Chapitre deux Analyse économique des projets et temps

Chapitre deux

Analyse économique des projets et temps

Dans ce chapitre et dans le suivant

Un projet est décrit, pour chaque période de sa durée de vie, par les coûts et les bénéfices monétaires qu’il rapporte à l’agent qui le considère

Cette hypothèse est clairement hardie car elle suppose résolue la question de la mesure de ces bénéfices et de ces coûts

Un projet est donc décrit:

Par sa durée de vie (nombre de périodes élémentaires)

Supposons qu’il y ait n périodes, indicées par t = 1,…,n

Ajoutons la période courante, dite période 0 Pour chaque période t = 0,1,…,n, on connaît: Le coût monétaire Ct du projet à la période Le bénéfice monétaire Bt du projet durant la

période Remarque: L’analyse des projets n’est pas

passéiste (bygones are bygones!!!)

Question examinée dans ce chapitre

Ces flux monétaires sont supportés par l’agent concerné à différentes périodes

Comment les rendre comparables ? 1 euro reçu/payé aujourd’hui n’a pas la même

valeur qu’un euro reçu/payé demain Un euro reçu/payé demain n’a pas la même

valeur qu’un euro reçu/payé après demain, Typiquement, on suppose que les euros ont une

valeur d’autant plus grande qu’ils sont perçus ou payés dans une période proche du présent (escompte)

Pourquoi y a-t-il escompte ?

A cause de préférences qu’ont la plupart des individus pour le présent (je préfère avoir un euro aujourd’hui qu’un euro demain)

A cause de la productivité du temps (un euro investi aujourd’hui produit plus d’un euro demain)

Préférences pour le présent Un individu, lorsqu’il envisage le futur à

partir de l’instant présent, considère sa consommation (en euros, pour des prix connus) à différentes périodes comme des biens différents

Soit un individu qui considère un horizon de T périodes (indicées par t = 1,…,T)

Un tel individu aura des préférences pour les différentes combinaisons de flux de consommation

Préférences pour le présent

c = (c1,…,cT) (c’1,…,c’T) = c’ signifie: l’individu préfère le profil de consommations c au profil c’

La relation de préférence est un ordre Elle reflète la subjectivité de l’individu, et

sa disposition psychologique (patience, impatience) à transférer du pouvoir d’achat entre les périodes

Préférences pour le présent (2 périodes)

Période courante

c2

c1

Période future

mieux

moinsbien

Courbe d’indifférence


Période courante

c2

c1

Période future


Période courante

c2

c1

Période future

Supposons que cet individuenvisage d’augmenter sa

consommation courante d’un montant


Période courante

c2

c1

Période future

Supposons que cet individuenvisage d’augmenter sa

consommation courante d’un montant

c1+


Période courante

c2

c1

Période future

Quelle quantité maximale de consommation future serait disposé à sacrifier cet individu

pour pouvoir bénéfier de cetaccroissement ?

c1+


Période courante

c2

c1

Période future


pour pouvoir bénéfier de cetaccroissement ?c2- a

c1+


Période courante

c2

c1

Période future


pour pouvoir bénéfier de cetaccroissement ?c2- a

c1+


Période courante

c2

c1

Période future

On appelle taux marginal de substitution intertemporel

le rapport -a/ lorsque tend vers 0

c2- a

c1+


Période courante

c2

c1

Période future



c2- a

c1+

-a/


Période courante

c2

c1

Période future



c2- a

c1+

-a/


Période courante

c2

c1

Période future


le rapport -a/ lorsque tend vers 0c2- a

c1+

-a/


Période courante

c2

c1

Période future



-a/


Période courante

Période future


le rapport a/ lorsque tend vers 0

Tauxmarginal desubstitution

intertemporel


Période courante

Période future

Ce taux dépend du profil de consommation

où il est calculé


intertemporel


Période courante

Période future

Il est plus élevé ici (en valeur absolue) …


intertemporel


Période courante

Période future

…que là


intertemporel


Période courante

Période future

Ce taux varie donc, pour un même individu, d’un profilde consommation à l’autre


intertemporel


Période courante

Période future

Il varie également d’un individu à l’autre pour un mêmeprofil de consommation


intertemporel


Période courante

Période future

Considérons par exemplecet individu au profil

c1,c2

c1

c2


Période courante

Période future

Il est plus impatient, à ce profil,que l’individu à la courbe

d’indifférence rouge

c1

c2


Période courante

Période future

…mais plus patientque l’individu à la courbe

d’indifférence blanche

c1

c2


Période courante

Période future

Les impatients (emprunteurs) sont prêts à sacrifier

beaucoup de pouvoir d’achat futur pour obtenir un peu de

pouvoir d’achat courant

c1

c2


Période courante

Période futureLes patients (épargnants) ne sont disposés qu’à faire des

sacrifices modestes de pouvoir d’achat futur pour augmenter leur pouvoir

d’achat courant

c1

c2


Période courante

Période future

La diversité des préférencespour le présent ouvre la

possibilité de transactionsmutuellement bénéfiques

c1

c2


Période courante

Période future

Un épargnant peut donner du pouvoir d’achat courant à un emprunteur en échange d’un

supplément de pouvoir d’achat futur

c1

c2


Période courante

Période futureSi la quantité d’euros futurs

que doit rembourser l’emprunteur est inférieure à

son taux marginal de substitution intertemporel, il sera content d’emprunter

c1

c2


Période courante

Période future Réciproquement, si la quantité d’euros futurs que rembourse l’emprunteur est supérieure au taux marginal de substitution intertemporel de l’épargnant,celui-ci sera content de prêter

c1

c2


Période courante

Période future

Les marchés financierspermettent à tous ces individus de faire des emprunts et des prêts

c1

c2


Période courante

Période future

Imaginons que quiconque puisse épargner/emprunter n’importe quelle somme au taux de p euros de pouvoir

d’achat futur pour chaque euro de pouvoir d’achat courant

c1

c2


Période courante

Période future

Pour chaque euro emprunté, il faut donc rembourser dans le

futur p euros

c1

c2


Période courante

Période future

Chaque euro courant épargné peut être converti en p euros

futurs

c1

c2


Période courante

Période futureSi les individus empruntent et

épargnent à ce taux sans contrainte suivant leurs

préférences, ils égaliseront leur taux de marginal

substitution intertemporel à ce taux

c1

c2

Illustration: 2 individus (A et B)

A

B

cB2

cA1

cA2

cB1

Dotation initiale

2

1

Allocationrésultantde l’ échange

1/2

2/2

-p

Si les marchés financiers sont parfaits Le taux de conversion des euros futurs en euros

courants – p – mesure le taux marginal de substitution de tous

C’est ce taux qui doit être utilisé pour convertir les euros futurs en euros courants

On appelle taux d’intérêt, noté r, le nombre r = p -1 La plupart du temps, r > 0 (et donc p > 1) Les gens sont donc «impatients » (i.e. disposés à

sacrifier plus d’un euro futur pour obtenir un euro courant)

Mais on a connu des épisodes de taux d’intérêt réels négatifs

Actualisation ou capitalisation p = 1+r nombre d’euros futurs qu’il faut

donner pour avoir un euro courant ou nombre d’euros futurs qu’on obtient avec un euro courant (capitalisation)

1/p = 1/(1+r) nombre d’euros courant qu’on doit donner pour avoir un euro futur ou valeur, en euros courants, d’un euro futur (actualisation)

En évaluation de projets, on ramène tout à la période courante: actualisation

Actualisation/capitalisation sur plusieurs périodes

On a jusqu’ici raisonné sur deux périodes: le présent et le futur

Mais on peut étendre le raisonnement à un nombre quelconque de périodes

Supposons qu’il y ait T périodes, indicées par t = 0,…,T et que le taux d’intérêt entre la période t et la période t+1 soit de rt (pour t = 0,…,T-1)

Actualisation/capitalisation sur plusieurs périodes

Un euro reçu à la période t vaut 1/(1+rt-1) à la période t-1

Un euro reçu à la période t-1 vaut 1/(1+rt-2) à la période t-2

Un euro reçu à la période t vaut donc [1/(1+rt-2)][1/(1+rt-1)] = 1/[(1+rt-2)(1+rt-1)] à la période t-2

Par récurrence, on peut donc dire qu’un euro reçu à la période t vaut 1/[(1+rO)(1+r1)…(1+rt-2)(1+rt-1)] à la période 0 (courante)

Actualisation/Capitalisation sur plusieurs périodes

De façon symétrique un euro courant capitalisé vaudra: (1+r0)(1+r1)…(1+rT-2)(1+rT-1) à la période t (pour t = 1,…,T)

Il est rare en pratique qu’on puisse distinguer les taux d’intérêt qui prévaudront entre les diverses périodes

On utilise souvent un taux d’intérêt de long terme unique (r disons) supposé prévaloir entre toute deux périodes adjacentes.

Dans un tel cas, un euro à la période t vaut 1/(1+r)t = 1/(1+r)(1+r)…(1+r)(1+r) à la période 0

Et un euro à la période 0 se capitalise en (1+r)t euros de la période t

Le critère de la valeur actuelle nette (VAN)

Soit un projet i décrit par une durée de vie n et un flux de coûts et de bénéfices {Cit,Bit} pour les périodes t = 0,…,n)

La Valeur Actuelle Nette de i, notée VANi est la valeur, en euros courants, des flux de bénéfices nets courants et futurs générés par le projet sur sa durée de vie.

VANi est définie par:

nininiiii

iii r

CB

r

CB

r

CBCBVAN

)1(...

)1(1 22211

00

Le critère de la valeur actuelle nette (VAN)

Soit un projet i décrit par une durée de vie n et un flux de coûts et de bénéfices {Cit,Bit} pour les périodes t = 0,…,n)

La Valeur Actuelle Nette de i, notée VANi est la valeur, en euros courants, des flux de bénéfices nets courants et futurs générés par le projet sur sa durée de vie.

Qui peut s’écrire comme:

n

ttitit

i r

CBVAN

0 )1(

Critère de la VAN

Il s’agit d’un critère naturel d’évaluation de projets dont on connaît avec certitude la durée de vie et les flux financiers qu’ils génèrent (bénéfices et coûts) à chaque période.

Un projet est d’autant meilleur qu’il a une VAN élevée

La VAN dépend évidemment du taux d’intérêt, qui, parce qu’il est positif, tend à pondérer de façon plus importante les flux financiers qui surviennent plus tôt

Exemples de calcul de VAN Un hôpital a décidé d’augmenter sa capacité d’accueil Cette décision augmentera les coût annuels de

production de repas Pour limiter cette augmentation, on réfléchit sur

l’opportunité de faire des travaux d’aménagement de la cuisine

Ces travaux, réalisés en l’année 0, coûteraient 1,1 millions d’euros, et auraient une durée de vie utile de 20 ans

Les coûts d’opération de la cuisine avec et sans travaux sont présentés dans le tableau suivant

Coûts d’opération de la cuisine (milliers d’euros)

année sans travaux

avec travaux

1 480 400

2 520 420

3 580 460

4 620 480

5 660 500

6 et + 660 500

Quel est la VAN de ce projet ?

Le bénéfice du projet à chaque période est l’économie de coût réalisée

Coût du projet: nul pour toutes les périodes autres que 0 1,1 millions d’euros à la période 0

Les bénéfices du projet aux périodes t = 1,…,20 sont donc donnés dans le tableau suivant

Bénéfices nets du projet

année bénéfice net

1 480 - 400 = 80

2 520 - 420 = 100

3 580 - 460 = 120

4 620 - 480 = 140

5 660 - 500 = 160

6 et + 660 - 500 = 160

Calcul de la VAN

Certains calculs de VAN peuvent être fastidieux si le nombre de période est grand

Ici par exemple, il faut calculer la valeur du bénéfice de 160 mille euros reçu chaque année pendant 15 ans

Un peu de raisonnement mathématique élémentaire simplifie considérablement ces calculs

Actualisation d’une annuité de A euros reçus pendant n années

Si le taux d’intérêt annuel est r, quelle est la valeur présente, d’un montant de A euros perçus chaque année pendant n années ?

Cette valeur présente est donnée par:

nr

A

r

A

r

A

)1(...

)1(1 2

ou: ))1(

1...

)1(

1

1

1(

2 nrrrA


Il peut être utile de trouver un moyen rapide de calculer le facteur

d’annuité a(n;r) défini par

nrrrrna

)1(

1...

)1(

1

1

1);(

2

La chose est, heureusement, aisée


Nous savons en effet que:

nrrrrna

)1(

1...

)1(

1

1

1);(

2

et que:

132 )1(

1...

)1(

1

)1(

1

1

);(

nrrrr

rna

On peut donc déduire quer

rnarna

1

),();(



nrrrrna

)1(

1...

)1(

1

1

1);(

2

et que:

132 )1(

1...

)1(

1

)1(

1

1

);(

nrrrr

rna

r

rnarna

1

);();(



nrrrrna

)1(

1...

)1(

1

1

1),(

2

et que:

132 )1(

1...

)1(

1

)1(

1

1

),(

nrrrr

rna

r

rnarna

1

);();(



nrrrrna

)1(

1...

)1(

1

1

1);(

2

et que:

132 )1(

1...

)1(

1

)1(

1

1

);(

nrrrr

rna

1)1(

1

1

1

1

);();(

nrrr

rnarna


Nous avons donc que:

ou:

1)1(

1

1

1

1

);();(

nrrr

rnarna

])1(

11[

1

1

1

);(nrrr

rnra

et

donc:

])1(

11[

1);(

nrrrna


En clair

Si n, on aura que 1/(1+r)n 0 et donc, que:

])1(

11[

1);(

nrrrna

rrna

1);(

Cette formule est très utile

Exemple: je veux emprunter 150 000 euros et le rembourser à un rythme annuel constant pendant 20 ans à un taux d’intérêt de 5%

Que seront mes annuités ? On cherche A tel que: 150 000 = Aa(20;0,05)

= A[1/(0,05)][(1-1/(1,05)20]= A[20[1-0,377]]= A12,46

D’où on tire: A = 150 000/12,46 = 12 038,52

Utilisons cette formule pour calculer la VAN du projet de réfection de

cuisine Supposons d’abord que le taux d’intérêt est de

8% Déterminons la valeur actualisée, à la période 5,

de l’annuité de 160 milliers d’euros correspondant à la différence de coûts sur les 15 années suivantes

On doit donc déterminer la valeur de a(15;0,08) = [1/0,08][1-1/(1,08)15]

= 8,66 La valeur actualisée d’un bénéfice net annuel de

160 milliers d’euros pendant 15 ans est donc de 1608,66 = 1369,5 soit 1,3695 millions d’euros

La VAN du projet est donc


36,189

47,1

5,1369

36,1

140

26,1

120

17,1

100

08,1

801100

)08,1(

5,1369

)08,1(

140

)08,1(

120

)08,1(

100

08,1

801100

5432

VAN


36,189

47,1

5,1369

36,1

140

26,1

120

17,1

100

08,1

801100

)08,1(

5,1369

)08,1(

140

)08,1(

120

)08,1(

100

08,1

801100

5432

VAN


36,189

47,1

5,1369

36,1

140

26,1

120

17,1

100

08,1

801100

)08,1(

5,1369

)08,1(

140

)08,1(

120

)08,1(

100

08,1

801100

5432

VAN

Ce projet a une VAN positive (189 360 euros). Il est donc meilleur que le status quo

Cette conclusion dépend du taux d’intérêt

VAN du projet pour r =10%


57,3

61,1

5,1216

47,1

140

33,1

120

21,1

100

1,1

801100

1,1

)1,0;15(

1,1

140

1,1

120

1,1

100

1,1

801100

5432

a

VAN


57,3

61,1

5,1216

47,1

140

33,1

120

21,1

100

1,1

801100

1,1

)1,0;15(

1,1

140

1,1

120

1,1

100

1,1

801100

5432

a

VAN


57,3

61,1

5,1216

47,1

140

33,1

120

21,1

100

1,1

801100

1,1

)1,0;15(

1,1

140

1,1

120

1,1

100

1,1

801100

5432

a

VAN

Ce projet a une VAN négative (-3 570 euros). Il est donc moins bien que le status quo si letaux d’intérêt est de 10%

La relation entre la VAN d’un projet et le taux d’intérêt est complexe

Beaucoup de projets impliquent des coûts importants en début de projet et des bénéfices futurs modestes mais répétés

Ces projets tendent à exhiber une relation négative entre la VAN et le taux d’intérêt

Une relation typique entre VAN et taux d’intérêt

VAN

taux d’intérêt

Bon projet

Mauvais projet

Mais cette relation n’est pas observée pour tous les projets

Considérons par exemple un projet qui dure 5 périodes (en plus de la période 0) et qui donne les bénéfices nets suivants (en milliers d’euros):

Période 0: +50 Période 1: -60 Période 2: -70 Période 3: +70 Période 4: -20 Période 5: +80

5432 )1(

80

)1(

20

)1(

70

)1(

70

1

6050

rrrrrVAN

Voici la relation entre la VAN et le taux d’intérêt

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

10

20

30

40

50

taux d'intérêt

VAN

Bon projet mauvais projet

Bon projet

Taux de rendement interne (TRI) d’un projet

Beaucoup d’évaluations de projets appliquées utilisent le Taux de Rendement Interne (TRI) d’un projet comme critère d’évaluation

Le TRI d’un projet est le taux d’intérêt qui donnerait une VAN nulle au projet

Taux de rendement interne (TRI) d’un projet

D’un point de vue formel, pour un projet i d’une durée de vie de n périodes et caractérisé par un bénéfice Bt et un coût Ct à la période t = 0,…,n, son TRI est défini (implicitement) par:

nininiiii

ii TRI

CB

TRI

CB

TRI

CBCB

)1(...

)1(10

22211

00

Le TRI n’est pas un bon critère d’évaluation de projets

Certains projets (dont la VAN n’est pas en relation monotone décroissante avec le taux d’intérêt) ont plusieurs TRI

Quel TRI choisir alors ? Même lorsque la relation entre la VAN

et le taux d’intérêt est monotone décroissante, il est erroné de classer les projets sur la base de leur TRI

Le projet suivant a 2 TRI

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

10

20

30

40

50

taux d'intérêt

VAN

TRI no1 TRI no 2

Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais

VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

Le projet C a un TRI plus élevé que

le TRI du projet B


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

Doit-on en conclure que C est un meilleur projet que B ?


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

Absolument pas!

r1


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

C a une VAN plusélevée que B pour un

taux d’intérêt supérieur à r1

r1


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

… mais a une VAN inférieureà celle de B pour un

taux d’intérêt inférieur à r1

r1


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

De même, TRIB > TRIA

n’implique pas que le projetB soit meilleur que le projet A

r1r0


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

La VAN de B est plus grandeque la VAN de A si le tauxd’intérêt est supérieur à r0

r1r0


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

…mais la VAN de B est inférieureà celle de de A si le tauxd’intérêt est inférieur à r0

r1r0


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

En clair, la règle de choix entre les trois projets est:

r1r0


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

Choisir A si le taux d’intérêt est inférieur à r0

r1r0


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

Choisir B si le taux d’intérêt est compris

entre r0 et r1

r1r0


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

Choisir C si le taux d’intérêt est supérieur à r1

r1r0


VAN

taux d’intérêt

Projet A

Projet B

Projet C

TRICTRIBTRIA

La connaissance du TRI des projets n’est

d’aucune utilité pour prendrecette décision

r1r0

Une seule utilisation correcte du TRI

Il est préférable d’entreprendre tout projet dont la VAN est décroissante avec le taux d’intérêt à ne pas l’entreprendre si et seulement si le TRI est supérieur au taux d’intérêt

Mais n’est-il pas plus simple de calculer directement la VAN du projet ?

Un exemple de pertinence du TRI: Le taux de rendement interne de l’éducation

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