Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles€¦ · JosephBertrand(1900) Comment oser parler des lois du hasard? Le hasard n’est-il pas l’antithèse de toute loi? Motivation

Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles

L2 Eco-Gestion, option AEM

(L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles 1 / 25

Joseph Bertrand (1900)Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n’est-il pasl’antithèse de toute loi ?

MotivationModéliser des phénomènes aléatoires par des modèles théoriquesconnus.Intérêt : les modèles théoriques permettent de faire des calculs, deprédire, etc.Limite : on fait une approximation de la réalité


Plan

1 Epreuve de Bernoulli, loi binomiale

2 Loi hypergéométrique

3 Loi géométrique et loi de Pascal

4 Loi de Poisson


Plan




4 Loi de Poisson


Epreuve de Bernoulli, loi binomialeEpreuve de Bernoulli

DéfinitionUne épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues :

le succès S, avec une probabilité p ;l’échec E, avec une probabilité q = 1−p.

On définit une variable aléatoire de Bernoulli en posant

X =

1 si succès0 si échec

ExempleUne urne contient 6 boules rouges et 18 boules noires. On considèrel’évènement S=”tirer une boule rouge.”


Epreuve de Bernoulli, loi binomialeEpreuve de Bernoulli

Remarque

La loi de probabilité de X est donnée par

P(X = 1) = pP(X = 0) = 1−p

On dit que X sui la loi de Bernoulli de paramètre p, et on note X ∼B(p).

Propriétés de la variable de Bernoulli de paramètre pE(X ) = pVar(X ) = p(1−p)


Epreuve de Bernoulli, loi binomialeLoi binomiale

DéfinitionOn considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, c’est-à-direla répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p(avec n ∈ N∗ et 0< p < 1).On définit alors la v.a. X associée au nombre de succès obtenus.On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, et on noteX ∼B(n,p).

RemarqueSoient X1, X2,..., Xn les variables de Bernoulli respectives des n épreuves.Alors X = X1 +X2 + ...+Xn et B(p) = B(1,p).



Propriété (calcul de la loi de probabilité)La loi de probabilité d’une v.a. X suivant la loi binomiale B(n,p) estdonnée par :

P(X = k) = C kn pk(1−p)n−k k ∈ 0,1,2...,n

Paramètres de position et de dispersionSi X ∼B(n,p) :

E(X ) = npVar(X ) = np(1−p)



Propriété (somme de deux v.a. binomiales)Si X ∼B(n1,p) et Y ∼B(n2,p) et si X et Y sont deux variablesaléatoires indépendantes, alors X +Y ∼B(n1 +n2,p)

RemarqueDeux v.a. X et Y définies sur le même espace (Ω,P(Ω),P) sontindépendantes si les évènements qu’elles engendrent sont indépendants.


Plan




4 Loi de Poisson


Loi hypergéométrique

En pratique, les n épreuves de Bernoulli successives sont rarementindépendantes...

ExempleUne entreprise commercialise un lot de N bouteilles d’eau minérale etaffirme que seulement 15 % de ces bouteilles ont un taux en nitratesupérieur à 10 mg/L.Pour contrôler la qualité annoncée, on prélève un échantillon de nbouteilles du lot (n ≤ N) et on analyse leur composition.Bien sûr une bouteille analysée est ouverte. Elle ne peut donc pas êtreremise dans le lot...



Que faire dans ce cas ?Si N est largement supérieur à n, la probabilité p est “quasi-constante”.On fait l’approximation que p est constante. On choisit donc une loibinomiale (mais qui est une approximation de la réalité).Si on veut être plus précis, on calcule explicitement la loi !Cette loi s’appelle la loi hypergéométrique.

Définition : loi hypergéométriqueOn considère une population de taille N dont N1 individus exactementprésentent un certain caractère A. On prélève sans remise un échantillon den individus. Soit X la v.a. du nombre d’individus présentant le caractère Adans l’échantillon.On dit que X suit la loi hypergéométrique de paramètres N, n et N1

N :X ∼H (N,n, N1

N ).



Propriété : loi de probabilité

Si X ∼H (N,n, N1N ), la loi de probabilité de X est donnée par :

P(X = k) =C k

N1Cn−k

N−N1

CnN

avec max(0;n− (N−N1))≤ k ≤min(n,N1).

ApplicationIl y a 10 mauvaises vis dans une boîte de 100. On en prend 4 au hasard d’unseul. Quelle est la probabilité d’avoir 0 mauvaises vis ? d’en avoir 1 ? 2 ? ...



Paramètres de position et de dispersion

Si p = N1N

E(X ) = npVar(X ) = np(1−p)(N−n

N−1 )

Remarques...


Plan




4 Loi de Poisson


Loi géométrique et loi de PascalLoi géométrique

Description de l’expérienceComme pour le schéma de la loi binomiale, on considère des épreuvesde Bernoulli indépendantes et de paramètre p.Le nombre d’épreuves n’est pas fixé à l’avance : on s’arrête lorsque lesuccès est obtenu pour la première fois.Ainsi, le caractère aléatoire n’est pas le nombre de succès, mais lenombre d’épreuves :X=”nombre d’épreuves nécessaires au 1er succès”.

Définition : loi géométriqueSi X est une v.a. à valeurs dans N∗ telle que décrite ci-dessus, on dit que Xsuit une loi géométrique de paramètre p : X ∼ G (p).


Loi géométrique et loi de PascalLoi géométrique

Propriété (loi géométrique)

Si X ∼ G (p), alors P(X = k) = p× (1−p)k−1 (pour tout k ∈ N).

Paramètres descriptifsSi X ∼ G (p) :

E(X ) = 1p

Var(X ) = 1−pp2


Loi géométrique et loi de PascalLoi de Pascal

RemarquesLa loi de Pascal est parfois appelée loi binomiale négative.C’est une généralisation de la loi géométrique.

Description de l’expérienceComme pour le schéma de la loi binomiale, on considère des épreuvesde Bernoulli indépendantes et de paramètre p.on définit la v.a. X comme étant le nombre d’épreuves nécessaires à ksuccès. On dit que X suit la loi de Pascal de paramètres k et p.


Loi géométrique et loi de PascalLoi de Pascal

Propriété

Si X ∼P(k ,p), alors pour N ≥ k : P(X = N) =(N−1

k−1

)pk(1−p)N−k

Paramètres descriptifsSi X ∼P(k ,p) :

E(X ) = kp

Var(X ) = k(1−p)p2


Exemple du gardien de nuitUn gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir, avec 10 clefs dontune seule est la bonne. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombred’essais jusqu’à ce que la porte s’ouvre.

1 Il met de côté celles qu’il a déjà essayées. Quelle est la loi deprobabilité de X ? Calculer l’espérance ainsi que la variance. Donner laprobabilité de réussir en moins de 8 coups.

2 Lorsqu’il est ivre, il n’isole pas les clefs essayées et donc les mélanges àchaque fois. Il tire à chaque fois une nouvelle clef au hasard entre les10. Quelle est la loi de probabilité ? Donner la probabilité de réussir enmoins de 8 coups


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4 Loi de Poisson


Loi de PoissonDéfinition

DéfinitionOn dit que la v.a. X suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 si etseulement si, pour tout k ∈ N :

P(X = k) =λ k

k!e−λ

On note X ∼P(λ ).


Loi de PoissonApproximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Théorème d’approximationPour n assez grand et p proche de 0, la loi binomiale B(n,p) peut êtreapproximée par la loi de Poisson P(λ ), avec λ = np.

Preuve...

Propriété

Si X ∼P(λ ), alors P(X = k) = λ

k P(X = k−1), pour tout k ≥ 1.


Loi de PoissonApplications

En pratiqueOn fait l’approximation lorsque n ≥ 100 et p ≤ 0,1.

RemarqueLa loi de Poisson est aussi appelée loi des évènements rares.

Applicationsnombre de pièces défectueuses dans un lot important où la probabilitéde pièces défecteuses est faible ;nombre de naissances multiples parmi un grand nombre de naissances ;statistiques d’accidents ;...


Loi de PoissonApplications ; Paramètres descriptifs

ExempleUne urne contient 1 boule blanche et 99 boules noires. On fait 300 tiragesavec remise. On considère X la v.a. égale au nombre de fois que l’on a tiréla boule blanche.

Paramètres descriptifsSi X ∼P(λ ) :

E(X ) = λ

Var(X ) = λ


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