Chapitre 9: Dynamique d'un solide indéformable

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable

Introduction

1

Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à la dynamique d’un solide indéformable (pas un

fluide donc).

Ceci nous permettra d’étudier la rotation d’un solide autour d’un axe fixe puis la condition de

roulement d’un solide sur une surface sans glisser (par exemple, une roue de voiture)

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformable

I Eléments cinétiques d’un solide.

II Solide en rotation autour d’un axe fixe.

III Dynamique d’un solide.

IV Axe instantané de rotation, roulement sans glissement.

V Forces de frottements solides

VI Résumé

2

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableI ELEMENTS CINETIQUES D’UN SOLIDE

1) Solide (indéformable)‐ centre de masse

Un solide (S) est indéformable si la distance entre deux points quelconques qui le

compose est indépendante du temps quelque soit le mouvement de ces points.

3

∫∫∫∫∫∫ ==V

dmV

ρ(V)dVM

(S)

dV

est la masse du solide , avec la masse volumiqueρ(V)

∫∫∫

∫∫∫=

V

V

dm

dm OMOGCentre de masse G : O est un point quelconque

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableI ELEMENTS CINETIQUES D’UN SOLIDE2) Eléments cinétiques d’un solide

Tout comme pour le système à N particules, on peut définir les éléments cinétiques du

solide par :

‐) sa quantité de mouvement :

‐) son moment cinétique par rapport à O :

‐) son énergie cinétique :

Théorèmes de Koenig :

‐) premier théorème :

‐) deuxième théorème :

4

v Mdm v p Grrr

== ∫∫∫V

∫∫∫ ∧=V

dm v OALOrr

∫∫∫=V

dm v21E 2

c

*G Lv MOGL GO

rrr+∧=

*2Gc E vM

21E c+=

∫∫∫∫∫∫ ==V

dmV

ρ(V)dVM

Les * indiquent que les quantités sont calculées dans le référentiel du centre de masse

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableII SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE

1) Définitions‐Notations

Un solide est animé d’un mouvement de translation si à chaque instant, tous le spoints

ont le même vecteur vitesse. Cette translation est rectiligne si le vecteur vitesse garde

toujours la même direction.

Dans la suite, on ne parlera plus que de rotations ! On considère un axe (Δ) fixe par

rapport à un référentiel R et un solide animé d’un mouvement de rotation autour de

cet axe (Δ).

5

(S)

ωr

Soit ω la vitesse angulairede rotation du solideautour de (Δ). Soit ,un vecteur unitaire selon(Δ). On définit le vecteurrotation par

ur

u ωω rr=

O

On choisit un point O, fixe sur (Δ).


2) Moment d’inertie

Quel est le moment cinétique du solide par rapport à O : ainsi que

le moment cinétique par rapport à l’axe (Δ) : ?

Pour tout point A du solide, le vecteur est de norme constante donc, la vitesse de

A est . De plus, . On a donc

6

∫∫∫ ∧=V

dm v OALOrr

( )∫∫∫ ∧==ΔV

dm v OA.uu.LL Orrrr

(S)

ωr

O

A

OA

OA u ω OA ωv ∧=∧=rrr ( ) ( )v.OAuv OA.u rrrr

∧=∧

( ) ΔV

2

Δ I ωdm OA u ωL =∧= ∫∫∫r

r( ) ∫∫∫∫∫∫ =∧=V

2

V

2

Δ dmr dmOA u I r

est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe (Δ).


2) Moment d’inertie

Quelques exemples de valeur de moment d’inertie :

7

2Δ MR

52I =

(Δ)

Sphère pleine homogène de rayon R

(Δ)

2Δ MR

21I =

Cylindre plein homogène de rayon R

(Δ)

2Δ M

121I l=

Tige mince homogène de longueur l

(Δ)

2Δ MRI =

Anneau filiforme de rayon R

Rem : tous les axes passent par le centre de masse des différents « objets »


3) Théorème d’Huygens

Que vaut le moment d’inertie si (Δ) ne passe pas par le centre de masse ?

8

2GΔ maII +=

(ΔG) (Δ)

a

ArG

O

r

G

222Δ MR

23MR

21I =+= MR

(Δ)

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −+==VV

2

V

2G

V

2Δ dm GA.a2dmadmrdmrI

r

Conséquence : le moment d’inertie estle plus faible lorsque (Δ) passe par G.

O’

( ) 0GO .acar GA .aGOr .ar.a GG ==+=rrrrrr


4) Energie cinétique

Le solide est en rotation autour de (Δ) à la vitesse angulaire ω. Tout point A à la

distance r de l’axe a donc la vitesse v=rω. L’énergie cinétique du solide est

et vaut donc :

9

2Δc ω I

21E =

∫∫∫=V

dm v21E 2

c

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableII SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE5) Rotation autour d’un axe de direction fixe

Ici, on suppose que la direction est fixe mais que l’axe peut se déplacer (exemple :

voiture et axe des roues).Les théorèmes de Koenig permettent de déterminer le

moment cinétique dans le référentiel R galiléen en fonction des grandeurs dans R*. Le

mouvement dans R peut‐être décomposé en un mouvement de rotation autour de

(ΔG) et un mouvement de translation de G.

Si on se place dans le référentiel du centre de masse, R*, il n’y a qu’un mouvement de

rotation :

On en déduit alors que :

10

ωGG Δ

* IL =Δ2

Δ*

GI

21E ω=c

( ) u . v MOGωIL GΔΔ G

rr∧+=

2G

2Δ vM

21ωI

21E

G+=c

(ΔG) (Δ)

a

ArG

O

r

G

O’


5) Utilisation des théorèmes de Koenig

Remarque : si le solide était en translation, quels seraient les résultats ? Mêmes

formules avec ω=0 et l’introduction de n’a plus de sens.

11

0L*G=Δ 0E* =c

GO v MOGL rr∧= 2

G vM21E =c

ur

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIII DYNAMIQUE D’UN SOLIDE

1) Efforts mécaniques

D’un point de vue de la dynamique, on peut définir :

‐) la résultante des forces :

‐) le moment (résultant) en un point O :

On peut vérifier que si O’≠O :

On parle alors de torseur des efforts (ou des actions mécaniques). Il faut préciser que

ces forces et moments peuvent avoir des origines intérieures ou extérieures au

système.

12

∫∫∫∑ ==Vi

i (A)Fd Fou FFrrrr

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∑∑ ∧==∧==VV

Oi

iii

i (A)FdOA (A)FdM Mou FOAFMMrrrrrrrr

OOO

FOO'MM O'

rrr∧+=O


1) Efforts mécaniques

Un couple est un ensemble de forces dont la résultante est nulle. Dans ce cas, le

moment ne dépend pas de la position : et on confond le couple avec son

moment.

Un glisseur est un ensemble de forces dont le moment en un point O est nul. Dans ce

cas, pour tout point A :

On peut alors définir le moment du glisseur par rapport à un axe (Δ) ( vecteur

unitaire selon l’axe) par :

13

O' MMrr

=O

Fr

0Fr

0F-r

F FAOMrrr

⊥∧=A

( ) u. FAOu.MM rrrr∧==Δ A

ur


2) Théorème du centre de masse

Ce théorème s’énonce de la même manière que pour un système avec un nombre fini

de particules : dans un référentiel galiléen, le mouvement du centre d’inertie d’un

système est celui d’un point qui aurait pour masse, la masse totale du système auquel

serait appliqué la résultante des forces extérieures au système.

14

extGG F

dtPd

dtvdM

dtvd r

rrr

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫∫∫

V

dm


2) Théorème du moment cinétique

Ce théorème s’énonce de la même manière que pour un système avec un nombre fini

de particules. La dérivée par rapport au temps du moment cinétique en un point O fixe

dans un référentiel galiléen est égale au moment des forces extérieures appliquées au

système :

On peut aussi appliquer ce théorème du moment cinétique au cas d’un axe (Δ) : la

dérivée par rapport au temps du moment cinétique par rapport à un axe (Δ) fixe dans

un référentiel galiléen est égale au moment, par rapport à l’axe (Δ), des forces

extérieures appliquées au système (O est un point fixe de l’axe (Δ)) :

15

extO,O M

dtLd rr

=

u . MMdt

dLextO,extΔ,

Δ rr==


3) Solide en rotation autour d’un axe fixe ‐ Pendule pesant

On considère un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ) passant par un point fixe O

dans un référentiel galiléen. Le vecteur rotation instantanée est . Le théorème

du moment cinétique appliqué à une rotation autour de (Δ) permet d’écrire :

On peut aussi utiliser le théorème du centre de masse qui indique que :

Un exemple d’application est le pendule pesant qui généralise le problème bien connu

du pendule oscillant au bout d’un fil rigide.

16

extΔ,2

2

ΔΔ MdtθdI

dtdωI ==

u ω ω rr=

extG Fa Mrr

=


3) Solide en rotation autour d’un axe fixe ‐ Pendule pesant

17

sinθMgMθIdtdωI extΔ,ΔΔ l&& −===

g Mr

(S)

ωr O (Δ)

G

θ

x

yLe pendule pesant oscille autour de l’axe (Δ) selon Oz.

Le vecteur rotation instantanée est :

La seule force agissant sur le solide est le poids :

Le moment du poids (seule force extérieur) par rapport à

O est donc :

Le moment du poids par rapport à (Δ) est donc( ) :

zu ω ω rr=

yu g -M P rr=

( ) zu sinMg -POGPM rl

rrrθ=∧=O

( ) θsinMg -u.PMM z lrrr

==Δ O

OG=l

Le théorème du moment cinétique s’écrit :

Et donc, l’équation différentielle du mouvement s’écrit :

Dans la limite des petits angles, on retrouve un mouvement oscillant de pulsation

On retrouve la formule du pendule simple lorsque la masse est uniquement en G:

0 sinθI

MgθΔ

=+l&&

ΔIMgl

=ω

2Δ MI l=


4) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe ‐ Roue

18g Mr

(ΔG)G

θ

ωr

x

y

La roue de voiture de rayon R tourne autour de son axe

qui garde une direction fixe (Δ) passant à chaque instant

par le centre de masse de la roue. Le vecteur rotation

instantanée est : et

Les forces agissant sur la roue sont le poids, la réaction

normale du support ainsi que les frottements :

Le Théorème du moment cinétique s’écrit :

Le théorème du centre de masse permet d’écrire :

( ) 0PGGPMrrrr

=∧=G

RTθMR21θI 2

ΔG== &&&&

zu ω ω rr=

ext,ΔΔ GGM

dtdωI =

Théorème du moment cinétique :

Théorème du centre de masse :

extG Fa mrr

=

Tr N

r

( ) 0NIGNMrrrr

=∧=G

I

( ) zu RTTIGTM rrrr=∧=G

2Δ MR

21I

G=

θ Rcar x x M21θ R M

21T −=−== &&&&

⎩⎨⎧

+−=+=

Nα cos Mg0αsin MgTxM &&

La suite … en TD!

On considère un solide suspendu au bout d’un fil vertical

qui peut être animé d’un mouvement de rotation autour

de cet axe : où C est appelée constante de

torsion du fil. Le théorème du moment cinétique permet

d’obtenir facilement l’équation du mouvement :

Ici, il n’y a pas besoin d’approximations des petits angles

pour obtenir la solution de cette équation différentielle.

On en déduit que le mouvement est oscillatoire de

période :


5) Pendule de torsion

19

0θ CθIΔ =+&&

(S)

(Δ)

G

θ

x

z

θ CMΔ −=

CI2πT Δ=

ω

Les résultats précédents permettent de faire une analogie entre translation d’un

objet de masse m selon l’axe Ox et rotation d’un solide de moment d’inertie par

rapport à un axe fixe (Δ).


6) Analogie entre translation et rotation unidimensionnelles

20

ΔI

Paramètre Translation Rotation

Position x θ

Vitesse

Inertie Masse d’inertie : m Moment d’inertie :

Grandeur cinétique

Quantité de mouvement : Moment cinétique :

Energie cinétique

Loi du mouvement

xv &= θω &=

ΔI

x mp &= θ IL ΔΔ&=

2x m21E &=c

2θ I21E &

Δ=c

extx,Fx m =&&extΔ,Δ Mθ I =&&

Jusqu’à présent, l’axe de rotation était fixe ou de direction fixe. Nous allons

maintenant définir l’axe instantané de rotation. On considère donc un référentiel

absolu R muni d ‘un repère OXYZ avec les vecteurs de base . On considère

alors un solide (S) et le référentiel S muni d’un repère O’xyz lié au solide avec les

vecteurs de base .Ces vecteurs de base étant unitaires, on peut définir un

vecteur tel que :

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableIV AXE INSTANTANE DE ROTATION, ROULEMENT SANS GLISSEMENT

1) Axe instantané de rotation

21

( )K,J,Irrr

( )k,j,irrr

iωr

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∧=

∧=

∧=

kωdtkd

jωdt

jd

iωdt

id

i

i

i

rrr

rrr

rrr

Le vecteur s’appelle vecteur vitesse instantanée de

rotation du solide (S) par rapport au référentiel R.

Remarque : ce vecteur dépend du temps à priori.

iωr

Soient 2 points A et B d’un solide (S) indéformable. Dans le repère S=O’xyz associé au

solide, les coordonnées des deux points sont constants et donc le vecteur . En

écrivant , on en déduit l’expression de la vitesse de B dans R en

fonction de celle de A dans R :

C’est la loi de distribution des vitesses dans le solide.

Exemple: pour un solide en rotation autour d’un axe fixe. Soit O un point de cet axe

qui est aussi un point du solide, et donc pour tout point M du solide:

Dans le cas général, le lieu des points M où la vitesse dans R est colinéaire à est dit

axe instantané de rotation du solide (Δi) par rapport au référentiel R.


2) Distribution des vitesses dans un solide

22

ABABOAOB +=

ABω(A)v(B)v i ∧+=rrr

0(O)vrr

= OMω(M)v i ∧=rr

iωr

Soient 2 points A et B d’un solide (S) indéformable :

L’axe instantané de rotation du solide (Δi) par rapport au référentiel R est le lieu des

points M où la vitesse dans R est colinéaire à . Cette droite est parallèle à . Soit I,

un point de cet axe instantané de rotation. Pour tout point M de (Δi),

On appelle vitesse de glissement, , la vitesse des points de (Δi). Pour tout point M

du solide, on a donc :


2) Distribution des vitesses dans un solide

23

ABω(A)v(B)v ∧+=rrr

gvr(I)v(M)v rr

=iω

riω

r

IMωvIMω(I)v(M)v igi ∧+=∧+=rrrrr

Glissement (translation) selon (Δi) Roulement (rotation) autour de (Δi)à la vitesse angulaire ωi.

Attention : l’axe (Δi) et le vecteur rotation dépendent du temps.iωr

Nous venons de voir que la vitesse d’un point d’un solide est la combinaison d’un

mouvement de glissement selon (Δi) et d’un mouvement de roulement autour de cet

axe.

On considère ici un solide (S) en contact avec une surface (Σ) fixe dans le référentiel R.

On dit que le solide (S) roule sur (Σ) sans glisser si la vitesse du point de contact I,

considéré comme point du solide est nulle dans le référentiel R.


3) Roulement sans glissement

24

0))(S)/((Ivrr

=Σ∈

Exemple : Roue de voiture sur une route… La surface de la route est le plan Oxy et on

note r le rayon de la roue. On note C le centre de la roue et I le point de contact de la

roue avec le sol (attention : I est un point du solide ‐la roue‐ et non pas le point de

coordonnées (x=rθ,0,0)) dans le référentiel R=Oxyz. La vitesse du centre de la roue

dans R est : (en supposant aucun mouvement selon Oy qui est parallèle à

l’axe de rotation de la roue). En utilisant la loi de composition des vitesses dans un

solide,


3) Roulement sans glissement

25

Cω

ωr

x

z

I

i rω(C)vrr

=

( )0irωi rω(I)v

kr jω(C)vCIω(C)v(I)vrrrr

rrrrrr

=−=

−∧+=∧+=

En conséquence, si C n’a aucun mouvement selon Oy, laroue roule sans glisser. L’axe Iy est l’axe instantané derotation du solide et .ωω i

rr=

Pour terminer ce chapitre, nous allons nous intéresser au problème du contact entre

deux solides et les forces de frottements solides. Ceci permet de comprendre des

phénomènes comme l’aqua‐planning ou la perte d’adhérence à grande vitesse …

Nous allons considérer un solide en contact avec un autre solide. Même si le contact

est à priori ponctuel, il existe une petite zone de déformation autour de ce point de

telle sorte que dans la réalité, le contact s’effectue au niveau d’une surface de taille

finie. On peut aussi schématiser le contact en remplaçant la surface du solide ‘porteur’

par son plan tangent au point de contact. Dans ce cas, on peut schématiser le contact

par le dessin ci‐dessous :

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableV FORCES DE FROTTEMENTS SOLIDES

26

On considère donc un solide de masse m posé sur un sol horizontal et on souhaite

faire glisser ce corps en lui exerçant une force horizontale . L’expérience montre que

si la force est d’intensité trop faible, la masse ne se déplacera pas et que cela dépend

de la nature du sol (et de l’objet à déplacer). On peut décomposer la réaction du

support en sa composante normale et sa composante tangentielle à l’interface.

Le système reste à l’équilibre tant que la somme des forces est nulle :


27

Fr

Fr

gmr

Nr

Tr

Rr

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

0gmN

0FTrrr

rrr

C’est la composante tangentielle qui s’oppose au mouvement…

L’expérience montre que les lois empiriques d’Amontons‐Coulomb suivantes sont

valables :

1) Il n’y a pas de glissement si où f est le coefficient de frottement statique.

2) Si il y a glissement, , f’ est le coefficient de frottement de glissement. On

a f’≤f. Dans ce cas, est un vecteur dirigé dans la direction opposé au vecteur

vitesse et est souvent appelé force de frottement solide par distinction avec les

forces de frottements fluides dans l’air ou un liquide


28

Fr

gmr

Nr

Tr

Rr

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

0gmN

0FTrrr

rrrEquilibre pour :

NfTrr

≤

N ' fTrr

=

Tr

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableVI RESUME

29

Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe (Δ) :

Théorème d’Huyghens :

Moment cinétique d’un solide par rapport à (Δ) :

Energie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe :

Théorème du centre de masse :

Théorème du moment cinétique :

Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe,

( ) ∫∫∫∫∫∫ =∧=V

2

V

2

Δ dmr dmOA u I r

2Δ maII

G+= Δ

2Δc ω I

21E =

ω I L Δ=Δ

extG F

dtPd

dtvdM

rrr

==

extO,O M

dtLd rr

= u . MMdt

dLextO,extΔ,

Δ rr==

extΔ,2

2

ΔΔ MdtθdI

dtdωI ==

Chapitre 9: Dynamique d’un solide indéformableVI RESUME

30

Dans le cas général, on définit le vecteur vitesse instantanée de rotation du solide (S)

par rapport au référentiel R : .

La loi de distribution des vitesses dans un solide :

La vitesse d’un point M du solide s’écrit :

Avec , la vitesse de glissement et I un point de l’axe instantané de rotation (Δi).

La condition de roulement sans glissement d’un solide (S) sur une surface (Σ) est :

En présence de frottements solides, les lois empiriques d’Amontons‐Coulomb

indiquent qu’il n’y a pas de glissement tant que : et que lorsqu’il y a

glissement, avec f’≤f.

iωr

ABω(A)v(B)v i ∧+=rrr

IMωv(M)v ig ∧+=rrr

gvr

0))(S)/((Ivrr

=Σ∈

NfTrr

≤

N ' fTrr

=

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Chapitre 9: Dynamique d'un solide indéformable