Chapitre v

7/28/2019 Chapitre v .

1/52

Chapitre V Elment dlasticit. Ondes lastiques

92

Chapitre V

V.1 Contraintes dans un corps lastique

Dans le volume dun milieu continu, dform par laction de forces extrieures,

apparaissent des tensions mcaniques appeles contraintes, qui tendent le ramener sa

position de repos. Ces contraintes se transmettent de proche en proche par les forces de liaison

entre atomes dont le rayon daction est faible du point de vue macroscopique. Un lment de

volume, contenant un trs grand nombre datomes est soumis, travers la surface qui le

dlimite de la part de la matire qui lentoure, des actions appeles contraintes.

Dfinition des contraintes

Considrons un corps dformable soumis laction dune charge c'est --dire un

systme de forces extrieures p1, p2, pn satisfaisant aux conditions dquilibre. Laction de

ces forces engendre un dplacement des particules voisines du milieu, c'est--dire que la

distance entre ces particules varie ; ce qui provoque une interaction supplmentaire entre

elles. La rsultante de toutes les contraintes dans une section (fig. .V.1) est la force intrieure.

Considrons une section C et dcoupons au voisinage dun point M un lment daire

F auquel correspond la force . La contrainte moyenne au voisinage du point M est

exprime par le rapport :

moyF

(V.1)

La contrainte totale au point M de la section C est donne par la limite :

F

P

F

Plim

0F

(V.2)

Fig V.1

Elment dlasticit. Ondes lastiques


2/52


93

La contrainte, comme la force, est une grandeur vectorielle. Son unit de mesure dans le

systme S.I est le Pascal Pa .

1 )s.m/(kg1m/N1Pa

Le vecteur de la contrainte P est reprsent habituellement par ses projections sur lesaxes dun systme de coordonnes rectangulaires x,y,z (fig V.2).

Fig V.2

Soit la normale extrieure la section C pour la partie A du corps. AlorsxP est la

composante de la contrainte P suivant laxe x qui agit sur la section C.

Si par exemple la normale concide avec laxe y (fig.V.3), on a la composante

y yy PP perpendiculaire la section.

Cette contrainte est normale et elle est dsigne par y y . Les deux autres contraintes

zyxy PetP sont dans la section et on les appelle contraintes tangentielles ou de cisaillement.Elles sont dsignes respectivement par zyxy et . Ainsi, on a :

y yy yP

xyxyP (V.3)

zyzyP

Fig V.3

Soit un cube lmentaire lintrieur dun corps soumis des con traintes : celles- ci

agissent sur les six faces du cube (fig V.4). Choisissons un systme de coordonnes tel que les

axes, sont parallles aux cts du cube. Dcomposons les contraintes totales agissant sur les

faces en trois composantes. Ainsi, nous obtiendrons 18 composantes qui sont fonctions descoordonnes du point :


3/52


94

............................

)z,y,x(F

............................

)z,y,x(F

)z,y,x(F

5xy

2yy

1xx

Si par exemple la contrainte xx agit sur la facette perpendiculaire laxe x (fig V.5),

alors sur la facette x = dx, on a la contrainte normale :

x

xxxx

cause de la variation de la coordonne x. A la limite lorsque dx, dy, dz tendent vers

zro lensemble des contraintes qui caractrisent ltat de contraintes dans le point sera rduit

neuf composantes qui forment une matrice appele tenseur de second ordre Sij :

iik

zzzyzx

y zy yy x

xzxyxx

ij nS

(V.4)

o ik est lensemble des neufs contraintes normales (si i=k) et tangentielles (si i k)

relatives aux trois cts perpendiculaires entre eux au mme point, ni est un vecteur unitaire

normal llment choisi ; i, k sont les indices indiquant les axes x, y, z.

dx

zdydxdz

z

zz

dzz

zz

dzz

yz

yz

xzxy

dyyxy

xy

zy

dyyzyzy

dyy

yy

dxx

dxxzx

zx

z

dxxzx

zx

xz

y z

dy

y

zy

xy

dz

z

y x

Fig V.5

dx


4/52


95

dzyxd

0

Equation indfinie dquilibre.

Considrons ltat dquilibre de llment dcoup au voisinage dun point (fig. V.5).

Supposons encore quil existe une force volumique qui agit sur ce cube. Si X ; Y et Z sont lesprojections de la force volumique applique une unit de masse du corps sur les axes de

coordonnes, alors pour llment, on a les composantes suivantes :

X. .dv = X. .dx.dy.dz

Y. .dv = Y. .dx.dy.dz (V.5)

Z. .dv = Z. dx.dy.dz

o est la densit du corps au point considr. Daprs la statique, les conditions dquilibre

scrivent :

0)F(M0F ii

x

i

ix

0)F(M0F ii

y

i

iy (V.6)

0)F(M0F ii

z

i

iz

Le dveloppement de la premire quation de (V.6) donne (fig. V.6).

0Fi

ix

dydxdzz

yz

yz

dydzdyyzy

yy

dydzdyyzy

yy

dzdyzx

dydzzx

dzdydxxzx

zd

dzdydxxyx

yx

d.z

dvy

Fig V.6

dzdxy

0

x

dz

dx

dy

y


5/52


96

dz.dydz.dydxx

xxxx

xx

dzdxdzdxdyy

xy

xy

y x

(V.7)

dydxdydxdzz

xzyz

xz

+ 0dz.dy.dx..

Si lon considre le cas du mouvement des particules du corps lastique, alors au lieu

de zro dans (V.7) on aura :

dx dy dz2

2

t

U

o U est la projection de dplacement du point considr sur laxe 0x ; et

2

2

t

U

, est lacclration suivant cet axe.

Ainsi lquation (V.6) donne :

2

2

xzxzxx

t

U0.

zzx

De la mme manire, on obtient encore deux autres quations :

0Fi

iy et 0Fi

iz

Autrement dit, on a les quations dfinissant le mouvement (lquilibre) (dites quation

de CAUCHY)

2

2

0.t

UX

zyx

xzxyxx

2

2. 0 (V.8)

yx yy yz V

x y z t

2

2

0.t

W

zyx

zzzyzy

o V et W sont respectivement les projections du dplacement du point considr sur les axes

x et y respectivement.

Considrons maintenant les autres quations qui restent du systme (V.6). Soit par

exemple lquation :

0)( ii

x FM


6/52


97

La (fig V.6) montre toutes les forces qui donnent le moment par rapport laxe x :

On a :

2

dzdzdx

2

dz.dzdxdy

yy y

y

y y

2dydydx

2dy.dydxdz

zzz

zz

dzdydxdzz

dzdydxdyy

[y z

yz

zy

zy

(V.8)

2

dzdzdy

2

dydzdy

2

dy.dzdydx

xy xzx

zxzx

02

dzdzdydx

2

dydzdydx

2

dz.dzdydy

x

yx

yx

En ngligeant les infiniments petits du quatrime ordre vis--vis de ceux du troisime,nous avons :

yz zy

Ce qui dmontre la loi de rciprocit des contraintes tangentielles : sur deux facettes

orthogonales, les contraintes tangentielles normales larte commune sont gales et sont

simultanment diriges vers cette arte ou opposes celle-ci. Alors des quations dquilibre

on a :

; ;yx xy xz zx yz zy

ou dune manire gnrale :

ik ki

Ainsi le tenseur de contraintes est symtrique, ce qui rduit six le nombre de

composantes indpendantes.

Pour tablir les relations entre les composantes, des contraintes et la charge aux points

de la surface, considrons ltat dquilibre dun ttradre lmentaire (fig V.7).

Soit dans la surface ABC daire gale ds et soient l= cos x, ; m = cos y, ;

n= cos z, les cosinus directeurs de la normale qui est perpendiculaire au plan abc .

z


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98

b

fig V.7

Fig V.7

Laire des faces est donne par les expressions :- laire aob= ds cos z, = nds

- laire bos= ds cos x, = lds

- laire aos= ds cos y, = mds

Les quations dquilibre (V.6) scrivent alors comme suit :

n

1i

ix 0F

o0nds.mdsldsds.P xzxyxxx

donc :n.ml.P xzxyxxx

n.ml.P y zyyy xy (V.9)

n.mlP zzzyzxz

Les forces volumiques ont lordre de petitesse trois, tandis que les autres forces sont

dordre deux. En effet ;

.X.dv =6

1. X. dx.dy.dz

mais par exempledzdy

2

1.

l

bocairellds xxxxxx

o dx = ao, dy = ob, dz = oc (fig. V.7)

Si la face abc appartient la surface du corps alors xP , yP et zP seront les composantes

de la charge au point considr 0ds . On appelle les quations (V.9) conditions la

surface, qui permettent videment de dterminer le tenseur de contraintes.

Supposons que llment oabc est dcoup lintrieur du corps et que xP , yP , zP sont

les projections de la contrainte totale P sur les axes des coordonnes x,y,z arbitralement

O

y

zy

yz

xy

xz

z

xy

py

zp y x

zx

x

v

Y

a

x

c


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99

choisis, (fig V.8). Dterminons les contraintes normales et tangentielles et dans le

systme de coordonnes .,,

Les axes et sont dans le plan abc, laxe lui est perpendiculaire.

Z

c v

a

X

Fig V.8

Les cosinus des angles par les axes x, y, z et ,, , sont donns dans le tableau ci-dessous

Daprs (V.9) on a :xP 2xz2xy2x nml

yP 2yz2y2y x nml (V.10)

zP 2z2zy2zx nml

La contrainte est la projection de P sur la normale , c'est--dire :

2

2yy

2

2xx2Z2y2x mlnPmPlP

22yz22xz22xy

2

2zz mn1n21m2n (V.12a)

La projection de P sur laxe est dsigne par et sur par et sexpriment par

les relations suivantes :

)nmnm()n1n1(

)mlml(nnmm11

1221yz1221xz

1211xy21zz21yy21xx

(V.12 b)

x y z l1

1m 1n

l2 2m 2n l33n 3m

yP

zvP

xyP


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100

)nmnm()1n1n(

)m1m1(nnmm11

3223yz3223xz

3223xy32zz32yy32xx

Les formules (V.11) et (V.12) montrent que si le tenseur de contraintes est connu en un

point, on peut calculer toutes les composantes de la contrainte agissant sur la face oblique au

mme point et dont la normale est (fig V.7, V.8)

Dterminons maintenant la contrainte normale qui agit sur une face lmentaire

perpendiculaire laxe partir de lquation (V.2) (fig V.9). On a alors :

2 2 21

2 2 2

xx yy zz

xy xz yz

m n

ml nl mn

(V.13)

0

z x

X

Fig. V.9

Reportons sur la normale le segment (S) au point considr de faon que

v

CS

(V.14)

o C = const.

Les coordonnes de lextrmit de S sont :

x = S.1, y = S.m, z = S.n (V.15)

De (V.13-15), on obtient

2 2 2

2

2

2 2

v xx yy zz xy

xz yz

S x y z xy

xz yz C

(V.16)

alors :

)z,y,x(C

Lquation (V.16) donne une surface du second degr appele surface des contraintes de

Cauchy. Les extrmits de tous les segments S seront dposes sur cette surface.

Z

y Y


10/52


101

La rotation du systme de coordonnes, permet de transformer lquation (V.6) demanire faire disparatre les doubles produits des coordonnes, c'est--dire quil existe un

systme 111 z,y,x tel que :

0111111 zyzxyx

(V.16)

Ces axes sont les axes principaux et les plans orthogonaux correspondants sont appelsplans principaux. Les contraintes normales ces plans sont appeles contraintes principales

au point considr. Dsignons les par :

321 ,, Avec

3zl21y11x ,,

Si au voisinage du point llment a t dcoup par les plans principaux alors de

lquation (V.10) on obtient :

lP 1x mP 2y (V.17)

nP 3z

Pour dterminer les directions des axes principaux, considrons au voisinage du

point 0 un lment dont la face abc est une facette (plan) principale (fig V.10).

cx

xy

y zx b

yz

a

XFig V.10

La contrainte totale est dans ce cas une contrainte principale et elle est dirige suivant

la normale cette facette. De (V.10) ont peut crire :

nm1 xzxyxx1x

nmlm y zyyy xy

nmln zzzyzxz

z

zy

y z

a

Y

Z

xz


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102

do

1 0x xy xzm n

0nm1 y zyxy (V.18)

0nm1 zy zxz

l, m, n sont les inconnus dans ce systme dquations homognes. Ce systme possde

une solution diffrente de zro dans le cas o son dterminant est nul, autrement dit :

0

zzy zxz

y zyyxy

xzxyxx

(V.19)

Le dveloppement de ce dterminant permet dobtenir lquation cubique suivante :

0III 322

1

3

(V.20)o

zzy yxx1I

2

yz

2

xz

2

xyyyzzzzxxyyxx2I

2 2 2

3 2xx yy zz xy xz yz xx yz yy xz zz xyI

I1, I2, I3, sont les invariants de ltat de contraintes. Lquation (V.20) ne dpend pas du choix

du systme de coordonnes et les invariants I1, I2 et I3 restent constants pendant la rotation des

axes x, y, et z.

V.2 Thorie des dformations

Dfinition des dformations

Quand un corps lastique est soumis des contraintes, il change de forme et de

dimensions. Ces changements appels dformation se classent en quelques types

fondamentaux.

Dcoupons du corps considr (roche par exemple) un cube infiniment petit (fig V.11)

dont les cots sont gaux dx, dy et dz ; c'est--dire M1= dx = AB, M2 = dy = AC et M3 =

dz, car ABCD est la projection du cube sur le plan xoy.

Les dformations en un point du corps lastique sont dtermines par les allongements

des cts dx, dy, et dz et par la variation des angles 1M2, 1M3 et 2M3. Les dformations du


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103

cube peuvent tre values videmment par celles de ses projections. Si U est le dplacement

du point A suivant laxe ox, le dplacement du point B sera donc (fig V.12).

dxx

UUUU

Z3

2

1Y

CX

B D

Fig V.11

O U est laccroissement de la fonction U (x, y, z) engendr par la variation de x.

Si V est le dplacement du point A suivant y, alors pour le point B on a :

dxx

VVVV

o la quantit V est aussi engendre par la variation de x. Lallongement absolu du cot du

dx = AB est gal :

dxx

U)dx(

Lallongement relatif sera :

x

U

dx

)dx(x

Analogiquement, on obtient pour les cots M2 et M3 respectivement :

z

W,

y

Vzy

o V et W sont les dplacements du point considr M suivant laxe y et z.

Le cot AB = dx subit aussi une rotation dans le plan oxy que lon dsigne par y x ; avec :

M

Zy

A x


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104

AA

BBtg y xy x

tant donn que les dformations sont petites, langle y x est gal

x

U1

x

U

dxx

Udx

dxx

U

y x

Fig V.12

la quantitx

U

est petite par rapport l, donc y x peut devenir gal :

x

Vyx

(V.21)

de la mme manire on a aussi

y

Uxy

(V.22)

Langle de glissement ou de la dviation est gal la somme des angles de rotation (V.21) et

(V.22) soit :

y

U

x

vxyy x

xy

(V.23)


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105

En tendant lanalyse ci-dessus trois dimensions (angles de dviation 3M2 et 3M1),

on obtient les expressions pour zxy z et ; ainsi nous avons les quations de Cauchy :

dformations normales dformations de cisaillement

x

W

z

U

z

W

z

V

y

W

y

V

y

U

x

V

x

U

zxz

yzy

xyx

(V.24)

Les formules (V.24) montrent que les six composantes ,,,,,, zxy zxyzyx de ltat

de dformation en un point sexpriment par neuf drives partielles des dplacements U, V et

W :

z

W;

y

W;

x

W

z

V;

y

V;

x

V

z

U;

y

U;

x

U

(V.25)

Les composantes de (V.25) constituent le tenseur des dplacements.

En plus de ces dformations, le corps subit une rotation dont les composantes sontdfinies par :

y

U

x

V

x

W

z

U

z

V

y

W

z

y

x

(V.26)

Si les composantes de rotation (V.26) sont nulles ; nous aurons alors :

, ,W V U W V U

y z z x x y

C'est--dire que lexpression du dx + v dy + w dz est la drive totale dune fonction (x, y,

z) et :

yW,

yv,

xu

Dans ce cas on dit quil y a une dformation pure et que les dplacements ont le potentiel

(x, y, z).


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106

Les variations de dimensions produits par les dformations normales se traduisent par

un changement de volume. La variation par unit de volume est appele dilatation est note

.

Considrons un petit lment de volume dv = dx. dy. dz. o les cts dx, dy et dz sont

respectivement perpendiculaires. Le volume dans le cas de petites dformations sera gal auproduit des cts dforms :

( ) (1 ) (1 ) (1 )

(1 )

x y z

x y z x y y z z x x y z

dv dv dv dy dz

dx dy dz

En ngligeant les produits des dformations relatives des cts, on obtient alors

)1(dv)dv(dvzzyyxx

do la dformation volumique relative sera :

zzy yxxdv

)dv(

Ainsi le premier invariant est la dformation volumique qui scrit :

Udvz

w

y

v

x

uzzyxx

(V.27)

Elle reste constante si lon change la position des axes des coordonnes au point considr.

Ainsi la dilatation est gale la divergence du vecteur du dplacement lastique U .

Tenseur des dformations

La dformation dun corps lastique en un point est dtermine par les composantes du

systme dquations (V.25) qui constituent le tenseur des dformations relatives, de sorte

que :

a- si lon change le systme de coordonnes, alors les composantes dtat de dformationsexpriment par les composantes initiales et par les carrs des cosinus directeurs par

analogie (V.14).

b- si lon cherche les composantes de lallongement dun segment, alors ellessexpriment par les composantes (V.25) et par les cosinus directeurs du segment par

analogie avec (V.9).

En effet la dformation en un point sera dtermine si lon peut calculer lallongement

relatifpour nimporte quel segment infiniment petit issu de ce point. Dsignons ce segment

par AB= r (Fig. V.13) et soient ,, ses projections sur les axes x,y,z respectivement. En

luit appliquant des contraintes, le point A se dplace en A1, et B en B1, les projections du

segment dform AB, sur les axes x,y,z sont :


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107

w,v

u)ux(uux

11

1

(V.28)

Les quantits 111 w,v,u

reprsentent les accroissements des fonctions u, v et w si lon passe du point A vers B

autrement dit, on a une variation de x, y et z sur dx dy , dz .

Puisque AB est infiniment petit, alors les accroissements w,v,u des fonctions u,v et w

peuvent tre remplacs par leurs diffrentielles :

dzz

udy

y

udx

x

uu

ou

dzu

y

u

x

uu

ainsi

z

u

y

u

x

u

z

v

y

v

x

u

(V.29)

z

w

y

w

x

w

Fig V.13

Divisons les quations (V.29) par r = AB et dsignons les allongements des projections

de AB par rapport sa longueur par :

, ,xr yr zr r r

Ainsi nous avons :

nz

Wm

y

W1

x

W

nz

Vm

y

V1

x

V

nz

Um

y

U1

x

U

zx

y r

xr

(V.30)

o

rn,

rm,

r1 (V.31)


17/52


108

sont les cosinus directeurs du segment initial AB.

Analogiquement aux formules (V.4), on a lquation (V.25) qui est un tenseur non

symtrique car en gnral

x

W

z

U,

z

V

y

W,

y

U

x

V

Ce tenseur est symtrique dans le cas seulement de dformation pure.

Considrons maintenant lallongement du segment AB = r lui-mme

dfini par ;

on obtient alors :

2222

rr

do en ngligeant les infiniments petits du second ordre, on obtient :

rr (V.32)o

r

r

r r r r r r r

En substituant dans (V.32) les valeurs de : ,, daprs (V.29) et en tenant compte

de (V, 31) on peut obtenir la dformation relative du segment sous la forme :

1nx

W

z

Umn

z

V

y

Wm1

y

U

x

V

nz

Wm

y

V1

x

Ur

Si lon dsignepar :

x

W

z

U2

zV

yW2

y

U

x

V2

zx

y z

xy

(V.33)

on obtient :nl2mn2lm2nm1 ZXyzxyzyxr (V.34)

Si lon compare cette formule avec (V.12a) on dduit que la matrice

zzyzx

y zyy x

xzxyx

(V.35)

r 222


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109

reprsente le tenseur des dformations en un point donn. Par analogie ltat de

contrainte en un point ; on peut trouver en ce point considr trois axes orthogonaux

principaux qui forment les plans de coordonnes o

0zxy zxy

On parle dans ce cas de plans principaux. Afin de trouver la position des axes

principaux, il faut procder de la mme manire que pour ltat de contrainte. Ainsi de (V.30)

et en tenant compte de la symtrie du tenseur de dformation et de labsence de rotation on a :

1 1

1

1

xr x xy xz

yr xy y yz

zr zx zy z

m n

m m n

n m n

do

0nm1

0nm1

0nm1

zy zxz

y zyxy

xzxyx

(V.36)

o est la dformation principale.

A linstar de (V.19) on a encore :

0

zyzxz

yzyxy

xzxyx

(V.37)

do il vient que :3 2 0 (V.38)

o

zyx0

zy z

y zy

zxz

xzx

yxy

xyx

zzyzx

y zyy x

xzxyx

(V.39)

sont les invariants des transformations des coordonnes. Pour trouver les dformations

principales. 321 et,, correspondant aux axes principaux, il faut rsoudre lquation

cubique. En utilisant la condition 11 222 nm on peut trouver les cosinus directeurs des

axes principaux.


19/52


110

V.3 Loi de Hooke

Les proprits lastiques servent dcrire la possibilit pour un corps de rsister une

contrainte sans subir une dformation permanente. La loi de Hooke exprime une relation de

proportionnalit entre contraintes et dformations.

Ltat de contrainte en un point est caractris par six composantes dsignes par:

zxyzxyzyx ,,,,,

et simultanment nous avons les dformations

zxy zxyzyx ,,,,,

Pour tablir les liaisons gnrales entre contraintes et dformations, admettons que

chacune des composantes dtat de contrainte dpend de toutes les composantes de la

dformation en un point c'est--dire que :

zxx6zx

zxx5y z

zxx4xz

zxx3z

zxx2y

zxy zxyzzx1x

....,......,.....,.....,,f

....,......,.....,.....,,f

....,......,.....,.....,,f

....,.......,.....,.....,,f

....,.......,.....,.....,,f

,,,,,f

(V.40)

Si lon admet qu ltat normal du corps, les contraintes sont nulles, alors on a : 6.....,,2,1i00,0,0,0,0,0fi

le dveloppement de Taylor de la fonction contrainte donne :

zx66y z65xy64z63y62x61zx

zx16y z15xy14z13y12x11xx

aaaaaa

.............................................................................................

aaaaaa

(V.41)

les coefficients mna dpendent de la constitution du corps.

La dpendance linaire des quations (V.41) exprime le principe de superposition ou

celui dindpendance des effets selon lequel la contrainte qui apparat en prsence des

composantes de dformation ij est gale la somme des contraintes apparaissant en

prsence de chacune de ces dformations.

Parmi ces 36 coefficients, il ny a que 21 qui sont indpendants, mais pour les corps

isotropes il nen reste que deux. Le module dlasticit longitigional E et le module

dlasticit transversal sont lis par la formule suivante :

12

E


20/52


111

o est le coefficient de Poisson.

Trouvons maintenant lexpression des dformations en fonction des contraintes. Pour

cela considrons un paralllpipde (fig. V.14) dont les ctes sont gaux 1. Admettons le

principe dindpendance des forces et supposons que les contraintes tangentielles ne

produisent que le glissement. Supposons encore que toutes les contraintes sont nulles sauf xi ,

alors lallongement relatif sera :

' xxE

z

yx

zx

yx

zy

1 x x

1

l

Fig V.14

Si sur llment nagit que y , on aura sur laxe x le raccourcissement du ct :

E

y

x

Par analogie, on obtient pour ce mme ct sous leffet de la contrainte z le raccourcissement

suivant

E

zx

Ainsi lallongement relatif total sera :

yx zx x y z

E E E

et de la mme manire on peut calculer les allongements suivants les axes y et z.

Ainsi, nous trouverons les formules :

zy

y

xy

x

y

xy

zy xz

zx

z

zx


21/52


112

xyzz

zxyy

zyxx

E

1

E

1

E

1

(V.42)

ou bien :

1zz

1yy

1xx

l1E

1

l1E

1

l1E

1

(V.43)

o

zyxI 1

Ces formules expriment la loi de Hooke gnralise pour les contraintes normales. De (V.43)

on a aussi :

1zyxzzyyxx l31E

1

(V.44)

Ou en tenant compte de (V.27) :

1lE

21 (V.44a)

Ce qui montre que la dformation volumique unitaire est proportionnelle la sommedes contraintes normales (I1). La formule (V.44a) reprsente la loi de Hooke pour la forme

volumique.

0alors0,0,0Si zyx

car il nexiste que la tension suivant x, y, z (fig. V.44), ce qui donne alors :

021 ou2

1

les relations entre les glissements et les contraintes tangentielles peuvent tre critessous la forme suivante :

zxzx

y zy z

xyxy

1y

1y

1

(V.45)


22/52


113

Pour exprimer maintenant les contraintes par les dformations (cas de la compression

totale par exemple) il faut rsoudre le systme dquations (V.43) par rapport

, ,x y zet tenant compte de (V.44), on obtient alors :

21

E

1E

1xxx

avec

xxx 1E

211

E

o

xxx 2 (V.46)

o

12,

211

EE

On peut obtenir partir des quations (V.45) et (V.46) les expressions des contraintesen fonction des dformations :

zxzxzzz

yzyzyy y

xyxyxxx

2

2

2

(V.47)

o2 , , ,

, , , ,

ii ii

ij ij

i x y z

j x y z i j

De (V.47) il vient que 23(I zyxl

Les coefficients de Lam permettent dexprimer E et :

2,

23E (V.48)

Pour le cas dune compression totale on a :

.0,p zxy zxyzyx

De lquation (V.47) on a :

0p2

0p2

0p2

zxz

yzy

xyx

(V.49)

donc

p323 (V.50)o

23

p3

et0xy yz zx


23/52


114

La quantit

23

3

P(V.51)

sappelle le cfficient de la compression totale. Le signe moins rend positif.

La quantit

1K

est appele module de la compression totale ou module de volume.

Quoique la loi de Hooke sapplique largement, elle nest pas valable lorsque les

tensions sont importantes. Quand la tension dpasse la limite dlasticit du corps concern la

loi de Hooke ne sapplique plus et la dformation augmente plus rapidement (fig. V.15). La

dformation ne disparat alors plus compltement lorsquon annule la tension.

Fig V. 15 Relation entre contrainte et dformation

V.4 Constantes lastiques

Les principaux constantes lastiques sont :

E : module de Young : Cfficient de poisson

, : Constantes de Lam

K : module dincompressibilit.

Les relations entre les diffrentes constantes lastiques sont :

233

1K,

2,

)(

23E

En liminant les diffrentes paires de constantes de ces trois quations, on obtient lesrelations exprimant lune de ces cinq constantes en fonction de deux autres dentre elles.


24/52


115

Les constantes lastiques sont dfinies de telle sorte quelles soient des nombres

positifs. Il en rsulte que doit tre compris entre 0 et 0,5 (car et tant positif et

/ est infrieur 1). Les valeurs de varient de 0,05 pour les roches trs dures et

rigides 0,45 pour les sdiments mous ou meubles. Les liquides nont pas de rsistance au

cisaillement, aussi

5,0et0 .

Pour la plupart des roches E, k et varient de 20 120 GPa, E tant en gnral le plus

lev et le plus petit des trois.

V.5 Equations fondamentales de la thorie dlasticit

Le systme complet des quations fondamentales de la thorie dlasticit comprend :

a- Equations statiques1- Equations indfinies dquilibre (du mouvement).

E K

213E

12

E

211

E

(E, k)K6

Ek3 (E, )

EK9

kE3

EK9

EK3K3

(E, )

2

2E

E33E

EK3

2E

( , k) 21k3

1

21

2

k3

1k3

, 12

213

12

21

2

211

3

1

2

21

,k

k3

k9

k32

2k3 3

2k

),k( 9

3

kk

k

3k

)k(

2

3

,

23

2

3

2


25/52


26/52


117

zxzxzzz

y zyzy yy

xyxyxxx

2

2

2

(V.57)

23Il

d- Equations de Lam

Exprimons les contraintes dans les quations (V.52) et (V.53) par les dplacements en

tenant compte de (V.57) et (V.57), on a :

y

U

x

W

y

U

x

V

x

U2

xz

xy

xx

(V.58)

Pour substituer ces expressions dans la premire quation (V.52), calculons les drives

suivantes :

zU

dzxW

z

y

U

dyx

V

y

x

U

x

U

xx

22

xz

22xy

22

x

Ainsi, de (V.52), on a :

2

2

222222

t

U0X

z

U

y

U

x

U

zx

W

yx

V

x

U

x(V.59)

mais

xz

W

y

V

x

U

xzx

W

yx

V

x

U 222

et utilisons la dsignation simplifie

Uz

U

y

U

x

U 2222

ou

2le laplacien de la fonction U (x, y, z), on aura :

2

22

t

U0XU

X


27/52


118

Par analogie, on trouve galement :

22

2

22

2

( ) 0

( ) 0

V V Y

y t

W

W zz t

(V.60)

Ainsi, nous avons un systme dquations fondamentales de la thorie dlasticit pour

la dtermination des dplacements appels quations de Lam. Ces quations renferment

simultanment les conditions dquilibre et de mouvement de chaque lment du corps.

Lensemble de ces trois quations de Lam sous une forme vectorielle donne :

Ft

UUgrad

2

22

ou F

t

UUUdivgrad

2

22

(V.61)

Si lon tient compte de la formule de lanalyse suivante,

UrotrotUdivgradU2

on aura :

Ft

UUrotrotUdivgrad2

2

2

(V.62)

Les quations obtenues permettent de dterminer le caractre des dplacements

lastiques U dans le temps et dans lespace dun corps (homogne, lastique , de constantes

lastiques , et de densit ) et soumis laction dune force massiveF

. Cest pourquoi

les conditions aux limites du corps lastique telle que la distribution des contraintes ou des

dplacements doivent tre connues.

V.6 Propagation des ondes lastiques

V.6.1 Propagation des ondes dans un milieu lastique non limit

V.6.1.1 Oscillations longitudinales et transversales.

Considrons deux cas particuliers et choisissons les fonctions des dplacements U, V et

W telles quelles satisfont aux quations de Lam (V.60).

a) soit :U= U (x, t)V= 0W= 0

Supposons quil nexiste pas de forces volumiques c'est--dire que :

X = Y = Z = 0


28/52


119

Puisque V = W = 0, alors les dplacements des points se feront paralllement laxe ox

(fig. V.16). En outre le dplacement U (x, t) ne dpend pas de y et z, ce qui signifie que le

plan P perpendiculaire laxe ox se dplace suivant cet axe sans dformations. En effet,

ltat de repos lquation du plan P sera :

0xx

Cette quation sera 0xx + U ou 0xx + U t,x 0 au temps t quelconque du

mouvement, c'est--dire quon a aussi un plan parallle au plan yoz mais qui se dplace par

rapport ce dernier une vitesse variable en fonction du temps.

Si nous choisissons dans ce milieu lastique, une srie de plans parallles au plan P qui

se dplacent en sloignant ou se rapprochant lunde lautre, la distance d, parexemple, entre

deux plans aux points 10 xxetxx

Fig V.16 (a)

est exprime par :

t,xUxt,xUxd 00011

Dans ce cas le mouvement exprim par les quations (V.63) reprsente une oscillation

longitudinale homogne suivant laxe ox. Substituons les dplacements (V.63) dans les

quations (V.60), on obtient :

0tW

tV

0WV,x

UU

0zy

,x

U

x,

x

U

22

222

2

2


29/52


120

Ainsi, on remarque que la seconde et les troisimes quations sont identiques. La

premire quation de (V.60) sera :

t

U

x

U

x

U 222

ou

x

U.

2

t

U 22

(V.64)

Dsignons par

2 2

(V.65)

alors lquation (V.64) prend la forme :

x

U

t

U 222

Il est noter que loscillation longitudinale exprime par les quations (V.63) nestpossible, que si la fonction (x, t) satisfait lquation diffrentielle (V.64).

b) soit :

u = 0v = 0 (V.66)

W = w (x, t)Supposons galement que X = Y = Z = 0

Il en rsulte de (V.66) que les dplacements auront lieu uniquement suivant laxe 0z et

la plan P se dplace verticalement (fig V.16). Si ce mouvement est priodique, alors nous

aurons une oscillation transversale homogne suivant laxe oz. Par consquent on aura :

0z

W

y

V

x

U

do il rsulte labsence des dformations de volume. Ensuite on a :

0

t

V

t

Uet

x

WW

0VU,0zyx

2

22

Ainsi, les deux premires quations de (V.60) sont identiques et la troisime est de la

forme :

22

t

W

x

W

ou bien

x

W

t

W 222

(V.67)

avec

2 (V.68)


30/52


121

Donc loscillation transversale nest possible que si la fonction w (x,t) satisfait

lquation diffrentielle (V.67).

Les quations (V.64) et (V.67) diffrent de et . Comme les constantes lastiques

sont positives, est toujours suprieur et donc :

1

2

12/22 (V.69)

Il sera montr par la suite que et sont les vitesses de propagation des diffrentes

dformations dans un corps lastique.

V.6.1.2 Equation donde pour les dplacements longitudinal et transversal

Il a t dmontr dans la thorie des dformations, lexistence de trois types de

dformations : compression (ou dilatation), cisaillement et rotation. Labsence de la rotationnexclut pas la dformation. La condition dabsence de cette rotation est :

0Urot

Donc en absence des forces massives

0F

on doit avoir :

0t

UUdivgard2

2

PuisqueUrotrotUdivgradU2

donc lorsque

0Urot

on a :

UUdivgard 2

Cest pourquoi

0t

UU2

22

Pour 0Urot

Le champ sera dfini par le gradient de la fonction scalaire (x, y, z, t), c'est--dire :

gradU

Remplaons ces relations dans lquation de mouvement et changeons lordre des

oprations

0t

2grad2

2


31/52


122

Si le gradient de la fonction est nul, cela signifie que la fonction ne dpend pas des

coordonnes (mais peut dpendre du temps), cest pourquoi on aura :

)t(t

22

2

On peut prendre gale zro la fonction arbitraire (t) et par consquent le champ de

dplacement sexprime par lquation :

0t

1 2

2

2

o

gardUet

22 (V.70)

ou par les deux quations suivantes :

0Urot;0t

U1U

2

2

Le mouvement de ces dplacements sappelle onde longitudinale et est le potentiel

(de dplacement) de cette onde. Londe longitudinale ou de dilatation ou irrotationelle ou

apparat la premire sur les enregistrements de tremblement de terre.

Trouvons maintenant lautre type de mouvement du corps lastique. Supposons que

pendant la compression (ou dilatation), des lments du milieu, il ny a pas un changementdes volumes lmentaires de ce milieu. Cette condition aux limites peut tre exprime par :

0Udiv

Si ce champ de mouvement (dplacement) existe, il doit donc satisfaire lquation :

0t

UUrotrot

condition que :UUrotrot;0Udiv 2

donc

22

2

20

1ou

t

UU

Le champ vectoriel dans lequel :

0Udiv

est solnodal et peut tre reprsent comme tant un rotationnel dune autre fonction

vectorielle :

)t,z,y,x(


32/52


123

On peut toujours choisir

;0div

et par consquent

rotU

Fig V.16 Mouvement des particules au passage dune onde P(1) et S(2)

En portant ces expressions dans lquation donde et en changeant lordre des

oprations, on obtient :

0t

1rot

2

2

2

ou

0t

1 2

2

2

(V.71)

Le mouvement de ces dplacements sans la variation de volume lmentaire sappelle

onde transversale. La fonction est le potentiel vectoriel de dplacement de londe

transversale (appele souvent onde secondaire S). Les ondes transversales ou de cisaillements

ou rotationnels ou S sont observes en second sur les enregistrements des sismes.

Pour les fluides est nul et lest aussi, il en rsulte que les ondes S ne se propagent

pas dans les fluides.

V.6.1.3 Solution dans le cas des ondes planes

Lquation donde obtenue aux paragraphes prcdents a la forme gnrale suivante :

0t

Q

C

1Q

22

(V.72)


33/52


124

o Q est soit le dplacement U potentiel des dplacements longitudinaux ou le potentiel

vectoriel des dplacements transversaux . La constante c est gale aux expressions :

ou

2

Considrons maintenant le cas o Q nest fonction que de x et de t de sorte que

lquation (V.72) se rduit

01

2

2

22

2

t

Q

cx

Q

on a

2

2

2

22

t

Q

x

QC

(V.73)

Pour rsoudre (V.73), cherchons la solution partielle sous forme de produit de deuxfonctions ou lune delles dpend seulement de x et lautre de t

)t()x()t,x(Q nnn (V.74)

Remplaons (V.74) dans (V.73), on obtient :

dt

d)x(Xn

dx

d)t(C n

2

n

2

n

2

ou

2

n

n

2

n

2

n

2

n dx

dC

dt

d1

(V.75)

o n est une constante.

De (V.75), on obtient

0dx

dC

0dt

d

n

2

nn

22

n

2

n

n

2

(V.76)

Lquation caractristique de (V.76) a la forme suivante :

0C

r2

2

n2

do on a

c

xsinD

c

xcosC

cir

nnnnn

n2,1

(V.77)

Dune manire analogue on obtient selon lquation (V.76)

tsinBtcosA nnnnn (V.78)


34/52


125

La solution partielle cherche prendra donc la forme

c

xsinD

c

xcosCtsinBtcosAQ nnnnnnnnn (V.79)

Lquation (V.79) exprime clairement un processus ondulatoire et peut scrire sous une

autre forme aprs simple transformation trigonomtrique.

n'nnnnnnnc

xtcos

c

xtcosBQ (V.79)

o

, , 'n n n

B sont des nouvelles constantes. Le deuxime membre entre parenthse de

lquation (V.79) correspond un processus ondulatoire se propageant dans le sens ngatif

des x et cest pourquoi, on peut le ngliger. La solution partielle de lquation donde prendra

donc la forme suivante :

nnnnc

xtcosBt,yQ (V.80)

ici n est la phase initiale. Lexpression

nnc

xt

sappelle la phase du processus vibratoire.

Supposons que la phase est constante soit

Cc

xt nn

(V.81)

Ce qui veut dire que x est une fonction de t dans (V.81) dont la drive est :

cdt

dx (V.82)

La constante c dans ce cas est une vitesse avec laquelle se propage une certaine phase de

londe le long de laxe ox.Cette vitesse sappelle la vitesse de phase de londe qui peut tre considre aussi comme la

vitesse de dplacement du front donde.

Il faut remarquer que pour trouver la solution gnrale de lquation donde, toute

solution du type (V.80) est considre comme une solution partielle. tant donn que

lquation (V.73) est linaire, donc toute somme de solutions partielles est considre comme

une solution. De plus les conditions aux limites ne sont pas prises en considration dans ce

cas, ce qui donne la possibilit du choix des constantes dans la formule (V.80) sans limitation


35/52


126

pralable. La somme des solutions exprimes donc dans (V.80) peut tre remplace par une

intgrale dans laquelle lamplitude B et la phrase initiale sont fonctions de la frquence.

La solution gnrale prendra enfin la forme suivante :

d)(

t

xtcos)(Bt,xQ (V.83)

V.6.1.4 Solution dans le cas dondes sphriques.

Soit lquation donde

0t

Q

c

1Q

2

2

2

2

(V.84)

La fonction cherche dpend seulement de deux paramtres : r la distance partir du

centre de la source et le temps t soit :

)t,r(QQ

Exprimons lquation donde en coordonnes sphriques en tenant compte que :

2222 zyxr Les drives suivant x donnent

r

x

x

r,x2

x

rr2

et par consquent

x

r

r

1

rr

Q

r

1

r

Q

x

r

r

Q

rr

x

r

x

xr

Q

r

Q

xr

x

r

x

r

Q

xx

Q

r

x

r

Q

x

r

r

Q

x

Q

2

c'est--dire :

r

Q

r

x

r

Q

r

1

r

Q

r

x

x

Q3

22

Analogiquement pour y et z, on a :

r

Q

r

z

r

Q

r

1

r

Q

r

z

z

Q

r

Q

r

y

r

Q

r

1

r

Q

r

y

y

Q

3

22

3

22

(V.85)

sachant que

zyxr2


36/52


127

On a :

r

Q

r

2

r

Q

r

Q

r

1

r

Q

r

3

r

Q

z

Q

y

Q

x

QQ

22222

et aussi,

r

Qr

r

Qr

r

Q

r

Qr

r

QQ.r

r

r

QrQQ.r

r222

En comparant cette expression avec lexpression de2 Q, on obtient :

Q,rrr

1Q

22

(V.86)

En remplaant celle-ci dans lquation donde on aura :

0t

Q

c

1Q.r

rr

1 22

ou enfin

0.

1.

22

Qrt

Q

cQr

r

La solution de cette quation est connue sous la forme :

ctrFctrFQ.r 21 ou

cttFctrFr

1Q 21

La solution gnrale de lquation donde scrit

c

rtF

c

rtF

r

1Q 21 (V.87)

dans laquelle le premier terme reprsente une onde en expansion partir du centre et lesecond, une onde en compression vers le centre. Londe harmonique en expansion

damplitude. A peut tre exprime par :

c

rtjexp

r

AQ

ou

ctrjkexpr

AQ (V.88)


37/52


128

tant la frquence circulaire et k est le nombre donde. Lamplitude A diminue avec la

croissance du rayon r du fait que pendant la propagation de londe son front sphrique

augmente.

V.6.1.5 Paquet donde. Vitesse de groupe

Les amplitudes des signaux enregistrs pendant le sisme ne sont pas les mmes pour

toutes les frquences. Elles possdent des intensits importantes pour une certaine gamme de

frquence qui samortissent fortement par la suite. Ce phnomne peut tre dcrit par la

formule :

0eB)(B (V.89)

o est la frquence linaire lie la frquence angulaire par :

2 (V.90)

Pour simplifier, remplaons la loi des variations de lamplitude (V.89) par les expressions

suivantes :

0 0

0 0

( )

( )

B B pour

B O pour et V

(V.91)

o 0 est la frquence moyenne dans lintervalle 2 dans lequel lamplitude est constante.

La frquence est lie la longueur donde et la vitesse de c par la relation.c (V.92)

Si k et le nombre donde ; on aura alors

ck

(V.93)

Les formules (V.92) (V.93) expriment ce quon appelle la loi de dispersion des ondes.

Si la vitesse de c dpend de la longueur donde , on dit quil y a une dispersion donde.

En tenant compte de (V.90) (V.91) et (V.93), crivons la formule (V.83) sous la formesuivante :

00

dkxt2cosBt,xQ (V.94)

o la phase initiale est nulle pour des raisons de simplification.

Le paramtre k (quations V.93) est une fonction de . Il peut tre dcompos sous

forme de srie tout en gardant seulement les premiers membres ; donc

...ddkkk 000 (V.95)


38/52


129

La formule (V.94) prend dans ce cas la forme suivante :

d

ddkxxk

ddkxt2cosBQ

000

0

0

0

Aprs une simple transformation trigonomtrique, la multiplication et la division du

rsultat par v , la dernire intgrale donne :

xktvdvdkxtv

dvdkxtvvBQ 00

0

0 2cos/2

/2sin2

(V.96)

La formule (V.96) exprime un processus ondulatoire de frquence 0v dont lamplitude a

est

0

0

)d/dk(xt2

)d/dx(xt2sinB2a

(V.97)

Posons

0)d/dk(xt2

on obtient alors :

sinB2a (V.98)

Mais on sait que

si0

sin;1

sinlim

0(V.99)

Donc, lamplitude atteint le maximum pour 0 et diminue jusqu zro la fin delintervalle gale 2 ; et par la suite elle reste suffisamment faible. De cela, il ressort que

le processus ondulatoire exprim par la formule (V.96) au moment t possde la forme illustre

par la figure (V.17).

Fig V.17

Le maximum de lamplitude correspond au point situ une distance x et satisfait la

condition :

0d

dkxt

0

(V.100)


39/52


130

Ce processus ondulatoire limit dans lespace sappelle le paquet ondulatoire dont la

forme est donne par la figure (V.17).

La figure (V.18) illustre un exemple de sismogramme dun sisme ou on remarque que

les diffrentes ondes sismiques (longitudinales, transversales etc) se propagenteffectivement sous forme de paquets ondulatoires.

Fig V.18

Cette particularit de la propagation des ondes sismiques influe certainement surlinterprtation des donnes obtenues, ce qui pose la question suivante : quest ce que la

vitesse des ondes sismiques ? Il est vident que la vitesse de phase exprime par les formules

(V.96) et (V.93) peut tre dtermine par la relation :

0

0

kc

On comprend par vitesse de propagation des ondes sismiques, la vitesse de

dplacement du paquet entier ; par exemple la vitesse de dplacement de lamplitudemaximale quon dtermine parla formule (V.100). En diffrenciant (V.100) par rapport t on

obtient :

dk

d

dt

dx(V.101)

La vitesse v de dplacement entier du paquet sappelle la vitesse de groupe.

Si le milieu nest pas dispersif, c'est--dire que la vitesse de phase ne dpend pas du

nombre donde k, la formule (V.101), en tenant compte de (V.93) deviendra :

cdk

)k.c(d

dk

dvv (V.102)

C'est--dire que la vitesse de groupe est gale la vitesse de phase. Si c dpend de k

(longueur donde ), on aura alors :

d

dcc

dk

dckc

dk

)ck(dv (V.103)

Autrement dit, la vitesse de phase nest pas gale la vitesse de groupe.


40/52


131

V.6.2 Propagation des ondes lastiques la frontire dun demi-espace

V.6.2.1 Propagation de londe plane, dont le front est parallle lun des axes de

coordonnes. Potentiel de londe transversale

Le vecteur de dplacement lastique est compos de deux parties : lune potentielle et

lautre rotationnelle, soit :

rotgradU (V.104)

Si lon pose les composantes du vecteur potentiel sous la forme :

zyx ,,

on obtiendra alors les composantes du vecteur dplacement comme suit :

yxzW

xzyV

zyxU

xy

zx

yz

(V.105)

Si le front de londe plane est parallle lun des axes de coordonnes, alors le

problme deviendra plus simple. Supposons que le front est parallle laxe y (dirig

horizontalement) ; donc il ny aura aucun changement suivant le front donde. Les drivessuivant laxe y seront nulles, do lon obtient :

xzW

xzV,

zxU

y

zxy

Soit la composante du vecteur potentiel suivant y, alors les composantes du vecteur

des dplacements U et V situes dans plan vertical ont pour expressions :

xzW,

zxU

(V.106)

La composante horizontale du vecteur de dplacement lastique V appartient londe

transversale horizontale polarise SH ; elle est gale :

xzV zx

(V.107)

Les deux premires composantes du dplacement lastique sont composes des

dplacements comportant londe longitudinale P et londe transversale verticale polarise SV.


41/52


132

V.6.2.2 Polarisation de londe secondaire en onde SV et SH

De toutes les ondes de volume, seule londe secondaire affiche cette proprit qui

consiste en une subdivision de londe secondaire lors de sa gnration, en deux composantes,

savoir :-Composante parallle la surface du sol soit une onde secondaire horizontale (SH)

entranant le mouvement des particules dans le plan horizontal.

- Composante verticale la surface du sol soit une onde secondaire verticale (SV)

entranant le mouvement des particules dans le plan vertical.

Lorsque, durant le passage de londe S, les particules oscillent en lignes parallles,

londe est dite polarise dans la direction de ces lignes .

Comme les deux degrs de libert des ondes S sont indpendants, nous pouvons

rencontrer des ondes S dont le mouvement seffectue dans un seul plan, par exemple un

mouvement SH ou SV ; une telle onde est dite polarise selon un plan .

A noter quil est aussi possible de dtecter une onde dans laquelle SH et SV ont la

mme frquence et une diffrence de phase fixe ; cest une onde polarisation elliptique .

La figure V.19 (a et b) traduit le comportement de londe S une fois gnre. Nous

remarquons que londe incidente S, au niveau de linterface se scinde en deux composantes

qui sont (comme mentionn ci-dessus) :

- la composante SH dont le mouvement des particules est confine dans le plan tangent

et perpendiculaire au plan dincidence.

- la composante SV contenue dans le plan vertical du rayon incident. Ce plan

dincidence renferme la source, le dtecteur et la normale au rflecteur.

En assimilant sur la fig (V.19 a) les deux vecteurs reprsentant respectivement SV et SH

ceux des deux forces ayant le mme point dapplication mais de directions et de sens

diffrents, lapplication du principe de paralllogramme nous permettra dobtenir le vecteur

rsultant caractrisant ainsi londe S ou force rsultante dans la cas de deux vecteurs forces.

V.6.2 Conversion des ondes P en onde S et vice-versa

Les tudes, menes en physique sur le comportement des ondes au contact du dioptre,

ont rvl quune onde P ou une onde SV donne naissance une onde P et une onde SV

rflchie et une onde P et une onde SV rfractes. Cest le phnomne de conversion

dondes.

Quant londe SH, elle ne produit gnralement quune onde SH rflchie et une onde

SH rfracte. Do lintrt des ondes SH.


42/52


133

La figure V.20 (a, b et c) illustre clairement cephnomne de conversion dondes.

Sur le terrain, lon admet gnralement que les deux types dondes P et S soient gnrs

par une onde incidente P ou S linterface des couches lastiques. Cependant les expriences

ont montr que la dtection de cette conversion nest pas facile. La complexit des proprits

de couches en est responsable en grande partie.

Fig V.19 a. Polarisation de londe S

CSV - Composant SV

CSH Composant SH

n

- Normale

Fig V.19.b autre reprsentation de la polarisation de londe

S.0 dnote le mouvement perpendiculaire au plan vertical

(a)

SV P

PSV

p


43/52


134

(b)

(c)

Fig V.20 Phnomne de conversion donde

V.6.2.4 Propagation des ondes deux dimensions

Soit pour des raisons dtermines (telle quune action longue de la source sismique

dont la dure et suprieure celle du temps de retard de larrive de londe S par rapport

londe P) un point du milieu oscille sous leffet des ondes planes longitudinales et

transversales dont les fronts sont parallles laxe horizontal y, les composantes des

dplacements U et W satisfont par consquent les quations du mouvement (V.60)

0t

WW

z

0t

UU

x2

2

22

(V.108)

o

z

W

x

U

Conformment au paragraphe V.2.2.1, posons

xzW,

zxU

SV

SV

P

SV

P

SHSH

SH


44/52


135

Dterminons les drivs

zxzz

W,

zzxz

U

xzxx

W,

zxxx

U

2222

2222

Remplaons ces dernires quations dans lexpression de et calculons : WetU 22

2 2 22

2 2 3 3 3 32

3 2 2 3

2 2

2 2 3 3 3 22

2 2 2 3 3 2

2 2

U W

x z x x z z x z

U UU

x z x x z x z z

x z

W WW

x z x z x z x z

z x

Remplaons lexpression obtenue dans lquation du mouvement (V.108)

22 2 2

22 2 2

0

0

x x z t x z

z z x t y z

(V.109)

Aprs un changement de lordre de diffrenciation et le regroupement des membres, on

obtient :

0tztxz

2x

2222

2 2

2 22 0 z x z t x t

(V.110)

ou

0txt2z

0tzt

2x

2

2

2

2

22

22

(V.111)


45/52


136

Ces dernires galits peuvent tre satisfaites quelles que soient les fonctions et

sauf pour la condition dgalit zro de lexpression entre parenthse quadratique, c'est --

dire :

0t

1ou0

t

0t

1ou0t2

2

2

22

2

2

2

22

2

(V.112)

Donc, les fonctions et permettent de dterminer les composantes du vecteur de

dplacement lastique conformes aux quations donde pour les ondes longitudinales et

transversales.

V.6.2.5 Ondes de surfaces

a. / Ondes de Rayleigh.

Les ondes de surface prennent naissance lorsquune interface spare deux milieux de

proprits lastiques diffrentes. Leur amplitude dcrot lorsque la distance linterface

augmente.

Londe de Rayleigh se propage le long de la surface et laxe des z oriente positivement

vers le bas. Prsentons les quations (V.112) sous la forme suivante :

)(cos)(exp

)(sin)(exp

tkxbzB

tkxazA

(V.113)

C'est--dire que ces deux fonctions reprsentent des ondes harmoniques damplitudes

maximales la surface du milieu (autrement dit z = 0) et qui diminuent avec laugmentation

de la profondeur.

Le paramtre k dans (V.113) reprsente le nombre donde, R/2k ; alors que

RRR V est la longueur donde et est la frquence circulaire gale fRR 2/2 o TRest la priode de londe, TR= 1/fR

La relation

R

R

R Vk

est par consquent la vitesse avec laquelle se propagent dans ce cas les deux fonctions.


46/52


137

Les formule (V.106) permettent de trouver les composantes du vecteur dplacement U

et W :

)tkx(cos)ebBeAK(

)tkx(cosebB)tkx(coseAkzx

U

bzaz

bzaz

(V.114)

sin ( ) sin ( )

( ) sin ( )

az bz

az bz

W AK e kx t BK e kx t z x

A a e B k e kx t

(V.115)

En levant au carr lgalit obtenue et en arrangeant les membres, on obtient lquation

suivante dcrivant lquation dune ellipse :

1

eBkeAa

W

eBbeAk

U2bzaz

2

2bzaz

2

(V.116)

Cela signifie que pour ces potentiels donns et les trajectoires du mouvement des

particules seront des ellipses dont la grandeur sur laxe varie avec laugmentation de la

profondeur.

Introduisons maintenant les solutions proposes pour et dans lquation donde et

trouvons les conditions auxquelles satisfont et .

Calculons les laplaciens de et :

)tkx(coseBb)tkx(coseBKZx

)tkx(sineAa)tkx(sineAKZx

bzbz22

2

bzaz22

2

(V.117)

o

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

sin ( )

cos ( )

az

bz

a k A e kx t a k

b k B e kx t b k

(V.118)

Les drives secondaires des fonctions et par rapport au temps seront gales

respectivement :

2

22

2

t;

t

En substituant toutes ces expressions dans lquation donde, on obtient :

0t

1;0

t

1 2

2

22

2

2

(V.119)


47/52


138

et en simplifiant la premire par et la seconde par on obtient :

2

222

2

222

2

222

2

222

kbou0kb

kaou0ka

(V.120)

Les deux quations obtenues ne sont pas suffisantes pour la dtermination de tous les

paramtres, cest pourquoi on utilise les conditions aux limites. Les contraintes doivent tre

nulles la surface libre c'est--dire :

0x

U

z

W2

z

W2

z

W

x

U2

0z

W

x

W;0

z

U

x

W

zzzz

xzxz

(V.121)

En utilisant les expressions (V.114) et (V.115), on dtermine les drives suivantes :

2

2

cos (V.122)

cos (V.123)

sin (V.124)

sin (V.125)

az bz

az bz

az bz

az bz

Wk A a e B k e kx t

x

Ua A k e B b e kx t

z

Wa A e B b k e kx t

z

Uk A k e B b e kx t

x

En tenant compte qu la limite Z = 0, e-az = 1 et aprs lavoir remplac dans la premire

condition aux limites et simplifi par cos tkx on a :

222 kbBKaA (V.126)Analogiquement la deuxime condition aux limites :

2 2 22 2 0Ba k a k bA

Dterminons de la premire quation B/A et remplaons l dans la seconde ; on obtient :

bak4kba2ka 222222 (V.127)

On peut exprimer les trois paramtres a, b et en fonction de k, b, et laide des

quations (V.120). Cest pourquoi la vitesse kVR peut tre dtermine seulement en

fonction de si / est donn la phase.

En remplaant dans (V.127) les expressions de a et b donnes par (V.120), on obtient

une expression du troisime degr par rapport 2RV


48/52


139

0116V

1624V

8V

2

2

2

2

R

2

22

2

R

3

2

2

R

(V.128)

Lquation (V.120) est suffisante pour connatre la relation entre la vitesse de londe de

Rayleigh RV et les vitesses des ondes longitudinales et transversales .Etant donn que a et b doivent tre positifs, donc de (V.120) on a :

2 22 2

2 2

2 22 2

2 2

; (V.129)

; (V.130)

R

R

k ou V k

k ou V k

C'est--dire que la vitesse RV est infrieure la vitesse de londe transversale (ou SV )

A titre dexemple considrons le cas suivant : pour de nombreuses roches.

03

32V

3

1624

V8

V

;3/1/et4/1

2

R

2

R

3

2

2

R

2

(V.131)

Les trois racines de (V.128) sont :

222

3

22;

3

22;4

Comme 1VR

, la seule solution acceptable est

22

2 3 122 0,845

3 3

0,919

R

R

V

V

La vitesse de londe de Rayleigh en fonction du coefficient de Poisson est donne par la

figure. V.20.Elle peut prendre gnralement les valeurs variant entre 0,925 et 0,900 .

Cette onde steint trs vite avec laccroissement de la profondeur et son amplitude devient

ngligeable une profondeur gale la longueur donde (fig. V.21).

Loscillation quasi-verticale des particules est elliptique et rtrograde par rapport la

direction de propagation. Quoique les composantes verticale et horizontale du mouvement du

sol soient toutes deux prsentes, la composante horizontale est moindre compare la

composante verticale et elle est dpasse de 90 par rapport cette dernire. Le passage des

ondes de Rayleigh travers un milieu matriel entrane un mouvement des ondes P et Sverticales (SV).


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140

b- Ondes de Love

Les ondes de Love dites aussi de torsion font partie du groupe des ondes de surface que

lon peut expliquer par les phnomnes dinterface entre les diffrents types dondes de

volume, ayant subi plusieurs rflexions sur la surface et sur les discontinuits horizontales

situes de faibles profondeurs.

Considrons un milieu semi infini limit par un plan z = 0 et recouvert par une couche

dpaisseur H dont la surface suprieure est libre. Densit, constantes lastiques, vitesse et

dplacement dans cette couche seront nots par (prime) ; nous considrons le long de laxe x

une onde qui na quun dplacement :

LVxtiexp)z(fV,0WU dans le milieu infrieur (V.133)

LVxtiexpzexpC'V,0'W'U dans la couche (V.134)

o VLest la vitesse de phase de londe en question. De (V.133) et (V.134), il ressort que la

dformation volumique (dilatation) est nulle, c'est--dire :

0z

W

y

V

x

U

Etant donn que U = W = 0, loscillation de dplacement V se propage sous forme

donde transversale. Celle-ci est dcrite dans le milieu infrieur et dans la couche par les

quations dondes diffrentes.

)136.(0

1)135.(0

1 2

2

22

2

2 IIt

VVetII

t

VV

Remplaons (V.134) dans (V.135) et on obtient

0fV

11

z

f2

L

2

22

(V.137)

Lintgrale de cette quation diffrentielle a la forme

zsinBzsinA)z(f (V.138)

o

1VV 2

2

L

2

L

22

(V.139)

En substituant (V.134) dans (V.136), on obtient :

2'

2

2

22 1

L

L

V

V(V.140)

Utilisons les conditions aux limites pour dterminer les constantes entrant dans ces formules :


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141

1/ les tensions sur la surface libre (z = - H) doivent tre nulles :

0z

U

y

W

0

z

U2

0x

W

z

U

yz

z

xz

Cette condition donne :

0cossin HBHA (V.141)

2/ les tensions sur la frontire du milieu infrieur (coucher z = 0) doivent tre

gales par analogie lquation (V.140). On peut obtenir les mmes oprations pour les

formules (V.133) et (V.134) ; ce qui donneCB ' (V.141)

3/ les dplacements sur la frontire milieu infrieur- couche obtenus partir des

formules (V.133) et (V.134) doivent tre gaux si non les conditions reliant la couche du

milieu infrieur ne sont plus satisfaites. En posant f (z) donn par (V.138) dans les formules

(V.133) et (V.134) et en supposant z = 0, on obtient :

A = C (V.142)

En remplaant B et A suivant les quations (V.141) et (V.142) dans la formule

(V.141), on obtient :

'

Htg (V.143)

En remplaant les expressions de et (V.139) et (V.140) dans (V.143), on obtient la

formule principale suivante :

2

2 2

22

2

V1

V ' '

1 V1

L

L

LLtg H V

(V.144)

de cette formule, il ressort que la vitesse de londe de Love doit satisfaire la condition

suivante :

'L S L SV ou V V V (V.145)

et que LV dpend de et H. Donc londe se caractrise parune dispersion significative.

Lingalit (V.145), signifie que les ondes de Love peuvent exister si ' est suprieure

ou ' autrement dit pour quelles existent, il faut que la couche suprieure soit moins

rigide que sa base (milieu infrieur). Les ondes de Love sont des ondes transversales


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142

qui-volumiques dont la vitesse de propagation est approximativement gale la vitesse des

ondes secondaires du milieu suprieur pour les courtes longueurs dondes. Pour les grandes

longueurs dondes, VL galise approximativement VS du milieu infrieur.

Le mouvement des ondes de Love seffectue paralllement la surface et dans une

direction transversale la direction de propagation. Elles sont, ainsi appeles ondessecondaires horizontales (SH). Elles reprsentent essentiellement des ondes secondaires qui

se propagent grce un processus de rflexion multiple entre la surface et linterface du

milieu infrieur.

Fig V.21 Propagation des ondes de love

Fig V22.a Mouvement de surface du sol lors du passage de londede Love (1) et de londe de Rayleigh (2)


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Fig 22.b Mouvement des particules pendant le passage

de londe de Rayleigh(2)

Documents

Chapitre v