortissement.


( )f t A

−A T/4

T/2 3T/4 T 2T

t

EXERCICES

21.1 Une roue roule (figure 21.15) sur une surface ondulée avec une vitesse constante v. La surface ondulée est définie par l'équation sin /y d x lπ= , avec d = 30 mm et 1 m.l = Une masse m égale à 80 kg est liée à l'essieu de la roue par l'intermédiaire d'une partie élastique de rigidité k égale à 150 kN/m. Déterminer l'amplitude des vibrations forcées de la masse, en fonction de la vitesse de la roue, en considérant un amortissement visqueux des vibrations de coefficient 0,10.ξ =

21.2 Un système à un degré de liberté est soumis à une force périodique ( )f t variant en dent de scie en fonction du temps (figure 21.16). Elle est caractérisée par son amplitude A et sa période T. Étudier les vibrations en régime permanent.

FIGURE 21.15. Masse entraînée par une roue.

FIGURE 21.16. Excitation en dent de scie.

COMMENTAIRES

L'étude du mouvement vibratoire d'un système à un degré de liberté est particulièrement importante, les résultats obtenus étant à la base de l'analyse modale des vibrations d'une structure complexe. Le lecteur inté-ressé par les phénomènes vibratoires devra donc apporter une grande attention à l'ensemble des éléments introduits dans le présent chapitre.

x

k

m

A y

Documents

CHAPITRE Dynamique d'un système à un degré de liberté ...©caniqueSoli… · 310 Chapitre 21 Dynamique d'un système à un degré de liberté. Analyse des vibrations Le système