Chapitre 5 : Proportionnalité

I) Activité

II) Proportionnalité et représentation graphique

Repère : un repère est composé

• de 2 axes perpendiculaires :

• les abscisses (horizontal)

• les ordonnées (vertical)

• d’une origine

• d’une échelle (que l’on indique pour chaque axe)

1) Représentation graphique

Coordonnées :

chaque point d’un graphique est repéré par ses coordonnées.

On note : 𝐴 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒𝐴; 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝐴 .

Ordonnée de A

Abscisse de A

On note 𝑨 (𝟑, 𝟒 ; 𝟑, 𝟏)

Exemple : construire un repère (en choisissant judicieusement

les échelles) pour représenter le tableau ci-dessous.

Nombre de t-shirt 1 3 8

Prix (en €) 7,50€

75€

30€

Constat :

• Tous les points sont alignés

• Si on prolonge la droite elle passe par l’origine

2) Proportionnalité

Le graphique d’une situation de proportionnalité est une

droite qui passe par l’origine du repère.

Inversement, si un graphique représente des points alignés

avec l’origine, alors il représente une situation de

proportionnalité.

III) Quatrième Proportionnelle

Dans une situation de proportionnalité, la quatrième

proportionnelle est le quatrième nombre (noté 𝑥) calculé à partir

des 3 autres nombres déjà connus (𝑎, 𝑏 et 𝑐).

𝒂 𝒄

𝒃 𝒙? On a :

𝑏

𝑎=

𝑥

𝑐

Donc (produit en croix) :

𝑎 × 𝑥 = 𝑏 × 𝑐

Exemple :

5 baguettes de pain coûtent 4,25€. Combien vais-je payer

pour 3 baguettes ?

Méthode 1 : je reviens à l’unité.

5 baguettes coûtent 4,25€, donc 1 baguette coûte

4,25

5= 0,85€

Donc 3 baguettes vont coûter :

0,85€ × 3 = 2,55€

Méthode 2 : j’utilise la quatrième proportionnelle (produit en

croix).

Nombre de baguettes 𝟓 𝟑

Prix en euros 𝟒, 𝟐𝟓€ 𝒙?

5 × 𝑥 = 3 × 4,25 donc

𝑥 =

3 × 4,25

5= 2,55€

IV) Applications

1) Vitesse

Si un mobile parcourt une distance 𝑑 en un temps 𝑡 alors :

la vitesse moyenne 𝑣 de ce mobile est 𝑣 =𝑑

𝑡

Remarque :

Grâce à l’égalité des produits en croix, on a aussi :

• 𝑑 = 𝑣𝑡

• 𝑡 = 𝑑/𝑣

Exemple :

Sur un parcours de 60 km, la vitesse moyenne d’un cycliste est

de 30 km/h. Calculer la durée de son trajet.

Je pars de la formule 𝑣 =𝑑

𝑡 donc

𝑡 =

𝑑

𝑣 =

60 km

30 km/h = 2 h

La durée de son trajet est donc de 2 heures.

2) Pourcentages

Exemple :

25 filles et 20 garçons de deux classes de 4ème ont effectué un

devoir commun.

60% des filles ont obtenu la moyenne, et 50% des garçons.

Après avoir calculé le nombre de filles et de garçons ayant

obtenu la moyenne, calculer le pourcentage d’élèves qui ont

obtenu la moyenne dans les deux classes.

25 filles et 20 garçons de deux classes de 4ème ont effectué un devoir commun. 60% des filles ont obtenu la moyenne, et 50% des garçons. Après avoir calculé le nombre de filles et de garçons ayant obtenu la moyenne, calculer le pourcentage d’élèves qui ont obtenu la moyenne dans les deux classes.

Nombre de filles ayant la moyenne :

Nombre de garçons ayant la moyenne :

Nombre total d’élèves :

Nombre d’élèves ayant la moyenne :

60

100× 25 filles

50

100× 20 ga.

=60 × 25

100 filles = 15 filles

=50 × 20

100 ga. = 10 ga.

20 + 25 = 45 élèves

15 + 10 = 25 élèves

Nombre d’élèves ayant eu la moyenne

25 n ?

Nombre TOTAL d’élèves 45 100

PO

URC

ENT

AG

E 𝑛 =

25 × 100

45

𝑛 ≈ 56

56% des élèves des 2 classes

ont eu la moyenne.

3) Agrandissement / Réduction

Lorsqu’une figure est agrandie ou réduite, les longueurs de la

figure obtenue sont proportionnelles aux longueurs de la figure

de départ ; les angles ne sont pas modifiés.

Remarque :

• Si le coefficient de proportionnalité est plus grand que 1,

c’est un agrandissement ;

• Si le coefficient de proportionnalité est plus petit que 1,

c’est une réduction.