Chapitre 1 : La proportionnalité

Cours de 4ème – M. ARDHUIN – Collège Fénelon à Cambrai

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Chapitre 1 : La proportionnalité

1/ Définition et exemple

a/ Définition

b/ Exemple

c/ Contre-exemple

2/ Modélisation d’un problème relevant de la proportionnalité

3/ Reconnaître une situation de proportionnalité

4/ Calcul d'une quatrième proportionnelle par la règle de l'égalité des produits en croix

5/ Représentation graphique

a/ Activité

b/ Propriétés

1/ Définition et exemple

a/ Définition

Dire que deux grandeurs sont proportionnelles signifie que lorsqu’on multiplie (ou divise)

l’une par un nombre, l’autre est multipliée (ou divisée) par ce même nombre.

b/ Exemple

30 morceaux de sucre pèsent 240 grammes.

Combien pèsent 60 morceaux de sucre ?

Combien pèsent 15 morceaux de sucre ?

Combien faut-il réunir de morceaux de sucre pour obtenir 720 grammes de sucre ?

La masse de sucre est ici proportionnelle au nombre de morceaux.

c/ Contre-exemple

Kévin a 5 ans et mesure 1,15 m.

Combien mesurera-t-il à l’âge de 20 ans ?

Ce problème ne relève pas de la proportionnalité.

2/ Modélisation d’une situation de proportionnalité

Dans le cas où deux grandeurs sont proportionnelles, on peut dresser un tableau de nombres

appelé un tableau de proportionnalité.


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On peut alors illustrer la proportionnalité de la façon suivante :

Nombre de

morceaux de sucre

30 60 15 90

Masse de sucre en

grammes

240 480 120 720

Propriété : Un tableau de proportionnalité est un tableau tel que les nombres d’une ligne

s’obtiennent en multipliant ceux de l’autre ligne par un même nombre appelé

un coefficient de proportionnalité.

Nombre de

morceaux de sucre

30 60 15 90

Masse de sucre en

grammes

240 480 120 720

3/ Reconnaître une situation de proportionnalité

Exemple 1 :

est-il de proportionnalité ?

5,25

5,12 ; 5,2

8

20 ; 5,2

5,,1

75,3

Ce tableau est un tableau de proportionnalité.

Exemple 2 :


36,05

8,1 ; 36,0

11

96,3 ; 306,0

2

712,0

Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.

Exemple 3 :


11

7n’est pas décimal ;

11

7

5,5

5,3 ;

11

7

2,2

4,1

Ce tableau est un tableau de proportionnalité.

5 8 1,5

12,5 20 3,75

5 11 2

1,8 3,96 0,712

11 5,5 2,2

7 3,5 1,4

x 8

x 2

x 3

: 4

: 8


3 | P a g e

4/ Calcul d'une quatrième proportionnelle par la règle de l'égalité des produits en croix

a, b, c et d étant des nombres, b et d non nuls :

d

c

b

a équivaut à cbda

Exemple :

Nombre de

morceaux de sucre

30 60 15 90

Masse de sucre en

grammes

240 480 120 720

5/ Représentation graphique

a/ Activité

2 3 4 5

3 4,5 6 7 Tableau qui n'est pas de proportionnalité

1 2 4 6

2,5 4 7 10

0,5 1 2 2,5

2 4 8 10

b/ Propriétés (admises)

Lorsque l’on représente graphiquement les données d’un tableau de proportionnalité, on

obtient des points alignés sur une droite passant par l’origine du repère.

Réciproquement : Lorsque les données d'un tableau sont représentées graphiquement par des

points alignés sur une droite passant par l'origine du repère, alors ce tableau est un tableau

de proportionnalité.

30

24060

60

48015

15 720

120

0 1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Tableau qui n'est pas de proportionnalité

Tableau de proportionnalité


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Chapitre 2 : Multiplication et division des nombres relatifs

1/ Multiplication de deux nombres relatifs

a/ Règle des signes

b/ Distance à zéro d’un produit de deux nombres relatifs

c/ Exemples

d/ Remarque

2/ Calcul d’un produit de plusieurs nombres relatifs

a/ Propriétés de la multiplication

b/ Une méthode de calcul

c/ Exemples

3/ Division de deux nombres relatifs


b/ Distance à zéro d’un quotient de deux nombres relatifs

c/ Exemples

d/ Remarque

En rappel : Addition et soustraction des nombres décimaux relatifs.

1/ Multiplication de deux nombres relatifs


Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif.

Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif.

b/ Distance à zéro d’un produit de deux nombres relatifs

La distance à zéro d’un produit de deux nombres relatifs est le produit des distances à zéro des

deux nombres.

c/ Exemples

4 x 2,5 = 10 (- 5) x 7 = - 35 3 x (- 1,5) = - 4,5 (- 2) x (- 3,4) = 6,8

d/ Remarque

Multiplier un nombre par (-1) revient à prendre l’opposé de ce nombre.

2/ Calcul d’un produit de plusieurs nombres relatifs

a/ Propriétés de la multiplication

Pour le calcul d’un produit de plusieurs nombres relatifs, l’ordre dans lequel on effectue les

multiplications ainsi que l’ordre des facteurs n’ont pas d’importance.

Par conséquent, pour le calcul d’un produit de plusieurs nombres relatifs, il est parfois

conseillé de faire des regroupements judicieux.


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b/ Une méthode de calcul

On cherche d’abord le signe du résultat en comptant le nombre de facteurs négatifs

dans le produit :

Si ce nombre est pair, le produit est positif ;

S’il est impair, le produit est négatif.

On calcule le produit des distances à zéro des facteurs.

c/ Exemples

A = (- 6) x 9 x 5 x (- 2) 2 facteurs négatifs B = 3 x (- 8) x (- 4) x 5 x (- 2)

= + 6 x 9 x 5 x 2 = - 3 x 8 x 4 x 5 x 2

= + 540 = - 960

3/ Division de deux nombres relatifs

Rappel très important :

a et b étant deux nombres relatifs (b non nul), le quotient de a par b est le nombre qui,

multiplié par b, donne a.

On l'écrit a : b ou a

b.


Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif.

Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif.

b/ Distance à zéro d’un quotient de deux nombres relatifs

La distance à zéro d’un quotient de deux nombres relatifs est le quotient des distances à zéro

des deux nombres.

c/ Exemples

7

4= -1,75

9

2 = 4,5

4 5

9

, = 0,5

2

16= -0,125

2

3 0,66

d/ Remarque

4 5

9

4 5

9

4 5

90 5

, , ,,

3

7

3

7

3 facteurs négatifs


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Chapitre 3 : Les nombres premiers 1/ Définition 2/ Décomposition en produit de facteurs premiers 3/ Une application : simplifier une fraction

1/ Définition

Un nombre premier est un nombre entier différent de 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 … (à écrire jusque 100) 2/ Décomposition en produit de facteurs premiers Propriété (admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique, à l'ordre près. Une méthode de décomposition : On cherche les diviseurs premiers dans l'ordre croissant. Exemple : décomposition de 168 en facteurs premiers

168 est divisible par 2 : 168 = 2 x 84 84 est divisible par 2 : 84 = 2 x 42 42 est divisible par 2 : 42 = 2 x 21 21 est divisible par 3 : 21 = 3 x 7 7 étant premier, la décomposition de 168 est terminée. 168 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7 = 23 x 3 x 7.

3/ Une application : simplifier une fraction Exemple :

210 2 3 5 7 2 7 14

165 3 5 11 11 11


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Chapitre 4 : Grandeurs 1/ Grandeurs produits 2/ Grandeurs quotients 3/ Un exemple de grandeur quotient : la vitesse moyenne 1/ Grandeurs produits

Définition : Lorsqu’on effectue le produit de deux grandeurs, on obtient une grandeur produit. Exemples :

L’aire d’une surface est une grandeur produit : elle est le produit de deux longueurs. Le volume d’un solide est une grandeur produit : il est le produit de trois longueurs. En sciences, on rencontre de nombreuses grandeurs produits : L’énergie transformée par un appareil électrique est égale au produit de la puissance de l’appareil et de sa durée d’utilisation.

Par exemple : 60W x 5h = 300Wh (Energie consommée par une ampoule de 60W allumée pendant 5 heures.)

2/ Grandeurs quotients

Définition : Lorsqu’on effectue le quotient de deux grandeurs, on obtient une grandeur quotient. Exemples :

Un prix unitaire est une grandeur quotient ; par exemple : si 3 L de jus d’orange coûtent 6,30 €, le prix unitaire est de 6,30€/3L = 2,10€/L. En sciences, on rencontre de nombreuses grandeurs quotients :

La vitesse est une grandeur quotient : Si une voiture a parcouru 264 km en 4 heures, sa vitesse moyenne est égale à :

264km/4h = 66km/h. La masse volumique est une grandeur quotient : 3 L de mercure pèsent 40,8 kg. Sa masse volumique est égale à : 40,8kg/3L = 13,6kg/L. La masse volumique de l’eau est égale à 1kg/L.

3/ Un exemple de grandeur quotient : la vitesse moyenne

La vitesse moyenne d'un solide en mouvement entre deux instants correspond à la distance

parcourue par ce solide durant cet intervalle de temps divisée par la durée correspondante.

On retiendra : V = t

d

(V désignant la vitesse moyenne, d la distance parcourue et t le temps écoulé)


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Chapitre 5 : Transformations de figures

1/ Rappels : symétrie axiale et symétrie centrale

2/ Transformer une figure par translation

1/ Rappels : symétrie axiale et symétrie centrale

a/ La symétrie axiale

b/ La symétrie centrale


9 | P a g e

2/ Transformer une figure par translation

a/ Définition

b/ Propriété

La figure F2 est obtenue à partir de la figure F1

par un glissement rectiligne qui amène A en A’.

On dit que La figure F2 est l’image de la figure F1

par la translation qui transforme A en A’.


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Chapitre 6 : Transformer une expression littérale

1/ Notation "puissance"

2/ Simplifications de produits

3/ Développements et factorisations

1/ Notation "puissance"

1er

cas : n étant un nombre entier plus grand que 1 et a un nombre relatif, l’écriture an

représente le produit de n facteurs égaux à a.

Ainsi :

an =

aàégauxfacteursn

a....aa

an se lit « a exposant n ».

Le nombre n s’appelle l’exposant.

Exemples : 52 se lit « 5 au carré » et 5

2 = 5 5 = 25.

43 se lit « 4 au cube » et 4

3 = 4 4 4 = 64

(-2)4 se lit « -2 puissance 4 » et (-2)

4 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 =16

(-4)3 = ( ) ( ) ( ) 4 4 4 = -64

2ème

cas : a1 = a et a

0 = 1

Exemples : 91 = 9 et 12

0 = 1

(-5)1 = -5 et (-5)

0 = 1

2/ Simplifications de produits

Exemples : 5a x 2

4a x 3b

2a x 3a

-2x x 3x

4x x x

-x x x

3/ Développements et factorisations

a/ Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et la soustraction

Développer

k (a + b) = k a + k b

k (a - b) = k a - k b

Factoriser

Un produit

Une somme

Une différence


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b/ Exemples

Développements :

4(2 + 3x) 3(7 – 4x)

2(3x – 5)

- (x + 2)

3x(7 + 4x)

2x(3x – 5)

Factorisations :

4ab + 3a

6x – 5xy

7x – 42

3x² + 2x

9x² - 3x

Réductions :

3a + 2a – 6a + 8a

5x + 2 – 3x – 8

4x + 3 – 2y – x – 5y – 9

3x² - 5 + 2x – 7x² + 3 – 3x


12 | P a g e

Chapitre 7 : Ecriture scientifique d'un nombre décimal

1/ Calcul rapide d'une puissance de dix

2/ Produits d'un nombre décimal et d'une puissance de dix

3/ Ecriture scientifique d’un nombre décimal

4/ Préfixes

5/ Utilisation d’une calculatrice

1/ Calcul rapide d'une puissance de dix

Regardons quelques exemples.

106 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1 000 000

10 -4

= 0,0001

n désignant un nombre entier non nul :

A RETENIR : 10 n = 10...0 10

- n = 0,0...01 et 10

0 = 1

2/ Produits d'un nombre décimal et d'une puissance de dix

Multiplier un nombre décimal par 10, 10² , 103 ... revient à déplacer la virgule

respectivement d’un, deux, trois ...rangs vers la droite (en ajoutant éventuellement

un ou plusieurs zéro(s)).

Multiplier un nombre décimal par 10-1

, 10-2

, 10-3

... revient à déplacer la virgule

respectivement d’un, deux, trois ...rangs vers la gauche (en ajoutant éventuellement

un ou plusieurs zéro(s)).

Exemples : 7,65 x 103 = 7650 4,32 x 10

-2 = 0,0432

3/ Ecriture scientifique d’un nombre décimal

Un nombre décimal peut s’écrire de plusieurs façons sous la forme a x 10 n (a étant un

nombre décimal et n un entier relatif).

Par exemple : 1820,75 = 182,075 x 10 = 18,2075 x 102 = 1,82075 x 10

3

= 18207,5 x 10-1

= 182075 x 10-2

Parmi ces écritures, on appelle écriture scientifique celle dans laquelle a s’écrit avec un seul

chiffre différent de 0 avant la virgule.

Ainsi : 1,82075 x 103 est l’écriture scientifique du nombre 1820,75.

6 facteurs égaux à 10 6 zéros

4 zéros

n zéros n zéros


13 | P a g e

4/ Préfixes

Préfixe giga méga kilo UNITE milli micro nano

Symbole G M k m n

x10n x109 x106 x103 100 = 1 x10-3 x10-6 x10-9

Exemples :

3 gigaoctets = 3 Go = 3 x 109 octets

2 nanomètres = 2 nm = 2 x 10-9

m

5/ Utilisation d’une calculatrice

Selon le modèle de calculatrice, la touche x 10 n peut être remplacée par x 10

x .

Nombres à introduire séquences calculatrice

12 x 105

12 x 10 n 5

13 x 10-4

13 x 10 n - 4

106

1 x 10 n 6


14 | P a g e

Chapitre 8 : Nombres rationnels

1/ Les nombres rationnels

2/ Addition et soustraction des nombres rationnels

3/ Comparaison des nombres rationnels

4/ Multiplication des nombres rationnels

5/ Division des nombres rationnels

Rappels importants:

Tout quotient de deux nombres décimaux peut s'écrire comme une fraction.

Par exemple : 16

251

1006,1

10051,2

6,1

51,2

4

3

4

3

4

3

et

5

2

5

2

1/ Les nombres rationnels

a/ Définition d'un nombre rationnel

Un nombre rationnel est un nombre pouvant s'écrire sous la formeb

a, écriture dans

laquelle a désigne un nombre entier relatif et b un nombre entier strictement positif.

a s'appelle le numérateur et b s'appelle le dénominateur.

b/ Quotients de deux nombres décimaux relatifs

Tout quotient de deux nombres décimaux relatifs est rationnel (voir les rappels).

c/ Nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.

Un nombre décimal est donc un nombre rationnel particulier.

Exemples : 6 = 6

1 5,2 =

52

10 7,56 =

756

100 1,789 =

1789

1000

On rappelle qu'un nombre entier est décimal et donc aussi rationnel


15 | P a g e

d/ Un nombre rationnel est-il décimal ?

Si la division de a par b s'arrête, alors b

aest décimal.

Si la division de a par b ne s'arrête pas, alors b

an'est pas décimal.

Exemples :

15

2 = 15:2 = 7,5 (la division tombe juste)

15

2 est décimal.

2

3 = 2:3 0,66 (la division ne tombe pas juste)

2

3 n'est pas décimal.

1/ Addition et soustraction des nombres rationnels

a/ Méthode

Premier cas : les deux nombres ont le même dénominateur différent de zéro

On additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

Autrement dit :

Si d 0 , alors :

a

d

b

d

a b

d

a

d

b

d

a b

d

Second cas : les deux nombres n’ont pas le même dénominateur

Pour les additionner ou les soustraire, il faut d’abord les écrire avec un même dénominateur.

b/ Exemples

4

7

4

3

7

5

7

3

10

1

10

3

4

5

2

1

25

9

20

11

5

2

9

1

6

5

6

7

4

3

21

8

14

3

2/ Comparaison des nombres rationnels

a/ Méthodes

Pour comparer deux nombres rationnels, on peut :

soit les écrire avec un même dénominateur positif ; alors le plus grand est

celui qui a le plus grand numérateur ;

soit en rechercher une écriture décimale exacte ou approchée puis utiliser les

méthodes de comparaison des nombres décimaux.


16 | P a g e

b/ Exemples

Comparer : 12

7et

4

3

5

4et

3

2

8

5et

12

7

5

11et

5

9

3

2et

9

5

3

4et

2

3

7

15et

9

13

10

16et

5

8

3/ Multiplication des nombres rationnels

a/ Méthode

Pour multiplier deux nombres rationnels, on multiplie les numérateurs entre eux et les

dénominateurs entre eux.

Autrement dit :

Si b et d 0 0 , alors a

b

c

d

a c

b d

ac

bd

b/ Exemples

5

4

7

3

3

11

3

2

8

3

4

7

)2(

7

9

11

3

3

8

8

3

5

12

48

35

15

72

21

1114

2

1

4

5

9

7

3

7

7

4

4

3

3

2

15

9

12

25

4/ Division des nombres rationnels

a/ Inverse d’un nombre rationnel non nul

Tout nombre a

b avec a et b 0 0 admet un inverse qui est :

b

a.

Exemples : L'inverse de 4

3est

3

4.

L'inverse de 5

7

est

7

5

.

L'inverse de 13 est 1

13.


17 | P a g e

b/ Méthode

Propriété : diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

Autrement dit :

Si b c et d 0 0 0, , alors a

b

c

d

a

b

d

c ou encore

a

bc

d

a

b

d

c

c/ Exemples

7

2

4

3

3

11

3

5

3

10

7

15

)2(11

7

8

355

9

7

7

9


18 | P a g e

Chapitre 9 : L’égalité de Pythagore

1/ L’égalité de Pythagore

a/ Hypoténuse d’un triangle rectangle

b/ Propriété : le théorème de Pythagore

c/ Conséquence

d/ Application pratique

2/ Comment savoir si un triangle est rectangle ?

1/ L’égalité de Pythagore

a/ Hypoténuse d’un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

b/ Propriété (Théorème de Pythagore)

Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés

des deux autres côtés.

BC² = AB² + AC²

Egalité de Pythagore

c/ Conséquence

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus long côté.

d/ Application pratique

L’égalité de Pythagore permet, dès que l’on connaît les longueurs de deux des côtés d’un

triangle rectangle, de calculer la longueur du troisième.

Exemples :

Notez bien : Pour déterminer le nombre positif dont on connaît le carré, on utilise la touche

(racine carrée) d’une calculatrice.

A B

C

Hypoténuse


19 | P a g e

2/ Comment savoir si un triangle est rectangle ?

Si on a un triangle ABC dont [BC] est le côté le plus long :

* Premier cas : BC² AB² + AC²

Le triangle ABC n’est pas rectangle.

* Deuxième cas : BC² = AB² + AC²

Le triangle ABC est rectangle en A.

Exemples : - ABC tel que AB = 10 cm ; AC = 8 cm et BC = 6 cm.

- DEF tel que ED = 5,1cm ; DF = 8,5 cm et EF = 6,8 cm.

- MNP tel que MN = 2,5 cm ; MP = 2 cm et NP = 1,6 cm.


20 | P a g e

Chapitre 10 : Equations 1/ Tester une égalité (rappels)

2/ Des équations à une inconnue

3/ Résolution d’une équation

1/ Tester une égalité (rappels)

Pour tester une égalité, on calcule séparément la valeur du membre de gauche puis celle

du membre de droite.

Si les valeurs calculées sont égales, l'égalité est vraie ; sinon, l'égalité est fausse.

Exemple :

L’égalité 2x – 5 = x – 3 est-elle vraie pour x = 2 ?

Lorsque x = 2 : 2x – 5 = - 1.

x – 3 = - 1.

Réponse : OUI.

2/ Des équations à une inconnue

Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est

désigné par une lettre.

Résoudre une équation à une inconnue, c’est trouver toutes les valeurs possibles de

l’inconnue pour lesquelles l’égalité est vraie.

Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation.

Exemple :

Entourer, parmi les propositions suivantes, les solutions de l'équation -5x + 2 = 3x – 22.

0 ; - 4 ; 3 ; 2,5

3/ Résolution d’une équation

a/ Avec un tableur (document séparé)

b/ Avec Scratch (document séparé)

c/ Algébriquement

La méthode repose sur la propriété suivante :

Une égalité est conservée lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux

membres.


21 | P a g e

Ex 1 :

6x + 3 = - 4x + 23

+ 4x + 4x ()

10x + 3 = 23

- 3 - 3 ()

10x = 20

x = 20 /10 = 2 ()

L’équation 6x + 3 = -4x + 23 a une solution : 2. ()

Ex 2 :

3x + 7 = 7x + 9

- 7x - 7x ()

- 4x + 7 = 9

- 7 - 7 ()

- 4x = 2

x = 2 / -4 = - 0,5 ()

L’équation 3x + 7 = 7x + 9 a une solution : - 0,5. ()


22 | P a g e

Chapitre 11 : Géométrie dans l'espace

1/ Pyramides

a/ Description

b/ Cas particuliers : pyramides régulières

c/ Construction d’un patron

2/ Cônes de révolution

a/ Description

b/ Construction d’un patron

3/ Volume d’une pyramide ou d’un cône de révolution

4/ Repérage dans un parallélépipède rectangle

1/ Pyramides

a/ Description

Une pyramide est un solide :

- dont une face est un polygone, appelé la base ;

- dont les autres faces (faces latérales) sont des triangles ayant un sommet commun,

appelé le sommet de la pyramide.

b/ Cas particuliers : pyramides régulières

Une pyramide est dite régulière lorsque :

- sa base est un polygone régulier (côtés et angles de même mesure) ;

- sa hauteur passe par le centre de sa base.

Ainsi, toutes les faces latérales d’une pyramide régulière sont des triangles isocèles

superposables.

BASE La hauteur

BASE

Le sommet

Une pyramide à base rectangulaire

Un tétraèdre

GEOSPACE


23 | P a g e

c/ Construction d’un patron (connaissant la base et les longueurs des arêtes latérales)

Représentation en perspective Un patron

La hauteur

Le sommet

Une pyramide régulière à base carrée


24 | P a g e

2/ Cônes de révolution

a/ Description

Un cône de révolution est un solide comportant :

- une base en forme de disque ;

- un sommet situé sur la perpendiculaire en son centre au disque de base ;

- une surface latérale « reliant » le sommet et la base.

b/ Construction d’un patron (connaissant le rayon de la base et la longueur d’une génératrice)

L’angle de construction du secteur est déterminé par la relation :

360 R = g

(R : rayon de base , g : longueur d’une génératrice)

BASE

Le sommet

La hauteur

Une génératrice

La surface

latérale


25 | P a g e

3/ Volume d’une pyramide ou d’un cône de révolution

Exemples :

Volume V d’une pyramide à base carrée de côté 4 cm et de hauteur 6cm :

V = 3

6)44( = 32 cm

3.

Volume V d’un cône de révolution de rayon de base 4 cm et de hauteur 6 cm :

V = 2( 4 ) 6

3

= 32 cm

3.

4/ Repérage dans un parallélépipède rectangle


26 | P a g e

Chapitre 12 : Représenter et interpréter des données

1/ Rappels

2/ Représenter des données

3/ Moyenne et médiane

4/ Utilisation d’un tableur (insertion d'un graphique, fonction « MOYENNE »)

1/ Rappels (sur un exemple)

Exemple de calcul : Fréquence du mois n°1 (janvier) = Effectif/Effectif total = 4/20 = 0,2 = 0,20 = 20%

2/ Représenter des données

a/ Un diagramme en « tuyaux d’orgue »

A retenir :

A retenir :


27 | P a g e

b/ Un diagramme en bandes Ce diagramme se construit sur une bande de longueur choisie (ici on va choisir 15 cm).

Cette bande est partagée en autant de rectangles que de valeurs différentes (donc ici 5) et chaque

rectangle a une longueur proportionnelle à l’effectif de la valeur qu ‘il représente.

A retenir : Longueur d’un rectangle = Fréquence de la valeur x longueur totale de la bande

Par exemple, la longueur du rectangle représentant le bleu s’obtient par le calcul suivant :

cm9

15 5,226

On obtient le diagramme en bandes suivant :

c/ Un diagramme circulaire (encore appelé « camembert ») Ce diagramme se construit sur un disque de rayon choisi.

Ce disque est partagé en autant de secteurs angulaires que de valeurs différentes (donc ici 5) et chaque

secteur angulaire a une mesure en degré proportionnelle à l’effectif de la valeur qu ‘il représente.

A retenir : Mesure d’un secteur angulaire = Fréquence de la valeur x 360°

Par exemple, la mesure du secteur angulaire représentant le bleu s’obtient par le calcul suivant :

9

360 12526

On obtient le diagramme circulaire suivant :

3/ Moyenne et médiane Définition : Les données d’une série étant rangées dans l’ordre croissant, la médiane de cette série de données est un nombre qui partage cette série en deux séries de même effectif, l'une dont les données sont inférieures ou égales à ce nombre, l'autre dont les données sont supérieures ou égales à ce nombre. La médiane permet de préciser la position des autres données de la série. La médiane, comme la moyenne, est une caractéristique de position.

a/ Liste de données La série est composée d’un nombre impair de données : Voici les notes obtenues à un devoir de maths par 11 élèves d’un groupe de 3ème : 11 – 12 – 19 – 3 – 19 – 20 – 10 – 12 – 19 – 18 – 13

125°


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Rangeons ces données dans l’ordre croissant : 3 – 10 – 11 – 12 – 12 – 13 – 18 – 19 – 19 – 19 – 20 6 données 6 données

13 est la valeur médiane de cette série de données.

Moyenne =

14,2.

La série est composée d’un nombre pair de données :

On a demandé à 12 élèves d’un groupe de 3ème le nombre de livres qu’ils avaient lus durant l’année scolaire. Voici un relevé de leurs réponses : 2 – 6 – 5 – 5 – 1 – 6 – 5 – 6 – 4 – 0 – 1 – 2 Rangeons ces données dans l’ordre croissant : 0 – 1 – 1 – 2 – 2 – 4 – 5 – 5 – 5 – 6 – 6 – 6 6 données 6 données 4,5 est la valeur médiane de cette série.

Moyenne =

3,6.

b/ Tableau de données

On a demandé aux 25 élèves d’une classe de 3ème leur nombre de frères et sœurs. Voici un tableau présentant les réponses des élèves :

Nombre de frères et soeurs

0 1 2 3 Total

Effectifs 3 5 12 5 25 Dressons le tableau des effectifs cumulés croissants :

Nombre de frères et soeurs

0 1 2 3 Total

Effectifs 3 5 12 5 25 E.C.C. 3 8 20 25

La série comporte 25 données (12+1+12), donc la médiane est la 13ème donnée de cette série ordonnée dans l’ordre croissant. 2 est la médiane de cette série.

Moyenne =

= 1,76. (Moyenne des valeurs pondérée par les effectifs)

Remarque : Contrairement à la moyenne, la médiane ne dépend pas des données extrêmes de la série. 4/ Utilisation d’un tableur (insertion d'un graphique, fonction « MOYENNE » ) (document séparé)

4,5 = (4 +5) 2


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Chapitre 13 : Expériences aléatoires

1/ Expérience aléatoire et issues

a/ Définition d’une expérience aléatoire

b/ Exemples

2/ Probabilité d’une issue

a/ Notion de probabilité

b/ Vocabulaire

c/ Propriété

1/ Expérience aléatoire et issues a/ Définition d’une expérience aléatoire

Une expérience dont on connaît toutes les issues possibles mais dont on ne peut prévoir l’issue est appelée une expérience aléatoire. b/ Exemples

Expérience 1 Expérience 2

On tire dans un sac contenant des boules numérotées une boule et on note le

numéro.

On tire dans un sac contenant des boules numérotées une boule et on note le

numéro. Contenu du sac :

Contenu du sac :

Déterminons les issues possibles de ces expériences et le nombre total de cas :

Expérience 1 Expérience 2 3 issues possibles :

« tirer le numéro 1 » « tirer le numéro 2 » « tirer le numéro 3 »

Nombre total de cas : 3

3 issues possibles : « tirer le numéro 1 » « tirer le numéro 2 » « tirer le numéro 3 »

Nombre total de cas : 4

2/ Probabilité d’une issue

a/ Notion de probabilité

Une expérience aléatoire étant définie, on va essayer de traduire par un nombre la "possibilité" de réalisation de chacune des issues. Cela revient à affecter une mesure de "croyance" à chaque issue. Ainsi, on définit la probabilité d'une issue comme un nombre compris entre 0 et 1 , pour pouvoir se convertir en un pourcentage de "chances" de réalisation.

1 2 3 3 1 2 3


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Exemples :

Expérience 1 Expérience 2

Il y a 1 chance sur 3 de tirer le numéro 1.

Probabilité de l’issue « tirer le numéro 1 » =









Il y a 2 chances sur 4 de tirer le numéro 3.


=

b/ Vocabulaire

Lorsque toutes les issues possibles ont la même probabilité, on parle d’une situation d’équiprobabilité.

Exemple : L’expérience 1 est une situation d’équiprobabilité. c/ Propriété La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à 1.

Par conséquent : dans une situation d'équiprobabilité comportant n issues possibles, la

probabilité d'une issue est égale à 1

n.

Exemple : L’expérience 1 est une situation d’équiprobabilité à 3 issues.

La probabilité de chaque issue est égale à 1

3.

3/ Notion d'événement

a/ Vocabulaire

Un événement est une condition réalisée ou non lors d’une expérience aléatoire. Un événement impossible est un événement qui ne peut pas être réalisé. Un événement certain est un événement réalisé dans tous les cas. Un événement A étant donné, on appelle événement contraire de A l’événement qui consiste à la non-réalisation de l’événement A.

b/ Propriété

La somme des probabilités de deux événements contraires est égale à 1.


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Chapitre 14 : Agrandissement et réduction 1/ Définition 2/ Effet sur les angles d’un agrandissement ou d’une réduction 3/ Effet sur les aires et volumes d’un agrandissement ou d’une réduction 1/ Définition Agrandir ou réduire une figure consiste à multiplier toutes ses longueurs par un même nombre k strictement positif. Vocabulaire : Si k>1, la figure est agrandie. Il s'agit d'un agrandissement. Le nombre k s'appelle alors le rapport d'agrandissement. Si 0<k<1, la figure est réduite. Il s'agit d'une réduction. Le nombre k s'appelle alors le rapport de réduction. Si k = 1, la figure est reproduite. Il s'agit d'une reproduction Autrement dit :

Lorsqu’on agrandit ou réduit une figure, les longueurs de l’une des figures sont proportionnelles à celles de l’autre.

2/ Effet sur les angles d’un agrandissement ou d’une réduction Propriété : Au cours d’un agrandissement ou d’une réduction, les mesures des angles sont conservées. 3/ Effet sur les aires et volumes d’un agrandissement ou d’une réduction Propriété : Si , au cours d’un agrandissement ou d’une réduction, les dimensions d’une figure sont toutes multipliées par un même nombre k>0, alors les aires sont multipliées par k2 et les volumes par k3. Illustration : Le rectangle ABCD a des dimensions triples de celles de A’B’C’D. Son aire est égale à 9 fois celle de ABCD (9=3²).

A B

C D

A’ B’

C’

Le grand cube a pour longueur d’arête le double de celle du petit cube. Son volume est égale à 8 fois celui du petit cube (23=8).


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Chapitre 15 : Triangles égaux

1/ Triangles égaux

2/ Cas d'égalité des triangles

1/ Triangles égaux

Définition : Des triangles égaux sont des triangles qui ont des côtés deux à deux de

même longueur.

Remarque : Des triangles égaux sont superposables et, par conséquent, ont des angles deux

à deux égaux.

2/ Cas d'égalité des triangles

Documents

Chapitre 1 : La proportionnalité