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Chapitre 4 : Performances des systèmes linéaires
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Matière : Asservissements continus et Régulation
Chapitre 4 : Performances des systèmes linéaires
Préparé par Dr : MEHARRAR AOUED
Année universitaire 2019- 2020
3.2. Diagramme de nyquist
Le diagramme de Bode constitue un moyen très efficace et facile d’accès pour représenter
graphiquement le comportement fréquentiel d’un système. Il s’agit de la double représentation
du Module et de L’argument de la fonction de transfert en fonction de la fréquence ‘ f ‘ ou de
la pulsation ‘ ω‘
Le diagramme de Nyquist (ou lieu de Nyquist) permet d’obtenir une représentation graphique
de comportement fréquentiel sur un graphe unique. Il représente dans le plan complexe la partie
imaginaire en fonction de la partie réelle et qui évolue en fonction de la pulsation ‘ ω‘
Alors par définition :
Le diagramme de Nyquist, ou lieu de Nyquist d’un système est une représentation, en
coordonnées polaires, des points M de coordonnées Re [G ( j ω)] et Im[G( j ω)] lorsque ω varie de
0 à +∞ , comme montre la figure suivante :
Figure 1 : Définition du diagramme de Nyquist
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a. Nyquist des systèmes du 1er ordre :
Un système de 1er ordre est décrit par la fonction de transfert suivante :
s
KsH
1)(
On pose : s = jw
Alors :
jw
KjwHsH
1)()(
À partir de l’équation précédente on peut déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de ce
système :
)..1)(..1()..1(
1)(
wjwjwjK
jw
KjwH
2222222 ).(1.
).(1).(1)..1(
wwK
jw
KwjwjK
Alors :
H(jw) 22 ).(1.
).(1 wwK
jw
K
Avec :
Re (w) 2).(1 wK
et Im(w)= 2).(1..wwK
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0 w
Nous avons déjà vu (dans les cours précédentes) qu’une fonction de transfert d’un système de 1er
ordre peut être aussi écrire sous la forme suivante :
0
1..1)()(
ww
j
Kwj
KjwHsH
Avec : 1
0 w ou w0 est la pulsation de brisure (ou la pulsation de coupure)
Avant de tracer le diagramme de Nyquist ou de tracer la partie imaginaire en fonction de la
partie réelle lorsque ‘ ω‘ variée de 0 à +∞. On trace tout d’abord le Tableau de variations suivant :
Re (la partie réelle) Im (la partie imaginaire)
Pour w → 0 (En basse fréquence : 𝜔 ≪ 𝜔0) K 0
Pour 1
0 ww K/2 -K/2
Pour w → +∞ (En haute fréquence : 𝜔 ≫ 𝜔0) 0 0
On peut montrer que le diagramme de Nyquist d’un système de 1er ordre est un demi-cercle de centre
(𝐾/ 2 ; 0) et de rayon 𝐾 /2.
Courbe de Nyquist
d'un système du 1er Ordre
Im
Re K/2
-K/2
W=0
W=+∞ K
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b. Exemple : Tracer le diagramme de Nyquist pour le filtre – passe bas – suivant :
La fonction de transfert de ce filtre est :
Rc
c
e
s
ZZZ
VV
H
0
1
11
1
ww
jjRCw
où :
RCw
10 et 0w est la pulsation de coupure
Alors :
0
1
1)(
ww
jjwH
on décompose cette fonction à deux parties (réelle et imaginaire)
)1)(1(
)1.(1)(
00
0
ww
jww
j
ww
jjwH
20
20
20
2
11
1
ww
ww
j
ww
Puis on trace le tableau de variations suivant :
Re (la partie réelle) Im (la partie imaginaire)
Pour w → 0 (En basse fréquence : 𝜔 ≪ 𝜔0) 1 0
Pour RC
ww1
0 1/2 -1/2
Pour w → +∞ (En haute fréquence : 𝜔 ≫ 𝜔0) 0 0
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1
0 w
Ensuit on trace le diagramme de Nyquist suivant :
Courbe de Nyquist
Pour un filtre RC (passe bas)
3.3. Courbe de Black
Le diagramme de Black est un graphe utilisé en automatique pour étudier un système. Il
représente, dans un repère semi-logarithmique, le gain (en décibels) en fonction de la phase
lorsque ω varie de 0 a +∞
Diagramme de Black d’un système du 1er Ordre
Im
Re 1/2
-1/2
W=0
W=+∞ 1
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a. Exemple :
Tracer le diagramme de Black pour un filtre passe bas donné par la fonction de transfert
suivante :
0
1)(
ww
j
KjwH
Avec : le gain K = 1 et w0 est la pulsation de coupure.
a. 1. Calcul de GdB : (le gain en dB (décibel) de la fonction H)
Par définition : )(.log.20 jwHGdb
Où : 2
0
22
0
2 )(1
1log.20
)(1
1)(
ww
G
ww
jwH dB
21
2
0
2 ))(1(log.201log.20ww
GdB
))(1(log20))(1(log10))(1(log.21
.200
2
0
2
0
2
ww
ww
ww
Alors :
En basse fréquence : 𝜔 ≪ 𝜔0 GdB = 0
En haute fréquence : 𝜔 ≫ 𝜔0 GdB = -∞
Pour w = w0 GdB = -3dB
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a. 2. Calcul de : la phase de la fonction H (jw)
Par définition la phase est :
)(arg jwH
Avec :
0
0
arctan1
1)(
ww
ww
jjwH
Alors :
En basse fréquence : 𝜔 ≪ 𝜔0 = 0
En haute fréquence : 𝜔 ≫ 𝜔0 = 2
Pour w = w0 = 4
Maintenant on peut regrouper tous les résultats précédents dans le tableau de variations suivant :
GdB
Pour w → 0 (En basse fréquence : 𝜔 ≪ 𝜔0) 0 0
Pour w = w0 -3
4
Pour w → +∞ (En haute fréquence : 𝜔 ≫ 𝜔0) -∞
2
Puis le diagramme de Black de ce filtre est donné par la figure suivante :
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Diagramme de Black pour un filtre passe bas
GdB
2
4
-3
w
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TD N 2
Solution de l’exercice N 1 : (voir la fiche TD N 2)
1- Fonction de transfert :
D’après le circuit donné la fonction de transfert est ;
H= vs /ve = 21
2
ZZZ
Avec :
Z 1= R+1/(jC)
et
Z 2= R/(1+RC)
Z1+Z 2= R+1/(jC) + R/(1+RC) Impédance complexe de l’ensemble
D’où :
jcwwjCRR
RH
13 2
)1
(3
1
XXj
où : X = RCw
2- Diagramme de Bode
2.1 Le gain G en dB
Par définition : )(.log.20 jwHGdb 22 )
1(3.log.20
XX
))1
(9.(log.10 2
XX
Z1
Z2 Ve Vs
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10
))1
(9.(log.10 2
XXGdB
Alors :
GdB
Pour X → 0 (En basse fréquence) 20 log X
Pour X = 1 -10 log 9 = -9.5
Pour X → +∞ (En haute fréquence) -20 log X
GdB
Log X
-9.5 Courbe asymptotique
Courbe réelle
Courbe asymptotique
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2. 2. Phase : ))
1(3
1tan(arg
XXj
Alors :
Pour X → 0 (En basse fréquence)
2
Pour X = 1 0
Pour X → +∞ (En haute fréquence)
2
La courbe de phase est :
