Chapitre 6: Stabilité des systèmes bouclés linéaires

R. Beguenane, UQAC, 2005/2006 6GEI630 : Systèmes Asservis

Contenu du chapitre

6.1. Introduction6.2. Concept de stabilité6.3. Critère de stabilité de Routh-Hurwitz6.4. Stabilité relative des systèmes asservis bouclés6.5. Stabilité des systèmes asservis à base de variable d’état6.6. Exemples de conception 6.7. Stabilité des systèmes bouclés en utilisant MATLAB

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6.1. Introduction

La stabilité des systèmes asservis bouclés est une issue importante pour l’ingénieur de contrôle.

Un système bouclé instable est généralement non pratique. D’où le besoin de chercher des méthodes d’analyse et de conception des systèmes stables.

Un système stable:

- Exhibe une sortie bornée en réponse à une entrée bornée.- Il est directement lié au lieu des racines déduit à partir de l’équation caractéristique duSystème bouclé.- La méthode Routh-Hurwitz est introduite comme moyen utile pour évaluer la stabilité dessystèmes.- Cette technique nous permet de déduire le nombre des racines se trouvant dans la moitiédroite du plan-s sans calculer les valeurs exactes de ces racines.

Ces points seront vu durant ce chapitre, en plus de la notion de stabilité relative.

6.2. Concept de stabilité

Un système stable est un système dynamique avec une réponse bornée à une excitation bornée.

)(

)()(

)(

)()(

s

ssP

sq

spsT ii

Fonction de transfert en boucle fermée d’un système linéaire

mmt

R

m mm

Q

k

tk teBeAty mk

sin)(11

1

Q

k

R

mmmmk

N

M

ii

ssss

zsKsT

1 1

222

1

2 )(

La réponse impulsionnelle:

0 )()( ssq Est l’équation caractéristique dont les racines sont les pôlesdu système bouclé.

Conclusion: pour obtenir une réponse bornée, k et m doivent être >0, i.e. les pôles du système bouclé doivent être dans la moitié gauche du plan-s, donc les pôles de la FT du système doivent avoir des parties réelles négatives. Condition nécessaire et suffisante.

Rappel: Réponses impulsionnelles correspondantes aux différentes locations des racines (pôles).

NOTE: Les pôles conjugués ne sont pas représentés

SystèmeMarginalementstable

Le pont Tacoma Narrows (au Puget Sound, Washington, USA)au moment ou les oscillations ont Commencé.

Le pont Tacoma Narrows au moment de la catastrophe.

NOTE:Le pont était ouvert au trafic le 1 juillet 1940. Il oscillait à chaque fois que le vent apparaîtrait. Après 4 mois (i.e. 7 novembre 1940), un vent a produit des oscillations qui augmentait en amplitude jusqu’à la l’effondrement du pont.

Exemple d’un système instable

6.3. Critère de stabilité de Routh-Hurwitz

0011

1 asasasasqs n

nn

n ...)()(

En multipliant les facteurs ensemble et en examinant de plus près, on remarque que les coefficientsdu polynôme ai doivent être du même signe si toutes les racines sont à gauche du plan-s. Aussi il est nécessaire que tout les coefficients soient non nuls pour que le système soit stable. Toutefois, cesont des conditions nécessaires mais non suffisantes.

8242 232 sssssssq ))(()(

En d’autres termes, si ces conditions ne sont pas satisfaites, le système n’est pas stable, mais l’inverse n’est pas juste. Pour cela, il faut procéder autrement pour s’assurer de la stabilité.

Exemple

021 ))...()(()()( nn rsrsrsasqs

Le système n’est pas stable, alors que les coefficients du polynôme ai sont positifs.

Le critère de Routh-Hurwitz est nécessaire et suffisant pour la stabilité des systèmes linéaires.

0011

1 asasasa n

nn

n ...

sn an an-2 an-4 …

sn-1 an-1 an-3 an-5 …

sn-2 bn-1 bn-3 bn-5 …

sn-3 cn-1 cn-3 cn-5 …

.

.

.

s0 hn-1

1

321

31

2

11

1

n

nnnn

nn

nn

nn a

aaaa

aa

aa

ab

51

4

13

1

nn

nn

nn aa

aa

ab

31

31

11

1

nn

nn

nn bb

aa

bc

71

6

15

1

nn

nn

nn aa

aa

ab

51

51

13

1

nn

nn

nn bb

aa

bc

Le critère de Routh-Hurwitz évalue le nombre de racines de q(s) avec partie réelle positive, égale au nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau de Routh.

Le critère de Routh-Hurwitz est nécessaire et suffisant pour la stabilité des systèmes linéaires.

Exemple 1 24237171 23 ssssjsjssq ))()(()(

S3 1 2

s2 1 24

s1 -22 0

s0 24 0

Le tableau de Routh montre un changement de signe deux fois, ce qui est confirmé par

24237171 23 ssssjsjssq ))()(()(

Conditions nécessaires satisfaites puisque tous les coefficients sont positifs, mais

Exemple 2 Ksssssq 234)(S4 1 1 K

s3 1 1 0

s2 K 0

s1 c1 0 0

s0 K 0

Pour K positif, les conditions nécessaires satisfaites puisque tous les coefficients sont positifs, mais

KK

c

1

Exemple 3 Kssssq 42 23)( s3 1 4

s2 K

s1 (8-K)/2 0

s0 K 0

Pour 0<K <8, le système est stable

Si K=8, le système est marginalement stable

s3 1 4

s2 K

s1 0 0

s0 K 0Le polynôme auxiliaire: ))(()( 22282 2 jsjsssU

2 racines imaginaires conjuguées

En divisant q(s) par U(s): ))()(()( 222 jsjsssq Inacceptables oscillations

Exemple 4122

12345

sssss

jsjsjsjsssq ))()()()(()( s5 1 2 1

s4 2 1

s3

s2 1 1

s1 0

s0 1 0

L’absence de changements de signe indique que le système estfaussement marginalement stable. Seulement la réponse impulsionnellecroit dans le temps comme t.sin(t+). Pourquoi?

Indiquant des racines doubles sur l’axe imaginaire.

22242

21

112

1

ssssU

ssU

)(

)(

Car il y’a des racines doubles (deux lignes de zeros). Les deux polynômesauxiliaires en s2 et s4 sont:

Exemple 5 633244 2345 ssssssq )( s5 1 4 3

s4 24 63

s3

s2 21 63 0

s1 0 0

s0 0

Le polynôme auxiliaire en s2 est:

))(()( 3321321 2 jsjsssU

213

232

ssss

sq )( s3 1 1

s2 21

s1 -20 0

s0 21 0

Système instable

Contrôle d’un micro robot à 6 pâtes

Exemple: Pour K=40 a < 0.639

)())((

036

6600

60

3

3

aavecK

KKac

Kb

Exemple 6 Contrôle des robots soudeurs Contrôle de la position de soudage dans la fabrique des automobilespour une réponse rapide et précise.

s4 1 11 Ka

s3 (K+6)

s2 b3 Ka

s1 c3

s0 Ka

3

33

66

b

KaKbc

)(

6

603

Kb

Modèle mathématique:

061161 234 KasKssssGsq )()()(

Équation caractéristique:

012

21

1

nn

nn

nn

n sasasas ...En général: Système d’ordre n

nss /* On normalise avec 0121 ...***** nnn scsbs

01505223

*** .. sss

Règle générale: On utilise le tableau suivant pour déterminer la condition de stabilité pour un système d’ordre inférieur à 7.

Exemple 0825 23 sss 38 nOn normalise en divisant par 2/* ss

n Équation Caractéristique Critère

2 s2+bs+1 b >0

3 s3+bs2+cs+1 bc-1 >0

4 s4+bs3+cs2+ds+1 bcd-d2-b2 >0

5 s5+bs4+cs3+ds2+es+1 bcd+b-d2-b2e >0

6 s6+bs5+cs4+ds3+es2+fs+1 (bcd+bf-d2-b2e)e+ b2c-bd-bc2f-f2+bfe+cdf > 0