CHAPITRE 9 

Proportionnalité

Objectifs:

- Utiliser des pourcentages de baisse, d’augmentation, ou successifs.

- Interpréter une grandeur composée.

- Utiliser les agrandissements ou les réductions d’aires et de volumes.

I. PourcentagePrendre T % d’un nombre revient à multiplier ce nombre par T/100.Augmenter un nombre de T % revient à multiplier ce nombre par 1 + T/100.

Diminuer un nombre de T % revient à multiplier ce nombre par 1 – T/100.

Exemples :  - Si une boîte de 400 g est vendue avec 15 % de

produit en plus, sa nouvelle masse ( en g) est :

400 x ( 1 + 15/100 ) = 400 x 1,15 = 460 grammes

- En France, une baisse de natalité de 2% a été enregistrée sur un

effectif annuel de 750 000 naissances. Le nouvel effectif est :

750 000 x ( 1 – 2/100 ) = 750 000 x 0,98 = 735 000 naissances

II. Grandeurs composées1) Grandeurs quotients

On appelle grandeur quotient une grandeur formée par le

quotient de deux unités de base.

– vitesse moyenne : v = d/t s'exprime généralement en km/h (kilomètre par heure), ou en m/s (mètre par seconde).

– débit en L /min (litre par minute), ou m3/s (mètre cube par seconde).

– densité de population en hab/km2 (nombre d'habitants par kilomètre carré).

– consommation de carburant en L/100km .

– masse volumique en g/cm3 (gramme par centimètre cube).

Exemple : Calculer la vitesse moyenne d'un

automobiliste parcourant 130 km en 1 h 20

min.On a 1 h 20 min = 1 h + 1/3 h = 4/3 h

Donc v = d/t

= 130 ÷ 4/3

= 97,5 km/h

2) Grandeurs produits

On appelle grandeur produit une grandeur formée par le

produit de plusieurs unités de base.

– L'énergie consommée E (en wattheure) s'exprime en fonction de la puissance P (en watt) et du temps t (en heure) : E = P × t.

Exemple : Calculer l'énergie consommée par 10 ampoules de

75W pendant une durée de 1 h 45 min.

On a 1 h 45 min = 1 h + 3/4 h = 7/4 h

Donc E = P x t

= 75 x 7/4= 131,25 wattheure

Soit donc 1 312,5 wattheure pour 10 ampoules

III. Réduction-Agrandissement1) Définitions

- La réduction de rapport k d’un objet est la transformation qui

multiplie toutes les longueurs par un nombre positif k tel que 0 <

k < 1.Exemple :

Cube ACube B

On passe du Cube A au Cube B

par

une réduction de coefficient k =

½.

(les dimensions du cube A sont toutes multipliées par ½ pour obtenir celle du cube B)

- L’agrandissement de rapport k d’un objet est la

transformation qui multiplie toutes les longueurs par un nombre

k tel que k > 1.

Exemple :

On passe du Cube B au Cube C par

un agrandissement de coefficient k

= 3.

Cube B Cube C

(les dimensions du cube B sont toutes multipliées par 3 pour obtenir celle du cube C)

2) PropriétésDans un agrandissement ou une réduction de rapport k, (k > 0)

- Les aires sont multipliées par k²

- Les volumes sont multipliés par k3

Exemples :

- L’aire de la face de devant du Cube A est 4 cm².

On passe du Cube A au Cube B par une réduction de coefficient k = ½ .Donc l’aire du cube B est : 4 x (½)² = 4 x ¼ = 1 cm²

- Le volume du Cube B est de 1 cm3.

On passe du Cube B au Cube C par un agrandissement de coefficient k = 3.

Donc le volume du Cube C est :1 x 33= 1 x 27 = 27 cm3

S

O'A'

3) Section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base

Le triangle SOA rectangle en O

engendre un cône de révolution

de hauteur 20 cm et de rayon de

base 6 cm.

On réalise la section de ce cône

par le plan parallèle à la base

passant par O', un point de [SO],

tel que SO' = 2 cm.

OA

S

O'A'

OA

S

O'A'

O'A'

S

D’après le théorème de Thalès dans le triangle SAO sachant que

O’ appartient à [SO],

A’ appartient à [SA]

et que (O’A’) est parallèle à (OA), on a :

SO' SA' O'A' 2SO SA OA 20

Donc le petit cône est une réduction du grand cône de coefficient2 1

k20 10

Or, le volume du grand cône est égal à :

r² hV

3

6² 20V

3

3V 240 cm

Donc le volume du petit cône est égal à :

31

V' 24010

3V' 0,240 cm