Chapitre I

Description des milieux continus

Ce chapitre est consacré à la description des milieux continus. On

introduira les notions fondamentales de description du mouvement au sens

de Lagrange et d’Euler, de trajectoires et de lignes de courant ainsi que de

dérivée particulaire.

OBJET

SOMMAIRE

1. Préambule..................................................................................................................... 1

2. Définitions et grandeurs caractéristiques d’un milieu continu ............................ 2

2.1 Définition d’un milieu matériel continu.................................................................. 2

2.2 Grandeurs physiques de la description macroscopique ......................................... 3

2.3 Définition de la masse volumique........................................................................... 3

3. Descriptions du mouvement d’un milieu continu ................................................... 4

3.1 Exemple .................................................................................................................. 4

3.2 Description de Lagrange ......................................................................................... 5

3.3 Description d’Euler ................................................................................................ 5

3.4 Comparaison des deux descriptions ....................................................................... 5

3.5 Lignes de courant.................................................................................................... 6

3.6 Trajectoires............................................................................................................. 7

3.7 Comparaison des lignes de courant et des trajectoires............................................ 8

3.8 Mouvement stationnaire......................................................................................... 8

4. Dérivée particulaire................................................................................................... 10

4.1 Définition.............................................................................................................. 10

4.2 Dérivée particulaire d’une fonction scalaire.......................................................... 10

4.3 Dérivée particulaire d’une fonction vectorielle..................................................... 12

4.4 Dérivée particulaire d’une intégrale définie par une densité volumique................ 13

4.5 Dérivée particulaire d’une intégrale définie par une densité massique.................. 19

1

-

1. Préambule

La mécanique des milieux continus est l’étude du comportement des milieux déformables,

i.e. solides ou fluides (liquides ou gaz) soumis à des sollicitations extérieures. À titre

d’exemple, on peut voir sur la figure ci-après que l’étude des déformations que subit un

véhicule (solide déformable) soumis à des sollicitations intenses (chocs) est primordiale

pour la sécurité des passagers et conducteur ! !

(a)

(b)

Fig. 1 – Crash test d’une voiture (a :choc frontal ; b :choc latéral)

(http://www.fia.com/tourisme/crash2/gdftrov.jpg)

2

-

2. Définitions et grandeurs caractéristiques d’un milieu continu

2.1 Définition d’un milieu matériel continu

On suppose que l’espace physique dans lequel nous vivons est mathématiquement

représentable par l’espace Euclidien Ε.

Soit Ω un domaine volumique appartenant à Ε et contenant un milieu matériel. Ce milieu est

supposé continu si le nombre de particules qui constituent un volume élémentaire dV est

suffisamment grand à l’échelle macroscopique.

Pour simplifier, schématisons le milieu matériel par une pastèque, les particules par les

pépins de la pastèque et un volume élémentaire par une tranche de la pastèque (fig.2). Nous

nous placerons donc à une échelle (macroscopique) telle que la tranche contienne un nombre

statistiquement significatif de pépins.

Milieu matériel (Ω)

Élement de volume (dV)

Fig. 2 – Schématisation du milieu continu

3

-

Concrètement, un « point » pour l’observateur macroscopique est en fait un volume

élémentaire de l’ordre du dixième de millimètre cube, qui contient un grand nombre de

molécules(1). À cette échelle, on pourra supposer la matière continue et les grandeurs

physiques introduites seront continûment différentiables (continues et à dérivées continues).

2.2 Grandeurs physiques de la description macroscopique

Les principales variables physiques intervenant pour décrire un milieu continu sont :

− La masse volumique ρ ,

− Le vecteur vitesse rv,

− La pression p,

− La température T,

− La concentration C,…

2.3 Définition de la masse volumique

Soit dm la masse de matière contenue dans l’élément de volume dV qui entoure le point M,

on définit alors la masse volumique ρ comme le rapport :

ρ = dmdV

(1)

La masse totale m du milieu occupant un domaine Ω a donc pour expression :

m dV= ∫ ρ

Ω(2)

(1) On rappelle qu’une mole d’air (22,4 litres) contient 6 021023. molécules

4

-

3. Descriptions du mouvement d’un milieu continu

3.1 Exemple de remplissage

On s’intéresse à l’écoulement bidimensionnel d’un fluide visqueux (par exemple une huile)

dans un coude. On peut calculer à l’aide d’un logiciel de simulation numérique la position

des différents fronts de matière (fig. 3).

-1

0

1

2

3

4

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y (m

m)

x (mm)

t=0 s t=1 st=3 s

t=5 s

P1 P2P3

P4

P5

t=20 s

Sonde

Fig. 3 – Remplissage d’un coude par une fluide visqueux

Position des différents fronts de matière

Si on suit le mouvement d’une même particule P, on constate qu’elle prend les positions :

P1, P2, P3, P4, P5 aux temps : t s= 0 , t s= 1 , t s= 3 , t s= 5 , t s= 20 respectivement.

Expérimentalement, on injecte un marqueur (par exemple de la fluoresceine) et on suit le

déplacement de ce marqueur au cours du temps. Cette manière de décrire le mouvement est

dite Lagrangienne. La valeur d’une fonction définie en variables de Lagrange est donc

toujours relative à une même particule.

5

-

3.2 Description de Lagrange

On repère un point M x y z, ,( ) à l’instant courant t par rapport à sa position dans une

configuration de référence Ωo à t to= , soit M x y zo o o o, ,( ) . C’est-à-dire que l’on donne la

fonction vectorielle :

OM OM OM to= ( ), (3)

La configuration de référence (choisie arbitrairement) pourra être par exemple la

configuration initiale à t = 0.

3.3 Description d’Euler

Si maintenant on place une sonde dans l’écoulement (fig.3), on va relever le mouvement de

différentes particules se trouvant en un même point à des instants différents. Dans la

description d’Euler du mouvement, on repère le point M x y z, ,( ) à l’instant courant t par

rapport à sa position dans la configuration courante Ωt à t, soit:

OM OM x y z t= ( ), , ,(4)

3.4 Comparaison des deux descriptions

L’idée directrice de la description eulérienne est donc celle de l’observation, en un point

quelconque fixe du champ de l’écoulement, des propriétés de toute particule qui passe en ce

point. La description lagrangienne s’attache à suivre le déplacement d’une même particule au

cours du temps. Les deux descriptions présentent chacune leur utilité suivant les types de

milieux continus qu’on étudie.

6

-

− Pour les solides déformables (un barreau en acier par exemple), on préfère la description

de Lagrange, car la configuration de référence est physiquement identifiable (on choisit

par exemple la position du barreau quand il n’est soumis à aucun effort).

− Pour les fluides (liquides ou gaz), on préfère la description d’Euler. En effet, il est

souvent délicat de définir une position de référence pour un fluide. Par exemple, un

liquide posé sur un plan et soumis à aucun effort autre que les forces de volume

(pesanteur,…), continue à s’écouler.

3.5 Lignes de courant

Soit un instant t fixé (par exemple : t t= 1). On appelle lignes de courant à l’instant t les

lignes qui ont en chacun de leurs points une tangente colinéaire au vecteur vitesse (cf. fig. 4).

M

Ligne decourant

à l’instantt t= 1

Ligne decourant

à l’instantt t= 2

rv M t, 1( )

rv M t, 2( )

dMr

Fig. 4 – Lignes de courant

En variables d’Euler :

Il découle de la définition précédente que l’on cherche les courbes de point courant M tel

que dM est parallèle à rv à un instant donné t t= * par exemple. Posons, en coordonnées

cartésiennes :

7

-

rv M t u x y z t v x y z t w x y z t, * , , , * , , , , * , , , , *( ) = ( ) ( ) ( )( ) et

dM dx dy dz= ( ), ,

Alors, le produit vectoriel de rv et dM doit être nul, soit :

r rv dM

dx

u x y z t

dy

v x y z t

dz

w x y z t∧ = ⇔ ( ) = ( ) = ( )0

, , , * , , , * , , , *(5)

En variables de Lagrange :

On calcule les vitesses en variables d’Euler (vitesse à l’instant t* en fonction des positions à

l’instant t) et on est ramené au problème précédent.

3.6 Trajectoires

On appelle trajectoire de la particule P, l’ensemble des positions occupées par la particule P

au cours du temps.

En variables de Lagrange :

La description de Lagrange donne directement la trajectoire, la relation (3) est l’équation

paramétrée par le temps t de la particule identifié par Mo.

En variables d’Euler :

La trajectoire de la particule qui se trouve en Mo au temps to est la courbe solution du

système différentiel :

8

-

dMdt

v M tdx

u x y z t

dy

v x y z t

dz

w x y z tdt= ( ) ⇔ ( ) = ( ) = ( ) =r

,, , , , , , , , ,

(6)

Avec les conditions initiales M Mo= pour t to= .

3.7 Comparaison des lignes de courant et des trajectoires

La figure 5 illustre les différences entre les lignes de courant et les trajectoires. Il apparaît

que la ligne de courant est relative à un même instant mais regroupe des particules différentes

alors que la trajectoire, qui réfère à une même particule, est une courbe paramétrée en temps.

rv M t1,( )

rv M t2,( )

M1

M2

Particulesdifférentes

Même instant

rv M t1 1,( )

rv M t2 2,( )

M1

M2Même particule

Instantsdifférents

(a) (b)

Fig. 5 – Comparaison des lignes de courant (a) et des trajectoires (b)

3.8 Mouvement stationnaire

On appelle mouvement stationnaire ou encore mouvement permanent, un mouvement de

milieu continu tel que les vitesses (ainsi que toutes les autres grandeurs physiques du

mouvement) en un point d’observation M fixé sont indépendantes du temps.

9

-

∂∂

A M t

t

,( )= 0 ∀ A variables d’Euler (7)

On notera qu’en régime permanent, lignes de courant et trajectoires sont confondues.

Sur la figure 6, un exemple d'écoulement supersonique de l’air autour du lanceur Ariane 5

(issu d’une simulation numérique) est montré. Les lignes de courant sont représentées en

bleu.

Fig. 6 – Écoulement supersonique autour du lanceur Ariane 5

(http://www.onera.fr/photos/simulations/ariane5.html)

10

-

4. Dérivée particulaire

4.1 Définition

Les variables d’Euler n’étant pas liées à une même particule au cours du temps, le problème

se pose de savoir exprimer des variations prises en suivant le mouvement d’une seule et

même particule. Par définition, de telles variations seront dites particulaires et l’on parlera

de dérivée particulaire(1).

4.2 Dérivée particulaire d’une fonction scalaire

Soit f M t,( ) une grandeur physique scalaire représentée en description d’Euler. M est un

point fixe d’observation de coordonnées : rx x y z= ( ), , . Exprimons la dérivée totale exacte

df :

df

ft

dtfx

dxfy

dyfz

dz= + + +∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Qui s’écrit encore :

dfdt

ft

fdMdt

= + ∇ ⋅∂∂

rr

(8)

Avec :

r∇ =

ffx

fy

fz

∂∂

∂∂

∂∂

, , (2) et dM dx dy dz= ( ), ,

(1) On parlera aussi parfois de dérivation matérielle ou dérivée totale(2) cf. Annexe

11

-

Si le vecteur d’accroissement spatial dMr

est confondu avec celui des positions prises

successivement par la particule aux instants t et t+dt (fig.7), on doit avoir :

dM MM vdt= ′ = r

Où rv M t u v w, , ,( ) = ( ) désigne le vecteur vitesse de la particule au point M à l’instant t.

M

M’

(t)

(t+dt)

Trajectoire

rv M t,( )

rv M t dt© , +( )r

′ ′ +( )v M t dt,

Fig. 7 – Schéma de la dérivée particulaire

Alors la dérivée particulaire de la fonction scalaire f, notée

dfdt

, s’exprime d’après (8) :

dfdt

ft

v f= + ⋅ ∇∂∂

r r(9)

Ou sous forme indicielle :

dfdt

ft

vfxj

j= +∂

∂∂∂

(1) = + + + = + + +∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ft

vfx

vf

xv

fx

ft

ufx

vfy

wfz1

12

23

3(10)

(1) On utilise la convention de sommation d’Einstein : tout indice figurant deux fois dans tout groupe

multiplicatif implique sommation sur cet indice.

12

-

− Le terme

∂∂ft

représente la variation temporelle de la fonction scalaire et traduit le

caractère instationnaire du mouvement.

− Le terme r rv f⋅ ∇ représente la variation convective ou advective qui résultent du

déplacement du milieu (vitesse rv) et de l’inhomogénéité spatiale de la fonction (

r∇f ).

Si la variable scalaire f est représentée en variables de Lagrange, soit f M to,( ) , alors la

dérivée particulaire se réduit à :

dfdt

f x t

tv f x to

o=( )

+ ∇ ( )=

∂∂

rr r r

1 24 34

,. ,

0

(11)

4.3 Dérivée particulaire d’une fonction vectorielle

Soit

r rA x t,( ) une fonction vectorielle quelconque des variables d’Euler, de composantes

A x t ii

r, , , ,( ) = 1 2 3. En appliquant la relation (10) à chaque composante, on obtient en

notation indicielle :

dAdt

At

vAx

avec ii ij

i

j= + ⋅ =∂

∂∂∂

1 2 3, , (12)

Soit encore en écriture vectorielle :

dAdt

At

A v

r rr r= + ∇ ⋅∂

∂(13)

13

-

Avec ∇rA (1) tenseur du second ordre gradient du vecteur

rA dont les composantes

∂∂Ax

i

j

(i :indice de la ligne ; j :indice de la colonne) s’expriment matriciellement :

∇ =

rA

Ax

Ax

Ax

Ax

Ax

Ax

Ax

Ax

Ax

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

1

1

1

2

1

3

2

1

2

2

2

3

3

1

3

2

3

3

(14)

Expression de l’accélération :

En particulier, en prenant r rA v= , on obtient l’expression de l'accélération

rγ en variables

Euler :

rr r

r rγ ∂∂

= = + ∇ ⋅dvdt

vt

v v (15)

4.4 Dérivée particulaire d’une intégrale définie par une densité volumique

a) Volume

En adoptant un point de vue Lagrangien, considérons à l’instant courant t un volume

matériel V(t) occupant le domaine Ωt . En exprimant l’élément de volume en variables

d’Euler, nous pouvons écrire :

(1) cf. Annexe

14

-

V t dxdydz

t

( ) = ∫Ω

(1) (16)

Le problème consiste à exprimer la variation au cours du temps de la valeur de ce volume en

suivant le mouvement du domaine matériel Ωt . Soit :

dV t

dtddt

dxdydzt

( )= ∫

Ω

D’après la figure 8, le domaine Ωt occupait à l’instant du marquage t’ une position Ω ′t

pour laquelle le volume valait :

V t dx dy dzt

( )′ = ′ ′ ′∫′Ω

x

y

z

0

• • r v

r n

Σ t

Ω Ω′ ∩t t

Ω ′t

Ωt

M t( )

M t′( )

Fig. 8 - Volume matériel entre les instants t’ et t – Point de vue Lagrangien

(1) Pour ne pas alourdir la notation, nous noterons les intégrales multiples comme une intégrale simple

15

-

Si dans la relation (16), on effectue le changement de variables x y z x y z, , , ,( ) → ′ ′ ′( ), on

obtient :

V t Jdx dy dz

t

( ) = ′ ′ ′∫′Ω

avec J déterminant du Jacobien de la transformation défini par :

J

xx

xy

xz

yx

yy

yz

zx

zy

zz

=

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Le domaine Ω ′t étant indépendant du temps courant t, la dérivée particulaire de l’intégrale

s’obtient donc aisément :

dV tdt

ddt

Jdx dy dzdJdt

dx dy dzt t

( ) = ′ ′ ′∫

= ′ ′ ′∫

′ ′Ω Ω

On applique maintenant à la dernière intégrale la transformation inverse

′ ′ ′( ) →( )x y z x y z, , , , , dont le Jacobien est J−1. On obtient :

dV tdt J

dJdt

dxdydzt

( ) = ∫1

Ω

16

-

Pour calculer

dJdt

on applique la règle de dérivation d’un déterminant (1), soit :

dJdt

xdxdt y

dxdt z

dxdt

yx

yy

yz

zx

zy

zz

xx

xy

xz

xdydt y

dydt z

dydt

=

′

′

′

′ ′ ′

′ ′ ′

+

′ ′ ′

′

′

′

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

′ ′ ′

+

′ ′ ′

′ ′ ′

′

′

′

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zx

zy

zz

xx

xy

xz

yx

yy

yz

xdzdt y

dzdt z

dzdt

D’après la définition de la vitesse (section 4.2), on a :

rv u

dxdt

vdydt

wdzdt

= = = =

, ,

Soit :

dJdt

ux

uy

uz

yx

yy

yz

zx

zy

zz

xx

xy

xz

vx

vy

vz

zx

zy

zz

xx

xy

xz

yx

y=

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

+

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

+

′ ′ ′

′

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

′ ′

′ ′ ′

yyz

wx

wy

wz

On montre alors que :

1J

dJdt

ux

vy

wz

v= + + = ∇ ⋅∂∂

∂∂

∂∂

r r (2) (17)

(1) La dérivée d’un déterminant est la somme des déterminants obtenus en dérivant successivement chaque

ligne (ou colonne) sans changer les autres lignes.(2) cf Annexe

17

-

En remplaçant dans la dernière expression de la dérivée particulaire du volume V(t), on

obtient :

dV tdt

v dVt

( ) = ∇ ⋅( )∫r r

Ω(18)

Soit en appliquant le théorème de la divergence (encore appelé théorème de Green-

Ostrogradski) :

dV tdt

v n dSt

( ) = ⋅∫r r

Σ(19)

Avec Σ t surface limitant le domaine Ωt , rn normale à la surface Σ t orientée vers l’extérieur.

Cette relation, fondamentale, montre que la variation au cours du temps de la valeur du

volume d’un domaine Ωt pris au sens d’Euler (encore appelé volume de contrôle) est égale

au flux volumique de matière traversant la surface du volume de contrôle (fig. 9). Autrement

dit, le volume de contrôle est perméable.

x

y

z

0

rn

rv

Fig. 9 - Volume de contrôle – Point de vue Eulérien

18

-

b) Intégrale de volume

Soit un domaine fini Ωt renfermant à l’instant t la valeur F(t) d’une fonction scalaire f x t

r,( )

(densité volumique) exprimée en variables d’Euler :

F t f x t dV

t

( ) ,= ( )∫r

Ω(20)

En procédant d’une manière analogue au a), on montre que la variation particulaire de F(t)

s’exprime :

dF tdt J

ddt

f x t J dVdfdt

fJ

dJdt

dVt t

( ),= ( )( )∫ = +

∫

1 1r

Ω Ω

Soit en utilisant (17) :

ddt

f x t dVdfdt

f v dVt t

r r r,( )∫

= + ∇ ⋅

∫

Ω Ω(21)

On peut exprimer cette relation sous une autre forme en explicitant la dérivée particulaire

dfdt

, soit :

ddt

f x t dVft

v f f v dVft

f v dVt t t

r r r r r r r,( )∫

= + ⋅ ∇ + ∇ ⋅

∫ = + ∇ ⋅ ⋅( )

∫

Ω Ω Ω

∂∂

∂∂

(22)

Le second terme peut être transformé à l’aide du théorème de Green-Ostrogradski :

19

-

ddt

f x t dVft

dV f v n dSt t t

r r r,( )∫

= ∫ + ⋅( )∫

Ω Ω Σ

∂∂

(23)

− Le terme

∂∂ft

dVtΩ

∫ correspond à une variation temporelle à volume fixé ;

− Le terme

f v n dSt

r r⋅( )∫Σ

correspond à une variation spatiale à t fixé

4.5 Dérivée particulaire d’une intégrale définie par une densité massique

a) Conservation de la masse

D’après la définition (2), la masse m(t) d’un milieu continu à l’instant t s’exprime :

m t x t dV

t

( ) = ( )∫ ρ r,

Ω

La conservation de la masse implique :

dm t

dt

( )= 0

Soit encore d’après les relations (21) et (22) :

∂ρ∂

ρ ρ ρt

v dVddt

v dVt t

+ ∇ ⋅( )

∫ = + ∇ ⋅

∫ =

r r r r

Ω Ω0

D’après la définition d’un milieu continu (section 1), la fonction intégrée est continue alors :

20

-

∂ρ∂

ρ ρ ρt

vddt

v+ ∇ ⋅( ) = + ∇ ⋅ =r r r r

0 (24)

Cette relation, connue sous le nom d’équation de continuité, traduit la conservation de la

masse à un niveau local dans le milieu continu. Si de plus, la masse volumique est constante,

i.e. ρ = cte, la relation (24) se simplifie et traduit la condition d’incompressibilité :

r r∇ ⋅ =v 0 (25)

b) Théorème de Reynolds

On cherche maintenant à exprimer l’expression de la dérivée particulaire d’une intégrale de

volume d’un bilan massique A(t), définie comme suit :

A t f x t dm f x t dV

t t

( ) , ,= ( )∫ = ( )∫r r

Ω Ωρ

Alors d’après (21), il vient :

dA t

dt

d f

dtf v dV

dfdt

dV fddt

v dVt t t

( )=

( )+ ∇ ⋅

∫ = ∫ + + ∇ ⋅

∫

ρρ ρ ρ ρ

r r r r

Ω Ω Ω

La dernière intégrale est identiquement nulle d’après l’équation de continuité (24). On

obtient :

ddt

f x t dmdfdt

dVdfdt

dmt t t

r,( )∫

= ∫ = ∫

Ω Ω Ωρ (26)

ANNEXE : Rappels sur les principaux opérateurs

Soit une fonction scalaire f x t

r,( ) ,

r rA x t,( ) une fonction vectorielle de composantes

A A Ax y z, ,( ) et

T

T T T

T T T

T T T

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

=

tenseur d’ordre 2.

− Gradient d’un scalaire

Cette opérateur transforme une fonction scalaire en fonction vectorielle. L’opérateur

gradient sera préférentiellement noté en utilisant le symbole Nabla, r∇ plutôt que grad

(expression moins compacte). Il a pour expression en coordonnées cartésiennes :

r∇ =

ffx

fy

fz

∂∂

∂∂

∂∂

, ,

− Gradient d’un vecteur

Cette opérateur transforme une fonction vectorielle en tenseur d’ordre 2. L’opérateur

gradient d’un vecteur sera noté ∇ plutôt que grad . Il a pour expression en coordonnées

cartésiennes :

∇ =

rA

Ax

Ay

Az

A

x

A

y

A

zAx

Ay

Az

x x x

y y y

z z z

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

− Divergence d’un vecteur

1

-

Cette opérateur transforme une fonction vectorielle en fonction scalaire. L’opérateur sera

noté en utilisant le symbole Nabla suivi d’un point figurant le produit scalaire, r∇ ⋅ plutôt

que div. Il a pour expression en coordonnées cartésiennes :

r r∇ ⋅ = + +A

Ax

A

yAz

x y z∂∂

∂∂

∂∂

− Divergence d’un tenseur d’ordre 2

Cette opérateur transforme un tenseur d’ordre 2 en fonction vectorielle. L’opérateur sera

noté en utilisant le symbole Nabla suivi d’un point figurant le produit scalaire, r∇ ⋅ plutôt

que div. Il a pour expression en coordonnées cartésiennes :

r∇ ⋅ =

+ +

+ +

+ +

T

Tx

T

yTz

T

x

T

y

T

zTx

T

yTz

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

− Laplacien d’un scalaire/vecteur

Cette opérateur transforme une fonction scalaire en fonction scalaire ou encore une

fonction vectorielle en fonction vectorielle. L’opérateur sera noté en utilisant la lettre

grecque delta majuscule, ∆. On trouve aussi r∇2 ou

r r∇ ⋅ ∇ car le Laplacien est simplement la

divergence du gradient. Son expression en coordonnées cartésiennes pour un scalaire est :

2

-

∆f f f

f

x

f

y

f

z= ∇ ⋅ ∇( ) = ∇ = + +

r r r2

2

2

2

2

2

2

∂∂

∂∂

∂∂

Pour une fonction vectorielle, il suffit d’appliquer l’opérateur à chacune des composantes,

soit :

∆ ∆ ∆ ∆

rA A A Ax y z= ( ), ,

− Rotationnel d’un vecteur

Cette opérateur transforme une fonction vectorielle en fonction vectorielle. L’opérateur sera

noté en utilisant le symbole Nabla suivi du produit vectoriel, r∇ ∧ plutôt que Rot . Il a pour

expression en coordonnées cartésiennes :

r r∇ ∧ = − − −

A

Ay

A

zAz

Ax

A

xAy

z y x z y x∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

, ,