Chapitre 21 Polynômes - heb3.org · G en eralit es Plan 1 G en eralit es D e nition et op erations Degr e d’un polynôme Diviseurs et multiples Division euclidienne 2 Polynômes

Chapitre 21

Polynomes

Mathematiques PTSI

Lycee Deodat de Severac

Mathematiques PTSI (Lycee Deodat de Severac) Polynomes 1 / 44

notations :

Dans tout le cours, K = R ou C.


Generalites

Plan

1 GeneralitesDefinition et operationsDegre d’un polynomeDiviseurs et multiplesDivision euclidienne

2 Polynomes derives et racines d’un polynome

3 Factorisations d’un polynome

4 Polynomes et algebre lineaire


Generalites Definition et operations

Definition :1 On appelle polynome a une indeterminee et a coefficients dans K

toute expression P de la forme :

P = a0 + a1X + . . .+ anXn =

n∑k=0

akXk; ou

• X est un symbole formel appele indeterminee ;• a0, a1, . . . , an sont des elements de K appeles coefficients du polynome

P ;

2 On dit que deux polynomes sont egaux lorsque leurs coefficients sontegaux.

notation : On note K[X] l’ensemble des polynomes a une indeterminee et acoefficients dans K.



REMARQUES :

(1) Le polynome dont tous les coefficients sont nuls est appele polynome nul etest note 0 ;

(2) Si P = a0 + a1X + . . .+ anXn, on ecrit aussi P =

+∞∑k=0

akXk avec ak = 0

pour k > n.



operations usuelles :

ñ somme : Si P =

+∞∑k=0

akXk et Q =

+∞∑k=0

bkXk, on appelle somme de P et Q, et

on note P +Q le polynome :

P +Q =

+∞∑k=0

(ak + bk)Xk.

ñ multiplication par λ ∈ K :

Si P =

+∞∑k=0

akXk, on note λP le polynome :

λP =

+∞∑k=0

(λak)Xk.



operations usuelles :

ñ produit :

Si P =

+∞∑k=0

akXk et Q =

+∞∑k=0

bkXk, on appelle produit de P et Q, et on note

PQ le polynome :

PQ =

+∞∑k=0

ckXk, avec ck =

k∑j=0

ajbk−j =

k∑j=0

ak−jbj .

ñ puissance : On note P 0 = 1, P 1 = P et pour n ∈ N Pn+1 = PnP .

ñ composition :

Si P =

+∞∑k=0

akXk et Q =

+∞∑k=0

bkXk, on note P ◦Q ou P (Q) le polynome :

P ◦Q = P (Q) =

+∞∑k=0

akQk.



::::::::::Exemple :

Pour P = X2 +X + 1 et Q = X + 1 :

• P +Q = X2 + 2X + 2 ;

• PQ = X3 + 2X2 + 2X + 1 ;

• P ◦Q = (X + 1)2 + (X + 1) + 1 = X2 + 3X + 3 ;

• Q ◦ P = (X2 +X + 1) + 1 = X2 +X + 2.

REMARQUE : Les proprietes des operations precedentes sont les memes que pourles fonctions.


Generalites Degre d’un polynome

Definition :

1 Soit P un polynome non nul. Si P =

+∞∑k=0

akXk, on appelle degre de

P , et on note deg(P ) le plus grand entier k tel que ak 6= 0 ;

2 Par convention on pose : deg(0) = −∞.


Generalites Degre d’un polynome

Proposition (proprietes du degre)

Soient P et Q deux elements de K[X] et λ ∈ K. Alors :

1 deg(λP ) =

{−∞ si λ = 0deg(P ) sinon

;

2 deg(P +Q) ≤ max(deg(P ),deg(Q)). Si de plus deg(P ) 6= deg(Q),alors deg(P +Q) = max(deg(P ),deg(Q)) ;

3 deg(PQ) = deg(P ) + deg(Q).

4 Si deg(Q) ≥ 1, alors deg(P ◦Q) = deg(P )deg(Q).

REMARQUE :

1 Par convention, pour Q ∈ K[X], on pose : −∞+ deg(Q) = −∞ ;

2 On pose egalement, pour Q ∈ K[X] de degre superieur ou egal a 1,−∞× deg(Q) = −∞.


Generalites Diviseurs et multiples

Definition :1 Soient (A; B) ∈ K[X]2. On dit que A divise B, et on note A|B,

lorsqu’il existe C ∈ K[X] tel que : B = AC ;

2 Pour A ∈ K[X], l’ensemble des diviseurs de A est l’ensemble despolynomes B tels que B|A ;

3 Pour A ∈ K[X], l’ensemble des multiples de A est l’ensemble despolynomes B tels que A|B.

Proposition1 Soient P et Q deux polynomes de K[X] tels que Q|P , avec P 6= 0.

Alors deg(P ) ≤ deg(Q).

2 Si P divise Q et Q divise R alors P divise R

3 Si P divise Q et R alors P divise λQ+ µR avec (λ;µ) ∈ K2.


Generalites Division euclidienne

Theoreme

Soient A et B deux elements de K[X] avec B 6= 0. Alors il existe un uniquecouple (Q,R) d’elements de K[X] tels que :

A = QB +R avec deg(R) < deg(B).

• Q est appele le quotient de la division euclidienne de A par B ;

• R est appele le reste de la division euclidienne de A par B.


Polynomes derives et racines d’un polynome

Plan

1 Generalites

2 Polynomes derives et racines d’un polynomeLes fonctions polynomialesRacine d’un polynomeDerivees successivesMultiplicite d’une racine




Polynomes derives et racines d’un polynome Les fonctions polynomiales

Definition :

Soit P =

n∑k=0

akXk ∈ K[X]. Pour tout x ∈ K, on note P : K → K la

fonction telle que : ∀x ∈ K, P (x) =

n∑k=0

akxk. On dit que l’on substitue

le nombre x a l’indeterminee X et on appelle P la fonction polynomialeassociee au polynome P .


Polynomes derives et racines d’un polynome Racine d’un polynome

Definition :

Soit P =

n∑k=0

akXk ∈ K[X]. On dit que α ∈ K est racine de P lorsque α

est un zero de P , c’est a dire : P (α) = 0.

Proposition

Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. Alors :

1 Le reste de la division euclidienne de P par X − α est P (α). Enparticulier, α est racine de P si et seulement si X − α divise P .

2 Plus generalement si α1, . . . , αr sont r elements de K distincts, alors :

α1, . . . , αr sont des racines de P si et seulement si :r∏

k=1

(X − αk)

divise P .


Polynomes derives et racines d’un polynome Racine d’un polynome

Exercice

On pose : A =

(4 −61 −1

).

1 Determiner le reste de la division euclidienne de Xn par X2− 3X + 2.

2 Montrer que A2 − 3A+ 2I2 = 02.

3 En deduire An =

(−2 + 3.2n 6− 6.2n

2n − 1 3− 2n+1

).


Polynomes derives et racines d’un polynome Derivees successives

Definition :

1 Soit P =

n∑k=0

akXk ∈ K[X] de degre n. On appelle polynome derive

de P , et on note P ′, le polynome defini par :

P ′ =

n∑

k=1

kakXk−1 =

n−1∑k=0

(k + 1)ak+1Xk si n ≥ 1

0 sinon

2 On definit la suite des polynomes derives P (n), en posant : P (0) = P ,et pour n ∈ N, P (n+1) = (P (n))′

:::::::Exemple : Pour P = X2 + 3X, nous avons P ′ = 2X + 3, P (2) = 2, P (n) = 0pour n ≥ 3.


Polynomes derives et racines d’un polynome Derivees successives

REMARQUES :

(1) Si deg(P ) ≥ 1, alors deg(P ′) = deg(P )− 1;

(2) Si deg(P ) = n, alors P (n) est un polynome constant et pourr ≥ n+ 1, P (r) = 0 ;

(3) Les regles de derivation des polynomes sont identiques a celles des fonctions.En particulier la formule de Leibniz reste valable.

Proposition (formule de Taylor)

Soient P ∈ K[X] tel que deg(P ) = n et x0 ∈ K. Alors :

P =

n∑k=0

P (k)(x0)

k!(X − x0)k.


Polynomes derives et racines d’un polynome Multiplicite d’une racine

Definition :

Soient P ∈ K[X] et α ∈ K. On dit que α est racine de P de multiplicitek ∈ N∗ lorsque :

• (X − α)k|P ;

• P = (X − α)kQ avec Q(α) 6= 0.

Proposition

Soit P ∈ K[X] tel que deg(P ) = n ∈ N∗.1 Si α est racine de P d’ordre k, alors 1 ≤ k ≤ n ;

2 Si α1, . . . , αr sont des racines distinctes de P d’ordres respectifs

k1, . . . , kr, alorsr∏

j=1

(X − αj)kj |P .


Polynomes derives et racines d’un polynome Multiplicite d’une racine

Theoreme (caracterisation pratique)

Soient P ∈ K[X] un polynome non nul et α ∈ K. Alors α est racine de P

d’ordre k si et seulement si

P (α) = 0P ′(α) = 0...P (k−1)(α) = 0P (k)(α) 6= 0.

Exercice

Montrer que 1 est racine de P = X5 − 7X4 + 19X3 − 25X2 + 16X − 4 etdeterminer sa multiplicite.


Factorisations d’un polynome

Plan

1 Generalites


3 Factorisations d’un polynomePolynomes scindesFactorisation dans C[X]Factorisation dans R[X].



Factorisations d’un polynome Polynomes scindes

Definition :Un polynome est dit scinde s’il peut s’ecrire comme produit de polynomesde degre 1 dans K[X].


Factorisations d’un polynome Factorisation dans C[X]

Theoreme (d’Alembert-Gauss)

Tout polynome non constant de C[X] admet au moins une racine dans C.

Tout polynome dans C[X] non nul est scinde dans C[X]. Ainsi, un polynomenon nul de degre n ≥ 1 admet exactement n racines (comptees avec leurmultiplicite).

consequence :


Factorisations d’un polynome Factorisation dans C[X]

Proposition (relations coefficients/racines)

Soient P = a0 + a1X + .... + anXn ∈ C[X] (an 6= 0) et α1, . . . , αn les n

racines de P (non necessairement distinctes). Alors :

1

n∑k=1

αk = −an−1

an;

2

n∏k=1

αk = (−1)na0

an.


Factorisations d’un polynome Factorisation dans R[X].

Proposition

Si P ∈ R[X] admet une racine α ∈ C, alors α est egalement racine de P .

�Ceci est faux pour des polynomes a coefficients complexes non reels : lesdeux racines de (X+i)(X+2i) = X2 +3iX−2 ne sont pas conjuguees.


Factorisations d’un polynome Factorisation dans R[X].

Theoreme

Soit P non nul de R[X]. Alors, il s’ecrit comme le produit de po-lynomes de degre 1 et de polynome de degre 2 de discriminant strictementnegatif. Autrement dit : il existe λ, α1; · · · ;αr ∈ R, (β1; γ1); · · · ; (βq; γq) ∈R2, (k1; · · · ; kr; l1; · · · ; lq) ∈ Nr+q avec (r; q) ∈ N2 − {(0; 0)} tels que

P = λ(X−α1

)k1

· · ·(X−αr

)kr(X2+β1X+γ1

)l1· · ·(X2+βqX+γq

)lqtels que ∀k ∈ {1; · · · ; q}, β2

k − 4γk < 0.

Exercice

Factoriser X4 − 1, X4 + 1 puis X9 −X dans R[X].


Polynomes et algebre lineaire

Plan

1 Generalites



4 Polynomes et algebre lineaireStructure d’espace vectorielFamilles de polynomes libresBase de K[X], de Kn[X]


Polynomes et algebre lineaire Structure d’espace vectoriel

Proposition

(K[X]; +; .) est un K espace vectoriel.

Definition :

Soit n ∈ N. Alors on note Kn[X] l’ensemble des polynomes de degre inferieurou egal a n.


Polynomes et algebre lineaire Familles de polynomes libres

Definition :

Soit F = (P1, . . . , Pn) une famille de polynomes. On dit que F est etagee(ou encore de degres echelonnes) lorsque −∞ < deg(P1) < deg(P2) <. . . < deg(Pn).

Proposition

Toute famille de degres echelonnes est libre.


Polynomes et algebre lineaire Base de K[X], de Kn[X]

Proposition

Kn[X] est un sous-espace vectoriel de K[X] dont une base, dite canonique,est B = (1, X, . . . ,Xn)︸︷︷︸

n+1elements

.

� Kn[X] n’est pas stable par produit.

Exercice

Montrer que F = (1, X − 1, (X − 1)2, (X − 1)3) est une base de K3[X] etdeterminer les coordonnees de X3 dans F .

REMARQUE : Plus generalement, la famille (1; (X − 1); · · · ; (X − 1)n) est unebase de Kn[X].


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