CHAPITRE II FORMULATION DU MODELE

Chapitre II Formulation du modèle

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CHAPITRE II

FORMULATION DU MODELE

II-1 INTRODUCTION................................................................................................................................. 71

II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-PLASTICITE COUPLES............ 72

II-2.1 FORMULATION DU MODÈLE................................................................................................................. 73

II-2.2 EVOLUTION DE L’ENDOMMAGEMENT.................................................................................................. 75

II-2.3 COUPLAGE ENTRE PLASTICITÉ ET ENDOMMAGEMENT......................................................................... 79

II-2.4 CRITÈRE DE PLASTICITÉ – POTENTIEL PLASTIQUE............................................................................... 80

II-2.5 LOIS DE COMPORTEMENT DU BÉTON À HAUTES TEMPÉRATURES......................................................... 84

II-3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL ELEMENT FINIS................. 103

II-3.1 DESCRIPTION DU PROBLÈME THERMO-MÉCANIQUE........................................................................... 103

II-3.2 RÉSOLUTIONS NUMÉRIQUES DU PROBLÈME THERMIQUE................................................................... 105

II-3.3 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU PROBLÈME MÉCANIQUE...................................................................... 108

II-3.4 INTÉGRATION DES ÉQUATIONS CONSTITUTIVES DU MODÈLE............................................................. 110

II-4 CONCLUSION.................................................................................................................................... 134


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II-1 INTRODUCTION

Le but de ce chapitre consiste en l’élaboration d’un modèle de comportement pour le béton

permettant de prendre en compte l’endommagement mécanique et l’effet unilatéral lors des

chargements cycliques d’une part, ainsi que l’endommagement thermique et l’influence du

chargement mécanique sur le processus de déformation thermique (fluage thermique

transitoire) lors des chargements combinés. L’objectif final de ce travail est de pouvoir

intégrer ces différents phénomènes dans un calcul de structure afin d’améliorer et de rendre

plus prédictive la modélisation thermo-mecanique du béton.

Dans ce but, un modèle couplant le niveau d’écrouissage atteint en traction/compression avec

l’endommagement est proposé. Ce couplage endommagement-plasticité est assuré en utilisant

le principe de la contrainte effective. Sans pour autant perdre de vue la physique des

phénomènes, cette modélisation du matériau est effectuée de manière phénoménologique dans

le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles.


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II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-

PLASTICITE COUPLES

Ainsi qu'il est apparu à travers l'analyse des résultats expérimentaux, donnés dans la partie

bibliographique, le comportement thermo-mécanique du béton en traction ou en compression

ne diffère du comportement à température ambiante que :

- par une résistance en compression /en traction et un module d'élasticité plus faibles,

fonction de la température

- par l'apparition d'une déformation d'interaction thermo-mécanique.

La modélisation du comportement micro-fissuré du béton sous chargement thermo-mécanique

peut être conduite de la même façon que sous chargement mécanique à température ambiante,

pourvu que les effets de température soient introduits dans la formulation du modèle.

S’intéressant maintenant à la modélisation non-linéaire du béton, pour des chargements

mécaniques à température ambiante, la connaissance de la variation de la déformation

plastique joue un rôle très important en ce qui concerne la description macroscopique non-

linéaire du béton (Frantziskonis & Desai 1987, Lubliner & al. 1989, Ulm 1996, Sercombe

1997). En effet, les déformations plastiques étant très fortement liées au développement de la

micro-fissuration. L'utilisation de cette variable pour piloter l'endommagement et

l'écrouissage semble adéquate pour la bonne représentation du couplage endommagement-

plasticité.

Le problème majeur est maintenant de savoir quel type de variable d’endommagement nous

allons choisir (endommagement anisotrope ou isotrope). On sait d’après l’analyse

expérimentale que les fissures se développent dans un plan perpendiculaire aux extensions,

créant dans un premier stade une anisotropie du comportement du béton, et dans un stade

ultime des surfaces de rupture de même sens. Une approche serait alors de considérer que

l’augmentation de l’endommagement induit une anisotropie et de choisir alors un

endommagement anisotrope.

Des résultats récents obtenus par Fichant & al. (1998) en statique montrent que dans des

situations où la fissuration du matériau est essentiellement pilotée par une extension


-73-

unidimensionnelle, un endommagement scalaire donne des résultats numériques, au niveau de

la structure, similaires à ceux issus par des modèles d’endommagement orthotrope. Nous

ferons l’hypothèse que cela reste vrai dans le cas ou la fissuration du matériau est contrôlée

par une variable de nature déformation plastique.

En fait, l’anisotropie induite par l’endommagement n’est importante que lorsque le matériau

est soumis à des extensions multiaxiales ou quand l’histoire le chargement appliqué au

matériau est fortement non radiale.

Etant donné la complexité des modèles d’endommagement anisotrope, comparés aux modèles

isotropes (à la fois du point de vue de la calibration du modèle et de son implémentation

numérique) nous considérons que l’endommagement est une variable scalaire. Il est

important de noter que ce choix ne compromet pas la prise en compte de la dissymétrie entre

les comportements de traction et la compression.

II-2.1 Formulation du modèle

Dans le but d’effectuer une modélisation isotrope des phénomènes thermo-plastiques couplés

à l’endommagement dans le cadre général de la thermodynamique des processus irréversibles,

nous postulons l’existence d’un potentiel thermodynamique (dans notre cas, nous avons choisi

l’énergie libre Helmhotz) s’exprimant comme une fonction à valeur scalaire et convexe par

rapport aux variables d’états.

( ) ( )Λ+Λ= ,, , , , , DD pe

e θψθψψ κε (II.1)

Dans cette équation eψ désigne le potentiel thermo-élastique endommageable donnée par :

( )0

2

2

1

2

1 , , ,

TCD eeee

e

θθθψ −−=Λ εεεεε ::: mE (II.2)

dans lequel C représente la chaleur spécifique et 0T la température de référence du système.

Le tenseur de rigidité du matériau E et le tenseur du deuxième ordre de couplage thermo-

mécanique m sont donnés par :

( ) 1mEEE ⋅=Λ= αKD 3 ; , , 0 (II.3)


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où 0E est le tenseur de rigidité du matériau non endommagé. α,K désignent respectivement

le module de compressibilité volumique et le coefficient de dilatation thermique fonctions de

la température, 1 représente le tenseur unité.

Les variables d’états sont alors, le tenseur de déformation élastique eε , la température relative

0TT −=θ , la variable d’endommagement mécanique D et la variable d’endommagement

thermique Λ .

En outre, pψ désigne le potentiel thermo-plastique endommageable et κκ représente le

vecteur paramètre d’écrouissage qui contrôle le processus de plasticité. L’hypothèse du

découplage entre les effets de plasticité et les autres phénomènes est utilisée. La déformation

totale ε est alors décomposée en une part réversible, une part irréversible pε et une part

thermique θε comme suit :

θεεεε ++= pe (II.4)

L’influence du chargement mécanique sur le processus de déformation thermique, décrit sous

le terme d’interaction thermo-mécanique, est introduite en utilisant le concept de déformation

d’interaction thermo-mécanique développé par Anderberg & Thelandersson (1973).

La déformation d’interaction thermo-mécanique est donnée par :

( )( )

+++−=

=

jkiljlikklijc

ijkl

tm

Q

T

δδδδγδγδβα

12

1

f

0

0

σε :Q

(II.5)

où Q est un tenseur du quatrième ordre d’interaction thermo-mécanique, 0cf est la résistance

en compression uniaxiale à 20°C, 0β et γ sont les paramètres matériau (Schneider 1988,

Thelandersson 1976).

L’équation II.4 est alors réécrite sous la forme :

tmpe εεεεε ++= + θ (II.6)

Nous pouvons noter que lors de la prise en compte du fluage transitoire, l’énergie libre du

système n’est plus donnée par l’équation (II.2). La définition d’une nouvelle forme de

l’énergie libre se heurte à des problèmes liés à la définition de la déformation d’interaction


-75-

thermo-mécanique qui est obtenue par une approche phénoménologiquement (Baker &

Stabler 1998).

II-2.2 Evolution de l’endommagement

On a vu au premier chapitre que la variable d’endommagement associée au processus de

dégradation mécanique (i.e. thermique) peut être interprétée comme la densité de surfaces des

défauts affectant la matière (Kachanov 1958, Ju 1989) et peut alors être définie, comme la

proportion de la surface occupée par les micro-fissures ramenée à la surface totale. Cette

définition signifie que le paramètre d’endommagement ne peut pas être décroissant.

Vierge Endommagement mécanique Endommagement total

S~

S~

S~

SS =~ ( )DSS −= 1~ ( )( )Λ−−= 1 1

~DSS

Figure. II.1 : Représentation schématique de l’effet de l’endommagement

sur la surface résistante.

L'effet de la dégradation thermique sur le matériau béton se traduit par une baisse

supplémentaire de la surface résistante endommagée mécaniquement. La variable

d’endommagement total d, peut alors être définie à partir d’une combinaison des deux

endommagements mécanique et thermique, considérés comme complètement indépendants,

comme suit :

( )( )Λ−−−= 111 Dd (II.7)

où D est la variable d’endommagement mécanique fonction de la variable d’écrouissage κκ et

Λ représente la variable d’endommagement thermique fonction de la température T .


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On peut noter que la forme de l’équation (II.7) est similaire à celle proposé par Gerard,

Pijaudier-Cabot & Laborderie (1998) lors de l’étude du couplage mécanique-diffusion

chimique.

La relation contrainte-déformation s’écrit alors comme pour le cas de comportement elasto-

endommageable sous la forme:

( ) ed εσ :01 E−= (II.8)

où σ est le tenseur de contraintes apparentes.

En remplaçant l’équation (II.6) dans l’équation (II.8), on obtient :

( ) ( )tmpd εεεεσ −−−−= θ:01 E (II.9)

L’utilisation du principe de la contrainte effective conduit à une relation liant la contrainte

réelle à la contrainte effective donnée par :

d−=

1~ σσ (II.10)

où σ~ est la contrainte effective.

Une nouvelle relation peut être écrite en utilisant l’équation (II.8) et l’équation (II.10), liant le

tenseur de contrainte effective au tenseur de déformation élastique:

eεσ :0~ E= (II.11)

II-2.2.1 Variable d’endommagement mécanique

Comme on a ennoncé auparavant, notre choix s’est porté sur un modèle d’endommagement

scalaire. Le degré de dégradation du matériau sous un chargement externe est représenté par

une variable scalaire unique d’endommagement D affectant le module d’Young.

( ) 01 E E D−= (II.12)

Plusieurs auteurs (La Borderie 1991, Lee 1998) ont noté dans leurs études la forme

exponentielle de la variation de la variable d’endommagement en fonction de la déformation


-77-

plastique. Notre choix s’est porté donc, sur une loi exponentielle fonction de la variable

d’écrouissage xκ (déformation plastique cumulée).

( )xxx cD κ exp1 −=− (II.13)

où xc est un paramètre du matériau ( tx = pour la traction et cx = pour la compression).

Cela signifie qu’en traction comme en compression nous considérons que le mécanisme

d’endommagement est lié au développement des micro-fissures contrôlé par la variable

déformation plastique cumulée. Il est à noter que cette formulation a l’avantage de la

définition conjointe des évolutions plastiques et de l’endommagement qui n’interviennent

qu’en même temps. Cette approche permet de s’affranchir de la définition d’une surface seuil

pour l’endommagement.

Pour décrire au mieux le comportement diffèrent du béton en traction et en compression,

l’endommagement total est ainsi subdivisé en deux parties (Mazars 1984, Lee 1998,

Ragueneau 1999). Une première partie pour décrire le comportement de traction et une

deuxième part pour décrire celui de compression.

( ) ( )( ) Ttcttcc DDD κκκκκ ,et )()( 111 =−−−= κκ (II.14)

Les essais de traction-compression cycliques permettent de mettre en évidence une propriété

importante du comportement du béton, c'est le caractère unilatéral. Ce phénomène consiste

en une restauration de la raideur lors du passage d’un chargement de traction, où apparaît de

l’endommagement (fissuration), à un chargement de compression.

Le phénomène unilatéral observé lors d’un chargement cyclique est introduit en modifiant

l’endommagement de traction en le multipliant par un paramètre p fonction de l’état de

contrainte (Lee 1998, Nechnech & al. 2000), tels que 10 ≤≤ p .

L’équation (II.14) devient alors :

( ) ( ) ( )( ))()( ~111~ , ttcc DpDD κκ σσ −−−=κκ (II.15)


-78-

Le paramètre p est choisi de telle manière à bien représenter la fermeture de fissure. Dans le

cas d’un chargement tridimensionnel, ce paramètre peut s’écrire en fonction du tenseur de

contrainte effective de la manière suivante :

( ) ( ) ( )σσ ~ 1~00 rppp −+= (II.16)

Dans cette équation, 10 0 ≤≤ p est un paramètre matériau et ( )σ~r une fonction poids scalaire

(cette fonction sert à quantifier le pourcentage des contraintes de traction par rapport aux

contraintes de compression dans le cas tridimensionnel) qui s’écrit :

( )

=

=

∑

∑

=

= +sinon

~

~

0~ si 0

~

3

1

3

1

ii

iir

σ

σ

σ

σ (II.17)

où i

σ~ représente la i ième composante du tenseur de contrainte effective principale, et

( ) 2xxx +=+

, désigne la partie positive de x .

La définition (II.15) signifie que la prise en compte du phénomène unilatéral, lors du passage

d’une sollicitation de traction à une sollicitation de compression, se fait par une diminution de

l’endommagement de traction affecté par la fonction ( )σ~p qui pilote la fermeture de fissure.

II-2.2.2 Variable d’endommagement thermique

La haute température produit une dégradation irréversible du module d'élasticité. Dans une

description macroscopique des phénomènes, ce comportement est généralement décrit par une

dépendance du module d'élasticité à la température ( )TEE = . L'endommagement thermique

peut être défini à partir de la relation liant la variation du module d'élasticité à la température

( )TE , d'une manière analogue à celle qui a été utilisée pour définir l'endommagement

mécanique, de telle sorte que :

( ) ( )0

1E

TET −=Λ avec

0 si 0

0 si 0

≤=Λ

>>Λ

θθ

(II.18)


-79-

La définition (II.18), est une hypothèse simplificatrice car le module d’élasticité du béton ne

dépend pas seulement du seuil de température mais aussi de la vitesse du chauffage, de la

teneur en eau, etc.…

II-2.3 Couplage entre plasticité et endommagement

Une fois les micro-fissures initiées, les contraintes locales dues à cette micro-fissuration, sont

redistribuées dans un domaine "effectif". Ces redistributions provoquent un état de contraintes

dans ce domaine plus important que celui qui est lié par l'équilibre mécanique à un effort

extérieur. En conséquence, l'écoulement plastique est supposé dû aux "quantités effectives".

(Ju 1989).

En effet, si on utilise la théorie de la plasticité pour décrire d’une manière phénoménologique

le comportement du béton, la surface de charge peut être définie à partir de la connaissance de

la contrainte nominale en traction tτ , contrainte nominale en compression cτ et la

température T , comme suit :

( ) 0 , , , T22F ct ≤σ (II.19)

où la contrainte nominale de traction t2 , respectivement de compression c2 , est exprimée en

fonction de la déformation plastique équivalente de traction tκ et de la température,

respectivement la déformation plastique cumulée de compression cκ et de la température.

( ) ( )TT cccttt , ; , κττκττ == (II.20)

En effet, dans cette approche, les contraintes nominales ( )ct ττ , pilotent l’état de fissuration

du matériau. On suppose que ces dernières sont factorisées dans l’espace des contraintes

effectives de la même façon que le module d’élasticité (équation II.12), comme suit :

( )( ) ( ) ( )( ) ( )TT cccccttttt DD ,~ )(1 1 ; ,~ )(1 1 κτκτκτκτ −Λ−=−Λ−= (II.21)

où ct ττ ~et ~ représentent respectivement la contrainte nominale effective de traction et la

contrainte nominale effective de compression, quantités ne pouvant être déterminée

expérimentalement, mais déduites de II.21.


-80-

En combinant les équations (II.10, II.19 et II.21), la surface de charge peut s’écrire sous sa

nouvelle forme :

( ) 0 ~ ,~ ,~ 22F ct ≤σ (II.22)

Il est à noter que du fait que les courbes uniaxiales dépendent explicitement de la température,

cela entraîne un couplage entre la variable d'écrouissage plastique κ et la température. Ce

couplage se traduit par un adoucissement de nature thermique (non-plastique).

Une différence fondamentale existe cependant entre les deux types d'écrouissage:

l'écrouissage plastique (instantané) n'apparaît que lorsque le point de charge se trouve sur la

surface de charge (c'est-à-dire lorsque 0=F ) et y reste (c'est-à-dire lorsque 0=F ), alors que

l'écrouissage thermique apparaît indépendamment de la position du point de charge, qu'il soit

dans le domaine élastique ou dans le domaine plastique. Cet adoucissement thermique

conduit à une évolution non-instantanée de la surface de charge qui permet ainsi de modéliser

la diminution de la résistance du béton en fonction de la température.

II-2.4 Critère de plasticité – Potentiel plastique

Nous nous intéressons dans ce paragraphe au choix du critère de charge. Un grand nombre de

propositions existent dans la littérature. Cependant le choix du critère pose un problème

relativement difficile pour le béton du fait de la variété des comportements observés selon le

chargement, le niveau de température et le confinement. Une première solution consiste à

formuler un critère unique, ce qui conduit d’une part, à des expressions souvent compliquées

du critère (Ottosen, Willam-Warnke à 5 paramètres), et d’autre part, à des difficultés dans le

choix des variables d’écrouissage et des lois d’évolutions. La deuxième approche, offrant plus

de souplesse dans la gestions des variables d’écrouissage. Elle consiste à utiliser une surface

multi-critères. L’inconvénient de cette approche reste dans le traitement des couplages entre

les critères élémentaires ainsi que dans mise en œuvre numérique.

Vu les avantages offerts par les surfaces multicritères en terme de la gestion distincte de

l’écrouissage (i.e. de l’endommagement car dans notre cas l’endommagement est relié

directement à la variable d’écrouissage) notre choix s’est porté sur l’utilisation d’un critère

multi-surface de plasticité (Feenstra 1993, Georgin 1998, Heinfling 1998). Il est formé d’un

critère de Rankine en traction


-81-

( ) ( )TTF ttItt ,~~ , ,~ κτσκ −=σ (II.23)

et d’un critère de Drucker-Prager en compression

( ) ( ) ( ) ( )TIJTF ccfcc ,~ ~ ~ , ,~12 κτβακ −+= σσσ s (II.24)

où Iσ~ est la contrainte effective principale majeure, ( )σ~1I est le premier invariant du tenseur

de contrainte effective, ( )s~2J est le deuxième invariant du tenseur déviateur de contrainte

effective s~ , ( βα ,f ) sont deux paramètres du critère de compression déterminés à partir des

caractéristiques mécaniques du matériau: la résistance en compression simple cf et la

résistance en compression biaxiale bf .

( ) ( )( )

=−

=−−

=

TfTf cbc

c

c

c

cf

ββββ

ββα

12 ;

21

1

(II.25)

En utilisant des considérations d’équilibre du milieu continu (cercle de Mohr), entre la

contrainte principale majeure et les contraintes exprimées dans un repère quelconque, on

obtient :

( ) ( ) 22 ~~~4

1~~2

1~xyyxyxI σσσσσσ ++++= . (II.26)

Les deux critères peuvent se mettre sous la forme (Feenstra 1993) :

( ) ( ) ( )TfTF xxxx ,~~ , ,~ κτκ −= σσσ (II.27)

où ( )σ~f est une fonction du tenseur de contrainte effective.

La figure II.2, montre une représentation schématique de la surface seuil dans le plan de

contrainte principales en 2D.


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Adoucissement

Critère de Rankine

Ecrouissage

CritèreDrucker-Prager

σ1

σ2

fc0fc ft

Adoucissement thermique

Température Croissante

Adoucissement

Figure II.2 : Tracé du critère de rupture dans le plan des

contraintes principales

Pour prendre en compte l’augmentation de la sensibilité au confinement du béton en

compression avec la température il est nécessaire d’introduire la variation du paramètre cβ

avec la température (Heinfling 1998). La figure II.3 présente les surfaces de rupture

comparées aux surfaces expérimentales relevées par (Kordina & al. 1985). La figure II.4

présente la loi de variation de cβ avec la température (Heinfling 1998)

σ1/fc

Critère défini

Surface de rupture expérimentales

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00

βc = cste

750°C

600°C

450°C

300°C

20°C

σ 2/f

c

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00

Critère défini

Surface de rupture expérimentales

750°C

600°C

450°C

300°C20°C

βc = f(T)

σ1/fc

σ 2/f c

(a) (b)

Figure II.3 : Surfaces de rupture obtenues comparées aux surfaces de rupture Expérimentales

(Kordina & al. 1985) : (a) cβ constante ; (b) cβ variable


-83-

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Température [°C]

βc

Figure II.4 : Loi de variation de cβ avec la température (Heinfling 1998)

En ce qui concerne les écoulements plastiques, une loi associée d’écoulement est utilisée en

traction, par contre une loi non-associée est utilisée en compression pour tenir compte du

comportement dilatant du matériau béton (Chen 1982). Un potentiel plastique est alors

introduit pour pouvoir reproduire la dilatance du matériau observée en compression.

( ) ( ) ( )TIJG ccgc ,~ ~ ~12 κτβα −+= σσs (II.28)

Le paramètre gα est un paramètre matériau choisi d’une manière à bien restituer la

déformation volumique en compression.

Ainsi la loi d'évolution de la déformation plastique est donnée conformément à la proposition

de Koiter (1953) par :

σσε ~~ ∂

∂+

∂∂

= cc

tt

p GF λλ (II.29)

où tλ et cλ représentent respectivement le multiplicateur plastique en traction et en

compression,

où la loi de normalité est adoptée dans le cas de la traction. Sur le plan numérique, cette

expression nécessitera un traitement particulier pour la gestion de l’activation des deux

critères plastiques. Cet aspect sera traité ultérieurement.


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σ1

σ2

fc ft

Fc = 0

Gc (αg = 0.1)

Gc (αg = 0.2)

Ft = Gt

Figure II.5 : Tracé du potentiel plastique dans le plan des

contraintes principales

II-2.5 Lois de comportement du béton à hautes températures

Dans le cadre de la théorie de la plasticité couplée à l’endommagement, le comportement du

matériau est géré par la connaissance de la courbe uniaxiale (ou des courbes uniaxiales) liant

à chaque pas de temps la contrainte nominale à la variable d'écrouissage. De ce fait, il est

important de définir correctement cette courbe afin de décrire au mieux le comportement du

béton aussi bien en traction qu'en compression. Les relations contrainte-déformation du béton

présentées ici ont été établies a priori afin d'être les plus représentatives possibles du

comportement du béton à hautes températures tout en assurant une mise en œuvre numérique

simple.

En ce qui concerne les lois uniaxiales, une relation exponentielle appropriée est utilisée. Elle

s’exprime d’une manière unique pour la traction et la compression sous la forme:

( ) ( ) ( )[ ]xxxxxxxx babaf κκτ 2exp exp10 −−−+= (II.30)

où 0xf est la contrainte limite d’élasticité fonction de la température ( tt ff =0 pour la traction

et cc ff 3.00 = pour la compression), ( ) ( )( )TbTa xx , sont les paramètres du modèle déterminés

à partir des essais uniaxiaux, la constante xa détermine si oui ou non on a un écrouissage

positif après avoir atteint la limite d’élasticité.

- ( )1<ta correspond à un comportement de traction.


-85-

- ( )1>ca correspond à un comportement de compression.

La combinaison des équations (II.21, II.30), nous donne l’expression de la contrainte effective

nécessaire pour exprimer le critère de plasticité dans l’espace effectives.

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

−−−+

Λ−=

−

−

x

x

x

x

b

c

xxxb

c

xxxx

x babaf 210 exp exp1

1~ κκτ (II.31)

Pour maintenir l’objectivité des résultats au niveau structurel, on utilise l’approche de

régularisation par l’énergie de fissuration (Hillerborg 1976) selon laquelle la densité de

l’énergie de fissuration ( )Tgx est liée à l’énergie de fissuration ( )TGx par :

( )c

xx l

TGg = (II.32)

où cl est la longueur caractéristique liée à la taille de zone localisée.

la densité d’énergie de fissuration est donnée par :

∫∞

=0

κτ dg xx (II.33)

t0f

W t

tN

ftg

cf

Wc

cN

fcg

c0f

Figure II.6 : Comportement non-linéaire local : (a) en traction,

(b) en compression

(a) (b)


-86-

II-2.5.1 Identification des paramètres du modèle

La détermination des paramètres du modèle est relativement aisée. Une description de la

méthode pour déterminer les différents paramètres est explicitée ci-après pour le cas d’un

chargement mécanique et thermique.

i. Cas de la traction

Le comportement du béton en traction est supposé élastique jusqu’à sa résistance en traction

0tf . Le comportement post-pic est défini par la connaissance de deux paramètres (tt ba , ).

L’expression mathématique de cette courbe est donnée par l’équation (II.30) qui s’écrit dans

le cas uniaxial sous la forme :

( ) ( ) ( )[ ]tttttttt babaf κκτ 2expexp10 −−−+= (II.34)

Les paramètres tt ba et sont déterminés de sorte que cette courbe reproduise la réponse du

matériau lors de la traction.

L'endommagement de traction étant défini par :

( )ttt cD κ−=− exp1 (II.35)

l’expression de la contrainte effective est alors donnée par l’équation (II.31), comme suit :

( ) ( )( ) ( )( )

−−−+=

−

−

t

t

t

t

b

c

tttb

c

ttttt babaf 210 expexp1 ~ κκτ (II.36)

La densité d’énergie de fissuration est donnée par :

+== ∫

∞

21 0

0

t

t

ttt

a

b

fdg κτ (II.37)

Le paramètre ta pilote le comportement avant le pic (écrouissage positif), en traction ce

paramètre ne représente pas une caractéristique physique car le comportement du béton en

traction est supposé linéaire jusqu'au pic. De ce fait, on peut choisir une valeur fixe pour ce

paramètre (une valeur de 5.0−=ta donne une bonne représentation de la courbe uniaxiale)

et chercher la valeur de tb en se servant de l’équation (II.32) de l'énergie de rupture. En

combinant les équations (II.36, II.37), on obtient :


-87-

+=

210

t

t

ctt

a

G

lfb (II.38)

La détermination du paramètre tc pilotant la loi d’endommagement de traction est réalisée en

spécifiant la valeur d’endommagement dans le cas uniaxial pour une certaine valeur de

contrainte, ceci permet de calibrer ce paramètre en fonction des données expérimentales.

Cette technique d’identification du paramètre tc à partir d’un point expérimental s’avère,

comme il sera montré lors des simulations d’essais uniaxiaux, très efficace pour reproduire

l’endommagement du module sur l’ensemble du processus de fissuration.

Supposons que l’on connaisse la valeur d'endommagement (notée tD ) pour une contrainte

égale à 20tf , et cherchons à déterminer la valeur de la déformation plastique pour cet état de

contrainte (figure II. 7):

σ

ε

0tf

20tf

0E ( ) 01 EDt−Figure II.7 : Comportement uniaxial en traction

La résolution de l’équation (II.34) pour 2

0tt

f=τ permet d’obtenir la valeur de la déformation

plastique correspondante.

( )

+−+−=

t

tt

t

p

a

aa

b 2

11ln

12

ε (II.39)

En combinant les équations (II.35, II.39), on obtient :

[ ]( )

+−+

−=

t

tt

t

t

t

a

aa

D

b

c

2

11ln

1ln2

(II.40)


-88-

Ainsi, une identification de la valeur de l'endommagement tD (correspondant à 2

0tf=σ ), a

été réalisée en utilisant l’essai de traction cyclique figure (II.8) de Gopalaratnam & Shah

(1985) donne.

25.0=tD (II.41)

Cette valeur injectée dans la relation (II.40) permet de calculer la valeur du paramètre tc après

identification des paramètres tt ba et comme déjà spécifié.

0

1

2

3

4

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005

Déformations (-)

Con

trai

nte

(MP

a)

Figure II.8 : Essai de traction cyclique

(Gopalaratnam & Shah 1985)

ii. Cas de la compression

Le comportement du béton en compression est supposé élastique jusqu’à sa limite d'élasticité

0cf . Après cette limite, le béton présente un comportement écrouissable jusqu'à sa résistance

en compression cf , qui se termine par une branche adoucissante (figure II.5).

L'expression mathématique de la courbe uniaxiale est donnée de façon similaire à celle de la

traction :

( ) ( ) ( )[ ]pcc

pcccc babaf εετ 2expexp10 −−−+= (II.42)

L'endommagement quand à lui est défini par :

( )pcc dD ε−=− exp1 (II.43)

En utilisant l’équation (II.9), la relation contrainte-déformation s’écrit :

( ) ec ED εσ 1 0−= (II.44)


-89-

Par transformations algébriques de l’équation (II.42), le paramètre ca peut être exprimé en

fonction de la résistance en compression cf du béton et sa limite d’élasticité 0cf de la

manière suivante :

( )[ ] ( ) ( )02

00 21 2 ccccccc ffffffa −+−= (II.45)

Par exemple, pour une valeur de cc ff 3.00 = , 2444.11=ca .

En ce qui concerne la détermination du paramètre cb , nous avons recours au même procédé

que celui évoqué précédemment dans le cas de la traction (équation II.38), dans ce cas

l’énergie de rupture en compression est utilisée. Le paramètre cb s’exprime alors sous la

forme :

+=

210

c

c

ccc

a

G

lfb (II.46)

La détermination du paramètre cc pilotant la loi d’endommagement de compression est

réalisée en spécifiant la valeur d’endommagement cD dans le cas uniaxial de compression au

pic (figure II.9) et dans une démarche similaire au cas de la traction.

σ

ε

cf

0cf

( ) 01 EDc−mε

Figure II.9 : Comportement uniaxial en compression

La résolution de l’équation (II.42) pour cc f=τ permet d’obtenir la valeur de la déformation

plastique correspondante.

+−=

c

c

c

p

a

a

b 2

1ln

1ε (II.47)


-90-

le paramètre cc pilotant la loi d’endommagement de compression peut être lié au paramètre

cb de la courbe uniaxiale en utilisant l’équation (II.43), comme suit :

[ ]

+−

=

c

c

c

c

c

a

a

D

b

c

2

1ln

1ln(II.48)

Il est à noter qu’en combinant les équations (II.43, II.44 et II.47), nous pouvons obtenir une

nouvelle relation liant le paramètre cb à la déformation au pic mε .

( )

−

−

+

=m

c

c

c

c

c

ED

f

a

a

b

ε0 1

2

1ln

(II.49)

Vu la forme particulière de la courbe uniaxiale, il est impossible de caler le paramètre cb en

fonction de l’énergie de rupture en compression cG et de la déformation au pic mε

simultanément. Nous utilisons donc la relation (II.46) pour identifier le paramètre cb (sauf

dans le cas où le paramètre énergie de rupture n’est pas mentionné).

En ce qui concerne l’identification de la valeur de l'endommagement cD au pic, l’essai de

compression cyclique (figure II.10) de Karsan & Jirsa (1969) donne une valeur,

18.0=cD (II.50)

0

5

10

15

20

25

30

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

Déformations (-)

Con

trai

nte

(MP

a)

Figure II.10 : Essai de traction cyclique

(Karsan & Jirsa 1969)


-91-

En utilisant les paramètres précédemment établis, la réponse du modèle en traction simple est

représentée à titre d’illustration par la figure (II.11), nous pouvons remarquer que l’évolution

de l’endommagement est étroitement lié au développement de la plasticité dans le régime

adoucissant.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001

Déformations

Con

trai

nte

/ Rés

ista

nce Contrainte réelle

Contrainte effective

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001

Déformations

End

omm

agem

en

Figure II.11 : Réponse du modèle en traction et évolution

de l’endommagement correspondant

La réponse du modèle en compression simple est représentée par la figure (II.12). Nous

pouvons faire les mêmes remarques que dans le cas de la traction. La réponse montre

cependant un endommagement pré-pic à partir de 3cf=σ .


-92-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Déformations

Con

trai

nte

/ Rés

ista

nce Contrainte réelle

Contrainte effective

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Déformations

End

omm

agem

en

Figure II.12 : Réponse du modèle en compression et évolution

de l’endommagement correspondant

iii. Cas d’un chargement thermique

Dans le cas de la thermique, les paramètres du modèle sont détermines de la même manière

que dans le cas d’un chargement mécanique. A la différence que cette fois-ci, on introduit la

variation des différentes caractéristiques mécaniques avec la température.

- En ce qui concerne la traction à haute température, le comportement du béton à la

température T est considéré élastique jusqu’à sa résistance en traction ( )Tft0 . Le

comportement post-pic est défini par la connaissance de deux paramètres (( ) ( )TbTa tt , ).

Le paramètre ta , comme on l’a vu précédemment, ne représente pas une caractéristique

physique du comportement. Ce paramètre est considéré indépendant de la température. Le

paramètre tb quant à lui, est donné par l’équation (II.32), dans laquelle l’énergie de

fissuration tG et la résistance en traction sont fonction de la température, comme suit :


-93-

( ) ( ) ( )

+=

210

t

t

ctt

a

TG

lTfTb (II.51)

Peu d’auteurs se sont intéressés à l’étude de la variation de la longueur caractéristique cl avec

la température. Di Prisco & al. (1997) se sont récemment intéressés à l’évaluation de cette

dimension à partir d’essais réalisés à hautes températures sur des spécimens de béton à hautes

performances. Il s’agit à notre connaissance de la seule étude réalisée sur cet aspect du

comportement du béton. Du fait de la rareté des études experimentales présentées, nous ne

disposons pas d’information sur la sensibilité de l’evolution de ce paramètre aux conditions

thermiques, hydriques et mécaniques des essais. De ce fait, la longueur caractéristique est

supposée indépendante de la température.

La détermination du paramètre tc se fait de la même manière qu’en (II.48). Le paramètre cD

dans cette équation représentant la mesure de l’endommagement au pic de contrainte et

supposé indépendant de la température.

La détermination de ce paramètre se fait à partir de la connaissance de la courbe de

compression cyclique à 20°C. Cela signifie qu’on suppose que l’endommagement

supplémentaire observé à haute température est dû à l’endommagement thermique TΛ ,

comme dans le cas de la traction.

σ

ε

( )Tft0

( )2

0 Tft

0E

( )( ) 011 ED Tt Λ−−

Courbes à :20°CT

Figure II.13 : Comportement uniaxial en traction

à différents températures.

- En ce qui concerne la compression à haute température, le comportement du béton est

supposé élastique jusqu’à sa limite d’élasticité ( )Tfc0 . Après cette limite, le béton présente un


-94-

comportement écrouissable jusqu’à sa résistance en compression ( )Tfc , qui se termine par

une branche adoucissante.

Le paramètre ca est donné par l’équation (II.45) comme dans le cas du béton à température

ambiante. Le paramètre cb quant à lui, est donné par la connaissance de la variation de

l’énergie de rupture (équation II.46) sous la forme :

( ) ( ) ( )

+=

210

c

c

ccc

a

TG

lTfTb (II.52)

Une autre relation peut être obtenue en utilisant l’équation (II.8) comme suit :

( ) ( )( )( ) ( )

−

Λ−

+

=T

ED

Tf

a

a

Tbm

Tc

c

c

c

c

ε0 -11

2

1ln

(II.53)

Dans cette relation le paramètre cb est lié à l’endommagement thermique TΛ atteint à la

température T .

La détermination du paramètre tc se fait de la même manière qu’en (II.40). Le paramètre tD

dans cette équation représentant la mesure de l’endommagement pour une contrainte égale à

20tf est supposé indépendant de la température et est déterminé à partir de la connaissance

de la courbe de traction cyclique à 20°C. Cela signifie qu’on suppose que l’endommagement

supplémentaire observé à haute température est due à l’endommagement thermique TΛ .

σ

ε

( )Tfc

( )Tfc0 ( )( ) 01 1 ED Tc Λ−−mε

Courbes à :20°CT

Figure II.14 : Comportement uniaxial en traction

à différentes températures.


-95-

II-2.5.2 Influence des paramètres du modèle

Nous allons mettre en évidence dans ce paragraphe l’influence des divers paramètres du

modèle sur la réponse contrainte-déformation ; notamment en terme d’évolution de

l’endommagement et de représentation de l’effet unilatéral. La connaissance du rôle de

chaque paramètre doit permettre une identification plus précise de la réponse du modèle et de

la sensibilité de celle-ci à ce paramètre.

i. Paramètres d’endommagement

Nous allons nous intéresser ici aux paramètres d’endommagement du modèle, pour la

simulation d’essais de traction directe et d’essais de compression directe. Ce type de

chargement permet en effet de comprendre directement l’effet de chacun des paramètres sur la

réponse en contrainte-déformation.

La figure (II.15-a) montre la réponse en compression pour 3 valeurs différentes du paramètre

d’endommagement cD rentrant dans la définition du coefficient cc , gérant la loi d’évolution

de l’endommagement de compression. La figure (II.15-b) quant a elle montre la réponse en

traction pour 3 valeurs différentes du paramètre d’endommagement tD rentrant dans la

définition du paramètre tc , gérant la loi d’évolution de l’endommagement de traction.

(a) (b)

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0,001 0,002 0,003

Déformations

Con

trai

nte

(MP

a)

0,18

0,3

0,05

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,0001 0,0002 0,0003

Déformations

Con

trai

nte

(MP

a)

0,1

0,25

0,4

Figure II.15 : Influence du paramètre cD en compression (a) et

du paramètre tD en traction (b)


-96-

Des figures précédentes, on remarque qu’une augmentation du paramètre d’endommagement

de compression cD ou du paramètre d’endommagement de traction tD donnera une réponse

plus fragile sur les courbes contraintes-déformation correspondantes. Cependant la variation

est moins sensible dans le cas de la traction. Nous allons maintenant regarder l’influence du

paramètre lié à la refermeture de fissures.

ii. Paramètre lié à la fermeture de fissure

La figure (II.16) présente la réponse contrainte-déformation lors du passage de la traction à la

compression pour différentes valeurs du paramètre 0p .

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035

Déformations

Con

trai

nte

(MP

a)

Valeur de P00

0,10,40,81

Figure II.16 : Influence du paramètre 0p sur le passage

Traction-compression

Nous pouvons remarquer que selon la valeur prise par le paramètre 0p , le phénomène de

restitution de la raideur est différent. Une valeur zéro du paramètre de fermeture de fissure 0p

a pour conséquence une restitution complète de la raideur, alors qu’une valeur unitaire de

celui-ci a pour conséquence une non restitution de la raideur, le modèle conservera la raideur

endommagée acquise en traction lors du passage à la compression. Ce paramètre représente

en quelque sorte le pourcentage des micro-fissures restreint à rester ouvertes.

La figure II.17, présente une simulation du comportement du béton avec un cycle complet de

traction-compression. La valeur adoptée du paramètre de refermeture est 1.00 =p


-97-

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

-0,0016 -0,0012 -0,0008 -0,0004 0 0,0004

Déformation

Con

trai

nte

(MP

a)

O

AB

C

D

E

F

G

FigureII.17 : Simulation d’un essai traction-compression

Le résultat obtenu par le modèle et présenté à la figure III.17 valide la capacité du modèle à

décrire ce phénomène unilatéral. Lors de la décharge en traction (chemin B-C) et du passage à

la compression (chemin C-D). L’effet unilatéral se manifeste par une augmentation de la

raideur.

II-2.5.3 Bilans

Afin de conclure quant à la description du modèle précédemment développé, nous allons

dresser un bilan récapitulatif des paramètres introduits. Nous parlons de leur identification

dans le cas général d’un chargement thermo-mécanique.

Le modèle thermo-plastique endommageable proposé offre l’avantage de ne faire intervenir

que 15 paramètres, dont la plupart sont facilement identifiables (par des procédures

classiques) et leurs évolutions respectives avec la température.

Paramètres

ν ,E , c ,, βtc ff caractéristiques matériau

gα comportement dilatant

ct DD , endommagement

0p phénomène unilatéral

α thermique

γβ ,0 interaction thermo-mécanique

ct GG , cl régularisation (Hillerborg 1976)


-98-

A l’exception de la longueur caractéristique uniquement liée aux caractéristiques

géométriques des éléments du maillage du fait de la régularisation adoptée, ces paramètres

sont tous identifiables à partir d’essais expérimentaux. L’identification expérimentale des

variations de ces paramètres avec la température est délicate. Les résultats des essais de

caractérisation sont en effet très fortement dépendant des conditions thermiques, hydriques et

mécaniques appliquées (vitesse de chauffage, confinement hydrique ou non, charge appliquée

pendant le chauffage ...). Les procédures d’essai utilisées doivent reproduire le plus

précisément possible les conditions dans lesquelles se trouve le béton au sein d’une structure.

L’identification expérimentale des lois de variations de certains paramètres font l’objet de

recommandations générales proposées par le comité TC129 MHT de la RILEM (RILEM

1997).

Dans ces recommandations différentes conditions d’essais à appliquer, selon le type de

structure à étudier sont proposées, afin de se rapprocher le plus possible des caractéristiques

réelles du matériau. Nous donnons ici quelques indications permettant d’évaluer les valeurs

initiales de ces paramètres et les lois de variations pour des bétons courants.

- Module d’élasticité ( )θE

Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par la réalisation

d’essais classiques de compression à différentes températures. Les règles de calcul P92-701

(1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994) proposent des lois de variations de ce paramètre avec

la température pour des bétons courants.

- Coefficient de poisson ( )θν

Les variations de ce paramètre avec la température ne sont pas parfaitement connues à l’heure

actuelle. Khennane & Baker (1992) ont testé différentes lois de variations de ce coefficient

avec la température lors de la simulation d’essais biaxiaux à hautes températures (Ehm &

Schneider 1985, Kordina & al. 1985). Les résultats obtenus ne mettent pas en évidence un

apport significatif de l’utilisation d’un coefficient de Poisson variable avec la température sur

la précision des résultats obtenus. Nous utilisons donc un coefficient de Poisson constant dont

la valeur est généralement comprise entre 0,1 et 0,2.


-99-

- Résistance en compression uniaxiale ( )θcf

Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par des essais

classiques de compression uniaxiale sur des spécimens en béton à différentes températures.

Les règles de calcul P92-701 (1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994) proposent des lois

générales de variations de ce paramètre avec la température pour des bétons courants.

- Rapport de la résistance en compression biaxiale à la résistance en compression

uniaxiale ( )θβ c

La loi de variation de ce paramètre avec la température peut être obtenue à partir d’une série

d’essais biaxiaux isothermes à haute température tels que ceux réalisés par Ehm & Schneider

(1985) ou Kordina & al (1985).

- Résistance en traction uniaxiale ( )θtf

Les variations de ce paramètre avec la température peuvent être identifiées par des essais

classiques de flexion ou de traction directe sur des spécimens en béton à différentes

températures. Les règles de calcul P92-701 (1993) ainsi que l’EUROCODE4 (1994)

proposent des lois générales de variations de ce paramètre avec la température pour des

bétons courants.

- Energie de fissuration ( )θtG


actuelle. Quelques études (Bazant & Prat 1988, Baker 1996, Heinfling & al. 1997) semblent

indiquer une diminution significative de ce paramètre avec la température au delà de 300°C.

En l’absence de données expérimentales précises, nous utilisons une valeur constante de ce

paramètre sauf dans le cas où il est donné.

L’identification de celle-ci à température ambiante fait l’objet d’une recommandation par la

RILEM (RILEM TC 50-FMC, 1985). Le comité Européen du béton propose une règle

empirique (CEB-FIP model code 1990):

7.03 10 cft faG −= (II.54)

où fa est un coefficient fonction de la taille du plus gros granulat maxd .


-100-

maxd :(mm) fa

8 4

16 6

32 10

Tableau II.1: Coefficient fa pour l’estimation de fG

Pour des bétons courants, l’application de cette formule conduit à des valeurs de fG

comprises entre 0,05 et 0,2 Nmm/mm2.

- Energie de rupture en compression ( )θcG


actuelle. En l’absence de données expérimentales précises, nous utilisons une valeur constante

de celui-ci. Les résultats obtenus par Vonk (1992) indiquent des valeurs comprises entre 10 et

25 Nmm/mm2, ce qui correspond à 50 à 100 fois la valeur de l’énergie de fissuration du

béton.

- Coefficient de dilatation thermique ( )θα

L’identification objective de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de

dilatation libre d’un spécimen en béton. Les conditions optimales d’essais pour différentes

applications font l’objet de la recommandation RILEM TC 129 MHT, Part 6: "Thermal strain,

for service and accident conditions", Draft n°11, May 1997. Une loi couramment adoptée (De

Borst & Peeters 1989, Khennane & Baker 1992) consiste en une valeur constante entre 0 et

400°C, puis une valeur constante égale au double de la valeur initiale entre 400°C et 800°C.

- Coefficient d’interaction thermo-mécanique γβ ,0

L'identification de ces paramètres peut être réalisée à partir d’essais expérimentaux durant

lesquels un spécimen en béton est chauffé sous charge constante. Les conditions optimales

d’essais pour différentes applications font l’objet de la recommandation RILEM TC 129

MHT: Part 7: Transient Creep, for service and accident conditions, Draft n°9, March 1997. Ici

ces paramètres sont considérés comme constants avec la température. Nous rappelons que le

phénomène d’interaction thermo-mécanique se produit uniquement durant le premier


-101-

chauffage. Il ne se produit pas pendant le refroidissement ni lors d’une seconde phase

immédiate de chauffage jusqu’à la température maximale atteinte durant le premier cycle. Ce

coefficient est donc mis à zéro durant ces phases.

- Longueur caractéristique cl

Une estimation très simple a été proposée par Rots (1988) pour les cas bidimensionnels:

ec Arl = (II.55)

où eA est l’aire de l’élément considéré et r est un facteur correcteur égal à 1 pour les

éléments quadratiques et à 2 pour les éléments linéaires. En pratique cette estimation

convient pour des éléments de forme régulière mais peut s’avérer insuffisante pour des

éléments de forme quelconque, de plus en plus répandus dans les maillages non-structurés.

Millard (1996) propose une méthode permettant de corriger cette estimation en fonction de la

forme de l’élément.

- Endommagement en traction tD

L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de traction cyclique

(Gopalaratnam & Shah 1985). Les données expérimentales concernant le comportement

cyclique en traction du béton sont rares. On considère que ce paramètre ne varie pas avec la

température. Une valeur de 25,0=tD est choisie pour effectuer la plupart des validations.

- Endommagement en compression cD

L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de compression

cyclique (Karsan & Jirsa 1969). Comme pour le cas de la traction, ce paramètre ne varie pas

avec la température. Une valeur de 18,0=cD est choisie pour effectuer la plupart des

validations.

- Paramètre de refermeture de fissure 0p

L’identification de ce paramètre est réalisée par l’intermédiaire d’un essai de traction-

compression cyclique (Ramtani 1990, Reinhardt & Corneilessen 1984). Comme pour les deux

paramètres d’endommagement, il est très difficile de réaliser des essais de traction-


-102-

compression cycliques à haute température. On considère que ce paramètre ne varie pas avec

la température.

- Paramètre du potentiel plastique gα

Ce paramètre peut être calibré à partir d’un essai de compression biaxiale. Il est à noter que

celui-ci peut s’exprimer en fonction du taux de la déformation plastique volumique pvε

comme suit :

ppv αλε 3 = (III.56)

Ce paramètre est choisi pour mieux représenter la dilatance. Dans le cas de variation de

température, on considère que la forme globale du potentiel plastique reste fixe, elle subit

juste une contraction isotrope par rapport au potentiel plastique initial. Ce choix nous permet

de considérer que ce paramètre n’est pas dépendant de la température. Une valeur 2.0=pα

identifiée numériquement à partir des essais de Kupfer & al. (1969) sera utilisée dans le reste

de cette étude.


-103-

II-3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL

ELEMENT FINIS

Dans ce paragraphe, les équations différentielles non-linéaires pour le modèle thermo-élasto-

plastique endommageable présentées au paragraphe précédent sont résolus numériquement en

utilisant la méthode des Eléments Finis. Dans le cadre de cette méthode, fondée sur une

approche en déplacements, la structure est discrétisée en éléments pour lesquels une relation

entre les forces et les déplacements nodaux est établie. L’assemblage des éléments conduit à

un système d’équations traduisant l’équilibre de la structure. La réponse de celle-ci est

calculée suivant un processus incrémental dans lequel le chargement total est appliqué en

plusieurs pas reproduisant son historique. Supposons la structure en équilibre au temps nt , les

équations d’équilibre doivent être résolues au temps 1+nt . Celles-ci sont en général non-

linéaires et leur résolution passe par un processus itératif.

L’objectif principal de ce paragraphe est donc de décrire les méthodes de résolution des

équations non-linéaires d’équilibre pour la mécanique et les équations de thermique

transitoire utilisées dans le code de calcul CAST3M du C.E.A. (Millard 1993) et de donner les

grandes lignes de l'algorithme général d’intégration des lois constitutives données par le

modèle.

II-3.1 Description du problème thermo-mécanique

Dans le cadre de la thermodynamique des milieux continus, notre problème est gouverné par

l’ensemble des équations d’équilibre et de conservation d’énergie :

( )( ) q

0

)(

)(

bdive

adiv

−=⋅

=

ε:σ

σρ

(II.57)

où σσ est le tenseur de contraintes, ε le tenseur de vitesses de déformation, e le taux

d’énergie interne, ρ la masse volumique du matériau et q le vecteur flux de chaleur donné

par la loi de Fourier,

gradTc λ−=q (II.58)

où cλ représente le coefficient de conductivité thermique.


-104-

Il est à noter qu’en général, l’ensemble des variables thermiques et mécaniques intervenant

dans ce système d’équations sont couplées. La conductivité thermique par exemple dépend

fortement de la porosité. On peut donc penser, introduire une conductivité thermique

dépendant de la variable d’endommagement totale définie précédemment.

( )dcc λλ = (II.59)

Néanmoins, peu de données expérimentales sont disponibles pour quantifier l’effet du

chargement thermo-mécanique sur la conductivité. Cela peut s’expliquer par la complexité et

la simultanéité des phénomènes physiques et chimiques se produisant au sein du béton lors

d’un chargement thermo-mécanique combiné (Bazant & Kaplan 1996).

Nous nous orientons donc vers un traitement découplé du système d’équations (II.57). Ce

problème thermo-mécanique est donc séparé en deux étapes : la première consiste à résoudre

l’équation de la chaleur au sein de la structure. Cette étape, dans le cas du béton soumis à

haute températures, prend en compte les variations des caractéristiques thermiques de ce

matériau avec la température. Ensuite, un second calcul est mené dans lequel les distributions

de température sont des données du problème à chaque pas(figure II.18).

nnnn

n

D

T

, , , Λεεσσ nnnn

n

D

T

, , , 1

1

+

+

Λεεσσ 1111

1

, , , ++++

+

Λ nnnn

n

D

T

εεσσ

Calcul

Thermique

Calcul

Mécanique

Figure II.18 : Représentation schématique du traitement

découplée des équations (II.54)

où l’indice n correspond au numéro du pas de temps. Dans la plupart des situations de

structures en béton soumises à de hautes températures, cette approche adoptée par de

nombreux auteurs apparaît satisfaisante (Franssen 1987, De Borst & Peeters 1989, Khennane

& Baker 1992, Heinfling 1998). On peut signaler qu’il est nécessaire de rester attentif au

choix du maillage ainsi que la discrétisation temporelle qui peuvent ne pas être identiques

pour les deux calculs, thermique et mécanique, compte tenu des conditions aux limites de

chargement et des algorithmes de résolution différents employés dans les deux cas (Bliard &


-105-

al. 1995, Heinfling 1998). Ce choix peut engendrer une perte de précision ou d’informations

ou des dispersions numériques. Dans cette étude, nous nous sommes efforcés de limiter les

pertes de précisions occasionnées dans les différents cas d’applications réalisés.

L’analyse complète du problème thermo-mécanique à résoudre passe, comme nous l’avons vu

dans un premier temps, par la résolutions d’un problème thermique transitoire prenant en

compte les variations des caractéristiques thermiques du béton avec la température puis la

résolution du problème mécanique. Dans ce qui suit, on verra avec plus de détails ces deux

algorithmes.

II-3.2 Résolutions numériques du problème thermique

Soit un volume Ω de masse volumique ρ soumis à chaque instant t de l’intervalle total de

temps [ ]1 ,0 t à un flux de chaleur q sur une partie de sa frontière, à une source volumique de

chaleur notée r (par effet de Joule ou réaction chimique) ainsi qu’à un champ de température

T sur la partie complémentaire de sa frontière (voir figure II.19).

q

cq

rq

TT1Ω∂

T2Ω∂

T3Ω∂

T4Ω∂

Ω

r

Ω∂=Ω∂∪Ω∂∪Ω∂∪Ω∂ TTTT4321

et

∅=Ω∂∩Ω∂∩Ω∂∩Ω∂ TTTT4321

Figure II.19 : Problème thermique de référence

Dans le code de calcul aux élément finis CASTEM2000 (Jeanvoine & De Gayffier 1995), le

problème thermique transitoire non-linéaire est gouverné par la loi de diffusion de la chaleur

suivante :

rt

H =∇+∂

∂q. (II.60)


-106-

où H représente l’enthalpie volumique du système. Comme nous l’avons décrit dans le

chapitre précédent, ces propriétés dépendent de la température. On peut donc écrire :

TcTcTT

H

t

Hp

==∂∂=

∂∂ ρ (II.61)

où pc est la chaleur massique du béton et c représente sa capacité calorifique. En remplaçant

l’équation (II.61) dans l’équation (II.60), on obtient :

rTc =∇+ q. (II.62)

L’équation (II.62) est résolue par une méthode de Galerkin. Les conditions aux limites dans

un problème de diffusion de la chaleur sont de quatre types :

9 Une condition au limite de type Dirichlet (température imposée T ) sur la surface T1Ω∂ .

9 Trois conditions aux limites de type Newmann représentant respectivement :

i. Une condition de convection sur T2Ω∂ , tel que le flux de chaleur sur cette zone est

régit par l’équation : ( )ec TThq −= ,

ii. Une condition de rayonnement sur T3Ω∂ , tel que le flux de chaleur d’origine radiative

émis par cette zone est donné par la loi de Stephane-Boltzmann :

( )44 er TTq −−= ξϕ ,

iii. Une condition de flux de chaleur imposé sur T4Ω∂ ( qq = ).

où h et eT représentent respectivement le coefficient d’échange convectif et la température

extérieure correspondant à la surface T2Ω∂ .

ξ et ϕ représentent le facteur d’émission et la constante de Stephan.

La formulation variationnelle faible de l’équation de la chaleur s’exprime sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∫∫∫

∫∫∫∫

ΩΩ∂Ω∂

Ω∂Ω∂ΩΩ

Ω=+−

+−++Ω∇∇+Ω

drTdSTdSTTT

dSTThTdSTdTTdTcT

TTe

T

eT

fTT

cT

TT

TT

..

43

21

44 δδξϕδ

δδλδδ

q

q

(II.63)

où Tδ représente une fonction virtuelle du champ de température et fq , le flux de chaleur

(inconnu) correspondant au champ de température (connu) sur la frontière T1Ω∂ , donné

conformément à la loi de Fourier :


-107-

Tgradcf λ−=q (II.64)

La densité de flux de chaleur d’origine radiative émise par la surface 3Γ , peut être ramenée à

une condition aux limites de type convection en effectuant l’approximation suivante :

( ) ( )( )323344 eeee TTTTTTTT ++−=− ∗∗ (II.65)

Cette approximation n’est évidemment valable qu’au voisinage de ∗T .

La discrétisation du champ de température sur un élément fini de type C0, nous donne :

TT δδ NN == TT δ ; (II.66)

TT BN =∇=∇ T (II.67)

où N est la matrice des fonction de forme. T T δδet représentent respectivement le vecteur

variables nodales du champ de température et le vecteur variable nodales du champ virtuel de

température Tδ .

En remplaçant cette discretisation dans l’équation (II.63), on obtient :

( ) ( ) fK =+ T TCT T (II.68)

où

( )

Ω−−−=

Ω=

++Ω=

∫∫∫∫

∫

∫∫∫

ΩΩ∂Ω∂Ω∂

Ω

Ω∂

∗

Ω∂Ω

drdSqdSqdSTh

dc

dSTdShd

TTT

TT

fe

T

TTTc

412

32

NNNN f

NN

NN NN BB K3

C

ξϕλ

(II.69)

Deux types d’algorithmes sont disponibles dans CAST3M du C.E.A. (Millard 1993) pour la

résolution numérique du système (II.69).

- Un schéma d’intégration classique à un pas de temps non itératif est proposé (Theta-

méthode). Celui-ci s’avère être inconditionnellement stable.

- Un schéma à deux pas de temps est également disponible (Dupont). Celui-ci offre des

propriétés de stabilité et de précision intéressantes pour la résolution de ce type de

problème. De plus, Hogge (1981) a constaté sur différents exemples, une très bonne


-108-

précision des résultats obtenus et très peu d’oscillations. Ces observations sont

valables pour de grands pas de temps et pour des variations rapides des

caractéristiques thermiques du matériau avec la température, telles que celles

engendrée par un changement de phase sur la chaleur massique.

Comme nous l’avons vu dans le chapitre I, la modélisation du comportement thermique du

béton à hautes températures peut nécessiter la prise en compte d’une variation rapide de la

chaleur de ce matériau à certaines températures. Ce type d’algorithme est donc

particulièrement adapté à notre problème.

II-3.3 Résolution numérique du problème mécanique

Considérons maintenant le même volume Ω en équilibre au temps 1+nt , soumis à des forces

de volume df ainsi qu’à des efforts surfaciques dF sur une partie de sa frontière notée M2Ω∂

et à des déplacements imposés du sur la partie complémentaire M1Ω∂ (voir figure II.17).

Ω

dF

df

du

M1Ω∂

M2Ω∂

Ω∂=Ω∂∪Ω∂ MM21

et

∅=Ω∂∩Ω∂ MM21

Figure II.20 : Problème mécanique de référence

La formulation variationnelle faible du principe des déplacements virtuels s’exprime, par

l’intermédiaire du résidu (Bathe & Wilson 1976) :

( ) ( )11int

++ −=Φ next

n tFF u (II.70)

où u est le vecteur des déplacements. intF et ( )1+next tF correspondent respectivement au

vecteur des forces internes et à celui des forces externes, qui s'expriment par:


-109-

Ω= +Ω∫ d n

T1

int σBF (II.71)

Ω+= ∫∫ΩΩ∂

df dSF dT

dText

M

NN2

F (II.72)

où B est la matrice opérateur différentiel liant le tenseur de déformation 1+nε au vecteur

déplacement 1+nu , tel que:

11 ++ = nn u Bε (II.73)

La contrainte au temps 1+nt est donnée par:

( )1111 , , ++++ += nnnnn Tf σσσ u Bσ (II.74)

La fonction σf , est une fonction fortement non-linéaire fonction de l'état du point de charge

dans l'espace contrainte-déformation.

L'équilibre du volume Ω est défini à partir de:

0=Φ (II.75)

La résolution de ce problème est réalisés par une méthode itérative de type Newton-Raphson.

A chaque itération (i), le problème linéarisé suivant est résolu:

( )( )i

i

nd

d Φ−=δ

Φ

+

uu 1

(II.76)

où la dérivée du résidu est donnée par l'expression suivante:

Ω=

Ω=Φ

+

+

Ω

+

+

+

+

Ω+

∫

∫

dd

d

dd

d

d

d

d

d

n

nT

n

n

n

nT

n

BB

uB

u

1

1

1

1

1

1

1

εσ

εεσ

(II.77)

jusqu’à ce que Φ devienne nul à une précision près. Dans la double notation employée,

l’indice 1+n correspond à l’incrément du temps et l’exposant (i ) correspond à l’itération

dans l’incrément.

L'algorithme de résolution de l'équation non-linéaire (II.77), pour 1+nu peut alors être décrit

par le tableau suivant:


-110-

0. ( )nn uu =+

01

1. ( ) ( ) extn

extn

ext tt FFF ∆+=+1

2. ( )inn 11 ++ = u Bε

3. Evaluation de l'état de contrainte 1+nσ4. Ω= +

Ω∫ d n

T1

int σBF

5. ( ) ( ) ( )11int

++ −=Φ next

ni tFF u

6. Test de convergence:

Si ( ) ≤Φ i Tolérance, alors l'équilibre global est satisfait. Sinon

7. Evaluation de:( )

( )ii

nd

d Φ−=δ

Φ

+

uu 1

pour uδ

8. ( ) ( ) uuu δ+= +++

in

in 1

11

9. Pas suivant:1+= ii , aller à (2)

Tableau II.2 : Algorithme de résolution du système non linéaire global

Il est à noter qu'à l'étape (3), un nouveau processus d'itération peut être nécessaire pour

obtenir l'état admissible de contrainte, ce processus est appelé processus d'itérations internes

et fait l’objet de notre travail décrit dans le paragraphe suivant.

II-3.4 Intégration des équations constitutives du modèle

Quelque soit l’algorithme de résolution du système non-linéaire global, l’étape locale

d’intégration de la loi de comportement demeure un point clé du calcul. Dans un code

éléments finis classique basé sur une approche en déplacement, elle permet de calculer en

chaque point de Gauss les efforts internes à partir du champ de déplacement prédit à chaque

itération. Il est à noter que la précision de cette intégration conditionne d’une manière

significative la qualité ainsi que l’efficacité de la résolution globale.

En se plaçant dans le cadre général de la plasticité couplée à l’endommagement, les équations

à résoudre se résument à calculer toutes les variables internes de la loi de comportement au


-111-

temps 1+nt connaissant l’état du matériau au temps nt . On intègre à 1+nε fixe et on cherche

1+nσ :

( )1111111 , , , , , +++++++ = nnntmn

pnnn TDf κκεεεσ (II.78)

Dans ce qui suit, on présentera l’application de l’algorithme du type retour radial (ou return

mapping) à notre modèle (voir la figure II.21). Cet algorithme est basé sur le principe d’une

prédiction élastique de la contrainte puis une correction plastique. Les corrections plastiques

sont apportées en utilisant les propriétés de la surface seuil, dont principalement la loi de

normalité (Ortiz & Simo 1986).

001 >+nF

nσσ01

1 =++i

nF

11

++

inσσ

01+nσσ

nσσ

01+nσσ

11

++

inσσ

>

>

+

+

0

00

1 ,2

01 ,1

n

n

F

F

=

=+

+

++

0

01

1 ,2

11 ,1

in

in

F

F

(a) (b)

Figure II.21 : Algorithme de retour radial : (a) cas d’une seule surface de charge,

(b) cas d’une surface multicritère

Commençons tout d’abord par faire un récapitulatif des choix effectués en matière de critère

de charge, de potentiel plastique et de la loi d’écrouissage.

Comme on a vu précédemment, le critère de charge dans notre cas est une surface multicritère

formée de deux surfaces, un critère de Rankine noté 1F pour représenter la zone de traction et

un critère de Drucker-Prager noté 2F , pour la zone de compression.

Dans le cas où il s'agit d'un problème de contrainte plane, la condition 0=zσ est obtenue sur

les conditions d'équilibre en imposant la condition de contrainte plane dans l'algorithme


-112-

présenté par de Borst (1991). Les composantes des tenseurs de contraintes et de déformation

sous forme vectorielle sont respectivement:

xyzyxT σσσσ ,,,=σ (II.79)

xyzyxT εεεε ,,,=ε (II.80)

Les deux critères précédemment définis peuvent s’écrie sous forme vectorielle de la façon

suivante :

( ) ( )( )[ ] ( )

−+==

−+==

TFF

TFFT

fT

c

TTt

,~~ ~~21

,~~21~~21

222

21

22

111

21

11

κτβα

κτ

σπσσ

σπσσ

P

P(II.81)

où 1P et 2P représentent les matrices de projections données par:

−

−

=

2000

0000

002121

002121

1

P (II.82)

et

−−−−−−

=

6000

0211

0121

0112

2

P (II.83)

T1π et T

2π représentent quand à eux les vecteurs de projections données par :

0 ,0 ,1 ,11 =Tπ (II.84)

0,1,1,12 T =π (II.85)

1~τ et 2

~τ représentent respectivement la contrainte effective équivalente en traction simple,

fonction du paramètre d'écrouissage 1κ et de la température T et la contrainte équivalente en

compression simple fonction du paramètre d'écrouissage 2κ et de la température T .


-113-

Les deux paramètres du critère ( )βα ,f sont alors, déterminés à partir des caractéristiques

mécaniques du matériau: résistance en compression simple cf , résistance en traction simple

tf et la résistance en compression biaxiale bf .

c

cf β

βα

21

1

−−

= (II.86)

12 −=

c

c

ββ

β (II.87)

( )cbc ff=β (II.88)

En ce qui concerne la loi d'évolution de la déformation plastique, celle-ci est donnée par la

connaissance des fonctions potentielle plastique (21 ,GG ) et est donnée conformément à la

proposition de Koiter (1953) par :

∑= ∂

∂=

2

1~

i

ii

p G

σε λ (II.89)

où iλ est le multiplicateur plastique. Ainsi les conditions de Kuhn-Tucker doivent être

satisfaits.

0 et 0 ,0 =≤≥ iiii FF λλ (II.90)

Les fonctions potentielles plastiques, quant à elles, s’écrivent sous la forme suivante:

( )[ ] ( )

−+==

==

TGG

FGGT

gT

c

t

,~~ ~~21 222

21

22

11

κτβα σπσσ P(II.91)

où gα représente un paramètre matériau choisi de manière à bien représenter la dilatance du

matériau.

De plus, le paramètre d’écrouissage κ est égal à l’intégration dans le temps durant le

chargement de la déformation plastique cumulée κ donnée par :

( ) pTp ε:ε

3

2=κ (II.92)


-114-

∫= dt κκ (II.93)

Dans le cas où deux critères sont actifs, la loi d’écrouissage peut être exprimée sous la forme

générale :

λλ

Lq =

=2

1

κκ

(II.94)

avec

=

2221

1211

LL

LLL et

=2

1

λλ

λλ (II.95)

En faisant l’hypothèse de découplage ( 02112 == LL ) des écrouissages en traction et en

compression, la loi d'écrouissage précédemment définie s'écrit :

=

2

1

22

11

2

1

0

0

λλ

κκ

L

L(II.96)

avec

( )

+=

=

21

121

22

11

gL

L

α(II.97)

obtenus pour les deux potentiels plastique iG adoptés par le biais du terme σ~∂

∂ iG.

Il est important de noter que l’utilisation de l’hypothèse de la déformation plastique cumulée

trouve sa justification dans la simplicité de la relation paramètre d’écrouissage-multiplicateur

plastique. Dans notre cas (écoulement non-associée en compression), l’utilisation de

l'hypothèse du travail plastique nous aurait conduit à une expression plus complexe de la

relation paramètre d’écrouissage-multiplicateur-plastique ( )

( ) ,~ 1 1

2222

−+= I

TL fg

κταα

.

II-3.4.1 Algorithme de retour radial

Nous présentons dans cette partie les développements numériques correspondant à

l’application de l’algorithme de type retour radial à notre modèle. Nous posons les équations


-115-

de remise à jour de l’état de contrainte dans les différents cas selon le nombre de critères

actifs puis nous décrivons pour chacun la méthode de résolution employée.

Connaissant l’état du matériau ( nnn q , , σε ) au temps nt , on peut écrire la contrainte, la

déformation et la variable l’écrouissage au temps 1+nt sous la forme :

∑=

++

+

+

∆+=

∆+=∆+=

2

11,1

1

1

jijninn

nn

nn

L qq λ

εεεσσσ

(II.98)

L’équation (II.10), liant le tenseur de contrainte réelle au tenseur de contrainte effective,

s’exprime sous la forme :

( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ (II.99)

( )( )111 111 +++ −Λ−=− nnn Dd (II.100)

où 111 , , +++ Λ nnn Dd représentent respectivement la variable d’endommagement total (thermo-

mécanique), celle d’endommagement thermique et celle d’endommagement mécanique.

En utilisant l’équation (II.11), le tenseur de contrainte effective s’exprime sous la forme :

( ) ( )( ) tm

npn

trn

tmnnn

pnnn T

1101

101101101

~

~

+++

++++++

∆+∆−=

−∆−−=

εεσ

εεεσ

:

::

E

EmE(II.101)

avec

( ) Im 101011 3 ; ++++ =−=∆ nnnnn KTTT α (II.102)

où α , ,0 IK représentent le module de compressibilité initial, la matrice unitaire et le

coefficient d'expansion thermique.

trn 1

~+σ représente le prédicteur élastique du tenseur contrainte effective donné par:

( ) ( ) 110101 ~++++ ∆−−−= nn

tmn

pnn

trn TmE εεεσ : (II.103)

L'incrément de déformation d'interaction thermo-mécanique peut s’écrire dans l’espace des

contraintes effectives d’une manière analogue qu’en (II.5) :

1111~ ++++ ∆=∆ nnn

tmn T σε :Q (II.104)


-116-

où 1+nQ est un tenseur du couplage thermo-mécanique donnée par l’équation (II.5).

Il est à noter que l’on considère que le fluage thermique transitoire n’a lieu que dans la partie

saine du matériau, donc piloté par la contrainte effective.

En remplaçant l’équation (II.104) dans l’équation (II.101), on obtient :

pnn

tmn

pn

trnn

111

1011

~

~~

+++

++++

∆−=

∆−=

εσ

εσσ

:

:

D

EH -11n (II.105)

avec

( )

=

∆+=

++

+++

0

101

EHD

EIH1-

1n1n

1n

:

Q: nnT(II.106)

et

( )

∆−

∆−−=

=

++=

++

+++

∑ 1100

1

11

~

~

nn

n

innn

pnn

trn

tmn

TT mHD

H

1-1n

-11n

::Q:

:

σεε

σσ(II.107)

Les équations (II.99) à (II.107) peuvent être interprétées comme une nouvelle façon d’utiliser

la méthode prédicteur-correcteur intégrant un terme de fluage :

9 tmn 1

~+σ représente le prédicteur thermo-élastique de la contrainte effective corrigé par effet

du fluage transitoire.

9 ( )pnn 11 ++ ∆εε:D représente le correcteur plastique corrigé par effet du fluage transitoire.

9 11~

++ nnd σ représente le correcteur d'endommagement.

Il est intéressant de signaler que l’utilisation du concept de la contrainte effective nous permet

de découpler la réponse thermo-elasto-plastique de celle de la réponse endommagée (figure

II.22). Cette méthode confère une souplesse dans l’implémentation numérique du modèle , car

les développements sont faits comme en plasticité classique avec des caractéristiques initiales

(non endommagés), sauf que cette fois-ci c’est dans l’espace des contraintes effectives.

tmn 1

~+σ est un terme en contrainte faisant intervenir des quantités au pas précédent plus la

variation de la température au pas 1+n . Ces quantités sont toutes connues à ce stade du


-117-

calcul. La seule inconnue reste donc l’incrément de déformation plastique pn 1+∆εε . Une fois la

déformation plastique est estimée, on passe à la détermination de la contrainte réelle.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,002 0,004 0,006 0,008

Déformations

Co

ntr

ain

te/R

ési

sta

nce

Réelle

Effective

Figure II.22 : Réponse du modèle en compression en contraintes

réelles et effectives

Le calcul de la contrainte se fait alors en deux temps : tout d’abord nous pouvons nous

occuper de la plasticité puis, dans un second temps, de l’endommagement (figure II.23).

( )TfD i ,κ=

iT

Bloc 1:THERMIQUE

Bloc 2:MECANIQUE

ijε ijσ

iij κσ ,~

( ) ( ) fK =+ T TCT T

( )( )i

i

nd

d Φ−=δ

Φ

+

uu 1

( ) 0,,~ ≤TF itr

i κσ

Module 1: Plasticité Module 2: Endommagement

0

1

2

3

Figure II.23 : Schéma représentatif de l’organigramme

de calcul du tenseur des contraintes


-118-

En utilisant les expressions des potentiels plastiques définies précédemment (l’équation II.91),

l'incrément de déformation plastique, dans le cas de deux critères actifs, s’exprime par :

( )( ) 21

1211 ,2

21

1111 ,1

21 ,2

121,21

1 ,1

111,11

~~21

~~21

2

~21

2

~

+++

+++

+

++

+

+++

=Ψ

=Ψ

+

Ψ∆+

+

Ψ∆=∆

nTnn

nTnn

gn

nn

n

nn

pn

σσ

σσ

πσ

πσ

ε

P

P

PP αλλ

(II.108)

En remplaçant l’expression de l’incrément de déformation plastique (équation II.108) dans

l’équation (II.105), on obtient une nouvelle expression de l’équation de remise à jour :

+

Ψ∆+

+

Ψ∆−=

+

++

+

+++++ 2

1 ,2

121,21

1 ,1

111,1111 2

~21

2

~~~ π

σπ

σσσ g

n

nn

n

nnn

tmnn αλλ PP

D : (II.109)

Cette dernière expression peut se mettre sous la forme :

Ψ

∆+

Ψ∆

+=

∆−∆−=

++

++

+

++

+++++++

211 ,2

1,211

1 ,1

1,11

211,2111,111

22

21~~

P DP DIA

D DA 1-1n

nn

nn

n

nn

nngnntmnn

λλ

λαλ ππσσ

(II.110)

On remarque que les expressions (II.110), présentent un inconvénient lié au fait que le schéma

d’intégration des équations constitutives est alors implicite. En effet, par la forme de cette

expression, le vecteur de contrainte effective actualisé donné en (II.109) n’est pas lié de façon

linéaire à l’état de contrainte de test. D’une manière analogue à celle proposée par Feenstra

(1993), nous proposons d’utiliser la technique suivante pour s'affranchir de cette difficulté. La

condition de consistance doit être satisfaite à la fin du pas du temps 1+n , 021 == FF . Par

conséquent les expressions de 1 ,1 +Ψ n et 1 ,2 +Ψ n , peuvent s'écrire sous la forme :

( )( )

−=Ψ

−=Ψ

++++

++++

1211,221 ,2

1111,111 ,1

~ ,~

~21,~

nT

fnnn

nT

nnn

T

T

σπ

σπ

ακτβ

κτ(II.111)

En multipliant l’équation (II.110) par AT2π , on obtient la relation suivante :

2121,21121,112112 21~~ ππππσπσπ D DA +++++++ ∆−∆−= nT

ngnT

ntmn

Tnn

T λαλ (II.112)

or


-119-

( )( )

=

=

+=

+=

+

+

+++

+++

T

T

0

0

2

1

PD

PD

D

D

12

12

12,1

11,1212

12,1

11,1112

23

22

nT

nT

nnn

T

nnn

T

DD

DD

π

π

ππ

ππ

(II.113)

donc,

21212112111212112 21~~ ππππσπσπσπ ++++++++ ∆−∆−== nT

,ngnT

,ntrn

Tn

Tnn

T DDA λαλ (II.114)

On peut donc finalement exprimer 1,2 +Ψ n sous la forme :

( ) ( )

∆

+∆+−

−=Ψ ++

++++++ 1211

12,1

11,11211,221 ,2 323~ ,~

,ng

,nnntm

nTf

nnn DDT λβ

αλ

βα

κτ σπ (II.115)

La méthode décrite ci-dessus n’est pas directement applicable dans le cas de 1Ψ car la

simplification alors obtenue n'est plus possible. Cependant en multipliant l'équation (II.110)

par AT1π , on obtient :

2112111111111 21~~ ππππσπσπ D DA T,ng

T,n

tmn

Tnn

T+++++ ∆−∆−= λαλ (II.116)

Les propriétés vérifiées sont désormais les suivantes :

( )( )

( )

−=

=

+=

+=

++

++

++

0 ,2 ,1 ,1

22

2

12,1

11,11

01

12,1

11,121

12,1

11,111

nnT

T

nnT

nnT

DD

DD

DD

2

1

P D

PE

D

D

π

π

ππ

ππ

T0(II.117)

Enfin, la relation (II.110) peut se mettre sous la forme :

( ) ( )

( ) ( ) 1z

1 ,2

12,1

11,11,21

2,11

1,112

12,1

11,1111111

1 ,2

12,1

11,11,2

~ 2 2

~~2

+

+

+++++

+

+++++

+

+++

Ψ

−∆++∆

−

+∆−=

Ψ

−∆+

n

n

nnnnn

,ng

nn,n

tmn

Tn

T

n

nnn

DDDD

DDDD

σβ

λλ

βα

λβ

λσπσπ1

(II.118)

Afin d’exprimer le tenseur des contraintes 1~

+nσ seulement en fonction des multiplicateurs

plastiques ( 11 +∆ ,nλ , 12 +∆ ,nλ ) comme inconnues, il est nécessaire de connaître l’expression de

1~ +nzσ rentrant dans la définition de l’équation (II.118). Cette dernière est obtenue à l'aide de

l'équation (II.105) :


-120-

( )

( )12,1

11,11,2

11 ,2

12,1

11,11,21

2,1111,1

2

~0 ,2 ,1- ,1-2

~

+++

++

++++

+++

+∆

−

Ψ−∆

−∆−=

nnn

g

nn

nnnn

,ntr

nznz

DD

DDD 1

λβ

α

βλ

λσ σ(II.119)

cette dernière équation (II.119), peut se mettre sous la forme :

( )( )

( )

+∆

−

Ψ−∆

+

∆−

−∆+Ψ

Ψ=

+++

+

+++

+++

++++

++

12,1

11,112

112

12,1

11,11,2

12,1111,

12,1

11,1121 ,2

1 ,21

2

~2

~

~

nn,n

g

nT

nnn

n,n

trnz

nn,nn

nnz

DD

DD

D

DD

λβ

αβ

λ

λσ

λββ

σ σπ (II.120)

En substituant l'expression de 1~ +nzσ dans l’équation (II.118), on obtient l'expression finale de

11~

+nT σπ .

( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )

+∆

−

∆−

−∆+Ψ

−∆+

+∆

−

+∆−

−∆+Ψ

−∆+Ψ=

+++

+++

++++

+++

+++

++++

++++

++++

+

12,1

11,11n2,

12,11n1,1 ,

12,1

11,11,21 ,2

12,1

11,11,2

12,1

11,11n2,

12,1

11,11n1,11

12,1

11,11,21 ,2

12,1

11,11,21 ,2

11

2

~

3 2

2

2 2

~

3 2

2~

nng

ntrnz

nnnn

nnn

nng

nntmn

T

nnnn

nnnn

nT

DD

D

DD

DD

DD

DD

DD

DD

λβ

α

λσ

λβλ

λβ

α

λ

λλ

σπσπ

(II.121)

Enfin, en substituant l’expression de 11~

+nT σπ dans la l’équation (II.114), on obtient

l’expression de 1 ,1 +Ψ n .

Dans le cas où les deux surfaces de charge sont actives, deux possibilités peuvent conduire à

des indéterminations mathématiques dans le calcul de l’expression de 1+nA (équation II.110) :

- Lorsque 1Ψ devient égal à zéro, on suppose que l’apex du double critère est

complètement géré par la fonction de charge de Rankine. On utilise alors la méthode

décrite au paragraphe précédent qui correspond au critère de Rankine seul actif.


-121-

- Lorsque le critère de Drucker-Prager est réduit à un point, on a ( 02 =Ψ ) ou ( 01 =Ψ

et 02 =Ψ ). On peut montrer que 1−A reste définie dans ces deux cas si une

décomposition spectrale est utilisée.

La matrice thermo-élastique transitoireD , la matrice de projection 1P et la matrice de

projection 2P possèdent le même sous espace de vecteurs propres. On peut donc exprimer la

matrice A dans sa base propre où elle est diagonale. Nous la notons alors AΛ :

22

1,21

1

1,1

22 PDn

PDn

IA Ψ

∆+

Ψ∆

+= ++ λλ(II.122)

Avec,

122

111

1

−

−

−

=

=

=

QQP

QQP

QQD

P

P

D

(II.123)

Et les matrices suivantes :

[ ]

3,33

2,11,12

2,11,11

3211

2

, , ,

D

DD

DD

diagD

=Ω+=Ω−=Ω

ΩΩΩΩ=

(II.124)

[ ]2,0,1,01 diagP = (II.125)

[ ]6,0,3,32 diagP = (II.126)

Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ et 2Ψ

tendent vers 0. On détermine la matrice 1−A à l’aide de la relation:

11 −−= QQA-1A (II.127)

avec,

−

−

=

1000

031062

0312161

0312161

Q (II.128)


-122-

et,

=

−

−

−

−

−

144

133

122

111

1

000

000

000

000

A

A

A

A

A

Λ (II.129)

On obtient finalement l’expression de 1−A quand Ψ1 et Ψ2 tendent vers 0:

=−

0000

0313131

0313131

0313131

1A (II.130)

Dans le cas où une seule surface est activée on obtient :

- critère de traction seul actif

la relation de mise à jour de la contrainte effective s'écrit :

+

Ψ∆−= +

+++ 11

111n1,11 21

2

~ ~~ πσσσ ntm

nn

PD λ: (II.131)

( ) ( ) 2,11,11n1,1111,111 ~ 2

1,~ DDT tm

nT

nn +∆−

−=Ψ ++++ λκτ σπ (II.132)

Dans le cas ou 01 =Ψ . On peut montrer que 1−A reste défini dans ce cas si une

décomposition spectrale est utilisée comme précédemment.

11

1,1

2 PDn

IA Ψ

∆+= +λ

(II.133)

Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ tend

vers 0. La matrice 1−A est déterminée à l’aide de la relation (II.127), quand Ψ1 tend vers 0 :

=−

0000

0100

002121

002121

1A (II.134)


-123-

- critère de compression seul actif

la relation de mise à jour de la contrainte effective s'écrit :

+

Ψ∆−=

+

+++++ 2

1 ,2

121n2,111 2

~ ~~ π

σσσ g

n

nn

tmnn αλ P

D : (II.135)

( ) ( )

+∆

−

−=Ψ ++

+++++1

2,11

1,11n2,1211,221 ,2 2 3~,~ nngtmn

Tfnnn DDT λ

βα

βα

κτ σπ (II.136)

Dans le cas ou 02 =Ψ . On peut montrer que 1−A reste défini dans ces deux cas si une

décomposition spectrale est utilisée comme précédemment.

22

1,2

2 PDn

IA Ψ

∆+= +λ

(II.137)

Connaissant AΛ ,on peut facilement exprimer son inverse 1−A puis sa limite lorsque 1Ψ tend

vers 0. La matrice 1−A est déterminée à l’aide de la relation (II.127), quand Ψ1 tend vers 0:

=

−

−

−

−

−

144

133

122

111

1

000

000

000

000

A

A

A

A

A

Λ (II.138)

On obtient finalement l’expression de 1−A quand Ψ1 tend vers 0:

=−

0000

0313131

0313131

0313131

1A (II.139)

II-3.4.2 Schéma itératifs de résolution utilisés

Dans le paragraphe précédent nous avons développé les équations de remise à jour de l’état de

contrainte dans le cas des critères de Rankine et de Drucker-Prager. Le problème réside

maintenant dans l’évaluation de l’incrément de multiplicateur plastique vérifiant la condition

de consistance. Nous avons vu au paragraphe précédente que dans le cas général où deux

critères sont actifs, le système à résoudre est le suivant:


-124-

=∆∆=∆∆

+++

+++

0),,(

0),,(

11,21,12

11,21,11

nnn

nnn

TF

TF

λλλλ

(II.140)

La mise à jour de l’écoulement est effectuée par une méthode de Newton-Raphson. La

relation vectorielle correspondant à l’application de cette méthode pour le calcul de

l’incrément de multiplicateur plastique s’écrit :

( ) ( )

( )

( )i

nnn

nnn-i

i

n

n

i

n

n

TF

TF

∆∆∆∆

−

∆∆

=

∆∆

+++

+++

+

++

+

+

),,(

),,(.

11,21,12

11,21,111

1,2

1,1

1

1,2

1,1

λλλλ

λλ

λλ

J (II.141)

où l’indice ( )i correspond à l’itération interne effectuée dans l’incrément 1+n .

L’actualisation du Jacobien à chaque itération est réalisée par une méthode de Broyden (Roux

1987). Cette méthode correspond à celle de la sécante en dimension supérieure. Nous avons

ainsi la relation:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11111

111111 ,

,

−−

−−−

−−−−− −+= ii

iii

iTiiii

i-i ssyJs

JsyJsJJ (II.142)

où ( )ba, représente le produit scalaire baT

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( )1

11111

1111

, , +−+++−

−++−

∆−∆=

∆−∆=

ni

nni

ni

in

ini

TFTF λλ

λλ

y

s(II.143)

avec:

( )i

n

nin

∆∆

=∆+

++

1,2

1,1

1 λλ

λ (II.144)

et,

( )( ) ( )( )

( )i

nnn

nnnin TF

TFF

∆∆∆∆

=∆+++

++++

11,21,12

11,21,111 , ,

, ,

λλλλ

λ (II.145)

Ce processus itératif nécessite la connaissance des valeurs initiales d’indice (0) du Jacobien.

Une estimation de celui-ci est possible par linéarisation des critères au voisinage du prédicteur

élastique. On exprime le Jacobien du système à l’itération (i) sous la forme:


-125-

( )

( )i

i

FF

FF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

2

2

1

2

2

1

1

1

λλ

λλJ (II.146)

La décomposition du critère de traction en série de Taylor au premier ordre au voisinage du

prédicteur élastique corrigé par le fluage transitoire tmn 1

~+σ , conduit à la relation:

( ) ( ) ( )nn

t

nn

t

tmnn

t

tn

FFFFF ,21,2

2

1,11,1

1

111

111,1

~~~ κκ

κκκ

κ−

∂∂

+−∂∂

+−∂∂

+≈ +++++ σσσ

(II.147)

D’après la loi d’écrouissage (II.98) et l’équation de remise à jour du vecteur des contraintes

(II.101), nous pouvons exprimer ce critère linéarisé sous la forme :

1,22

11,1

1

111

1111 ~ +++++ ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

−≈ n

t

n

t

pnn

t

t,n

FFFFF λ

κλ

κε

σ:D (II.148)

En utilisant la loi d’écoulement défini par l’équation (II.89), l’équation (II.148) peut se mettre

sous la forme :

1,22

11,1

1

1

211,2

111,1

111,1

~~~

++

+++++

∆∂∂

+∆∂∂

+

∂∂

∆+∂∂

∆∂∂

−≈

n

t

n

t

t

nn

t

nn

t

tn

FF

GGFFF

λκ

λκ

λλσσσ

:: DD

(II.149)

que l’on peut réorganiser :

~~~~ 1,22

1211,1

1

11111,1 +++++ ∆

∂∂

+∂

∂∂∂

−+∆

∂∂

+∂∂

∂∂

−+≈ n

ttt

n

ttt

tn

FGFFGFFF λ

κλ

κ σσσσ 1n1n DD(II.150)

Pour le critère de compression, on obtient de la même façon :

~~~~ 1,22

2221,1

1

21221,2 +++++ ∆

∂∂

+∂

∂∂∂

−+∆

∂∂

+∂∂

∂∂

−+≈ n

ttt

n

ttt

tn

FGFFGFFF λ

κλ

κ σσσσ 1n1n DD(II.151)

Les équations (II.150, II.151) peuvent se mettre sous la forme :


-126-

−

−=

∆∆

×

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂−

+

+

+

+

++

++

tn

tn

n

n

tt

n

ttt

n

t

tt

n

ttt

n

t

FF

FF

FGFFGF

FGFFGF

21,2

11,1

1,2

1,1

2

221

2

1

211

2

2

121

1

1

111

1

~~~~

~~~~

λλ

κκ

κκ

σσσσ

σσσσ

DD

DD

(II.152)

L'équation (II.152) s’écrit alors sous une forme plus condencée de la manière suivante :

−

−=

∆∆

×

+−−

−+−

+

+

+

+

++

++t

n

tn

n

n

nT

nT

nT

nT

FF

FF

h

h

21,2

11,1

1,2

1,1

2212112

2111111

λλ

mD nm D n

m D nm D n(II.153)

Finalement, on obtient l’estimation du Jacobien au prédicteur élastique:

( )

+−−

−+−=

++

++

2212112

21111110

h

h

nT

nT

nT

nT

mD nm D n

m D nm D nJ (II.154)

Dans le cas particulier où un seul critère est actif, le problème à résoudre se ramène à:

( ) 0, 11 =∆ ++ nn TF λ (II.155)

La relation correspondant à l’application de la méthode de Newton s’écrit dans ce cas:

( ) ( )( )

( ) ),(.J 111

111 ++

−+

++ ∆−∆=∆ n

ini

in

in TF λλλ (II.156)

Le Jacobien du système non linéaire (un scalaire dans ce cas) est actualisé suivant la relation:

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )in

in

ni

nni

ni TFTF

111

11111 ,,

J+

−+

+++−+

∆−∆∆−∆

=λλ

λλ(II.157)

Cette méthode de résolution correspond exactement à la méthode dite de la sécante dont la

figure (II.24) fournit une représentation géométrique. La décomposition du critère au

voisinage du prédicteur élastique en série de Taylor au premier ordre s’exprime donc dans ce

cas:

( ) ( )nn

ttmnn

tt

n

FFFF κκ

κ−

∂∂+−

∂∂+≈ ++++ 1111

~~~ σσσ

(II.158)

expression équivalente à :

111,1 ~~ +++ ∆

∂∂+

∂∂

∂∂−≈− n

tttt

n

FGFFF λ

κσσ 1nD (II.159)

d'où une estimation du Jacobien initial :


-127-

( )( ) ( )

h

FGFFF

T

ttt

+−=

∂∂+

∂∂

∂∂−=

∆∆≅

∂∂=

+

+

m D n

D

1n

1n

~~J00

0

κλλ σσ (II.160)

)0(λ∆ )1(λ∆ )2(λ∆ )( iλ∆

F

λ∆

Figure II.24 : Représentation schématique du

processus itératif de résolution de l’équation (II.155)

par la méthode sécante

II-3.4.3 Construction de l’opérateur tangent pour le modèle proposé

Dans le cadre de la méthode de Newton-Raphson utilisée pour la résolution des équations

d’équilibre, la linéarisation de celles-ci se traduit par l’utilisation d’une matrice de raideur

tangente. La construction de celle-ci joue un rôle important dans la stabilité, la rapidité et la

précision. Simo & Taylor (1986) ont mis en évidence que, pour conserver ces propriétés, la

matrice de raideur tangente doit être construite à partir d’un opérateur liant l’incrément de

contrainte à l’incrément de déformation linéarisé de façon précise à la fin du processus de

retour sur les surfaces de charge. Cet opérateur appelé opérateur tangent consistant doit être

construit à la fin de l’itération ( )1+i dans l’incrément concerné. A la fin de l’itération ( )1+i ,

le vecteur de contrainte actualisé, dans le cas général où les deux critères sont actifs, peut être

exprimé sous la forme:

( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ (II.161)

La dérivée totale du vecteur de contraintes (équation II.158) s’écrit sous la forme :

( ) ( )

( ) ( )1

1

111

11111

~~

~ 1

~~ 1

++

+++

+++++

−−=

−−=

nn

nnn

nnnnn

dd

ddd

ddddd

σσ

σ

σσσ(II.162)

Calculons tout d’abord 1~

+ndσ , on sait que la contrainte effective peut s’exprimer comme suit:

pn

tmnn

pnnnn 11111

~+++++ ∆−−−−= εεεεεεσ θ:D (II.163)


-128-

soit :

∂∂

∆−−−−= ∑= +

+++++

2

1 11,1111 ~

~i n

ini

tmnn

pnnnn

G

σεεεεσ λθ:D (II.164)

La dérivée totale du vecteur de contraintes effective peut donc être obtenue. Elle s’exprime

sous la forme:

∂∂

∂∆+

∂∂

−= ∑=

+++

++

+++

2

11

11

2

1,1

111~

~~~~

in

nn

ini

n

iinnn d

GGddd σ

σσσεσ λλ:D (II.165)

En utilisant la formulation générale proposée par Riggs & Powel (1990), on exprime cette

relation sous la forme:

λεσ ddd nnn U: −= +++ 111~ (II.166)

où

∂∂

=2~

1~

G

G

σ

σU (II.167)

et

=2

1

λλ

d

ddλ (II.168)

et la matrice Π est donnée par:

[ ] 111

1

11

22

1,211

12

1,111 ~~~~

−++

−

+++

+++++

=

∂∂

∂∆+∂∂

∂∆+=

nn

nnn

nnnnn

GG

DC

Cσσσσ

Π λλ(II.169)

La condition de consistance appliquée aux deux surfaces fournit les relations:

=∂+∂

=∂+∂

+

+

0 ~

0 ~

2212~

1111~

2

1

κ

κ

κσ

κσ

dFdF

dFdF

nT

nT

σ

σ(II.170)

compte tenu de la loi d’écrouissage (II.98) adoptée, on peut exprimer les relations (II.170),

sous la forme :

σλ ~1 dd TVE−= (II.171)


-129-

avec :

∂−

∂−=

2

1

2

1

0

0

F

F

κ

κE (II.172)

et

∂∂

=T

T

F

F

2~

1~

σ

σV (II.173)

En substituant la relation (II.171) dans l’équation (II.166) on obtient:

[ ] ( ) ( )11

11

111

~ ++

++

−−+ =+ i

ni

nT

n dd εσΠ VUE (II.174)

L’application de la formule de Shermann-Morrison-Woodbury nous permet finalement

d’aboutir à l’expression:

( ) ( )[ ] ( )111

1

11111 ~ +

++−

+++++ +−= i

nnT

nT

nni

n dd εΠΠΠΠσ VUV EU (II.175)

D’où la formulation de l’opérateur tangent cohérent:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1

1

1111

111

11, ~

~ 1 +−

++++

+++

++ +−

−−= nT

nT

nnn

nnn

int d

ddd ΠΠΠΠ

σσ VUV EUE (II.176)

Dans le cas où un seul critère est actif, à la fin de l’itération ( )1+i , le vecteur de contrainte

actualisé peut être exprimé sous la forme:

pn

tmnn

pnnn 111

~+++ ∆−−−−= εεεεεεσ θ:D (II.177)

En suivant le même raisonnement que précédemment et en posant cette fois ci,

1

11

2

111 ~~

−

+++++

∂∂

∂∆+=nn

nnn

G

σσΠ λC (II.178)

on obtient l’expression de l’opérateur tangent cohérent dans le cas où un seul critère est actif:

( ) ( ) ( )

11

11

111

1

111

11, ~

~ 1

++

++

+++

+

+++

++

∂∂=

−

−

−−=

nn

nnT

nT

nn

n

nnn

int

Fh

hd

ddd

κ

mn

n mE

ΠΠΠ

Πσ

σ(II.179)

où :


-130-

( )

( )

∂∂

+

∂∂

=

∂∂

+

∂∂

=

+

+

+

+

+

+

+

+

++

++

+

++

1

1

1

1

1

1

1

1

11

11

1

11

~~~

~~

n

n

n

n

T

n

n

n

n

nn

nn

T

n

nn

d

d

dd

d

dd

dd

dd

dd

σσσ

σσ

κκκκ

κκκκ

(II.180)

le paramètre d’endommagement ne dépend pas d’une manière directe de la contrainte, on a

alors:

( )

∂∂

=⇒=∂∂

+

+

+

+

+

+

+

+

1

1

1

1

1

1

1

1~~0~

n

n

T

n

n

n

n

n

n

d

dd

d

ddd

σσσκκ

κκ(II.181)

d’après la condition de consistance on peut écrire:

=∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂∂

⇔

=

=

++

++

++

++

0~~

0~~

0

0

1,21,2

21

1

2

1,11,1

11

1

1

2

1

nn

n

T

n

nn

n

T

n

dF

dF

dF

dF

F

F

κκ

κκ

σσ

σσ

(II.182)

ce qui donne,

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

−=

=

++

++

+

+

+

+

+

+

1,2

2

1

2

1,1

1

1

1

1,2

1

1

1,1

1

1

~

~

~

~

~

n

T

n

n

T

n

n

n

n

n

n

n

FF

FF

d

d

d

d

d

d

κ

κ

κ

κ

σ

σ

σσ

σκκ

(II.183)

Il est à noter que dans le cas d’utilisation d’un écoulement non-associé (gf αα ≠ ) l’opérateur

tangent n’est pas symétrique.

II-3.4.4 Tableaux récapitulatifsLes tableaux II.3, II.4, II.5 et II.6 résument les différents étapes de l’algorithme d’intégration

des équations constitutives proposées. Le tableau II.3 présente le calcul du prédicteur

élastique et la première estimation du nombre de critères actifs. Les tableaux II.4 et II.5

proposent ensuite le principe de l’algorithme utilisé respectivement dans le cas ou un critère

est actif et le cas où les deux critères sont actifs. Le tableau II.6 présente la dernière étape de

l'algorithme, qui consiste en la mise à jour de la contrainte et le calcul de l’opérateur tangent.


-131-

1. Initialisation :

11 ; ++ Λ nnε( ) ( ) ( ) ( )

nnpn

pnnnnn D D ==== ++++

01

01,2

01,2,1

01,1 ; ; ; εεκκκκ

2. Prédicteur thermo-élastique transitoire effectif :

( ) ( ) 11n0101

1 ~+++

−+ ∆−−−= n

trn

pnn

tmn TmEH εεεσ ::

3. Estimation du nombre de critères actifs:

( ) ( )( ) ( )

≤

≤

+++

+++

II ? 0,,~I ? 0,,~

11,212

11,111

nntmn

nntmn

TF

TFIf

κ

κ

σ

σ

9 Si oui ( )I et oui ( )II :

Va à l'étape (13) [Tableau II.6]

9 Si non ( )I et oui ( )II , ou oui ( )I et non ( )II :

Va à l'étape (4) [Tableau II.4]

9 Si non ( )I et non ( )II :

Va à l’étape (8) [Tableau II.5]

Tableau II.3 : Première étape - Estimation du nombre de critères actifs

4. Initialisation du processus, 0=i :

( )

∂∂+

∂∂

∂∂−=

tttFGF

Jκσσ ~~ 0

0 D

( )( ) ),,~(.J 111

11 +++

−+ −=∆ nn

tmni

in TF κλ σ

5. Mise à jour de la contrainte effective et du paramètre d'écrouissage :( ) ( ) ( )( ) i

ni

ni

n 111~~

+++ ∆= σσσ( ) ( ) ( )i

ni

ni

n 1111 +

−++ ∆+=

6. Vérification du convergence :

( ) ? ,,~ 111 TolTFIf nntmn ≤+++ κσ

9 Si oui Va à l’étape (13)9 Sinon Va à l'étape (7)

7. Nouvelle estimation du jacobien et du multiplicateur plastique :

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )in

in

ni

nni

ni TFTF

111

11111 ,,

J+

−+

+++−+

∆−∆∆−∆

=λλ

λλ

( ) ( )( )

( ) ),(.J 111

111 ++

−+

++ ∆−∆=∆ n

ini

in

in TF λλλ

Va à l'étape (7)

Tableau II.4 : Principe de résolution numérique

Cas d’un seul critère actif


-132-

8. Initialisation du processus, 0=i :

( )

+−−

−+−=

++

++

22212

211110

h

hTT

TT

mD nm D n

m D nm D n

1n1n

1n1nJ

( )

( )

−−=

∆∆

+++

+++−

+

+

),,~(

),,~(.J

11,212

11,11110

1,2

1,1

nntmn

nntmn

i

n

n

TF

TF

κ

κλλ

σ

σ

9. Si ( 01,1 ≤∆ +nλ et 01,2 >∆ +nλ ) ou ( 01,1 >∆ +nλ et 01,2 ≤∆ +nλ ) Va à l'étape (4)

Si 01,1 ≤∆ +nλ et 01,2 ≤∆ +nλ Va à l'étape (13)

10. Mise à jour de la contrainte effective et du paramètre d'écrouissage :( ) ( ) ( ) ( )( )i

nin

in

in , 1,21,111

~~++++ ∆∆= σσσ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )in

in

in

in

in

in

11

1,21,2

111,11,1

+−

++

+−++

∆+=

∆+=

κκ

κκ

11. Vérification du convergence :

( )( ) )( ? ,,~

)( ? ,,~

11,21

11,11

IVTolTFIf

IIITolTFIf

nntrn

nntrn

≤

≤

+++

+++

κ

κ

σ

σ

9 Si oui ( )III et oui ( )IV :

Va à l'étape (13)

Si non ( )III et oui ( )IV , ou oui ( )III et non ( )IV :

Va à l'étape (12)

9 Si non ( )III et non ( )IV :

Va à l'étape (12)12. Nouvelle estimation du jacobien :

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11111

111111 ,

, −−−−−

−−−−− −+= ii

iii

iTiiii

i-i

ss

yJs

JsyJsJJ

( ) ( )

( )

( )i

nnn

nnn-i

i

n

n

i

n

n

TF

TF

∆∆∆∆

−

∆∆

=

∆∆

+++

+++

+

++

+

+

),,(

),,(.

11,21,12

11,21,111

1,2

1,1

1

1,2

1,1

λλλλ

λλ

λλ

J

Va à l'étape (10)

Tableau II.5 : Principe de résolution numérique

Cas de deux critères actifs


-133-

13. Calcul de l’opérateur tangent dans l’espace des contraintes effectives :9 Un seul critère actif :

−

−=

++

+++

+

+ 11

111

1

1

~

nnT

nT

nn

i

n hd

d

mn

n m

ΠΠΠ

Πεσ

9 Deux critères actifs :

( )[ ] ~1

1

111

1

1+

−+++

+

+

+−=

nT

nT

nn

i

nd

d ΠΠΠΠεσ

VUV EU

14. Mise à jour de la contrainte et de la variable d'endommagement :

( )111 , +++ Λ= nnn dd κ

( ) 111~1 +++ −= nnn d σσ

15. Calcul de l’opérateur tangent :

( ) ( ) ( ) 1

11

111

1

1

11,

~

~~ 1

+

++

+++

+

+

++

−−=

=

i

nn

nnn

i

n

int d

d

d

ddd

d

d

εσ

σσ

εσ

E

1+= nn Va à l’étape (1)

Tableau II.6 : Dernière étape de l'algorithme thermo-élasto-plastique-endommageable

Mise à jour de la contrainte et calcul de l’opérateur tangent


-134-

II-4 CONCLUSION

Ce chapitre a permis de présenter le plus clairement possible un nouveau modèle de

comportement du béton depuis son élaboration jusqu’à son implantation dans un code E. F. en

spécifiant les hypothèses et les choix adoptés.

Le modèle formulé dans le cadre de la théorie de l’endommagement couplé à la plasticité est

proposé pour la description du comportement non-linéaire du béton sous chargement thermo-

mécanique. Les variations irréversibles des caractéristiques thermiques et mécaniques sont

prises en compte ainsi que le développement de déformation d’interaction thermo-mecanique

et la fermeture des fissures lors du chargement cyclique. Un critère multisurfaces de plasticité

permettant de décrire le comportement spécifique de ce matériau a été construit. Le problème

de la sensibilité pathologique de la solution numérique à la finesse et à l’orientation du

maillage, engendrée par l’introduction d’un comportement adoucissant du béton en traction et

en compression, est partiellement résolu en introduisant l’énergie de fissuration dépendant

d’une longueur caractéristique liée à la taille des éléments. Un schéma d’intégration implicite

a été formulé intégrant le terme de fluage thermique transitoire. L’utilisation du principe de la

contrainte effective, nous a permis de découpler la réponse thermo-élasto-plastique de la

réponse endommagée, cela offre l’avantage de conserver la méthode de résolution numérique

de type plasticité pour le calcul de l’incrément plastique.

Ce modèle offre un traitement complet du comportement du béton sous chargements

mécanique et thermique aussi bien dans le domaine de la compression que dans celui de la

traction. L’ensemble des paramètres du modèle est identifiable expérimentalement par des

essais simples et réalistes.

Toutefois des limites au modèle proposé existent. La première concerne le choix de la

variable endommagement, un endommagement isotrope ne décrit pas l’anisotropie liée à la

fissuration. Cette lacune peut conduire à une réponse erronée du modèle dans le cas de

chargements non-radiaux.

Le problème de la localisation des déformations n’est que partiellement traité. En particulier,

les effets spécifiques liés aux hautes températures doivent être étudiés. En effet le couplage

thermo-mécanique nécessitant l’enchaînement des analyses thermique et mécanique peut


-135-

accentuer par cumul l’effet de sensibilité au maillage. De plus, les effets de l’introduction de

caractéristiques du béton décroissantes avec la température sur la nature des équations du

problème mécanique doivent être analysés. Ces aspects font partie des perspectives que nous

dégageons à la suite de ce travail.

Documents

CHAPITRE II FORMULATION DU MODELE